HIMPUNAN MATEMATIK
description
Transcript of HIMPUNAN MATEMATIK
-
HIMPUNAN & SIFAT-SIFAT OPERASINYA
Matematika Teknik
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 1
-
HIMPUNAN :
Kumpulan objek-objek yang berbeda danmempunyai sifat-sifat tertentu yang sama.
Setiap objek yang terdapat dalam himpunandisebut anggota atau unsur atau elemen.
Anggota-anggota himpunan ditulis dalam tandakurung kurawal.
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 2
-
A. Penyajian Himpunan
4 cara menyajikan himpunan :
Tabulasi atau enumerisasi
Simbol-simbol baku
Notasi pembentuk himpunan
(set builder)
Diagram Venn
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 3
-
1. Tabulasi atau Enumerasi
Metode tabulasi adalah cara menulisatau menyatakan himpunan denganjalan menuliskan semua anggotanya.
Jika A adalah himpunan bilangan 1,2,3,4 maka himpunan tersebut ditulis dalambentuk A = { 1, 2, 3, 4}
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 4
-
Contoh 1:
Sah-sah saja elemen-elemen di dalam himpunan tidak
mempunyai hubungan satu sama lain, asalkan berbeda.
Sebagai contoh, {kucing, a, Amir, 10, paku} adalah
himpunan yang terdiri dari lima elemen, yaitu
kucing, a, Amir, 10, paku
Contoh 2 :
K
aaaC
cacbabaR
,,
,,,,,,
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 5
-
Contoh 3:
Himpunan bilangan bulat positif ditulis sebagai
Sedangkan himpunan bilangan bulat sebagai
,3,2,1
,2,1,0,1,2,
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 6
-
B. Untuk menyatakan keanggotaan digunakan notasi :
Ax
Ax
Untuk menyatakan x merupakan anggota himpunan A
Untuk menyatakan x bukan merupakan anggota himpunan A
Contoh 4 :
KdancacbabaRA ,,,,,,,,4,3,2,1
KRa
Ra
Rcba
A
A
,,
5
3
Maka
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 7
-
2. Simbol-simbol Baku
Simbol baku yang biasa digunakan untuk
mendefinisikan himpunan yang sering
digunakan antara lain :
P = himpunan bilangan bulat positif
Z = himpunan bilangan bulat.
Q = himpunan bilangan rasional.
R = himpunan bilangan riil.
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 8
-
Kadang kita berhubungan dengan himpunan-himpunan
yang semuanya merupakan bagian dari sebuah himpunan
yang universal.
Himpunan yang universal ini disebut semesta dan
disimbolkan dengan U
Misalnya : 5,4,3,2,1U
A adalah himpunan bagian dari U, dengan 5,3,1A
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 9
-
3. Notasi Pembentuk Himpunan
Himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh anggotanya.
Notasi:{x | syarat yang harus dipenuhi x }
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 10
Aturan yang digunakan dalam penulisan syarat keanggotaan :
a. Bagian di kiri tanda | melambangkan elemen himpunan
b. Tanda | dibaca dimana atau sedemikian sehingga
c. Bagian di kanan tanda | menunjukkan syarat keanggotaan
himpunan
d. Setiap tanda , di dalam syarat keanggotaan dibaca
sebagai dan
-
A adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil dari 5,
dinyatakan sebagai
A = { x | x adalah himpunan bilangan bulat positif lebih
kecil dari 5}
Atau dalam notasi yang lebih ringkas :
A = { x | x P, x < 5 }
Yang sama dengan
A = { 1, 2, 3, 4 }
Contoh 5 :
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 11
-
4. Diagram Venn
Diagram Venn menyajikan himpunansecara grafis.
Diagram Venn terdiri dari himpunanatau himpunan-himpunan yang dilambangkan dengan lingkaran danhimpunan semesta dilambangkandengan persegi panjang.
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 12
-
Contoh 6:
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
A = {1, 2, 3, 5 }
B = {2, 5, 6, 8 }
U atau S mempunyai anggota bilangan asli < 9
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 13
U A B
1
3
2
5
8
6
4
7
-
C. Kardinalitas
Kardinalitas menunjukan jumlah anggota suatu himpunan.
