HIMPUNAN MATEMATIK

download HIMPUNAN MATEMATIK

of 65

description

HIMPUNAN MATEMATIK

Transcript of HIMPUNAN MATEMATIK

  • HIMPUNAN & SIFAT-SIFAT OPERASINYA

    Matematika Teknik

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 1

  • HIMPUNAN :

    Kumpulan objek-objek yang berbeda danmempunyai sifat-sifat tertentu yang sama.

    Setiap objek yang terdapat dalam himpunandisebut anggota atau unsur atau elemen.

    Anggota-anggota himpunan ditulis dalam tandakurung kurawal.

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 2

  • A. Penyajian Himpunan

    4 cara menyajikan himpunan :

    Tabulasi atau enumerisasi

    Simbol-simbol baku

    Notasi pembentuk himpunan

    (set builder)

    Diagram Venn

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 3

  • 1. Tabulasi atau Enumerasi

    Metode tabulasi adalah cara menulisatau menyatakan himpunan denganjalan menuliskan semua anggotanya.

    Jika A adalah himpunan bilangan 1,2,3,4 maka himpunan tersebut ditulis dalambentuk A = { 1, 2, 3, 4}

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 4

  • Contoh 1:

    Sah-sah saja elemen-elemen di dalam himpunan tidak

    mempunyai hubungan satu sama lain, asalkan berbeda.

    Sebagai contoh, {kucing, a, Amir, 10, paku} adalah

    himpunan yang terdiri dari lima elemen, yaitu

    kucing, a, Amir, 10, paku

    Contoh 2 :

    K

    aaaC

    cacbabaR

    ,,

    ,,,,,,

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 5

  • Contoh 3:

    Himpunan bilangan bulat positif ditulis sebagai

    Sedangkan himpunan bilangan bulat sebagai

    ,3,2,1

    ,2,1,0,1,2,

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 6

  • B. Untuk menyatakan keanggotaan digunakan notasi :

    Ax

    Ax

    Untuk menyatakan x merupakan anggota himpunan A

    Untuk menyatakan x bukan merupakan anggota himpunan A

    Contoh 4 :

    KdancacbabaRA ,,,,,,,,4,3,2,1

    KRa

    Ra

    Rcba

    A

    A

    ,,

    5

    3

    Maka

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 7

  • 2. Simbol-simbol Baku

    Simbol baku yang biasa digunakan untuk

    mendefinisikan himpunan yang sering

    digunakan antara lain :

    P = himpunan bilangan bulat positif

    Z = himpunan bilangan bulat.

    Q = himpunan bilangan rasional.

    R = himpunan bilangan riil.

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 8

  • Kadang kita berhubungan dengan himpunan-himpunan

    yang semuanya merupakan bagian dari sebuah himpunan

    yang universal.

    Himpunan yang universal ini disebut semesta dan

    disimbolkan dengan U

    Misalnya : 5,4,3,2,1U

    A adalah himpunan bagian dari U, dengan 5,3,1A

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 9

  • 3. Notasi Pembentuk Himpunan

    Himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh anggotanya.

    Notasi:{x | syarat yang harus dipenuhi x }

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 10

    Aturan yang digunakan dalam penulisan syarat keanggotaan :

    a. Bagian di kiri tanda | melambangkan elemen himpunan

    b. Tanda | dibaca dimana atau sedemikian sehingga

    c. Bagian di kanan tanda | menunjukkan syarat keanggotaan

    himpunan

    d. Setiap tanda , di dalam syarat keanggotaan dibaca

    sebagai dan

  • A adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil dari 5,

    dinyatakan sebagai

    A = { x | x adalah himpunan bilangan bulat positif lebih

    kecil dari 5}

    Atau dalam notasi yang lebih ringkas :

    A = { x | x P, x < 5 }

    Yang sama dengan

    A = { 1, 2, 3, 4 }

    Contoh 5 :

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 11

  • 4. Diagram Venn

    Diagram Venn menyajikan himpunansecara grafis.

    Diagram Venn terdiri dari himpunanatau himpunan-himpunan yang dilambangkan dengan lingkaran danhimpunan semesta dilambangkandengan persegi panjang.

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 12

  • Contoh 6:

    U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

    A = {1, 2, 3, 5 }

    B = {2, 5, 6, 8 }

    U atau S mempunyai anggota bilangan asli < 9

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 13

    U A B

    1

    3

    2

    5

    8

    6

    4

    7

  • C. Kardinalitas

    Kardinalitas menunjukan jumlah anggota suatu himpunan.

