i | P a g e

KEOPTIMALAN NAÏVE BAYES DALAM KLASIFIKASI

SEMINAR

Diajukan sebagai syarat akhir mata kuliah seminar

Di Program Studi Ilmu Komputer

diajukan oleh:

MUHAMMAD AMMAR SHADIQ 056946/PS/IK/05

Kepada

TIM SEMINAR PROGRAM STUDI ILMU KOMPUTER

PROGRAM STUDI ILMU KOMPUTER FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

JUNI, 2009

ii | P a g e

KEOPTIMALAN NAÏVE BAYES DALAM KLASIFIKASI

SEMINAR

yang telah dipersiapkan dan disusun oleh

diajukan oleh:

MUHAMMAD AMMAR SHADIQ 056946/PS/IK/05

telah siap dipertahankan di depan Dewan Penguji

pada tanggal 26 Juni 2009

telah disetujui oleh:

Pembimbing Utama

Eddy Prasetyo Nugroho

Mengetahui, Ketua Jurusan/Program Studi Ketua Tim Seminar Ilmu Komputer Jurusan/Program Studi FPMIPA UPI FPMIPA UPI Ilmu Komputer

Heri Sutarno M.T Dr. Wawan Setiawan M.Kom NIP. 131 410 892 NIP. 131 946 757

iii | P a g e

KATA PENGANTAR

Klasifikasi adalah salah satu tugas yang penting dalam data mining, dalam klasifikasi

sebuah pengklasifikasi dibuat dari sekumpulan data latih dengan kelas yang telah di

tentukan sebelumnya Naive Bayes adalah salah satu Algoritma Klasifikasi yang

populer, Performa naïve bayes yang kompetitif dalam proses klasifikasi walaupun

menggunakan asumsi keidependenan atribut (tidak ada kaitan antar atribut). Asumsi

keidependenan atribut ini pada data sebenarnya jarang terjadi, namun walaupun

asumsi keidependenan atirbut tersebut dilanggar performa pengklasifikasian naïve

bayes cukup tinggi, hal ini dibuktikan pada berbagai penelitian empiris.

Pada karya tulis ini penulis mencoba mengesplorasi alasan mengapa performa

Algoritma Klasifikasi Naïve Bayes memiliki performa yang bersaing dibandingkan

dengan Algoritma-algoritma klasifikasi lainnya dengan cara melakukan penelitian

teoritis terhadap algoritma Naïve Bayes dalam tugas klasifikasi.

iv | P a g e

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ............................................................................................... iii

DAFTAR ISI ................................................................................................................ iv

ABSTRAKSI ................................................................................................................ 1

BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................. 2

1.1 Latar Belakang .................................................................................................... 2

1.2 Rumusan Masalah ............................................................................................... 5

1.3 Batasan Masalah.................................................................................................. 5

1.4 Tujuan dan Manfaat Penelitian ........................................................................... 5

BAB II TELAAH PUSTAKA ...................................................................................... 6

2.1 Pengklasifikasian dalam Data Mining & Machine Learning ............................. 6

2.1.1 Pendefinisian istilah dalam klasifikasi ......................................................... 6

2.1.2 Proses pembentukan model .......................................................................... 7

2.2 Peluang Bersyarat dalam Statistika ..................................................................... 8

2.3 Teorema Bayes dalam statistika ........................................................................ 10

2.4 Teorema Bayes dalam Klasifikasi pada Data Mining & Machine Learning .... 13

2.4.1 Perkalian Kartesius(cartesian product) ...................................................... 14

2.4.2 Contoh Teorema Bayes dalam Klasifikasi ................................................. 15

2.4.3 Kekurangan Teorema Bayes dalam Klasifikasi ......................................... 16

2.5 Algoritma Naïve Bayes dalam Data Mining & Machine Learning .................. 16

2.5.1 Contoh Teorema Bayes dalam Klasifikasi ................................................. 17

2.5.2 Perbandingan Teorema Bayes dan Naïve Bayes dalam Nilai Probabilitas

dan Nilai Klasifikasi ............................................................................................ 17

BAB III METODOLOGI PENULISAN ..................................................................... 18

BAB IV ANALISIS INTESIS .................................................................................... 19

4.1 Bukti Naïve Bayes tidak saja optimal pada asumsi idependen ......................... 19

4.2 Keoptimalan Lokal ............................................................................................ 21

4.3 Keoptimalan global ........................................................................................... 25

BAB V KESIMPULAN .............................................................................................. 26

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................. 27

1 | P a g e

ABSTRAKSI

Naïve Bayes adalah salah satu algoritma pembelajaran induktif yang paling efektif

dan efisien untuk machine learning dan data mining. Performa naïve bayes yang

kompetitif dalam proses klasifikasi walaupun menggunakan asumsi keidependenan

atribut (tidak ada kaitan antar atribut). Asumsi keidependenan atribut ini pada data

sebenarnya jarang terjadi, namun walaupun asumsi keidependenan atirbut tersebut

dilanggar performa pengklasifikasian naïve bayes cukup tinggi, hal ini dibuktikan

pada berbagai penelitian empiris.

Pada paper ini, penulis akan memaparkan penggunaan naïve bayes dalam tugas

klasifikasi data, membuktikan potensi naïve bayes untuk digunakan dalam data yang

memiliki korelasi antara atribut dan mengajukan penjelasan mengenai keoptimalan

naïve bayes dalam kondisi tertentu.

Kata Kunci : Bayesian Theorem, Naïve Bayes, Data Mining, Classification, Optimal

Classification.

2 | P a g e

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Klasifikasi adalah salah satu tugas yang penting dalam data mining, dalam klasifikasi

sebuah pengklasifikasi dibuat dari sekumpulan data latih dengan kelas yang telah di

tentukan sebelumnya. Performa pengklasifikasi biasanya diukur dengan ketepatan

(atau tingkat galat) [6].

Teorema Bayes adalah teorema yang digunakan dalam statistika untuk menghitung

peluang untuk suatu hipotesis, Bayes Optimal Classifier [2] menghitung peluang dari

suatu kelas dari masing-masing kelompok atribut yang ada, dan menentukan kelas

mana yang paling optimal.

