Jurusan Matematika - · PDF fileOutline Metode Substitusi Integral Fungsi Trigonometri...

OutlineMetode Substitusi

Integral Fungsi TrigonometriSubstitusi yang Merasionalkan

Integrasi Fungsi Rasional; Pecahan ParsialBeberapa Macam Substitusi yang lain

Integral Parsial

Teknik Pengintegralan

Kusbudiono

Jurusan Matematika

13 Nopember 2012

Kusbudiono Teknik Pengintegralan




Integral Parsial

Metode Substitusi

Integral Fungsi Trigonometri

Substitusi yang Merasionalkan

Integrasi Fungsi Rasional; Pecahan Parsial

Beberapa Macam Substitusi yang lain

Integral Parsial





Integral Parsial

Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal

Pada beberapa subbab sebelumnya telah dijelaskan beberapaintegral dari fungsi-fungsi tertentu. Berikut ini diberikan sebuahdaftar integral-integral dasar yang telah diurutkan:KONSTANTA, PANGKAT, EKSPONENSIAL

1.∫

du = u + C2.

∫a du = au + C

3.∫

ur du = ur+1

r+1 + C, r 6= −1

4.∫ du

u = ln |u|+ C5.

∫eu = eu + C

6.∫

au du = au

ln a + C,a > 0





Integral Parsial


FUNGSI-FUNGSI TRIGONOMETRI7.

∫sin u du = − cos u + C

8.∫

cos u du = sin u + C9.

∫sec2 u du = tan u + C

10.∫

csc2 u du = − cot u + C11.

∫sec u tan u du = sec u + C

12.∫

csc u cot u du = − csc u + C13.

∫tan u du = ln | sec u|+ C

14.∫

cot u du = ln | sin u|+ C





Integral Parsial


FUNGSI-FUNGSI HIPERBOLIK15.

∫sinh u du = cosh u + C

16.∫

cosh u du = sinh u + C17.

∫sech u du = tanh u + C

18.∫

csch u du = − coth u + C19.

∫sech u tanh u du = − sech u + C

20.∫

csch u coth u du = − csch u + C





Integral Parsial


FUNGSI-FUNGSI ALJABAR21.

∫ du√a2−u2

= sin−1(ua ) + C

22.∫ du

a2+u2 = 1a tan−1(u

a ) + C

23.∫ du

u√

u2−a2= 1

a sec−1( |u|a ) + C = 1a cos−1( a

|u|) + C





Integral Parsial

Pengintegraan dengan Metode Substitusi

Teorema (Substitusi)Untuk menentukan

∫f (x)dx, kita dapat mensubstitusi

u = g(x), dengan g fungsi yang dapat diintegralkan. Apabilasubstitusi itu mengubah f (x)dx menjadi h(u)du dan apabila Hsebuah anti turunan h, maka∫

f (x)dx =

∫h(u)du = H(u) + C = H(g(x)) + C





Integral Parsial

Beberapa Integral Trigonometri

Dengan kesamaan trigonometri dan menggunakan metodesubstitusi kita akan dapat mengintegralkan banyakbentuk-bentuk trgonometri. Beberapa jenis integral trigonometriyang sering muncul adalah:

1.∫

sinn x dx dan∫

cosn x dx2.

∫sinm x cosn x dx

3.∫

tann x dx dan∫

cotn x dx4.

∫tanm x secn x dx dan

∫cotm x cscn x dx

5.∫

sin mx cos nx dx , sin mx sin nx dx , dan∫cos mx cos nx dx





Integral Parsial

Jenis 1:∫

sinn x dx dan∫

cosn x dx

Diperlukan identitas trigonometri:

sin2 x =12(1− cos 2x) dan cos2 x =

12(1 + cos 2x)

dansin2 x = 1− cos2 x dan cos2 x = 1− sin2 x





Integral Parsial

Jenis 2:∫

sinm x cosn x dx

Identitas trigonometri dan prosedur yang digunakan tergantungpada m dan n adalah ganjil atau genap.∫

sinm x cosn x dx Prosedur Identitas Terkait- Pilihlah faktor dari cos x

n ganjil - Gunakan kesamaan terkait cos2 x = 1 − sin2 xSubstitusi u = sin x- Pilihlah faktor dari sin x

m ganjil - Gunakan kesamaan terkait sin2 x = 1 − cos2 x- Substitusi u = cos x

m dan n genap - Gunakan kesamaan terkait untuk sin2 x = 12 (1 − cos 2x)

mereduksi pangkat sin x dan cos x cos2 x = 12 (1 + cos 2x)





