Handout Barisan Dan Deret

30
A. POLA BILANGAN, NOTASI SIGMA, BARISAN DAN DERET. Kompetensi Dasar : 2.2. Merumuskan dan menentukan suku ke-n dan jumlah n suku pertama deret aritmetika dan geometri. Pengalaman Belajar : 2.2.1. Menyebutkan ciri-ciri barisan aritmetika dan barisan geometri. 2.2.2. Menentukan suku ke-n barisan aritmetika dan barisan geometri. 2.2.3. Menghitung jumlah n suku pertama deret aritmatika dan deret geometri. Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut Pola Bilangan, Notasi Sigma, Barisan dan Deret tentu diharapkan peserta didik secara mandiri dan atau kelompok diskusi menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu serta pengembangannya dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini: Pengantar materi: Indikator o Menjelaskan ciri barisan aritmatika dan barisan geometri, o Merumuskan suku ke-n dan jumlah n suku pertama deret aritmetika dan deret geometri, o Menentukan suku ke-n dan jumlah n suku pertama deret aritmetika dan deret geometri, o Menjelaskan ciri deret geometri tak hingga, o Menghitung jumlah deret geometri tak hingga, o Menuliskan deret aritmatika dan geometri dengan notasi sigma, o Membuktikan rumus jumlah n suku deret aritmatika dan geometri. Standar Kompetensi 2. Merancang dan menggunakan model matematika program linier serta menggunakan sifat dan aturan yang berkaitan dengan barisan, deret, matriks, vector, transformasi, fungsi eksponen, dan logaritma dalam pemecahan masalah.

description

A

Transcript of Handout Barisan Dan Deret

A. POLA BILANGAN, NOTASI SIGMA, BARISAN DAN DERET.

Kompetensi Dasar : 2.2. Merumuskan dan menentukan suku ke-n dan jumlah n suku pertama deret aritmetika dan geometri.

Pengalaman Belajar: 2.2.1. Menyebutkan ciri-ciri barisan aritmetika dan barisan

geometri.

2.2.2. Menentukan suku ke-n barisan aritmetika dan barisan

geometri.

2.2.3. Menghitung jumlah n suku pertama deret aritmatika dan

deret geometri.

Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut Pola Bilangan, Notasi Sigma, Barisan dan Deret tentu diharapkan peserta didik secara mandiri dan atau kelompok diskusi menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu serta pengembangannya dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:

Pengantar materi:

Pada zaman modern saat ini kita dapat menemukan berbagai kejadian atau fakta-fakta yang menggunakan bilangan-bilangan atau angka dengan aturan tertentu, missalnya nomor rumah sebelah kiri jalan dengan nomor ganjil dan sisi kanan dengan nomor genap berderet di pinggir jalan besar atau perumahan. Begitu pula dalam bidang ilmu terapan lain pngunaan bilangan dengan berbagai variasi dan bentuk perhitungannya.

Agar kita dapat mengembangkan penemuan-penemuan yang telah ada, maka kita perlu mengenal dan memahami latar belakang dari alat ataupun ilmu-ilmu yang ada, diantaranya barisan bilangan dengan berbagai kaitannya.

Pada abad ke-18 di Jerman terdapat seorang anak Carl Friedrich Gauss (1777-1855) mampu melakukan penjumlahan dengan cepat sehingga gurunya heran.

Bagaimana cara yang dipakai Gauss ?

Diskusikan dengan kelompok belajar anda melalui pemberdayaan referensi yang ada !A.1. POLA BILANGAN.

Sering kita jumpai, penggunaan bilangan secara teratur mengikuti suatu model atau pola tertentu seperti telah disebutkan penggunaan angka sebagai identitas rumah di pinggir jalan, sebagai berikut:

Sisi kanan : 2, 4, 6, 8, ....... dst ( Urutan bilangan Genap secara umum dapat

dinyatakan dalam bentuk : 2n , dimana n Bilangan Asli.

Untuk n = 1 maka didapat 2.1 = 2.

n = 2 maka didapat 2.2.= 4 , dst.

Sisi kiri : 1, 3, 5, 7, ..... .. dst ( Urutan bilangan Ganjil secara umum dapat

dinyatakan dalam bentuk : 2n -1 , dimana n Bilangan Asli.

Untuk n = 1 maka didapat 2.(....) -1 = 1.

n =2 maka didapat 2.(....). -1 = ...... , dst.

Dan masih banyak contoh lain,

Jika kita perhatikan maka urutan bilangan di atas selalu mengikuti pola atau aturan yang pasti menurut semesta pembicaraan tertentu, yaitu 2n dan 2n -1.

Aturan yang dapat dinyatakan dalam bentuk lambang dan berlaku umum ini disebut dengan POLA BILANGAN.

Masalah 1:

Tentukan 4 bilangan pertama yang memenuhi pola 3n + 2 untuk n A

Penyelesaian :

Misalkan : P(n) = 3n + 2 maka : untuk n = 1 ( 3.( 1 ) + 2 = 3 + ...... = 5

n = 2 ( 3.(....) + 2 = ....... + 2 = .......

n = 3 ( 3.(....) + 2 = ....... + 2 = .......

n = 4 ( 3.(....) + 2 = ....... + 2 = .......

Jadi urutan bilangan tersbut adalah : 5 , ..... , ....... , ........

Masalah 2:

Tentukan pola bilangan yang tepat untuk susunan bilangan : 1, 4, 9, 16, ..........

