Integral Volume Benda Putar
-
Upload
eki-dita-permana -
Category
Documents
-
view
177 -
download
4
Transcript of Integral Volume Benda Putar
INTEGRAL
I. PendahuluanPokok bahasan
Volume Benda Putar Panjang Kurva Pada Bidang Luas Permukaan Putar
Tujuan Mengetahui penggunaan integral.
Menghitung volume benda putar dengan menggunakan integral.
Menggunakan integral tentu untuk menghitung luas daerah bidang rata.
Menentukan luas permukaan putar pada kurva.
Menentukan nilai, bentuk integral, dan menggambar kurva untuk volume
benda putar dengan menggunakan Program Maple.
Menentukan nilai, bentuk integral, dan menggambar kurva untuk luas bidang
rata dengan menggunakan Program Maple.
Menentukan nilai, bentuk integral, dan menggambar kurva untuk luas
permukaan putar dengan menggunakan Program Maple.
II. Landasan Teori
A. Pengertian Integral dan Lambangnya.
1. a. Pengintegralan merupakan operasi invers dari pendiferensialan.
b. Suatu fungsi F, sedemikian sehingga F' ( x )=f ( x ) untuk semua x dalam wilayahnya
(rangenya), dinamakan fungsi antiturunan f.
c. Ditulis:
Dalam hal ini C dinamakan konstanta pengintegralan,
f(x) dinamakan integrand dan F' ( x )=f ( x ) dinamakan integral tak tentu. Ada
banyak hasildinamakan integral tak tentu. pengintegralan itu (nilai C dapat dipilih
dari setiap bilangan pengintegralan itu.
nnn
2. Jika f ( x )=xn
B. Integral Tertentu, Luas dan Volum
1. Misalkan fungsi f terdefinisi dalam interval tertutup [a,b] atau1. Integral tertentu f dari a
ke b dilambangkan Integral tertentu f dari a ke b.
3. Luas daerah di bawah kurva
Dengan integral tertentu:
a. = F(b) -F(a)
b. = F(a) F(b)
4. .Luas daerah diantara dua kurva
6.Volume Benda Putar
a. Pemutaran mengelilingi sumbu X
b. Pemutaran mengelilingi sumbu Y
1. V=π∫
c
d
x2 dy
2. V=π∫
c
d
( x12−x11
2 )dy
Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung dengan besar
volume adalah hasilkali luas alas ( luas lingkaran ) dan tinggi tabung. Volume dari benda
putar secara umum dapat dihitung dari hasilkali antara luas alas dan tinggi. Bila luas alas
dinyatakan dengan A(x) dan tinggi benda putar adalah panjang selang [ a,b ] maka volume
benda putar dapat dihitung menggunakan integral tentu sebagai berikut :
V=∫a
b
A ( x )dx
Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar
terhadap suatu sumbu, dilakukan dengan menggunakan dua buah metode yaitu metode
cakram dan kulit tabung.
Metode Cakram
Misal daerah dibatasi oleh y = f(x), y = 0, x = a dan x = b diputar dengan sumbu
putar sumbu X. Volume benda pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang
bahwa volume benda padat tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang
berpusat di titik-titik pada selang [a,b].
Misal pusat cakram (x0 ,0 )dan jari-jari r=f (x0 ) . Maka luas cakram dinyatakan :
A (x0 )=πf 2 (x0 )Oleh karena itu, volume benda putar :
V=∫a
b
π [ f ( x ) ]2dx
Sedang bila grafik fungsi dinyatakan dengan x = w(y), x = 0, y = c dan y = d diputar
mengelilingi sumbu Y maka volume benda putar :
V=∫c
d
π [w ( y ) ]2 dy
Bila daerah yang dibatasi oleh y=f ( x )≥0 , y=g ( x )≥0 {f ( x )≥g ( x ) }untuk setiap
x∈ [ a , b ] , x = a dan x = b diputar dengan sumbu putar sumbu X maka volume :
V=∫a
b
π { [ f ( x ) ]2− [g ( x ) ]2}dx
Bila daerah yang dibatasi oleh x=w ( y )≥0 , x=v ( y )≥0 {w ( y )≥v ( y ) } untuk setiap
y∈ [ c , d ] , y = c dan y = d diputar dengan sumbu putar sumbu Y maka volume :
V=∫c
d
π { [w ( y ) ]2−[v ( y ) ]2}dx
Contoh :
Hitung Volume benda putar bila daerah yang dibatasi oleh : y=x2 dan y
2=8 x diputar
mengelilingi
a. Sumbu X.
b. Sumbu Y
Jawab :
Kedua kurva berpotongan di ( 0,2 ) dan ( 2,4 ).
a. Pada selang [ 0,2 ] √8 x≥x2 . Volume benda putar =
V=π∫0
2
[ (√8 x )2−( x2)2 ]dx=485
π
b. Pada selang [ 0,4 ] ,√ y≥ y2
8 Volume benda putar =
V=π∫0
2 [(√ y )2−( y2
8 )2]dy=48
5π
Contoh :
Hitung volume benda putar bila daerah yang dibatasi oleh : y=2−x2 , y = -x dan
sumbuY bila diputar mengelilingi garis y = -2
Jawab :
Kedua kurva berpotongan di ( -1,1 ) dan ( 2,-2 ). Pada selang [ -1,0 ] berlaku 2−x2≥−x .