Jika terdapat himpunan A, maka kardinal A ditulis dengan lambang n (A) atau |A|
Contoh : A={x | x bilangan prima, x 10}
A={2, 3, 5, 7 }
maka |A| = 4
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 14
-
D. Himpunan Kosong
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinal = 0.
Himpunan kosong dilambangkan dengan atau { }.
Contoh :
P= {orang Indonesia yang pernah ke bulan},
maka |P| = 0
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 15
-
E. Himpunan Bagian (subset)
Sebuah himpunan dapat merupakan bagian dari himpunan lain.
Anggota yang terkandung pada himpunan tersebut juga terkandung pada himpunan yang lain.
Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B.
Notasi : A B
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 16
-
Diagram Venn Himpunan Bagian
5,4,3,2,13,2,1 SRI RAHAYU, ST, M.Kom 17
1 2
34 5
-
Suatu himpunan merupakan himpunan bagian dari himpunan itu sendiri. Jika terdapat suatu himpunan A, maka berlaku A A.
Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari suatu himpunan.Jika terdapat himpunan kosong dan himpunan A, maka berlaku A.
Jika A B dan B C, maka A C
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 18
-
F. Himpunan yang Sama
Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika A adalah himpunan bagian B dan B merupakan himpunan bagian A.
Dengan menggunakan lambang matematika.
A = B A B dan B A
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 19
-
Himpunan yang Sama
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 20
3,2,1A
1,2,3B
Jika
Dan
Maka A = B
Karena urutan elemen di dalam himpunan tidak penting
Contoh 7 :
-
G. Himpunan yang Ekivalen
Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal A = kardinal B.
Dengan menggunakan lambang matematika,
A B A = B
4~,,,,7,5,3,1 BAsebabBAmakadcbaBdanAJika
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 21
Contoh 8 :
-
H. Himpunan Saling Lepas
Himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika keduanya tidak mempunyai anggota yang sama.
Dalam bentuk lambang dapat ditulis :
A // B.
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 22
-
Diagram Venn Himpunan Saling Lepas
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 23
-
I. Himpunan Kuasa
Himpunan kuasa (power set) adalah suatu himpunan A yang anggota-anggotanya merupakan suatu himpunan bagian A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A itu sendiri.
Himpunan kuasa dari himpunan A dilambangkan dengan :
P (A) atau 2A
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 24
-
Contoh 9 :
Jika 2,1A
Maka 2,1,2,1, A
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 25
-
J. Operasi Thdp Himpunan
1. Irisan (intersection) Irisan dari himpunan A dan B adalah
himpunan semua unsur yang termasukdi dalam A dan di dalam B.
Irisan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan A B.
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 26
-
Diagram Venn Operasi Irisan
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 27
-
2. Gabungan (union)
Gabungan himpunan A dan himpunan B adalah semua unsur yang termasuk di dalam A atau di dalam B.
Gabungan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan A B.
A B ={X:x A, x B, atau x AB }
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 28
-
Diagram Venn Operasi Gabungan
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 29
-
3. Komplemen (complement)
Himpunan komplemen adalahhimpunan semua unsur yang tidaktermasuk dalam himpunan yang diberikan.
Jika himpunannya A maka himpunankomplemennya dilambangkan A atau
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 30
-
Diagram Venn Komplemen
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 31
U
A
A
-
4. Selisih (difference)
Selisih himpunan A dan B adalah semua unsur A yang tidak termasuk di dalam B.
Selisih himpunan A dan himpunan B dilambangkan A B atau A B
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 32
-
Diagram Venn Operasi Selisih
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 33
-
5. Beda Setangkup (symmetric difference)
Beda setangkup himpunan A danhimpunan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya hanyamerupakan anggota himpunan A sajaatau B saja.
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 34
ABBABABABA
-
Diagram Venn Beda Setangkup
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 35
-
6. Perkalian Kartesian
Jika terdapat himpunan A dan himpunan B maka perkalian kartesian A x B adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan pasangan terurut dengan komponen pertama berasal dari himpunan A dan komponen kedua berasal dari himpunan B.
