MATERI

Garis singgung lingkaran a. Garis singgung persekutuan di

dalamb. Garis singgung persekutuan di luar

Lingkaran dalam dan luar segitigaa. Lingkaran dalam segitiga

b. Lingkaran luar segitiga

GARIS SINGGUNG LINGKARAN

Garis AB merupakan garis singgung lingkaran pada titik B, sehingga jari-jari OB tegak lurus terhadap garis singgung AB, maka panjang OA dapat dihitung dengan teorema Pythagoras.

BA

O•

OA2 = OB2 + AB2

AB2 = OA2 - OB2

OB2 = OA2 - OA2

Garis Singgung Persekutuan dalam

M N

A

B

AB = Garis singgung persekutuan dalamMN = Garis pusat persekutuan

AB adalah garis singgung persekutuan dalam.AB = CNAB2 = MN2 - ( r1 + r2 )2

M N

A

B

C

r1

r2

r2

Garis Singgung Persekutuan Luar

M N

A

B

AB = Garis singgung persekutuan luar

MN = Garis pusat persekutuan

AB adalah garis singgung persekutuan luar.AB = CNAB2 = MN2 - ( r1 - r2 )2

M N

A

B C r1

r2

Lingkaran Dalam segitiga

A

O

DE

F

C

B

ra

c

b

A

O

DE

F

C

B

ra

c

b

Titik pusat lingkaran dalam adalah titik perpotongan garis bagi sudut sudut segitiga.

Keliling ∆ ABC = a + b + c = 2s

Jadi, keliling segitiga = 2s atau s = ½ ( a + b + c ).

Luas segitiga = ½ alas x tinggi , atau

= s(s – a )(s – b)(s – c )

Jika jari-jari lingkaran dalam adalah r, maka :

r = Luas : ½ keliling atau r = L/s

AF = AE = s - a

BF = BD = s - b

CE = CD = s - c

Lingkaran Luar segitigaC

A

OR

B

Titik pusat lingkaran luar segitiga adalah titik potong garis sumbu sisi-sisi segitiga OA = OB=OC = jari-jari lingkaran luar.

Jika jari-jari lingkaran luar adalah R, maka :

R = abc / 4L atau ,

R = abc : 4L

Soal 1

Pada gambar di bawah, garis AB merupakan garis singgung. Panjang OA = 13 cm dan jari-jari OB = 5 cm. Hitunglah panjang garis singgung AB.

BA

O•

Pembahasan :

Perhatikan Δ OAB siku-siku di titik BAB2 = OA2 - OB2

= 132 - 52

= 169 - 25 = 144AB = √ 144 = 12 cm.Jadi, panjang garis singgung AB = 12

cm.

Soal 2

M N

A

B

Jika : AM = 6 cm , BN = 3 cm dan MN = 15 cm

Tentukan panjang garis singgung AB.

AB2 = MN2 -( r1 + r2 )2

= 152 - ( 6 + 3 )2

= 225 – 81 = 144AB = √ 144 = 12 cm

M N

A

B

Pembahasan :

Soal 3

M

N

A

B

Jika : AM =13 cm , BN = 6 cm dan MN = 25 cm

Tentukan panjang garis singgung AB.

Pembahasan :

AB2 = MN2 -( r1 - r2 )2

= 252 - ( 13 - 6 )2

= 625 – 49 = 576AB = √ 576 = 16 cm

M

N

A

B

Soal 4

Pada gambar di samping, panjang PQ = 9 cm, QR = 15 cm. Hitunglah panjang jari-jari OU. P Q

R

T

U

SO

•

Pembahasan :PQ = 12 cm dan QR = 15 cmPR2 = QR2 - PQ2

= 152 - 122

= 225 - 144 = 81PR = 81 = 9 cm

Pembahasan :

PQ = 12 cm, QR = 15 cm dan PR = 9 cm

Rd = Luas ABC : ½ keliling

= ( ½ x PQ x PR ) : ½ ( PQ + PR + QS )

= ( ½ x 12 x 9 ) : ½ ( 12 + 9 + 15 )

= 54 : 18 = 3 cm.

