ii Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi

Hak Cipta 2014 pada Kementerian Pendidikan dan KebudayaanDilindungi Undang-Undang

MILIK NEGARATIDAK DIPERDAGANGKAN

Disklaimer: Buku ini merupakan buku guru yang dipersiapkan Pemerintah dalam rangka implementasi Kurikulum 2013. Buku guru ini disusun dan ditelaah oleh berbagai pihak di bawah koordinasi Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, dan dipergunakan dalam tahap awal penerapan Kurikulum 2013. Buku ini merupakan dokumen hidup yang senantiasa diperbaiki, diperbaharui, dan dimutakhirkan sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Masukan dari berbagai kalangan diharapkan dapat meningkatkan kualitas buku ini.

Katalog Dalam Terbitan (KDT)

Indonesia. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.Matematika: Buku Guru/Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.-- Edisi Revisi.

Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, 2014.xxii, 578 hlm. : ilus. ; 25 cm.

Untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X ISBN 978-602-282-494-7 (jilid lengkap) ISBN 978-602-282-495-4 (jilid 1)

1. Matematika Studi dan Pengajaran I. JudulII. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan

510

Kontributor Naskah : Bornok Sinaga, Pardomuan N.J.M. Sinambela, Andri Kristianto Sitanggang, Tri Andri Hutapea, Lasker Pangarapan Sinaga, Sudianto Manullang, Mangara Simanjorang, dan Yuza Terzalgi Bayuzetra.

Penelaah : Agung Lukito dan Sisworo.Penyelia Penerbitan : Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemdikbud.

Cetakan Ke-1, 2013Cetakan Ke-2, 2014 (Edisi Revisi)Disusun dengan huruf Times New Roman, 11 pt.

iiiMatematika

Matematika adalah bahasa universal untuk menyajikan gagasan atau pengetahuan secara formal dan presisi sehingga tidak memungkinkan terjadinya multi tafsir. Penyampaiannya adalah dengan membawa gagasan dan pengetahuan konkret ke bentuk abstrak melalui pendefinisian variabel dan parameter sesuai dengan yang ingin disajikan. Penyajian dalam bentuk abstrak melalui matematika akan mempermudah analisis dan evaluasi selanjutnya.

Permasalahan terkait gagasan dan pengetahuan yang disampaikan secara matematis akan dapat diselesaikan dengan prosedur formal matematika yang langkahnya sangat presisi dan tidak terbantahkan. Karenanya matematika berperan sebagai alat komunikasi formal paling efisien. Perlu kemampuan berpikir kritis-kreatif untuk menggunakan matematika seperti uraian diatas: menentukan variabel dan parameter, mencari keterkaitan antar variabel dan dengan parameter, membuat dan membuktikan rumusan matematika suatu gagasan, membuktikan kesetaraan antar beberapa rumusan matematika, menyelesaikan model abstrak yang terbentuk, dan mengkonkretkan nilai abstrak yang diperoleh.

Buku Matematika Kelas X untuk Pendidikan Menengah ini disusun dengan tujuan memberi pengalaman konkret-abstrak kepada peserta didik seperti uraian diatas. Pembelajaran matematika melalui buku ini akan membentuk kemampuan peserta didik dalam menyajikan gagasan dan pengetahuan konkret secara abstrak, menyelesaikan permasalahan abstrak yang terkait, dan berlatih berfikir rasional, kritis dan kreatif.

Sebagai bagian dari Kurikulum 2013 yang menekankan pentingnya keseimbangan kompetensi sikap, pengetahuan dan keterampilan, kemampuan matematika yang dituntut dibentuk melalui pembelajaran berkelanjutan: dimulai dengan meningkatkan pengetahuan tentang metode-metode matematika, dilanjutkan dengan keterampilan menyajikan suatu permasalahan secara matematis dan menyelesaikannya, dan bermuara pada pembentukan sikap jujur, kritis, kreatif, teliti, dan taat aturan.

Buku ini menjabarkan usaha minimal yang harus dilakukan peserta didik untuk mencapai kompetensi yang diharapkan. Sesuai dengan pendekatan yang dipergunakan dalam Kurikulum 2013, peserta didik diberanikan untuk mencari dari sumber belajar lain yang tersedia dan terbentang luas di sekitarnya. Peran guru sangat penting untuk meningkatkan dan menyesuaikan daya serap peserta didik dengan ketersedian kegiatan pada buku ini. Guru dapat memperkayanya dengan kreasi dalam bentuk kegiatan-kegiatan lain yang sesuai dan relevan yang bersumber dari lingkungan sosial dan alam.

Implementasi terbatas pada tahun ajaran 2013/2014 telah mendapat tanggapan yang sangat positif dan masukan yang sangat berharga. Pengalaman tersebut dipergunakan semaksimal mungkin dalam menyiapkan buku untuk implementasi menyeluruh pada tahun ajaran 2014/2015 dan seterusnya. Buku ini merupakan edisi kedua sebagai penyempurnaan dari edisi pertama. Buku ini sangat terbuka dan terus dilakukan perbaikan dan penyempurnaan. Untuk itu, kami mengundang para pembaca memberikan kritik, saran dan masukan untuk perbaikan dan penyempurnaan pada edisi berikutnya. Atas kontribusi tersebut, kami ucapkan terima kasih. Mudah-mudahan kita dapat memberikan yang terbaik bagi kemajuan dunia pendidikan dalam rangka mempersiapkan generasi seratus tahun Indonesia Merdeka (2045).

Jakarta, Januari 2014

Menteri Pendidikan dan Kebudayaan

Mohammad Nuh

iv Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi

Bapak, Ibu guru kami yang terhormat, banyak hal yang sudah kita lakukan sebagai usaha membelajarkan peserta didik dengan harapan, mereka berketuhanan, berperikemanusiaan, berpengetahuan, dan berketerampilan melalui pendidikan matematika. Harapan dan tugas mulia ini cukup berat, menuntut tanggung jawab yang tidak habis-habisnya dari generasi ke generasi.

Banyak masalah pembelajaran matematika yang kita hadapi, bagaikan menelusuri sebuah lingkaran dengan titik-titik masalah yang tak berhingga banyaknya. Tokoh pendidikan matematika Soedjadi dan Yansen Marpaung menyatakan, kita harus berani memilih/menetapkan tindakan dan menghadapi resiko untuk meningkatkan kualitas pendidikan matematika di setiap sekolah tempat guru melaksanakan tugas profesionalitasnya. Artinya, guru sebagai orang yang pertama dan yang utama bertindak sebagai pengembang kurikulum yang mengenal karakteristik siswa dengan baik, dituntut bekerjasama memikirkan jalan keluar permasalahan yang terjadi. Pola pembelajaran yang bagaimana yang sesuai dengan karakteristik matematika dan karakteristik peserta didik di sekolah Bapak/Ibu ?.

Salah satu alternatif, kita akan mengembangkan pembelajaran matematika berbasis paham konstruktivisme. Buah pikiran ini didasari prinsip bahwa: (1) setiap anak lahir di bumi, mereka telah memiliki potensi, (2) cara berpikir, bertindak, dan persepsi setiap orang dipengaruhi budaya, (3) matematika adalah produk budaya, yaitu hasil konstruksi sosial dan sebagai alat penyelesaian masalah kehidupan, dan (4) matematika adalah hasil abstraksi pikiran manusia. Untuk itu diperlukan perangkat pembelajaran, media pembelajaran, asesmen otentik dalam pelaksanaan proses pembelajaran di kelas.

Model pembelajaran yang menganut paham konstruktivistik yang relevan dengan karakteristik matematika dan tujuan pembelajaran matematika cukup banyak, seperti (1) model pembelajaran berbasis masalah, (2) pembelajaran kontekstual, (3) pembelajaran kooperatif dan banyak model pembelajaran lainnya. Bapak/Ibu dapat mempelajarinya secara mendalam melalui aneka sumber pembelajaran.

Pokok bahasan yang dikaji dalam buku petunjuk guru ini, antara lain: (1) eksponen dan logaritma, (2) persamaan dan pertidaksamaan linier, (3) sistem persamaan dan pertidaksamaan linier, (4) matriks, (5) relasi dan fungsi, (6) barisan dan deret, (7) persamaan dan fungsi kuadrat, (8) geometri, (9) trigoniometri, (10) statistik, (11) peluang, dan (12) limit fungsi yang tertera dalam kurikulum 2013. Berbagai konsep, aturan dan sifat-sifat dalam matematika ditemukan melalui penyelesaian masalah nyata, media pembelajaran, yang terkait dengan materi yang diajarkan. Seluruh materi yang diajarkan berkiblat pada pencapaian kompetensi yang ditetapkan dalam kurikulum matematika 2013. Semua petunjuk yang diberikan dalam buku ini hanyalah pokok-pokoknya saja. Oleh karena itu, Bapak dan Ibu guru dapat mengembangkan dan menyesuaikan dengan keadaan dan suasana kelas saat pembelajaran berlangsung.

Akhirnya, tidak ada gading yang tak retak. Rendahnya kualitas pendidikan matematika adalah masalah kita bersama. Kita telah diberi talenta yang beragam, seberapa besar buahnya yang dapat kita persembahkan padaNya. Taburlah rotimu di lautan tanpa batas, percayalah kamu akan mendapat roti sebanyak pasir di tepi pantai. Mari kita lakukan tugas mulia ini sebaik-baiknya, semoga buku petunjuk guru ini dapat digunakan dan bermanfaat dalam pelaksanaan proses pembelajaran matematika di sekolah.