Jarak kurva y=2−x2 dan y = -x terhadap sumbu putar ( garis y = -2 ) dapat dipandang
sebagai jari-jari dari cakram, berturut-turut adalah ( 4 - x ) dan ( 2 - x ). Oleh karena itu,
volume benda putar :
V=π∫−1
0
[ ( 4−x2 )2−(2−x )2]dy=365
π
Metode Kulit Tabung
Metode berikut sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume benda putar yang
mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan dengan metode cakram. Benda putar
yang terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan jari-jari kulit luar dan dalamnya
berbeda, maka volume yang akan dihitung adalah volume dari kulit tabung. Untuk lebih
memperjelas kita lihat uraian berikut.
Pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut r1 dan r2 ,
tinggi tabung h. Maka volume kulit tabung adalah :
ΔV =(πr2−πr1)h=2π rh Δr
dengan :r2−r1
2=r (rata−rata, jari− jari ) , r2−r1=Δr
Bila daerah yang dibatasi oleh y = f(x), y = 0, x = a dan x = b diputar mengelilingi sumbu
Y maka kita dapat memandang bahwa jari-jari r = x , Δr=Δxdan tinggi tabung h = f(x).
Oleh karena itu volume benda putar =
V=∫a
b
2 π xf (x ) dx
Misal daerah dibatasi oleh kurva y=f ( x ) , y=g ( x ) {f ( x )≥g ( x ) , x∈ [ a ,b ]} , x = a
dan x = b diputar mengelilingi sumbu Y. Maka volume benda putar =
V=∫a
b
2 πx [ f (x )−g (x ) ]dx
Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan x=w(y) x=0, y = c dan y = d
diputar mengelilingi sumbu X, maka volume =
V=∫c
d
2 πy [w ( y ) ] dy
Sedang untuk daerah yang dibatasi oleh x=w ( y ) , x=v ( y ) {w ( y )≥v ( y ) , y∈ [ c ,d ]} , y = c
dan y = d diputar mengelilingi sumbu X. Maka volume benda putar =
V=∫c
d
2 πy [w ( y )−v ( y ) ]dx
Contoh :
Hitung volume benda putar bila daerah yang terletak di kuadran pertama dibawah parabola
y=2−x2 dan di atas parabola y=x2
diputar mengelilingi sumbu Y.
V=2 π∫0
1
x [ (2−x2)−x2 ] dx=π
Bila kita gunakan metode cakram, maka daerah kita bagi menjadi dua bagian yaitu : pada
selang 0≤ y≤1 dibatasi x=√2− y dan sumbu Y sedang pada selang dibatasi 1≤ y≤2
dan sumbu Y. Oleh karena itu volume =
V=π∫0
1
(√ y )2dx+π∫1
2
(√2− y )2dy=π
Contoh :
Hitung volume benda putar bila daerah D yang dibatasi oleh y=1−x2 , sumbu X dan
sumbu Y bila diputar mengelilingi garis x = 1
Jawab :
Misal di ambil sembarang nilai x pada daerah D maka didapatkan tinggi benda pejal,
(1−x2 )dan jari-jari ( jarak x terhadap sumbu putar / garis x = 1 ), ( 1 + x ). Oleh karena itu,
volume benda putar :
V=2 π∫−1
0
(1+x ) (1−x2) dx=56
π
DAFTAR PUSTAKAAnonim. Integral. http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/files/2008/08/fr-bab-14-
riemann.pdf
Anonim. Notasi Sigma.http://ns1.cic.ac.id/~ebook/ebook/adm/myebook/0004.pdfAyres, Jr. Frank ; 1964 ; Differential and Integral Calculus ; New York ; Schaum’s
Outline Series Mc Graw-Hill Book Company
Ayres, Jr. Frank, Lea Prasetio; 1985 ; Teori dan Soal-soal Diferensial dan Integral Kalkulus ; Jakarta ; Penerbit Erlangga
Dale Varberg, Edwin J.Purcell, I Nyoman Susila ; 2001; Kalkulus jilid 1; Batam; Penerbit Interaksara
PENERAPAN PADA MAPLE
1. Volume Benda Putar
2. Panjang Kurva Pada Bidang
3. Luas Permukaan Luar
s