A x B ={(a,b) | a A dan b B }
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 36
-
Contoh 10 : Perkalian Kartesian
Misal : C = { 1, 2, 3 }
D = { a, b }
Maka : C x D = {(1,a) ,(1,b) ,(2,a) ,(2,b),
(3,a) , (3,b)}
Pasangan berurut (a,b) berbeda dengan (b,a), dengan kata lain (a,b) (b,a)
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 37
-
Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A x B B x A, dengan syarat A atau B tidak kosong
Jika A = atau B = ,
maka A x B = B x A =
Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka : |A x B | = | A | . | B |
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 38
-
K. Perampatan Operasi Himpunan
Operasi himpunan dapat dilakukan thdp 2 atau
lebih himpunan.
i
n
in
i
n
in
i
n
in
i
n
in
AAAA
AAAA
AAAA
AAAA
121
121
121
121
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 39
-
Contoh 11 :
Misalkan :
9,3,0,1
6,3,2,1
3,2,0
3
2
1
A
A
A
Maka,
9,6,3,2,1,0,133
1
3
1
ii
ii
AdanA
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 40
-
No Hukum
1 (i)
(ii)
2 Dominasi
3 Komplemen
4 Idempoten
Identitas
(i)
(ii)
(i)
(ii)
(i)
(ii)
L. Hukum-hukum Aljabar Himpunan
AA
AA
U
UA
A
U
AA
UAA
AAA
AAA
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 41
-
5 Involusi
6 Penyerapan
7 Komutatif
8 Asosiatif
AA
ABAA
ABAA
ABBA
ABBA
CBACBA
CBACBA
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 42
-
9 Distributif
10 De Morgen
11
CABACBA
CABACBA
BABA
BABA
U
U
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 43
Hukum 0/1
Kompl. 2
-
M. Prinsip Dualitas
1 Identitas : Dualnya :
2 Dominasi : Dualnya :
3 Komplemen : Dualnya :
4 Idempoten : Dualnya :
A A
A
UAA
AAA
AU A
UUA
AA
AAA SRI RAHAYU, ST, M.Kom 44
-
5 Penyerapan : Dualnya :
6 Komutatif : Dualnya :
7 Asosiatif : Dualnya :
8 Distributif : Dualnya :
9 De Morgan : Dualnya :
10 Hukum 0/1 Dualnya :
AA BA AA BA
ABBA ABBA
CBACBA CBACBA
CABACBA CABACBA
BABA BABA
U USRI RAHAYU, ST, M.Kom 45
-
N. Prinsip Inklusi - Eksklusi
BABABA 2
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 46
AB = A + B - A B
Menghitung jumlah elemen hasil operasi beda setangkup
-
Contoh 12 :
Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100
yang habis dibagi 3 atau 5?
Penyelesaian :
A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3.
B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5.
A B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5
(yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh
KPK-Kelipatan Persekutuan Terkecil-dari 3 dan 5,
yaitu 15)
Yang ditanyakan adalah AB.
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 47
-
Terlebih dahulu kita harus menghitung
615/100205/100333/100 BABA
Untuk mendapatkan
AB = A + B - A B
= 33 + 20 6
= 47
Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 48
-
ABC = A + B + C - A B - A C - B C + ABC
Prinsip inklusi-eksklusi dapat dirampatkan untuk operasi
lebih dari dua buah himpunan
Contoh 13 :
I = himpunan mhs yang mengambil kuliah Bahasa Inggris.
P= himpunan mhs yang mengambil kuliah Bahasa Perancis.
J = himpunan mhs yang mengambil kuliah Bahasa Jerman.
maka
I = 1232, P = 879, J = 114
I P = 103, I J = 23, P J = 14,dan
IPJ = 2092SRI RAHAYU, ST, M.Kom 49
-
Penyulihan nilai-nilai di atas pada persamaan
IPJ = I + P + J - I P - I J - P J + IPJ
Memberikan
2092 = 1232 + 879 +114 103 -23 -14 + IPJ
Sehingga
IPJ = 7
Jadi, ada 7 orang mhs yang mengambil ketiga buah kuliah
Bahasa Inggris, Perancis dan Jerman.