Jakarta, Pebruari 2013 Tim Penulis

vMatematika

Surat untuk Guru ............................................................................................................. ivDaftar Isi ........................................................................................................................... vPetunjuk Penggunaan Buku Guru .................................................................................... ixModel Pembelajaran Berbasis Konstruktivistik Dengan Pendekatan Scientific Learning .......................................................................... ixPedoman Penyusunan Rencana Pembelajaran .............................................................. xvFase Konstruksi Matematika ........................................................................................... xviiiContoh Analisis Topik ................................................................................................ xixPeta Konsep Matematika SMP Kelas X .......................................................................... xx

Bab 1 Eksponen dan Logaritma ............................................................................... 1 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ............................................. 1 B. Peta Konsep .............................................................................................. 2 C. Materi Pembelajaran .................................................................................. 3 1. Menemukan konsep Eksponen ........................................................... 3 2. Pangkat Bulat Negatif ......................................................................... 10 3. Pangkat 0 ............................................................................................ 10 4. Sifat-Sifat Pangkat Bulat Positif .......................................................... 11 5. Pangkat Pecahan ................................................................................ 18 Uji Kompetensi 1.1 ............................................................................................ 20 6. Bentuk Akar ......................................................................................... 22 7. Hubungan Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat .............................. 24 8. Operasi Pada Bentuk Akar .................................................................. 25 a. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar ................ 25 b. Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar .......................... 26 c. Merasionalkan Penyebut Berbentuk Akar ................................... 27 Uji Kompetensi 1.2 ............................................................................................ 34 9. Menemukan Konsep Logaritma .......................................................... 37 10. Sifat-sifat Logaritma ............................................................................ 43 Uji Kompetensi 1.3 ............................................................................................ 49 Penutup.................. ........................................................................................... 52

Bab 2 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear ....................................................... 55 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ............................................. 55 B. Peta Konsep .............................................................................................. 56 C. Materi Pembelajaran .................................................................................. 57 1. Memahami dan Menemukan Konsep Nilai Mutlak ............................. 57 2. Persamaan Linear ............................................................................... 65 3. Pertidaksamaan Linear ....................................................................... 74 Uji Kompetensi 2.1 ............................................................................................ 78 4. Persamaan Linear yang Melibatkan Nilai Mutlak ................................ 80 5. Pertidaksamaan Linear yang Melibatkan Nilai Mutlak ........................ 83 Uji Kompetensi 2.2 ............................................................................................ 92 Penutup ................................................................................................ 95

Bab 3 Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear .......................................... 97 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ............................................. 97

Diunduh dari BSE.Mahoni.com

vi Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi

B. Peta konsep ............................................................................................... 98 C. Materi Pembelajaran .................................................................................. 99 1. Menemukan konsep Sistem Persamaan Linear Dua Variabel ............ 99 Uji Kompetensi 3.1 ............................................................................................ 112 2. Menemukan Konsep Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel ........... 113 Uji Kompetensi 3.2 ............................................................................................ 124 3. Penyelesaian Sistem Persamaaan Linear ......................................... 126 a. Menentukan Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua variabel ................................................... 126 b. Menentukan Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel .................................................. 135 Uji Kompetensi 3.3 ............................................................................................ 142 Kunci Jawaban Soal-Soal Tantangan ............................................................... 147 4. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel ...................................... 152 Uji kompetensi 3.4 ............................................................................................ 157 Penutup ................................................................................................ 160

Bab 4 Matriks ................................................................................................ 163 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ............................................. 164 B. Peta Konsep .............................................................................................. 165 C. Materi Pembelajaran .................................................................................. 166 1. Menemukan Konsep Matriks ............................................................... 166 2. Jenis-Jenis Matriks .............................................................................. 176 3. Transpos Matriks ................................................................................. 180 4. Kesamaan Dua Matriks ....................................................................... 185 Uji Kompetensi 4.1 ............................................................................................ 187 5. Memahami Operasi Sederhana Matriks serta Menerapkannya Dalam Pemecahan Masalah ............................................................... 191 a. Operasi Hitung pada Matriks ........................................................ 191 Uji Kompetensi 4.2 ............................................................................................ 207 Penutup ................................................................................................ 210

Bab 5 Relasi dan Fungsi ........................................................................................... 213 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ............................................. 213 B. Peta Konsep .............................................................................................. 214 C. Materi Pembelajaran .................................................................................. 215 1. Menemukan Konsep Relasi ................................................................ 215 2. Sifat-Sifat Relasi .................................................................................. 225 3. Menemukan Konsep Fungsi ............................................................... 230 Uji Kompetensi 5.1 ............................................................................................ 240 Penutup ................................................................................................ 245

Bab 6 Barisan dan Deret ........................................................................................... 247 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ............................................. 247 B. Peta Konsep .............................................................................................. 248 C. Materi Pembelajaran .................................................................................. 249 1. Menemukan Pola Barisan dan Deret .................................................. 249 2. Menemukan Konsep Barisan dan Deret Aritmatika ............................ 258 Uji Kompetensi 6.1 ............................................................................................ 270 3. Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri ............................. 272

viiMatematika

a. Barisan Geometri ........................................................................ 272 b. Deret Geometri ............................................................................ 275 Uji Kompetensi 6.2 ............................................................................................ 285 Penutup ................................................................................................ 287

Bab 7 Persamaan dan Fungsi Kuadrat .................................................................... 289 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................. 289 B. Peta Konsep .............................................................................................. 290 C. Materi Pembelajaran .................................................................................. 291 1. Persamaan Kuadrat ............................................................................ 291 a Menemukan Konsep Persamaan Kuadrat Satu Variabel ............. 291 Uji Kompetensi 7.1 ............................................................................................ 304 b. Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat ................................ 306 c. Menemukan Rumus Untuk Menentukan Hasil Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat ..................................................... 312 d. Persamaan Kuadrat dengan Akar-akar x1 dan x2 ....................... 315 Uji Kompetensi 7.2 ............................................................................................ 316 2. Fungsi Kuadrat ..................................................................................... 318 a. Menemukan Konsep Fungsi Kuadrat ........................................... 318 Uji Kompetensi 7.3 ............................................................................................ 331 b. Grafik Fungsi Kuadrat .................................................................. 332 c. Hubungan Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat ................... 341 Uji Kompetensi 7.4 ............................................................................................ 343 Penutup ................................................................................................ 344

Bab 8 Trigonometri ................................................................................................ 347 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ............................................. 347 B. Peta Konsep .............................................................................................. 348 C. Materi Pembelajaran .................................................................................. 349 1. Ukuran Sudut (Derajat dan Radian) ..................................................... 349 2. Konsep Dasar Sudut ........................................................................... 352 Uji Kompetensi 8.1 ............................................................................................ 355 3. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku .......................... 356 Uji Kompetensi 8.2 ............................................................................................ 365 4. Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran ....................... 367 5. Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 300, 450, dan 600 .................. 373 6. Grafik Fungsi Trigonometri .................................................................. 386 Uji Kompetensi 8.3 ............................................................................................ 396 Penutup ................................................................................................ 400

Bab 9 Geometri ............................................................................................... 403 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ............................................. 403 B. Peta Konsep .............................................................................................. 404 C. Materi Pembelajaran .................................................................................. 405 1. Menemukan Konsep Jarak Titik, Garis, dan Bidang ........................... 405 a. Kedudukan Titik ............................................................................ 405 b. Jarak Antara Titik dan Titik ........................................................... 408 c. Jarak Titik ke Garis ....................................................................... 412 d. Jarak Titik ke Bidang .................................................................... 416 e. Jarak antara Dua Garis dan Dua Bidang yang Sejajar ................ 423

viii Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi

Uji Kompetensi 9.1 ............................................................................................ 424 2. Menemukan Konsep Sudut pada Bangun Ruang ............................... 426 a. Sudut antara Dua Garis dalam ruang ........................................... 430 b. Sudut antara Garis dan Bidang pada Bangun Ruang .................. 434 c. Sudut antara Dua Bidang pada Bangun Ruang ........................... 440 Uji Kompetensi 9.2 ............................................................................................ 443 Penutup ................................................................................................ 446

Bab 10 Limit Fungsi ................................................................................................ 449 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ............................................. 449 B. Peta Konsep .............................................................................................. 450 C. Materi Pembelajaran .................................................................................. 451 1. Menemukan Konsep Limit Fungsi ........................................................ 452 2. Sifat-Sifat Limit Fungsi ........................................................................ 446 3. Menentukan Limit Fungsi .................................................................... 484 Uji Kompetensi 10.1 .......................................................................................... 493 Penutup ................................................................................................ 496

Bab 11 Statistika ................................................................................................ 499 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ............................................. 499 B. Peta Konsep .............................................................................................. 500 C. Materi Pembelajaran .................................................................................. 501 1. Data Tunggal ....................................................................................... 501 a. Penyajian Data Dalam Bentuk Tabel ............................................... 501 b. Penyajian dalam bentuk Diagram ................................................... 505 2. Data Kelompok .................................................................................... 513 a. Penyajian data dalam bentuk tabel ................................................. 513 b. Penyajian dalam bentuk diagram (Histogram) ................................ 516 Uji Kompetensi 11.1 .......................................................................................... 517 Penutup ................................................................................................ 520

Bab 12 Peluang ................................................................................................ 521 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ............................................. 521 B. Peta Konsep .............................................................................................. 522 C. Materi Pembelajaran .................................................................................. 523 1. Kemungkinan Suatu Kejadian ............................................................. 523 2. Frekuensi Realtif Suatu Hasil Percobaan ........................................... 529 3. Peluang Suatu Kejadian ...................................................................... 534 Uji Kompetensi 12.1 .......................................................................................... 544 Penutup ................................................................................................ 546

Petunjuk Teknis Pelaksanaan Remedial dan Pengayaan ........................................... 548 A. Petunjuk Pelaksanaan Penilaian ............................................................... 548 1. Penilaian kompetensi pengetahuan .................................................... 548 2. Penilaian kompetensi keterampilan .................................................... 554 3. Penilaian kompetensi sikap .................................................................. 564 Lembar Partisipasi ............................................................................................. 571 B. Petunjuk Pelaksanaan Remedial dan Pengayaan ..................................... 574

Daftar Pustaka .............................................................................................................. 577

ixMatematika

A. PETUNJUK PENGGUNAAN BUKU GURU

Dalam bagian ini diuraikan hal-hal penting yang perlu diikuti guru, saat guru menggunakan buku ini. Hal-hal esensial yang dijabarkan, antara lain: (1) pentingnya guru memahami model pembelajaran berbasis konstruktivis dengan pendekatan scientific learning terkait sintaksis model pembelajaran yang diterapkan, sistem sosial, prinsip reaksi pengelolaan (perilaku guru mengajar di kelas), sistem pendukung pemeblajaran yang harus dipersiapkan (berbagai fasilitas, misalnya buku siswa, lembar aktivitas siswa, media pembelajaran, instrumen penilaian, tugas-tugas yang akan diberikan), serta dampak intruksional dan dampak pengiring (sikap) yang harus dicapai melalui proses pembelajaran; (2) mengorganisir siswa belajar (di dalam dan luar kelas) dalam memberi kesempatan mengamati data, informasi, dan masalah, kerja kelompok dalam memecahkan masalah, memberi bantuan jalan keluar bagi siswa; (3) memilih model, strategi, dan metode pembelajaran untuk tujuan pembelajaran yang efektif; (4) memilih sumber belajar yang melibatkan partisipasi aktif siswa dalam proses pembelajaran yang dipicu melalui pengajuan masalah, pemberian tugas produk, projek; (5) petunjuk penggunaan asesmen otentik untuk mengecek keberhasilan aspek sikap, pengetahuan dan keterampilan; (6) petunjuk pelaksanaan remedial dan pemberian pengayaan. Isi buku guru ini, memuat petunjuk pembelajaran di setiap bab yang berdampingan dengan aktivitas yang ada di buku siswa. Pertanyaan-pertanyaan kritis dan latihan memiliki kunci jawaban dan arahan pembelajaran dari guru untuk pemecahannya. Di samping proses pembelajaran yang tertuang dalam penjelasan singkat model pembelajaran konstruktivis, tersedi petunjuk pelaksanaan pembelajaran remedial dan pengayaan serta pelaksanaan penilaian berbasis proses.