    Jika terdapat himpunan A, maka kardinal A ditulis dengan lambang n (A) atau |A|

    Contoh : A={x | x bilangan prima, x 10}

    A={2, 3, 5, 7 }

    maka |A| = 4

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 14

  • D. Himpunan Kosong

    Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinal = 0.

    Himpunan kosong dilambangkan dengan atau { }.

    Contoh :

    P= {orang Indonesia yang pernah ke bulan},

    maka |P| = 0

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 15

  • E. Himpunan Bagian (subset)

    Sebuah himpunan dapat merupakan bagian dari himpunan lain.

    Anggota yang terkandung pada himpunan tersebut juga terkandung pada himpunan yang lain.

    Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B.

    Notasi : A B

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 16

  • Diagram Venn Himpunan Bagian

    5,4,3,2,13,2,1 SRI RAHAYU, ST, M.Kom 17

    1 2

    34 5

  • Suatu himpunan merupakan himpunan bagian dari himpunan itu sendiri. Jika terdapat suatu himpunan A, maka berlaku A A.

    Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari suatu himpunan.Jika terdapat himpunan kosong dan himpunan A, maka berlaku A.

    Jika A B dan B C, maka A C

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 18

  • F. Himpunan yang Sama

    Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika A adalah himpunan bagian B dan B merupakan himpunan bagian A.

    Dengan menggunakan lambang matematika.

    A = B A B dan B A

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 19

  • Himpunan yang Sama

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 20

    3,2,1A

    1,2,3B

    Jika

    Dan

    Maka A = B

    Karena urutan elemen di dalam himpunan tidak penting

    Contoh 7 :

  • G. Himpunan yang Ekivalen

    Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal A = kardinal B.

    Dengan menggunakan lambang matematika,

    A B A = B

    4~,,,,7,5,3,1 BAsebabBAmakadcbaBdanAJika

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 21

    Contoh 8 :

  • H. Himpunan Saling Lepas

    Himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika keduanya tidak mempunyai anggota yang sama.

    Dalam bentuk lambang dapat ditulis :

    A // B.

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 22

  • Diagram Venn Himpunan Saling Lepas

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 23

  • I. Himpunan Kuasa

    Himpunan kuasa (power set) adalah suatu himpunan A yang anggota-anggotanya merupakan suatu himpunan bagian A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A itu sendiri.

    Himpunan kuasa dari himpunan A dilambangkan dengan :

    P (A) atau 2A

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 24

  • Contoh 9 :

    Jika 2,1A

    Maka 2,1,2,1, A

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 25

  • J. Operasi Thdp Himpunan

    1. Irisan (intersection) Irisan dari himpunan A dan B adalah

    himpunan semua unsur yang termasukdi dalam A dan di dalam B.

    Irisan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan A B.

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 26

  • Diagram Venn Operasi Irisan

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 27

  • 2. Gabungan (union)

    Gabungan himpunan A dan himpunan B adalah semua unsur yang termasuk di dalam A atau di dalam B.

    Gabungan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan A B.

    A B ={X:x A, x B, atau x AB }

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 28

  • Diagram Venn Operasi Gabungan

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 29

  • 3. Komplemen (complement)

    Himpunan komplemen adalahhimpunan semua unsur yang tidaktermasuk dalam himpunan yang diberikan.

    Jika himpunannya A maka himpunankomplemennya dilambangkan A atau

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 30

  • Diagram Venn Komplemen

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 31

    U

    A

    A

  • 4. Selisih (difference)

    Selisih himpunan A dan B adalah semua unsur A yang tidak termasuk di dalam B.

    Selisih himpunan A dan himpunan B dilambangkan A B atau A B

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 32

  • Diagram Venn Operasi Selisih

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 33

  • 5. Beda Setangkup (symmetric difference)

    Beda setangkup himpunan A danhimpunan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya hanyamerupakan anggota himpunan A sajaatau B saja.

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 34

    ABBABABABA

  • Diagram Venn Beda Setangkup

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 35

  • 6. Perkalian Kartesian

    Jika terdapat himpunan A dan himpunan B maka perkalian kartesian A x B adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan pasangan terurut dengan komponen pertama berasal dari himpunan A dan komponen kedua berasal dari himpunan B.

