Himpunan.pdf

8/11/2019 Himpunan.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/himpunanpdf 1/37

MATERI POKOK I

PENGANTAR TEORI HIMPUNAN

MAM 112

DAFTAR ISI

Halaman

1. Pengantar 22. Kompetensi Dasar 23. Tujuan Pembelajaran 24. Indikator 35.

Kegiatan belajar 35.1 Pengertian Himpunan 35.2 Keanggotaan Himpunan dan Bilangan Kardinal 65.3 Penyajian Himpunan 65.4 Macam-macam Himpunan 95.5 Relasi pada Himpunan 145.6 Operasi pada Himpunan 185.7 Sifat-sifat Operasi pada Himpunan 31

6.

Latihan 347. Daftar Pustaka 37



Bab 1: Pengantar Teori Himpunan

Buku Ajar 3

o Mahasiswa dapat menyebutkan macam-macamhimpunan, serta menentukan hubungan antar himpunan

4.

Indikator

o Menyebutkan pengertian himpunan, dan menentukanbilangan kardinal dari suatu himpunan.

o Menyajikan himpunan dalam berbagai cara penyajianhimpunan.

o Menyebutkan macam-macam himpunan, danmenentukan hubungan antar himpunan.

5.

Kegiatan Belajar

5.1 Pengertian Himpunan

Konsep tentang himpunanpertama kali dikemu-kakan oleh

ahli matematika berkebangsaan Jerman, yaitu George Cantor (1845 – 1918). Pada waktu itu konsepyang dikemukakannya masihkurang mendapat perhatian dariahli matematika lainnya, namunpada tahun 1920-an konsephimpunan ini mulai digunakan George Cantor

sebagai landasan matematika. Bahkan sekarang setiapcabang matematika meng-gunakan konsep himpunansebagai dasar/landasan dalam pengembangannya.

Apa yang dimaksud dengan himpunan? Istilahhimpunan dalam matematika berasal dari kata “set” dalam bahasa Inggris. Kata lain yang sering digunakanuntuk menyatakan himpunan antara lain kumpulan,kelas, gugus, dan kelompok. Secara sederhana, arti darihimpunan adalah kumpulan objek-objek (real atau




Buku Ajar 4

abstrak). Sebagai contoh kumpulan buku-buku,kumpulan materai, kumpulan mahasiswa di kelasmu,dan sebagainya.

Objek-objek yang dimasukan dalam satu kelompokharuslah mempunyai sifat-sifat tertentu yang sama. Sifattertentu yang sama dari suatu himpunan harusdidefinisikan secara tepat, agar kita tidak salahmengumpulkan objek-objek yang termasuk dalamhimpunan itu.

Dengan kata lain, himpunan dalam pengertianmatematika objeknya/ anggotanya harus tertentu ( welldefined ), jika tidak ia bukan himpunan. Dengandemikian, kata himpunan atau kumpulan dalampengertian sehari-hari ada perbedaannya denganpengertian dalam matematika. Jika kumpulan ituanggotanya tidak bisa ditentukan, maka ia bukanhimpunan dalam pengertian matematika. Demikian jugadengan konsep himpunan kosong dalam matematika,tidak ada istilah tersebut dalam pengertian sehari-hari.

Contoh kumpulan yang bukan himpunan dalampengertian matematika adalah sebagai berikut :1) Kumpulan bilangan2) Kumpulan lukisan indah3) Kumpulan makanan lezat

Pada contoh di atas tampak bahwa dalam suatukumpulan ada objek. Objek tersebut bisa abstrak ataubisa juga kongkrit. Pengertian abstrak sendiri berartihanya dapat dipikirkan (dalam dunia rasio), sedangkanpengertian kongkrit selain dapat dipikirkan mungkin iabisa dilihat, dirasa, diraba, atau dipegang. Pada contoh(1) objeknya adalah bilangan (abstrak). Objek tersebutbelum tertentu, sebab kita tidak bisa menentukanbilangan apa saja yang termasuk dalam himpunantersebut. Pada contoh (2) dan (3), masing-masingobjeknya adalah lukisan dan makanan, jadi ia kongkrit.Namun demikian kedua objek tersebut belum tertentu ,




Buku Ajar 5

sebab sifat indah dan lezat adalah relatif, untuk setiaporang bisa berlainan.

Sekarang marilah kita pelajari contoh kumpulan yangmerupakan himpunan dalam pengertian matematika.1) Kumpulan bilangan cacah2) Kumpulan bilangan asli kurang dari 203) Kumpulan warna pada bendera RI4) Kumpulan binatang berkaki dua5) Kumpulan manusia berkaki lima

Pada kelima contoh di atas kumpulan tersebut memilikiobjek (abstrak atau kongkrit), dan semua objek padahimpunan tersebut adalah tertentu atau dapatditentukan. Pada contoh (1), (2), dan (3) objeknyaabstrak, sedangkan pada contoh (4) dan (5) objeknyakongkrit. Khusus untuk contoh (5) banyaknya anggota0 (nol), jadi ia tertentu juga. Untuk hal yang terakhir inibiasa disebut himpunan kosong ( empty set ), suatu konsephimpunan yang didefinisikan dalam matematika.Pembicaraan lebih rinci mengenai himpunan kosong iniakan dibahas pada bagian lain.

Terkait dengan pengertian himpunan, berikut adalah hal-hal yang harus anda cermati dan ingat, yaitu :

Objek-objek dalam suatu himpunan mestilahberbeda, artinya tidak terjadi pengulangan penulisanobjek yang sama. Sebagai contoh, misalkan A = {a,c, a, b, d, c }. Himpunan A tersebut tidak dipandangmempunyai jumlah anggota sebanyak 6, tetapihimpunan tersebut dipandang sebagai A ={a, c, b, d }dengan jumlah anggota sebanyak 4.