B. MODEL PEMBELAJARAN BERBASIS KONSTRUKTIVISTIK DENGAN PENDEKATAN SCIENTIFIC LEARNING

Model pembelejaran yang diterapkan dalam buku ini, dilandasi teori pembelajaran yang menganut paham konstruktivistik, seperti Project-Based Learning, Problem-Based Learning, dan Discovery Learning dengan pendekatan scientific learning melalui proses mengamati, menanya, menalar, mencoba, membangun jejaring dan mengomunikasikan berbagai informasi terkait pemecahan masalah real world, analisis data, dan menarik kesimpulan. Proses pembelajaran memberi perhatian pada aspek-aspek kognisi dan mengangkat berbagai masalah real world yang sangat

x Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi

mempengaruhi aktifitas dan perkembangan mental siswa selama proses pembelajaran dengan prinsip bahwa, (1) setiap anak lahir, tumbuh dan berkembang dalam matriks sosial tertentu dan telah memiliki potensi, (2) cara berpikir, bertindak, dan persepsi setiap orang dipengaruhi nilai budayanya, (3) matematika adalah hasil konstruksi sosial dan sebagai alat penyelesaian masalah kehidupan, dan (4) matematika adalah hasil abstraksi pikiran manusia. Metode pembelajaran yang diterapkan, antara lain: metode penemuan, pemecahan masalah, tanya-jawab, diskusi dalam kelompok heterogen, pemberian tugas produk, unjuk kerja, dan projek. Pembelajaran matematika yang diharapkan dalam praktek pembelajaran di kelas adalah (1) pembelajaran berpusat pada aktivitas siswa, (2) siswa diberi kebebasan berpikir memahami masalah, membangun strategi penyelesaian masalah, mengajukan ide-ide secara bebas dan terbuka, (3) guru melatih dan membimbing siswa berpikir kritis dan kreatif dalam menyelesaikan masalah, (4) upaya guru mengorganisasikan bekerjasama dalam kelompok belajar, melatih siswa berkomunikasi menggunakan grafik, diagram, skema, dan variabel, (5) seluruh hasil kerja selalu dipresentasikan di depan kelas untuk menemukan berbagai konsep, hasil penyelesaian masalah, aturan matematika yang ditemukan melalui proses pembelajaran. Rancangan model pembelajaran yang diterapkan mengikuti 5 (lima) komponen utama model pembelajaran yang dijabarkan sebagai berikut.

1. Sintaks Pengelolaan pembelajaran terdiri 5 tahapan pembelajaran, yaitu:

a. Apersepsi Tahap apersepsi diawali dengan mengimformasikan kepada siswa kompetensi dasar dan indikator yang akan dicapai siswa melalui pembelajaran materi yang akan diajarkan. Kemudian guru menumbuhkan persepsi positif dan motivasi belajar pada diri siswa melalui pemaparan manfaat materi matematika yang dipelajari dalam penyelesaian masalah kehidupan serta meyakinkan siswa, jika siswa terlibat aktif dalam merekonstruksi konsep dan prinsip matematika melalui penyelesaian masalah yang bersumber dari fakta dan lingkungan kehidupan siswa dengan strategi penyelesaian yang menerapkan pola interaksi sosial yang pahami siswa dan guru. Dengan demikian, siswa akan lebih baik menguasai materi yang diajarkan, imformasi baru berupa pengetahuan lebih bertahan lama di dalam ingatan siswa, dan pembelajaran lebih bermakna sebab setiap informasi baru dikaitkan dengan apa yang diketahui siswa dan menunjukkan secara nyata kegunaan konsep dan prinsip matematika yang dipelajari dalam kehidupan.

xiMatematika

b. Interaksi Sosial di antara Siswa, Guru, dan Masalah Pada tahap orientasi masalah dan penyelesaian masalah, guru meminta siswa mencoba memahami masalah dan mendiskusikan hasil pemikiran melalui belajar kelompok. Pembentukan kelompok belajar menerapkan prinsip kooperatif, yakni keheterogenan anggota kelompok dari segi karakteristik (kemampuan dan jenis kelamin) siswa, berbeda budaya, berbeda agama dengan tujuan agar siswa terlatih bekerjasama, berkomunikasi, menumbuhkan rasa toleransi dalam perbedaan, saling memberi ide dalam penyelesaian masalah, saling membantu dan berbagi informasi. Guru memfasilitasi siswa dengan buku siswa, Lembar Aktivitas Siswa (LAS) dan Asesmen Otentik. Selanjutnya guru mengajukan permasalahan matematika yang bersumber dari lingkungan kehidupan siswa. Guru menanamkan nilai-nilai matematis (jujur, konsisten, tangguh menghadapi masalah) dan nilai-nilai budaya agar para siswa saling berinteraksi secara sosio kultural, memotivasi dan mengarahkan jalannya diskusi agar lebih efektif, serta mendorong siswa bekerjasama. Selanjutnya, guru memusatkan pembelajaran pada siswa dalam kelompok belajar untuk menyelesaikan masalah. Guru meminta siswa memahami masalah secara individu dan mendiskusikan hasil pemikirannya dalam kelompok, dan dilanjutkan berdialog secara interaktif (berdebat, bertanya, mengajukan ide-ide, berdiskusi) dengan kelompok lain dengan arahan guru. Antar anggota kelompok saling bertanya-jawab, berdebat, merenungkan hasil pemikiran teman, mencari ide dan jalan keluar penyelesaian masalah. Setiap kelompok memadu hasil pemikiran dan menuangkannya dalam sebuah LAS yang dirancang guru. Jika semua anggota kelompok mengalami kesulitan memahami dan menyelesaikan masalah, maka salah seorang dari anggota kelompok bertanya pada guru sebagai panutan. Selanjutnya guru memberi scaffolding, yaitu berupa pemberian petunjuk, memberi kemudahan pengerjaan siswa, contoh analogi, struktur, bantuan jalan keluar sampai saatnya siswa dapat mengambil alih tugas-tugas penyelesaian masalah.

c. Mempresentasikan dan Mengembangkan Hasil Kerja Pada tahapan ini, guru meminta salah satu kelompok mempresentasikan hasil kerjanya di depan kelas dan memberi kesempatan pada kelompok lain memberi tanggapan berupa kritikan disertai alasan-alasan, masukan bandingan pemikiran. Sesekali guru mengajukan pertanyaan menguji pemahaman/penguasaan penyaji dan dapat ditanggapi oleh kelompok lain. Kriteria untuk memilih hasil diskusi kelompok yang akan dipresentasikan antara lain: jawaban kelompok berbeda dengan jawaban dari kelompok lain, ada ide penting dalam hasil diskusi kelompok yang perlu mendapat perhatian khusus. Dengan demikian kelompok penyaji bisa lebih dari satu. Selama presentasi hasil kerja, guru mendorong terjadinya diskusi kelas dan mendorong siswa mengajukan ide-ide secara terbuka dengan menanamkan nilai soft skill.

xii Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi

Tujuan tahapan ini adalah untuk mengetahui keefektifan hasil diskusi dan hasil kerja kelompok pada tahapan sebelumnya. Dalam penyajiannya, kelompok penyaji akan diuji oleh kelompok lain dan guru tentang penguasaan dan pemahaman mereka atas penyelesaian masalah yang dilakukan. Dengan cara tersebut dimungkinkan tiap-tiap kelompok mendapatkan pemikiran-pemikiran baru dari kelompok lain atau alternatif jawaban yang lain yang berbeda. Sehingga pertimbangan-pertimbangan secara objektif akan muncul di antara siswa. Tujuan lain tahapan ini adalah melatih siswa terampil menyajikan hasil kerjanya melalui penyampaian ide-ide di depan umum (teman satu kelas). Keterampilan mengomunikasikan ide-ide tersebut adalah salah satu kompetensi yang dituntut dalam pembelajaran berdasarkan masalah, untuk memampukan siswa berinteraksi/berkolaborasi dengan orang lain.

d. Temuan Objek Matematika dan Penguatan Skemata Baru Objek-objek matematika berupa model (contoh konsep) yang diperoleh dari proses dan hasil penyelesaian masalah dijadikan bahan inspirasi dan abstraksi konsep melalui penemuan ciri-ciri konsep oleh siswa dan mengkonstruksi konsep secara ilmiah. Setelah konsep ditemukan, guru melakukan teorema pengontrasan melalui pengajuan contoh dan bukan contoh. Dengan mengajukan sebuah objek, guru meminta siswa memberi alasan, apakah objek itu termasuk contoh atau bukan contoh konsep. Guru memberi kesempatan bertanya atas hal-hal yang kurang dipahami. Sesekali guru menguji pemahaman siswa atas konsep dan prinsip yang ditemukan, serta melengkapi hasil pemikiran siswa dengan memberikan contoh dan bukan contoh konsep. Berdasar konsep yang ditemukan/direkonstruksi, diturunkan beberapa sifat dan aturan-aturan. Selanjutnya siswa diberi kesempatan mengerjakan soal-soal tantangan untuk menunjukkan kebergunaan konsep dan prinsip matematika yang dimiliki.

e. Menganalisis dan Mengevaluasi Proses dan Hasil Penyelesaian Masalah Pada tahapan ini, guru membantu siswa atau kelompok mengkaji ulang hasil penyelesaian masalah, menguji pemahaman siswa dalam proses penemuan konsep dan prinsip. Selanjutnya, guru melakukan evaluasi materi akademik dengan pemberian kuis atau meminta siswa membuat peta konsep atau memberi tugas dirumah atau membuat peta materi yang dipelajari.

2. Sistem Sosial Pengorganisasian siswa selama proses pembelajaran menerapkan pola pembelajaran kooperatif. Dalam interaksi sosio kultural di antara siswa dan temannya, guru selalu menanamkan nilai-nilai soft skill dan nilai matematis. Siswa

xiiiMatematika

dalam kelompok saling bekerjasama dalam menyelesaikan masalah, saling bertanya/berdiskusi antara siswa yang lemah dan yang pintar, kebebasan mengajukan pendapat, berdialog dan berdebat, guru tidak boleh terlalu mendominasi siswa, bersifat membantu dan gotong royong) untuk menghasilkan penyelesaian masalah yang disepakati bersama. Dalam interaksi sosio kultural, para siswa diizinkan berbahasa daerah dalam menyampaikan pertanyaan, kritikan, pendapat terhadap temannya maupun pada guru.

