Kuis1 elektrodinamika-2014-2015

Elektrodinamika magister fisika ITB 2014-2015

disusun oleh Ainol Yaqin/20214050 of 8

SOAL DAN PEMBAHASAN

Quiz FI-5001 : Elektrodinamika

Kamis 11 September 2014

1.1 Tinjau sebuah medan vektor

kzzyjyayzyxixxyF ˆ)33(ˆ)23(ˆ)3( 3232232

dengan a adalah suatu konstanta.

a. Tentukanlah a supaya medan tersebut dapat berperan sebagai medan elektrostatik

b. Seperti soal (a) tetapi supaya medan tersebut dapat berperan sebagai medan magne-

tostatik

c. Tentukanlah kerapatan sumber bagi masing-masing medan tersebut di atas

Penyelesaian:

a) Medan elektrostatik memenuhi:

0 F

ky

xxy

x

yayzyx

jx

zzy

z

xxyi

z

yayzyx

y

zzyF

ˆ)3()23(

ˆ)33()3(ˆ)23()33(

32322

323232232

iyza

kxyxyjiayzyz

ˆ)3(20

ˆ)66(ˆ)00(ˆ)26(0

dari persamaan terakhir secara umum 0, zy , haruslah a = 3.

b) Medan magnetostatik memenuhi:

0 F

2

2222222

3232232

)9(0

)93()63()33(0

)33()23()3(

za

zyyazxxy

z

zzy

y

yayzyx

x

xxyF

Secara umum 0z ,haruslah 9a .

c) Rapat muatan

(i) Kasus (a):

Medan elektrostatik : kzzyjyyzyxixxyF ˆ)33(ˆ)233(ˆ)3( 3232232

Hukum Gauss: 0

E

Maka

2

0

2

0

0

1212 zz

F

(ii) Kasus (b):

Medan magnetostatik: kzzyjyyzyxixxyF ˆ)33(ˆ)293(ˆ)3( 3232232

Hukum Ampere : JB

Maka

iyz

FJ

ˆ24



1.2 Tinjau dua kulit bola konsentris yang masing-masing berjejari R1 dan R2, dimana R1 < R2.

a) Jika kedua kulit bola tersebut diset berpotensial masing-masing V1 dan V2, tentukanlah

potensial di seluruh daerah, di dalam maupun di luar bola.

b) Pertanyaan yang sama dengan (a), tetapi jika bola luar dihilangkan, sedangkan bola

diset berpotensial

2

1cossin 2

0 VV

c) Tentukanlah medan listriknya di seluruh daerah (di dalam maupun di luar bola), untuk

kasus (a) dan (b) di atas

d) Tentukanlah pula muatan listrik untuk kasus (a) dan (b) di atas

Penyelesaian:

a) Persamaan Laplace dalam sistem koordinat bola:

0sin

1sin

sin

112

2

222

2

2

V

r

V

rr

Vr

rr

Pada kasus ini V hanya bergantung pada r, sehingga persamaan

Laplace menjadi:

01 2

2

dr

dVr

dr

d

r

Adr

dVr 2 , dengan A adalah konstanta

drr

AV 2

Br

ArV )( , B adalah konstanta

Kita terapkan pada kasus, dengan membagi dalam tiga daerah:

(i) untuk 1Rr

agar V(r) terdefinisi pada r = 0, haruslah A = 0, sehingga

BrV )(

Syarat batas, BVRV 11)( , diperoleh:

1)( VrV

(ii) untuk 21 RrR

Br

ArV )(

Syarat batas, 11)( VRV , dan 22 )( VRV :

BR

AV

1

1

BR

AV

2

2

dengan menggunakan eleminasi:

21

2121 )(

RR

RRVVA

21

2211

RR

RVRVB

diperoleh:

21

2211

21

2121 )()(

RR

RVRV

RR

RR

r

VVrV

R1

R2

V1

V2



(iii) untuk 2Rr

agar V(r) terdefinisi pada r , haruslah B = 0, sehingga

r

ArV )(

Syarat batas, 2

22 )(R

AVRV , diperoleh:

r

RVrV 22)(

b) karena

2

1cossin 2

0 VV

Maka persamaan Laplace:

