1

Matriks

FIS 2215 Fisika Matematika@STKIP Surya

Determinan merupakan bilangan unik yang dapatdihitung dari suatu matriks (karakteristik darisebuah matriks). Bilangan ini dapat menentukanapakah kumpulan persamaan linear dapatdiselesaikan atau tidak. Dengan kata lain, bilanganini dapat menentukan apakah suatu matriks dapatdicari invers-nya

Determinan dari suatu matriks dilambangkandengan

|A| atau det(A)

Determinan hanya ada untuk matriks bujur sangkar.

Determinan matriks

Sifat-sifat dari Determinan1. Determinan dari sebuah matriks adalah det A. Jika setiap elemen dari salahsatu baris (atau salah satu kolom) dari determinan A, dikalikan dengan sebuahbilangan k, maka nilai dari determinan akan berubah menjadi k.det(A)

2. Nilai determinan akan sama dengan NOL apabila:- Semua elemen dari salah satu baris (atau kolom) adalah nol- Dua baris (atau dua kolom) adalah identic- Dua baris (atau kolom adalah sebanding

3. Jika dua baris (atau dua kolom) dari suatu determinan ditukar, maka nilai darideterminan akan berganti tanda

4. Nilai dari determinan tidak akan berubah apabila:- Baris ditulis menjadi kolom dan kolom ditulis menjadi baris (“ditranspos”).- Setiap elemen dari salah satu baris kita tambahkan k kali elemen-elemen darisalah satu baris lainnya, dimana k adalah bilangan sembarang. Pernyataan inijuga berlaku untuk kolom.

Sifat-sifat dari Determinan5. Determinan |A| tidak berubah jika setiap elemen dari suatu baris atau setiapelemen dikali dengan suatu konstanta, ditambahkan ke baris yang lain.

6. |AB| = |A| |B|

7. Det dari matriks diagonal = perkalian dari elemen-elemen diagonal

2

Determinan matriks 2 2

Jika maka det(A) = 1 1

2 2

,a b

Aa b

1 1

1 2 2 1

2 2

.a b

a b a ba b

1

2 1

1

1

2

2

2

aa bb

b

ba

a

Contoh 1:Carilah determinan dari matriks

3 2

7 1A

Solusi:

3

1

2

7

3 1 4

1 7

(3 ) (1) ( 7 ) ( 2 )

Solusi:

� =1 12 2

= 1 � 2 − 2 � 1 = 0

Contoh 2:

1 1

2 2A

Carilah determinan dari matriks

Determinan Matriks Ordo 3x3 dimana

A =

Determinan A3x3

hg

edc

ig

fdb

ih

fea

ihg

fed

cba

3

Contoh 1:Carilah determinan dari matriks di bawah ini!

420

513

502

Dengan menggunakan rumus diperoleh

2

3028

)6(5)12(0)14(2

)1(0)2(35)5(0)4(30)5(2)4(12

20

135

40

530

42

512

420

513

502

214

321

112

Contoh 2:Carilah determinan dari matriks di bawah ini!

13

91014

)9(1)10(1)7(2

)2(4)1(11)3(4)2(11)3(1)2(22

14

211

24

31)1(

21

322

214

321

112

Dengan menggunakan rumus diperoleh

4

Determinan dari matriks nxn dengan n > 3 dapat dicaridengan menggunakan metode yang sama sepertimencari determinan matriks 3x3. Hanya saja prosesnyaakan memerlukan perhitungan yang panjang.

Dengan memanfaatkan sifat-sifat determinan, maka nilaideterminan akan diperoleh lebih cepat.

Determinan Anxn

0 4 0 3

1 1 5 2

1 2 0 6

3 0 0 1

Contoh:Carilah determinan dari matriks di bawah ini!

