Kalkulus Elementer - math.fmipa.unmul.ac.idmath.fmipa.unmul.ac.id/nanda/kalkulus1a.pdf · Himpunan...

Click here to load reader

  • date post

    04-Mar-2019
  • Category

    Documents

  • view

    224
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Kalkulus Elementer - math.fmipa.unmul.ac.idmath.fmipa.unmul.ac.id/nanda/kalkulus1a.pdf · Himpunan...

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Kalkulus Elementer

Nanda Arista Rizki, M.Si.

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamUniversitas Mulawarman

2018

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 1/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Referensi:1 Dale Varberg, Edwin Purcell, dan Steve Rigdon. (2007).

Calculus, edisi ke 9.2 James Stewart. (2015). Calculus, edisi ke 8. Cengage

Learning.3 S. Donevska, B. Donevsky. (2006). Calculus and Analytic

Geometry. Technical university of Sofia.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 2/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Pertemuan ke 1: Sistem Bilangan RealPertemuan ke 2: Sistem KoordinatPertemuan ke 3: FungsiPertemuan ke 4: LimitPertemuan ke 5: Kuis EvaluasiPertemuan ke 6: KekontinuanPertemuan ke 7: TurunanPertemuan ke 8: UTS

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 3/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

KalkulusKalkulus (Calculus) itu calculate atau menghitungKalkulus merupakan studi tentang gerakan dan lajuperubahanKalkulus secara umum membahas tentang change(perubahan), yang meliputi limit, kontinuitas, fungsi,diferensial, integrasi, dan lain lain.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 4/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Himpunan dan Operasi-Operasi Elementernya

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 5/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Himpunan adalah sekumpulan objek yang memiliki sifat keter-kaitan antar anggotanya. Sifat keterkaitan tersebut dinamakansifat himpunan.

Himpunan dituliskan didalam tanda kurung kurawal. Setiap ang-gota suatu himpunan disebut elemen (unsur) himpunan yang ber-sangkutan.

Suatu himpunan biasanya diberi nama dengan huruf besar. Se-dangkan anggotanya ditulis dengan huruf kecil.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 6/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Dalam himpunan dari 10 bilangan bulat positif yang pertama,maka 34 dan 14 tidak termasuk dalam himpunan tersebut.

Misalkan C adalah himpunan bilangan real x dimana 0 x 1,maka 34 adalah elemen himpunan C dan ditulis

34 C.

Secara umum, c C artinya c adalah suatu elemen (anggota)dari himpunan C. Namun jika c bukan merupakan anggota darihimpunan C, maka ditulis c / C.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 7/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Jika setiap elemen dari himpunan C1 juga merupakan elemendari himpunan C2, maka C1 disebut subset (himpunan bagian)dari C2 dan ditulis C1 C2.

Contohnya, A = {1, 2, 3} dan B = {0, 1, 2, 3}.Jelas bahwa A B.Contoh lainnya,

C ={1, 2, 3}

ditulis C A.

Ingat bahwa jika C1 C2 dan C2 C1, maka kedua himpunantersebut memiliki elemen-elemen yang sama, ditulis C1 = C2.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 8/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Contoh Soal

Buatlah hubungan antara dua himpunan berikut:

1. A = {1, 2, 3, . . . , 100} dan B = {3, 6, 9, 12, . . . , 99}2. G = {(m, n)|m + n = 4; m = 1, 2, 3; n = 1, 2, 3} dan

H = {(a, b)|a = 1, 2, 3; b = 1, 2, 3}.Catatan: (a, b) adalah pasangan bilangan real.

3. M = {Samsung Galaxy S9, Samsung Galaxy Note 8,Samsung Galaxy A8, iPhone 8, iPhone X}, dan

N = {Produk-produk Samsung dan Apple}.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 9/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Jika ada elemen-elemen himpunan C1 yang juga merupakan elemen-elemen himpunan C2, maka elemen-elemen yang sama tersebutdinamakan himpunan irisan dan ditulis C1 C2.

Namun jika elemen-elemen C3 merupakan elemen dari himpun-an C1 atau C2, maka C3 disebut himpunan gabungan dan ditulisC3 = C1 C2.

Contohnya, A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {0, 1, 2, 8}, maka A B ={1, 2} adalah irisan dari himpunan A dan B. Sedangkan AB ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 8} adalah gabungan dari himpunan A dan B.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 10/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Jika suatu himpunan C tidak memiliki elemen, maka C disebuthimpunan kosong dan ditulis C = . Himpunan kosong juga bi-sa ditulis dengan {}. Perlu diingat juga bahwa himpunan kosong merupakan subset dari semua himpunan. Himpunan gabungandari semua himpunan disebut himpunan semesta . Jelas bahwa .

Himpunan komplemen adalah himpunan yang elemen-elemennyatidak ada di himpunan tersebut namun ada di himpunan semesta-nya. Misalkan C adalah himpunan, maka komplemennya adalahCc.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 11/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Dalam teori himpunan, dikenal juga hukum DeMorgan. MisalC1 dan C2 adalah dua himpunan, maka berlaku:

(C1 C2)c = Cc1 Cc2 (1)(C1 C2)c = Cc1 Cc2 (2)

Jika C1 C2 = , maka C1 dan C2 saling lepas.

Misalkan C3 adalah himpunan lain, maka berlaku hukum distri-butif:

C1 (C2 C3) =(C1 C2) (C1 C3)C1 (C2 C3) =(C1 C2) (C1 C3).

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 12/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Hubungan antar himpunan dapat direpresentasikan dalam dia-gram Venn. Misalkan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {3, 4, 5, 6} de-ngan adalah bilangan bulat dari 1 sampai 10.

Gambar: Diagram venn

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 13/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Contoh Soal

4. Misalkan A adalah empat bilangan prima pertama dan Badalah faktor prima dari 10, dengan himpunan semesta = {1, 2, . . . , 10}. Tentukan:

a) A Bb) A Bc) A Bcd) (A Bc)c

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 14/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Contoh Soal

5. Jelaskan penggunaan simbol-simbol matematika berikut:!3RN

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 15/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Sistem Bilangan Real

Kalkulus itu berdasarkan sistem bilangan Real dan sifat-sifatnya.

Sistem bilangan yang perlu diketahui1 Himpunan bilangan asli (natural) disimbolkan N.

N = {1, 2, 3, 4, . . .}2 Himpunan bilangan bulat (integer) disimbolkan Z.

Z = {. . . ,2,1, 0, 1, 2, . . .}3 Himpunan bilangan rasional disimbolkan Q.

Contohnya: 2, 1/2,11/22, 22/7, . . .4 Himpunan bilangan real disimbolkan R.

Contohnya: 0,

3,

4,

5, , 2, . . .

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 16/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Jelas bahwa N Z Q R.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 17/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Bilangan real adalah penyempurnaan dari bilangan rasional. Bi-langan rasional adalah bilangan-bilangan yang dapat dituliskandalam bentuk pecahan

mn,

dengan m, n Z dan n 6= 0. Bilangan rasional mempunyai ben-tuk desimal yang berulang atau bentuk desimal yang berhenti.Contohnya:

23

= 0, 66666666 . . . ;38

= 0, 375.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 18/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Contoh Soal

6. Tunjukkan bahwa 0, 66666666 . . . adalah bilanganrasional!Jawab:

Misal x = 0, 66666666 . . ., maka

10x =6, 66666666 . . .10x =6 + 0, 66666666 . . .10x =6 + x9x =6

x =23.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 19/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Contoh Soal

6. Tunjukkan bahwa 0, 66666666 . . . adalah bilanganrasional!Jawab:Misal x = 0, 66666666 . . ., maka

10x =6, 66666666 . . .10x =6 + 0, 66666666 . . .10x =6 + x9x =6

x =23.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 19/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Contoh Soal

7. Apakah bilangan-bilangan berikut adalah rasional?1 0, 123123123...2 4, 56783 8, 880880881...4 5, 112233445...5

2 = 1, 4142135623...6 = 3, 1415926535...

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 20/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Kerapatan Bil. Real

Setiap 2 bil. Real, selalu ada bil. Real lain yang berada di anta-ranya. Misalkan a, b R dan x1 = (a+b)2 , maka a < x1 < b ataudapat ditulis x1 (a, b). Faktanya x1 R, maka di antara a danx1 juga terdapat bilangan x2 =

(a+x1)2 yang juga bil. Real.