    A x B ={(a,b) | a A dan b B }

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 36

  • Contoh 10 : Perkalian Kartesian

    Misal : C = { 1, 2, 3 }

    D = { a, b }

    Maka : C x D = {(1,a) ,(1,b) ,(2,a) ,(2,b),

    (3,a) , (3,b)}

    Pasangan berurut (a,b) berbeda dengan (b,a), dengan kata lain (a,b) (b,a)

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 37

  • Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A x B B x A, dengan syarat A atau B tidak kosong

    Jika A = atau B = ,

    maka A x B = B x A =

    Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka : |A x B | = | A | . | B |

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 38

  • K. Perampatan Operasi Himpunan

    Operasi himpunan dapat dilakukan thdp 2 atau

    lebih himpunan.

    i

    n

    in

    i

    n

    in

    i

    n

    in

    i

    n

    in

    AAAA

    AAAA

    AAAA

    AAAA

    121

    121

    121

    121

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 39

  • Contoh 11 :

    Misalkan :

    9,3,0,1

    6,3,2,1

    3,2,0

    3

    2

    1

    A

    A

    A

    Maka,

    9,6,3,2,1,0,133

    1

    3

    1

    ii

    ii

    AdanA

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 40

  • No Hukum

    1 (i)

    (ii)

    2 Dominasi

    3 Komplemen

    4 Idempoten

    Identitas

    (i)

    (ii)

    (i)

    (ii)

    (i)

    (ii)

    L. Hukum-hukum Aljabar Himpunan

    AA

    AA

    U

    UA

    A

    U

    AA

    UAA

    AAA

    AAA

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 41

  • 5 Involusi

    6 Penyerapan

    7 Komutatif

    8 Asosiatif

    AA

    ABAA

    ABAA

    ABBA

    ABBA

    CBACBA

    CBACBA

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 42

  • 9 Distributif

    10 De Morgen

    11

    CABACBA

    CABACBA

    BABA

    BABA

    U

    U

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 43

    Hukum 0/1

    Kompl. 2

  • M. Prinsip Dualitas

    1 Identitas : Dualnya :

    2 Dominasi : Dualnya :

    3 Komplemen : Dualnya :

    4 Idempoten : Dualnya :

    A A

    A

    UAA

    AAA

    AU A

    UUA

    AA

    AAA SRI RAHAYU, ST, M.Kom 44

  • 5 Penyerapan : Dualnya :

    6 Komutatif : Dualnya :

    7 Asosiatif : Dualnya :

    8 Distributif : Dualnya :

    9 De Morgan : Dualnya :

    10 Hukum 0/1 Dualnya :

    AA BA AA BA

    ABBA ABBA

    CBACBA CBACBA

    CABACBA CABACBA

    BABA BABA

    U USRI RAHAYU, ST, M.Kom 45

  • N. Prinsip Inklusi - Eksklusi

    BABABA 2

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 46

    AB = A + B - A B

    Menghitung jumlah elemen hasil operasi beda setangkup

  • Contoh 12 :

    Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100

    yang habis dibagi 3 atau 5?

    Penyelesaian :

    A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3.

    B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5.

    A B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5

    (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh

    KPK-Kelipatan Persekutuan Terkecil-dari 3 dan 5,

    yaitu 15)

    Yang ditanyakan adalah AB.

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 47

  • Terlebih dahulu kita harus menghitung

    615/100205/100333/100 BABA

    Untuk mendapatkan

    AB = A + B - A B

    = 33 + 20 6

    = 47

    Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 48

  • ABC = A + B + C - A B - A C - B C + ABC

    Prinsip inklusi-eksklusi dapat dirampatkan untuk operasi

    lebih dari dua buah himpunan

    Contoh 13 :

    I = himpunan mhs yang mengambil kuliah Bahasa Inggris.

    P= himpunan mhs yang mengambil kuliah Bahasa Perancis.

    J = himpunan mhs yang mengambil kuliah Bahasa Jerman.

    maka

    I = 1232, P = 879, J = 114

    I P = 103, I J = 23, P J = 14,dan

    IPJ = 2092SRI RAHAYU, ST, M.Kom 49

  • Penyulihan nilai-nilai di atas pada persamaan

    IPJ = I + P + J - I P - I J - P J + IPJ

    Memberikan

    2092 = 1232 + 879 +114 103 -23 -14 + IPJ

    Sehingga

    IPJ = 7

    Jadi, ada 7 orang mhs yang mengambil ketiga buah kuliah

    Bahasa Inggris, Perancis dan Jerman.

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 50

  • Sifat-sifat Operasi Himpunan dan prinsip dualitas

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 51

  • O. Partisi

    Partisi dari sebuah himpunan A adalah

    sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1, A2,dari A

    sedemikian sehingga :

    a.

    b. Himpunan bagian Ai saling lepas, yaitu

    danAAA 21

    jiuntuk ji AA

    Contoh 13 :Misalkan

    6,5,8,7,4,3,2,18,7,6,5,4,3,2,1

    maka

    A

    Adalah partisi dari A

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 52

  • P. Pembuktian Proposisi Himpunan

    Pernyataan himpunan dapat dibuktikan denganmenggunakan :

    Diagram Venn

    Tabel keanggotaan

    Sifat aljabar/operasi himpunan

    Definisi

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 53

  • Pembuktian dengan menggunakan Diagram Venn

    Untuk membuktikan kebenaran dari pernyataanhimpunan dengan menggunakan diagram Venn :

    Gambarkan diagram Venn untuk ruas kiri dan ruaskanan kesamaan.