Urutan objek dalam suatu himpunan tidaklahdipentingkan. Maksudnya himpunan {1, 2, 3, 4}dan {2, 1, 4, 3} menyatakan himpunan yang sama.




Buku Ajar 6

5.2 Keanggotaan Himpunan dan BilanganKardinal

Suatu himpunan lazimnya dinyatakan dengan hurufkapital, seperti A, B, C , D , …, dan untuk menyatakanhimpunan itu sendiri dinotasikan dengan tanda kurawal( aqulade ). Objek yang dibicarakan dalam himpunantersebut dinamakan anggota (elemen, unsur). Anggota-anggota dari suatu himpunan dinyatakan dengan hurufkecil atau angka-angka dan berada di dalam tanda

kurawal. Tanda keanggotaan dinotasikan dengan ,sedangkan tanda untuk bukan anggota dinotasikan

dengan . Jika x adalah anggota dari A maka dapatditulis x A, dan jika y bukan anggota himpunan A maka ditulis dengan y A.

Banyaknya anggota dari suatu himpunan disebut dengankardinal (bilangan kardinal) himpunan tersebut. Jika A adalah suatu himpunan, maka banyaknya anggota dari A ( bilangan kardinal A ) ditulis dengan notasi n ( A ) atau│ A│

Contoh 1. A = {a, b, c, d, e, f }, maka n ( A ) = 6

5.3 Penyajian Himpunan

Ada empat cara atau metode untuk menyatakan(menuliskan) suatu himpunan, yaitu :

1.

Cara TabulasiCara ini sering disebut juga dengan cara pendaftaran( roster method ) atau enumerasi, yaitu cara menyatakansuatu himpunan dengan menuliskan anggotanya satuper satu. Untuk membedakan anggota yang satudengan yang lainnya digunakan tanda koma (,). Jikabanyaknya anggota himpunan itu cukup banyak atautak hingga, untuk menyingkat tulisan lazimnyadengan menggunakan tanda titik tiga yang berarti




Buku Ajar 7

dan seterusnya, asal aturannya sudah tampak padapernyataan anggota yang telah dituliskan.Cara tabulasi bisa digunakan jika anggota dari

himpunan itu bisa ditunjukan satu persatu (diskrit),misalnya :a. A = {0, 1, 2, 3, 4, ...}b. B = {0, 1, 4, 9, 16, ..., 100}c. C = {merah, putih, kuning, biru, hijau}

Pada contoh (a) banyak anggota dari himpunan A adalah tak hingga sehingga tidak mungkin dituliskansemua anggotanya satu persatu, oleh karena itu

digunakan titik tiga setelah aturan (pola) bilanganyang disajikan dapat dilihat. Perhatikan bahwa kitatidak boleh menuliskan seperti A = {0, ...} atau A ={0, 1, ...} untuk contoh (a) sebab belum tampakpolanya. Penulisan seperti itu bisa mengandunginterpretasi lain, sehingga tidak sesuai dengan yangdimaksudkan.

Pada contoh (b), juga digunakan tanda titik tigakarena banyak anggotanya cukup banyak dan aturan

bilangannya sudah tampak, yaitu kuadrat daribilangan cacah. Kardinal dari setiap himpunan di

atas adalah n ( A ) = , n ( B ) = 11, dan n ( C ) = 5.

2. Cara Pencirian/deskripsiCara ini dikenal juga dengan “rule method ” ataumetode aturan, atau disebut juga metode pembentukhimpunan. Dalam menggunakan metode deskripsiini, anggota dari suatu himpunan tidak disebutkansatu per satu, tetapi penyajian anggota himpunannyadilakukan dengan mendefinisikan suatuaturan/rumusan yang merupakan batasan bagianggota-anggota himpunan. Himpunan yanganggotanya diskrit dapat disajikan dengan caradeskripsi ini, akan tetapi suatu himpunan yanganggotanya kontinu hanya bisa disajikan dengan caradeskripsi, dan tidak bisa disajikan dengan caratabulasi.




Buku Ajar 8

Contoh 2.a. A = adalah himpuan bilangan cacah yang lebih

besar dari 2 dan kecil dari 9.

Himpunan A, jika disajikan dengan cara tabulasididapat :

A = {3, 4, 5, 6. 7, 8}sedangkan jika disajikan dengan menggunakanmetode deskripsi didapat : A = {x | 2 < x < 9,x bilangan cacah}

b. B = {x | 2 < x < 9, x bilangan real}. Himpuantersebut tidak bisa disajikan dengan cara tabulasi,karena anggotanya kontinu.

Kedua himpunan tersebut memiliki kardinalitas yang

berbeda, yaitu n( A ) = 6 sedangkan n( B ) = .

3. Simbol-simbol BakuBeberapa himpunan yang khusus dituliskan dengansismbol-simbol yang sudah baku. Terdapat sejumlahsimbol baku yang menyatakan suatu himpunan, yangbiasanya direpresentasikan dengan menggu-nakanhuruf kapital dan dicetak tebal. Berikut adalahcontoh-contoh himpunan yang dinyatakan dengansimbol baku, yang sering kita dijumpai, yaitu :N = himpunan bilangan asli = {1, 2, 3, ...}P = himpunan bilangan bulat positif = {1, 2, 3, ...}Z = himpunan bilangan bulat {...,-2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}Q = himpunan bilangan rasional

= himpunan bilangan riilC = himpunan bilangan kompleks

4.

Diagram VennDiagram venndiperkenalkan oleh John Venn (1834 – 1923) ahlilogika berkebangsaanInggris. Dalam diagram venn himpunan semesta Sdi-gambarkan denganpersegi panjang, sedangkanuntuk himpunan lainnya John Venn




Buku Ajar 9

digambarkan dengan lengkungan tertutup sederhana,dan anggotanya digambarkan dengan noktah. Anggota dari suatu himpunan digambarkan dengan

noktah yang terletak di dalam di dalam daerahlengkungan tertutup sederhana itu, atau di dalampersegi panjang untuk anggota yang tidak termasukdi dalam himpunan itu.