Penyelesaian :

Bilangan 1 dapat diperoleh dari bentuk ( 1 )2 = 1

4 dapat diperoleh dari bentuk ( 2 )2 = ......

9 dapat diperoleh dari bentuk ( )2 = ......

16 dapat diperoleh dari bentuk ( )2 = ...... , Jadi polanya adalah : n2Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

1. Tentukan dan susun 5 bilangan pertama yang memenuhi aturan / pola sebagai berikut, untuk n bilangan Asli:

a. 2n -3

b. 2n + n2

c. n + 1

d. (n -1)2

e. 5n + 2(n2 -1)

2. Tentukan pola bilangan yang sesuai dengan urutan bilangan di bawah ini:

a. 1, 3 , 5, 7, 9, ............

c. 2, 5, 8, 11, 14, ..........

b. 4, 9, 16, 25, ............

d. 0, 1, 3, 6, 10, ............

A.2. NOTASI SIGMA.

Notasi Sigma biasa dilambangkan adalah sebuah huruf Yunani sebagai pengganti operasi Penjumlahan berulang, dan digunakan untuk menyatakan penjumlahan suku-suku suatu barisan bilangan.

Masalah 3:

Tentukan bentuk penjumlahan suku-sukunya dari bentuk: (dibaca sigma dari 2n untuk n dari1sampai 6 )

n = 1 disebut batas bawah

n = 6 disebut batas atas

n = 1, 2, 3, 4, . Merupakan domain penjumlahan berupa bilangan bulat berurutan.

Penyelesaian :

maka untuk n = 1 ( 2 . 1 = ......

n = 2 ( 2. .... = ......

n = 3 ( 2. .... = ...... , dst sehingga didapat :

bentuk : 2 + ...... + 6 + ....... + ....... + 12Masalah 4:Tuliskan bentuk penjumlah : 1 + dengan menggunakan notasi sigma !

Penyelesaian :

1 +

Sifat-sifat Notasi sigma.

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

1. Nyatakan notasi sigma di bawah ini dalam bentuk lengkap (barisan bilangan) , dan tentukan pula hasil penjumlahannya !

a.

b.

c.

2. Nyatakan dalam bentuk notasi sigma :

a. 1 +

b.

3. Sederhanakan dalam notosi sigma :

a.

b.

4. Buktikan bahwa :

A.3. BARISAN BILANGAN.

Telah kita pelajarai bahwa dalam kehidupan sehari-hari sering ditemukan susunan bilangan yang mengikuti pola atau aturan tertentu, misal: urutan bilagan genap 2, 4, 6, 8, ........ dst.

Urutan bilangan genap memenuhi pola : 2n untuk n bilangan Asli.

Selanjutnya urutan bilangan sebagaimana di atas disepakatai dikenal dengan Barisan bilangan.

Barisan Bilangan adalah urutan atau susunan bilangan yang teratur menurut pola atau aturan tertentu.

Perhatikan barisan berikut: 4, 9, 16, 25, ......... maka: 4 disebut sebagai suku pertama (U1)

9 disebut sebagai suku ke-dua (U2)

16 disebut sebagai suku ke-dua (U3)

25 disebut sebagai suku ke-dua (U4)

sedang suku paling akhir disebut sebagai suku ke-n (Un)

Masalah 1:

Tentukan empat suku berikutnya dari barisan: 3, 5, 7, 9, ..........

Penyelesaian :

Setiap suku yang berurutan berselisih 2, maka empat suku berikutnya adalah:

9 +2 , ( 9 + 2 ) + ..... , [( 9 + 2 ) + .....] + ...... , { [( 9 + 2 ) + .....] + ...... } + .......Sehingga barisannya menjadi 11 , ........ , ........ , ...........Masalah 2:

Tentukan empat suku pertama dari barisan: Un = 2n2 - 1

Penyelesaian :

Un = 2n2 1 maka: untuk n = 1 ( U1 = 2 ( 1 )2 1 = 2 - 1 = 1

n = 2 ( U1 = 2 ( .... )2 1 = ...... - 1 = .........

n = 3 ( U1 = 2 ( .... )2 1 = ...... - 1 = .........

n = 4 ( U1 = 2 ( .... )2 1 = ...... - 1 = .........

Jadi barisan tersebut adalah : ........ , ........, ........., ..........A.3.1. BARISAN ARITMATIKA.

Perhatikan barisan bilangan berikut: 5, 8, 11, 14, 17, ........... (Apa yang dapat disimpulkan ? )5, 8, 11, 14, 17, ...........

+3 +3 +3 +3 +3 dst

nampak bahwa antara suku yang satu dengan suku sesudahnya mempunyai selisih TETAP yaitu 3 , dan biasa disebut beda barisan dan dilambangkan b.

b = U2 - U1 = U3 U2 = U4 U3 = ........... Barisan bilangan dengan pola sebagaimana di atas dikenal dengan Barisan Aritmatika (Hitung). Jika kita nyatakan dalam urutan suku-sukunya, barisan Aritmatika dapat dinyatakan dengan :

U1 , U2, U3, U4, ..........., Un + b +b +b +b +b

di mana U1 = a dan b = Un Un-1sehingga didapat:

U1 = a

= a

U2= a+ b

= a+ 1 b

(2 1)

U3= a+ + b

= a + 2 b

(3 1)

U4= a+ b+ + b

= a + . b

(4 1)

U5= a+ b+ + .+ b= a + . b

(5 1)

Un = a + (n -1) b dikenal sebagai Rumus suku ke-n Barisan Aritmatika.