    Jika ternyata kedua gambar dari diagram Venn tersebut sama maka kesamaan tersebut terbuktibenar.

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 54

  • CBA

    A B

    CABA

    A B

    CC

    Contoh 14 :

    Keduanya memberikan area arsiran yang sama

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 55

  • Pembuktian dengan menggunakan tabelkeanggotaan.

    A B C BC A(BC) AB AC (AB)(A C)

    0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 1 1 0 0 0 0

    0 1 0 1 0 0 0 0

    0 1 1 1 0 0 0 0

    1 0 0 0 0 0 0 0

    1 0 1 1 1 0 1 1

    1 1 0 1 1 1 0 1

    1 1 1 1 1 1 1 1SRI RAHAYU, ST, M.Kom 56

    Contoh 15 :

  • p q p q

    T T T

    T F F

    F T F

    F F F

    p q p q

    T T T

    T F T

    F T T

    F F F

    Konjungsi Disjungsi

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 57

  • Pembuktian dengan menggunakansifat aljabar/operasi himpunan.

    ABABA

    A

    UA

    BBABABA

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 58

    Misalkan A dan B himpunan.

    Buktikan bahwa

    Contoh 16 :

    Penyelesaian :

    Distributif Komplemen Identitas

  • Pembuktian dengan menggunakan definisi.

    Membuktikan proposisi himpunan yang tidak berbentuk

    kesamaan, tetapi proposisi yang berbentuk implikasi.

    Biasanya terdapat notasi himpunan bagian atau

    Contoh 17 :

    Misalkan A dan B himpunan.

    Jika dan

    maka Buktikan !

    BA CBA

    CA

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 59

  • Q. Himpunan Ganda & Operasinya

    Pada himpunan ganda, terdapat satu anggota yang muncul lebih dari satu kali.

    Jumlah kemunculan anggota dari suatu himpunanganda disebut multiplisitas.

    Contoh 18:

    Q = { 1,1,2,2,2,4,7,8,8,9}

    Multiplisitas 2 adalah 3

    Multiplisitas 8 adalah 2

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 60

  • A. Operasi Gabungan

    Operasi gabungan pada multiset akanmenghasilkan multiplisitas anggota-anggotanyasama dengan multiplisitas maksimum anggota-anggota pada himpunan ganda.

    Contoh 19:

    S = { 1,1,2,2,2,3}

    T = { 1,1,1,2,2,3,3,4}

    ST = { 1,1,1,2,2,2,3,3,4}

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 61

  • B. Operasi Irisan

    Operasi irisan pada multiset akan menghasilkanmultiset yang multiplisitas anggota-anggotanyasama dengan multiplisitas minimum anggota-anggota pada himpunan ganda.

    Contoh 20:

    S = { 1,1,2,2,2,3}

    T = { 1,1,1,2,2,3,3,4}

    ST = { 1,1,2,2,3}

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 62

  • C. Operasi SelisihMisal S dan T adalah multiset. Operasi selisih S T akan menghasilkan multiset yang multiplisitas anggota-anggotanya ditentukan dengan cara :

    Jika multiplisitas anggota yang sama antara S dan T lebih besar pada S maka S T multiplisitas anggota yang ada pada S dikurangi multiplisitas pada T, jika selisihnya positif

    Jika multiplisitas anggota yang sama antara S dan T lebih besar pada T, maka multiplisitas anggota yang sama tersebut sama dengan 0 ( jika selisihnya nol atau negatif )

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 63

  • Contoh 21:

    S = { 1,1,2,2,2,3}

    T = { 1,1,1,2,2,3,3,4}

    S-T = { 2 }

    T-S = { 1,3,4}

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 64

  • D. Operasi Jumlah

    Misal S dan T adalah multiset. Operasi penjumlahan S + T akan menghasilkan multiset yang multiplisitas anggota-anggotanya merupakan jumlah dari multiplisitas masing-masing anggota yang sama.

    SRI RAHAYU, ST, M.Kom 65

    Contoh 22 :

    S = { 1,1,2,2,2,3}

    T = { 1,1,1,2,2,3,3,4}

    S+T = { 1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,4}