3. Prinsip Reaksi Model pembelajaran yang diterapkan dalam buku ini dilkamusi teori konstruktivis dan nilai budaya dimana siswa belajar yang memberi penekanan pembelajaran berpusat pada siswa, sehingga fungsi guru sebagai fasilitator, motivator dan mediator dalam pembelajaran. Tingkah laku guru dalam menanggapi hasil pemikiran siswa berupa pertanyaan atau kesulitan yang dialami dalam menyelesaikan masalah harus bersifat mengarahkan, membimbing, memotivasi dan membangkitkan semangat belajar siswa. Untuk mewujudkan tingkah laku tersebut, guru harus memberikan kesempatan pada siswa untuk mengungkapkan hasil pemikirannya secara bebas dan terbuka, mencermati pemahaman siswa atas objek matematika yang diperoleh dari proses dan hasil penyelesaian masalah, menunjukkan kelemahan atas pemahaman siswa dan memancing mereka menemukan jalan keluar untuk mendapatkan penyelesaian masalah yang sesungguhnya. Jika ada siswa yang bertanya, sebelum guru memberikan penjelasan/bantuan, guru terlebih dahulu memberi kesempatan pada siswa lainnya memberikan tanggapan dan merangkum hasilnya. Jika keseluruhan siswa mengalami kesulitan, maka guru saatnya memberi penjelasan atau bantuan/memberi petunjuk sampai siswa dapat mengambil alih penyelesaian masalah pada langkah berikutnya. Ketika siswa bekerja menyelesaikan tugas-tugas, guru mengontrol jalannya diskusi dan memberikan motivasi agar siswa tetap berusaha menyelesaikan tugas-tugasnya.

4. Sistem Pendukung Agar model pembelajaran ini dapat terlaksana secara praktis dan efektif, guru diwajibkan membuat suatu rancangan pembelajaran yang dilkamusi teori pembelajaran konstruktivis dan nilai soft skill matematis yang diwujudkan dalam setiap langkah-langkah pembelajaran yang ditetapkan dan menyediakan fasilitas belajar yang cukup. Dalam hal ini dikembangkan buku model yang berisikan teori-teori pendukung dalam melaksanakan pembelajaran, komponen-komponen model, petunjuk pelaksanaan dan seluruh perangkat pembelajaran yang digunakan seperti rencana pembelajaran, buku guru, buku siswa, lembar kerja siswa, objek-objek abstraksi dari lingkungan budaya, dan media pembelajaran yang diperlukan.

xiv Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi

5. Dampak Instruksional dan Pengiring yang Diharapkan Dampak langsung penerapan pembelajaran ini adalah memampukan siswa merekonstruksi konsep dan prinsip matematika melalui penyelesaian masalah dan terbiasa menyelesaikan masalah nyata di lingkungan siswa. Pemahaman siswa terhadap obek-objek matematika dibangun berdasarkan pengalaman budaya dan pengalaman belajar yang telah dimiliki sebelumnya. Kebermaknaan pembelajaran yang melahirkan pemahaman, dan pemahaman mendasari kemampuan siswa mentransfer pengetahuannya dalam menyelesaikan masalah, berpikir kritis dan kreatif. Kemampuan menyelesaikan masalah tidak rutin menyadarkan siswa akan kebergunaan matematika. Kebergunaan akan menimbulkan motivasi belajar secara internal dari dalam diri siswa dan rasa memiliki terhadap matematika akan muncul sebab matematika yang dipamami adalah hasil rekonstruksi pemikirannya sendiri. Motivasi belajar secara internal akan menimbulkan kecintaan terhadap dewi matematika. Bercinta dengan dewi matematika berarti penyatuan diri dengan keabstrakan yang tidak memiliki batas atas dan batas bawah tetapi bekerja dengan simbol-simbol. Selain dampak di atas, siswa terbiasa menganalisis secara logis dan kritis memberikan pendapat atas apa saja yang dipelajari menggunakan pengalaman belajar yang dimiliki sebelumnya. Penerimaan individu atas perbedaan-perbedaan yang terjadi (perbedaan pola pikir, pemahaman, daya lihat dan kemampuan), serta berkembangnya kemampuan berkolaborasi antara siswa. Retensi pengetahuan matematika yang dimiliki siswa dapat bertahan lebih lama sebab siswa terlibat aktif di dalam proses penemuannya. Dampak pengiring yang akan terjadi dengan penerapan model pembelajaran berbasis konstruktivistik adalah siswa mampu menemukan kembali berbagai konsep dan aturan matematika dan menyadari betapa tingginya manfaat matematika bagi kehidupan sehingga dia tidak merasa terasing dari lingkungannya. Matematika sebagai ilmu pengetahuan tidak lagi dipandang sebagai hasil pemikiran dunia luar tetapi berada pada lingkungan budaya siswa yang bermanfaat dalam menyelesaikan permasalahan di lingkungan budayanya. Dengan demikian terbentuk dengan sendirinya rasa memiliki, sikap, dan persepsi positif siswa terhadap matematika dan budayanya. Siswa memkamung bahwa matematika terkait dan inklusif di dalam budaya. Jika matematika bagian dari budaya siswa, maka suatu saat diharapkan siswa memiliki cara tersendiri memeliharanya dan menjadikannya Landasan Makna (Landasan makna dalam hal ini berpihak pada sikap, kepercayaan diri, cara berpikir, cara bertingkah laku, cara mengingat apa yang dipahami oleh siswa sebagai pelaku-pelaku budaya). Dampak pengiring yang lebih jauh adalah hakikat tentatif keilmuan, keterampilan proses keilmuan, otonomi dan kebebasan berpikir siswa, toleransi terhadap ketidakpastian dan masalah-masalah non rutin.

xvMatematika

PEDOMAN PENYUSUNAN RENCANA PEMBELAJARAN Penyusunan rencana pembelajaran berpedoman pada kurikulum matematika 2013 dan sintaksis Model Pembelajaran. Berdasarkan analisis kurikulum matematika ditetapkan hal-hal berikut1. Kompetensi dasar (lihat Permendikbud Nomor 69 dan 70 Tahun 2013) dan

indikator pencapaian kompetensi dasar untuk tiap-tiap pokok bahasan. Rumusan indikator dan kompetensi dasar harus disesuaikan dengan prinsip-prinsip pembelajaran matematika berdasarkan masalah, memberikan pengalaman belajar bagi siswa, seperti menyelesaikan masalah otentik (masalah bersumber dari fakta dan lingkungan budaya), berkolaborasi, berbagi pengetahuan, saling membantu, berdiskusi dalam menyelesaikan masalah.

2. Materi pokok yang akan diajarkan, termasuk analisis topik, dan peta konsep (contoh disajikan di bawah).

3. Materi prasyarat, yaitu materi yang harus dikuasai oleh siswa sebagai dasar untuk mempelajari materi pokok. Dalam hal ini perlu dilakukan tes kemampuan awal siswa.

4. Kelengkapan, yaitu fasilitas pembelajaran yang harus dipersiapkan oleh guru, misalnya: rencana pembelajaran, buku petunjuk guru, buku siswa, lembar aktivitas siswa (LAS), objek-objek budaya, kumpulan masalah-masalah yang bersumber dari fakta dan lingkungan budaya siswa, laboratorium, dan alat peraga jika dibutuhkan.

5. Alokasi waktu: banyak jam pertemuan untuk setiap pokok bahasan tidak harus sama tergantung kepadatan dan kesulitan materi untuk tiap-tiap pokok bahasan. Penentuan rata-rata banyak jam pelajaran untuk satu pokok bahasan adalah hasil bagi jumlah jam efektif untuk satu semester dibagi banyak pokok bahasan yang akan diajarkan untuk semester tersebut.

6. Hasil belajar yang akan dicapai melalui kegiatan pembelajaran antara alain:Produk : Konsep dan prinsip-prinsip yang terkait dengan materi pokokProses : Apersepsi budaya, interaksi sosial dalam penyelesaian

masalah, memodelkan masalah secara matematika, merencanakan penyelesaian masalah, menyajikan hasil kerja dan menganalisis serta mengevaluasi kembali hasil penyelesaian masalah.

Kognitif : Kemampuan matematisasi, kemampuan abstraksi, pola pikir deduktif, berpikir tingkat tinggi (berpikir kritis dan berpikir kreatif).

xvi Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi

Keterampilan : Keterampilan menyelesaikan masalah, ketrampilan berkolaborasi, kemampuan berkomunikasi.

Afektif : Menghargai budaya, penerimaan individu atas perbedaan yang ada, bekerjasama, tangguh menghadapi masalah, jujur mengungkapkan pendapat, berlatih berpikir kritis, kreatif, dan senang belajar matematika.

Sintaksis pembelajaran adalah langkah-langkah pembelajaran yang dirancang dan dihasilkan dari kajian teori yang melandasi model pembelajaran berbasis konstruktivistik. Sementara, rencana pembelajaran adalah operasional dari sintaks. Sehingga skenario pembelajaran yang terdapat pada rencana pembelajaran disusun mengikuti setiap langkah-langkah pembelajaran (sintaks). Sintaks model pembelajaran terdiri dari 5 langkah pokok, yaitu: (1) apersepsi budaya, (2) orientasi dan penyelesaian masalah, (3) persentase dan mengembangkan hasil kerja, (4) temuan objek matematika dan penguatan skemata baru, (5) menganalisis dan mengevaluasi proses dan hasil penyelesaian masalah. Kegiatan yang dilakukan untuk setiap tahapan pembelajaran dijabarkan sebagai berikut:1. Kegiatan guru pada tahap apersepsi budaya antara lain:

a. Menginformasikan indikator pencapaian kompetensi dasar.b. Menciptakan persepsi positif dalam diri siswa terhadap budayanya dan

matematika sebagai hasil konstruksi sosial.c. Menjelaskan pola interaksi sosial, menjelaskan peranan siswa dalam

menyelesaikan masalah. d. Memberikan motivasi belajar pada siswa melalui penanaman nilai matematis,

soft skill dan kebergunaan matematika.e. Memberi kesempatan pada siswa menanyakan hala-hal yang sulit dimengerti

pada materi sebelumnya.2. Kegiatan guru pada tahap penyelesaian masalah dengan pola interaksi edukatif

antara lain:a. Membentukan kelompok b. Mengajukan masalah yang bersumber dari fakta dan lingkungan budaya siswac. Meminta siswa memahami masalah secara individual dan kelompokd. Mendorong siswa bekerjasama menyelesaikan tugas-tugase. Membantu siswa merumuskan hipotesis (dugaan).f. Membimbing, mendorong/mengarahkan siswa menyelesaikan masalah dan

mengerjakan LKSg. Memberikan scaffolding pada kelompok atau individu yang mengalami

kesulitan

xviiMatematika

h. Mengkondisikan antar anggota kelompok berdiskusi, berdebat dengan pola kooperatif

i. Mendorong siswa mengekspresikan ide-ide secara terbukaj. Membantu dan memberi kemudahan pengerjaan siswa dalam menyelesaikan

masalah dalam pemberian solusi3. Kegiatan guru pada tahap persentasi dan mengembangkan hasil kerja antara lain:

a. Memberi kesempatan pada kelompok mempresentasikan hasil penyelesaian masalah di depan kelas

b. Membimbing siswa menyajikan hasil kerjac. Memberi kesempatan kelompok lain mengkritisi/menanggapi hasil kerja

kelompok penyaji dan memberi masukan sebagai alternatif pemikiran Membantu siswa menemukan konsep berdasarkan masalah

d. Mengontrol jalannya diskusi agar pembelajaran berjalan dengan efektife. Mendorong keterbukaan, proses-proses demokrasi f. Menguji pemahaman siswa

4. Kegiatan guru pada tahap temuan objek matematika dan penguatan skemata baru antara lain:a. Mengarahkan siswa membangun konsep dan prinsip secara ilmiahb. Menguji pemahaman siswa atas konsep yang ditemukan melalui pengajuan

contoh dan bukan contoh konsepc. Membantu siswa mendefinisikan dan mengorganisasikan tugas-tugas belajar

yang berkaitan dengan masalahd. Memberi kesempatan melakukan konektivitas konsep dan prinsip dalam

mengerjakan soal tantangane. Memberikan scaffolding

5. Kegiatan guru pada tahap menganalisis dan mengevaluasi proses dan hasil penyelesaian masalah antara lain: a. Membantu siswa mengkaji ulang hasil penyelesaian masalahb. Memotivasi siswa untuk terlibat dalam penyelesaian masalah yang selektifc. Mengevaluasi materi akademik: memberi kuis atau membuat peta konsep atau

peta materi.

xviii Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi

xixMatematika

xx Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi

xxiMatematika

xxii Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi

Kompetensi Dasar Pengalaman Belajar

A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR

Setelah mengikuti pembelajaran eksponen dan logaritma, siswa mampu:

1. Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.

