Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm

April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 11

H W ARE YOU TO

DAY LANJUTAN 4TM2101

2011 / 2012

POKOK BAHASAN ke

- empatDASAR-DASAR

INTEGRAL, FUNGSI DARI FUNGSI, FUNGSI

POLINOMIAL PECAHAN PARSIAL, PENERAPAN

INTEGRAL

April 19, 2023 2TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN

INTEGRASI SUATU PERKALIAN-

PERBAGIAN, PECAHAN PARSIAL FUNGSI TRIGONOMETRIS

IN TEG RALIntegral adalah proses kebalikan perdiferensial. Pada diferensial memulainya dengan fungsi dan memproses menemukan koefisien diferensialnya. Sedangkan integral memulainya dengan koefisien dan kemudian menentukan fungsi dari yang telah menurunkannya.Contoh: d/dx(xn) = nxn-1

Bila diintegralkan kembali dari (nxn-1) maka diperoleh n/(n-1)+1 [x](n-1)+1]

April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN – PERTAMBANGANN 3

Konstanta integrasi

Bila M= 4x3 dx, menunjukkan bahwa M=3 jika x=1. Hasil dari integral fungsi ini adalah M = x4 + C. Karena M=3 dan x=1, maka C=2. jadi dapat dituliskan bahwa M = x4 + 2.


C adalah konstanta integrasi dan harus ditulis dan nilainya tidak diketahui . Integral seperti ini disebut integral tak tentu.

DAFTAR INTEGRAL STANDAR [BAKU]

SETIAP KOEFISIEN INTEGRAK SELALU DITULIS SEBAGAI KEBALIKAN


Ini ditulis daftar koefisien diferensial standar seperti daftar sebelumnya


Jawaban dilembar

berikutnya

Integral fungsi dari fungsi linear dalam x


Sering perlu untuk mengintegralkan beberapa fungsi yang ditunjukkan pada integral standar jika variabel, x, digantikan dengan fungsi linear x, misalnya bentuk (ax + b).Contoh, y= (ax + b)ndx, dimisalkan u=(ax+b), maka y=un. Bahwa dy/du= (dy/dx)(dx/du). Olehnya itu du/dx= a dan dx/du=1/a. karena y= (ax + b)ndx dan dy/dx= un dan dx/du= 1/a. Jadi dy/du= un(1/a). Diperoleh, y= un (1/a)du = 1/a [1/(n+1)u

(n+1)) + C

Atau, y = 1/a(n+1)(ax + b)n+1 + C


Untuk mengintegralkan fungsi pada fungsi linear, x, menyederhanakan dengan mengganti x dengan hasil standar yang berhubungan dengan fungsi linear dan dibagi koefisien x pada fungsi linearnya.

LATIHAN


INI SOLUSINYA … !



Daftar koefisien diferensial dasar dan integral dasar

INTEG

RA

L S

TA

ND

AR

-

BA

KU


INTEG

RA

L S

TA

ND

AR

-

BA

KU


Seperti contoh sebelumnya bahwa integral baku berikut ini dapat diselesaikan dengan baik


Perhatikan bahwa betapa miripnya bentuk kedua kelompok ini dan perbedaan-perbedaan kecil, tetapi penting, yang ada

Bahwa serupa dengan itu, karena cos x dx = sinx + C

Maka bila cos(2x + 5) dx = ……… ? cos(2x + 5) dx = ½ sin (2x+5) + C


Dan lanjutkan soal lain pada lembar berikutnya

Dengan serupa, maka cobalah lakukan ini dengan tidak melihat jawabannya

INTEGRAL DALAM BENTUK F1(x)/F(x) dx dan F(x) F1(x) dxModel integral ini tidak termasuk dalam integral

baku, untuk menyelesaikan integral seperti ini, maka diperlukan ketajaman berpikir walaupun pada dasarnya mudah dikerjakan.

Contoh:(2x + 3)/(x2+3x–5)dx.