Contoh 3.S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {1, 2, 5} ; B = {3, 4, 7, 8}

2

1

5

3

4 7

8

6

9

0

10

A BS

Gambar 1.1

Pada pembahasan berikutnya, seringkali representasinoktah tidak digambarkan dalam Diagram Venn.

5.4 Macam-macam Himpunan

Berikut ini disajikan beberapa konsep berkenaandengan himpunan yang didefinisikan dalam

matematika.

1. Himpunan kosong Definisi.Suatu himpunan A dikatakan himpunan kosong jikadan hanya jika n ( A ) = 0.

Himpunan kosong dilambangkan dengan (dibaca

phi ). Karena bilangan kardinal dari sama dengan

nol, maka himpunan tidak mempunyai anggota,




Buku Ajar 10

sehingga = { }. Pengertian jika dan hanya jika pada definisi di atas berarti : “jika A himpunankosong ”, maka n ( A ) = 0. Sebaliknya, jika n ( A ) = 0maka A adalah himpunan kosong.Berikut disajikan beberapa contoh tentanghimpunan kosong.a. A = himpunan mahasiswa Jurusan Statistika

Unisba anggkatan 2009/2010 yang mempunyaitinggi badan di atas 3 meter.

b. B = {x | 2 < x < 3, x bilangan bulat}c. C = {x | x bilangan prima kelipatan 6}d. D = {x | x 2 < 0, x bilangan real}

2. Himpunan Semesta Definisi.Himpunan semesta S adalah himpunan yangmemuat semua anggota himpunan yang dibicarakan.

Jika anda cermati definisi di atas, tampak bahwasuatu himpunan tertentu merupakan himpunansemesta bagi dirinya sendiri. Himpunan semestadari suatu himpunan tertentu tidaklah tunggal, tetapimungkin lebih dari satu. Coba anda perhatikancontoh berikut :

Misalkan A = {b, c, d }, maka himpunan semesta dari A antara lain adalah :S 1= {b, c, d }S 2= {a, b, c, d }S 3= {a, b, c, d, e }

S 4= {a, b, c, d, e, f }

Dari contoh di atas, jelas bahwa himpunan semestadari suatu himpunan tidaklah tunggal. Suatuhimpunan bisa merupakan himpunan semesta bagihimpunan tertentu asalkan semua anggota darihimpunan tertentu itu menjadi anggota darihimpunan semesta.




Buku Ajar 11

3. Himpunan Terhingga dan Tak-hingga Ditinjau dari kardinalnya, himpunan dapatdigolongkan menjadi dua macam yaitu himpunan

terhingga dan himpunan tak-hingga. Istilahhimpunan terhingga berasal dari kata dalam bahasainggris, yaitu finite set . Sedangkan himpunan tak-hingga terjemahan dari infinite set atau transfinite set .

Definisi.Himpunan A dinamakan himpunan terhingga jika

dan hanya jika n ( A ) = c , dengan c {bilangancacah}.

Himpunan B dinamakan himpunan tak-hingga jikadan hanya jika n ( B ) = .

Suatu himpunan terhingga banyak anggotanya dapatdinyatakan dengan suatu bilangan cacah tertentu.

Dengan demikian = { } adalah merupakan

himpunan terhingga, sebab n( ) = 0. Jikabanyaknya anggota dari suatu himpunan tertentutidak bisa dinyatakan dengan bilangan cacah tertentu

maka himpunan tersebut banyak anggotanya takhingga. Himpunan ini dinamakan himpunan tak

hingga. Perhatikan bahwa notasi tidak meyatakanbilangan, ia hanya menyatakan suatu konsepmatematika yang banyaknya tak hingga atauketakhinggaan.

Untuk lebih memahami pengertian himpunanterhingga dan tak-hingga, coba anda perhatikancontoh-contoh berikut.

Contoh himpunan terhingga.

a.

= { }b. A = {a, c, e, f, h }c. B = {1, 3, 5, 7, 9, ..., 19}d. C = {x | x nama bulan dalam setahun}

Dari contoh di atas, tampak bahwa kardinal darisetiap himpunan dapat dinyatakan dengan bilangan




Buku Ajar 12

cacah tertentu, yakni n ( ) = 0, n ( A ) = 5, n ( B ) = 10,dan n ( C ) = 12.

Contoh himpunan tak-hingga.a. P = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}b. Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}c. R = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ...}d. S = {2, 4, 6 8, 10, 12, 14, ...}

Dari contoh-contoh di atas, tampak bahwa kardinaldari setiap himpunan tidak dapat dinyatakan denganbilangan cacah tertentu. Kardinal himpunan-

himpunan itu adalah tak hingga, dan dinyatakandengan .

4. Himpunan Terbilang dan Himpunan Tak-terbilang

Istilah terbilang adalah terjemahan dari countable ataudenumerable , sedangkan tak-terbilang terjemahan dariuncountable atau non-denumerable . Pengertian terbilangdimaksudkan sebagai dapat ditunjukkan (dihitung)satu per satu. Jadi ia diskrit. Sedangkan tak-terbilang menyatakan kondisi yang berlawanan, yaitutidak dapat dihitung satu per satu. Jadi ia kontinu.Dengan demikian himpunan terbilang adalahhimpunan yang anggota-anggotanya dapatditunjukkan satu per satu, sedangkan himpunan tak-terbilang adalah himpunan yang anggota-anggotanyatidak bisa disebutkan satu per satu.