Gambar: Ilustrasi

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 21/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Garis Bilangan

Terdapat korespondensi satu-satu antara R dan garis lurus, bah-wa setiap bilangan Real dapat digambarkan sebagai titik padagaris dan setiap titik dapat dinyatakan oleh bilangan Real.

Bilangan Real bisa digambarkan secara geometri melalui garisbilangan.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 22/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Interval (selang)

Suatu ruas garis pada garis bilangan dinamakan selang hingga.Suatu selang hingga mempunyai batas atas dan batas bawah. Se-lang tak hingga hanya diperoleh dalam kasus garis yang tak te-batas.

Selang yang tidak memuat titik batasnya dinamakan selang bukadan yang memuat semua titik batasnya dinamakan selang tutup.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 23/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 24/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 25/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Contoh soal

8. Tentukan himpunan penyelesaian ketidaksamaan berikutdan nyatakan dalam notasi selang!

a) 2x 5 4x 3b) 2 < 4x 3 < 9c) 2x 4 6 7x 3x + 6d) 4x2 5x 6 < 0.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 26/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Pertidaksamaan

Aksioma urutanPada R terdapat himpunan P R yang memenuhi:

1. Jika a R, maka atau a = 0, atau a P, atau a P.2. Jika a, b P, maka a + b P dan ab P.

Dalam hal ini P adalah himpunan bilangan positif.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 27/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Secara umum, jika x < y dengan x, y R. Maka y x adalahbilangan positif atau ditulis y x > 0. Dalam hal ini, x < yartinya sama dengan y > x.

Contohnya 1 < 2, maka 2 1 = 1 > 0. Oleh karena itu padagaris bilangan real, angka 1 berada disebelah kiri angka 2.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 28/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

TeoremaMisalkan a, b, c R,

1 pasti berlaku salah satu berikut:a < ba = ba > b.

2 jika a < b dan b < c, maka a < c (sifat transitif).3 a < c a + b < c + b (tidak memperhatikan nilai b).4 a > 0, b < c ab < ac

a < 0, b < c ab > ac.5 Jika 0 < a < b dan 0 < c < d, maka ac < bd.6 Jika 0 < a < b atau a < b < 0, maka 1a >

1b .

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 29/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Nilai Mutlak

Misalkan x R. Harga mutlak dari x, ditulis

|x| ={x, x < 0x, x 0

Contohnya | 1| = 1, |2| = 2, |0| = 0.

Arti geometri dari |x| adalah jarak x ke 0 pada garis real R. Perludiingat bahwa jarak dari x ke y pada garis bilangan adalah |xy|.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 30/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Misalkan a, b R, maka1.

a2 = |a|2. untuk c > 0,

|a| c c a c a2 c2|a| c a c atau a c a2 c2

3. |ab| = |a||b|4. | ab | =

|a||b|

5. |a + b| |a|+ |b| (ketidaksamaan segitiga)6. |a b| ||a| |b|| (ketidaksamaan segitiga)

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 31/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Contoh Soal

9. Misalkan x R. Berapakah nilai dari |x 2|?Jawab:

|x 2| ={(x 2), (x 2) < 0(x 2), (x 2) 0

=

{2 x, x < 2x 2, x 2.

Sebagai ilustrasi, misal x = 12 . Karena x < 2, maka

| 12 2| = 2 (1

2) = 2

12

atau |x 2| = | 12 2| = | 212 | = 2

12 .

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 32/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Contoh Soal

9. Misalkan x R. Berapakah nilai dari |x 2|?Jawab:

|x 2| ={(x 2), (x 2) < 0(x 2), (x 2) 0

=

{2 x, x < 2x 2, x 2.

Sebagai ilustrasi, misal x = 12 . Karena x < 2, maka

| 12 2| = 2 (1

2) = 2

12

atau |x 2| = | 12 2| = | 212 | = 2

12 .

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 32/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Contoh Soal

9. Misalkan x R. Berapakah nilai dari |x 2|?Jawab:

|x 2| ={(x 2), (x 2) < 0(x 2), (x 2) 0

=

{2 x, x < 2x 2, x 2.

Sebagai ilustrasi, misal x = 12 . Karena x < 2, maka

| 12 2| = 2 (1

2) = 2

12

atau |x 2| = | 12 2| = | 212 | = 2

12 .

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 32/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Contoh Soal

10. Tentukan solusi dari pertidaksamaan |3x 5| 1!Jawab:

Persamaan tersebut dapat ditulis menjadi

3x 5 1 atau 3x 5 13x 4 atau 3x 6

x 43

atau x 2.

Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah gabungan daridua interval yaitu

( , 43

][2, ) .

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 33/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Contoh Soal

10. Tentukan solusi dari pertidaksamaan |3x 5| 1!Jawab:Persamaan tersebut dapat ditulis menjadi

3x 5 1 atau 3x 5 13x 4 atau 3x 6

x 43

atau x 2.

Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah gabungan daridua interval yaitu

( , 43

][2, ) .

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 33/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Contoh Soal

11. Misalkan > 0. Tunjukkan bahwa

|x 2| < 5 |5x 10| < .

Jawab:

|x 2| < 5 5|x 2| <

|5||x 2| < |5(x 2)| < |5x 10| < .

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 34/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Contoh Soal

11. Misalkan > 0. Tunjukkan bahwa

|x 2| < 5 |5x 10| < .

Jawab:

|x 2| < 5 5|x 2| <

|5||x 2| < |5(x 2)| < |5x 10| < .

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 34/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Contoh Soal

12. Misalkan > 0. Tentukan bil. positif sedemikiansehingga

|x 3| < |6x 18| < .

Jawab:

|6x 18| < |6(x 3)| < 6|(x 3)| <

|x 3| < 6.

Maka = 6 atau lebih tepatnya 6 .

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 35/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Contoh Soal

12. Misalkan > 0. Tentukan bil. positif sedemikiansehingga

|x 3| < |6x 18| < .

Jawab:

|6x 18| < |6(x 3)| < 6|(x 3)| <

|x 3| < 6.

Maka = 6 atau lebih tepatnya 6 .

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 35/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Contoh Soal

Tentukan nilai x jika:13. |x 2| 32 .14. |2x + 3| |x 3|.Jawab:

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 36/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Contoh Soal

15. Tentukan bilangan positif agar pernyataan berikut benar:|x 2| < |5x 10| < 1.

Jawab:

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 37/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Contoh Soal

16. Tentukan bilangan positif agar pernyataan berikut benar:|x 2| < |6x 18| < 24.

Jawab:

|x 2| < |6x 18| < 24|x 2| < |x 3| < 4

< x 2 < 4 < x 3 < 4 1 < x 3 < 1 4 < x 3 < 4.

Maka haruslah 1 > 4 dan 1 < 4, diperoleh < 3dan < 5. Oleh karena itu pilih < 3.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 38/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Himpunan dan Operasi-Operasi ElementernyaSistem Bilangan RealSifat-Sifat Bilangan Real

Contoh Soal

16. Tentukan bilangan positif agar pernyataan berikut benar:|x 2| < |6x 18| < 24.

Jawab:

|x 2| < |6x 18| < 24|x 2| < |x 3| < 4

< x 2 < 4 < x 3 < 4 1 < x 3 < 1 4 < x 3 < 4.

Maka haruslah 1 > 4 dan 1 < 4, diperoleh < 3dan < 5. Oleh karena itu pilih < 3.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 38/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Sistem Koordinat KartesiusSistem Koordinat Kutub (Polar)Hubungan antara Sistem Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub

Sistem Koordinat

Titik dalam suatu bidang dapat diidentifikasi dengan pasanganterurut dari bilangan-bilangan real. Bilangan-bilangan real ter-sebut diurutkan dalam garis real, sehingga pasangan terurutnyaterbentuk dari dua garis real. Biasanya, dua garis real tersebutdiposisikan untuk berpotongan di titik asal O.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 39/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Sistem Koordinat KartesiusSistem Koordinat Kutub (Polar)Hubungan antara Sistem Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub

Misalkan dalam suatu bidang, terdapat titik (yang bernama) Pyang diletakkan di pasangan (a, b). Dalam hal ini, a disebutkoordinat x dari P dan b disebut koordinat y dari P. Titik Pdisimbolkan dengan P(a, b).