Umumnya kelompok atribut E direpresentasikan dengan sekumpulan nilai atribut

(x1,x2,x3,….,xn) dimana xi adalah nilai atribut Xi. C adalah variable klasifikasi dan c

adalah nilai dari C.

Pengklasifikasian adalah sebuah fungsi yang menugaskan data tertentu kedalam

sebuah kelas. Dari sudut pandang peluang [7], berdasarkan aturan Bayes kedalam

kelas c adalah :

Untuk menentukan pilihan kelas, digunakan peluang maksimal dari seluruh c dalam

C, dengan fungsi :

Karena nilai konstan untuk semua kelas, maka dapat diabaikan. sehingga

menghasilkan fungsi :

(1)

3 | P a g e

Gambar 1 : Ilustrasi Teorema Bayes.

Pengklasifikasian menggunakan Teorema Bayes ini membutuhkan biaya komputasi

yang mahal (waktu prosessor dan ukuran memory yang besar) karena kebutuhan

untuk menghitung nilai probabilitas untuk tiap nilai dari perkalian kartesius untuk

tiap nilai atribut dan tiap nilai kelas.

Data latih untuk Teorema Bayes membutuhkan paling tidak perkalian kartesius dari

seluruh kelompok atribut yang mungkin, jika misalkan ada 16 atribut yang masing-

masingnya berjenis Boolean tanpa missing value, maka data latih minimal yang

dibutuhkan oleh Teorema Bayes untuk digunakan dalam klasifikasi adalah 216

=

65.536 data, sehingga ada 3 masalah yang dihadapi untuk menggunakan teorema

Bayes dalam pengklasifikasian, yaitu :

(1) kebanyakan data latih tidak memiliki varian klasifikasi sebanyak itu (oleh

karenanya sering diambil sample)

(2) jumlah atribut dalam data sample dapat berjumlah lebih banyak (lebih dari 16)

(3) jenis nilai atribut dapat berjumlah lebih banyak [lebih dari 2 – Boolean]

terlebih lagi untuk jenis nilai atribut yang bersifat tidak terbatas 1 - ∞ seperti

numeric dan kontiniu.

(4) jika suatu data X tidak ada dalam data latih, maka data X tidak dapat di

klasifikasikan, karena peluang untuk data X di klasifikasikan kedalam suatu

kelas adalah sama untuk tiap kelas yang ada.

4 | P a g e

Untuk mengatasi berbagai permasalahan diatas, berbagai varian dari

pengklasifikasian yang menggunakan Teorema Bayes diajukan, salah satunya adalah

Naïve Bayes, yaitu penggunaan Teorema Bayes dengan asumsi keidependenan

atribut. Asumsi keidependenan atribut akan menghilangkan kebutuhan banyaknya

jumlah data latih dari perkalian kartesius seluruh atribut yang dibutuhkan untuk

mengklasifikasikan suatu data [4].

(2)

Gambar 2 : Ilustrasi Naïve Bayes.

Dampak negative dari asumsi Naïve tersebut adalah keterkaitan yang ada antara nilai-

nilai atribut diabaikan sepenuhnya. Dampak ini secara intuitif akan berpengaruh

dalam pengklasifikasian, namun percobaan empiris mengatakan sebaliknya. Hal ini

tentu saja cukup mengejutkan, karena dalam pengaplikasian dunia nyata, asumsi

diabaikannya keterkaitan antara atribut selalu dilanggar [1].

Pertanyaan yang muncul adalah apakah yang menyebabkan baiknya performa yang

didapatkan dari pengaplikasian asumsi Naïve ini? Karena secara intuitif, asumsi

keidependenan atribut dalam dunia nyata hampir tidak pernah terjadi. Seharusnya

dengan asumsi tersebut performa yang dihasilkan akan buruk.

Domingos dan Pazzani (1997) pada papernya untuk menjelaskan performa Naïve

Bayes dalam fungsi zero-one loss. Fungsi zero-one loss ini mendefinisikan error

hanya sebagai pengklasifikasian yang salah. Tidak seperti fungsi error yang lain

5 | P a g e

seperti squared error, fungsi zero-one loss tidak memberi nilai suatu kesalahan

perhitungan peluang selama peluang maksimum ditugaskan kedalam kelas yang

benar. Ini berarti bahwa Naïve Bayes dapat mengubah peluang posterior dari tiap

kelas, tetapi kelas dengan nilai peluang posterior maksimum jarang diubah. Sebagai

contoh, diasumsikan peluang sebenarnya dari dan ,

sedangkan peluang yang dihasilkan oleh Naïve Bayes adalah dan

. nilai peluang tersebut tentu saja berbeda jauh, namun pilihan kelas

tetap tidak terpengaruh.

1.2 Rumusan Masalah Menentukan metode yang sesuai dalam mengklasifikasikan nasabah yang

good credit risk.

1.3 Batasan Masalah Batasan masalah dari penelitian ini adalah bahwa penelitian ini sebatas

analisis area keoptimalan algoritma pengklasifikasi Naïve Bayes tidak terbatas

kepada jenis data yang akan di klasifikasikan.

1.4 Tujuan dan Manfaat Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengesplorasi batasan-batasan

keoptimalan algoritma klasifikasi Naïve Bayes dan mencoba menjelaskan mengenai

alasan mengapa algoritma klasifikasi Naïve Bayes berfungsi dengan baik pada

berbagai jenis data.

Manfaat dari penelitian ini adalah: Menjelaskan keoptimalan algoritma klasifikasi

Naïve Bayes.

6 | P a g e

BAB II TELAAH PUSTAKA

Untuk memulai penelitian ini, kajian pustaka dilakukan terhadap seluruh aspek yang

berhubungan dengan penelitian yang dilakukan, aspek-aspek tersebut adalah :

1. Pengklasifikasian dalam Data Mining & Machine Learning

2. Peluang Bersyarat dalam Statistika

3. Teorema Bayes dalam Statistika

4. Teorema Bayes dalam Klasifikasi pada Data Mining & Machine Learning

5. Algoritma Naïve Bayes dalam Data Mining & Machine Learning

Asdf

2.1 Pengklasifikasian dalam Data Mining & Machine Learning

Klasifikasi adalah salah satu tugas yang penting dalam data mining, dalam klasifikasi,

sebuah pengklasifikasi dibuat dari sekumpulan data latih dengan kelas yang telah ditentukan

sebelumnya.

