Himpunan - Gunadarma

DefinisiPenyajian Himpunan

Jenis HimpunanOperasi pada Himpunan

Aljabar HimpunanHimpunan Hingga

Argumen dan Diagram Venn

HimpunanMatematika Sistem Informasi 1

Ichsani Mursidah

Sistem InformasiFakultas Ilmu Komputer dan Teknologi Informasi

Universitas Gunadarma

Oktober 2019Pertemuan 1

Ichsani Mursidah Himpunan





1 Definisi

2 Penyajian Himpunan

3 Jenis Himpunan

4 Operasi pada Himpunan

5 Aljabar Himpunan

6 Himpunan Hingga

7 Argumen dan Diagram Venn






Definisi

Apa yang dimaksud dengan himpunan?Berikan contoh himpunan!Berikan contoh yang bukan himpunan






Himpunan

DefinisiHimpunan adalah Kumpulan objek-objek (benda-benda real atauabstrak) berbeda yang didefinisikan dengan jelas.






Definisi

Contoh HimpunanKumpulan mahasiswa Jurusan Sistem Informasi FIKTIGunadarmaKumpulan anak SD PermataKumpulan mahasiswa Gunadarma yang ikut BEMKumpulan hewan berkaki empat






Definisi

Contoh Bukan HimpunanKumpulan anak-anak yang berkulit putihKumpulan makanan yang lezatKumpulan anak-anak yang pandaiKumpulan pakaian yang bagus






Notasi Himpunan

Himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf kapital; A,B,C,... atau ditandai dengan kurung kurawal {...}Anggota himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf kecil;a,b,c,d,...Jika x anggota himpunan A, maka ditulis x ∈ A

Jika y bukan anggota himpunan B, maka ditulis y /∈ B

Banyaknya anggota himpunan A ditulis n(A)






Penyajian Himpunan

Enumerasimenuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan di antaradua buah tanda kurung kurawal

Example1 A = {1, 2, 3, 4}2 B = { kucing,kambing,sapi,kerbau,kuda,anjing}3 C = { a,i,u,e,o}






Lanjutan...

Notasi Pembentuk Himpunanmenuliskan syarat keanggotaan himpunan

NotasiNotasi: {x | syarat yang harus dipenuhi oleh x}

Example1 A = {x |x bilangan bulat positif lebih kecil dari 5} atau

A = {x |x ∈ P, x < 5} yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}2 M = {x |x mahasiswa yang mengambil mata kuliah

matematika informasi 1}






Lanjutan...

Simbol-simbol BakuP=himpunan bilangan bulat positif = {1, 2, 3, ...}N=himpunan bilangan asli (natural) = {1, 2, 3, 4, ...}Z=himpunan bilangan bulat = {...,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...}Q=himpunan bilangan rasionalR=himpunan bilangan riilC=himpunan bilangan kompleks






Lanjutan...Diagram Venn

Example

Misalkan U = {1, 2, ..., 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}Maka digram Venn:






1

3

8

6

2

5

7

4

A B

∅

U

Diagram Venn






Kardinalitas

Misalkan A adalah himpunan berhingga, maka jumlah elemenberbeda di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.Notasi: n(A) atau |A|

Example1 B = {x |x merupakan bilangan prima lebih kecil dari 20}, atau

B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka |B |=82 T = {kucing, kambing, kuda}, maka |T |=53 A = {a, {a}, {{a}}}, maka |A|=3






Himpunan Universal

DefinisiHImpunan yang memuat semua anggota yang sedang dibicarakan,biasanya ditulis dengan notasi U atau S

Example

Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5}A dan B adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5} danB = {2, 3, 4}






Himpunan Kosong

Himpunan yang tidak mempunyai anggota dan ditulis dengannotasi ∅ atau {}

Example1 E = {x |x < x}, maka n(E )=02 P = {orang Indonesia yang pernah ke bulan}, maka n(P)=03 A = {x |x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0}, n(A)=0

himpunan {{}} dapat juga ditulis sebagai {∅}himpunan {{}, {{}}} dapat juga ditulis sebagai {∅, {∅}}{∅} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemenyaitu himpunan kosong. {∅} 6= ∅






Himpunan Bagian(subset)

DefinisiHimpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika danhanya jika setiap anggota himpunan A juga merupakan anggotahimpunan B . Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

NotasiA himpunan bagian B : A ⊆ B

Example

{1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4, 5}{1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3}






Lanjutan...

Teorema 1Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:

A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri yaitu, A ⊆ A.Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A, yaitu ∅⊆ A.Jika A ⊆ B dan B ⊆ C , maka A ⊆ C .