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 40/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Sistem Koordinat KartesiusSistem Koordinat Kutub (Polar)Hubungan antara Sistem Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub

Beberapa titik juga dapat dilabeli dengan koordinatnya sepertigambar berikut

Walaupun notasi yang digunakan sama dengan interval selangbuka, namun dapat dikenalinya dari konteks makna yang dimak-sud.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 41/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Sistem Koordinat KartesiusSistem Koordinat Kutub (Polar)Hubungan antara Sistem Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub

Sistem koordinat tersebut dinamakan sistem koordinat Karte-sius, yang dikenalkan oleh matematikawan Perancis bernamaRene Descartes (1596-1650). Suatu bidang dalam sistem ko-ordinat ini disebut bidang Kartesius yang dinyatakan oleh R2.Sumbu x dan sumbu y dalam sistem koordinat ini disebut sumbukoordinat, dan dibagi menjadi 4 kuadran (yang dilabeli I, II, III,dan IV).

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 42/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Sistem Koordinat KartesiusSistem Koordinat Kutub (Polar)Hubungan antara Sistem Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub

Berikut skesa daerah yang didefinisikan oleh himpunan pasang-an titik.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 43/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Sistem Koordinat KartesiusSistem Koordinat Kutub (Polar)Hubungan antara Sistem Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub

Contoh Soal

Sketsalah daerah yang didefinisikan oleh:1. {(x, y)| 1 x < 3}!2. {(x, y)| < y 3}!3. {(x, y)| 1 < x < 3,1 < y < 3}!4. {(x, y)| 2 < x + y < 6}!

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 44/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Sistem Koordinat KartesiusSistem Koordinat Kutub (Polar)Hubungan antara Sistem Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub

Misalkan diberikan dua titik, yaitu P1(x1, y1) dan P2(x2, y2). Ma-ka jarak antara dua titik tersebut adalah

|P1P2| =

(x2 x1)2 + (y2 y1)2.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 45/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Sistem Koordinat KartesiusSistem Koordinat Kutub (Polar)Hubungan antara Sistem Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub

Contoh Soal

Buatlah suatu koordinat kartesius, lalu tentukan jarak antara duatitik berikut:

5. A(0, 0) dan B(4, 5).6. C(3,4) dan D(3, 4).7. E(2,5) dan F(5, 2).8. G(6,7) dan H(8,7).

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 46/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Sistem Koordinat KartesiusSistem Koordinat Kutub (Polar)Hubungan antara Sistem Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub

Sistem Koordinat Kutub (Polar)

Sistem koordinat selanjutnya adalah sistem koordinat kutub, yangdikenalkan oleh Newton. Dimulai dari memilih titik pole (atauasal) dalam bidang yang dilabeli dengan O. Lalu menggambar-nya dari titik O yang disebut polar axis. Biasanya polar axis(sumbu kutub) digambar secara horisontal ke kanan.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 47/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Sistem Koordinat KartesiusSistem Koordinat Kutub (Polar)Hubungan antara Sistem Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub

Jika P adalah titik lain dalam bidang tersebut, r menyatakan ja-rak dari titik O ke titik P, dan adalah sudut antara sumbu kutubdan garis OP; Maka titik P dinyatakan oleh pasangan terurut(r, ), dan disebut koordinat kutub dari P.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 48/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Sistem Koordinat KartesiusSistem Koordinat Kutub (Polar)Hubungan antara Sistem Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub

Sistem koordinat ini menggunakan sudut yang dapat diukur baikdalam satuan derajat maupun radian (rad). Dalam hal ini,

rad = 180.

Derajat 0 30 45 60 90 120Radian 0 /6 /4 /3 /2 2/3

Derajat 135 150 180 270 360Radian 3/4 5/6 3/2 2

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 49/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Sistem Koordinat KartesiusSistem Koordinat Kutub (Polar)Hubungan antara Sistem Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub

Biasanya ada kesepakatan bahwa suatu sudut itu positif jika di-ukur dalam arah yang berlawanan dengan arah jarum jam, danbernilai negatif jika diukur sebaliknya. Jika P = O, maka r = 0dan titik (0, ) menyatakan pole (kutub) untuk setiap .

Titik (r, ) dan (r, ) berada pada garis yang sama yang me-lalui titik O dan kedua titik tersebut memiliki jarak yang samadari O (yaitu |r|), namun berlawanan arah. Catatan: titik (r, )menyatakan titik yang sama dengan titik (r, + ).

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 50/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Sistem Koordinat KartesiusSistem Koordinat Kutub (Polar)Hubungan antara Sistem Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub

Berikut adalah contoh titik dan koordinat kutubnya.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 51/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Sistem Koordinat KartesiusSistem Koordinat Kutub (Polar)Hubungan antara Sistem Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub

Dalam sistem koordinat Kartesius, setiap titik hanya memilikisatu representasi. Namun dalam sistem koordinat kutub, setiaptitik memiliki banyak representasi.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 52/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Sistem Koordinat KartesiusSistem Koordinat Kutub (Polar)Hubungan antara Sistem Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub

Karena satu putaran penuh dinyatakan oleh sudut 2, maka titik(r, ) dapat dinyatakan oleh

(r, + 2n) dan (r, + (2n + 1)),

dengan n Z.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 53/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Sistem Koordinat KartesiusSistem Koordinat Kutub (Polar)Hubungan antara Sistem Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub

Contoh Soal

Buatlah dalam koordinat kutub jika diketahui9. titik I(2, 23 ).

10. titik J(

4,4 ).11. r = 1.12. = /3.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 54/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Sistem Koordinat KartesiusSistem Koordinat Kutub (Polar)Hubungan antara Sistem Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub

Hubungan antara Sistem Koordinat Kartesius danKoordinat Kutub

Jika titik P memiliki koordinat Kartesius (x, y) dan koordinatkutub (r, ), maka

cos =xr, dan sin =

yr.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 55/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Sistem Koordinat KartesiusSistem Koordinat Kutub (Polar)Hubungan antara Sistem Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub

Sehingga berlaku

x = r cos , dan y = r sin .

Walaupun persamaan tersebut diperoleh dari ilustrasi gambar bah-wa r > 0 dan 0 < < 2 , namun juga berlaku untuk semua nilair dan . Oleh karena itu, berlaku juga

r2 = x2 + y2, dan tan =yx.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 56/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Sistem Koordinat KartesiusSistem Koordinat Kutub (Polar)Hubungan antara Sistem Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub

Dari gambar berikut,

diperoleh

sin = y/r, csc = r/ycos = x/r, sec = r/xtan = y/x, cot = x/y.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 57/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Sistem Koordinat KartesiusSistem Koordinat Kutub (Polar)Hubungan antara Sistem Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub

Jika jarak |OP| diwakili oleh r = 1, maka koordinat titik P dalamgambar di bawah ini adalah (cos , sin ).

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 58/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Sistem Koordinat KartesiusSistem Koordinat Kutub (Polar)Hubungan antara Sistem Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub

Contoh Soal

13. Ubah titik (2, 3 ) dari koordinat kutub ke koordinatKartesius!Jawab:

x = r cos = 2 cos

3= 2 1

2= 1

y = r sin = 2 sin

3= 2

3

2=

3.

Sehingga titik tersebut menjadi (1,

3) dalam koordinatKartesius.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 59/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Sistem Koordinat KartesiusSistem Koordinat Kutub (Polar)Hubungan antara Sistem Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub

Contoh Soal

13. Ubah titik (2, 3 ) dari koordinat kutub ke koordinatKartesius!Jawab:

x = r cos = 2 cos

3= 2 1

2= 1

y = r sin = 2 sin

3= 2

3

2=

3.

Sehingga titik tersebut menjadi (1,

3) dalam koordinatKartesius.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 59/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Sistem Koordinat KartesiusSistem Koordinat Kutub (Polar)Hubungan antara Sistem Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub

Contoh Soal

14. Representasikan titik koordinat Kartesius (1,1) ke dalamkoordinat kutub!Jawab:

r =

x2 + y2 =

12 + (1)2 =

2

tan =yx

= 1.

Karena (1,1) berada dalam Kuadran IV, maka dapatdipilih = 4 atau =

74 .

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 60/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Sistem Koordinat KartesiusSistem Koordinat Kutub (Polar)Hubungan antara Sistem Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub

Contoh Soal

14. Representasikan titik koordinat Kartesius (1,1) ke dalamkoordinat kutub!Jawab:

r =

x2 + y2 =

12 + (1)2 =

2

tan =yx

= 1.