0sinsin

112

2

2

V

rr

Vr

rr

yang mempunyai solusi umum:

cos),(0

1 l

ll

ll

l Pr

BrArV

Kita analisis dua daerah:

(i) untuk Rr

agar V(r) terdefinisi pada r = 0, haruslah Bl = 0, sehingga

cos),(0

l

l

l

l PrArV

Syarat batas,

2

1cossin)( 2

0 VRV :

......coscoscos2

1cossin 2

2

21

1

10

0

0

2

0

PRAPRAPRAV

......coscoscos2

1coscos1 2

2

21

1

10

0

0

2

0

PRAPRAPRAV

......2

1cos

2

3cos)1(coscos

2

1 22

210

2

0

RARAAV

......cos2

3cos

2

1coscos

2

22

21

2

200

2

00

RARARAAVV

V

Samakan koefisien kedua ruas:

2

02

01

00

0

2

2

01

02

20

3

2

6

2

3

22

1

R

VA ,

R

VA ,

VA

VRA

VRA

VRAA

0....543 lAAAA

Sehingga

1cos33

cos6

cos),( 22

2

000

0

rR

Vr

R

VVPrArV l

l

l

l

R V



(ii) untuk Rr

agar V(r) terdefinisi pada r , haruslah Al = 0, sehingga

cos),(0

1 l

ll

l Pr

BrV

Syarat batas,

2

1cossin)( 2

0 VRV :

......coscoscos2

1cossin 23

212

10

02

0

P

R

BP

R

BP

R

BV

......2

1cos

2

3cos)1(

2

1coscos1 2

3

2

2

102

0

R

B

R

B

R

BV

......cos2

3cos

2

1coscos

2

2

3

2

2

1

3

200

2

00

R

B

R

B

R

B

R

BVV

V

Samakan koefisien kedua ruas:

3

2

6

2

3

22

1

3

02

2

010

0

03

2

02

1

0

3

20

RVB ,RVB ,

RVB

VR

B

VR

B

V

R

B

R

B

0....543 lBBBB

Sehingga

1cos33

cos6

cos),( 2

3

3

0

2

2

00

01

r

RV

r

RV

r

RVP

r

BrV l

ll

l

c) Medan listrik dapat dicari dari gradien potensial listrik:

VE

dengan

ˆsin

1ˆ1ˆ

rrr

r

(i) Kasus (a):

2

21

1

22

21

2211

21

2121

1

;

;

;

)()(

Rr

RrR

Rr

r

RV

RR

RVRV

RR

RR

r

VV

V

rV

2

21

1

2

22

21

21

2

21

;

;

;

ˆ

ˆ)(

0

ˆ)(

)()(

Rr

RrR

Rr

rr

RV

rRR

RR

r

VV

rdr

rdVrVrE



(ii) Kasus (b):

Rr

Rr

r

RV

r

RV

r

RV

rR

Vr

R

VV

rV

;

;

1cos33

cos6

1cos33

cos6),(

2

3

3

0

2

2

00

22

2

000

ˆ1ˆ),(),(

V

rr

r

VrVrE

Rr

Rr

r

R

r

RVr

r

R

r

R

r

RV

R

r

R

Vr

R

r

R

V

rE

;

;

ˆ)2sin(sinˆ1cos32

6

1

ˆ)2sin(sinˆ1cos33

2cos

),(

3

2

02

2

2

2

0

020

d) Muatan listrik pada permukaan bola dapat dicari dengan mencari rapat muatan

terlebih dahulu kemudian mengintegralkannya untuk seluruh permukaan bola.

nEE ˆ0

inout

dengan n̂ adalah vektor normal permukaan,dalam kasus ini r̂ˆ n .