0 4 0 30 4 3

1 1 5 25 1 2 6

1 2 0 63 0 1

3 0 0 1

2 6 1 6 1 25 0 4 ( 3)

0 1 3 1 3 0

5 0 2 1 6 0 4 1(1) 6(3) 3 1(0) ( 2)(3)

5 0 2 4 17 3 6

5 50

250

Tips: Gunakan elemen a23, sebab mengandung baris 2 kolom 3 paling banyak mengandung elemen bernilai nol Invers dari matriks A2x2

dapat dihitung melalui langkah-langkah berikut:

Hitung determinan det(A) = ad - bc

Tukar posisi a11 dan a22

Ganti tanda a12 dan a21 (beri tanda “-”)

Bagi setiap elemen dari matriks dengan det(A) yaitu

��� =�

�����adjoin

=1

�� − ��� −�

−� �

Cek hasil yang diperoleh apakah memenuhi A A-1=I atautidak

matriks adjoin

5

Contoh: Carilah invers dari matriks

� =1 3

−2 −7

Solusi:Ikuti langkah-langkah yang sudah dijelaskansebelumnya.

|A| = (1x-7) – (-2x3) =- 1maka

��� =1

−1−7 −32 1

=7 3

−2 −1

Cek ulang matriks invers yang diperolehmelalui hubungan

A-1 A = I

diperoleh

���� =1 3

−2 77 3

−2 −1=

1 00 1

Pengertian Minor (submatriks), Kofaktor, danAdjoin

Jika � =� � �� � �� ℎ �

, maka minor dari matriks A dapat dinyatakan, maka minor

dari matriks A dapat dinyatakan dalam Mij, yang didefinisikan sebagaideterminan submatriks yang diperoleh dari matriks A setelah menghilangkanke-i dan kolom ke-j.

Minor dari matriks A diatas antara lain adalah sebagai berikut :-Baris ke 1 dan kolom ke 1 dihilangkan sehingga diperoleh

� �� =� �ℎ �

jadi � �� =� �ℎ �

= �.�− �.ℎ

-Baris ke 1 dan kolom ke 2 dihilangkan sehingga diperoleh

� �� =� �� �

jadi � �� =� �� �

= �.�− �.�

- Baris ke 1 dan kolom ke 3 dihilangkan sehingga diperoleh

� �� =� �� ℎ

jadi � �� =� �� ℎ

= �.ℎ − �.�

- Baris ke 2 dan kolom ke 1 dihilangkan sehingga diperoleh

� �� =� �ℎ �

jadi � �� =� �ℎ �

= �.�− �.ℎ

Jika minor Mij menyatakan minor ke-ij dari matriks A, maka kofaktor ke-ijdari matriks A, dinyatakan dengan Cij, didefinisikan sebagai berikut

��� = −1 �� � � ��

6

Maka matriks kofaktor 3x3 dapat dituliskan sebagai:

� =

��� ��� ���

��� ��� ���

��� ��� ���

Matriks adjoin adalah transpos dari matriks kofaktor di atas yaitu:

������� = ��

=

��� ��� ���

��� ��� ���

��� ��� ���

invers dari matriks ordo 3x3 dimana

� =� � �� � �� ℎ �

dapat dihitung dari

��� =�

�����adjoin

dengan syarat � ≠ 0

Invers dari matriks A3x3

Contoh:

Tentukan invers dari matriks

� =−1 4 05 −2 −1

−3 6 3

SolusiPertama-pertama kita hitung dahulu determinan dari A, yaitu |A| = -48Selanjutnya cari matriks adjoin:

���� =0 −12 −4

−12 −3 −124 −6 −18

dan dari rumusan matriks invers kita peroleh:

��� =1

−48

0 −12 −4−12 −3 −124 −6 −18

=

0�

�

�

���

�

�

��

�

���

�

�

�

�

�

7

Untuk mencari invers dari suatu matriks, kita tuliskan matriks A, sebuahgaris, lalu matriks identitas. Selanjutnya kita melukakan “operasi baris(row operations)” untuk mengubah matriks A menjadi matriks identitas. Melalui operasi baris, maka bagian kanan akan berubah menjadi matriksinvers.

72

31A

1210

0131

2r1+r2

1072

0131

1210

0131r2

1210

3701r1 3r2

Mencari invers matriks 2x2 melaluiOPERASI BARIS

72

31A

12

371A

Cek jawaban yang diperoleh dengan mengalikannya dengan A. Jika A-1 adalah invers yang diinginkan maka hasil perkalianAA-1 akan menghasilkan matriks identitas I.