Karena (1,1) berada dalam Kuadran IV, maka dapatdipilih = 4 atau =

74 .

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 60/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Sistem Koordinat KartesiusSistem Koordinat Kutub (Polar)Hubungan antara Sistem Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub

Contoh Soal

15. Buatlah dalam koordinat kartesius jika diketahui r = 3sin !Jawab:

x = r cos =3 cos sin

y = r sin = 3.

Atau dapat juga dibuktikan bahwa

r =3

sin r sin = y = 3.

Namun nilai x tidak terdefinisi ketika = k, k Z.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 61/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Sistem Koordinat KartesiusSistem Koordinat Kutub (Polar)Hubungan antara Sistem Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub

Contoh Soal

15. Buatlah dalam koordinat kartesius jika diketahui r = 3sin !Jawab:

x = r cos =3 cos sin

y = r sin = 3.

Atau dapat juga dibuktikan bahwa

r =3

sin r sin = y = 3.

Namun nilai x tidak terdefinisi ketika = k, k Z.Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 61/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Sistem Koordinat KartesiusSistem Koordinat Kutub (Polar)Hubungan antara Sistem Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 62/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Hasil Kali KartesianRelasiFungsiFungsi Surjektif, Injektif, dan BijektifOperasi Aljabar pada FungsiGrafik Fungsi

Hasil Kali Kartesian

Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Hasil kali kar-tesian A dengan B adalah himpunan semua pasangan berurutan(a, b) dengan a A dan b B, ditulis

A B = {(a, b) : a A dan b B}.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 63/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Hasil Kali KartesianRelasiFungsiFungsi Surjektif, Injektif, dan BijektifOperasi Aljabar pada FungsiGrafik Fungsi

Misalkan A = {a, b} dan C = {1, 2, 3}, maka

A B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}.

Himpunan ini bersifat terurut karena (a, 1) A B namun(1, a) 6= A B.

Bidang XOY dapat dipandang sebagai hasil kali kartesian RR,dan dikenal sebagai sistem koordinat kartesius di R2.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 64/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Hasil Kali KartesianRelasiFungsiFungsi Surjektif, Injektif, dan BijektifOperasi Aljabar pada FungsiGrafik Fungsi

Secara umum, hasil kali kartesian A1,A2, . . . ,An didefinisikansebagai

A1 A2 An = {(a1, a2, . . . , an) : a1 A1, . . . , an An}

dinamakan npasangan terurut. Dalam kasus Ai R i {1, 2, . . . , n}, himpunan ini dikenal sebagai sistem koordinat ber-dimensi n.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 65/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Hasil Kali KartesianRelasiFungsiFungsi Surjektif, Injektif, dan BijektifOperasi Aljabar pada FungsiGrafik Fungsi

Relasi

Misalkan A dan B masing-masing adalah himpunan. Suatu rela-si R dari A ke B adalah himpunan bagian tak kosong dari hasilkartesian A B. Secara matematis ditulis

R A B,R 6= .

Pasangan (x, y) dari relasi R dapat ditulis dalam bentuk xRy,yang berarti x berelasi dengan y.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 66/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Hasil Kali KartesianRelasiFungsiFungsi Surjektif, Injektif, dan BijektifOperasi Aljabar pada FungsiGrafik Fungsi

Domain dan Range

Daerah asal (Domain)Domain relasi R A B adalah himpunan

DR = {x A : xRy, y B}.

Daerah hasil (Range)Range relasi R A B adalah himpunan

RR = {y B : xRy, x A}.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 67/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Hasil Kali KartesianRelasiFungsiFungsi Surjektif, Injektif, dan BijektifOperasi Aljabar pada FungsiGrafik Fungsi

Sebagai contoh, misalkan relasi R dari A = {1, 2, 3} ke B ={1, 2, 3, 4} dengan R = {(x, y) : x > y, x A, y B} adalah

{(2, 1), (3, 1), (3, 2)}.

Maka, DR = {2, 3} dan RR = {1, 2}.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 68/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Hasil Kali KartesianRelasiFungsiFungsi Surjektif, Injektif, dan BijektifOperasi Aljabar pada FungsiGrafik Fungsi

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 69/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Hasil Kali KartesianRelasiFungsiFungsi Surjektif, Injektif, dan BijektifOperasi Aljabar pada FungsiGrafik Fungsi

Fungsi

Fungsi f : A B, f (x) = y dengan A R dan B R, di-namakan fungsi real, adalah suatu aturan yang mengaitkan se-tiap anggota di himpunan A dengan tepat satu (satu dan hanyasatu) anggota di B.

Himpunan A dinamakan daerah asal atau domain fungsi f , ditulisDf . Elemen y R yang terkait dengan x A R dinamakanpeta (range) dari x dan ditulis f (x).

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 70/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Hasil Kali KartesianRelasiFungsiFungsi Surjektif, Injektif, dan BijektifOperasi Aljabar pada FungsiGrafik Fungsi

Elemen x A dinamakan peubah bebas dan y yang bergantungdari x dinamakan peubah tak bebas. Himpunan semua f (x) jikax A, dinamakan daerah nilai fungsi f dan ditulis Rf .

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 71/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Hasil Kali KartesianRelasiFungsiFungsi Surjektif, Injektif, dan BijektifOperasi Aljabar pada FungsiGrafik Fungsi

Lambang y = f (x) yang menyatakan y terkait dengan x dinama-kan aturan fungsi. Dalam kasus aturan fungsi y = f (x) diberikanterlebih dahulu, maka domain fungsi f adalah

Df = {x R|f (x) R}

dan daerah nilainya adalah

Rf = {f (x) R|x Df}.

Grafik fungsi (kurva) y = f (x) adalah himpunan titik

{(x, y) R2|y = f (x), x Df dan y Rf}.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 72/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Hasil Kali KartesianRelasiFungsiFungsi Surjektif, Injektif, dan BijektifOperasi Aljabar pada FungsiGrafik Fungsi

Fungsi Surjektif

Fungsi Surjektif

Fungsi f : A B, f (x) = y dikatakan surjektif jikaRf = f (A) = B. Sifat dari fungsi ini adalah

y B x A 3 f (x) = y.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 73/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Hasil Kali KartesianRelasiFungsiFungsi Surjektif, Injektif, dan BijektifOperasi Aljabar pada FungsiGrafik Fungsi

Fungsi Injektif

Fungsi Injektif

Fungsi f : A B, f (x) = y dikatakan injektif jika

u, v A, f (u) = f (v) u = v.

Kondisi ini setara dengan

u, v A, u 6= v f (u) 6= f (v).

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 74/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Hasil Kali KartesianRelasiFungsiFungsi Surjektif, Injektif, dan BijektifOperasi Aljabar pada FungsiGrafik Fungsi

Fungsi Bijektif

Fungsi Bijektif

Fungsi f : A B, f (x) = y dikatakan bijektif jika f fungsisurjektif dan injektif.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 75/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Hasil Kali KartesianRelasiFungsiFungsi Surjektif, Injektif, dan BijektifOperasi Aljabar pada FungsiGrafik Fungsi

Contoh Soal

1. Jika diketahui

A = {Annisa, Baby, Claudia, Debby, Endah}B = {Samarinda, Balikpapan, Bontang}.

Tentukan A B!

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 76/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Hasil Kali KartesianRelasiFungsiFungsi Surjektif, Injektif, dan BijektifOperasi Aljabar pada FungsiGrafik Fungsi

Contoh Soal

2. Misalkan diketahui:Annisa dan Baby pernah pergi ke Samarinda dan Bontang.Claudia dan Endah pernah pergi ke Samarinda danBalikpapan.Debby dan Claudia pernah pergi ke Samarinda danBontang.

Buatlah relasinya!