2. Memilih dan menerapkan aturan eksponen dan logaritma sesuai dengan karakteristik permasalahan yang akan diselesaikan dan memeriksa kebenaran langkah-langkahnya.

3. Menyelesaikan masalah nyata menggunakan operasi aljabar berupa eksponen dan logaritma serta menyelesaikannya menggunakan sifat sifat dan aturan yang telah terbukti kebenarannya.

Melalui pembelajaran materi eksponen dan logaritma, siswa memperoleh pengalaman belajar: mengkomunikasikan karakteristik masalah

otentik yang pemecahannya terkait eksponen dan logaritma.

merancang model matematika dari sebuahpermasalahan otentik yang berkaitan dengan eksponen dan logaritma.

menyelesaikan model matematika untukmemperoleh solusi permasalahan yang diberikan.

menafsirkanhasilpemecahanmasalah. menuliskan dengan kata-katanya sendiri

konsep persamaan kuadrat.berdasarkan ciri-cirinya dituliskan sebelumnya.

membuktikan berbagai sifat eksponen danlogaritma.

menerapkan berbagai sifat eksponen danlogaritma dalam pemecahan masalah.

berkolaborasimemecahkanmasalah. berlatihberpikirkritisdankreatif

Eksponen dan Logaritma

Bab

BilanganPokok(Basis) Perpangkatan Eksponen Logaritma

2 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi

B. PETA KONSEP

3Matematika

C. MATERI PEMBELAJARAN

Beberapa permasalahan dalam kehidupan sehari hari dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep dan aturan matematika. Sebagai contoh, konsep eksponen dan logaritma berperan penting dalam menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan aritmatika sosial, peluruhan zat kimia, perkembangan bakteri dan lain lain. Untuk itu perhatikan dan selesaikan dengan cermat permasalahan permasalahan yang diberikan pada bab ini. Di dalam proses pemecahan masalah-masalah yang diberikan, kamu diminta untuk mencermati objek-objek yang dilibatkan dalam permasalahan yang diberikan tersebut.

1. Menemukan Konsep Eksponen Pada subbab ini, konsep eksponen ditemukan dengan mengamati beberapa masalah nyata berikut dan mencermati beberapa alternatif penyelesaiannya. Tentu saja, kamu diminta untuk melakukan pemodelan matematika yang melibatkan eksponen. Dari beberapa model matematika yang diperoleh dari langkah-langkah penyelesaian masalah, kamu secara individu menuliskan ciri-ciri eksponen dan mendiskusikan hasilnya dengan temanmu. Berdasarkan ciri-ciri tersebut, kamu menuliskan konsep eksponen dengan pemahamanmu sendiri.

Banyak permasalahan dalam kehidupan yang penyelesaian-nya terkait dengan konsep dan aturan-aturan dalam matema-tika. Secara khusus keterkaitan konsep dan prinsip-prinsip eksponen dan logaritma dengan permasalahan masalah nyata yang menyatu/ bersumber dari fakta dan lingkungan budaya kita. Konsep eksponen dan logaritma dapat dibangun/ ditemukan di dalam penyelesaian permasalahan yang kita hadapi. Untuk itu arahkan siswa menyelesaiakan permasalahan-permasalahan yang diberikan. Di dalam proses penyelesaian masalah-masalah yang diberikan, ajak siswa mencer-mati objek-objek budaya atau objek lingkungan budaya yang dilibatkan dalam permasa-lahan yang diberikan. Objek-objek itu menjadi bahan aspirasi/inspirasi, karena terkadang ada konsep matematika melekat pada objek itu yang tidak disadari dan ternyata sebagai kata kunci dalam penyelesaian masalah. Demikian juga siswa tidak boleh mengabaikan atau melupakan konsep-konsep dan aturan-aturan matematika

4 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi

Masalah-1.1Seorang peneliti di sebuah lembaga penelitian sedang mengamati pertumbuhan suatu bakteri di sebuah laboratorium mikrobiologi. Pada kultur bakteri tertentu, satu bakteri membelah menjadi r bakteri setiap jam. Hasil pengamatan menunjukkan bahwa jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah 10.000 bakteri dan setelah 2 jam kemudian, jumlah bakteri tersebut menjadi 40.000 bakteri. Peneliti tersebut ingin mengetahui banyak bakteri sebagai hasil pembelahan dan mencari tahu banyak bakteri dalam pada akhir 8 jam.

Alternatif PenyelesaianDiketahui:Satu bakteri membelah menjadi r bakteri untuk setiap jam.Jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah 10.000 bakteri dan setelah 2 jam kemudian, jumlahnya menjadi 40.000 bakteri.

Ditanya:a. Berapa banyak bakteri sebagai hasil pembelahan.b. Berapa jumlah bakteri dalam pada akhir 8 jam.Sebagai langkah awal buat tabel laju pertumbuhan bakteri terhadap waktu setiap jam.Misalkan jumlah bakteri pada awalnya (t = 0) adalah x0. Isilah tabel berikut!

Pada akhir t jam 0 1 .... .... .... ....Jumlah bakteri (xt) x0 rx0 .... .... .... ....

Dari hasil pengamatan data pada tabel di atas, kita dapat membuat hubungan pertumbuhan jumlah bakteri tersebut terhadap perubahan waktu untuk setiap jam dinyatakan sebagai berikut:

x r r r r xtt

= ...faktor

0

yang telah dipelajari sebelum-nya, baik di tingkat Sekolah Dasar, SMP, bahkan pada materi yang baru saja dipelajari.

Ajukan Masalah 1.1 pada siswa. Minta siswa men-gamati masalah dan men-uliskan apa yang diketa-hui dan yang ditanyakan. Selanjutnya dorong siswa memunculkan berbagai pertanyaan terkait ma-salah yang dipecahkan. Akomodasi berbagai per-tanyaan dan coba mem-beri petunjuk agar siswa dapat melakukan penal-aran dan mencoba mem-ecahkan masalah.

Meminta siswa mem-buat tabel laju pertum-buhan bakteri dengan waktu setiap jam. Arah-kan siswa menemukan model matematika yang menyatakan hubungan banyak bakteri hasil pem-belahan pada saat waktu tertentu.

5Matematika

x(t) = rt x0.................................................................... (1)

dengan t menyatakan banyak jam, x0 adalah jumlah bakteri saat t = 0 dan r adalah banyak bakteri setelah pembelahan terjadi pada setiap jam. Pada Masalah-1.1 diketahui bahwa pada akhir 3 jam terdapat 10.000 bakteri dan setelah 5 jam terdapat 40.000 bakteri. Kita substitusikan t = 3 dan t = 5 ke formula (1) di atas, maka diperoleh x3 = r

3x0 = 10.000 dan x5 = r

5x0 = 40.000xxr xr xrr

5

35

03

02

40 00010 000

4

42

=

=

==

.

.

Jadi, peneliti tersebut menemukan bahwa bakteri membelah menjadi 2 bakteri setiap 1 jamUntuk mendapatkan banyak bakteri pada awalnya atau t = 0, substitusi r = 2 ke persamaan r3x0 = 10.000 sehingga 8x0 = 10.000. Dengan demikian x0 = 1.250. Subtitusikan x0 = 1.250 ke persamaan (1), pola pertumbuhan bakteri tersebut dinyatakan

Dalam Masalah-1.1, ditemukan r2 = 4, dan kemudian r = 2. Apakah r = 2 tidak berlaku? Berikan alasanmu!

xx

tt=

==

1250 2

2 1250320 000

88

.

( )( ).

Jadi, pada akhir setelah 8 jam, peneliti mendapatkan jumlah bakteri sudah mencapai 320.000 bakteri.

Organisasikan siswa be-lajar dalam kelompok dengan banyak anggota kelompok 4-5 orang un-tuk mendiskusikan model matematika yang ditemu-kan secara individu. Guru menjembatani perbedaan hasil pemikiran antar siswa dalam setiap kelom-pok dan menuliskan hasil pemikiran bersama pada lembar kerja.Meminta beberapa siswa untuk memberi pendapat mengapa pada Masalah 1.1

Jika r2 = 4, maka r = 2. Kenapa tidak berlaku r = -2?Alasan:r2 = 4, r R r = 2 atau r = -2. Tetapi dalam Ma-salah 1.1, r menyatakan banyak pembelahan bak-teri untuk setiap jam. Jadi bakteri membelah menjadi 2, bukan -2.Guru meminta salah satu kelompok untuk mempre-sentasikan hasil kerjanya di depan kelas. Jembatani jika ada cara yang berbe-da hasil kerja di antara ke-lompok. Beri kesempatan antar kelompok berdebat atas perbedaan pendapat untuk melatih kemampuan komunikasi siswa.

6 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi

Masalah-1.2

Diberikan selembar kertas berbentuk persegi panjang. Lipatlah kertas tersebut di tengah-tengah sehingga garis lipatan membagi bidang kertas menjadi dua bidang yang sama. Lipatlah lagi dengan cara yang sama kertas hasil lipatan tadi. Lakukan terus-menerus pelipatan ini. Temukanlah pola yang menyatakan hubungan banyak lipatan dengan banyak bidang kertas yang terbentuk.

Alternatif Penyelesaian Sebagai langkah awal buat tabel keterkaitan antara banyak lipatan dengan banyak garis bidang kertas yang terbentuk.

Banyak Lipatan

Banyak Bidang Kertas

Pola Perkalian

1 2 2 = 22 4 4 = 2 23 8 8 = 2 2 24 ... ...... ... ...n k ...