Masalah 1:

Ditentukan barisan bilangan: 2, 5, 8, ....... , Tentukan :

a. Suku ke-delapan

b. Suku ke-15

c. 149 suku ke berapa.

Penyelesaian :

Barisan bilangan 2, 5, 8, ....... termasuk barisan Aritmatika dengan a = U1 = 2 dan b = 5 -2 = 3

a. U8 = a + ( 8 - 1 ) b = 2 + ( ..... ) . 3 = 2 + ...... = .............

b. U15 = a + (..... 1 ) b = 2 + ( ..... ) . 3 = 2 + ...... = .............

c. Suku ke-n : Ux = a + (n 1) b = 2 + (n -1)(....) = 149

2 + ....n - .... = 149

3n = ....... ( n = ........

Jadi 149 merupakan suku ke - .............

Masalah 2:

Suatu barisan aritmatika diketahui bahwa suku ke-2 adalah 7 ,dan suku ke-10 adalah 39, Tentukan Suku ke-50 !

Penyelesaian :Diketahui ; U2 = 7 ; U10 = 39Un = a + (n 1) b maka: U2 = a + .. b = 7

U10 = a + .. b = .

b = . ( b = ........a + b = 7( a = 7 - . = ..........

Sehingga: U50 = a + .. b = ...... + ..........= ............

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

1. Carilah beda dalam setiap barisan berikut ini !

a. 9, 15, 21, ..........

b. 3, -2, -7, ......

c.

2. Carilah suku yang diminta pada setiap barisan berikut ini !

a. 10, 7, 4, .........suku ke-12 = ......

b. -5, -1, 3, ........ . suku ke-20 = ..... c. 8, 11, 14, .........suku ke-15 = ......

d. -5, -, -2, ....... suku ke-100 = .....3. Diketahui barisan aritmatika: 42, 39, 36, 33, ....., 0

Tentukan banyaknya suku barisan tersebut !4. Sebuah barisan aritmatrika ditentukan suku ke-5 adalah 17 dan suku ke-10

adalah 32, maka tentukan : suku ke-51 dan suku ke-96 !

5. Carilah suku ke-100 dari barisan berikut ini:

a. 8, 11, 14, 17, ........

b. 7, 14, 21, 28, .......

A.3.2. BARISAN GEOMETRI.

Perhatikan barisan berikut : 1, 2, 4, 8, 16, ..........

Nampak bahwa barisan tersebut memiliki ciri bahwa bilangan selanjutnya diperoleh dari sekian kalinya dari bilangan sebelumnya, 1 menuju 2 diperoleh dari 1 x 2

2 menuju 4 diperoleh dari 2 x ....

4 menuju 8 diperoleh dari .... x .....

dapat disimpulkan bahwa nilai hasil bagi dari suatu suku dengan suku sebelumnya adalah tetap dan biasa dikenal dengan RASIO ( r ).

Barisan yang mempunyai Rasio / Nilai Perbandingan antar sukunya selalu tetap disebut dengan BARISAN GEOMETRI.

Un : Suku ke-n U1 = a dan r = Sehingga didapat:

r = =( U2 = U1 . r

=a . r

r =

=(U3 = U2 . r= (a . r) . r = a . r2

r =

=(U4 = U3 . r = (a . r2) . r=a . r3

=(Un =

= a . rn -1

Jadi Pola Barisan Geometri dirumuskan :

Masalah 1:

Tentukan Rasio dan suku ke-8 dari barisan geometri: 3, -6, 12, .............

Penyelesaian :

3, -6, 12, ............. maka r =

Sehingga U8 = a . r....... = 3 (......)7 = 3 ( ...... ) = .........Masalah 2:

Diketahui barisan 2, 6, 18, .........

Tentukan : a. Suku ke-7

b. Suku ke berapa yang besarnya 39366.

Penyelesaian :

a. 2, 6, 18, ................ barisan geometri sebab:

U1 = Suku pertama (a) = ......... sehingga: U7 = a.r7 1 = a . r....... = 2 . (.....)6 = 2 (.........) = 1458.

b. Uk = a . r k 1 ( 39366 = 2 . (.......)k 1 ( ........ = 3k - 1

( 3k 1 = 3.......

( k 1 = .....

k = .....

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:1. Carilah rasio dari barisan-barisan geometri di bawah ini dan tentukan besarnya suku yang diminta:

a. 1, 3, 9, ....... suku ke-10

b. 12, 6, 3, .......suku ke-10

c. 2, , 1, .... suku ke-9

d. 3, , 1, .... suku ke-112. Carilah rasio dan suku ke-6 dari barisan geometri jika diketahui:

a. U1 = 6 , U4 = 48

b. U3 = 20 , U4 = -10

c. U2 = 50 , U4 = 2003. Berapakah banyaknya suku barisan berikutini:

a. 1, 3, 9, ......., 729

b. 3, -6, 12, ......., 768

c. 6, 3, , ........,

4. Uang Rp. 1 juta diinvestasikan di Bank. Setiap tahun mendapat bunga majemuk 10%. Berapa modal tersebut setelah 5 tahun ?

5. Harga tunai suatu barang adalah Rp. 1 juta. Jika setiap setengah tahun harganya menyusut 5 % dari harga sebelumnya, maka hitunglah harga pada permulaan tahun ke tiga !A.4. D E R E T.

Jika setiap suku dalam suatu barisan dihitung (dijumlahkan) akan didapat sebuah nilai tertentu, dan bentuk ini dikenal dengan DERET BILANGAN, dan dikenal dengan istilah Jumlah n suku pertama deret (Sn).Sn = U1 + U2 + U3 + ........ + Un-2 + Un -1 + UnA.4.1. DERET ARITMATIKA.