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 77/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Hasil Kali KartesianRelasiFungsiFungsi Surjektif, Injektif, dan BijektifOperasi Aljabar pada FungsiGrafik Fungsi

Contoh Soal

3. Dari gambar berikut, manakah yang merupakan fungsi?

(a) (b) (c)

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 78/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Hasil Kali KartesianRelasiFungsiFungsi Surjektif, Injektif, dan BijektifOperasi Aljabar pada FungsiGrafik Fungsi

Contoh Soal

4. Dari gambar berikut, manakah yang merupakan fungsi?

(a) (b) (c)

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 79/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Hasil Kali KartesianRelasiFungsiFungsi Surjektif, Injektif, dan BijektifOperasi Aljabar pada FungsiGrafik Fungsi

Contoh Soal

5. Dari gambar berikut, manakah yang merupakan fungsisurjektif?

(a) (b) (c)

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 80/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Hasil Kali KartesianRelasiFungsiFungsi Surjektif, Injektif, dan BijektifOperasi Aljabar pada FungsiGrafik Fungsi

Contoh Soal

6. Dari gambar berikut, manakah yang merupakan fungsisurjektif?

(a) Rf = (,) (b) Rf = (10, 10) (c) Rf = (10, 10)

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 81/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Hasil Kali KartesianRelasiFungsiFungsi Surjektif, Injektif, dan BijektifOperasi Aljabar pada FungsiGrafik Fungsi

Contoh Soal

7. Dari gambar berikut, manakah yang merupakan fungsiinjektif?

(a) (b) (c)

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 82/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Hasil Kali KartesianRelasiFungsiFungsi Surjektif, Injektif, dan BijektifOperasi Aljabar pada FungsiGrafik Fungsi

Contoh Soal

8. Dari gambar berikut, manakah yang merupakan fungsiinjektif?

(a) (b) (c)

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 83/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Hasil Kali KartesianRelasiFungsiFungsi Surjektif, Injektif, dan BijektifOperasi Aljabar pada FungsiGrafik Fungsi

Operasi Aljabar pada Fungsi

Untuk fungsi f dan g dengan Df = Dg = D berlakuPenjumlahan:(f + g)(x) = f (x) + g(x) x DPengurangan:(f g)(x) = f (x) g(x) x DPerkalian:(fg)(x) = f (x) g(x) x DPembagian:fg(x) =

f (x)g(x) x D dan g(x) 6= 0.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 84/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Hasil Kali KartesianRelasiFungsiFungsi Surjektif, Injektif, dan BijektifOperasi Aljabar pada FungsiGrafik Fungsi

Fungsi komposisiDua atau lebih fungsi dapat dioperasikan secara berurutansehingga menghasilkan fungsi yang baru. Fungsi ini dinamakanfungsi komposisi. Artinya hasil dari fungsi pertama dilanjutkanke fungsi ke dua, dan seterusnya.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 85/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Hasil Kali KartesianRelasiFungsiFungsi Surjektif, Injektif, dan BijektifOperasi Aljabar pada FungsiGrafik Fungsi

Fungsi komposisi (2)Misalkan

f : Df Rfx x2

dan

g : Dg Rgx x + 1,

maka (g f )(x) = g(f (x)) = g(x2) = x2 + 1dan (f g)(x) = f (g(x)) = f (x + 1) = (x + 1)2.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 86/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Hasil Kali KartesianRelasiFungsiFungsi Surjektif, Injektif, dan BijektifOperasi Aljabar pada FungsiGrafik Fungsi

Fungsi inversMisalkan f adalah suatu fungsi injektif

f : Df Rf ,

maka fungsi invers (balikan) nya adalah

f1 : Rf Df .

Jika aturan fungsi f adalah y = f (x), maka

y = f (x) x = f1(y).

Arti fungsi invers adalah f (f1(x)) = f1(f (x)) = x, x Df .

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 87/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Hasil Kali KartesianRelasiFungsiFungsi Surjektif, Injektif, dan BijektifOperasi Aljabar pada FungsiGrafik Fungsi

Fungsi genap

Jika f (x) = f (x)x Df , maka f disebut fungsi genap. Fungsiini simetri terhadap sumbu y. Contohnya, y = f (x) = x2.

Fungsi ganjil

Jika f (x) = f (x)x Df , maka f disebut fungsi ganjil.Fungsi ini simetri terhadap titik asal O(0, 0). Contohnya,y = f (x) = x3.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 88/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Hasil Kali KartesianRelasiFungsiFungsi Surjektif, Injektif, dan BijektifOperasi Aljabar pada FungsiGrafik Fungsi

Fungsi bilangan bulat terbesarDi antara dua bilangan bulat, ada bilangan real x Rsedemikian sehingga

n x < n + 1, untuk n N.

Fungsi [x] adalah bilangan bulat yang lebih kecil atau samadengan x. Dalam hal ini,

[x] = n jika x [n, n + 1).

Contohnya, [1.8] = 1, [2] = 2, [1.2] = 2.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 89/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Hasil Kali KartesianRelasiFungsiFungsi Surjektif, Injektif, dan BijektifOperasi Aljabar pada FungsiGrafik Fungsi

Grafik Fungsi

Himpunan semua pasangan (x, y) R R dengan y = f (x),x A R dan y B R, dinamakan grafik fungsi (kurva)

f : A B, f (x) = y.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 90/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Hasil Kali KartesianRelasiFungsiFungsi Surjektif, Injektif, dan BijektifOperasi Aljabar pada FungsiGrafik Fungsi

Contoh Soal

9. Misalkan f (x) = x2 + x dan g(x) = 2x. Tentukan:a) (f g)(x)b) g(f (x))c) f (g(1))

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 91/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Hasil Kali KartesianRelasiFungsiFungsi Surjektif, Injektif, dan BijektifOperasi Aljabar pada FungsiGrafik Fungsi

Contoh Soal

10. Misalkan f (x) = x2.a) Apakah fungsi f adalah injektif!b) Jika f merupakan fungsi injektif, maka tentukan inversnya!

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 92/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Hasil Kali KartesianRelasiFungsiFungsi Surjektif, Injektif, dan BijektifOperasi Aljabar pada FungsiGrafik Fungsi

Contoh Soal

11. Misalkan f (x) = x3.a) Apakah fungsi f adalah injektif!b) Jika f merupakan fungsi injektif, maka tentukan inversnya!

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 93/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Hasil Kali KartesianRelasiFungsiFungsi Surjektif, Injektif, dan BijektifOperasi Aljabar pada FungsiGrafik Fungsi

12. Sketsalah grafik fungsi daria) fungsi injektifb) fungsi surjektifc) fungsi f (x) = x2 + 2x + 1.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 94/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Limit

Perhatikan fungsi f (x) = x2+x12

x3 . Berapakah nilai f (0)?

Jawab:f (x = 0) = 0

2+01203 =

123 = 4.

Lalu, apa yang terjadi ketika x = 3?

f (x = 3) =32 + 3 12

3 3

=00.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 95/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Limit

Perhatikan fungsi f (x) = x2+x12

x3 . Berapakah nilai f (0)?Jawab:f (x = 0) = 0

2+01203 =

123 = 4.

Lalu, apa yang terjadi ketika x = 3?

f (x = 3) =32 + 3 12

3 3

=00.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 95/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Limit

Perhatikan fungsi f (x) = x2+x12

x3 . Berapakah nilai f (0)?Jawab:f (x = 0) = 0

2+01203 =

123 = 4.

Lalu, apa yang terjadi ketika x = 3?

f (x = 3) =32 + 3 12

3 3

=00.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 95/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Limit

Perhatikan fungsi f (x) = x2+x12

x3 . Berapakah nilai f (0)?Jawab:f (x = 0) = 0

2+01203 =

123 = 4.

Lalu, apa yang terjadi ketika x = 3?

f (x = 3) =32 + 3 12

3 3

=00.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 95/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

x f (x)2,8 6,82,9 6,9

2,95 6,952,999 6,999

3 ?3,001 7,0013,05 7,053,1 7,13,2 7,2

Namun berdasarkan tabel, dapat disimpulkan bahwa ketika xmendekati 3, maka f (x) mendekati 7.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 96/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 97/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Misal diberikan interval selang buka I = (a, b) pada R dan titikc I. Suatu fungsi f terdefinisi di I, namun titik c mungkin tidakterdefinisi (mungkin juga terdefinisi).

Perhatikan bahwa

0 < |x c| < < x c <

merupakan himpunan semua bilangan Real x yang jaraknya ketitik c kurang dari . Dengan sifat kerapatannya, bisa diambilsampel bilangan-bilangan yang mendekati titik c tersebut. Istilahx mendekati c mengandung makna bahwa jarak antara titik x ketitik c semakin lama semakin kecil.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 98/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Misal diberikan interval selang buka I = (a, b) pada R dan titikc I. Suatu fungsi f terdefinisi di I, namun titik c mungkin tidakterdefinisi (mungkin juga terdefinisi).