Integral Parsial

Jenis 3:∫

tann x dx dan∫

cotn x dxUntuk menghitung integral berbentuk

∫tann x dx dan

∫secm x dx

dimulai dengan rumus integral dasar∫tan x dx = ln | sec x |+ C∫

sec x dx = ln | sec x + tan x |+ C

Sedangkan untuk perpangkatan yang lebih tinggi dapat direduksidengan rumus: ∫

tann x dx =tann−1

n − 1−∫

tann−2 x dx∫secm x dx =

secm−2 x tan xm − 1

+m − 2m − 1

∫secm−2 x dx





Integral Parsial

Jenis 4:∫

tanm x secn x dx dan∫

cotm x cscn x dx

Identitas trigonometri dan prosedur yang digunakan tergantungpada m dan n adalah ganjil atau genap.Berikut adalah prosedur untuk integran berbentuktanm x secn x .∫

tanm x secn x dx Prosedur Identitas Terkait- Pilihlah faktor pembagi dari sec2 x

n genap - Gunakan kesamaan terkait sec2 x = 1 + tan2 xSubstitusi u = tan x- Pilihlah faktor dari sec x tan x

m ganjil - Gunakan kesamaan terkait tan2 x = sec2 x − 1- Substitusi u = sec x

m genap dan n ganjil - Gunakan kesamaan terkait untuk tan2 x = sec2 x − 1mereduksi pangkat dari sec x- Kemudian gunakan rumus reduksiuntuk pangkat sec x

Dengan pertolongan kesamaan 1 + cot2 x = csc2 x prosedurdiatas dapat disesuaikan untuk menghitung integral berbentuk∫

cotm x cscn x dx .Kusbudiono Teknik Pengintegralan




Integral Parsial

Jenis 5:∫

sin mx cos nx dx , sin mx sin nx dx , dan∫cos mx cos nx dx

Untuk menghitung integral berbentuk∫

sin mx cos nx dx ,sin mx sin nx dx , dan

∫cos mx cos nx dx digunakan

rumus-rumus pergandaan jumlahan dari trigonometri dibawahini:

sin mx sin nx = −12[cos(m + n)x − cos(m − n)]

cos mx cos nx =12[cos(m + n)x + cos(m − n)x ]

sin mx cos nx =12[sin(m + n)x + sin(m − n)x ]





Integral Parsial

Integran yang memuat n√

ax + b

Apabila didalam integran ada bentuk n√

ax + b, substitusiu = n√

ax + b dapat merasionalkan integran.





Integral Parsial

Integran yang memuat√

a2 − x2,√

a2 + x2 dan√x2 − a2

Untuk merasioanalkan bentuk bentuk integran√a2 − x2,

√a2 + x2 dan

√x2 − a2 kita gunakan masing-masing

substitusi sebagai berikut:Ekspresi Substitusi Pembatasan θ Kesamaan trigonometridalam yang diperlukan untukintegran penyederhanaan√

a2 − x2 x = a sin θ −π2 ≤ θ ≤ π

2 a2 − a2 sin2 θ = a2 cos2 θ√a2 + x2 x = a tan θ −π

2 ≤ θ ≤ π2 a2 + a2 tan2 θ = a2 sec2 θ√

x2 − a2 x = a sec θ 0 ≤ θ ≤ π2 (x ≥ a) a2 sec2 θ − a2 = a2 tan2 θ

π ≤ θ ≤ 3π2 (x ≤ −a)





Integral Parsial

Melengkapkan Menjadi Kuadrat Sempurna

Apabila sebuah bentuk kuadrat x2 + Bx + C muncul dibawahakar dalam integran, kita dapat melengkapkannya menjadikuadrat sempurna sebelum kita menggunakan substitusitrionometri.





Integral Parsial

Pecahan Parsial

Setiap fungsi rasional P(x)Q(x) dengan derajat pembilang lebih kecil

dari pada derajat penyebut dapat dinyatakan sebagai jumlahan

P(x)Q(x)

= F1(x) + F2(x) + . . .+ Fn(x)

dimana F1(x),F2(x), . . . ,Fn(x) fungsi-fungsi rasional dalambentuk A1

(ax+b)k atau Ax+B(ax2+bx+c)k

Suku-suku F1(x),F2(x), . . . ,Fn(x) pada sisi kanan persamaandiatas disebut pecahan parsial sedangkan semua sisikanannya disebut dekomposisi pecahan parsial dari sisi kiri.