Dengan pengertian tersebut di atas, semuahimpunan terhingga (kecuali himpunan kosong)adalah himpunan terbilang. Tetapi tidak setiaphimpunan terbilang merupakan himpunan terhingga,himpunan terbilang dapat saja merupakan himpunantak-terhingga. Semua himpunan tak-terbilang adalahhimpunan tak-terhingga, tetapi tidak setiaphimpunan tak-terhingga merupakan himpunan tak-terbilang sebab ada juga yang terbilang.




Buku Ajar 13

Untuk lebih memahami pengertian-pengertiantersebut, coba anda perhatikan contoh-contohberikut.

a.

A = {a, c, e, f }Himpunan A termasuk pada himpunanterhingga, sebab n ( A ) = 4. Ia juga termasukpada himpunan terbilang, sebab setiapanggotanya dapat ditunjukan satu per satu.

b. B = {4, 8, 12, 16, 20, 24, ...}Himpunan B termasuk pada himpunan terbilangsebab anggota-anggotanya dapat ditunjukan satuper satu (diskrit), tetapi ia bukan terhingga.

Himpunan B tak-hingga.c. C = {x | 0 < x < 1, x bilangan real}Himpunan C termasuk pada himpunan tak-terbilang sebab anggota anggotanya tidak dapatditunjukan satu per satu (kontinu), juga iamerupakan himpunan tak-hingga.

5. Himpunan Terbatas dan Himpunan Tak-terbatas

Himpunan terbatas ( bounded set ) adalah himpunanyang mempunyai batas di sebelah kiri dan batas disebelah kanan. Himpunan yang mempunyai batas disebelah kiri saja disebut himpunan terbatas kiri, jikaia hanya mempunyai batas di sebelah kanan disebuthimpunan terbatas kanan. Sedangkan himpunanyang tidak mempunyai batas di sebelah kiri dansebelah kanan disebut himpunan tak-terbatas.

Pembicaraan mengenai himpunan ini, biasanyaberanggotakan bilangan. Batas sebelah kiri disebutbatas bawah, sedangkan batas di sebelah kanandisebut batas atas . Unsur yang menjadi batas itu bisamerupakan anggota dari himpunan bisa juga bukanmerupakan anggota himpunan. Pada himpunanberhingga yang disajikan dengan cara tabulasi,anggota terbesar merupakan batas atasnya dananggota terkecil merupakan batas bawahnya. Padahimpunan yang disajikan dengan cara deskripsi,




Buku Ajar 14

batas atas atau batas bawahnya belum tentumerupakan anggota dari himpunan itu.

Coba anda perhatikan contoh berikut.a. I = {2, 4, 6, 8, 10}

Himpunan I mempunyai batas bawah 2 danbatas atas 10, kedua batas itu merupakananggota dari himpunan I.

b. J = {x | 0 < x ≤ 1, x bilangan real}Himpunan J mempunyai batas bawah 0 danbatas atas 1, 0 bukan merupakan anggota Jsedangkan 1 merupakan anggota dari J.

c.

K = {x | 5 < x < 6, x bilangan real}Himpunan K mempunyai batas bawah 5 danbatas atas 6, dengan 5 dan 6 keduanya bukanmerupakan anggota K.

d. L = {x | x < 2, x bilangan real}Himpunan L adalah himpunan terbatas kanandengan batas atas 2, dan 2 bukan anggota L.

e. M = {x | x ≥ 5, x bilangan bulat}Himpunan M adalah himpunan terbatas kiridengan batas bawah 5, dan 5 anggota M.

f.

N = {x | - < x < , x bilangan real}Himpunan N adalah himpunan tak-terbatas.

5.5 Relasi pada Himpunan

1. Himpunan yang samaDefinisi.Dua buah himpunan A dan B dikatakan sama ,

A = B, jika dan hanya jika setiap anggota di A merupakan anggota di B, dan juga setiap anggota diB merupakan anggota di A.

Pada definisi di atas, digunakan perkataan jika danhanya jika, ini mengandung arti bahwa :(1) jika himpunan A sama dengan B, maka setiap

anggota di A meru-pakan anggota di B, dan(2) jika terdapat dua himpunan sedemikian hingga

setiap anggota pada himpunan pertama




Buku Ajar 15

merupakan anggota pada himpunan kedua dansetiap anggota pada himpunan kedua merupakananggota pada himpunan pertama, maka

dikatakan bahwa kedua himpunan itu sama.

Contoh 4. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} danB = {x | x < 10, x bilangan cacah}Himpunan B jika dituliskan dengan metode tabulasimaka di dapat B ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}Dengan memperhatikan anggota-anggota pada A dan B, maka jelas bahwa A = B.

Contoh 5.Misalkan C = {a, b, c, d } dan D = { c, a, d, b }. Jelasbahwa setiap anggota di C merupakan anggota di D dan setiap anggota di D merupakan anggota di C .Dengan demikian bahwa C = D .Sekarang misalakan E = {c, a, b }. Meskipun setiapanggota di E merupakan anggota di C , akan tetapitidak setiap anggota di C merupakan anggota di E.Dengan demikian C ≠ E.

2. Himpunan bagianDefinisi. A dikatakan himpunan bagian dari B, A B, jika danhanya jika setiap anggota di A merupakan anggota diB.

Jika A B digambarkan dengan menggunakandiagram venn, maka didapatkan sebagai berikut.

S

A

B

Gambar 1.2 A B




Buku Ajar 16

Sebagai contoh bahwa {c, a, b } {c, d, b, a } dan{2, 4, 6, 8} {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}. Andapastinya juga setuju bahwa A B adalah ekivalendengan B A. Penulisan B A lazimnyadimaknai sebagai B superset dari A.

Definisi. A dikatakan himpunan bagian sejati ( proper subset )

dari B, A B, jika dan hanya jika setiap anggota di A merupakan anggota di B dan paling sedikitterdapat satu anggota di B yang bukan merupakan

anggota A.