10

011AA

Carilah invers dari matriks

213

314

012

A

Solusi:Pertama-tama tuliskan

2r1 + r2

-3/2r1 + r3

Mencari invers matriks 3x3 melaluiOPERASI BARIS

2 1 0 1 0 0

4 1 3 0 1 0

3 1 2 0 0 1

100

012

001

213

310

012

10

012

001

20

310

012

23

21

1/2r2 + r3

6r3 + r2

Tambahkan ½ kali baris kedua ke baris ketiga diperoleh

Tambahkan 6 kali baris ketiga ke baris kedua

-r2 + r1

1/2*r1

211 -

641-

3-2-1

100

010

001

2r3

Tambahkan minus kali baris kedua ke baris pertama diperoleh

Kalikan 1/2 kali baris pertama dan kalikan 2 kali baris ketiga diperoleh

A-1IdentitasI3x3

1

641-

6-4-2

00

010

002

2

1

2

121

8

Menggunakan matriks invers dalammenyelesaikan sistem persamaan linear

Sistem persamaan linear dapat kita tuliskan dalam bentuk matriksseperti yang ditunjukkan di bawah ini:

x + 3y = 5

2x – y = 3

BA xKoefisienmatriks

Variabelmatriks

konstantamatriks

1 3 5

2 1 3

x

y

1BAx

1 1 BA A A x

BA x Kalikan kedua sisi dari sebelahkiri dengan invers A-1

Perkalian ini menghasilkan matriks identitas

1 BI AxDan perkalian identitas dengansembarang matriks, akanmenghasilkan matriks itusendiri.

Sehingga kita memperoleh rumusuntuk mencari variable matriks: Kalikan invers A dengan konstantamatriks

Solusinya?

Contoh 1

Tuliskan sistem persamaan linear di bawah inidalam bentuk Ax = B.

Solusi

Persamaan matriks

yang bersesuaian

4

4 3

3 3 1

y z

x y

x y z

0 1 1 4

4 1 0 3

3 1 3 1

x

y B

z

Contoh 2Tuliskan sistem persamaan di bawah ini dalam bentukpersamaan matriks AX= B. Carilah A-1 dan selesaikanuntuk memperoleh X.

Solution

Invers dari matriks di atas adalah

3 5 9

2 4

x y

x y

3 5 9

1 2 4

xAX B

y

1 2 5

1 3A

1 2 5 9 2

1 3 4 3X A B

diperoleh solusi (2, 3)

9

Solusi:

Sistem diatas dapat dinyatakan sebagai berikut :

Contoh 3Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaanlinear berikut :

-2x + 3y = -16x - 4y = 13

Pertama-tama kita hitung determinannya

−2 31 −4

= 5

Maka inversnya adalah

��� =�

�

−4 −3−1 −2

Jadi� = ����

=�

�

−4 −3−1 −2

−1613

=5

−2diperoleh solusi untuk sistem persamaan yaitu

(x, y) = (5, -2)

Cari inversnya

1052

0131

1210

0131

-2r1+r2

1210

0131

-r2

1210

3501r1-3r2

15 3 1 4

X B2 1 3 1

A

inilah solusiuntuk system persamaan di atas

xy

Contoh 4

352

13

yx

yx

52

31A

Contoh 5

Tuliskan sistem persamaan linear kedalam bentuk persamaan matriks AX = B. Carilah A-1 lalu cari nilai x, y dan z.

Solusi Wdengan menghitung secaramanual atau menggunakan kalkulatordapat diperoleh:

7

2 3 13

4

x z

x y z

x y z

1 0 1 7

2 1 3 13

1 1 1 4

x

y B

z

10

Kita dapat menghitung nilai determinan dan invers dari suatu matriksdengan menggunakan kalkulator.