Klasifikasi data adalah proses dua langkah. Pada langkah pertama, sebuah model

dibangun menggambarkan sebuah kumpulan kelas data atau konsep dari populasi data yang telah

ditentukan sebelumnya (misalkan data pengajuan pinjaman bank). Model tersebut dibangun

dengan menganalisa data latih yang digambarkan oleh atribut-atribut. Tiap tuple di asumsikan

untuk dimiliki oleh kelas yang telah di tentukan, seperti di tentukan oleh salah satu atribut, yang

dinamakan class label attribute. Langkah kedua adalah menguji model yang telah dibangun

kepada data uji untuk mengukur ketepatan atau performa model dalam mengklasifikasi data uji.

Setelah pengukuran performa selesai dilakukan, pengambil keputusan dapat memutuskan untuk

menggunakan model tersebut atau mengulang pembuatan model dengan data latih atau metode

yang berbeda untuk menghasilkan model klasifikasi yang lebih baik.

2.1.1 Pendefinisian istilah dalam klasifikasi

Pada gambar 1, contoh yang digunakan adalah data pengajuan pinjaman bank, dengan

atribut-atribut nama, umur, pendapatan dan rating kredit dengan nama, umur, pendapatan

sebagai data tuple dan seterusnya akan disebut sebagai atribut saja, sedangkan atribut rating

kredit sebagai class label atribute dimana seterusnya akan disebut sebagai kelas. Nilai-nilai yang

7 | P a g e

terdapat dalam data (seperti nama = Frank Jones, umur = >40, pendapatan = Tinggi, dan

rating_kredit = baik) disebut sebagai kumpulan nilai atribut, dimana seterusnya akan disebut

sebagai kumpulan atribut saja. Aturan Klasifikasi yang dibuat dari kumpulan-kumpulan atribut

pada data pelatihan dan Algoritma Klasifikasi disebut sebagai model klasifikasi.

2.1.2 Proses pembentukan model

Motode-metode klasifikasi dan prediksi dapat di bandingkan dan dievaluasi berdasarkan kriteria-

kriteria berikut :

Predictive accuracy : adalah kemampuan model untuk secara benar memprediksikan label

kelas dari data baru atau yang belum pernah di temui sebellumnya.

Speed : adalah biaya komputasi yang dilibatkan dalam menggenerate dan menggunakan

model.

Robustness : adalah kemampuan model untuk membuat prediksi yang tepat terhadap data

yang cacat atau data dengan nilai yang hilang.

Scalability : adalah kemampuan untuk membuat model secara efisien terhadap data yang

berjumlah banyak.

Gambar 1: Ilustrasi proses klasifikasi.

8 | P a g e

Interpretability : adalah tingkat kejelasan dan kemengertian yang di berikan oleh model.

Hal-hal tersebut diatas akan didiskusikan dalam bab ini. Kontribusi komunitas peneliti

database kepada klasifikasi dan prediksi untuk data mining menegaskan pada aspek skalabilitas,

khususnya pada induksi pohon keputusan.

2.2 Peluang Bersyarat dalam Statistika

Dua peristiwa dikatakan mempunyai hubungan bersyarat jika peristiwa yang satu menjadi

syarat peristiwa yang lain. Contohnya adalah peluang suatu kejadian c bila diketahui bahwa

kejadian E telah terjadi, dinyatakan dengan P(c|E), atau dengan kata lain peluang bersyarat untuk

terjadinya peristiwa c dengan syarat E. Lambang P(c|E) biasanya dibaca „peluang c terjadi bila

diketahui E terjadi‟ atau lebih sederhana lagi „peluang c, bila E diketahui‟.

Dari penjelasan singkat diatas mungkin anda telah mengetahui bahwa penghitungan dilakukan

dengan operasi Irisan Himpunan (intersection) dengan lambang , atau dengan operator logika

konjungsi (dan) dengan lambang Λ, irisan dan konjungsi dilakukan terhadap nilai himpunan c

dan E.

Diagram Venn untuk E c

Gambar 3: Diagram Venn untuk E c

Table 1: Tabel kebenaran untuk E Λ c.

E c E Λ c

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

9 | P a g e

Namun jika hanya dengan operator-operator tersebut, penghitungan peluang yang terjadi

bukanlah penghitungan peluang bersyarat, untuk penghitungan peluang bersyarat kita

membutuhkan peluang nisbi dari E, yaitu peluang E dan c muncul ditambah peluang E dan

c‟muncul, ditambah E dan c” muncul, dst. Atau dengan kata lain peluang E muncul pada masing-

masing kasus c. Rumusnya dapat di tuliskan sebagai berikut :

(P(E c)+P(E c‟)+P(E c”)+…..+P(E cn)).

Nilai peluang bersyarat P(c|E) di dapatkan dari nilai irisan atau konjungsi dari E dan c dibagi

dengan Peluang nisbi dari E. didapatkanlah rumus :

Catatan : Karena pada kasus data mining kebanyakan data yang dikomputasi berbentuk himpunan, maka disini dan seterusnya akan digunakan

operator irisan himpunan untuk mendefinisikan rumus peluang bersyarat.

Contoh Peluang Bersyarat

Untuk mempermudah pemahaman perhatikan contoh

soal jika data-datanya sebagai berikut,

Carilah peluang seorang pelanggan membeli

komputer dengan syarat Pendapatan pelanggan

tersebut Sedang.

Jawaban :

c : Beli Komputer = Ya.

c‟ : Beli Komputer = Tidak.

E : Pendapatan = sedang.

P(c|E) = P(membeli komputer = ya | pendapatan = sedang).

ID Pendapatan Beli Komputer

1 Tinggi Tidak

2 Tinggi Tidak

3 Tinggi Ya

4 Sedang Ya

5 Rendah Ya

6 Rendah Tidak

7 Rendah Ya

8 Sedang Tidak

9 Rendah Ya

10 Sedang Ya

11 Sedang Ya

12 Sedang Ya

13 Tinggi Ya

14 Sedang Tidak

10 | P a g e

P(E) adalah peluang nisbi pelanggan berpendapatan sedang, yaitu peluang pelanggan

berpendapatan sedang yang membeli komputer ditambah pelanggan berpendapatan

sedang yang tidak membeli komputer. P(E c)+P(E c‟) = (4/14)+(2/14) = 6/14.