Perhatikan bahwa

0 < |x c| < < x c <

merupakan himpunan semua bilangan Real x yang jaraknya ketitik c kurang dari . Dengan sifat kerapatannya, bisa diambilsampel bilangan-bilangan yang mendekati titik c tersebut. Istilahx mendekati c mengandung makna bahwa jarak antara titik x ketitik c semakin lama semakin kecil.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 98/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 99/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Misalkan fungsi f (x) = x2+x12

x3 ,memiliki domain Df = R {3} = R\{3} seperti pada gambarberikut.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 100/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Intuisinya (berdasarkan pengalaman dari tabel), jika nilai sebe-lum f (x = 3) dan setelah f (x = 3) mendekati nilai sama, makanilai f (x = 3) dapat ditebak.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 101/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Pertanyaannya,1 berapa nilai 1 agar

0 < |x 3| < 1 |f (x) 7| < 1?

Apakah 1 = 3/4 memenuhi?

2 berapa nilai 2 agar

0 < |x 3| < 2 |f (x) 7| 0 dapat dicari > 0 sedemikian sehingga

0 < |x c| < |f (x) L| < .

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 104/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Arti mendekati ini, bisa dari kiri titik c atau dari kanan titik c.Dengan kata lain, nilai limit f (x) untuk x mendekati c ada, jika

limxc

f (x) = limxc+

f (x).

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 105/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

> 0 > 0 3 0 < |x c| < |f (x) L| < .

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 106/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Perhatikan bahwa fungsi berikut tidak memiliki limit di x = 0.Kenapa?

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 107/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Sifat-sifat LimitMisalkan f dan g adalah dua buah fungsi, dan k R, maka

1. limxc

k = k

2. limxc

x = c

3. limxc

(kf )(x) = k limxc

f (x)

4. limxc

(f + g)(x) = limxc

f (x) + limxc

g(x)

5. limxc

(f g)(x) = limxc

f (x) limxc

g(x)

6. limxc

(fg)(x) = limxc

f (x) limxc

g(x)

7. limxc

(fg

)(x) =

limxc

f (x)

limxc

g(x)

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 108/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Sifat-sifat Limit

8. limxc

[f (x)]n =(

limxc

f (x))n, n N

9. limxc

n

f (x) = n

limxc

f (x), limxc

f (x) 0 untuk n genap

10. Jika p(x) fungsi polinom, maka limxc

p(x) = p(c)

11. Teorema Apit (Teorema Sandwich).Misalkan f , g, h adalah tiga fungsi dengan

g(x) f (x) h(x) x I.

Jika limxc

g(x) = L dan limxc

h(x) = L,

maka limxc

f (x) = L. Ilustrasikan secara grafik!

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 109/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Sifat-sifat Limit

Sifat-sifat Limit Fungsi Trigonometrilimxc

sin x = sin c dan limxc

cos x = cos c

limx0

sin xx = 1 dan limx0

xsin x = 1

limx0

tan xx = 1 dan limx0

xtan x = 1.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 110/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Limit Satu Arah (limit satu sisi)

Perhatikan piecewise function atau step function berikut.

f (x) ={

x2, x < 1x + 1, x 1.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 111/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 112/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Tentukan:1 agar 0 < |x 1| < 1 |f (x) 2| < 2!2 agar 0 < |x 1| < 2 |f (x) 2| < 32 !3 agar 0 < |x 1| < 3 |f (x) 2| < 12 !

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 113/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Tentukan:1 agar x 1 < 1 |f (x) 2| < 2!2 agar x 1 < 2 |f (x) 2| < 32 !3 agar x 1 < 3 |f (x) 2| < 12 !

jika > 0, adakah agar x 1 < |f (x) 2| < !

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 114/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Tentukan:1 agar x 1 < 1 |f (x) 2| < 2!2 agar x 1 < 2 |f (x) 2| < 32 !3 agar x 1 < 3 |f (x) 2| < 12 !jika > 0, adakah agar x 1 < |f (x) 2| < !

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 114/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Tentukan:1 agar 1 x < 1 |f (x) 2| < 2!2 agar 1 x < 2 |f (x) 2| < 32 !3 agar 1 x < 3 |f (x) 2| < 12 !

jika > 0, adakah agar 1 x < |f (x) 2| < !

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 115/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Tentukan:1 agar 1 x < 1 |f (x) 2| < 2!2 agar 1 x < 2 |f (x) 2| < 32 !3 agar 1 x < 3 |f (x) 2| < 12 !jika > 0, adakah agar 1 x < |f (x) 2| < !

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 115/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Definisi limit kananMisalkan f (x) terdefinisi pada I = (a, b), kecuali mungkin dic I. Limit dari f (x) untuk x mendekati c dari kanan adalah L,dinotasikan

limxc+

f (x) = L,

artinya untuk setiap > 0, dapat dicari > 0 sehingga

x c < |f (x) L| < .

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 116/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Definisi limit kiriMisalkan f (x) terdefinisi pada I = (a, b), kecuali mungkin dic I. Limit dari f (x) untuk x mendekati c dari kiri adalah L,dinotasikan

limxc

f (x) = L,

artinya untuk setiap > 0, dapat dicari > 0 sehingga

c x < |f (x) L| < .

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 117/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Sifat-sifatlimxc

f (x) = L limxc

f (x) = L dan limxc+

f (x) = L

limxc

f (x) = L limxc|f (x)| = |L|

limxc

f (x) = 0 limxc|f (x)| = 0.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 118/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Limit Menuju TakhinggaPerhatikan fungsi f (x) = x1+x2 berikut. Jika x terus meningkattanpa batas, ditulis x , maka nilai f (x) cenderung menuju0. Fenomena ini mendasari konsep limit di takhingga.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 119/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

limx

f (x) = L f (x) mendekati L jika x membesar tanpa batas.

jarak f (x) ke L dibuat lebih kecil dari sebarang bilanganpositif jika x cukup besar.

|f (x) L| < untuk sebarang > 0 jika x > m untuksuatu m > 0.

> 0 m > 0 3 x > m |f (x) L| < .

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 120/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

limx

f (x) = L f (x) mendekati L jika x mengecil tanpa batas.

jarak f (x) ke L dibuat lebih kecil dari sebarang bilanganpositif jika x cukup kecil. (lebih kecil dari suatu bilangannegatif).

|f (x) L| < untuk sebarang > 0 jika x < n untuk suatun < 0.

> 0 n < 0 3 x < n |f (x) L| < .

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 121/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

limx

f (x) = L x f (x) L > 0 m > 0 3 x > m |f (x) L| < .lim

xf (x) = L x f (x) L

> 0 n < 0 3 x < n |f (x) L| < .Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 122/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Misalkan f (x) =(1 + 1x

)x, maka limx

f (x) = e.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 123/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Misalkan f (x) =(1 1x

)x, maka limx

f (x) = 1e .

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 124/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Bentuk Tak Tentu Limit Fungsi

1. Bentuk 0/0. Misal, limxc

f (x)g(x) , dengan

limxc

f (x) = 0 = limxc

g(x).

2. Bentuk/. Misal, limx

f (x)g(x) , dengan

limx

f (x) = = limx

g(x).

Solusi untuk [1] dan [2] adalah mengubah bentuk pecahannyasehingga rumus limit dapat digunakan.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 125/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

3. Bentuk 0 . Misal, limxc

f (x)g(x), dengan limxc

f (x) = 0

dan limxc

g(x) = .Solusi: Ubahlah bentuknya menjadi

limxc

f (x)1/g(x)

(bentuk 0/0) atau limxc

g(x)1/f (x)

(bentuk/)

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 126/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

4. Bentuk. Misal, limxc

(f (x) g(x)), denganlim

xf (x) = dan lim

xg(x) =.

Solusi: Ubahlah bentuknya menjadi/.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 127/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Contoh Soal

1. Misalkan k N. Tentukan limx

1xk !

Jawab:

0

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 128/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Contoh Soal

1. Misalkan k N. Tentukan limx

1xk !

Jawab: 0

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 128/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Contoh Soal

2. Misalkan k Q dan k > 0. Tentukan limx

1xk !

