FUNGSISUB BAB 1.8

Definisi: f : A BA dan B adalah himpunan. Fungsi f memasangkan tepat satu nilai di B kepada setiap elemen A. Notasinya f(a) = b, di mana b adalah nilai unique (satu-satunya) yang dipasangkan kepada a.

a

x

b v t

f

A disebut domain (daerah asal) B disebut codomain

{b,t} disebut range(daerah hasil)

A B

Terminologi: f: A B

1. Fungsi f memetakan (maps) A ke B

2. A = domain dari fungsi f, B = codomain dari fungsi f

3. f(a) = b, b disebut image (bayangan) dari a, a disebut pre-image dari b

4. Himpunan bagian dari B yang berisi semua bayangan disebut range dari fungsi f

Beberapa contoh fungsi:1. Fungsi linier:

2. Fungsi kuadrat:

3. Fungsi Polinom:

4. Fungsi Trigonometri:

5. Fungsi Eksponen:

6. Fungsi Logaritma:

7. Fungsi invers:

8. Fungsi tangga

9. Fungsi Lantai

10. Fungsi Atap

11. Fungsi Pecahan:

12. dll

3

1

x

32)( xxf

.,752x- f(x) ,53)( 22 dstxxxxf

dstxxxxxxxf ,325 x f(x) ,1723)( 37345

dst tan x,f(x) 2x, cos f(x) ,sin)( xxf

dstxf xx ,4 f(x) ,2)( 23x2

.),32log(x f(x) ,log)( 22 dstxxxf

.,sin f(x) ,5

1)(f ,52)( 1-1-1 dstx

x

xxxxf

Fungsi PolinomBentuk umum fungsi polinom order atau pangkat n ( n bilangan bulat positif ) dinyatakan oleh:

dengan . Berikut bentuk khusus dari fungsi polinom, yaitu :

Misal f(x) merupakan fungsi polinom order n maka akan mempunyai paling banyak n buahpembuat nol yang berbeda. Untuk mendapatkan pembuat nol fungsi polinom dapatdigunakan aturan horner.

Beberapa contoh fungsi:

1. Fungsi floor (floor = lantai) : f(x) = x

x = menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari x

2. Fungsi ceiling (ceiling = langit-langit) : f(x) = x

x = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari x

x

x

x

x

Contoh-contoh lain: lihat Examples 1 s/d. 3

1. Fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = x2

A = Z = { … -2, -1, 0, 1, 2, 3, … } = domain

B = Z = codomain, { 0, 1, 4, 9, … } = range

2. Fungsi f adalah fungsi floor

A = R = { bilangan nyata } = domain

B = Z = { bilangan bulat } = codomain, range

3. Cari Df dan Rf dari: a. f(x)= b. f(x)= 3

1

x29 x

Definisi: penambahan dan perkalian 2 fungsi

f1 : A R, f2 : A R

1. (f1 + f2) (x) = f1(x) + f2(x)

2. (f1 f2) (x) = f1(x) f2(x) Contoh: Example 4

f1 : R R; f2 : R R

f1(x) = x2; f2(x) = x - x2

(f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x) = (x2) + (x - x2) = x

(f1f2)(x) = f1(x)f2(x) = (x2)(x - x2) = x3 - x4

Jika f(x)= dan g(x)=

cari Df dan Rf dari f+g dan f.g

29 x 41

1x

Definisi:

f : A R

S = himpunan bagian dari A

f(S) = { f(s) | s S }

Contoh: Example 5A = { a, b, c, d, e }; S = { b, c, d }B = { 1, 2, 3, 4}

f(a) = 2, f(b) = 1, f(c) = 4, f(d) = 1, f(e) =1f(S) = { 1, 4 }

Jenis fungsi: f: A B

1. One-to-one, injective

f fungsi injective x y [ f(x) = f(y) x = y ]

Universe (x) = universe (y) = domain (f) = A

2. Onto, surjective

f fungsi surjective y x [ f(x) = y ]

Universe (x) = domain = A; universe (y) = codomain (f) = B

3. One-to-one correspondence, bijective

f fungsi bijective jika f injective dan surjective

f : A B

4. Strictly increasing

x y [ ( x y ) ( f(x) f(y) ) ]

Universe (x) = universe (y) = domain (f) = A

5. Strictly decreasing

x y [ ( x y ) ( f(x) f(y) ) ]

Universe (x) = universe (y) = domain (f) = A

6. Fungsi identitas f : A A

f(x) = x

Contoh: example 6

a

b

c

d

1

2

3

4

5

1-1; injective

Contoh:

ayu

bambang

citra

dono

1

2

3

4

5

6

1-1; injective

nama muridnomor urut

Contoh: example 6 (modified)

a

b

c

d

3

4

5

Onto, surjective (not 1-1)

Contoh:

101

102

110

115

119

126

144

A

B

C

D

Onto, surjective (not 1-1)

NRP

nilai huruf

Contoh: example 6 (modified)

a

b

c

d

1

3

4

5

1-1 and onto; bijective

Contoh:

praktikum

kuliah

administrasi

kemahasiswaan

kantin

TIF-1

TIF-2

TIF-3

TIF-4

TIF-5

1-1 and onto; bijective

kegiatan rutin

Fungsi invers:

f A B di mana f(a) = bf –1: B A di mana f –1(b) = a

Catatan: f dan f –1 harus bijective

a b

f

f -1

Komposisi dua fungsi f dan g: (f o g) (a) = f(g(a))

Catatan: fungsi yang paling kanan dioperasikan paling awal, selanjutnya fungsi di samping kirinya, demikian seterusnya.

f o g

a g(a) f(g(a))

g f

Partial function: lihat halaman 111

f(x) undefined

Total function:

x

a b

a

x

b

y

A B

A f

f

B