P(E c) adalah pelanggan yang berpendapatan sedang membeli komputer = 4/14.

Yaitu pelanggan yang berpendapatan sedang 2/3-nya akan membeli komputer, yaitu 66.6…%

kemungkinan bahwa pelanggan berpendapatan sedang membeli komputer.

Untuk peluang pelanggan berpendapatan sedang Tidak membeli komputer, peluangnya dihitung

dengan :

Sedangkan untuk peluang pelanggan yang berpendapatan tinggi dan rendah membeli komputer,

nilainya secara berurut adalah 2/4 dan 3/4.

2.3 Teorema Bayes dalam statistika Teorema bayes dinamakan berdasarkan Thomas Bayes yang pertama kali mengemukakan

teorema ini.

Misalkan E adalah kumpulan atribut. Dalam sudut pandang Bayesian, E diartikan sebagai

“Bukti”. Seperti biasa E di deskripsikan oleh pengukuran yang dibuat dari sebuah kumpulan

atribut berjumlah n.

Misalkan C adalah beberapa kelas. Untuk masalah klasifikasi, kita ingin menentukan P(c|E),

yaitu probabilitas bahwa hipotesis kelas c adalah benar untuk “bukti” atau data observasi

kumpulan atribut data E. dengan kata lain, kita mencari probabilitas bahwa kumpulan atribut E

termasuk kepada kelas C, dengan kita mengetahui gambaran atribut dari E.

P(c|E) adalah Probabilitas Posterior*, atau sebuah Probabilitas Posteriori, dari c yang diujikan

pada E. sebagai contoh, misalkan dunia tuple data kita dibatasi oleh data pelanggan dengan

atribut umur dan pendapatan, dan E adalah pelanggan dengan umur 35 tahun dengan pendapatan

Rp 4.000.000. Misalkan c adalah Hypotesis bahwa pelanggan akan membeli sebuah komputer.

11 | P a g e

Maka P(c|E) merefleksikan probabilitas bahwa pelanggan E (dengan atribut umur=35 thn,

pendapatan Rp 4.000.000) akan membeli sebuah komputer dengan informasi yang didapatkan

berupa umur dan pendapatan pelanggan.

Secara kontras, P(c) adalah Probabilitas Prior***, atau Probabilitas Priori, dari c. sebagai

contoh, ini adalah probabilitas bahwa pelanggan manapun akan membeli sebuah komputer atau

tidak, tidak memandang dari umur, pendapatan ataupun informasi lainnya :

Jumlah data = 14

c1 = Membeli Komputer = “ya”

c2 = Membeli Komputer = “tidak”

Dari 14 data, yang membeli_komputer=”ya”= 9 orang, dan yang tidak membeli_komputer = “tidak” = 5 orang. Maka P(C) adalah :

P(c1) = P(Membeli_Komputer = “ya) = 9 /14 = 0.643

P(c2) = P(Membeli_Komputer = “tidak) = 5/14 = 0.357

Sama halnya, P(E|c) adalah Probabilitas Posteriori dari E yang diujicobakan dengan Kelas c.

yaitu probabilitas bahwa sebuah pelanggan, E, berumur 35 thn(31…40) dengan pendapatan

$40K (sedang) :

Jumlah data = 14

c1 = Membeli Komputer = “ya”

c2 = Membeli Komputer = “tidak”

Dari 14 data, yang membeli_komputer=”ya”= 9 orang, dan yang tidak membeli_komputer = “tidak” = 5 orang

E1 = Pelanggan berumur 31…40 thn yang Membeli_komputer = ”ya” berjumlah 4 orang.

E2 = Pelanggan berumur 31…40 thn yang Membeli_komputer = ”tidak” berjumlah 0 orang.

E3 = Pelanggan dengan pendapatan sedang yang membeli_komputer = “ya” berjumlah 4 orang.

E4 = Pelanggan dengan pendapatan sedang yang membeli_komputer = “tidak” berjumlah 2 orang.

Maka P(E|C) adalah :

P(E1|c1) = P( umur = 31…40 | beli_komputer = “ya”) = 4/9 = 0.444

P(E2|c2) = P( umur = 31…40 | beli_komputer = “tidak”) = 0/5 = 0

P(E3|c1) = P( pendapatan = sedang | beli_komputer = “ya”) = 4/9 = 0.444

P(E4|c2) = P( pendapatan = sedang | beli_komputer = “tidak”) = 2/5 = 0.4

P(X) adalah Probabilitas Prior dari X. menggunakan contoh diatas, adalah probabilitas bahwa

seseorang dari kumpulan pelanggan adalah berumur 35 thn dan berpenghasilan $40K :

Jumlah Data = 14

Dari 14 data, pelanggan dengan umur 31…40 = 4 orang, <30 = 5 orang dan >40 = 5 orang.

Pelanggan dengan pendapatan sedang = 6 orang, rendah = 4 orang dan tinggi = 4 orang.

P(X11) = P( umur = 31…40 ) = 4/14 = 0.285

P(X21) = P( Pendapatan = sedang) = 6/14 = 0.428

Untuk nilai atribut lain (selain diatas), dihitung dengan cara yang sama:

P(X12) = P( umur = <30 ) = 5/14 = 0.357

P(X13) = P( umur = >40 ) = 5/14 = 0.537

P(X22) = P( pendapatan = rendah ) = 4/14 = 0.285

P(X23) = P( pendapatan = tinggi ) = 4/14 = 0.285

12 | P a g e

“Bagaimanakan probabilitas-probabilitas tersebut di estimasi?” P(H), P(X|H) dan P(X) dapat di

estimasi dari data yang diberikan, seperti akan kita lihat di bawah. Teorema Bayes berguna

dalam menyediakan sebuah cara untuk mengkalkulasi Probabilitas Posterior P(H|X) dari P(H),

P(X) dan P(H|X). Teorema bayes adalah :

Untuk lebih memahami pengertian-pengertian yang sulit diatas, mari kita amati sebuah contoh

kasus.