Jawab:

0

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 129/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Contoh Soal

2. Misalkan k Q dan k > 0. Tentukan limx

1xk !

Jawab: 0

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 129/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Contoh Soal

3. Tentukan limx

2x23xx2x6 !

Jawab:

limx

2x23xx2x6 = limx

x2(2 3x )x2(1 1x

6x2 )

=2 lim

x3x

1 limx

1x6 limx

6x2

= 201060 = 2.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 130/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Contoh Soal

3. Tentukan limx

2x23xx2x6 !

Jawab:lim

x2x23xx2x6 = limx

x2(2 3x )x2(1 1x

6x2 )

=2 lim

x3x

1 limx

1x6 limx

6x2

= 201060 = 2.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 130/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Contoh Soal

3. Tentukan limx

2x23xx2x6 !

Jawab:lim

x2x23xx2x6 = limx

x2(2 3x )x2(1 1x

6x2 )

=2 lim

x3x

1 limx

1x6 limx

6x2

= 201060 = 2.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 130/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Contoh Soal

4. Sketsalah gambar f (x) = 1x1 . Apakah limit x 1 ada?Jawab:

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 131/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Contoh Soal

4. Sketsalah gambar f (x) = 1x1 . Apakah limit x 1 ada?Jawab:

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 131/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Contoh Soal

5. Misalkan f (x) = x|x| . Tentukan limx0f (x)!

Jawab:

Df = R {0}.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 132/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Contoh Soal

5. Misalkan f (x) = x|x| . Tentukan limx0f (x)!

Jawab:Df = R {0}.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 132/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Contoh Soal

6. Misal diberikan fungsi bilangan bulat terbesar f (x) = [x]yaitu bilangan bulat yang lebih kecil atau sama dengan x.Tentukan lim

x2f (x)!

Jawab:

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 133/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Contoh Soal

6. Misal diberikan fungsi bilangan bulat terbesar f (x) = [x]yaitu bilangan bulat yang lebih kecil atau sama dengan x.Tentukan lim

x2f (x)!

Jawab:

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 133/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Contoh Soal

7. Misalkan

f (x) =

(x + 2)2, x < 12, 1 x < 13, x = 1x + 1, x (1, 2]log(x 2), x > 2.

Tentukan:a) lim

x1f (x)!

b) limx1

f (x)!

c) limx2

f (x)!

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 134/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Contoh Soal

8. Tentukan limx4

x5

x+6x4 !

Jawab:

limx4

x 5

x + 6x 4

= limx4

(

x 2)(

x 3)(

x 2)(

x + 2)

= limx4

x 3x + 2

=2 32 + 2

= 14.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 135/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Contoh Soal

8. Tentukan limx4

x5

x+6x4 !

Jawab:

limx4

x 5

x + 6x 4

= limx4

(

x 2)(

x 3)(

x 2)(

x + 2)

= limx4

x 3x + 2

=2 32 + 2

= 14.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 135/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Contoh Soal

9. Tentukan limx2

4x2

3

x2+5!

Jawab:

Misal t =

x2 + 5, maka x 2 t 3 dant2 = x2 + 5 x2 = t2 5. Sehingga

limx2

4 x2

3

x2 + 5= lim

t3

4 (t2 5)3 t

= limt3

9 t2

3 t

= limt3

(3 + t)(3 t)3 t

= limt3

(3 + t) = 6.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 136/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Contoh Soal

9. Tentukan limx2

4x2

3

x2+5!

Jawab:Misal t =

x2 + 5, maka x 2 t 3 dan

t2 = x2 + 5 x2 = t2 5.

Sehingga

limx2

4 x2

3

x2 + 5= lim

t3

4 (t2 5)3 t

= limt3

9 t2

3 t

= limt3

(3 + t)(3 t)3 t

= limt3

(3 + t) = 6.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 136/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Contoh Soal

9. Tentukan limx2

4x2

3

x2+5!

Jawab:Misal t =

x2 + 5, maka x 2 t 3 dan

t2 = x2 + 5 x2 = t2 5. Sehingga

limx2

4 x2

3

x2 + 5= lim

t3

4 (t2 5)3 t

= limt3

9 t2

3 t

= limt3

(3 + t)(3 t)3 t

= limt3

(3 + t) = 6.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 136/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Contoh Soal

10. Tentukan limx

x2x

2x+1 !Jawab:

limx

x2 x

2x + 1= lim

x

x2(1 1x

)x(2 + 1x

) =

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 137/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Contoh Soal

10. Tentukan limx

x2x

2x+1 !Jawab:

limx

x2 x

2x + 1= lim

x

x2(1 1x

)x(2 + 1x

) =

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 137/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Contoh Soal

11. Tentukan limx

x2x

2x+1 !

Jawab:

12

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 138/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Contoh Soal

11. Tentukan limx

x2x

2x+1 !

Jawab:12

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 138/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Contoh Soal

12. Tentukan limx

x sin 1x !Jawab:

limx

x sin1x

= limx

sin 1x1x

= lim1x0+

sin 1x1x

= limt0+

sin tt

= 1.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 139/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Contoh Soal

12. Tentukan limx

x sin 1x !Jawab:

limx

x sin1x

= limx

sin 1x1x

= lim1x0+

sin 1x1x

= limt0+

sin tt

= 1.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 139/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Contoh Soal

13. Tentukan limx

(x2 + 3x x

)!

Jawab:

limx

(x2 + 3x x

)= lim

x

(x2 + 3x x

)

x2 + 3x + xx2 + 3x + x

= limx

x2 + 3x x2x2 + 3x + x

= limx

3x

x(

1 + 3x + 1)

= limx

31 + 3x + 1

=3

1 + 1= 1

12.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 140/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Contoh Soal

13. Tentukan limx

(x2 + 3x x

)!

Jawab:

limx

(x2 + 3x x

)= lim

x

(x2 + 3x x

)

x2 + 3x + xx2 + 3x + x

= limx

x2 + 3x x2x2 + 3x + x

= limx

3x

x(

1 + 3x + 1)

= limx

31 + 3x + 1

=3

1 + 1= 1

12.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 140/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Contoh Soal

14. Tentukan limx

(x2 3x + x

)!

Jawab:

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 141/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Contoh Soal

15. Tentukana) lim

x

(1 1x

)x!

b) limx0

(1 + x)1x !

c) limx0

(1 x)1x !

Jawab:

e

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 142/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Contoh Soal

15. Tentukana) lim

x

(1 1x

)x!

b) limx0

(1 + x)1x !

c) limx0

(1 x)1x !

Jawab: e

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 142/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Contoh Soal

16. Tentukan konstanta a dan b sedemikian sehingga

limx4

ax

x + bx 4

=34

!

Jawab:

Misalkan

ax

x + bx 4

=(2

x)(c d

x)

(

x 2)(

x + 2),

maka ax

x + b = (2

x)(c d

x). Akibatnyaa = d, b = 2c, dan d = 1c2 .

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 143/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Contoh Soal

16. Tentukan konstanta a dan b sedemikian sehingga

limx4

ax

x + bx 4

=34

!

Jawab:Misalkan

ax

x + bx 4

=(2

x)(c d

x)

(

x 2)(

x + 2),

maka ax

x + b = (2

x)(c d

x). Akibatnyaa = d, b = 2c, dan d = 1c2 .

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 143/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

limx4

ax

x + bx 4

=34

limx4

(2

x)(c d

x)(

x 2)(

x + 2)=

34

limx4c d

x

x + 2=

34

2d c4

=34.

Sehingga d = 3+c2 . Namun karena d =1c

2 , maka c = 1. Olehkarena itu, diperoleh a = 1 dan b = 2.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 144/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Konsep LimitSifat-sifat LimitLimit Satu ArahLimit Menuju Takhingga

Alert

Ingat!

Minggu depan KUIS!

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 145/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Fungsi KontinuKontinu Kiri dan Kontinu KananSifat-sifat Kontinu

Kekontinuan

Misalkan fungsi y = f (x) terdefinisi pada selang buka I yangmemuat titik c. Maka fungsi f kontinu di c, jika

grafik kurvanya tak terputus di titik climxc

f (x) = f (c)

> 0 > 0 3 |x c| < |f (x) L| <

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 146/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Fungsi KontinuKontinu Kiri dan Kontinu KananSifat-sifat Kontinu

Definisi limit > 0 > 0 3 0 < |x c| < |f (x) L| < .