Jika pada barisan aritmatika setiap sukunya dijumlahkan akan didapat :

Sn = a + (a + b)+ ( a + 2b) + ( a + 3b ) + ............ + ( a + (n 1) b ) dan seandainya k = Un = ( a + (n 1) b ) maka Jumlah n suku pertama deret aritmatika dapat diturunkan sebagai berikut:

Sn = a + (a + b) + ( a + 2b) + ( a + 3b ) + ..... + ( k - 2b ) + ( k b ) + k

Sn = k + (k - b) + ( k - 2b) + ( k - 3b ) + ........+ ( a + 2b ) + ( a + b ) + a

+

2 Sn = (a + k) + (a + k ) + ( a + k ) + ( a + k ) + .. + ( a + k ) + ( a + k ) + ( a + k ) (sebanyak n suku )2 Sn = n ( a + k )

maka didapat : Sn = ( a + Un ) = [ 2a + (n 1) b ]

Diskusikan dengan kelompok belajar anda beberapa hal berikut:

Masalah 1 :

Hitung jumlah deret aritmatika berikut:

a. 1 + 3 + 5 + 7 + ........... sampai 50 suku.

b. 2 + 5 + 8 + 11 + ....... + 272

Penyelesaian :

a. 1 + 3 + 5 + 7 + ........... didapat U1 = a = ........ , b = 3 - ..... = .......

Sn = [ 2a + ( n 1 ) b ]

S50 = [ 2 . (.) + ( 50 1 ) ...... ] = ..... [ ...... + (......) 2 ]

= ......... [ ......... ] = ...............

b. 2 + 5 + 8 + 11 + ....... + 272 didapat U1 = a = 2 , b = 5 - ..... = 3 , Un = 272

Un = a + (n -1) b ( 272 = 2 + ( n - ) 3

272 = . + 3n - .......

272 = 3n - .......

272 = 3n ( n = ..........

S50 = [ 2 . (.) + ( 91 1 ) ...... ] = ..... [ ...... + (......) 3 ] = ......... [ ......... ] = ...............

Masalah 2 :

Hitung jumlah semua bilangan asli antara 200 sampai dengan 600 yang habis dibagi 4.

Penyelesaian :

Bilangan Asli antara 200 dan 600 yang habis dibagi 4 adalah :204 , 208 , 212 , ......., 596 , sehingga diperoleha = 204, b = 4 dan Un = 596

Un = a + (n 1 ) b (( 596 = . + ( n 1 ) ..

..... = ........ + 4n - ........

596 = ........ + 4n ( 4n = ........... ( n = ........

Sn = ( a + Un) ( S99 = ( ...... + 596 ) = (.......) = ..........

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

1. Pada sebuah deret aritmatika diketahui suku pertama 3, Un = 87 dan U6 + U7 = 39. Tentukan Sn.2. Hitunglah nilai x jika diketahui: 2 + 4 + 6 + ....... + x = 90

3. Dari sebuah deret aritmatika diketahui Sn = ( 2n + 1). Tentukan rumus suku ke-n .4. Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika. Jumlah ke tiga bilangan itu 30, sedangkan hasil kalinya 640. Tentukan urutan ke tiga bilangan tersebut .5. Hitunglah semua bilangan asli antara 100 dan 1000 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 5 .6. Banyaknya angka kelahiran di suatu tempat tiap tahunnya tetap. Apabila angka kelahiran pada tahun 1980 mencapai 100 jiwa dan pada tahun 1990 mencapai 700 jiwa, Tentukan angka kelahiran pada tahun 1987.7. Suatu pabrik pupuk selama 15 tahun memproduksi pupuk yang grafiknya berupa garis lurus. Jika pada tahun ke tiga produksinya 115 ton dan pada tahun ke enam 190 ton, Tentukan jumlah produksinya selama 15 tahun.A.4.2. DERET GEOMETRI.

Jika pada barisan Geometri Un = a.rn-1 setiap sukunya dijumlahkan akan didapat :

Sn = a+ a r + a . r2+ ..........+ a . rn -2+ arn 1maka Jumlah n suku pertama deret geometrei dapat diturunkan sebagai berikut:

Sn = a + a r + a . r2+ ..........+ a . rn -2+ a rn 1r. Sn = a r + a . r+ ..........+ .. . rn -2+ a rn ..+ . . rn

Sn r. Sn = ........

- a . rnSn ( 1 - .... ) = ...... ( 1 rn ) atau Sn ( r 1 ) = a ( rn 1 )Sehingga:

Diskusikan dengan kelompok belajar anda beberapa hal berikut:

Masalah 1 :

Tentukanlah jumlah deret berikut sampai dengan suku ke -8 : 1 + 3 + 9 + ...........

Penyelesaian :

1 + 3 + 9 + ........... merupakan deret geometri a = ....... , r =

sehingga

Masalah 2:

Pada sebuah deret geometri terdapat suku pertama = 3 dan rasio = 2. Tentukan n bulat terkecil sehingga Sn > 104

Penyelesaian :

karena Sn > 104 ( 3 . 2..... - ....... > 10000 (( (......) 2n > ............

(( 2n > ............

(( jadi n > 11

Jadi n bulat terkecil yang memenuhi adalah n = ...........

