Logika, Himpunan, dan Fungsi

Daftar Isi-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI

ANALISIS REAL(Semester I Tahun 2011-2012)

Hendra Gunawan∗

∗Analysis and Geometry Group, FMIPA-ITBE-mail: [email protected].

http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan

August 8, 2011

Hendra Gunawan ANALISIS REAL


-1.1 Pernyataan dan Logika Matematika

-1.2 Pernyataan Berkuantor

-1.3 Bukti dan Metode Pembuktian

-1.4 Himpunan dan Notasinya

-1.5 Fungsi



-1.1 Pernyataan dan Logika Matematika-1.2 Pernyataan Berkuantor-1.3 Bukti dan Metode Pembuktian-1.4 Himpunan dan Notasinya-1.5 Fungsi

Di sekolah menengah telah dipelajari apa yang dimaksud denganpernyataan atau kalimat matematika.

Setiap pernyataan dapat bernilai “benar” atau “salah”, tetapitidak mungkin benar dan salah sekaligus.

Sebagai contoh, “1 + 1 = 2” merupakan sebuah pernyataan yangbenar.

Pernyataan seperti “n + 1 = 2” merupakan sebuah kalimatterbuka, yang kebenarannya bergantung pada nilai n. Bila n = 1,maka pernyataan tersebut benar; tetapi bila n 6= 1, makapernyataan tersebut salah.




Matematika sarat dengan kalimat atau pernyataan yang berkaitanantara satu dan lainnya.

Dua pernyataan P dan Q dikatakan setara apabila keduanyamempunyai nilai kebenaran yang sama (yakni, jika P benar, makaQ benar; dan sebaliknya, jika P salah, maka Q juga salah).

Dalam hal P dan Q setara, kita sering menulis “P jika dan hanyajika Q”. Sebagai contoh, “n + 1 = 2 jika dan hanya jika n = 1.”




Terdapat beberapa cara membentuk sebuah pernyataan baru daripernyataan yang diberikan, yaitu dengan menggunakan kaitanlogis.

Jika P adalah suatu pernyataan, maka “tidak P” adalahpernyataan baru yang merupakan negasi dari P.

Jika P benar, maka negasinya salah; dan jika P salah, makanegasinya benar.




Diberikan dua buah pernyataan P dan Q, kita dapat membentukkonjungsi dari P dan Q, yaitu “P dan Q”, yang bernilai benar jikaP dan Q keduanya benar, dan bernilai salah selain itu.

Kita juga dapat membentuk disjungsi dari P dan Q, yaitu “P atauQ”, yang bernilai benar jika setidaknya satu di antara P dan Qbenar.




Tabel kebenaran untuk konjungsi dan disjungsi dari P dan Qdiberikan di bawah ini.

P Q P dan Q P atau QB B B BB S S BS B S BS S S S




Selain konjungsi dan disjungsi, kita dapat pula mempunyai sebuahimplikasi “jika P, maka Q”, yang sering dilambangkan sebagai “P⇒ Q”.

Di sini P merupakan syarat cukup bagi Q, sementara Q merupakansyarat perlu bagi P.

Dalam implikasi ini P disebut sebagai hipotesis, sementara Qdisebut sebagai kesimpulan.

Berdasarkan konsensus, pernyataan “jika P, maka Q” bernilai salahjika P benar dan Q salah, dan bernilai benar selain itu.




Tabel kebenaran untuk implikasi “jika P, maka Q” diberikan dibawah ini.

P Q P ⇒ QB B BB S SS B BS S B

Dalam hal ”jika P, maka Q” benar dan ”jika Q, maka P” benar,kita katakan ”P jika dan hanya jika Q”, yakni, P setara dengan Q.




Contoh 1

Implikasi “jika n = 1, maka n2 = n” bernilai benar, karena ketika Pbenar, Q juga benar.

(Ketika n = 0, kita dapatkan P salah dan Q benar; namun ini tidakmenjadikan implikasi di atas salah.)




Soal Latihan

1 Mungkinkah “P dan tidak P” benar? Bagaimana dengan “Patau tidak P”?

2 Implikasi “jika tidak Q, maka tidak P” merupakankontraposisi dari “jika P, maka Q”. Periksa kesetaraan keduaimplikasi ini dengan menggunakan tabel kebenaran.

3 Implikasi “jika Q, maka P” merupakan konvers dari “jika P,maka Q”. Berikan sebuah contoh implikasi yang benar tetapikonversnya salah.