Menyelesaikan sistem persamaan linear denganmenggunakan metoda GAUSS

Sistem persamaan linear: Sistem persamaan linear dapat ditulisdalam bentuk matriks yang diperluas(augmented matrix), suatu matriksyang mengandung koefisien dankonstanta dari sistem linear, kemudian memanipulasi matriksyang diperluas untuk memperolehsolusi dari sistem persamaan linear tersebut. Matriks yang diperluasyang bersesuaian:

11 12 1

21 22 2

a a k

a a k

2222121

1212111

kxaxa

kxaxa

Operasi yang menghasilkan matriksekivalen-baris

1. Dua baris dapat ditukar:

2. Sebuah baris dikalikan dengan constanta yang bukan nol:

3. Sebuah baris dikalikan dengan suatu konstanta kemudianditambahkan ke baris lain:

i jR R

i ikR R

j i ikR R R

Barnett/Ziegler/Byleen Finite Mathematics 11e 40

Kemungkinan bentuk akhir matriksuntuk sistem persamaan dengan 2

variabel

Bentuk 1: Solusi unik(Konsisten dan independen)

1 0

0 1

m

n

Bentuk 2: Terdapat tak-berhinggasolusi (Konsisten dan Bergantung)

1

0 0 0

m n

Bentuk 3: Tidak ada solusi(Inkonsisten)

1

0 0

m n

p

11

Bentuk eselon: Sebuah matriks yang diperluas yang koefisiennya mempunyai angka 1 pada diagonal danangka 0 di bawah angka diagonal

1 1 1 1

0 1 1 2

0 0 1 1

Solusi

Contoh 1

3 7

3 1

x y

x y

Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan mentransformasikanbentuk matriks diperluasya ke dalambentuk eselon

Tuliskan bentuk matriks yang diperluas

3 1 7

1 3 1

Lakukan operasi baris untuk mentransformasikanmatriks ke dalam bentuk eselon.

3R2 + R13 1 7

0 10 10

Bentuk matriks terakhir memberikanpersamaan:

R2 10 3 1 7

0 1 1

3 1 7

0 10 10

3 7

1

x y

y

Karena y = 1, maka x dapat diperoleh melaluisubstitusi.

Diperoleh solusi (2, 1).

3x + 1 = 7

3x + y = 7

3x = 6

x = 2

Contoh 2

Selesaikanlahx + 3y = 52x – y = 3

1. Matriks yg diperluas2. Eliminasi 2 pada baris kedua

melalui operasi baris3. Bagi baris kedua dengan -7

untuk memperolehkoefisien 1

4. Eliminasi 3 pada barispertama, kolom kedua.

:

1 2

2 2

2 1 1

1 3 5

2 1 3

2

1 3 5

0 7 7

/ 7

1 3 5

0 1 1

3

1 0 22, 1; (2,1)

0 1 1

R R

R R

R R R

x y

R2

12

Contoh 3

Selesaikan

x + 2y = 4

x + (1/2)y = 41. Kalikan persamaan dengan 2 untuk

mengeliminasi pecahannya.

2. Tuliskan sistem persamaannya dalambentuk matriks yang diperluas.

3. Kalikan baris 1 dengan -2 dantambahkan ke baris kedua

4. Bagi baris kedua dengan -3

5. Kalikan baris kedua dengan -2 dantambahkan ke baris pertama

6. Bentuk terakhir memberikan solusi:

x = 4, y = 0

2 4

14 2 8

2

1 2 4

2 1 8

1 2 4

0 3 0

1 2 4

0 1 0

1 0 4

0 1 0

x y

x y x y

Contoh 4

Selesaikan

10x - 2y = 6

-5x + y = -3

1. Tuliskan dalam bentuk matriksyang diperluas.

2. Bagi baris pertama dengan 2

3. Tambahkan baris pertama ke bariskedua

4. Karena 0 = 0 selalu benar, makakita memiliki sistem yang salingbergantung satu sama lain. Keduapersamaan di atas adalah identikartinya memiliki solusi sebanyaktak berhingga.