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 50
-
Sifat-sifat Operasi Himpunan dan prinsip dualitas
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 51
-
O. Partisi
Partisi dari sebuah himpunan A adalah
sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1, A2,dari A
sedemikian sehingga :
a.
b. Himpunan bagian Ai saling lepas, yaitu
danAAA 21
jiuntuk ji AA
Contoh 13 :Misalkan
6,5,8,7,4,3,2,18,7,6,5,4,3,2,1
maka
A
Adalah partisi dari A
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 52
-
P. Pembuktian Proposisi Himpunan
Pernyataan himpunan dapat dibuktikan denganmenggunakan :
Diagram Venn
Tabel keanggotaan
Sifat aljabar/operasi himpunan
Definisi
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 53
-
Pembuktian dengan menggunakan Diagram Venn
Untuk membuktikan kebenaran dari pernyataanhimpunan dengan menggunakan diagram Venn :
Gambarkan diagram Venn untuk ruas kiri dan ruaskanan kesamaan.
Jika ternyata kedua gambar dari diagram Venn tersebut sama maka kesamaan tersebut terbuktibenar.
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 54
-
CBA
A B
CABA
A B
CC
Contoh 14 :
Keduanya memberikan area arsiran yang sama
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 55
-
Pembuktian dengan menggunakan tabelkeanggotaan.
A B C BC A(BC) AB AC (AB)(A C)
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1SRI RAHAYU, ST, M.Kom 56
Contoh 15 :
-
p q p q
T T T
T F F
F T F
F F F
p q p q
T T T
T F T
F T T
F F F
Konjungsi Disjungsi
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 57
-
Pembuktian dengan menggunakansifat aljabar/operasi himpunan.
ABABA
A
UA
BBABABA
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 58
Misalkan A dan B himpunan.
Buktikan bahwa
Contoh 16 :
Penyelesaian :
Distributif Komplemen Identitas
-
Pembuktian dengan menggunakan definisi.
Membuktikan proposisi himpunan yang tidak berbentuk
kesamaan, tetapi proposisi yang berbentuk implikasi.
Biasanya terdapat notasi himpunan bagian atau
Contoh 17 :
Misalkan A dan B himpunan.
Jika dan
maka Buktikan !
BA CBA
CA
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 59
-
Q. Himpunan Ganda & Operasinya
Pada himpunan ganda, terdapat satu anggota yang muncul lebih dari satu kali.
Jumlah kemunculan anggota dari suatu himpunanganda disebut multiplisitas.
Contoh 18:
Q = { 1,1,2,2,2,4,7,8,8,9}
Multiplisitas 2 adalah 3
Multiplisitas 8 adalah 2
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 60
-
A. Operasi Gabungan
Operasi gabungan pada multiset akanmenghasilkan multiplisitas anggota-anggotanyasama dengan multiplisitas maksimum anggota-anggota pada himpunan ganda.
Contoh 19:
S = { 1,1,2,2,2,3}
T = { 1,1,1,2,2,3,3,4}
ST = { 1,1,1,2,2,2,3,3,4}
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 61
-
B. Operasi Irisan
Operasi irisan pada multiset akan menghasilkanmultiset yang multiplisitas anggota-anggotanyasama dengan multiplisitas minimum anggota-anggota pada himpunan ganda.
Contoh 20:
S = { 1,1,2,2,2,3}
T = { 1,1,1,2,2,3,3,4}
ST = { 1,1,2,2,3}
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 62
-
C. Operasi SelisihMisal S dan T adalah multiset. Operasi selisih S T akan menghasilkan multiset yang multiplisitas anggota-anggotanya ditentukan dengan cara :
Jika multiplisitas anggota yang sama antara S dan T lebih besar pada S maka S T multiplisitas anggota yang ada pada S dikurangi multiplisitas pada T, jika selisihnya positif
Jika multiplisitas anggota yang sama antara S dan T lebih besar pada T, maka multiplisitas anggota yang sama tersebut sama dengan 0 ( jika selisihnya nol atau negatif )
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 63
-
Contoh 21:
S = { 1,1,2,2,2,3}
T = { 1,1,1,2,2,3,3,4}
S-T = { 2 }
T-S = { 1,3,4}
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 64
-
D. Operasi Jumlah
Misal S dan T adalah multiset. Operasi penjumlahan S + T akan menghasilkan multiset yang multiplisitas anggota-anggotanya merupakan jumlah dari multiplisitas masing-masing anggota yang sama.
SRI RAHAYU, ST, M.Kom 65
Contoh 22 :
S = { 1,1,2,2,2,3}
T = { 1,1,1,2,2,3,3,4}
S+T = { 1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,4}