Contoh Pengklasifikasian 2 kelas:

Pada suatu universitas, mahasiswanya terdiri dari 60% Laki-laki dan 40% Perempuan.

Mahasiswa perempuan menggunakan rok atau celana panjang dengan perbandingan yang sama.

Sedangkan seluruh mahasiswa Laki-laki menggunakan celana panjang. Seorang pengamat

melihat seorang mahasiswa (acak) dari kejauhan. Yang dapat di lihat pengamat tersebut adalah

bahwa mahasiswa tersebut menggunakan celana panjang. Berapakah probabilitas mahasiswa

yang dilihat oleh pengamat tersebut adalah mahasiswa perempuan?

Jawaban :

Jelas bahwa probabilitasnya kurang dari 40%, tetapi berapakah tepatnya? Apakah setengahnya,

karena hanya setengah mahasiswa Perempuan yang menggunakan celana panjang? Jawaban

yang benar dapat dihitung dengan teorema bayes.

Hipotesis H adalah mahasiswa yang diamati adalah Perempuan, dan bukti X adalah mahasiswa

yang diamati menggunakan celana panjang. Untuk menghitung P(H|X), pertama-tama kita harus

mengetahui:

P(H), atau probabilitas bahwa mahasiswa tersebut adalah perempuan, tanpa memandang

informasi lainnya. Karena pengamat mengamati seorang mahasiswa secara acak, artinya

seluruh mahasiswa memiliki probabilitas yang sama untuk diamati, dan banyaknya

mahasiswa perempuan adalah 40%, maka probabilitasnya adalah 0.4.

P(H‟), atau probabilitas bahwa mahasiswa tersebut adalah Laki-laki, tanpa memandang

informasi lainnya (H‟ adalah komplemen dari H). Banyaknya mahasiswa laki-laki adalah

60%, maka probabilitasnya adalah 0.6.

13 | P a g e

P(X|H), atau probabilitas bahwa mahasiswa yang diamati menggunakan celana panjang

adalah perempuan. Karena mahasiswa perempuan menggunakan Rok dan celana panjang

dengan perbandingan yang sama(50%), maka probabilitasnya adalah 0.5.

P(X|H‟), atau probabilitas bahwa mahasiswa yang diamati menggunakan celana panjang

adalah laki-laki. Karena seluruh laki-laki di universitas tersebut menggunakan celana

panjang(100%), maka probabilitasnya adalah 1.

P(X), atau probabilitas dari seorang mahasiwa (yang dipilih secara acak) menggunakan

celana panjang, tanpa memandang informasi lainnya. Karena P(X) =

P(X|H)P(H)+P(X|H‟)P(H‟), maka nilainya adalah (0.5 × 0.4) + (1 × 0.6) = 0.8.

Seperti yang telah di ramalkan sebelumnya, probabilitasnya kurang dari 40%. Tepatnya 25%.

Cara lainnya untuk mendapatkan hasil yang sama sebagai berikut.

Dimisalkan pada universitas tersebut ada 100 orang mahasiswa, 60 mahasiswa laki-laki dan 40

mahasiswa perempuan. Diantara seluruh mahasiswa ini, 60 mahasiswa laki-laki dan 20

mahasiswa perempuan menggunakan celana panjang, berarti yang menggunakan celana panjang

berjumlah 80 orang, dengan 20 diantaranya perempuan. Oleh karenanya kemungkinan

mahasiswa yang menggunakan celana panjang adalah perempuan sama dengan 20/80 = 0.25

2.4 Teorema Bayes dalam Klasifikasi pada Data Mining & Machine Learning Pengklasifikasian adalah sebuah fungsi yang menugaskan data atau kelompok atribut tertentu

kedalam sebuah kelas. Dari sudut pandang peluang [7], berdasarkan aturan Bayes kedalam kelas

c adalah :

Untuk menentukan pilihan kelas, digunakan peluang maksimal dari seluruh c dalam C, dengan

fungsi :

Karena nilai konstan untuk semua kelas, maka dapat diabaikan. sehingga

menghasilkan fungsi :

14 | P a g e

(1)

Gambar 4 : Ilustrasi Teorema Bayes.

Pengklasifikasian menggunakan Teorema Bayes ini membutuhkan biaya komputasi yang mahal

(waktu prosessor dan ukuran memory yang besar) karena kebutuhan untuk menghitung nilai

probabilitas untuk tiap nilai dari perkalian kartesius untuk tiap nilai atribut dan tiap nilai kelas.

2.4.1 Perkalian Kartesius(cartesian product)

Perkalian Kartresian digunakan karena merupakan salah satu operasi dasar dalam

Himpunan.

Himpunan digunakan untuk mengelompokkan objek secara bersama-sama. [Matematika

Diskrit, Rinaldi Munir 2005]

Operasi dari Perkalian Kartesius adalah operasi menghubungkan tiap elemen dari suatu

himpunan atribut dengan tiap elemen dari himpunan atribut lainnya.

Contoh :

Himpunan atribut A memiliki anggota : {1,2}

Himpunan atribut B memiliki anggota : {a, b, c}

Himpunan atribut C memiliki anggota : {x, y}

Kardinalitas A x B x C, yaitu |A x B x C| = |A|.|B|.|C| = 2.3.2 = 12.

Semua anggota dari elemen A x B x C dapat di peroleh dengan bantuan pohon berikut :

15 | P a g e

Jadi, A x B x C = {(1, a, x), (1, a, y), (1, b, x), (1, b, y), (1, c, x), (1, c, y), (2, a, x), (2, a,

y), (2, b, x), (2, b, y), (2, c, x) , (2, c, y)}

2.4.2 Contoh Teorema Bayes dalam Klasifikasi

Pelamar IPK Psikologi Wawancara Diterima

P1 Bagus Tinggi Baik Ya

P2 Bagus Tinggi Baik Ya

P3 Bagus Tinggi Baik Tidak

P4 Bagus Sedang Baik Ya

P5 Bagus Sedang Buruk Ya

P6 Bagus Rendah Buruk Tidak

P7 Cukup Tinggi Baik Ya

P8 Cukup Sedang Baik Ya

P9 Cukup Sedang Buruk Ya

P10 Cukup Rendah Buruk Tidak

P11 Kurang Tinggi Baik Ya

P12 Kurang Sedang Buruk Tidak

P13 Kurang Rendah Baik Ya Table 2 : Data Latih Wawancara

Kelompok Atribut E adalah IPK = Bagus, Psikologi = Tinggi, Wawancara = Baik, Kelas-kelas C

adalah c1 = diterima, c2 = ditolak. maka kelas kelompok atribut E adalah :

Class Name = Penerimaan Pegawai

Class label attribute = Diterima [ Ya | Tidak ]

Identifier = Pelamar

Atribut dan Anggota atribut = 1. IPK [ Bagus | Cukup | Kurang ]

2. Psikologi [ Rendah | Sedang | Tinggi ]

3. Wawancara [ Baik | Buruk ]

16 | P a g e

Karena yang dipilih adalah nilai yang terbesar, maka kelompok atribut E ditugaskan pada kelas

c1.