4 Buatlah tabel kebenaran untuk “P dan tidak Q” danbandingkan dengan tabel kebenaran untuk “jika P, maka Q”.Apa kesimpulan anda?




Dalam matematika sering kali kita berurusan dengan pernyataanyang mengandung frase “untuk setiap”, “untuk semua”, “untuksuatu”, “terdapat”, dan sejenisnya.

“Untuk setiap”, “untuk semua”, atau frase yang setara dengannya,merupakan kuantor universal; sedangkan “untuk suatu”,“terdapat”, atau yang setara dengannya, merupakan kuantoreksistensial.

Catat bahwa dalam matematika, “untuk suatu” berarti “terdapatsetidaknya satu” (bisa satu saja, bisa juga lebih). Berikut adalahbeberapa contoh pernyataan berkuantor.




Contoh 2

(i) Setiap bilangan asli n memenuhi pertaksamaan n2 > n.

(ii) Setiap bilangan asli dapat dinyatakan sebagai jumlah daribeberapa bilangan kuadrat. (Bilangan kuadrat adalah 12 = 1,22 = 4, 32 = 9, dan seterusnya.)

(iii) Terdapat bilangan asli yang genap dan ganjil sekaligus.




Negasi dari pernyataan “untuk setiap n berlaku P” adalah“terdapat n yang tidak memenuhi P”.

Sebagai contoh, negasi dari “setiap bilangan asli n memenuhin2 > n” adalah “terdapat bilangan asli n yang tidak memenuhin2 > n”. (Tentu dalam hal ini negasinyalah yang benar.)

Cukup sering kita menyimpulkan bahwa suatu pernyataan salahsetelah memeriksa bahwa negasinya benar, atau sebaliknya.




Perhatikan bahwa pernyataan “setiap bilangan asli n memenuhin2 > n” dapat ditulis ulang sebagai implikasi “jika n adalahbilangan asli, maka n2 > n.”

Jadi, selain melalui negasinya, kita dapat pula memeriksakebenaran suatu pernyataan berkuantor universal sebagai sebuahimplikasi.




Soal Latihan

1 Tentukan negasi dari pernyataan pada Contoh 2(ii) dan (iii).

2 Tulis ulang pernyataan pada Contoh 2(ii) sebagai sebuahimplikasi.




Bukti (Bhs. Ing. ‘proof’) merupakan sesuatu yang membedakanmatematika dari ilmu lainnya seperti fisika atau kimia yangberpijak pada eksperimen.

Dalam matematika, eksperimen juga penting tetapi bukti lebihesensial. Pernyataan seperti “setiap bilangan kuadrat mempunyaisisa 0 atau 1 ketika dibagi dengan 4” tidak dapat disimpulkanbenar melalui eksperimen dengan bilangan-bilangan kuadrat,karena terdapat tak terhingga banyaknya bilangan kuadrat (kitatakkan pernah selesai dengan mereka).

Eksperimen dapat menghasilkan suatu dugaan, namun kita perlubukti untuk meyakinkan bahwa pernyataan itu memang benaradanya.




Untuk dapat membuktikan pernyataan seperti di atas perlu banyaklatihan.

Dihadapkan pada sebuah pernyataan, langkah pertama yang perludilakukan adalah memahami maksud pernyataan tersebut: apayang diketahui (hipotesis) dan apa yang harus dibuktikan(kesimpulan).




Kadang kita harus mengetahui konteks yang terkait denganpernyataan tersebut.

Sebagai contoh, dalam pernyataan “setiap bilangan kuadratmempunyai sisa 0 atau 1 ketika dibagi dengan 4”, kita berurusandengan bilangan asli (1, 2, 3, . . . ).

Selain itu, pernyataan di atas juga mengandung kuantor ‘setiap’,yang memerlukan aksi tertentu dalam pembuktiannya kelak.




Sebelum kita membahas bagaimana membuktikan suatupernyataan berkuantor seperti di atas, marilah kita pelajaribagaimana membuktikan pernyataan tanpa kuantor yangberbentuk konjungsi, disjungsi, atau implikasi.

Untuk membuktikan bahwa “P dan Q” benar, tentunya kita harusmembuktikan bahwa P benar dan juga Q benar.

Sementara itu, untuk membuktikan bahwa “P atau Q” benar, kitadapat memulainya dengan memisalkan P salah dan kemudianberusaha menunjukkan bahwa Q benar. (Jika P benar, maka “Patau Q” benar, sehingga tidak ada yang harus dilakukan.)