(i) Kasus (a):

Untuk permukaan bola 1 (R1):

021

21

2

21 0)(

1

RrRR

RR

r

VV

21

2

1

210

)(

RR

R

R

VV

12

21210

2

021

21210

2

1

21

2

1

210

)(4

sin)(

sin)(

RR

RRVV

ddRR

RRVV

d d RRR

R

R

VV

da q

2

0

Untuk permukaan bola 2 (R2):

021

21

2

21

2

22

22

)(

RrRr RR

RR

r

VV

r

RV

0212

2211

RRR

RVRV

212

22110

RRR

RVRV



21

222110

2

021

222110

2

2

212

22110

4

sin

sin

RR

RRVRV

ddRR

RRVRV

d d RRRR

RVRV

da q

2

0

(ii) Kasus (b):

0

202

2

2

2

0 1cos33

2cos1cos3

2

6

1

RrRrR

r

R

V

r

R

r

R

r

RV

0

20 cos5cos6

23

R

V

20

0 cos5cos6

23

R

V

RV

RV

RV

ddRV

d d RR

V

da q

2

0

00

00

2

0

0

32

00

2

0

2

00

2200

22

211

cos3

5cos

2

1cos

6

23

sincos5cos6

23

sincos5cos6

23

1.3 Tinjau arus I yang mengalir ke kanan, melalui suatu batang (terbuat dari bahan konduktif)

dengan panjang l, lebar w, dan tebal t. Batang tersebut berada di dalam medan magnetik B

serba sama dengan arah keluar dari bidang kertas (lihat gambar).

a) Jika yang bergerak adalah muatan-muatan positif, ke arah manakah muatan-muatan

tersebut akan disimpangkan oleh medan B.

b) Tentukan beda potensial yang dihasilkan antara bagian atas dan bawah batang tersebut.

Catatan : Nyatakan dalam B dan v (laju muatan-muatan yang bersangkutan), seta

dimensi batang

c) Berikan analisis anda, jika yang bergerak merupakan muatan-muatan negatif.



Penyelesaian:

a) Jika yang bergerak muatan positif, muatan tersebut akan bergerak ke kanan searah

dengan arah arus konvensional.

Jika terdapat medan magnet keluar bidang kertas, maka muatan akan mengalami gaya

Lorentz (FL) yang arahnya ke bawah (sesuai aturan tangan kanan). sehingga muatan-

muatan positif akan disimpangkan ke bawah (alas batang).

b) Pada bagian (a), muatan-muatan positif akan terus disimpangkan ke bawah sehingga

bagian alas batang akan lebih positif dari pada bagian atas batang dan akan timbul beda

potensial.

Beda potensial ini menyebabkan adanya medan listrik yang arahnya ke atas.

Dengan demikian, muatan-muatan positif yang memasuki batang selain mengalami

gaya Lorentz (arah ke bawah), juga akan mengalami gaya Coulomb (arah ke atas).

Mula-mula penyimpangan muatan-muatan positif ke bagian bawah batang terus

berlangsung (karena FL > FC), hingga tercapai beda potensial tertentu yang akan

menyebabkan FL = Fc.

vBE

qEqvB

FF CL

sehingga vBtEdV

Pada nilai potensial ini, vBt , muatan-muatan positif yang masuk pada batang tidak akan

disimpangkan, tetapi diteruskan ke kanan.

c) Jika muatan-muatan negatif yang bergerak, maka muatan-muatan tersebut akan

bergerak berlawanan dengan arah arus konvensional, yaitu ke kiri.

Jika terdapat medan magnet keluar bidang kertas, maka muatan akan mengalami gaya

Lorentz (FL) yang arahnya ke bawah (sesuai aturan tangan kanan). sehingga muatan-

muatan negatif akan disimpangkan ke bawah (alas batang).

Muatan-muatan negatif akan terus disimpangkan ke bawah sehingga bagian alas batang

akan lebih negatif dari pada bagian atas batang dan akan timbul beda potensial.



Beda potensial ini menyebabkan adanya medan listrik yang arahnya ke bawah.

Dengan demikian, muatan-muatan negatif yang memasuki batang selain mengalami

gaya Lorentz (arah ke bawah), juga akan mengalami gaya Coulomb (arah ke atas).

Seperti halnya pada kasus (a), muatan-muatan tidak akan disimpangkan jika vBtV .

Yang membedakan kasus (c) dan kasus (a) adalah pada kasus (c) potensial bagian atas

batang lebih tinggi dari pada alas batang.

Catatan: arah gaya Coulomb pada muatan positif yang dipengaruhi medan listrik luar

searah dengan arah medan tersebut, tetapi berlawanan untuk muatan negatif

Kuis1 elektrodinamika-2014-2015

Science

Transcript of Kuis1 elektrodinamika-2014-2015