Jadi, panjang jari-jarinya adalah 3 cm.

Cara cepat :

PQ = 12 cm dan QR = 15 cmPR2 = QR2 - PQ2

= 152 - 122

= 225 - 144 = 81PR = 81 = 9 cmRd = ½ ( PQ + PR – QR )

= ½ ( 12 + 9 – 15 ) = 3 cm.

Soal 5

Pada gambar di samping, panjang PQ =10 cm, panjang QR = PR = 13 cm. Hitunglah panjang jari-jari OP.

PQ

R

O •

Pembahasan :

PQ = 10 cm dan PR = QR = 13 cmRS2 = PR2 - PS2

= 132 - 52

= 169 - 25 = 144PR = 144 = 12 cm

R

PQ

O •

S

RL = ( abc ) : 4 L = ( 10 x 13 x 13 ) : ( 4 x ½ x 10 x 12 ) = 1690 : 240 = 7,04 cmJadi, jari-jarinya adalah : 7,04 cm.

R

PQ

O •

S

Soal 6

Pada gambar di samping, panjang PQ =8 cm, PR = 15 cm. Hitunglah panjang jari-jari lingkaran luar.

P Q

R

O •

Pembahasan :

PQ = 8 cm dan PR = 15 cmQR2 = PQ2 + PR2

= 152 + 82

= 225 + 64 = 289QR = 289 = 17 cm

P Q

R

O •

PQ = 8 cm, PR = 15 cm danQR = 17 cmRd = ½ QR

= ½ x 17 = 8,5 cm.Jadi panjang jari-jari lingkaran adalah 8,5 cm.

P Q

R

O •

Soal 7

M N

A

B

Jika : AM = 7 cm , BN = 3 cm dan AB = 24 cm

Tentukan jarak kedua pusatnya (MN).

MN2 = AB2 + ( r1 + r2 )2

= 242 + ( 7 + 3 )2

= 576 + 100 = 676MN = √ 676 = 26 cm Jadi, jarak titik pusatnya = 26 cm.

Pembahasan :

M

N

A

B

Soal 8

M

N

A

B

Jika : AM =4 cm , BN = 2 cm dan MN = 10 cm

Tentukan panjang garis singgung AB.

Pembahasan :

AB2 = MN2 -( r1 - r2 )2

= 102 - ( 4 - 2 )2

= 100 – 4 = 96AB = √ 96 = 9,79Jadi, panjang AB = 9,79 cm.

M

N

A

B

Soal 9

M

N

A

B

Jika : AM = 7 cm , MN = 26 cm dan AB = 24 cm

Tentukan panjang jari-jari BN.

MN2 = AB2 + ( r1 + r2 )2

262 = 242 + ( 7 + r )2

676 = 576 + ( 7 + r )2

( 7 + r )2 = 676 – 576 = 100 ( 7 + r ) = 100 = 10 7 + r = 10 r = 10 – 7 r = 3 Jadi, jari-jari BN adalah 3 cm.

Pembahasan :

Soal 10

M

N

A

B

Jika : BN = 2 cm , AB = 12 cm dan MN = 13 cm

Tentukan panjang AM.

Pembahasan : ( r1 - r2 )2 = MN2 - AB2

( r1 - 2 )2 = 132 - 122

( r1 - 2 )2 = 169 - 144

= 25 ( r1 - 2 ) = 25

r1 - 2 = 5

r1 = 5 + 2 = 7Jadi, panjang jari-jari AM = 7 cm.

Catatan Khusus

Jika AB garis singgung persekutuan dalam.

maka : AB2 = MN2 - ( r1 + r2 )2

Jika AB garis singgung persekutuan luar.

maka : AB2 = MN2 - ( r1 - r2 )2