Secara umum kita dapat menarik hubungan antara Suku ke-n (Un) dengan Sn adalah sebagai berikut:

Sn = a + (a + b) + ( a + 2b) + ( a + 3b ) + ...........+ ( a + (n 2) b) + ( a + (n 1) b

Sn -1 = a + (a + b) + ( a + 2b) + ( a + 3b ) + .......... + ( a + (n 2) b)

Sn Sn -1 = a + (n 1) b = Un atau Un = Sn Sn -1

Un = Sn Sn -1Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

1. Carilah rasio dari barisan-barisan geometri di bawah ini dan tentukan pula nilai suku yang diminta pada tiap masalah:

a. 12, 6, 3, ....... suku ke-10 = .........

b. 2, , 1, ......... suku ke-9 = .....2. Tentukan rasio dan suku ke-6 dari barisan geometri yang diketahui:

a. U2 = 50 dan U4 = 200

b. U3 = 20 dan U6 = -23. Pada sebuah barisan geometri terdapat U1 + U6 = 244 dan U3 x U4 = 243, tentukan rasio dari barisan ini 4. Uang Rp. 1.000.000,- diinvestasikan di Bank, Setiap tahun mendapat bunga majemuk 10 %. Berapa modal tersebut setelah 5 tahun ?5. Pada sebuah deret geometri a = 1 dan r = 2, Nilai n bulat terkecil sehingga Sn > 27 ?6. Tunjukan bahwa 1 + + 2 + 2 + ......... sampai 12 suku = 63 (1 + )

DERET GEOMETRI TAK HINGGA.

Suatu deret geometri yang banyak suku-sukunya tak hingga:

a+ a. r+ a . r2+ a . r3+ ........

Pola jumlah n suku pertama deret geometri tak hingga dapat diturunkan sebagai berikut:

Dari : Sn = jika n ( , maka:

untuk -1 < r < 1 atau maka sehingga didapat:

untuk r < 1 maka : dan untuk r > 1 maka :

Masalah 3:

Hitung nilai dari : 1 + + + .........

Penyelesaian :

Sn = 1 + + + ......... di dapat a = ....... dan r = ....... < 1 maka :

Masalah 4:

Tentukan nilai yang setara dengan bilangan desimal berulang: 0,272727 ...... atau

Penyelesaian :

0,272727.... = 0,27+ 0,0027

+ 0,000027+ .........

= 0,27+ 0,27 (0,01)+ 0,27 (..........)2+ .........

Didapat a = 0,27 dan r = ........ sehingga:

, Jadi setara dengan

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

1. Hiitung jumlah tak hingga deret berikut ini:

a. 2 + 1 + + ........

b. -1 + 1 + -1 + ......

c. 0,1 + 0,01 + 0,001 + ......

2. Tentukan nilai pecahan desiumal yang setara dengan desimal berulang pada:

a.

b.

c.

3. Suku pertama deret geometri adalah , sedangkan jumlah sampai tak hingga deret , Tentukan rasio dari deret tersebut

4. rasio deret geometri adalah , sedangkan jumlah tak hingga adalah 15. Berapakah suku pertamanya ?

5. Suku ke-n deret geometri adalah , Tentukan:

a. Suku pertama

b. Rasio

c. Jumlah tak hingga.

A. Pilih salah satu jawaban yang paling tepat !

1. 1 + dapat dinyatakan sebagai :

a.

b.

c.

d.

e.

2. Hasil penjumlahan = .

a. -102

b. -100

c. 100

d. 102

e. 1043. Hasil penjumlahan dari :

a. 56

b. 55

c. 54

d. 50

e. 444. Diketahui barisan 2, 6, 12, 20, .. , Rumus suku ke-n barisan ini adalah .

a. n2 +2n

b. n2 -2n c. n2 + n d. n2 n e. 2n2 n5. Suatu barisan aritmatika diketahui suku ke-3 dan suku ke-7 beturut-turut adalah 29 dan 81. Suku pertama dan beda barisan tersebut adalah ......

a. 3 dan 12 c. 3 dan 13 e. 4 dan 12 b. 4 dan 13 d. 5 dan 11

6. Jumlah deret 40 + 38 + 36 + ...... + 2 adalah ...........

a. 420

b. 400

c. 390

d. 380

e. 3107. Suatu deret aritmatika U4 = 2 dan bedanya (-2) , Jumlah 10 suku pertamanya adalah .....

a. -18

b. -16

c. -14

d. -12

e. -108. Suatu barisan geometri U2 = 6 dan U5 = , Suku pertama dan rasionya adalah .......

a. 12 dan c. 12 dan e. 12 dan 1/3

b. 14 dan d. 14dan -

9. Jumlah penduduk suatu kota menjadi dua kali lipat setelah 10 tahun, Tahun 2010 diperkirakan jumlah penduduk mencapai 3,2 juta jiwa. Berarti pada tahun 1960 jumlah penduduk kota itu baru mencapai ....... jiwa.

a. 100.000

c. 120.000 d. 160.000b. 200.000 d. 400.000

10. Deret geometri dengan suku-suku positif, diketahui suku ke-3 adalah 1/8 dan suku ke-7 adalah 2. Maka jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah .........

a.

b.

c.

d.

e.

11. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 1 m, setiap kali memantul mencapai ketinggian 2/3 m dari tinggi sebelumnya. Panjang lintasan bola hingga berhenti adalah ...... m.

a. 20

b. 10

c.9

d. 7

e. 5

12. Suku ke-n dari deret geometri tak hingga adalah 4-n , maka jumlah deret tak hingga tersebut adalah

a. 3

b. 2

c. 1

d.

e. 1/3

13. Jumlah suku tak hingga deret geometri 6 -3 + - + ......... adalah ........

a. -6

b. -4

c. 3

d. 4

e. 12B. Kerjakan dengan langkah yang benar!

014. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Hasil kali dan jumlah ke-tiga bilanganmasing-masing adalah 216 dan 26. Tentukan suku ke-3 barisan tersebut

015. Suatu deret aritmatika diketahui jumlah suku ke-4 dan suku ke-8 adalah 184,

sedangkan jumlah dua suku pertama adalah 20, Tentukan : a. Suku ke-6

b. Jumlah 6 suku pertama.

016. Tentukan jumlah bilangan asli antara 1 s/d 200 yang habis dibagi 4 tetapi tidak

habis dibagi 6.

017. Pada barisan geometri dengan 13 suku, diketahi suku tengahnya 2.187. Jika suku ke-3 = 27, tentukan suku ke-10 barisan tersebut.018. Diketahui deret : -8 + 4 -2 + 1 + - .........

Hitunglah : a. sampai 10 suku pertama.

b. Sampai tak hingga.

B. HUBUNGAN NOTASI ZIGMA-DERET dan INDUKSI MATEMATIKA.

Kompetensi Dasar : 2.3. Menggunakan notai sigma dalam deret dan induksi matematika dalam pembuktian.

Pengalaman Belajar: 2.3.1. Menyatakan suatu deret dengan notasi sigma,

2.3.2.Menggunakan induksi matematika dalam pembuktian rumus.

Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut Notasi sigma-deret dan induksi matematika dalam pembuktian tentu diharapkan peserta didik secara mandiri dan atau kelompok diskusi menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu serta pengembangannya dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:

Pengantar materi:

Notai sigma dan deret pada hakekatnya bermakna sama, dikarenakan ke duanya menyatakan jumlah dari beberapa suku barisan bilangan, sehingga antara notasi sigma dan deret memiliki hubungan yang nyata.

Dan kebenaran hubungan antara keduanya dapat dibuktikan dengan bantuan konsep pembuktian induksi matematika.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda melalui pemberdayaan referensi yang ada !

B.1. HUBUNGAN NOTASI SIGMA DENGAN DERET.

Perhatikan konsep di bawah ini:

Jumlah 6 suku pertama deret aritmatika: 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18, pola Suku ke-n dan Jumlah n suku pertamanya dapat diturunkan dengan aturan sebagai berikut:

Barisan tersebut termasuk barisan aritmatika dengan U1 = a = ...... , b = 6 -3 = 9 -6 = ...... sehingga:

Un = a + (n -1) b = .. + (n 1) = + 3n .. = 3nSn = = [2.(.....) + (n -1) (....) ] = [ ..... + 3n ..... ] = [ 3n +3 ]

Dapat ditentukan nilai dari S6 =

Perhatikan juga : = 3.1 + 3.2 + 3.3 + 3.4 + 3.5 + 3. 6 = 3 + . + .... + 12 + ..... + 18 = 63

Jelas bahwa terdapat hubungan yang nyata antara deret dan notai sigma:

Masalah 1:

Nyatakan notai sigma berikut dalam Jumlah n suku pertama deret aritmatikanya:

Penyelesaian :

= [2. (....) +3] + [2.(....) +3] + [2.(....) +3] + [2.(....) +3] + [2.(....) + 3] + [2.(....) + 3] = 5 + ..... + ..... + ..... + ...... + 15

didapat : a = ....... dan b = ....... 5 = ...... sehingga:

Sn =

Jadi S6 = (.....)[..... + 1] = ........

B.2. INDUKSI MATEMATIKA.

Salah satu cara pembuktian yang penting dalam matematika adalah jenis ini.

Dengan prinsip sebagai berikut:

Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n.

Apabila P(1) bernilai BENAR, dan apabila P( k) juga bernilai BENAR maka P( k +1) juga bernilai BENAR.

Maka dapat dipastikan P(n) bernilai BENAR untuk semua n bilangan Asli

Masalah 2: Buktikanlah bahwa 1 + 3 + 5 + ..... + (2n 1) = n2 , untuk semua bilangan Asli n.

Penyelesaian:

Misalkan: P(n) adalah 1 + 3 + 5 + ..... + (2n 1) = n2

(a). Untuk n = 1 , maka P(1) bernilai Benar, Sebab 1 = ( .. )2 = 1

(b). Andai untuk n = k sehingga P(k) bernilai Benar, yaitu apabila:

1 + 3 + 5 + ..... + (2 . 1) = .....2 , maka:

(c). Akan dibuktikan berlaku (Benar) untuk n = k +1

1 + 3 + 5 + ..... + (2k -1) + (2 (k+1) 1)

= [1 + 3 + 5 + ..... + (2k -1) + [(2k + ..... 1) ]

k2

= ...... 2 + (..... +1)

= k2 + ..... +1 = ( ..... + 1)2

Jadi untuk P(k + 1) bernilai Benar, dengan demikian P( n ) Benar, untuk

semua n anggota bilangn Asli.

Masalah 3:

Buktikanlah bahwa , untuk semua bilangan Asli n.

Penyelesaian:

Misalkan: P(n) adalah

(a) Untuk n = 1 diperoleh .....1 1 = ( ....1 -1 ) (( ......0 = (....) (( 1 = 1 (Benar)

(b) Misal benar untuk n = k ( , sehingga:

(c) Akan dibuktikan berlaku untuk n = k + 1, ambil ruas kiri :

= = =

= , Hal ini menunjukkan bahwa P(n) berlaku untuk n = k +1

Jadi : benar untuk setiap n bilangan asli.Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

Buktikan kebenaran dari argumentasi di bawah ini dengan Induksi Matematika !