2.4.3 Kekurangan Teorema Bayes dalam Klasifikasi Data latih untuk Teorema Bayes membutuhkan paling tidak perkalian kartesius dari seluruh

kelompok atribut yang mungkin, jika misalkan ada 16 atribut yang masing-masingnya berjenis

Boolean [0,1] tanpa missing value, maka data latih minimal yang dibutuhkan oleh Teorema

Bayes untuk digunakan dalam klasifikasi adalah 216

= 65.536 data, sehingga ada 3 masalah yang

dihadapi untuk menggunakan teorema Bayes dalam pengklasifikasian, yaitu :

(1) kebanyakan data latih tidak memiliki varian klasifikasi sebanyak itu (oleh karenanya

sering diambil sample)

(2) jumlah atribut dalam data sample dapat berjumlah lebih banyak (lebih dari 16)

(3) jenis nilai atribut dapat berjumlah lebih banyak [lebih dari 2 – Boolean] terlebih lagi

untuk jenis nilai atribut yang bersifat tidak terbatas 1 - ∞ seperti numeric dan kontiniu.

jika suatu data X tidak ada dalam data latih, maka data X tidak dapat di klasifikasikan, karena

peluang untuk data X di klasifikasikan kedalam suatu kelas adalah sama untuk tiap kelas yang

ada.

2.5 Algoritma Naïve Bayes dalam Data Mining & Machine Learning

Untuk mengatasi berbagai permasalahan diatas, berbagai varian dari pengklasifikasian

yang menggunakan Teorema Bayes diajukan, salah satunya adalah Naïve Bayes, yaitu

penggunaan Teorema Bayes dengan asumsi keidependenan atribut. Asumsi keidependenan

atribut akan menghilangkan kebutuhan banyaknya jumlah data latih dari perkalian kartesius

seluruh atribut yang dibutuhkan untuk mengklasifikasikan suatu data [4].

(2)

17 | P a g e

Gambar 5 : Ilustrasi Naïve Bayes.

2.5.1 Contoh Teorema Bayes dalam Klasifikasi

Pada table 2, Kelompok Atribut E adalah e1 IPK = Bagus, e2 Psikologi = Tinggi, e3 Wawancara

= Baik, Kelas-kelas C adalah c1 = diterima, c2 = ditolak. maka kelas kelompok atribut E adalah :

Karena yang dipilih adalah nilai yang terbesar, maka kelompok atribut E ditugaskan pada c1.

2.5.2 Perbandingan Teorema Bayes dan Naïve Bayes dalam Nilai Probabilitas dan Nilai Klasifikasi

Nilai Peluang atau probabilitas biasanya digunakan sebagai nilai acuan didalam pengambilan

keputusan, namun berbeda halnya dengan klasifikasi. Pada klasifikasi nilai probabilitas kelas

yang terbesar yang dipilih untuk mengklasifikasikan suatu kelompok atribut terhadap kelas-kelas

lainnya.

Kelas c1 = Diterima Kelas c2 = Ditolak

Teorema Bayes

= 72/468

= (72/468)/(72/468+36/468)

= 2/3 = 66.666…%

= 36/468

= (36/468)/(72/468+36/468)

= 1/3 = 33.333…%

Naïve Bayes

2160/28561

=(2160/28561)/( 2160/28561+960/28561)

= 2160/3120 = 9/13 = 69.230…%

960/28561

=(960/28561)/( 2160/28561+960/28561)

=960/3120 = 4/13 = 30.769…%

Tabel 3 menunjukkan perbandingan nilai probabilitas pada data latih di table 2 untuk Kelompok

Atribut E untuk e1 IPK = Bagus, e2 Psikologi = Tinggi, e3 Wawancara = Baik, Kelas-kelas C

adalah c1 = diterima, c2 = ditolak. Walaupun nilai peluang yang diperhitungkan bernilai salah,

namun pemilihan kelas tetap sama, yaitu ditunjukkan untuk nilai probabilitas yang terbesar pada

kelas c1.

18 | P a g e

BAB III METODOLOGI PENULISAN

Metode peneleitian dilakukan dengan cara studi pustaka secara menyeluruh dan komprehensif.

Dalam menganalisis nilai keoptimalan, dilakukan pembandingan studi empiris dengan

membandingkan 28 test set yang diambil dari repository data latih UCI (Hans 2000) untuk

pembuktian perbandingan nilai keoptimalan algoritma Naïve Bayes dibandingkan dengan

Algoritma Klasifikasi Data Mining yang lain.

Untuk niali keoptimalan sendiri, telah dinyatakan bahwa Naïve Bayes Bersifat optimal dalam

kondisi atribut bersifat Independen penuh [2,4,5], untuk itu dilakuakan perbandingan dengan

cara mengemulasi kondisi Keindependenan Atribut penuh dengan kondisi Atribut yang tidak

Independen, hasil dari pembandingan ini membuktikan bahwa Kondisi keoptimalan Naïve Bayes

lebih luas daripada yang dikira sebelumnya.

19 | P a g e

BAB IV ANALISIS INTESIS

4.1 Bukti Naïve Bayes tidak saja optimal pada asumsi idependen

Seperti yang telah di ketahui bahwa naïve Bayes bernilai optimal ketika seluruh atribut

bernilai independen terhadap atribut lainnya. Pada bagian ini akan dibandingkan antara

nilai naïve bayes yang seluruh atribut independen terhadap atribut lainnya dan nilai

naïve bayes yang tidak seluruh atributnya independen.