Definisi kontinu > 0 > 0 3 |x c| < |f (x) L| < .

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 147/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Fungsi KontinuKontinu Kiri dan Kontinu KananSifat-sifat Kontinu

Kenapa harus ada dan ?

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 148/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Fungsi KontinuKontinu Kiri dan Kontinu KananSifat-sifat Kontinu

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 149/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Fungsi KontinuKontinu Kiri dan Kontinu KananSifat-sifat Kontinu

Fungsi f kontinu pada interval I jika grafiknya tidak terputus pa-da interval tersebut.

Fungsi f kontinu pada interval I, jika dapat digambar grafik fung-sinya pada interval I tanpa harus mengangkat spidol dari papantulis.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 150/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Fungsi KontinuKontinu Kiri dan Kontinu KananSifat-sifat Kontinu

Fungsi f kontinu pada interval I jika grafiknya tidak terputus pa-da interval tersebut.

Fungsi f kontinu pada interval I, jika dapat digambar grafik fung-sinya pada interval I tanpa harus mengangkat spidol dari papantulis.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 150/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Fungsi KontinuKontinu Kiri dan Kontinu KananSifat-sifat Kontinu

(a) f (x) = x2 x 6 kontinu pada R (b) f (x) = log(x) kontinu pada (0,)

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 151/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Fungsi KontinuKontinu Kiri dan Kontinu KananSifat-sifat Kontinu

Kontinu Kiri dan Kontinu Kanan

Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (a, c], maka f kontinukiri di c jika

limxc

f (x) = f (c).

Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang [c, b), maka f kontinukanan di c jika

limxc+

f (x) = f (c).

Fungsi f kontinu di titik c jika fungsi f kontinu kiri dan kontinukanan di c.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 152/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Fungsi KontinuKontinu Kiri dan Kontinu KananSifat-sifat Kontinu

Fungsi f dikatakan kontinu pada interval selang buka I jika danhanya jika f kontinu di setiap titik pada I.

Fungsi f kontinu pada interval tutup I = [a, b] jika dan hanyajika f kontinu di setiap titik c (a, b), kontinu kanan di a, dankontinu kiri di b.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 153/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Fungsi KontinuKontinu Kiri dan Kontinu KananSifat-sifat Kontinu

Fungsi f dikatakan kontinu pada interval selang buka I jika danhanya jika f kontinu di setiap titik pada I.

Fungsi f kontinu pada interval tutup I = [a, b] jika dan hanyajika f kontinu di setiap titik c (a, b), kontinu kanan di a, dankontinu kiri di b.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 153/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Fungsi KontinuKontinu Kiri dan Kontinu KananSifat-sifat Kontinu

Misalkan f (x) = [x], g(x) =|x|x

, dan g(0) = 1.

(a) f (x) kontinu kanan x N (b) g(x) kontinu kanan di x = 0

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 154/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Fungsi KontinuKontinu Kiri dan Kontinu KananSifat-sifat Kontinu

Sifat-sifat Kontinu

Jika fungsi f dan fungsi g kontinu di c I, makafungsi f + g kontinu di titik c pada selang Ifungsi f g kontinu di titik c pada selang Ifungsi fg kontinu di titik c pada selang Ifungsi fg kontinu di titik c pada selang I (dengan g(c) 6= 0)fungsi |f | kontinu di titik c pada selang I

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 155/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Fungsi KontinuKontinu Kiri dan Kontinu KananSifat-sifat Kontinu

Fungsi-fungsi berikut kontinu pada domainnya:suku banyakfungsi rasionalfungsi irasionaltrigonometri: sin, cos

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 156/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Fungsi KontinuKontinu Kiri dan Kontinu KananSifat-sifat Kontinu

Jika fungsi f dan g memenuhiRf Dgf kontinu di c Dfg kontinu di f (c) Dg

maka g f kontinu di c, atau

limxc

(g f )(x) = (g f )(c) limxc

(g(f (x))) = g(f (c)) = g(

limxc

f (x)).

Jika limxc

f (x) = L dan fungsi g kontinu di L, maka

limxc

(g(f (x))) = g(L) = g(

limxc

f (x)).

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 157/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Fungsi KontinuKontinu Kiri dan Kontinu KananSifat-sifat Kontinu

Jika fungsi f dan g memenuhiRf Dgf kontinu di c Dfg kontinu di f (c) Dg

maka g f kontinu di c, atau

limxc

(g f )(x) = (g f )(c) limxc

(g(f (x))) = g(f (c)) = g(

limxc

f (x)).

Jika limxc

f (x) = L dan fungsi g kontinu di L, maka

limxc

(g(f (x))) = g(L) = g(

limxc

f (x)).

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 157/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Fungsi KontinuKontinu Kiri dan Kontinu KananSifat-sifat Kontinu

Jika fungsi f dan g memenuhiRf Dgf kontinu di c Dfg kontinu di f (c) Dg

maka g f kontinu di c, atau

limxc

(g f )(x) = (g f )(c) limxc

(g(f (x))) = g(f (c)) = g(

limxc

f (x)).

Jika limxc

f (x) = L dan fungsi g kontinu di L, maka

limxc

(g(f (x))) = g(L) = g(

limxc

f (x)).

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 157/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Fungsi KontinuKontinu Kiri dan Kontinu KananSifat-sifat Kontinu

Contoh Soal

1. Tentukan konstanta k agar fungsi

f (x) ={

(x k)2, x 1kx 1, x > 1

kontinu pada R!Jawab:

Perhatikan bahwafungsi y = (x k)2 kontinu pada (, 1), danfungsi y = kx 1 kontinu pada (1,).

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 158/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Fungsi KontinuKontinu Kiri dan Kontinu KananSifat-sifat Kontinu

Contoh Soal

1. Tentukan konstanta k agar fungsi

f (x) ={

(x k)2, x 1kx 1, x > 1

kontinu pada R!Jawab:Perhatikan bahwa

fungsi y = (x k)2 kontinu pada (, 1), danfungsi y = kx 1 kontinu pada (1,).

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 158/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Fungsi KontinuKontinu Kiri dan Kontinu KananSifat-sifat Kontinu

Agar fungsi f kontinu pada R, maka fungsi f harus kontinu dix = 1. Dalam hal ini,

limx1

f (x) = limx1+

f (x) = f (1).

Diperoleh

(1 k)2 = k 1 = (1 k)2

k2 2k + 1 = k 1k2 3k + 2 = 0

(k 1)(k 2) = 0.

Oleh karena itu, k = 1 atau k = 2.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 159/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Fungsi KontinuKontinu Kiri dan Kontinu KananSifat-sifat Kontinu

Contoh Soal

2. Tentukan syarat agar fungsi f (x) =x2 1x 1

, x 6= 1 kontinudi setiap x R!Jawab:

Perhatikan bahwa fungsi f (x) kontinu di setiapx R {1} dan

limx1

x2 1x 1

= limx1

(x 1)(x + 1)x 1

= limx1

(x + 1) = 2.

Maka syarat agar f (x) kontinu pada R adalahmendefinisikan nilai f (x = 1) = 2.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 160/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Fungsi KontinuKontinu Kiri dan Kontinu KananSifat-sifat Kontinu

Contoh Soal

2. Tentukan syarat agar fungsi f (x) =x2 1x 1

, x 6= 1 kontinudi setiap x R!Jawab:Perhatikan bahwa fungsi f (x) kontinu di setiapx R {1} dan

limx1

x2 1x 1

= limx1

(x 1)(x + 1)x 1

= limx1

(x + 1) = 2.

Maka syarat agar f (x) kontinu pada R adalahmendefinisikan nilai f (x = 1) = 2.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 160/211

Sistem Bilangan RealSistem Koordinat

FungsiLimit

KekontinuanTurunan

Fungsi KontinuKontinu Kiri dan Kontinu KananSifat-sifat Kontinu

Contoh Soal

2. Tentukan syarat agar fungsi f (x) =x2 1x 1

, x 6= 1 kontinudi setiap x R!Jawab:Perhatikan bahwa fungsi f (x) kontinu di setiapx R {1} dan

limx1

x2 1x 1

= limx1

(x 1)(x + 1)x 1

= limx1

(x + 1) = 2.

Maka syarat agar f (x) kontinu pada R adalahmendefinisikan nilai f (x = 1) = 2.

Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 160/211