Perhatikan bahwa jika diferensialkan penyebutnya, maka diperoleh pembilangnya. Karena itu, misalkan penyebutnya dan nyatakan dengan z, dan kemudian nyatakan pula dz/dx, yaitu

z = (x2 + 3x – 5), maka dz/dx = 2x + 3 atau dz= (2x+3)dx


Dengan demikian bahwa integralnya dapat dinyatakan dalam fungsi z.(2x + 3)/(x2 + 3x – 5)dx = dz/z dan diketahui bahwa (1/z)dz = lnz + C atau Jadi integral dari, (2x + 3)/(x2 + 3x – 5)dx. = ln(x2 + 3x – 5) + C

Perhatikan berikut ini:



Bentuk logaritma ini selalu muncul dalam hasilnya setiap kali pembilangnya merupakan koefisien diferensialkan dari penyebutnya, atau kelipantannya ataupun kelipatan bagiannya.Contoh : cot x dx = (cos x/sin x) dx dan karena cos x adalah koefisien diferensial dari sin x, makacot x dx = (cos x/sin x) dx = ln sin x + CBagimana bila tan x dx diingat kembali bahwa tan x= sin x/cos x, makatan x= sin x/cos x dx = -(-sin x)/cos x dx

= -ln cos x + C

Tiap kali berhadapan dengan integral yang berbentuk perbagian, maka yang pertama adalah memeriksa apakah pembilangnya merupakan koefisien diferensial dari penyebut atau bukan. Jika betul, maka hasilnya adalah logaritma dari penyebutnya. Di sini saya menurutkan tahapan penyelesaian integral ini, yakni1.Nyatakan penyebutnya sebagai z2.Nyatakan z sebagai dz/dx3.Nyatakan integral itu sebagai fungsi z, kemudian integralkan4.Subtitusi harga z April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 33


Con

toh

p

en

yele

saia

n in

teg

ral

dala

m b

en

tuk F

1(x

)/F(x

) d

x

dan

F

(x)

F1(x

) d

x

Hampir serupa dengan itu, tetapi kadang-kadang penyelesaian integral menjadi rumit tapi kadang-kadang menarik, perhatikan bentuk lain dari integral berikut.tan x sec2x dx

Tentu saja ini bukan pembagian, melainkan perkalian, tetapi perhatikan fungsi yang satu (sec2x) adalah koefisien diferensial dari fungsi yang lain (tan x).

Bila misalkan z=tan x, maka dz= sec2x dx dan integralnya dapat dituliskan sebagai z dz yang menghasilkan ½ z2 + C.

Subtitusi z sebagai fungsi x, maka diperoleh integral dari :

tan x sec2x dx = ½ tan2x + C


Bahwa sinx cosx dx, disini akan dimisalkan bahwa z= sinx, dz= cosx dx. Maka integral akan dituliskan dalam bentuk: z dz = ½ z2 + C Atau, = ½ (sin2x) + CIngat bahwa F1(x)/F(x) dx dan F(x) F1(x) dxSatu-satunya hal yang harus diamati hanyalah apakah salah satu faktor dari perkalian tersebut merupakan koefisien diferensial dari faktor yang lain, atau kelipatannya.

1. lnx/x dx = lnx 1/x dx, z= 1/x, dz= lnx dx= z dz = ½ z + C = ½(lnx)2 + C


(sin-1x)/((1-x2) dx = [sin-1x [1/(1-x2)]] dx

= sin-1x d(sin-1x)= ½ (sin-1x)2 + C

sinhx coshx dx = sinh x d(sinhx)= ½ sinhx + C

Berikut adalah ulangan singkat agar lebih memudahkan atau mengingat kembali cara mengerjakan integral-integral dari suatu fungsi. Perhatikan lembar kerja berikut:


bahwa z= sin-1x, dz= 1/(1-x2)dx

bahwa z= sinhx, dz= coshxdx

Notice that the top is exaxly the derivative of the botton, i.e. dz/z

Perhatikan contoh berikut

Integration of products and integration by parts

Mengintegralkan suatu perkalian fungsi yang masing-masing fungsinya bukan koefisien diferensial dari yang lain. Sebagai contoh adalah.