Misalkan sebuah data latih, dengan atribut A, B dan C yang bersifat Boolean, dan kelas

dan , dengan peluang yang sebanding untuk tiap kelas . A dan

B berkorelasi penuh (A = B), sehingga B dapat diabaikan.

Prosedur klasifikasi optimal untuk sebuah data tuple adalah untuk menugaskan data

tuple tersebut kedalam kelas jika :

Kelas positif :

Dan sebaliknya, menugaskan kelompok atribut kepada kelas jika :

Kelas negatif :

Kelas acak :

Sedangkan prosedur klasifikasi Naïve Bayes yang tidak optimal memperhitungkan juga

nilai B seperti halnya nilai B sama sekali tidak berkorelasi dengan nilai A. hal ini sama

dengan menghitung nilai A dua kali. Untuk naïve bayes rumusnya adalah :

Kelas positif :

Kelas negatif :

Kelas Acak :

Dengan mengaplikasikan naïve bayes untuk pengklasifikasian yang optimal, maka

dapat di representasikan sebagai

20 | P a g e

Karena , maka nilai dan tidak perlu dihitung dan dapat

diabaikan dalam perhitungan, nilai P(A) dan P(C) juga mengeliminasi satu sama lainnya

dalam operasi pengurangan, sehingga nilai P(A) dan nilai P(C) tidak perlu di hitung,

sehingga setelah pengeliminasian perhitungan yang tidak di perlukan dan didapatkan :

Untuk perhitungan korelasi optimal.

Sedangkan untuk perhitungan korelasi dengan Naïve Bayes :

Karena dalam peluang nilai peluang maksimal adalah 1, maka dapat dituliskan

P( |A) + P( |C) = 1

P( |A) =1 - P( |C)

Misalkan P( |A) = p dan P( |C) = q

Sehingga rumusnya menjadi

untuk nilai peluang optimal dengan asumsi keidependenan atribut.

untuk nilai peluang naïve bayes tanpa

keidependenan atribut.

Kedua kurva fungsi diatas digambarkan sebagai berikut :

21 | P a g e

Gambar : Kurva Perbandingan Naive Bayes

Kurva diatas memperlihatkan bahwa walaupun asumsi keidependenan atribut dilanggar,

karena B=A, pengklasifikasian naïve bayes dengan asumsi atribut yang tidak independen

tidak sama dengan pengklasifikasian naive bayes optimal dengan keidependenan atribut

hanya di dua bagian sempit, satu diatas kurva dan satu lagi dibawah, di tempat lain,

naïve bayes menghasilkan klasifikasi yang benar, yaitu pada (0,1) ( , ,) (1,0) ini

menunjukkan bahwa penggunaan klasifikasi naïve bayes bisa lebih luas daripada yang

dikira sebelumnya.

4.2 Keoptimalan Lokal

Keoptimalan lokal adalah nilai keoptimalan yang didapatkan untuk sebuah kumpulan

atribut saja, sedangkan keoptimalan global adalah untuk seluruh kumpulan atribut.

Sebelumnya didefinisikan beberapa hal :

Definisi 1

Misalkan C(E) adalah kelas sebenarnya dari contoh E, dan Cx(E) adalah kelas

yang di tugaskan oleh pengklasifikasi X, maka zero-one loss dari X pada E ,

didefinisakan sebagai :

22 | P a g e

(3)

Zero-one loss adalah ukuran yang tepat jika tugas yang harus dilakukan adalah

klasifikasi. Dimana zero-one loss memberikan ukuran nilai 1 kepada kesalahan

pengklasifikasian. Pada situasi tertentu, kesalahan pengklasifikasian memiliki ukuran

prioritas yang berbeda, sebagai contohnya, pada diagnosa medis, ukuran kesalahan

mengklasifikasikan seorang pasien yang sakit sebagai sehat berbeda dengan

mengklasifikasikan pasian sehat sebagai sakit.

Umumnya, seringkali muncul data latih dengan nilai kelompok atribut yang sama tetapi

memiliki kelas yang berbeda. Ini merefleksikan fakta bahwa atribut-atribut tersebut

tidak mengandung seluruh informasi untuk menentukan kelas. Maka, secara umum,

sebuah data latih E tidak akan dihubungkan dengan suatu kelas saja, tetapi dengan

peluang kelas P(Ci|E) yang berbentuk vektor, dimana komponen ke I merepresentasikan

perbandingan nilai munculnya E pada kelas Ci. Ukuran Kesalahan zero-one loss dari X

pada E adalah :

Dimana adalah kelas yang ditugaskan X kepada E dan adalah

keakuratan dari X pada E. definisi ini disederhanakan menjadi persamaan 3 saat sebuah

kelas memiliki probabilitas 1 diberikan E.

Definisi 2 :

Ukuran bayes untuk sebuah data latih adalah nilai galat zero-one loss yang

terendah yang didapatkan dari pengklasifikasian manapun pada data latih

tersebut [1].

Definisi 3:

sebuah pengklasifikai adalah optimal secara lokal untuk sample jika dan hanya

jika nilai zero-one loss pada sample tersebut adalah sama dengan ukuran bayes.

Definisi 4:

Sebuah pengklasifikasi adalah optimal secara global untuk sample jika dan hanya

jika pengklasifikasian tersebut bernilai optimal untuk tiap sample pada kumpulan

sample tersebut. Sebuah pengklasifikasi adalah optimal secara global untuk sebuah

23 | P a g e

masalah jika dan hanya jika pengklasifikasi tersebut optimal secara lokal untuk

tiap sample yang mungkin dari masalah tersebut.

Zero –one loss harus dibedakan dengan squared error loss untuk perhitungan galat

peluang, perbedaan ini didifenisikan sebagai :

Dimana X adalah prosedur hampiran dan C adalah variable kelas dimana peluangnya

ingin dicari. Jika ada ketidakpastian yang berhubungan dengan P(C|E), square error

loss didefinisikan sebagai nilai yang diharapkan dari expresi diatas. Fikiran utama dari

paper ini, di deskripsikan pada bagian ini, yang dapat dijelaskan sebagai berikut. Saat

asumsi independen dilanggar, persamaan 2 akan menjadi suboptimal sebagai

probabilitas.