10 2 6

5 1 3

5 1 3

5 1 3

5 1 3

0 0 0

Contoh 5

Selesaikan

Tulis ulang persamaan kedua

Tambahkan baris pertama kebaris kedua

Baris terakhir ekivalen denganpersamaan 0x + 0y = -5

Karena persamaan inimerupakan persamaan yang tidak mungkin, maka tidakterdapat solusi.

5 2 7

51

2

x y

y x

5 2 7

5 2 2

5 2 7

5 2 2

5 2 7

0 0 5

x y

x y

Contoh 62 8

1

2 2

x y z

x y z

x y z

Solusi

Bentuk matriks yang diperluas

2 1 1 8

1 1 1 1

1 2 1 2

Gunakan metoda eselon untukmenyelesaikan

13

Tujuan kita adalah untuk mentransformasi

Ke dalambentuk

2 1 1 8

1 1 1 1

1 2 1 2

0 .

0 0

a b c d

e f g

h i

Tukar baris 1 dan baris 21 1 1 1

2 1 1 8

1 2 1 2

1 1 1 1

0 3 3 6

1 2 1 2

–2R1 + R2

1 1 1 1

0 1 1 2

0 1 2 1

1 1 1 1

0 1 1 2

0 0 3 3

–R2 + R3

(1/3)R2

R1 + R3

1 1 1 1

0 1 1 2

0 0 1 1

(1/3)R3

z = –1.

Substitusi z ke dalam y – z = 2y –(1) = 2

y + 1 = 2y = 1

Substitusi y dan z ke dalam x – y + z = 1x – 1 – 1 = 1

x – 2 = 1x = 3

diperoleh solusi (3, 1, –1).

Contoh 7

Dengan menggunakan eliminasi Gauss selesaikanlah sistem persamaan linear berikut!

Solusi

Tuliskan ke dalam bentuk matriks yang diperluas. Kita perlu angka nol padadaerah yang diarsir.

3

1

2 5

x y z

x y z

y z

1 1 1 3

1 1 1 1

0 1 2 5

Tambahkan baris pertama ke bariskedua. Langkah ini biasanya ditulissebagai R1 + R2.

1 1 1 3

0 2 2 2

0 1 2 5

14

Kita butuh angka 1 padadaerah yang diarsir.

Kita butuh angka 0 padadaerah yang diarsir.

1 1 1 3

0 2 2 2

0 1 2 5

2

1 1 1 3

0 1 1 1

0 1 2 5

1

2R

1 1 1 3

0 1 1 1

0 1 2 5

3 2

1 1 1 3

0 1 1 1

0 0 3 6

R R

Kita butuh angka 1 pada daerah yang diarsir. 1 1 1 3

0 1 1 1

0 0 3 6

3

1 1 1 3

0 1 1 1

0 0 1 2

1

3R

Karena terdapat angka 1 pada daerahyang diarsir, maka matriks inidikatakan dalam berada dalambentuk eselon-tereduksi.

z = 2, substitusi balik untukmemperoleh nilai x dan y

diperoleh solusi (2, 1, 2).

1 1 1 3

0 1 1 1

0 0 1 2

2

1

1

1

y z

y

y

3

( )1 2 3

2

x y z

x

x

Contoh 8

Eliminasi Gauss dapat digunakan untukmentransformasikan bentuk matriks yang diperluas kedalam bentuk eselon-baris tereduksi. Proses inimembutuhkan perhitungan yang lebih panjang, namunkita tidak perlu lagi melakukan substitusi balik.

Transformasi matriks dari contoh sebelumnya ke dalambentuk eselon-baris tereduksi.

1 1 1 3

0 1 1 1

0 0 1 2

Kita butuh angka 0 pada daerahyang diarsir.

2 3

1 1 1 3

0 1 0 1

0 0 1 2

R R

Butuh angka 0 pada daerah yang diarsir.

1 1 1 3

0 1 0 1

0 0 1 2

1 2 1 0 1 4

0 1 0 1

0 0 1 2

R R

1 3 1 0 0 2

0 1 0 1

0 0 1 2

R R

diperoleh solusi (2, 1, 2).

15

Contoh 9

Gunakan eliminasi Gauss untukmenyelesaikan sistem persamaanlinear berikut.