Sebagai contoh, perhatikan bahwa

{1, 2, 3, 4} {0, 1, 2, 3, 4, 5} akan tetapi{a, b, c } {c, a, b }.

3. Himpunan lepas A dan B dikatakan lepas ( disjoint ) jika dan hanya jikatidak terdapat anggota bersama pada A dan B, atau

dengan kata lain A dan B dikatakan lepas jika A B= . Simbol A B menyatakan irisan dari A dan B, bahasan lebih lengkap tentang irisan antaradua himpunan bisa anda pelajari pada bab 2.Berikut adalah deskripsi dari A lepas dengan B.

S

A

B

Gambar 1.3




Buku Ajar 17

Contoh 6.Misalkan A = {a, b, c, d, e } dan B = { f, h, i, j, k}

maka didapatkan bahwa A B = .

Karena A B = maka A dan B merupakanhimpunan yang lepas.

4. Himpunan bersilangan

A bersilangan dengan B jika dan hanya jika A B

, atau dengan kata lain irisan dari kedua himpunantersebut tidak kosong. Berikut adalah deskripsi dari A bersilangan dengan B.

Gambar 1.4 A B

Contoh 7.Misalkan A = {d, e, f, h, i, j, k} dan B = {a, b, c, d, e, f,

h } maka didapatkan bahwa A B = {d, e, f, h }.

Karena A B = {d, e, f, h } ≠ maka A dan B merupakan himpunan yang bersilangan.

5. Himpunan ekivalenDefinisi. A ekivalen dengan himpunan B, A~B, jika dan

hanya jika banyaknya anggota dari A sama denganbanyaknya anggota B, atau n ( A ) = n ( B ).

Contoh 8. A = { 2, 3, 5, 7, 11, 13 }B = { a , b, c, d, e, f }n ( A ) = 6n ( B ) = 6Maka A ~ B




Buku Ajar 18

6. Himpunan Kuasa (Power Set )Himpunan Kuasa dari himpunan A, P ( A ), adalahsuatu himpunan yang anggotanya merupakan semua

himpunan bagian dari A, termasuk himpunankosong dan himpunan A sendiri.

Contoh 9.

A = {a, b, c }. Himpunan bagian dari A adalah ,{a }, {b }, {c }, {a, b }, {a, c }, {b, c }, {a, b, c }.

Sehingga P(A) = { , {a }, {b }, {c }, {a, b }, {a, c }, {b,c }, {a, b, c }}

5.6 Operasi pada himpunan

1. Irisan (intersection ) Irisan dari A dan B, A B, adalah himpunan yanganggota-anggotanya merupakan anggota dari himpunan A dan sekaligus anggota himpunan B. A B={x│x A dan x B}

Gambar 2.1

Contoh 1.Misalkan A = {a, b, c, d, e, f } dan B = {a, e, g } maka A B = {a, e }. Diagram venn-nya adalah sebagaiberikut.




Buku Ajar 19

b c

d

f

g

S B A

a

e

Gambar 2.2

Daerah yang diarsir menyatakan A B.

Contoh 2.Misalkan A = {a, b, c, d, e, f } dan B = { g, h, i, j } maka

A B = . Diagram venn-nya adalah sebagai berikut.

a

c d

f

g

S B A

b

e

h

i j

Gambar 2.3

Karena A B = maka tidak ada daerah yang diarsir.

Contoh 3.Misalkan A = {a, b, c, d, e, f } dan B = { a, c, e, f } maka A B = { a, c, e, f }. Diagram venn-nya adalah sebagaiberikut.




Buku Ajar 20

a

S A

B

c a

e f

b

d

Gambar 2.4

Daerah yang diarsir menyatakan A B = B.

Contoh 4.Misalkan A = {a, b, c, d, e, f } dan B = { a, c, e, f, b, d }maka didapatkan A B = {a, b, c, d, e, f }. Diagram venn-nya adalah sebagai berikut.

a

S A = B

c

a

e f

b

d

Gambar 2.5

Daerah yang diarsir menyatakan A B = A = B.

2. Gabungan (union ) Gabungan antara himpunan A dan himpunan B dilambangkan A B, adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan A atauanggota himpunan B. A B = {x/x A atau x B}




Buku Ajar 21

Gambar 2.6

Contoh 5.Misalkan A = {a, b, c, d, e, f } dan B = {a, e, g } maka

A B = {a, b, c, d, e, f, g }. Diagram venn-nya adalahsebagai berikut.

b a

e

c d

f

g

S B A

Gambar 2.7


Contoh 6.Misalkan A = {a, b, c, d, e, f } dan B = { g, h, i, j } maka A

B = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j }. Diagram venn-nya adalahsebagai berikut.




Buku Ajar 22

g

S B A

h a

e

b c d

f

g i

j

Gambar 2.8

Daerah yang diarsir menyatakan A B.Contoh 7.Misalkan A = {a, b, c, d, e, f } dan B = { a, c, e, f } maka A B = {a, b, c, d, e, f }. Diagram venn-nya adalahsebagai berikut.

a

S A

B

c a e

f

b

d

Gambar 2.9

Daerah yang diarsir menyatakan A B = A.

Contoh 8.Misalkan A = {a, b, c, d, e, f } dan B = { a, c, e, f, b, d }maka didapatkan A B = {a, b, c, d, e, f }. Diagram venn-nya adalah sebagai berikut.




Buku Ajar 23

a

S A = B

c a

e f

b

d

Gambar 2.10

Daerah yang diarsir menyatakan A B = A = B.

3.

KomplemenDiberikan himpunan universal (semesta) S danhimpunan A. A S , komplemen dari A, A’, adalahhimpunan semua objek di S yang tidak termasuk di A.

A’ = {x |x S dan x A}

S

A

A’

Gambar 2.11Contoh 9. Misalkan S adalah himpunan hufuf alfabet dan A adalahhimpunan huruf vokal, maka A’ adalah himpunansemua huruf konsonan.

Contoh 10. Misalkan S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} danB = {x |x bilangan genap} maka B’ adalah himpunanbilangan cacah yang tidak genap, atau B’ adalahhimpunan bilangan ganjil, yaitu B’ = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}

Apakah anda tahu hasil dari A A’ untuk sembaranghimpunan A? Apakah anda bisa memastikan bahwa




Buku Ajar 24

A A’ = S untuk sembarang himpunan A dan semestaS ? Jawabannya sangat jelas, ya. Kita juga berkesimpulan

bahwa A A’ = untuk sembarang himpunan A.Sekarang, apakah anda tahu komplemen dari himpunankosong? Karena semua anggota yang ada di S berada diluar himpunan kosong maka komplemen dari himpunan

kosong adalah himpunan semesta, yakni jika C =

maka C ’ = S . Dengan logika yang serupa S ’ = .

Terkadang, kita ingin menggambarkan komplemen daribeberapa himpunan, misalkan saja ingin digambarkan A’ ( B C ). Pertama kali kita identifikasi/gambarkan

A’ kemudian kita gambarkan B C seperti berturut-turut dapat dilihat pada gambar (a) dan (b), setelah itubaru kita gambarkan gabungan dari (a) dan (b) dandidapatkan gamabar seperti dapat dilihat pada (c).

S

A B

C

(a)

A’

S

A B

C

(b) B C

S

A B

C

(c) A’ ( B C )

Gambar 2.12




Buku Ajar 25

Apakah komplemen dari suatu himpunan adalahtunggal? Ternyata tidak. Komplemen dari suatuhimpunan tidaklah tunggal, tetapi mungkin lebih dari

satu. Hal ini disebabkan komplemen dari suatuhimpunan sangat tergantung erat dengan himpunansemestanya. Coba anda perhatikan contoh berikut.

Contoh 11.Misalkan A = {b, c, d }. Jika himpunan semestanya adalah S 1= {b, c, d } maka

A’ = . Jika himpunan semestanya adalah S 2= {a, b, c, d }

maka A’ = {a } Jika himpunan semestanya adalah S 3={a, b, c, d, e }

maka A’ = {a, e } Jika himpunan semestanya adalah S 4= {a, b, c, d, e, f }

maka A’={a, e, f }

Dari contoh di atas, jelas bahwa komplemen dari suatuhimpunan tidaklah tunggal, karena komplemen darisuatu himpunan dipengaruhi oleh himpunansemestanya.

4. SelisihSelisih dari A dan B, A – B, adalah himpunan yanganggota-anggotanya merupakan anggota dari himpunan A tetapi bukan merupakan anggota dari himpunan B. A – B = {x/x A dan x B}

Gambar 2.13

g

S B A




Buku Ajar 26

Contoh 12.Misalkan A = {a, b, c, d, e, f } dan B = {a, e, g } maka

A - B = {b, c, d, f }. Diagram venn-nya adalah sebagaiberikut.

g

S B

A

g a

e

b c

d

f

Gambar 2.14

Daerah yang diarsir menyatakan A - B.

Contoh 13.Misalkan A = {a, b, c, d, e, f } dan B = { g, h, i, j } maka

A – B = {a, b, c, d, e, f } = A.

Diagram venn-nya adalah sebagai berikut.

g

S B A

h

a

e

b c d

f

g

i

j

Gambar 2.15

Daerah yang diarsir menyatakan A – B = A.

Contoh 14.Misalkan A = {a, b, c, d, e, f } dan B = { a, c, e, f } maka A - B = {b, d }. Diagram venn-nya adalah sebagaiberikut.




Buku Ajar 27

a

S A

B

c a

e f

b

d

Gambar 2.16

Daerah yang diarsir menyatakan A - B.

Contoh 15.Misalkan A = {a, b, c, d, e, f } dan B = { a, c, e, f, b, d }

maka didapatkan A - B = . Diagram venn-nya adalahsebagai berikut.

S A = B

a e b c

d f

Gambar 2.17

Tidak ada daerah yang diarsir, karena A - B = .

5. Beda Setangkup

Beda setangkup dari himpunan A dan B, A B, adalahsuatu himpunan yang anggotanya ada pada himpunan Aatau B tetapi tidak pada keduanya.

A B = ( A B ) – ( A B ) = ( A – B ) ( B - A )




Buku Ajar 29

g

S B A

h a

e

b c d

f

g i

j

Gambar 2.20


Contoh 18.Misalkan A = {a, b, c, d, e, f } dan B = { a, c, e, f } maka

A B = {b, d,}.

a

S A

B

c a

e f

b

d

Gambar 2.21


Contoh 19.Misalkan A = {a, b, c, d, e, f } dan B = { a, c, e, f, b, d }

maka didapatkan A B = . Diagram venn-nya adalahsebagai berikut.




Buku Ajar 30

S A = B

a e b c d f

Gambar 2.22

Tidak ada daerah yang diarsir, karena A B = .

6.

Produk CartesiusSebelum membahas produk cartesius, marilah terlebihdahulu kita pahami tentang pasangan berurut. Pasanganberurutan berisi dua objek dengan urutan tetap. Notasipasangan terurut adalah ( a , b ). Dua pasangan terurutdikatakan sama jika memenuhi persyaratan berikut. (a ,b ) = ( c ,d ) jika dan hanya jika ( a = c ) dan ( b = d ).

Misalkan A dan B dua buah himpunan. Produk cartesius

( perkalian himpunan ) A dan B adalah himpunan yanganggota-anggotanya terdiri atas semua pasangan terurut

( a , b ) dengan a A dan b B. Secara formal produkcartesius dari A dan B dapat dituliskan sebagai berikut :

A B = { ( a , b ) | a A dan b B } Arti dari pasangan terurut adalah pasangan itu tidaksama jika ia diurutkan tempatnya. Unsur pertama daripasangan terurut itu adalah anggota dari himpunanpertama, sedangkan unsur keduanya adalah anggotahimpunan kedua.

Contoh 20.Misalkan A = {x, y, z } dan B = {1, 2}, diperoleh : A x B = {( x , 1), ( x , 2), ( y , 1), ( y , 2), ( z, 1), ( z, 2 )}B x A = {(1, x ), (1, y ), (1, z ), (2, x ), (2, y ), (2, z )}

Berdasarkan contoh di atas, jika anda cermati, ternyata A x B ≠ B x A, hal ini dikarenakan ( a , b ) ≠ ( b , a ).




Buku Ajar 31

5.7 Sifat-sifar Operasi pada himpunan

1. Sifat 1Misalkan A = {a, b, c, d, e } dan B = {a, c, e, f },apakah hasil dari A B dan B A? Tentunya kitadapatkan bahawa A B ={a, b, c, d, e, f }dan B A ={a, c, e, f, b, d }.Berdasarkan hasil operasi yang diperoleh, sekaranganda perhatikan apakah {a, b, c, d, e, f }={a,c,e,f, b, d }? Jelas, ternyata bahwa {a, b, c, d, e, f }= {a, c, e, f, b, d }.Keterangan ini menuntun kepada kebenaran umumbahwa A B = A B. Juga bisa diperlihatkan

bahwa A B = B A. Sifat-sifat ini secara umummengarahkan kepada sifat komutatif. Ilustrasinyadapat dilihat pada gambar berikut.

A B B A

A B B A

Secara formal sifat komutatif untuk dua himpunanbisa dituliskan sebagai berikut. Untuk setiaphimpuanan A dan B berlaku :




Buku Ajar 32

1. A B = A B ( sifat komutatif pada gabungan )2. A B = B A ( sifat komutatif pada irisan )

Sifat komutatif ini pun berlaku juga untuk lebih daridua himpunan. Untuk tiga buah himpunan A, B,dan C , anda bisa perhatikan bahwa :( A B ) C = A ( B C ). Silahkan anda cobabuat ilustrasi dia-gram venn untuk mempermudahmemahami sifat komutatif untuk tiga buahhimpunan.

2.

Sifat 2Untuk setiap A, B, dan C berlaku :1. A ( B C ) = ( A B ) C

( sifat assosiatif pada gabungan )2. A ( B C ) = ( A B ) C

( sifat assosiatif pada irisan )

3. Sifat 3Untuk setiap A, B, dan C berlaku :

1. A ( B C ) = ( A B ) ( A C )

( gabungan distributif terhadap irisan )2.

A ( B C ) = ( A B ) ( A C )( irisan distributif terhadap gabungan )

Berikut adalah sifat-sifat operasi pada himpunan :

1. Sifat identitas

A = A

Dualnya A S = A

2.

Sifat dominasi A = Dualnya A S = S

3. Sifat komplemen A A’ = S

Dualnya

A A’ =

4. Sifat idempoten A A = A

Dualnya A A = A




Buku Ajar 33

5. Sifat penyerapan A ( A B ) = A

Dualnya A ( A B ) = A

6.

Sifat komutatif A B = B A

Dualnya A B = B A

7. Sifat assosiatif A ( B C ) = ( A B ) C

Dualnya A ( B C ) = ( A B ) C

8. Sifat distributif A ( B C ) == ( A B ) ( A C )

Dualnya A ( B C ) == ( A B ) ( A C )

9. Sifat De-Morgan( A B )’ = A’ B’

Dualnya( A B )’ = A’ B’

10. Sifat komplemen ke-2

’ = S

Dualnya

S ’ =

Sifat-sifat operasi himpunan dalam pemakaian

1.

n ( A B ) = n ( A ) + n ( B ) – n ( A B )2. n ( A B ) = n ( S ) – n [( A B )’ ]3. n ( A B C ) = n ( A ) + n ( B ) + n ( C ) – n ( A B ) +

– n ( A C ) – n ( B C )+ n ( A B C )

4. n ( A B C ) = n ( S ) n [( A B C )’]

Contoh 21.Dari 100 orang mahasiswa, 40 mahasiswa mengikuti kuliahBahasa Inggris, 25 mahasiswa mengikuti kuliah BahasaInggris dan Matematika Dasar, dan setiap mahasiswamengikuti kuliah Bahasa Inggris atau Matematika Dasar.Berapa banyak mahasiswa yang mengikuti kuliahMatematika Dasar?

Jawab :Misalkan A menyatakan mahasiswa yang mengikuti kuliahBahasa Inggris, dan B menyatakan mahasiswa yang kuliahMatematika Dasar, maka didapatkan :




Buku Ajar 34

n ( A ) = 40n ( A∩B ) = 25

n ( A B ) = 100Gunakan sifat operasi himpunan sebagai berikut.

n ( A B ) = n ( A ) + n ( B ) – n ( A B )100 = 40 + n ( B ) – 25n ( B ) = 85

Jadi mahasiswa yang mengikuti kuliah Matematika Dasaradalah sebanyak 85 orang.

6.

Latihan

1.

Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 3}, dan B = {2, 3,4}. Gunakan metode tabulasi untuk menyelesaikanpertanyaan berikut :a. A B b. ( A B )’ c. A’ d. B’ e. A’ B’ f.

A’ B’ g. Apakah ( A B )’ = A’ B’ ? h. Apakah ( A B )’ = A’ B’ ?

2. Misalkan himpunan semesta S = {a, b, c, d, e, f }, A = {a,b, c }, B = {a, c, e }, dan C = {c, d, e, f }. Denganmenggunakan metode tabulasi, tunjukan bahwa :

a. A B = B A b. A ( B C ) = ( A B ) ( A C )

c.

A ( B C ) = ( A B ) ( A C )d. ( A B )’ = A’ B’ e. ( A B )’ = A’ B’

3. Dengan menggunakan diagram venn, tunjukkan bahwa :a. A ( B C ) = ( A B ) ( A C )b. A ( B C ) = ( A B ) ( A C )

4. Gunakan sifat-sifat operasi himpunan atau diagram venn, untuk menunjukan bahwa :




Buku Ajar 35

a. A’ B = B A’ b. A’ ( B C ) = ( A’ B ) C c. A ( B’ C ) = ( A B’ ) ( A C )

5.

Dengan menggunakan sifat-sifat operasi himpunan ataudiagram venn, sederhanakanlah operasi berikut ini :a.

( A B ) B’ b. ( A B ) A’ c.

( A S ) A’ d. ( A S ) A’ e. ( A S ) A’ f. ( A )’ A’

g.

( A B ) ( A’ B )h. [ A ( B’ C ’)] [ A ( B C )]

6. Jika A dan B adalah dua himpunan yang merupakanhimpuanan bagian dari himpunan semesta S dan A’menunjukan komplemen dari A. Tentukan bentuk

sederhana dari [ A’ ( A B )] ( A B )

7.

Gunakan diagram venn, untuk menunjukkan bahwa :

a.

( A B )’ = A’ B’b. ( A B )’ = A’ B’

8.

Diberikan himpunan-himpunan sebagai berikut : A = {2, 3, 7, 8, 9, 11, 12, 15}B = {1, 3, 5, 6, 7, 8, 11}C = {2, 6, 8, 9, 10, 11, 12}

S = Himpunan Semesta = {x x 17 , xbilangan Asli}

a.

Gambarkan sebuah Diagram Venn untuk

himpunan-himpunan di atas dalam satu gambar.b. Tentukanlah : ( ( A – B ) ( C B ) ) ( A - C )

c. Tentukanlah : ( A C ) ( B – C )’

9. Dari 100 orang mahasiswa, 60 mahasiswa mengikutikuliah Bahasa Inggris, 50 mahasiswa mengikuti kuliahMetode Statistika 1, 30 mahasiswa mengikuti kuliahMatematika Dasar, 30 mahasiswa mengikuti kuliahBahasa Inggris dan Metode Statistika 1, 16 mahasiswa




Buku Ajar 36

mengikuti kuliah Bahasa Inggris dan Matematika Dasar,10 mahasiswa mengikuti kuliah Metode Statistika 1 danMatematika Dasar, dan 6 mahasiswa mengikuti kuliah

ketiga-tiganya. Berapa banyak mahasiswa yang mengi-kuti kuliah Bahsa Inggris, atau Metode Statistika 1, atauMatematika Dasar?

10. Manakah dari himpunan berikut ini, yang merupakanhimpunan kosong? Jelaskan!c. {x |x nama huruf sebelum a di dalam alfabetl}d. {x |x 2 = 9 dan 2x = 4}e. {x |x ≠ x }

f.

{x |x + 6 = 6}

11. Periksa, apakah himpunan-himpunan berikut merupakanhimpunan terhingga., himpunan tak hingga, himpunanterbilang, himpunan tak terbilang, himpunan terbatas,himpunan tak terbatas. Jelaskan jawaban anda.a. Himpunan nama-nama hari dalam seminggub. {1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., 500}c. Himpunan semua orang yang hidup di kota

Bandung

d.

{x |x bilangan ganjil}e. {1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }

12. Periksa, apakah pernyataan-pernyataan berikut ini benaratau salah. Berikan alasannya.a. Setiap himpunan S , S S

b. Setiap himpunan S , S S

c. Setiap himpunan S , S

d.

e.

13. Misalkan A = {1, 2, 3}, B = {0, 1, 2}, C = {3, 1, 2}, D = {a, b, c}, E = {1, 2}, F = {0, 1, 2, 3}, dan G = {bilangan cacahantara 0 dan 4}.




a. Himpunan manakah yang sama dengan A ?b. Himpunan manakah yang ekivalen dengan A ?c. Jika H dan I adalah himpunan, sedemikian sehingga

berlaku H = I , apakah H ~ I ? Jelaskan!d. Jika J dan K adalah himpunan, sedemikian sehingga

berlaku J ~ K , apakah J = K ? Jelaskan!

14. Misalkan A = {2, {4,5}, 4}. Manakah pernyataan yangsalah? Jelaskan!

a. {4, 5} A b. {4, 5} A

c. {{4, 5}} A

7.

Daftar Pustaka 1. Bush, G. A. (1973). Foundations of Mathematics with

Application to the Social and Management Sciences. SanFrancisco: McGraw-Hill Book Company.

2. Devine, D. F. and Kaufmann J. E. (1983). Elementary Mathematics for Teachers . Canada: John Wiley & Sons.

3. Suherman, E. (1991). Perkenalan dengan Teori Himpunan. Bandung: Wijayakusumah 157.

4. Lipschutz, S. (1981). Set Theory and Related Topics .Singapore: McGraw-Hill International Book Company.

5. Lipschutz, S., Hall, G. G., dan Margha. (1988). Matematika Hingga . Jakarta: Erlangga.

6. Ruseffendi, E. T. (1989). Dasar-dasar Matematika Moderndan Komputer untuk Guru . Bandung: Tarsito.

7. Wheeler, R. E. (1984). Modern Mathematics : An Elementary Approach. California: Wadsworth, Inc.

Himpunan.pdf

Documents

Transcript of Himpunan.pdf