Sebagai contoh, misalkan ada dua kelas, yaitu kelas dan , dan dan

sebagai nilai peluang kedua kelas yang sebenarnya. Klasifikasi optimal

adalah menugaskan E kepada kelas . Misalkan naïve bayes mendapatkan

dan . asumsi independen dilanggar dengan sangat jauh, dan square

error loss sangat besar, tetapi naïve bayes masih mendapatkan keputusan klasifikasi

yang benar, dan meminimalisir zero-one loss.

Misalkan ada dua kelas secara umum, yaitu kelas dan seperti sebelumnya,

Sekarang kita akan menciptakan kondisi yang dibutuhkan untuk keoptimalan local dari

naïve bayes dan memperlihatkan bahwa volume dari daerah keoptimalan naïve bayes

adalah setengah dari volume .

Teorema 1

Naïve bayes optimal secara local dibawah zero-one loss untuk data E jika dan

hanya jika untuk E.

Bukti : Pengklasifikasian naïve bayes optimal saat zero-one loss memiliki nilai yang

paling minimum. Saat minimum loss adalah didapatkan dari

24 | P a g e

menugaskan ke kelas . Pengklasifikasi naïve bayes menugaskan ke kelas saat

berdasarkan persamaan 2, yaitu saat . Oleh karenanya jika

, maka naïve bayes adalah optimal. Sebaliknya, saat ,

zero-one loss minimum didapatkan dengan menugaskan E ke kelas , dimana

pengklasifikasian naïve bayes lakukan saat . Olehkarenanya pengklasifikasian

naïve bayes optimal saat . Saat keputusan manapun akan optimal,

sehingga pertidaksamaan dapat di representasikan sebagai berikut:

Pengklasifikasian naïve bayes optimal di bawah zero-one loss pada setengah dari

volume dari seluruh ruang nilai yang mungkin dari

Bukti : Karena adalah sebuah peluang, dan dan adalah produk dari peluang,

hanya menempati nilai dalam kubus [0,1]3. Daerah dari kubus tersebut yang

memuaskan kondisi pada teorema 1 ditunjukkan oleh daerah abu-abu pada gambar 4.

Dapat di perhatikan bahwa daerah abu-abu menempati setengah dari volume total

kubus. Tetapi tidak seluruh pasangan dan mewakili kobinasi peluang yang benar.

Karena tidak dibatasi, maka projeksi dari ruang semesta dari kombinasi peluang

yang valid pada seluruh bidang adalah sama. Dengan teorema 1, daerah

keoptimalan dari bidang dan sebaliknya. Oleh karenanya, jika adalah area

dari projeksi dan adalah daerah optimal dari , daerah optimal untuk

adalah , dan volume total dari keoptimalan adalah .

25 | P a g e

Secara kontras dibawah squared error loss, persamaan 2 optimal sebagai kumpulan

estimasi peluang P(Ci|E) hanya pada saat asumsi independen bertahan, yaitu pada

bidang dan bertemu. Oleh karenanya daerah dari keoptimalan

persamaan 2 dibawah squared error loss adalah sangat kecil dibandingkan dengan

zero-one loss. Pengklasifikasian naïve bayes efektif sebagai pemprediksi optimal

untuk kelas yang paling sering muncul pada sebuah kondisi yang lebih besar dimana

asumsi independen dilanggar. Notasi sebelumnya dari keterbatasan pengklasifikasi

naïve bayes sekarang dapat dilihat sebagai kesalahan pengaplikasian intuisi

berdasarkan keterbatasan squared error loss pada performa pengklasifikasi naïve

bayes pada zero-one loss.

4.3 Keoptimalan global

Ekstensi dari teorema 1 pada keoptimalan global adalah langsung. Misalkan p,r dan s

pada data E di indexkan sebagai .

Teorema 2

Pengklasifikasian naïve bayes optimal secara global pada zero-one loss untuk

sebuah sample (data set) ∑ jika dan hanya jika

Bukti : dengan definisi 4 dan teorema 1

Membuktikan kondisi ini secara langsung pada test sample secara umum tidak dapat

dilakukan, karena pembuktian membutuhkan penemuan peluang kelas yang

sebenarnya dari setiap kelompok atribut tersebut pada sample. Lebih jauh,

membuktikannya pada sebuah permasalahan membutuhkan komputasi yang seukuran

dengan banyaknya kumpulan atribut yang dimungkinkan.

26 | P a g e

BAB V KESIMPULAN

Pada paper ini telah ditunjukkan bahwa pengklasifikasian Naïve Bayes

dibawahpengukuran galat zero-one loss memiliki potensi pengaplikasian yang lebih

luas dari yang dikira sebelumnya dan menunjukkan perbedaan pengaplikasian zero-

one loss dan squared error loss dalam pengklasifikasian data, walaupun pembuktian

secara mendalam belum dapat dilakukan karena sifat abstraksi data yang sangat

tinggi, asumsi-asumsi keoptimalan yang telah dijabarkan diatas paling tidak dapat

memberikan acuan untuk pengaplikasian pada data untuk klasifikasi pada sebuah

permasalahan tertentu.

27 | P a g e

DAFTAR PUSTAKA

[1] Domingos, P., and Pazzani, M. (1997). On the optimality of the Simple Bayesian

Classifier under Zero-One Loss.

[2] Tom M. Mitchell (1997). Machine Learning. New York, NY: McGraw-Hill.

[3] Duda, R.O., and Hart, P.E. (1973). Pattern classification and scene analysis. New

York, NY: Wiley.

[4] Berson, A., and Smith S. J. (2001). Data Warehousing, Data Mining, & OLAP.

New York, NY : McGraw-Hill.

[5] Han, J., and Kamber M. (2000). Data Mining, Concept and Techniques. New

York, NY : Morgan Kaufmann.

[6] Walpole, E. R., Myers, R. H. (1995). Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur

dan Ilmuan, Edisi ke-4. Bandung, ITB.

[7] Prof. DR. Sudjana., M.A., M.Sc (1996). Metoda Statistika, Edisi ke-6. Bandung,

Tarsito.