KINEMATIKA ROTASI

TOPIK 1

PERPINDAHAN SUDUT

Riview gerak linear:• Perpindahan,kecepatan,percepatan

Perlu konsep yang sama untuk benda bergerak melingkarSeperti sebelumnya:• Perlu sebuah sistem acuan tetap (garis)• Gunakan sistem koordinat polar

Perpindahan Sudut (lanjutan)

Setiap titik pada benda yangbergerak melingkar terhadaptitik O

Secara umum sudut diukur dalam radian

Perpindahan Sudut (lanjutan)

Perpindahan sudut didefinisikansebagai sudut yang dibuatbenda yang berotasi selamaselang waktu tetentu

Setiap titik dalam piringanmengalami perpindahan sudutyang sama dalam selang waktutertentu

Kecepatan Sudut• Kecepatan sudut ratarata (laju), ω, dari benda

tegar adalah perbandingan dari perpindahan sudut dengan selang waktu

Kecepatan Sudut• Kecepatan sudut sesaat (laju) didefinisikan sebagai

limit dari laju rata-rata dengan selang waktu mendekati nol

• Satuan dari laju sudut adalah radian/sec (rad/s)• Laju sudut akan menjadi• positif jika θ bertambah (berlawanan arah dengan

jarum jam)• negatif jika θ berkurang (searah jarum jam)

Percepatan SudutBagaimana jika benda awalnya diam dan kemudian mulai berotasi?• Percepatan sudut rata-rata, a, dari sebuah benda didefinisikan sebagai perbandingan antara perubahan laju sudut dengan selang waktu yang diperlukan benda untuk mengalami perubahan laju sudut tersebut:

Satuannya adalah rad/s²• Hal yang sama, percepatan sudut sesaat:

Catatan tentang kinematika sudut

• Ketika sebuah benda tegar berotasi terhadap sumbu tetap tertentu, tiap bagian dari benda memiliki laju sudut dan percepatan sudut yang sama

• Artinya q, w, dan a tidak bergantung pada r, jarak tiap bagian benda ke sumbu rotasi

Analogi Antara Gerak Linier danGerak Rotasi

Hubungan Antara BesaranSudut dan Besaran Linier

• Perpindahan

• Laju

• Percepatan

Hubungan Antara BesaranSudut dan Besaran Linier

(lanjutan)

• Perpindahan

• Laju

• Percepatan

•Setiap titik pada benda yang berotasi memiliki gerak sudut yang sama

•Setiap titik pada benda yang berotasi tidak memiliki gerak linier yang sama

Percepatan Sentripetal

• Sebuah benda yang bergerak melingkar, meskipun bergerak dengan laju konstan, akan memiliki percepatan karena kecepatannya (arah) berubah

• Percepatan ini disebut percepatan sentripetal

• Percepatan ini berarah ke pusat gerak

Percepatan Sentripetal danKecepatan Sudut

• Hubungan antara kecepatan sudut dan kecepatan linier v = ωr

• Percepatan sentripetal dapat juga dihubungkan dengan kecepatan sudut

sehingga

Percepatan Total• Apa yang terjadi apabila

kecepatan linier berubah?• Dua komponen percepatan:– komponen sentripetal dari

percepatan bergantung pada perubahan arah

– komponen tangensial dari percepatan bergantung pada perubahan kecepatan (laju)

• Percepatan total dapat dirumuskan dari komponen tersebut

Sifat Vektor dari Besaran Sudut• Seperti pada kasus linier,

perpindahan, kecepatan dan percepatan adalah vektor:

• Menentukan arah positif atau negatif

• Cara yang mudah dengan menggunakan aturan tangan kanan

– Genggam sumbu rotasi dengan tangan kanan anda

– Kepalkan jari-jari anda searah dengan arah rotasi

– Ibu jari (jempol) anda menunjukkan arah ω

Gaya yang MenyebabkanPercepatan Sentripetal

• Hukum II Newton mengatakan bahwa percepatan sentripetal diakibatkan oleh gaya

• F menyatakan gaya-gaya yang bekerja pada benda yang membuat benda mengikuti lintasan melingkar

• Gaya gesek (belokan miring dan rata)• Tegangan pada tali• Gravitasi

Lingkaran Horizontal• Komponen horizontal dari

tegangan tali menyebabkan percepatan sentripetal

Gaya dalam Kerangka Acuanyang Dipercepat

• Bedakan gaya riel dan gaya fiksi• Gaya Sentrifugal adalah gaya fiksi• Gaya yang riel selalu merepresentasikan

interaksi antara benda

Hukum GravitasiTopik 2

Hukum Newton tentangGravitasi Umum

• Setiap partikel dalam alam semesta menarik partikel lain dengan gaya yang berbanding lurus dengan perkalian massa dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antar mereka

G adalah konstanta gravitasi G = 6.673 x 10-11 N m² /kg²

Konstanta Gravitasi• Ditentukan secara eksperimen• Henry Cavendish– 1798• Berkas cahaya dan cermin membuat jelas

gerak

Aplikasi dari Gravitsi Umum 1:Massa Bumi

• Sebagai contoh tinjau sebuah benda yang berada dekat dengan permukaan bumi

Aplikasi dari Gravitsi Umum 2:Percepatan Gravitasi

• g akan bervariasi bergantung ketinggian

Energi Potensial Gravitasi• EP = mgy berlaku hanya yang

dekat dengan permukaan bumi

• Untuk benda yang letaknya jauh dari permukaan bumi, dibutuhkan perumusan yang lain, yaitu:

• Energi potensial nol dipilih di jauh tak berhingga dari bumi

Laju Lepas• Laju lepas adalah laju yang dibutuhkan sebuah

benda untuk mencapai ruang angkasa dan tidak kembali

• Untuk bumi, vesc adalah sekitar 11.2 km/s• Cat, v tidak bergantung massa benda

Hukum Kepler

• Semua planet bergerak dalam orbit elips dengan matahari sebagai pusatnya.

• Garis yang menghubungkan tiap planet ke matahari menyapu luasan yang sama dalam waktu yang sama.

• Kuadrat perioda dari setiap planet berbanding lurus dengan pangkat tiga dari jarak planet tersebut ke matahari.

Hukum Kepler (lanjutan)• Berdasarkan observasi yang dilakukan oleh

Brahe

• Newton kemudian mendemonstrasikan bahwa hukum ini adalah konsekuensi dari gaya gravitasi antara dua benda bersamaan dengan hukum gerak Newton

Hukum I Kepler

• Semua planet bergerak dalam orbit elips dengan matahari sebagai pusatnya.

– Benda yang terikat benda lain oleh gaya berbentuk “inverse square law” akan bergerak dalam lintasan elips

Hukum II Kepler

• Garis yang menghubungkan tiap planet ke matahari menyapu luasan yang sama dalam waktu yang sama

– Luas A-S-B dan C-S-D adalah sama

Hukum III Kepler• Kuadrat perioda dari setiap planet berbanding

lurus dengan pangkat tiga dari jarak planet tersebut ke matahari

• Untuk orbit yang mengelilingi– K tidak bergantung massa planet

Aplikasi Hukum III Kepler• Menentukan massa

matahari atau benda lain yang mempunyai satelit yang mengelilinginya

• Asumsinya adalah orbit berupa lingkaran

Kesetimbangandan

Dinamika Rotasi

Topik 3

TorsiTinjau gaya yang dibutuhkanuntuk membuka pintu. Apakahlebih mudah membuka pintudengan mendorong/menarikjauh dari engsel atau dekat keengsel?

Jauh dariengsel, efekrotasi lebihbesar!

TorsiTorsi, t adalah kecenderungan darisebuah gaya untuk merotasikansebuah benda terhadap sumbutertentu

t adalah torsi– d adalah lengan gaya– F adalah gaya

Lengan Gaya

• Lengan gaya, d,adalah jarak terdekat (tegak lurus) dari sumbu rotasi ke garis searah perpanjangangaya

– d = L sin f

Arah Torsi• Torsi adalah besaran vektor– Arahnya adalah tegaklurus

terhadap bidang yang memuat lengan dan gaya

– Arah dan tanda:• Jika gaya cenderung

memutar berlawanan jarum jam, torsi bertanda positif

• Jika gaya cenderung memutar searah jarum jam, torsi bertanda negatif

Bagaiman jika dua atau lebih gaya yangberbeda bekerja pada lengan-lengan gaya?

Torsi Neto

• Torsi neto adalah jumlah semua torsi yang dihasilkan oleh semua gaya

– Ingat untuk menghitung arah kecenderungan rotasi

• Berlawanan arah dengan arah jarum jam torsi positif

• Searah dengan jarum jam torsi negatif

Torsi dan KesetimbanganKondisi pertama dari kesetimbangan• Gaya netto eksternal harus nol

• Ini adalah perlu, tetapi tidak cukup, untuk menjamin bahwa benda dalam kesetimbangan mekanik lengkap

• Pernyataan tsb adalah kesetimbangan translasi

Kondisi kedua dari kesetimbangan• Torka netto eksternal harus nol

• Pernyataan tsb adalah kesetimbangan rotasi

Kesetimbangan (lanjutan)

• Torsi neto sama dengan nol tidak berarti tidak ada gerak rotasi

– Sebuah benda yang berotasi dengan kecepatan sudut uniform (tetap) dapat sedang berada dalam pengaruh torsi neto nol• Ini analogi dengan keadaan translasi dimana

gaya neto nol tidak berarti benda tidak bergerak

Sejauh ini: torsi neto samadengan nol.

Bagaimana jika tidak?

Torsi dan Percepatan Sudut• Ketika benda tegar

mengalami torsi neto tidak nol (≠0), maka akan mengalami percepatan sudut

• Percepatan sudut berbanding lurus dengan torsi neto– Hubungannya analogi

dengan ΣF = ma• Hukum II Newton

Torsi dan Percepatan sudut (lanjutan)

t torsi Bergantung pada benda dan sumbu rotasi . Dinamakan momen Inertia (I).

Momen Inersia yang Lain

Hukum II Newton untuk Benda Berotasi

• Percepatan sudut berbanding lurus dengan torsi neto

• Percepatan sudut berbanding terbalik dengan momen inersia benda

• Terdapat perbedaan yang penting antara momen inersia dan massa: momen inersia bergantung pada kuantitas materi dan distribusinya

• Momen inersia juga bergantung pada posisi sumbu rotasi

Momentum Sudut• Serupa dengan hubungan antara gaya dan momentum

dalam sistem linier, kita dapat tunjukannhubungan antara torsi dan momentum sudut

• Momentum sudut didefinisikan sebagai L = I ω

• Jika torsi neto nol, momentum sudut konstan• Pernyataan Kekekalan momentum sudut :• Momentum sudut dari sebuah sistem adalah kekal ketika

torsi neto eksternal yang bekerja pada sistem adalah nol. Ini terjadi ketika:

Energi Total Sistem yangBerotasi

• Sebuah benda yang berotasi terhadap sumbu tertentu dengan laju sudut, ω, mempunyai energi kinetik rotasi ½Iω2

• Konsep energi dapat digunakan untuk penyederhanaan analisis gerak rotasi

• Kekekalan energi mekanik

• Ingat, ini untuk gaya konservatif, tidak ada gaya disipasi seperti gaya gesek