Untuk membuktikan bahwa implikasi “jika P, maka Q” benar, kitamulai dengan memisalkan bahwa P benar dan kemudian berusahamenunjukkan bahwa Q juga benar. (Jika P salah, maka “P ⇒ Q”otomatis benar, sehingga tidak ada yang harus dilakukan.)

Implikasi ini dapat pula dibuktikan melalui kontraposisinya, yaitu“jika tidak Q, maka tidak P”.




Cara lainnya adalah dengan metode pembuktian tak langsung,yaitu dengan memisalkan P benar dan Q salah, dan kemudianberusaha mendapatkan suatu kontradiksi, sesuatu yang senantiasasalah.

Yang dimaksud dengan kontradiksi adalah konjungsi “R dan tidakR”, untuk suatu pernyataan R. Sebagai contoh, n genap dan ganjil(tidak genap) sekaligus merupakan suatu kontradiksi.




Contoh 3

Buktikan jika n memenuhi n2 = n, maka n = 0 atau n = 1.

(Di sini kita berhadapan dengan sebuah implikasi dengan hipotesisn memenuhi n2 = n dan kesimpulan berupa suatu disjungsi n = 0atau n = 1.)




Bukti

Misalkan n memenuhi n2 = n (yaitu, hipotesis benar). Akanditunjukkan bahwa n = 0 atau n = 1 (yaitu, kesimpulan benar).

Untuk itu, misalkan n = 0 salah, yakni n 6= 0. Tugas kita sekarangadalah menunjukkan bahwa n = 1.

Untuk itu, perhatikan bahwa n2 = n setara dengan n(n − 1) = 0.

Karena n 6= 0, maka mestilah n − 1 = 0. Jadi mestilah n = 1.




Sekarang kita akan membahas bagaimana membuktikan suatupernyataan berkuantor.

Secara umum, untuk membuktikan pernyataan “terdapat nsehingga P”, kita harus mendapatkan n (entah bagaimanacaranya) yang membuat P benar.

Sebagai contoh, pernyataan “terdapat bilangan asli n sehinggan2 ≤ n” terbukti benar setelah kita menemukan bilangan n = 1yang memenuhi n2 ≤ n.




Sementara itu, untuk membuktikan pernyataan “untuk setiap nberlaku P”, kita harus memulainya dengan mengambil nsembarang (tentunya dalam konteks yang sesuai), dan kemudianberusaha menunjukkan bahwa P berlaku untuk n.

Cara lainnya adalah dengan menuliskan pernyataan berkuantor inisebagai sebuah implikasi, baru kemudian kita membuktikannya.




Contoh 4

Buktikan bahwa setiap bilangan kuadrat mempunyai sisa 0 atau 1ketika dibagi dengan 4.

Bukti. Ambil sebarang bilangan kuadrat, sebutlah n2. Ada duakemungkinan tentang n, yaitu n genap atau n ganjil. Jika n genap,sebutlah n = 2k, maka n2 = 4k2. Dalam hal ini n2 mempunyaisisa 0 ketika dibagi dengan 4. Sementara itu, jika n ganjil, sebutlahn = 2k + 1, maka n2 = 4k2 + 4k + 1. Dalam hal ini n2 akanmempunyai sisa 1 ketika dibagi dengan 4. Jadi, berapa pun n, n2

akan mempunyai sisa 0 atau 1 ketika dibagi dengan 4.




Soal Latihan

1 Buktikan jika n2 ganjil, maka n ganjil.

2 Buktikan jika m2 + n2 = 0, maka m = 0 dan n = 0.




Himpunan adalah suatu koleksi objek, dan objek dalam suatuhimpunan disebut sebagai anggota himpunan itu.

Jika x merupakan anggota himpunan H, maka kita katakan x di Hdan kita tuliskan

x ∈ H.

Jika y bukan anggota H, maka kita tuliskan y /∈ H.




Cara yang paling sederhana untuk menyatakan sebuah himpunanadalah dengan mendaftarkan anggotanya.

Sebagai contoh, kita menuliskan

A = {0, 1,√

2, e, π}

untuk menyatakan himpunan yang anggotanya adalah bilangan0, 1,

√2, e, π.

Serupa dengan itu,

B = {Bagong, Gareng, Petruk, Semar}

menyatakan himpunan dengan anggota Bagong, Gareng, Petruk,dan Semar.




Cara penulisan di atas tentunya tidak cocok digunakan untukmenyatakan himpunan yang mempunyai tak hingga banyaknyaanggota.