Berdasarkan tabel di atas, misalkan k adalah banyak bidang kertas yang terbentuk sebagai hasil lipatan bidang kertas menjadi dua bagian yang sama, n adalah banyak lipatan.k dapat dinyatakan dalam n, yaitu k(n) = 2n........................................................................ (2)

Coba kamu uji kebenaran persamaan k(n) = 2n dengan mensubtitusikan nilai n ke persamaan tersebut.

Motivasi siswa belajar dengan memperlihatkan kebergunaan matematika dalam kehidupan. Ajukan Masalah 1.2 dan mem-fasilitasi siswa terhadap alat yang dibutuhkan. Arahkan siswa melakukan percobaan melipat kertas dan menemukan pola dari data yang diperoleh sekai-tan membangun model matematika terkait ekspo-nen.

Meminta siswa membuat tabel keterkaitan antara banyak lipatan dengan banyak bidang kertas yang terbentuk. Arahkan siswa menemukan model matematika yang me-nyatakan hubungan ban-yak lipatan kertas dan banyak bidang kertas yang terbentuk. Diharap-kan siswa menuliskan hal seperti tabel di samping.

Selanjutnya guru me-minta siswa mengamati dan mencermati data pada tabel. Diharapkan siswa menemukan model matematika yang me-nyatakan hubungan ban-yaknya bidang kertas den-gan banyaknya lipatan.

7Matematika

Berdasarkan persamaan (1) dan (2), diperolehDari persamaan (1) x(t) = r tx0, r adalah bilangan pokok dan t adalah eksponen dari r.Dari persamaan (2) k(n) = 2n, 2 adalah bilangan pokok dan n adalah eksponen dari 2.Untuk menyederhanakan penulisan hasil kali bilangan yang sama, kita dapat menggunakan notasi pangkat. Bilangan berpangkat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 1.1Misalkan a bilangan real dan n bilangan bulat positif. Notasi anmenyatakan hasil kali bilangan a sebanyak

n faktor, dapat ditulis a a a a ann faktor

= ... dengan

a sebagai basis bilangan berpangkat dan n sebagai pangkat.

Catatan:1. Pada Definisi-1.1 di atas, kita sepakati, a1 cukup ditulis

a.2. Hati-hati dengan bilangan pokok a = 0, tidak semua a0

dengan a bilangan real menyatakan 1. Coba tanyakan pada gurumu, mengapa demikian?

3. Jika n adalah sebuah variabel sebagai eksponen dari a, maka perlu dicermati semesta variabel itu. Sebab an = a a ... a sebanyak n faktor, ini hanya berlaku ketika semesta nN.

Perhatikan Masalah-1.3 berikut!

Arahkan siswa mengamati kedua model matematika di samping. Minta mereka menuliskan ciri-ciri bilan-gan berpangkat dan ber-dasarkan ciri-ciri tersebut dapat menuliskan penger-tian dari an.

Beri penjelasan pada siswa, tentang pemaha-man unsur-unsur yang ada pada Definisi 1.1, mengapa n harus bilangan bulat positif. Minta siswa untuk memegang teguh sifat matematika dalam menetapkan definisi bi-langan berpangkat; yaitu, matematika bersandar pada kesepakatan, meng-gunakan variabel-varia-bel yang kosong dari arti, menganut kebenaran kon-sistensi.

Minta siswa mencermati beberapa catatan penting terkait Definisi 1.1. Beri penjelasan bahwa ketika a = 0 dan n = 0, maka an = 00, hasilnya taktentu.

8 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi

Masalah-1.3

Suatu zat yang disuntikkan ke dalam tubuh manusia akan dikeluarkan dari darah melalui ginjal. Setiap 1 jam separuh zat itu dikeluarkan oleh ginjal. Bila 100 mg zat itu disuntikkan ke tubuh manusia, berapa miligram zat itu tersisa dalam darah setelah:1) 1 jam?2) 2 jam?3) 3 jam?4) Buatlah model matematika pengurangan zat

tersebut dari tubuh melalui ginjal!5) Gambar pasangan titik (waktu, jumlah zat) pada

koordinat kartesius untuk 8 jam pengamatan.

Alternatif PenyelesaianLangkah awal isilah tabel berikut:

Waktu (t dalam jam) 1 2 3 4 5 6 7 8Jumlah zat z(t)

dalam mg 50 25 12,5 ... ... ... ... ...

Isilah secara lengkap data pada tabel dan coba gambarkan pasangan titik-titik tersebut pada sistem koordinat kartesius (coba sendiri)!Selanjutnya perhatikan grafik fungsi (Gambar-1.2) di bawah ini. Isilah nilai-nilai fungsi tersebut dan sajikan nilai-nilai tersebut pada tabel yang diberikan.

Ajak siswa untuk menga-mati Masalah 1.3 dan me-mahami tentang perma-salahan yang ditanyakan pada Masalah 1.3. Beri kebebasan bagi siswa menggali ide-ide secara bebas terbuka, mengaju-kan berbagai pertanyaan dalam menganalisis infor-masi yang tersedia pada Masalah 1.3.

Minta siswa mengisi se-cara lengkap data pada tabel dan mencoba meng-gambarkan data-data (pasangan titik) tersebut pada sistem koordinat kartesius!

9Matematika

02 2 4 x4

2

2

4

4

6y

f(x) = 3-x f(x) = 2-x f(x) = 2x f(x) = 3x

Gambar-1.2: Grafik Fungsi Eksponensial

x3 2 1 0 1 2 3 4

f(x) = 2x

f(x) = 2-x

f(x) = 2x

f(x) = 3x

f(x) = 3-x

Latihan 1.1

Amati grafik (Gambar-1.2) di atas. Tuliskan sedikitnya 5 (lima) sifat grafik fungsi tersebut dan disajikan hasilnya di depan kelas. Dalam paparan jelaskan mengapa kita perlu mengetahui sifat-sifat tersebut.

Organisasikan siswa bela-jar dalam kelompok. Min-ta siswa diskusi dengan temannya satu kelompok, bagaimana perilaku grafik ketika x menuju - dan ke-tika x menuju ? Apakah grafik itu sampai berpo-tongan atau tidak sampai menyinggung sumbu x? Sajikan hasil kerja kelom-pok di depan kelas.

Untuk menguatkan konsep siswa, minta siswa untuk mencoba menyelesaikan Latihan 1.1 di samping.Misalnya grafik fungsi f(x) = 2x, x bilangan real. Sifat grafik yang diharap-kan ditemukan siswa, an-tara lain:1. Grafik seluruhnya di

atas sumbu-x.2. Sumbu-x sebagai asim-

tot3. Memotong sumbu-y

pada satu titik, saat x = 0.

4. Grafik tidak memotong sumbu-x, untuk x menu-ju 0.

5. Untuk nilai x sema-kin besar, maka nilai y semakin besar. Seba-liknya untuk nilai x se-makin kecil, diperoleh nilai y semakin kecil

10 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi

2. Pangkat Bulat Negatif

Definisi 1.2Untuk a bilangan real dan a 0, m bilangan bulat positif, didefinisikan

aa

mm

=

1

Definisi di atas dijelaskan sebagai berikut:

aa a a a a

mm

=

=

1 1 1 1 1...

sebanyyak faktor

faktor

m

m

m

a a a a

a

=

=

1

1

...

Contoh 1.1Jika x = 2 dan y = 2, tentukan nilai x-3 (y4)Alternatif Penyelesaian

x y yx

( ) = =

=

= 3 44

3

4

3

22

168

2( )

3. Pangkat Nol

Definisi 1.3Untuk a bilangan real dan a 0, maka a0 = 1.

6. Untuk x menuju , diperoleh y menuju . Untuk x menuju -, di-peroleh y menuju 0.

Ajukan beberapa con-toh yang dipahami siswa tentang perpangkatan di SMP, dalam membangun pemahaman terhadap Definisi 1.2 di samping. Misalnya

3 13

13

33

3 = =

=

13

13

13

= 1

3 3 319

=

Selanjutnya menga-jak siswa mencermati penjelasan Definisi 1.2 secara deduktif, seperti disajikan disamping.

Untuk lebih memahami Definisi 1.2, minta siswa mencermati Contoh 1.1 di samping. Cek kebenaran hasil kerja siswa mener-apkan Definisi 1.2, dalam menyelesaikan soal pada Contoh 1.1.

Arahkan siswa memahami Deinisi 1.4 di samping, dengan mengajukan be-berapa pertanyaan, sep-erti:

11Matematika

Untuk lebih memahami definisi di atas, perhatikan pola hasil pemangkatan bilangan-bilangan berikut. 23 = 8 33 = 27 22 = 4 32 = 9 21 = 2 31 = 3 20 = 1 30 = 1

Perhatikan hasil pemangkatan 2 dengan 0, dan hasil pemangkatan 3 dengan 0, hasil perpangkatannya adalah 1.

4. Sifat-sifat Pangkat Bulat Positif Coba cermati bukti sifat-sifat bilangan berpangkat bulat positif menggunakan definisi bilangan berpangkat yang kamu telah pelajari sebelumnya.

Sifat-1Jika a bilangan real, m dan n bilangan bulat positif maka am an = am+n

Bukti:a a a a a a a a a am n

m faktor n faktor

= ... ...

= = +

a a a a a a a am nm n

= am+n

Perhatikan a a a a amm faktor

= ... .

Diskusikan dalam kelompokmu, apakah benar perpangkatan adalah perkalian berulang?

Bagaimanajikam dan n bukan bilangan bulat positif?

Mengapa batasan bilan-gan real dan . Bagaimana hasil a0, ketika a = 0. Beri penjelasan bahwa ketika a = 0 maka a0 = 00, hasil-nya taktentu. Selanjutnya ajak siswa mengamat pola hasil perpangkatan bilan-gan 2 dan 3 di samping. Untuk meyakinkan siswa bahwa a0 = 1, a 0

Minta siswa untuk dapat membuktikan Sifat-1 se-hingga siswa dapat me-nyimpulkan bahwa sifat tersebut benar untuk m dan n bilangan bulat posi-tif.

Jelaskan pada siswa bah-wa perpangkatan adalah perkalian berulang. Si-fat-1, hanya berlaku a bilangan real, m dan n bi-langan bulat positif. Jika m dan n bukan bilangan bulat positif, Sifat-1 tidak berlaku, misalnya a = 0 dan m = n = 0, tidak ber-laku

12 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi

Sifat-2Jika a bilangan real dan a 0, m dan n bilangan bulat positif, makaaa

am

nm n= .

Bukti:

aa

a a a a

a a a a

m

nm

n

=

...

...faktor

faktor

(sesuai Definisi 1.1)

Pada persyaratan Sifat-2, mengapa a 0 dipersyaratkan?

Bagaimanajikaa = 0? Apa dampaknya pada

hasil pembagianaa

m

n ? Jika kamu tidak tahu

bertanya ke guru!

Sifat-1 di atas hanya berkaitan dengan bilangan bulat positif m dan n. Ada 3 (tiga) kemungkinan, yaitu (a) m > n, (b) m = n, dan (c) m < n.

a) Kasus m > n Jika m dan n bilangan bulat positif dan m > n maka m

n > 0. Dengan demikian

aa

a a a a

a a a a

am

nm

n

=

=

...