1. Buktikan bahwa

2. Buktikan bahwa n3 +5n habis dibagi oleh 6

3. Buktikan bahwa 1 +2 +3 +4 + ...... + n = n (n +1)

4. Buktikan bahwa 1 + 3 + 9 + ....... + 3n -1 = (3n -1)

5. Buktikan bahwa 1 +2 + 22 + 23 + ...... + 2n -1 = 2n -1

6. Buktikan bahwa 33n + 22n +2 habis dibagi 5

7. Buktikan bahwa 24n +3 + 33n +1 habis dibagi oleh 11

8. Buktikan bahwa an bn habis dibagi oleh ( a b) untuk semua n anggota bilangan asli.

C. PENERAPAN / APLIKASI DALAM PERMASALAHAN KEHIDUPAN.

Kompetensi Dasar : 2.4. Merumuskan masalah nyata yang model matematikanya

berbentuk deret, menyelesaikan modelnya, dan menafsirkan

hasil yang diperoleh.

Pengalaman Belajar: 2.4.1. Menyatakan kalimat verbal ke dalam bentuk deret,

2.4.2. Mencari penyelesaian dari model matematika yang telah

diperoleh.

Sebelum mempelajari serta menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut Notasi sigma-deret dan induksi matematika dalam pembuktian utamanya terkait permasalahan kehidupan nyata tentu diharapkan peserta didik secara mandiri dan atau kelompok diskusi menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu serta pengembangannya dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:

Masalah 1:

Pada awal produksi PT Jaya memproduksi 200 pasang sepatu/hari. Setiap bulan direncanakan untuk menambah hasil produksinya secara tetap. Pada bulan ke -10 ternyata PT tersebut memproduksi 335 pasang sepatu/hari. Berapa kenaikan produksinya per bulan ? (anggap 1 bulan sama dengan 30 hari)

Penyelesaian:

Permasalahan merupakan model Barisan Aritmatika dengan U1 = 200 dan U10 = 335 yang ditanyakan adalah kenaikan per bulan (beda barisan) b = .....

Un = a + (n 1) b (( U10 = a + ..... b (( 335 = ....... + ....... b

(( ..... b = 335 - ...... = ........

(( b =

Jadi kenaikan produksinya per bulan adalah ..............

Masalah 2:

Populasi serangga di suatu tempat pada tanggal 4 April 1994 adalah 10.000 ekor. Tiap 2 hari bertambah 20% dari jumlah semula. Berapa populasi serangga tersebut pada tanggal 18 April 1994 ?

Penyelesaian:

Permasalahan merupakan model Barisan Geometri dengan U1 = 10.000 dan U2 = 12.000 yang ditanyakan adalah Populasi pada tanggal 18 April 1994 ( U8) = ......

U1 = a = 10.000 dan r = sehingga: didapat :

= 10.000 (1,2) = 10.000 () = ..

1. Suatu perkebunan jeruk pada saat musim berbuah menghasilkan 50.000 buah jeruk. Tiap hari dipetik sebanyak 7.250 buah. Setelah 6 hari dipetik ternyata ada beberapa buah jeruk yang masih mentah, maka kegiatan memetik jeruk tersebut dihentikan. Berapa buah jeruk yang masih di pohon ?2. Pada awal bekerja Amat mempunyai gaji Rp. 200 ribu per bulan. Tiap tahun gaji Amat naik sebesar Rp. 15 ribu per bulan. Berapa gaji Amat setelah dia bekerja selama 7 tahun ?3. Pada percobaan di sebuah laboratorium, temperature benda diamati setiap menit. Setelah 13 menit suhunya 7o C dan setelah 19 menit suhunya 15oC. Tentukan kenaikn suhu per menitnya 4. Seseorang menabung rp. 800 ribu pada tahun pertama, Tiap tahun tabungannya ditambah dengan Rp. 15 ribu lebih banyak daripada tahun sebelumnya. Berapakah jumlah simpanannya pada akhir tahun ke 10 ?5. Bakteri membelah menjadi 2 bagian setiap 4 jam. Jika pada pukul 12.00 banyaknya bakteri 1.000 ekor, Berapa banyaknya bakteri pada pukul 20.00 untuk hari yang sama 6. Suatu bola jatuh dari ketinggian 72 meter, kemudian memantul di tanah dan memantul kembali 80 % dari tinggi semula, begitu seterusnya sampai dengan 6 pantulan. Berapa tinggi bola pada pantulan ke 6?7. Seseorang menabung sejumlah uang di Bank dan mendapat bunga majemuk 10% setahun. Satu tahun sesudah menabung dan setiap tahun berikutnya, diambil Rp. 100 ribu untuk keperluan hidupnya. Berapakah uang yang harus ditabung sehingga setiap tahun ia dapat mengambil Rp. 100.000,- ?8. Pada akhir tahun 2005 jumlah penduduk sebuah kota 225.000 jiwa. Jika jumlah penduduk bertambah 20 % tiap tahun maka Tentukan jumlah penduduk pada akhir tahun 2010 ?

MENGUKUR MINAT SISWA TERHADAP MATERI BELAJAR

Menurut anda materi belajar tentang Pola Bilangan, Notasi Sigma, Barisan dan Deret (lingkari angka diantara pernyataan berikut):

Menyenangkan12345Membosankan

Bermanfaat12345Tidak Bermanfaat

Menarik12345 Tidak Menarik

Sangat perlu dipelajari12345Tidak perlu dipelajari

Menantang12345Tidak Menantang

Perlu disebar luaskan12345Tidak Perlu disebar luaskan

Mempunyai korelasi dengan masalah sehari-hari12345Tidak Mempunyai korelasi dengan masalah sehari-hari

Petunjuk Penilaian:

1. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 1 dan 2 maka materi pembelajaran menarik minat siswa.

2. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 4 dan 5 maka materi pembelajaran tidak menarik minat siswa, sehingga perlu adanya perubahan metode, media, strategi pembelajaran, dll.

Standar Kompetensi

2. Merancang dan menggunakan model matematika program linier serta menggunakan sifat dan aturan yang berkaitan dengan barisan, deret, matriks, vector, transformasi, fungsi eksponen, dan logaritma dalam pemecahan masalah.

Indikator

o Menjelaskan ciri barisan aritmatika dan barisan geometri,

o Merumuskan suku ke-n dan jumlah n suku pertama deret aritmetika dan deret geometri,

o Menentukan suku ke-n dan jumlah n suku pertama deret aritmetika dan deret geometri,

o Menjelaskan ciri deret geometri tak hingga,

o Menghitung jumlah deret geometri tak hingga,

o Menuliskan deret aritmatika dan geometri dengan notasi sigma,

o Membuktikan rumus jumlah n suku deret aritmatika dan geometri.

a. EMBED Equation.3

b. EMBED Equation.3

c. EMBED Equation.3 , k bilangan positif

d. EMBED Equation.3

a. EMBED Equation.3

b. EMBED Equation.3

c. EMBED Equation.3

d. EMBED Equation.3

e. EMBED Equation.3

b = Un Un-1

r = EMBED Equation.3 (rasio)

Sn = EMBED Equation.3 untuk nilai r < 1 atau:

Sn = EMBED Equation.3 untuk nilai r > 1

Indikator

o Menuliskan suatu deret dengan notasi sigma,

o Menjelaskan ciri rumus yang dapat dibuktikan dengan induksi matematika,

o Menggunakan induksi matematika dalam pembuktian.

Indikator

o Menjelaskan karakteristik masalah yang model matematikanya berbentuk deret aritmatika atau geometri,

o Merumuskan deret yang merupakan model matematika dari masalah,

o Menentukan penyelesaian dari model matematika,

o Memberikan tafsiran terhadap solusi dari masalah.

_1385187904.unknown

_1385187939.unknown

_1385187955.unknown

_1385187963.unknown

_1385187971.unknown

_1385187975.unknown

_1385187977.unknown

_1385187979.unknown

_1385187980.unknown

_1385187978.unknown

_1385187976.unknown

_1385187973.unknown

_1385187974.unknown

_1385187972.unknown

_1385187967.unknown

_1385187969.unknown

_1385187970.unknown

_1385187968.unknown

_1385187965.unknown

_1385187966.unknown

_1385187964.unknown

_1385187959.unknown

_1385187961.unknown

_1385187962.unknown

_1385187960.unknown

_1385187957.unknown

_1385187958.unknown

_1385187956.unknown

_1385187947.unknown

_1385187951.unknown

_1385187953.unknown

_1385187954.unknown

_1385187952.unknown

_1385187949.unknown

_1385187950.unknown

_1385187948.unknown

_1385187943.unknown

_1385187945.unknown

_1385187946.unknown

_1385187944.unknown

_1385187941.unknown

_1385187942.unknown

_1385187940.unknown

_1385187922.unknown

_1385187930.unknown

_1385187935.unknown

_1385187937.unknown

_1385187938.unknown

_1385187936.unknown

_1385187932.unknown

_1385187933.unknown

_1385187931.unknown

_1385187926.unknown

_1385187928.unknown

_1385187929.unknown

_1385187927.unknown

_1385187924.unknown

_1385187925.unknown

_1385187923.unknown

_1385187914.unknown

_1385187918.unknown

_1385187920.unknown

_1385187921.unknown

_1385187919.unknown

_1385187916.unknown

_1385187917.unknown

_1385187915.unknown

_1385187908.unknown

_1385187910.unknown

_1385187912.unknown

_1385187913.unknown

_1385187911.unknown

_1385187909.unknown

_1385187906.unknown

_1385187907.unknown

_1385187905.unknown

_1385187886.unknown

_1385187896.unknown

_1385187900.unknown

_1385187902.unknown

_1385187903.unknown

_1385187901.unknown

_1385187898.unknown

_1385187899.unknown

_1385187897.unknown

_1385187892.unknown

_1385187894.unknown

_1385187895.unknown

_1385187893.unknown

_1385187889.unknown

_1385187890.unknown

_1385187891.unknown

_1385187888.unknown

_1385187869.unknown

_1385187882.unknown

_1385187884.unknown

_1385187885.unknown

_1385187883.unknown

_1385187873.unknown

_1385187877.unknown

_1385187880.unknown

_1385187881.unknown

_1385187879.unknown

_1385187878.unknown

_1385187875.unknown

_1385187876.unknown

_1385187874.unknown

_1385187871.unknown

_1385187872.unknown

_1385187870.unknown

_1385187865.unknown

_1385187867.unknown

_1385187868.unknown

_1385187866.unknown

_1385187863.unknown

_1385187864.unknown

_1385187862.unknown