x2 lnx dx, dengan ln x bukanlah koefisien diferensial dari x2

x2 bukanlah koefisien diferensaial dari ln xDalam keadaan seperti ini, bahwa untuk mengintegrasi fungsi, maka diturunkan aturan untuk hal ini, yaituJika u dan v adalah fungsi x, maka akan diketahui bahwa:April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 39

d/dx(uv) = u dv/dx + v du/dxSelanjutnya mengintegralkan kedua ruasnya terhadap x., sehingga ruas kiri kembali fungsi asanya,

(uv) = u (dv/dx) dx + v (du/dx) dx Dan bila suku-sukunya disusun kembali, maka

u (dv/dx) dx = uv - v (du/dx) dx (MD)Persamaan ini menunjukkan bahwa ruas kiri dijumpai perkalian dua buah faktor yang harus diintegrasikan adalah u. Dan faktor yang lain adalah sebagai koefisien diferensial dari suatu fungsi v. Untuk memperoleh v, maka tentu saja harus mengintegralkan faktor ini secara terpisah.April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 40

Seteleh mengetahui u dan v, maka disubtitusi keduanya ke dalam ruas kanan. Bentuk perkalian yang dijumpai di ruas kanan yang harus diintegralkan lagi seperti ditunjukkan oleh suku di ujung baris. Perkalian ini akan lebih mudah ditangani, kecuali kalau pikiran dalam galau dan tidak beruntung … ?Dengan demikian persamaan (MD) dapat dituliskan dalam bentuk sederhana saja.

u dv = uv - v duCara ini dikenal sebagai cara integrasi perkalian (integration by parts – kadang2 diterjemahkan sebagai integrasi parsial)


Simak contoh2 berikut1. x2 ln dx =Faktor dari fungsi ini adalah x2 dan ln x, dan harus

memilih mana sebagai u dan yang mana dv. Jika dipilih x2 sebagai u dan ln x sebagai dv, maka harus mengintegralkan ln x untuk memperoleh v. Tetapi ln x dx tidak termasuk dalam daftar integral baku, karena itu memilih u dan dv yang lain, yaitu misalkan ln x = u dan x2 = dv.

Bila, u= ln x, du= 1/x dx dan dv= x2, maka v = 1/3 x3

x2 ln dx = ln x (1/3 x3) – 1/3 x3 1/x dxx2 ln dx = lan x (1/3 x3) – 1/3 x3 1/x dx = (1/3x3) ln

x – 1/3 x2 dxx2 ln dx = 1/3 x3 ln x – 1/9 x3 + Cx2 ln dx = 1/3x3 (lnx – 1/3) + C


Kerjakan tanpa buka FILE INI … ?


Ulangi dan nyatakan bahwa bisa

48

49

Ini jawabannya ..

!

Hitunglah konstanta C dari:1. M = (2 – 3x)2dx, maka M = 1/-3(1/3)[2 – 3x]3 + C

jadi M = (2 – 3x)2dx = 1/-9 (2 – 3x)3 + C

bila x = 1 dan M = 28/9, maka C = 3


2. M = (2x + 1) dx , bila M= 15 dan x= 23. M = (x + 1)/(x2 + 4x + 3)dx, bila M= 10 dan x= 14. M = (x + 7)/(x2 - 7x + 10)dx, bila M= 14 dan x= 75. M = (10x + 37)/(x2 + 3x – 28) dx, M= 14 dan x= 7

INTEGRAL POLINOMIAL


Bagaimana dengan cara lain,

Jika M= (8x3 - 3x2 + 4x - 5)dx, tentukan M jika x=3 yang menghasilkan bahwa pada x = 2, M= 26Pertama-tama menentukan fungsi untuk M, jadi penyelesaian integral , akan diperoleh