...faktor

faktor

aa a a

a a a aa a an

n

...

.....faktor

faktor

..

...

( )

( )

=

=

a

a a a a

a

m n

m n

m n

faktor

faktor

Jadi aa

m

n = am-n, dengan m, n bilangan bulat positif dan m > n

Selanjutnya bimbing siswa agar memaha-mi tentang Sifat-2 dan data menunjukkan bukti dari sifat tersebut. Beri penjelasan pada siswa dalam Sifat-2, tidak diiz-inkan a = 0, sebab ben-tuk perpangkatan pada Sifat-2 adalah bentuk ra-sional. Dalam pecahan penyebutnya tidak lazim nol.Ketika a = 0 dan m, n bilangan bulat positif, maka am atau an dimung-kinkan hasilnya 0.Jika hasil am dan an keduanya nol, maka hasil baginya tak tentu. Jika am = 0 dan an 0, maka hasil baginya 0. Tetapi jika am 0 dan an = 0, maka hasil baginya tak ter-definisi.

13Matematika

b) Kasus m = n

Jika m = n, maka aa

m

n = 1 = a0 = amn.

Bukti: a

aaa

m

n

m

m= , sebab m = n

= a a a a

a a a am

m

...

...faktor

faktor

= 1 = a0

Latihan 1.2

Buktikan sendiri untuk kasus m < n. Jelaskan perbedaan hasilnya dengan kasus (a).

BuktikanJika a bilangan real dan a 0, m dan n bilangan bulat

positif, m < n, maka aa

am

nm n= .

Bukti:Ambil sebarang m dan n bilangan bulat positif, m < n.m < n m n < 0.

aa

a a a a

a a a a

m

nm faktor

n m faktor

=

...

...( )

=

a a a a

a a a am faktor

n m faktor

...

...( )

=

1

1

a a a a

a a a

m faktor

...

...

=

= =

a

aa a

n m faktor

n mn m m n

( )

( )

1

(karena m < n, maka m n < 0)

Agar siswa benar-benar dapat menguasai kon-sep tentang Sifat-2 un-tuk kasus m < n, sesuai Latihan 1.2. Alternatif jawaban yang diharap-kan dari siswa sebagai bukti Sifat-1.2 untuk kasus m < n, dapat dicermati di samping.

14 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi

Sifat-3Jika a bilangan real dan a 0, m dan n bilangan bulat positif, maka (am)n = amn

Bukti:a a a a a

a a a a

m n m m m m

n

m

( ) =

=

...

...

faktor

faktor

a a a a

a a a a

m

...

...

faktor

mm m

a a a afaktor faktor

... ...

=

n

m n

a a a a

faktor

faktor

...

( ) = a am n m n ( )terbukti

DiskusiDiskusikan dengan temanmu, apakah syarat bahwa m dan n bilangan positif diperlukan untuk Sifat-3 dan Sifat-4. Bagaimana jika m dan n adalah negatif atau kedua-duanya bilangan negatif.

CatatanDalam beberapa definisi, sifat, dan proses pembuktian sering kita menggunakan simbol logika. Beberapa simbol yang sering kita gunakan dijelaskan sebagai berikut.a. Simbol dibaca untuk setiap atau untuk semua.

Misalnya, xR, berlaku x2 0 (dibaca, untuk setiap x bilangan real, maka x kuadrat lebih dari atau sama dengan nol).

b. Simbol p q dibaca jika p, maka q. Misalnya x = 2 x2 = 4

Ajak siswa berdiskusi dalam kelompok belajar, untuk menganalisis pent-ingnya syarat m dan n bilangan bulat positif un-tuk Sifat-3. Jika m dan n adalah salah satu negatif dan ketika a = 0, misalnya

0 0 0 10

2 3 2 3 66( ) = = =

Tentu 06 = 0. Dengan

demikian 10

106

= hasil-

nya tak terdefinisi.

Jelaskan pada siswa catatan penting di sam-ping, tentang pemanfaatan dan makna simbol logika matematika yang sering digunakan dalam definisi, sifat, dan proses pembuk-tian.

Selanjutnya minta siswa untuk mencoba mema-hami bukti Sifat-3 dengan memberi bantuan sebagai berikut.

(32)3 = (3 3)3

= (9)3 = 9 9 9

= 729 = 36 = 323

Selanjutnya mengarahkan siswa membuktikan Si-fat-3 secara umum, seper-ti yang tertera pada buku siswa di samping

15Matematika

c. Simbol p q dibaca p jika dan hanya jika q atau p bila dan hanya bila q. Misalnya x2 = 4 x = 2 atau x = -2

Contoh 1.2(a) Buktikan jika a R, a > 1 dan n > m, maka an > am !

Bukti: Karena a > 1 dan n > m maka n m > 0 dan an > 0, am

> 0. Akibatnya, berlaku

= ( )

> >

aa

a

aa

aa

n

mn m

n

m

n

m

Lihat sifat-1diatas

Mengapa ?Berial1 1( aasamu

Karena

terbukti

!)

( )

( )

> >

>

aa

a a a

a a

n

mm m m

m n

1 0

(b) Perlukah syarat a > 1? Misalkan kita ambil a bilangan real yang memenuhi a

< 1 dan n > m. Apakah yang terjadi? Pilih a = 2, dengan n > m, pilih n = 3 dan m = 2.

Apakah yang terjadi? (2)3 = (2) (2) (2) = 8 (2)2 = (2) (2) = 4 Dengan demikian, an = 8 < 4 = am atau an < am. Jadi,

tidak benar bahwa an > am bila a < 1 dan n > m. Jadi, syarat a adalah bilangan real, dengan a > 1 dan n > m merupakan syarat cukup untuk membuktikan an > am .

Latih siswa berpikir anal-itis dengan mengajukan Contoh 1.2 di samping. Minta siswa membuktikan masalah yang diberikan dan beri bantuan, jika siswa mengalami kesuli-tan. Ajukan berbagai per-tanyaan untuk menguji pemahaman siswa, dalam pemanfaatan kosep dan sifat yang sudah dipela-jari sebelumnya, untuk proses pembuktian.

Minta siswa memberi con-toh yang lain dengan me-milih nilai a tertentu, agar pernyataan pada Contoh 1.2 tidak berlaku, apabila a < 1. Seperti halnya con-toh penyangkal pada buku siswa di samping.

16 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi

DiskusiBerdiskusilah dengan temanmu satu kelompok. Analisis pernyataan pada Contoh 1.2! Apaakibatnyabilasyarata > 1 tidak dipenuhi? Perlukahdiperkuatdengansyaratn > m > 0? Jelaskan! Bolehkahsyarata > 1 di atas diganti a 1? Jelaskan! Bagaimanakahbila0 m, maka an > am, belum tentu benar.

Tidak perlu diperkuat syarat n > m menjadi n > m > 0, sebab per-nyataan pada Contoh 1.4 berlaku untuk n dan m yang negatif.

Syarat a > 1 tidak boleh diganti dengan a 1, se-bab untuk a = 1, an = am.

Arahkan siswa mencer-mati beberapa contoh yang disajikan, agar lebih mema-hami penggunaan sifat-sifat bilangan ber-pangkat dalam penyele-saian berbagai soal.Cek pemahaman siswa dengan mengajukan pertanyaan-pertanyaan terkait peman-faatan sifat tersebut

17Matematika

3.

dengan menggunakan Sifat-3

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2

3 2 3 3

3 3

( ) = ( ) ( )= ( ) ( )

= f faktor aktor

22 2 2 2 2

22

6

3 3

6

( )

=

=

+

faktor

4. 2 3 2 3 2 3 2 32 2 2 3 3 3

3

3 3

( ) = ( ) ( ) ( )=

faktor faktor

= 2 33 3

dengan menggunakan Definisi 1.1

5. 23

23

23

23

2 2 23 3

3

3

=

=

faktor

33

23

3

3

3

faktor

=

dengan menggunakan Definisi 1.1

Contoh 1.4Buktikan bahwa jika a > 1 dan n > m dengan n dan m bilangan bulat negatif, maka an > am.

Bukti:Karena n > m dengan n dan m bilangan bulat negatif, maka n dan m adalah bilangan bulat positif dan m > n.

Karena a > 1 maka aa

aa

m

n

n

m

= > 1 (Gunakan sifat am =

1am

).

aa

n

m > 1 an > am (terbukti)

Latih siswa berpikir kri-tis, analitis, dan kreatif dengan mengajukan Con-toh 1.4 di samping. Minta siswa membuktikan per-nyataan yang diberikan dan beri bantuan, jika siswa mengalami kesuli-tan. Ajukan berbagai per-tanyaan untuk menguji pemahaman siswa, dalam pemanfaatan konsep dan sifat yang sudah dipelajari sebelumnya, untuk proses pembuktian.

Pernyataan pada Contoh 1.4, tidak berlaku untuk a < 1, misalnya pilih a = 3, n = 2, dan m = 3.aa

n

m =( )( )

=( )( )

3

3

3

3

2

3

3

2

=

= 0, pn

mn

dan

adalah bilangan pecahan n 0, maka a a amn

pn

m pn

= ( )

+

.

Bukti:Berdasarkan Sifat-4, jika a bilangan real dan a 0, m, n

adalah bilangan bulat positif, maka a amn n

m

=

1

. Dengan

demikian a a a amn

pn n

m

n

p

=

1 1

a a a a

a a a a

mn

pn n

m

n

p

n n n

=

=

1 1

1 1 1 1

... nnm

n n n n

p

a a a afaktor faktor

1 1 1 1

...

=

+

a a a an n n nm p

1 1 1 1

...faktor

SSesuaiSifat

Berdasarkan Definisi1.5 = , sehing

1

1

( )

a an

m mn gga diperoleh

terbua a a amn

pn n

m pm p

n

=

= ( )

++1

( kkti)

Sifat-5

Jika a adalah bilangan real dengan a > 0, mn

dan pq

bilangan pecahan q, n 0, maka a a amn

pq

mn

pq

=

+.

Untuk Definisi 1.5 berikan contoh agar siswa lebih memahaminya. Misalnya

2 262 3=

= 2 2 2 = 8

2 212

612

6

= ( )

= (2)3 = 2 2 2 = 2

Berarti 2 262

12

6

=

Selanjutnya arahkan siswa membuktikan Sifat-4 menggunakan Definisi 1.5

Arahkan siswa membukti-kan Sifat-5 menggunakan definisi dan sifat perpang-katan yang sudah dipela-jari. Alaternatif pembuk-tian dapat dicermati di samping.

20 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi

Uji Kompetensi 1.1

1. Sederhanakanlah hasil operasi bilangan berpangkat berikut.

a. 25 29 212 b. 25 36 46

c. 2 3 412

5 5 2

2

d. ( ) 5 25125

6 2

e. 3 7 242

7 3

3

( )

2. Dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat, sederhanakanlah bentuk berikut.

a. 2x3 7x4 (3x)2

b.