Integral Parsial

Mendapatkan bentuk dekomposisi pecahan parsial

Langkah pertama untuk mendapatkan dekomposisi pecahanparsial suatu fungsi rasional P(x)

Q(x) yang mempunyai derajatpembilang lebih kecil dari pada derajat penyebut adalahdengan memfaktorkan Q(x), secara lengkap menjadi faktorlinier dan faktor kuadratik yang tak dapat difaktorkan lagi, danmengumpulkan faktor berulang sehingga Q(x) dinyatakansebagai perkalian faktor-faktor yang berbeda dari bentuk(ax + b)m dan (ax2 + bx + c)m.





Integral Parsial

Faktor-faktor Linier

Jika semua faktor Q(x) linier, maka dekomposisi pecahanparsial P(x)

Q(x) dapat ditentukan dengan aturan sebagai berikut:

Teorema (Aturan Faktor Linier)Untuk setiap faktor dalam bentuk (ax + b)m, dekomposisipecahan rasional mengandung jumlahan dari m pecahanparsial:

A1

ax + b+

A2

(ax + b)2 + . . .+Am

(ax + b)m

dengan A1,A2, . . . ,Am konstanta yang ditentukan.





Integral Parsial

Faktor-faktor Kuadratik

Jika beberapa faktor Q(x) adalah kuadratik yang tidak dapatdisederhanakan lagi, maka kontribusi faktor-faktor itu padadekomposisi pecahan parsial P(x)

Q(x) dapat ditentukan denganaturan sebagai berikut:

Teorema (Aturan Faktor Kuadratik)Untuk setiap faktor dalam bentuk (ax2 + bx + c)m, dekomposisipecahan rasional mengandung jumlahan dari m pecahan parsial:

A1x + B1

ax2 + bx + c+

A2x + B2

(ax2 + bx + c)2 + . . .+Amx + Bm

(ax2 + bx + c)m

dengan A1,A2, . . . ,Am,B1,B2, . . . ,Bm konstanta yang ditentukan.





Integral Parsial

Integral yang mencakup pangkat rasional

Integral yang mengandung pangkat rasional x seringkali dapatdisederhanakan dengan substitusi

u = x1n

dengan n adalah kelipatan persekutuan terkecil dari penyebutdalam pangkat.Tujuan dari substitusi ini adalah untuk menggantipangkat-pangkat pecahan dengan pangkat bilangan bulat,yang lebih mudah untuk dikerjakan.





Integral Parsial

Contoh: ∫ √x

1 + 3√

xdx

Jawab:Digunakan subsitusi u = x

16 karena 6 adalah KPK dari 2 dan 3.

Sehingga didapat x = u6 dan dx = 6u5 du. Untuk√

x ,√x = (x

16 )3 = u3, sedangkan untuk 3

√x , 3√

x = (x16 )2 = u2.





Integral Parsial

Sehingga∫ √x

1 + 3√

xdx =

∫u3

1 + u2 6u5 du

=

∫6u8

1 + u2 du

=

∫6u6 − 6u4 + 6u2 − 6 +

61 + u2 du

=67

u7 − 65

u5 + 2u3 − 6u + ln |u +√

1 + u2|+ C

=67(x

16 )7 − 6

5(x

16 )5 + 2(x

16 )3 − 6(x

16 ) + . . .

ln |(x16 ) +

√1 + (x

16 )2|+ C





Integral Parsial

Integral yang memuat fungsi-fungsi rasional dalamsin x dan cos x

Fungsi yang terdiri dari beberapa jumlahan, selisih, hasilkali,dan hasilbagi berhingga dari sin x dan cos xContoh:

sin x + 3 cos2 xcos x + 4 sin x

,sin x

1 + cos x − cos2 x,

3 sin5 x1 + 4 sin x





Integral Parsial

Pengintegralan Parsial Integral Tak Tentu

dv = uv −∫

v du

Integral diatas dimungkinkan untuk memindahkanpengintegralan u dv pada pengintegralan v du yang tergantungpada pemilihan u dan dv yang tepat.





Integral Parsial

Pengintegralan Parsial Integral Tentu

∫ b

au dv = [uv ]ba −

∫ b

av du


Jurusan Matematika - · PDF fileOutline Metode Substitusi Integral Fungsi Trigonometri...

Documents

Transcript of Jurusan Matematika - · PDF fileOutline Metode Substitusi Integral Fungsi Trigonometri...