Solusi

Baris terakhir menunjukkanpernyataan yang salah yaitu 0 4.

Maka tidak ada solusi untuk sistempersamaan di atas.

3 5 2

4 2 1

6 10 2 0

x y z

x y z

x y z

3 5 1 2

4 1 2 1

6 10 2 0

3 1

3 5 1 2

4 1 2 1

0 0 0 42R R

Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan ATURAN CRAMER

Aturan Cramer

Solusi sistem persamaan linear 2 variabel (x, y)

1 1 1

2 2 2

isa x b y c

a x b y c

1 1

2 2

1 1

2 2

andx

c b

c b Dx

a b D

a b

1 1

2 2

1 1

2 2

y

a c

Da cy

a b D

a b

Solusi sistem persamaan linear 3 variabel

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

is

a x b y c z d

a x b y c z d

a x b y c z d

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 1 1

2 2 2

3 3 3

,x

d b c

d b c

d b c Dx

a b c D

a b c

a b c

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 1 1

2 2 2

3 3 3

andy

a d c

a d c

Da d cy

a b c D

a b c

a b c

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 1 1

2 2 2

3 3 3

z

a b d

a b d

a b d Dz

a b c D

a b c

a b c

Solusi

Contoh 16 2,

2 3 2.

x y

x y

Gunakan aturan Cramer untukmenyelesaikan

Pertama-tama, kita cari D, Dx, dan Dy.

6 1

2 3D

6( 3) (2)(1)

18 2

20

2 1

2 3x

D

2( 3) ( 2)(1)

6 2

4

6 2

2 2y

D

6( 2) (2)(2)

12 4

16

4 1

20 5x

Dx

D

16 4

20 5y

Dy

D

diperoleh solusi (1/5, 4/5).

16

Contoh 2

Gunakan aturan Cramer untuk menyelesaikansistem persamaan linear berikut!

Solusi

4 3

2 9 5

x y

x y

3 427 20

5 9

1 35 6

2 5

1 49 18

2

1

7

9

x

y

D

D

D

Dx = 7, Dy = 1 and D = 1

Diperoleh solusi

71

7xDx

D

11

1

yDy

D

Solusi

Contoh 3 2 8

1

2 2

x y z

x y z

x y z

Gunakan aturan Cramer untukmenyelesaikan

2 1 1

1 1 1

1 2 1

D

Pertama-tama kita cari D, Dx, Dy, dan Dz.

1 1 1 1 1 1(2) (1) ( 1)

2 1 2 1 1 1

(2)( 1 2) (1)(1 2) ( 1)(1 1)

6 3 0

9

2 8 1

1 1 1

1 2 1y

D

8 1 1

1 1 1

2 2 1x

D

2 8

1

2 2

x y z

x y z

x y z

1 1 1 1 1 1(8) (1) ( 2)

2 1 2 1 1 1

(8)( 1 2) (1)(1 2) ( 2)(1 1)

24 3 0 27

1 1 8 1 8 1(2) (1) ( 1)

2 1 2 1 1 1

(2)(1 2) (1)(8 2) ( 1)(8 1)

6 6 9 9

17

2 8

1

2 2

x y z

x y z

x y z

2 1 8

1 1 1

1 2 2z

D

27 9 93, 1, 1.

9 9 9yx z

DD Dx y z

D D D

diperoleh solusi (3, 1, –1).

1 1 1 8 1 8(2) (1) ( 1)

2 2 2 2 1 1

(2)(2 2) (1)( 2 16) ( 1)(1 8)

0 18 9 9

Slide 9- 66Copyright © 2006 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley

Selesaikan denganmenggunakan aturan Cramer

a) (1, 4)

b) (1, 3)

c) (2, 3)

d) Tidak ada solusi

5 19

2 6 22

x y

x y

Slide 9- 67Copyright © 2006 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley

Selesaikan denganmenggunakan aturan Cramer

a) (1, 4)

b) (1, 3)

c) (2, 3)

d) Tidak ada solusi

5 19

2 6 22

x y

x y