2 25

4 2pq

q p( )

c. y5 (x y)31

2x y

d. (a b c)4 3

2733

5( )b cb

a

e.

4 28

3 5a bab

f. 1 23

53

42 22

x yxy x

y ( )

g. ( )

a b

ba

ab

34 5

23

h. 246

42

3 8

5

3

3

2a ba b

b aa

Minta siswa untuk meny-elesaikan uji kompetensi melalui pemberian tugas untuk menilai penguasaan siswa terhadap materi yang sudah dipelajari. Terutama tugas projek yang tersedia. Gunakan rubrik penilaian projek yang telah tersedia pada bagian akhir dari buku guru ini.

21Matematika

i. 36 23

12 39

2

2

2

2

2x yx y

x yx y

( )

( )

j. ( ) ( ) ( )

( )

p q r

p q

pqrqr

3 2 3

2 3

3

23

212

3. Hitunglah hasil operasi bilangan berpangkat berikut.

a.

23

12

16

4 2

b. ( )

5

115

103

95

32 4 5

c. 324

2 3x yx

(2y)2; untuk x = 2

dan y = 3

d.

23

34

23

2

x y

xy

( )

untuk x = 12

dan y = 13

e. 3 3

2 34

2 4

2 2

2pp q

qp

( )( ) ( )

;

untuk p = 4 dan q = 6

f. x y x y x y

x y y

32

32

32

32 1

2 1 2

+

+ +( )

untuk x = 12

dan y = 12

4. Hitunglah

1 2 3 41 3 5 7

4 4 4 4

4 4 4 4

+ + + ++ + + +

...

...

5. Sederhanakanlah a b a b

a b a b

53

12

23

32

76

12

23

.

6. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut

a. 2x = 8 b. 4x = 0,125

c. 25

1

=

x

7. Tentukan hasil dari

2 2 2

2 2

2 2 2 2

2

n n

n n

+

+

( )

8. Misalkan kamu diminta menghitung 764. Berapa banyak perkalian yang kamu lakukan untuk mendapatkan nilai akhirnya? Bandingkan jawabanmu dengan temanmu. Pemenang di antara kalian adalah yang dapat mencari hasilnya dengan melakukan perkalian sesedikit mungkin. Coba tuliskan prosedur mengalikan yang paling sedikit perkaliannya untuk menghitung 764. Apakah prosedur tersebut dapat dipergunakan untuk pangkat positif berapapun?

9. Berdasarkan sifat bilangan 7, tentukan angka satuan dari 71234 + 72341 + 73412 + 74123 tanpa menghitung tuntas!

22 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi

ProjekBilangan yang terlalu besar atau terlalu kecil sering dituliskan dalam notasi eksponen yang dituliskan sebagai a E b yang nilainya adalah a 10b. Sehingga 0,000052 ditulis sebagai 5,2 E 5. Cari besaran-besaran fisika, kimia, astronomi, dan ekonomi yang nilainya dinyatakan dengan notasi eksponen. Misalkan kecepatan cahaya adalah 300.000 km/det, sehingga dalam notasi eksponen ditulis sebagai 3 E 8 m/det.

6. Bentuk Akar Pengakaran (penarikan akar) suatu bilangan merupakan kebalikan dari pemangkatan suatu bilangan. Akar dilambangkan dengan notasi .

Definisi 1.6

Misalkan a bilangan real dengan a > 0, pq

adalah bilangan pecahan dengan

q 0. q 2. apq = c, sehingga c = a p

q atau a

pq = a p

q

10. Tentukan angka satuan dari 626 62( )( )

berdasarkan sifat bilangan 6, tanpa menghitung tuntas.Selanjutnya

lakukan hal tersebut berdasarkan sifat angka 2, 3, 4, 5, 8, 9.

11. Tunjukkan bahwa 12001 + 22001 + 32001 + + 20012001 adalah kelipatan 13.

12. Bagaimana cara termudah untuk

mencari 3 10 5 2

5 6 3 2

2008 2013 2012 2011

2012 2010 2009 2008

+ ( )+ ( ) .

Tugas proyek diberikan sebagai tugas individu untuk menginformasikan kepada siswa bahawa be-lajar eksponen sangat di-perlukan dalam perkem-bangan ilmu dan dalam menyelesaikan perma-salahan kehidupan.

Berdasarkan penyelesa-ian masalah dan konsep yang sudah dipelajari se-belumnya arahkan siswa untuk dapat mendefinisi-kan definisi-definisi beri-kut.

23Matematika

Perhatikan permasalahan berikut.

Masalah-1.4

Seorang ahli ekonomi menemukan hubungan antara harga (h) dan banyak barang (b) yang dinyatakan

dalam persamaan h b= 3 23 . Jika nilai b = 8, maka berapa nilai h?

Alternatif Penyelesaian

h b h

h

hh

= =

=

= = =

3 3 8

3 64

3 4 4 4 3 412

23 23

3

3

Akar ke-n atau akar pangkat n dari suatu bilangan a dituliskan sebagai an , dengan a adalah bilangan pokok/basis dan n adalah indeks/eksponen akar.Bentuk akar dapat diubah menjadi bentuk pangkat dan sebaliknya. Sebelum mempelajari bentuk akar, kamu harus memahami konsep bilangan rasional dan irrasional terlebih dahulu. Bilangan rasional berbeda dengan bilangan irrasional. Bilangan rasional adalah bilangan real yang dapat dinyatakan

dalam bentuk ab

, dengan a dan b bilangan bulat dan

b 0. Karena itu, bilangan rasional terdiri atas bilangan bulat, bilangan pecahan biasa, dan bilangan pecahan campuran. Sedangkan bilangan irasional adalah bilangan real yang bukan bilangan rasional. Bilangan irasional merupakan bilangan yang mengandung pecahan desimal tak berhingga dan tak berpola. Contoh bilangan irasional, misalnya 2 = 1,414213562373..., e = 2,718..., dan = 3,141592653

Selanjutnya minta siswa mengamati masalah 1.4 dan menghimpun informa-si yang terkandung pada masalah tersebut. Mem-beri kesempatan kepada siswa menganalisis dan memunculkan ide-ide dan pertanyaan-pertanyaan sekitar masalah yang dia-jukan sebagai pengantar kepada siswa tentang kon-sep bentuk akar.

Jelaskan perbedaan bilan-gan rasional dan irasional pada siswa. Berikan be-berapa contoh untuk me-mahami konsep bilangan rasional dan irasional.

24 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi

Bilangan irasional yang menggunakan tanda akar () dinamakan bentuk akar. Tetapi ingat, tidak semua

bilangan yang berada dalam tanda akar merupakan bilangan irasional. Contoh: 25 dan 64 bukan bentuk akar, karena nilai 25 adalah 5 dan nilai 64 adalah 8, keduanya bukan bilangan irasional. Agar lebih jelas, perhatikan contoh berikut.1. 20 adalah bentuk akar2. 273 bukan bentuk akar, karena 273 = 3

7. Hubungan Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat

Perlu diketahui bahwa bilangan berpangkat memiliki

hubungan dengan bentuk akar. Berdasarkan Sifat-4, jika

a adalah bilangan real dengan a > 0, pn

dan mn

adalah

bilangan pecahan dengan n 0, maka a a amn

pn

m pn

=( )

+

.

Dengan demikian p p p12

12

12

12 =

+= p dan perhatikan bahwa

p p p = , sehingga dapat disimpulkan p p12 = .

Perhatikan untuk kasus di bawah ini

p p p p13

13

13

13

13

13 =

+ += p1 = p dan perhatikan juga bahwa

p p p p3 3 3 = , sehingga berdasarkan Definisi 1.6

disimpulkan p p13 3= .

Ajak siswa memahami pengertian bentuk akar melalui contoh dan bukan contoh. Gunakan contoh dan bukan contoh bentuk akar yang tertera pada buku siswa.

Minta siswa mengamati hubungan bentuk akar dengan bilangan ber-pangkat menggunakan sifat-sifat yang sudah di-pelajari sebelumnya.

25Matematika

Latihan 1.3

Cermatilah dan buktikan apakah berlaku secara umum

bahwa p pn n1

= .

Perhatikan bahwa p p p23

23

23 = p2, sehingga berdasarkan

sifat perkalian bilangan berpangkat diperoleh:

p23

3

= p

2 Ingat, (pm)n = pm n

dapat diubah, p p23 23= .

Secara umum dapat disimpulkan bahwa p p pmn mn n

m= =( )

sebagaimana diberikan pada Definisi-1.6.

8. Operasi pada Bentuk Akara. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk

Akar Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan apabila bentuk akarnya senama. Bentuk akar senama adalah bentuk akar yang mempunyai eksponen dan basis sama. Untuk setiap p, q, dan r adalah bilangan real dan r 0 berlaku sifat-sifat berikut.

p r q r p q r

p r q r p q r

n n n

n n n

+ = +( ) = ( )

Perhatikan contoh berikut ini!

Minta siswa untuk me-nyelesaikan Latihan 1.3 dengan caranya sendiri . Jawaban yang diharapkan dari siswa, bahwa per-nyataan pada Latihan 1.3 berlaku untuk n bilangan bulat positif dan p 0.

Operasi pada bentuk akar yang digunakan dalam pembelajaran ini adalah operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.

26 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi

Contoh 1.6Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan berikut dalam bentuk yang sederhana!1. 3 5 4 5 3 4 5

7 5

+ = +( )=

2. 5 3+ (tidak dapat disederhanakan

karena akarnya tidak senama)

3. 2 4 3 4 2 3 4

4

3 3 3

3

= ( )=

4. 3 3 1

2

3 3 3

3

x x x

x

= ( )=

b. Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar Pada pangkat pecahan telah dinyatakan bahwa

a apq pq= . Sifat perkalian dan pembagian bentuk akar

dapat dicermati pada beberapa contoh berikut.

Contoh 1.7

1) 8 2 2 2 23 3333 1= = = =

2) 64 2 2 2 26 6666 1= = = =

3) 4 5 2 7 4 2 5 7 8 353 3 3 3 = ( ) ( ) =

4) 3 5 5 5 3 5 5 5 15 5 15 55 715

17

1235 1235 = ( )

=

=

5) 3 44 5

34

45

3

33=

6) 2 33 5

23

35

4

44=

Ajak siswa mengerjakan Latihan 1.4. Cek kebena-ran hasil kerja siswa, dengan meminta beberapa siswa menyajikan hasil kerja di depan kelas. Ha-sil kerja yang diharapkan dari siswa adalah

Jelaskan beberapa con-toh berikut untuk me-latih siswa menerapkan berbagai aturan terkait operasi aljabar dalam bentuk akar. Ajukan ber-bagai pertanyaan pada siswa untuk menguji pemahaman mereka.

27Matematika

Latihan 1.4

1) Buktikan bahwa jika a bilanga