Kalkulus - Integral Tentu (Ppt)
-
Upload
juanodaniel -
Category
Documents
-
view
1.126 -
download
267
description
Transcript of Kalkulus - Integral Tentu (Ppt)
-
Matematika Dasar A1 Universitas Indonesia
-
Mahasiswa mampu:
mencari antiturunan fungsi dan menggunakan antiturunanuntuk menyelesaikan persamaan diferensial orde satu peubahterpisah,
menggunakan definisi untuk menghitung integral tentu sebagailimit penjumlahan,
menghitung jumlah Riemann dengan menggunakan titikevaluasi kiri, kanan, dan tengah dengan bantuan TeknologiInformasi dan Komputer (TIK) dan menggunakannya untukmenjelaskan pengertian intuitif dari integral tentu,
menghitung integral dengan menggunakan sifat integral tentu, aturan pangkat, dan substitusi umum,
membangun dan mengevaluasi integral untuk menghitung luasbidang datar, volume benda putar, luas permukaan benda putar, kerja yang dilakukan oleh perubahan gaya, momen dan pusatmassa lamina datar dan sentroit dari daerah bidang datar.
2Matematika Dasar A1 Universitas Indonesia
-
Matematika Dasar A1 Universitas Indonesia 3
-
Matematika Dasar A1 Universitas Indonesia 4
Turunan
Antiturunan
-
Definisi. Fungsi F disebut suatu antiturunan
fungsi f pada interval I jika DxF(x) = f(x) pada I,
yaitu: F(x) = f(x) untuk setiap x di I.
5Matematika Dasar A1 Universitas Indonesia
-
Contoh.
6Matematika Dasar A1 Universitas Indonesia
anti
turunan
dari
anti turunan umum dari
.
Sembarangbilangan
real
-
Antiturunan fungsi f(x)
Contoh. Carilah jika .
7Matematika Dasar A1 Universitas Indonesia
tandaintegral
integran(fungsi yang
diintegralkan)integral
terhadap x
-
Teorema. Aturan pangkat
Jika r adalah bilangan rasional dan r -1, maka
Contoh. Carilah dan .
8Matematika Dasar A1 Universitas Indonesia
-
Teorema.
Teorema. Kelinearan integral tak-tentu
Misalkan fungsi f dan g mempunyai antiturunan
(integral tak-tentu) dan k adalah konstanta, maka
9Matematika Dasar A1 Universitas Indonesia
-
Contoh. Carilah .
Tulis |x|= kx, dengan k = 1
10Matematika Dasar A1 Universitas Indonesia
-
Teorema. Aturan pangkat yang diperumum
Misalkan g adalah fungsi yang terdiferensialkan dan
r adalah bilangan rasional dan r -1. Maka
Contoh. Carilah
11Matematika Dasar A1 Universitas Indonesia
-
Persamaan diferensial orde-satu yang dapat dipisah
12Matematika Dasar A1 Universitas Indonesia
persamaan yang tidak-diketahuinya
(the unknown) adalah fungsi
dan melibatkanturunan dari fungsi
yang tidak-diketahuitersebut.
-
Contoh. Buktikanlah bahwa y = sin x + C, y = 1, dan
y = -1 adalah solusi persamaan diferensial
Penyelesaian.
13Matematika Dasar A1 Universitas Indonesia
.
-
Contoh. Dari ketinggian berapa dari permukaan bumisuatu bola harus dilepas agar mencapai permukaan bumidengan kecepatan -50 m/det? Percepatan gravitasi bumidimisalkan -10 m/det2.
Misalkan h(t): ketinggian bola dari permukaan bumi pada saat t
percepatan bola: h(t) = -10, h(0) = 0 m/det kecepatan bola saat t:
karena h(0) = 0 maka C1 = 0 sehingga h(t) = -10 t kecepatan menyentuh bumi = -50 m/s, h(t) = -10 t = -50,
maka t = 5.
jarak yang ditempuh bola setelah t detik:
karena h(5) = 0 maka C2 = 125.
jadi ketinggian awal bola adalah 125 m.
14Matematika Dasar A1 Universitas Indonesia
.
.
-
Matematika Dasar A1 Universitas Indonesia 15
-
Notasi sigma
Teorema. Kelinearan jumlah
Jika c adalah konstanta, maka
16Matematika Dasar A1 Universitas Indonesia
-
Beberapa rumus jumlah yang penting
17Matematika Dasar A1 Universitas Indonesia
-
Diberikan daerah A yang dibatasi
kurva y = x2 + 2, sumbu-x, sumbu-
y, dan garis x = 1. Ingin dicari
luas A.
Luas A dapat diaproksimasi
dengan bantuan persegi panjang.
Matematika Dasar A1 Universitas Indonesia 18
aproksimasikiri
aproksimasitengah
aproksimasikanan
-
Contoh. Aproksimasilah daerah A
yang dibatasi kurva y = x2 + 2, sb-x,
sb-y, dan x = 1 menggunakan 5
persegi panjang kiri, kemudian
dengan n persegi panjang kiri, lalu
hitung luas A yang sesungguhnya.
Interval [0, 1] dibagi menjadi 5 sub-
interval sama panjang:
19Matematika Dasar A1 Universitas Indonesia
i 0 1 2 3 4
xi 0 0,2 0,4 0,6 0,8
f(xi) 2 2,04 2,16 2,36 2,64
L(Pi)=f(xi) xi 0,4 0,408 0,432 0,472 0,528
-
Menggunakan persegi panjang kiri: x = 1/n.
Luas daerah A yang sesungguhnya:
20Matematika Dasar A1 Universitas Indonesia
i 0 1 2 1 xi 0 1/n 2/n (n 1)/n
f(xi) 2 2+(1/n)2 2+(2/n)2 2+((n1)/n)2
-
Panjang
subinterval
tidak harus
sama
Daerah
boleh
berada di
atas/bawah
sumbu-x
Matematika Dasar A1 Universitas Indonesia 21
Titiksampel
-
Matematika Dasar A1 Universitas Indonesia 22
-
Definisi. Misalkan f adalah fungsi yang didefinisikan
pada interval tutup [a, b]. Jika
ada, maka f dikatakan terintegralkan pada [a, b].
Lebih lanjut, disebut integral tentu/
integral Riemann f dari a ke b dan diberikan oleh
|P|: panjang maksimum dari subinterval dalam partisi P.
23Matematika Dasar A1 Universitas Indonesia
-
Definisi.
Catatan
24Matematika Dasar A1 Universitas Indonesia
-
Teorema. Teorema keterintegralan
Jika f terbatas pada [a, b] dan f kontinu pada [a, b]
(kecuali pada sejumlah hingga titik), maka f
terintegralkan pada [a, b]. Secara khusus, jika f
kontinu pada seluruh interval [a, b], maka f
terintegralkan pada [a, b].
Contoh. Periksalah apakah fungsi
terintegralkan pada interval
Pada
f terbatas
f kontinu kecuali pada x = -2, -1, 0, 1, 2
25Matematika Dasar A1 Universitas Indonesia
f terinte-gralkan