Himpunan demikian biasanya dinyatakan dengan menyebutkansifat yang dimiliki secara khusus oleh anggotanya. Sebagai contoh,

C = {x : x real, x > 0}

menyatakan himpunan semua bilangan real positif.

Serupa dengan itu,

D = {y : y menghormati Semar}

menyatakan himpunan semua orang yang menghormati Semar.




Selanjutnya kita gunakan notasi ∅ untuk menyatakan himpunankosong, yakni himpunan yang tidak mempunyai anggota.

Sebagai contoh, himpunan bilangan asli n yang genap dan ganjilsekaligus merupakan himpunan kosong; yakni

{n : n bilangan asli yang genap dan ganjil sekaligus} = ∅.




Misalkan H dan G adalah dua buah himpunan. Kita sebut Ghimpunan bagian dari H dan kita tuliskan

G ⊆ H

apabila setiap anggota G merupakan anggota H.

(Jadi, bila diberikan dua buah himpunan H dan G , dan kitadiminta untuk membuktikan bahwa G ⊆ H, maka yang harus kitalakukan adalah mengambil x ∈ G sembarang dan kemudianberusaha menunjukkan bahwa x ∈ H.)




Catat bahwa G = H jika dan hanya jika G ⊆ H dan H ⊆ G .

Jika G ⊆ H dan G 6= H, maka G disebut sebagai himpunan bagiansejati dari H, ditulis G ⊂ H.

Sebagai contoh, jika A adalah himpunan semua bilangan bulatyang habis dibagi 10 dan B adalah himpunan semua bilangan yanghabis dibagi 2, maka A ⊂ B.




Soal Latihan

1 Diberikan dua buah himpunan A dan B, kita dapatmendefinisikan irisan dari A dan B, yaitu

A ∩ B = {x : x ∈ A dan x ∈ B}.

Buktikan bahwa A ∩ B = A jika dan hanya jika A ⊆ B.2 Diberikan dua buah himpunan A dan B, kita dapat

mendefinisikan gabungan dari A dan B, yaitu

A ∪ B = {x : x ∈ A atau x ∈ B}.

Buktikan bahwa untuk tiga himpunan A,B, dan C sembarangberlaku

1 A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ).2 A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).




Pemetaan atau fungsi f dari himpunan A ke himpunan B, ditulis

f : A → B

a 7→ b

adalah suatu aturan yang mengaitkan setiap a ∈ A dengan tepatsebuah b ∈ B; dalam hal ini kita menulis f (a) = b dan menyebut bsebagai peta atau nilai f di a.

Himpunan A disebut sebagai domain atau daerah asal f , danhimpunan

f (A) := {b ∈ B : b = f (a) untuk suatu a ∈ A}

disebut sebagai daerah nilai f .




Fungsi f : A → B dikatakan onto atau pada B apabila f (A) = B.

Fungsi f dikatakan satu-satu apabila f (a) = f (a′) mengakibatkana = a′.

Jika f : A → B dan H ⊆ A, maka f terdefinisi pada H danhimpunan f (H) := {b ∈ B : b = f (a) untuk suatu a ∈ H}disebut sebagai peta dari H di bawah f .

Jika G ⊆ B, maka himpunan f −1(G ) := {a ∈ A : f (a) ∈ G}disebut sebagai prapeta dari G di bawah f .

Grafik fungsi f : A → B adalah himpunan {(a, f (a)) : a ∈ A}

yang secara umum merupakan himpunan bagian dariA× B := {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.




Soal Latihan

1 Buktikan bahwa f : R → R dengan f (x) = x3 merupakanfungsi satu-satu dan pada R. [Gunakan pengetahuan tentangbentuk aljabar.]

2 Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen, ditulis A ∼ B,apabila terdapat fungsi satu-satu f dari A pada B. Buktikanbahwa (i) A ∼ A; (ii) A ∼ B jika dan hanya jika B ∼ A; dan(iii) jika A ∼ B dan B ∼ C , maka A ∼ C .

3 Diketahui f : A → B dan H1,H2 ⊆ A. Buktikan bahwa(i) f (H1 ∩ H2) ⊆ f (H1) ∩ f (H2) dan(ii) f (H1 ∪ H2) ⊆ f (H1) ∪ f (H2).Apakah kesamaan berlaku?


Logika, Himpunan, dan Fungsi

Documents

Transcript of Logika, Himpunan, dan Fungsi