M= 2x4 - x3 + 2x2 – 5x + C

Ekspresikan fungsi untuk M dalam bentuk jaringan, yaitu M= [[(2x - 1)x + 2]x – 5]x + CHarga konstanta C dapat dihitung dengan mensubtitusi harga x = 2 dan M = 26 ke dalam hasil integrasi tadi, atau ke dalam bentuk jaringan fungsi. Sehingga diperoleh harga C adalah C = 4Disini akan diberikan tahapan penyelesaian

1. Bentuklah integralnya2. Tunjukkan fungsi hasil dalam bentuk jaringan3. Nyatakan konstanta integral, menggunakan fakta bahwa jika x=2, dan M=264. atau subtitusi x=2 dan M=26 akan diperoleh C=4


INTEGRAL DENGAN PECAHAN PARSIAL

Integral dengan pecahan parsial (DPP) akan didasari dari diferensial DPP sebelumnya, dengan sangat mudah penyelesaiannya.


Ingat materi sebelumnya bahwa fungsi ini dapat ditunjukkan dalam DPP yang lebih sederhana pada strukturnya.

INGAT MATERI SEBELUMNYA: ATURAN PECAHAN PARSIAL

1. Pembilang fungsi yang duberikan harus berderajat lebih rendah daripada penyebutnya. Jika tidak kita kemudian membanginya dengan pembagian panjang untuk mendapat polinomial dan sisanya dibagi penyebut yang dapat ditunjukkan sebagai pecahan parsial.

2. Faktorisasikan penyebut ke dalam faktor prima. Itu menetukan bentuk pecahan parsial yang dipunyai.

3. Faktor linear (ax + b) memberikan pecahan parsial berbentuk [A/ (ax + b)].

04/19/23 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 54

4. Ulangi faktor (ax + b)2 memberikan pecahan parsial [ A/ (ax + b) ] + [ B/ (ax + b)2]

5. Serupa dengan di atas (ax + b)3 memberi [ A/ (ax + b) ]+ [ B/ (ax + b)2 ] + [ C+/ (ax + b)3 ].

6. `Sebuah kuadrat irreducibel yaitu faktor kuadratik yang tidak dapat difaktorkan lebih lanjut ke faktor linear (ax2 + bx + c) memberikan pecahan parsial,[ Ax + B ] / [ ax2 + bx + c ]

7. Ulangi faktor kuadratik tipe yang sama, (ax2 + bx + c)2, memberi pecahan parsial,[Ax + B]/ [ ax2 + bx + c ] + [Cx + D]/ [ax2 + bx + c]2


Perhatikan pula lembar

berikutnya

1

2


Perhatikan pula lembar

berikutnya

3

4

TAHAPAN2NYA ADALAH … ?


(1) SEDERHANAKAN FUNGSI YANG DIBERIKAN DALAM BENTUK PECAHAN PARASIAL (2) MASING2 PECAHAN PARSIAL DIINTEGRALKAN

CONTOH 3

BERPIKIR ITU = OLAHRAGA JIWA DAN NALAR


3


Pecahan parsial (PP) ini adalah fungsi dari fungsi linear x, berdasarkan integral standar 1/x sehingga hasilnya jelas.

YANG INI

Olehnya itu perlu diingat atau dipelajari lagi aturan pecahan parsial tentu saja pada materi kuliah sebelumnya. Jika tidak, maka akan mendapatkan hambatan atau kebingungan dalam menyelesaikan integral ini ..… ?


YANG INI

Dalam penyelesaian integral dengan DPP, saya tidak mengulangi cara menyederhanakan fungsi DPP. Tetapi perhatikan pengintegralan berikut.