Improper Subset

Definisi

∅ ⊆ A dan A ⊆ A, maka ∅ dan A disebut himpunan bagian taksebenernya (improper subset) dari himpunan A.

Example

A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan ∅ adalah improper subset dari A.






Proper Subset

A ⊆ B berbeda dengan A ⊂ B

A ⊂ B : adalah himpunan bagian dari B tetapi A 6= B . Aadalah himpunan bagian sebenernya (proper subset) dari B .Contoh: {2} dan {1, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3}.A ⊆ B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalahhimpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B .






Himpunan yang sama

A = B jika dan hanya jika setiap anggota A merupakananggota B dan sebaliknya setiap anggota B merupakananggota A.A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalahhimpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A 6= B .Notasi: A = B ↔ A ⊆ B dan B ⊆ A.






Lanjutan...

Example

Jika A = {3, 5, 8, 5, } dan B = {3, 5, 8}, maka A = B

Jika A = {3, 5, 8, 5} dan B = {3, 8}, maka A 6= B

Untuk tiga buah himpunan A,B, danC berlaku aksioma berikut:1 A = A, B = B , dan C = C

2 jika A = B , maka B = A

3 jika A = B dan B = C , maka A = C






Himpunan yang Ekivalen

DefinisiHimpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanyajika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.Notasi: A ' B ↔ |A| = |B|

Example

Misalkan A = {1, 3, 5, 7} dan B = {a, b, c , d}, maka A ' B sebab|A|=|B |=4






Himpunan Saling Lepas

Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jikakeduanya tidak memiliki elemen yang sama.Notasi: A//B

Example

Jika A = {x |x ∈ P, x < 8} dan B = {10, 20, 30, ...}, maka A//B






Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatuhimpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagiandari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.Notasi: P(A) atau 2A

Jika |A|=m, maka |P(A)|=2m

Example1 Jika A = {1, 2}, maka P(A) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}

|A|=2, maka |P(A)|=22 = 42 Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P(∅) = {∅},

dan himpunan kuasa dari himpunan {∅} adalahP({∅}) = {∅, {∅}}






Operasi Himpunan

IrisanA ∩ B = {x : x ∈ A dan x ∈ B}GabunganA ∪ B = {x : x ∈ A atau x ∈ B}PenjumlahanA + B = {x : x ∈ A, x ∈ B, x /∈ (A ∩ B)}PenguranganA− B = {x : x ∈ A, x /∈ B}KomplemenAc = {x : x /∈ A, x ∈ S}






Aljabar Himpunan

Hukum idempotenA ∩ A = A,A ∪ A = A

Hukum AsosiatifA ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ CA ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C

Hukum komutatifA ∩ B = B ∩ AdanA ∪ B = B ∪ A

Hukum distributifA ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C )A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )






Lanjutan...

Hukum identitasA ∩ ∅ = ∅,A ∩ S = AA ∪ ∅ = ∅,A ∪ S = S

Hukum komplemenA ∩ Ac = ∅,A ∪ Ac = S(Ac)c = A,Sc = ∅, ∅c = S

Hukum De Morgan(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc

(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc






Himpunan berhingga dan tak berhingga

Himpunan hinggaHimpunan yang banyak anggotanya berhingga, notasi:A = {x1, x2, x3, ..., xn}

Himpunan tak berhinggaHimpunan yang banyak anggotanya tak berhingga, notasi:A = {x1, x2, x3, ....}






Prinsip Inklusi-Eksklusi

Untuk dua himpunan A dan B :|A ∪ B | = |A| + |B | - |A ∩ B ||A⊕ B | = |A| + |B | - 2|A ∩ B |Untuk tiga buah himpunan A,B,danC , berlaku|A∪B ∪ C | = |A| + |B | + |C | - |A∩B | - |A∩ C | - |B ∩ C | +|A ∩ B ∩ C |







Terdapat beberapa metode untuk membuktikan kebenaranproposisi himpunan. Salah satunya dengan menggunakandiagram venn.Dalam menentukan validitas (kebenaran) argumen denganteori himpunan, kita perlu menerjemahkan premis-premis yangmenyusunnya ke dalam bahasa himpunan, kemudian denganteori himpunan akan ditentukan apakah konklusi (kesimpulan)tersebut benar-benar diperoleh dari penurunan premis-premisyang menyusunnya.






Contoh






Lanjutan...


Himpunan - Gunadarma

Documents

Transcript of Himpunan - Gunadarma