Sekarang kerjakan ini dengan cara yang sama, dan tunjukkan bahwa:



Perhatikan fungsi sebelah

ini dan memiliki keterkaitan

penyelesaian integral fungsi

linear dan DPP

Dan tunjukkan pula yang ini ….. bahwa


YANG INI

INTEGRAL FUNGSI-FUNGSI TRIGONOMETRISSudah banyak contoh2 penyelesaian integral yang dibahas sampai saat ini. Namun fungsi2 trigonometris belum ada ditemukan. Mari simak berikut.I. Pangkat sinx dan cos x dan telah diketahui bahwa

sin x dx = -cos x + Ccos x dx = sin x + CUntuk mengintegralkan sin2x dan cos2x,

nyatakan fungsi tersebut dalam cosinus sudut rangkap.

cos 2x = 1 – 2sin2x dan cos2x = 2cos2x – 1Jadi, sin2x = ½ (1-cos2x) dan cos2x = ½ (1 + cos2x)April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 67

1

2

Perhatikan: kedua hasilnya mirip, tetapi ada perbedaan karenanya salinlah dengan baik dan rapi lalu jadikan rujukan.

3Mengitegralkan sin3x dan cos3x

Untuk mengintegralkan sin3x, dengan memisahkan sebuah faktor sin x dan sisanya, sin2x, diubah menjadi (1- cos2x), jadi.

Dengan cara yang sama sekarang lakukan pengintegralan cos3x dx.

cos3x dx = sin x – (1/3 sin3x) + C

Tentu saja bagaimana pula yang satu ini. Mengintegralkan sin4x dan cos4x


4


Jangan menghafalkan, tetapi ingatlah dan cara memahami itu penting ?

Tentukan, cos4x dx

Mengintegralkan sin5x dan cos5xDapat mengintegralkan sin5x dengan cara yang sama

dengan cara untuk menghitung integral sin3x

dan hasilnya adalah,

5

sin5 x

Perhatikan caranya dan jangan mencoba menghafal hasil2nya, karena engkau akan bingung dan streeees.


cos5 x

5

Integral berikut ini adalah cara menyelesaikan bentuk integral perkalian sinus dengan cosinus. Simak berikut.


II. Perkalian sinus dengan cosinus

Ada 4 identitas yang mirip dengan yang digunakan tadi


Contoh penyelesaian integral

1

2

Nomor 3 ini adalah penutup dari bahasan dasar2 integral, dan jangan lupakan catatan2 saudara yang rapi itu agar alamat intergral tetap diingat.April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 76

3

Latihan untuk lulus …


latihan dan latihan serta latihan akan meringankan latihan dalam latihan


SOAL-SOAL PENTING ‘012A. Nyatakan fungsi berikut dengan pecahan parsial dan selanjutnya diintegralkan.1.(6x + 1)/ (4x2 + 4x – 3) 2.(3x – 17)/ ( 12x2 – 19x + 4)3.(20x + 2)/ (8x2 – 14x - 15) 4.(7x2 – 18x – 7)/ (x – 4)(x2 + 4x + 3)] 5.(18x2 + 3x + 6)/ (3x + 1)3 6.(20x2 - 54x + 35)/ (2x - 3)3 7.(x + 7)/ (x2 -7x + 10)3


1. (6x + 12/ x2 + 4x + 4) dx

2. (x + 3/ x2 + 6x) dx3. [sin2x / (1 + cos2x)]

dx4. [sec2x/ (1 + tanx)]

dx5. (sin2x + cos2x) dx6. (sin2x + cos2x) x dx7. [x/ (sin2x + cos2x)]

dx


1. (x/ x2 + 7) dx2. (2x - 4/ 2x2 +

8x + 6) dx3. (2x2 – 4x + 2)

(2x3 - 6x2 + 6) dx

4. (6x - 3)/ (x2 - x + 6) dx

5. (4x + 8) (x2 + 4x + 6) dx

6. (x2/ 6x3 - 6) dx7. (x+ 1/ x2 + 2x

+ 7) dx

Selamat BEKERJA dan semoga tidak tErbebani ... !

B. Integralkan fungsi-fungsi berikut.


SELANJUTNYA 4TM2101

Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm

Documents

Transcript of Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm