Logika Informatika

Pertemuan Ke-1Oleh: Vindo Feladi, ST, M.PdLogika InformatikaLOGIKA ?Definisi logika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari atau berkaitan dengan prinsip-prinsip dari penalaran argumen yang valid.Menurut pendapat ahli, logika adalah studi tentang kriteria-kriteria untuk mengevaluasi argumen-argumen dengan menentukan mana argumen yang valid dan mana yang tidak valid, dan membedakan antara argumen yang baik dengan yang tidak baik.Asal usul logikaDipelajari sebagai sebagai salah satu cabang ilmu filsafatSejak tahun 1800-an logika dipelajari di bidang matematikaSekarang ini juga di bidang ilmu komputer, baik bidang software atau hardware

ArgumenArgumen adalah suatu usaha untuk mencari kebenaran dari suatu pernyataan berupa kesimpulan dengan berdasarkan pada kebenaran dari satu kumpulan premis-premis.Bentuk argumen artinya sekumpulan pernyataan yang terdiri dari premis-premis dan diikuti satu kesimpulan.ContohSemua mahasiswa pandai(pernyataan ke-1)Badu adalah mahasiswa(pernyataan ke-2)Dengan demikian, Badu pandai.(kesimpulan)Semua manusia bermata empat(pernyataan ke-1)Badu seorang manusia(pernyataan ke-2)Dengan demikian, Badu bermata empat.(kesimpulan)

Pertanyaan:Mana yang dikatakan logis ?Mana yang di katakan valid ?

Logika hanya berhubungan dengan kesimpulan yang valid, dan diperoleh dari prinsip-prinsip penalaran yang valid. Validitasnya juga dapat dibuktikan dengan menggunakan aturan-aturan logika yang telah diterima keabsahannya.Logika MatematikaDefinisi: aturan-aturan logika yang menggunakan kaidah-kaidah matematika tersebut dipergunakan untuk membuktikan validitas suatu argumen.Logika matematika merupakan dasar-dasar penting bagi seseorang jika ingin belajar ilmu komputer dengan baik.Jika ilmu komputer diumpamakan rumah, maka logika adalah fondasi rumah tersebut. Logika yang kuat akan membentuk kemampuan pemrograman yang kuat pula.Validitas ArgumenDefinisi: premis-premis yang diikuti oleh suatu kesimpulan yang berasal dari premis-premisnya dan bernilai benar.Validitas dapat dibedakan dengan kebenaran dari kesimpulan.Jika satu atau lebih premis-premis salah, maka kesimpulan dari argumen tersebut juga salahContohSemua mamalia adalah hewan berkaki empat.Semua manusia adalah mamalia.Dengan demikian, semua manusia adalah binatang berkaki empat.

Argumen yang valid tapi premis pertama bernilai salah.Ada jenis makhluk hidup berkaki dua.Semua manusia adalah maklhuk hidup.Dengan demikian, semua manusia berkaki dua.

Argumen yang tidak valid, tetapi menghasilkan kesimpulan yang benar meskipun tidak mengikuti premis-premisnyaSemua mahasiswa rajin belajar.Badu seorang mahasiswa.Dengan demikian, Dewi rajin belajar.

Kesimpulan yang tidak ada hubungan dengan premis-premisnya dan premis-premisnya bernilai benar, tetapi jelas bukan argumen yang kuat secara logisSemua binatang yang dapat terbang.Gajah adalah binatang.Dengan demikian, gajah dapat terbang.Argumen dapat dikatakan valid, tetapi validitasnya tidak kuat dan premis pertama bernilai salah.Kesimpulan dari contoh 1-4Logika hanya mempermasalahkan bentuk dari argumen, bukan isi argumenValiditas yang logis adalah hubungan antara premis-premis dengan kesimpulan yang memastikan bahwa jika premis benar, maka harus diikuti dengan kesimpulan yang benar, yang diperoleh dengan menggunakan aturan-aturan logika. Kesimpulan juga harus berasal dari premis-premisnya.Argumen logis disebut kuat secara logis, jika dan hanya jika argumennya valid dan semua premisnya bernilai benarPertemuan Ke-2Logika Klasik Dan ModernLogika KlasikPertama kali diperkenalkan oleh Aristoteles seorang ahli filsuf dan sains dari Yunani.Disebut juga logika Aristoteles, menurutnya suatu silogisme adalah suatu argumen yang terbentuk dari pernyataan-pernyataan dengan salah satu atau keempat bentuk berikut.Semua A adalah B, universal affirmativeTidak A adalah B, universal negativeBeberapa A adalah B, particular affirmativeBeberapa A adalah tidak B, particular negativeSuatu silogisme berbentuk sempurna disebut well-formed syllogism jika ia memiliki dua buah premis dan satu kesimpulan dimana setiap premis memiliki satu pokok bersama dengan kesimpulan dan satu lagi pokok bersama dengan premis lainnya.Logika ModernLogika modern atau logika simbolik dikembangkan dari logika Aristoteles oleh Agustus De Morgan (1806-1871) dan George Boole (1815-1864), para ahli matematika Inggris dari pertengahan abad XIX. Selanjutnya logika tersebut dikembangkan dan diperkaya dengan penemuan-penemuan dari Gottlob Frege (1848-1925), ahli matematika dari Jerman, Bertrand Russel (1872-1970), Alfred North Whitehead (1861-1947).Sistem logika yang dikembangkan oleh Bertrand Russel dan Alfred North Whitehead ini, membahas argumen-argumen yang memungkinkan sesuatu dapat dimasukkan kedalam bentuk yang lebih luas daripada hanya bentuk silogistik.Mengenalkan simbol-simbol untuk merangkai suatu kalimat, misalnya and, or, ifthen , if and only ifLogika klasik dan modern termasuk logika deduktif. Dimana premis-premis dari suatu argumen yang valid harus memiliki kesimpulan, atau kebenaran suatu kesimpulan harus mengikuti premis-premisnya.Memiliki dua nilai, yaitu benar (true) atau salah (false). Nilai benar diganti dengan angka 1 dan nilai salah diganti dengan angka 0. Inilah yang disebut logika dua nilai bivalent karena hanya memiliki dua kemungkinan nilai, yakni benar atau salah.Logika modern dijadikan dasar dalam pembuatan aljabar Boole yang menjadi dasar teori tentang pengembangan komputer digital, terutama di bidang pengembangan mikroprosesor sebagai otak komputer digital.Suatu ekspresi logika yang berbentuk well-formed formulae, dari yang berbentuk sederhana sampai dengan yang rumit, akan dimanipulasi dan diproses dengan berbagai bentuk rumus-rumus (formula) sesuai dengan kaidah matematika yang sederhana sampai yang rumit.Logika matematika yang menangani masalah well-formed formulae yang hanya memiliki nilai benar atau salah adalah:Logika Proposisional, berfokus pada pernyataan yang dapat digolongkan dalam pengertian proposisi-proposisi.Logika Predikat, pernyataan yang tidak dapat diproses dalam logika proposisional, akan ditangani oleh logika predikat yang memfokuskan diri pada predikat yang selalu menyertai suatu pernyataan dalam bentuk kalimat.

Logika Banyak NilaiTitik utamanya bukan hanya nilai benar atau salah, tetapi masih memiliki nilai ketiga yang bersifat netral.Pada saat ini sudah mampu menangani nilai antara 0 dan 1, atau antara truthfulness dengan falsehood yang disebut logika fuzzy (fuzzy logic)Logika juga dipakai di bidang pengembangan perangkat lunak terutama yang mengimplementasikan kecerdasan buatan (artificial intelligence), sistem pakar (expert system) dan pemrograman logika (logic programming). Secara sederhana logika juga dipakai untuk menguji konsistensi dari penulisan perangkat lunak yang terstruktur dengan baik.Semantik atau filsafat bahasa. Tekanan utamanya adalah pada arti kata atau kalimat.Epistemologi atau teori pengetahuan. Tekanan utama pada kondisi atau situasi di mana pernyataan akan selalu bernilai benar.Psikologi penalaran. Tekanan utama pada proses mental yang memperngaruhi penalaran.Untuk mempelajari logika dengan sempurna, ada beberapa ilmu yang berkaitan yakni:PENGANTAR LOGIKA PROPOSISIONALPERTEMUAN KE-3Proposisi adalah setiap pernyataan yang hanya memiliki satu nilai benar atau salah.Logika proposisional adalah logika yang menangani, memproses atau memanipulasi penarikan kesimpulan secara logis dari proposisi-proposisi.Proposisi majemuk sebenarnya terdiri dari banyak proposisi atomik dimana proposisi atomik adalah proposisi yang tidak dapat dipecah-pecah menjadi beberapa proposisi lagi. Contoh Belajarlah ! . Jadi kata tersebut dapat di ubah manjadi lengkap tanpa mengubah artinya menjadi Anda harus belajar dengan rajin. Anda harus belajar dengan rajin atau anda akan gagal ujian. Pertanyaannya adalah berapa buah proposisi dalam kalimat tersebut dan perangkai kata apa yang menghubungkan proposisinya? Ayah dan Ibu pergi ke Solo. Pertanyaannya bagaimana memisahkan proposisi tersebut dan perangkai apa yang dipakai?Jawabannya adalah Ayah pergi ke solo dan Ibu pergi ke solo, perangkai kata yang dipakai adalah dan.Ada proposisi-proposisi yang disebut tautologi, yakni proposisi yang nilainya selalu benar. Menghasilkan implikasi secara logis dan ekuivalen secara logis.Implikasi logis merupakan dasar dari penalaran yang kuat, sedangkan ekuivalensi logis menunjukkan bagaimana proposisi dapat dimanipulasi secara aljabar atau secara matematis sehingga disebut logika matematika.Hal-hal yang harus dihindari pada proposisiProposisi tidak bisa dipakai karena nilai benar atau salah tidak bisa secara teknis dapat ditentukanPernyataan yang berupa kalimat perintah dan kalimat pertanyaan tidak bisa dipakai pada proposisi.Proposisi tidak boleh digantikan dengan proposisi lain yang artinya sama.Dalam logika simbol T dapat digantikan angka 1, sedangkan simbol F dapat digantikan dengan angka 0.Kombinasi angka 1 dan 0 melahirkan dunia digital dengan aturan tertentu, misalnya ASCII dan EBCDIC. Sehingga dapat menggantikan huruf atau simbol lainnya.Kombinasi 1 dan 0 adalah bahasa mesin yang dimengerti oleh komputer, atau bahasa tingkat rendah dan diterjemahkan oleh komputer sehingga dimengerti oleh manusia.Pemberian NilaiA, B, C dan seterusnya disebut variabel proposional, dan hanya memiliki nilai benar (True = T) atau salah (False = F).Simbol berupa T dan F disebut konstanta proposional.Pada saat bersamaan tidak ada satu variabel proposional memiliki dua buah nilai yang berlawanan.PERTEMUAN KE-4PERANAN TABEL KEBENARAN PADA PENEKANAN LOGIKAJika nilai A = T dan B = F, maka A atau B menghasilkan nilai T. Bagaimana nilai A atau B tersebut dapat ditentukan?Untuk itu digunakan suatu alat yang dipakai untuk memberikan nilai, yang disebut Tabel Kebenaran (Truth Table).Tabel kebenaran dari proposisi-proposisi akan menghasilkan nilai dari proposisi-proposisi pada semua pemberian nilai yang dimungkinkan.Tabel kebenaran yang merupakan dasar dari logika karena semua persoalan logika pada awalnya bersumber dari Tabel Kebenaran.Apa itu logika?Logika adalah ilmu tentang penalaran (reasoning).Penalaran berarti mencari bukti validitas dari suatu argumen, mencari konsistensi dari pernyataan-pernyataan, dan membahas materi tentang kebenaran dan ketidak benaran.Logika hanya berhubungan dengan bentuk-bentuk logika dari argumen-argumen, serta penarikan kesimpulan tentang validitas dari argumen tersebut. Logika tidak mempermasalahkan arti sebenarnya dari pernyataan tersebut, ataupun isi dari pernyataan.Contoh Manusia mempunyai 2 mata.Badu seorang manusia.Dengan demikian, Badu mempunyai 2 mata.

Apa komentar kalian terhadap argumen-argumen tersebut ?Contoh Binatang mempunyai 2 mata.Manusia mempunyai 2 mata.Dengan demikian, binatang sama dengan manusia.

Apa komentar kalian terhadap argumen-argumen tersebut ?Logika tidak mempermasalahkan arti atau isi suatu pernyataan, tetapi hanya bentuk logika dari pernyataan itu.Logika hanya menekankan bahwa premis-premis yang benar harus menghasilkan kesimpulan yang benar (valid), tetapi bukan kebenaran secata aktual atau kebenaran sehari-hari.Penakanan logika pada penarikan kesimpulan tentang validitas suatu argumen untuk mendapatkan kebenaran yang bersifat abstrak, yang dibangun dengan memakai kaidah-kaidah dasar logika tentang kebenaran dan ketidakbenaran yang menggunakan perangkai logika, yakni dan (and), atau (or), tidak (not), jikamaka(ifthen), jika dan hanya jika (if and only if).

Tabel kebenaran adalah suatu tabel yang menunjukkan secara sistematis satu demi satu nilai-nilai kebenaran sebagai hasil kombinasi dari proposisi-proposisi yang sederhana.Setiap kombinasi dari proposisi-proposisi sederhana tersebut atau variabel proposisional, nilainya tergantung dari jenis perangkai atau operator yang digunakan untuk mengkombinasikannya.PERTEMUAN KE-5 PENGGUNAAN OPERATOR DALAM TABEL KEBENARANKonjungsi [^]Misalkan A dan B adalah proposisi. Proposisi A dan B, yang disimbolkan dengan A^B, adalah proposisi yang bernilai benar, jika nilai A dan B keduanya benar, lainnya pasti salah.Contoh perangkai ^ untuk nilai suatu konjungsi yang lebih rumit.ABCA^B(A^B)^CB^CA^(B^C)BBBBBSBSBBSSSBBSBSSSBSSSApa yang dapat disimpulkan dari tabel tersebut ?Pada tabel tersebut, nilai (A^B)^C dengan A^(B^C) sama pada setiap pasangan A,B, dan C, dan jika A,B dan C bernilai benar, maka hasilnya juga benar.Konjungsi tidak masalah jika diubah tanda kurungnya karena mempunyai sifat asosiatif (karena penambahan atau pengurangan tanda kurung tidak mengubah nilai kebenarannya).

Disjungsi [v]Misalkan A dan B adalah proposisi. Proposisi A atau B, yang disimbolkan dengan AvB, adalah proposisi yang bernilai salah, jika nilai A dan B keduanya salah, jika lainnya pasti benar.ABA v BBBBBSBSBBSSSNegasi []Digunakan untuk menggantikan perangkai tidak (not) dan tabel kebenarannya seperti berikut:AAABSBSBSMisalkan A adalah proposisi. Pernyataan ini tidak A adalah proposisi yang lain, disebut negasi dari A. Negasi dari A diberi simbol A, dan dibaca tidak A.contohBadu pandai atau Badu bodoh.Contoh tersebut diubah menjadi variabel proposional sehingga akan menjadi:A=Badu pandai.B=Badu bodoh.Bentuk logikanya adalah (AvB), tidak boleh ditafsirkan dan diganti menjadi variabel proposional seperti berikut:A = Badu pandai A = Badu bodohatau disamakan menjadi (Av A). Hal ini tentu saja tidak benar karena hal ini tidak boleh dilakukan dalam logika proposional.Implikasi []Misalkan A dan B adalah proposisi. Implikasi dari A implikasi B, yang disimbolkan dengan A B, adalah proposisi yang bernilai salah, jika nilai A bernilai benar dan B bernilai salah, dan jika lainnya pasti benar. Pada implikasi ini, A disebut antecendent (hipotesis) dan B disebut consequence (kesimpulan).ABABBBBBSSSBBSSBImplikasi dapat menimbulkan salah pengertian jika dipahami dengan bahasa sehari-hari. Contoh jika hari hujan, maka saya akan membawa payung. Bagaimana jika hari hujan dan saya tidak membawa payung? Bagaimana jika hari tidak hujan dan saya membawa payung?Ekuivalensi []Misalkan A dan B adalah proposisi. Ekuivalensi A jika dan hanya jika B, yang disimbolkan dengan A B, adalah proposisi yang bernilai benar, jika kedua nilai A dan B bernilai benar atau salah.ABABBBBBSSSBSSSBPertemuan ke-6Penggunaan operator lainnya dalam tabel kebenaranPerangkai tidak dan [|]Jika diperhatikan nilai kebenaran dari (A|B), maka hasilnya akan terlihat terbalik dari A^B. Oleh karena itu, disebut tidak dan (not and) atau operator nand (kadang-kadang disebut sheffer stroke)ABA|BBBSBSBSBBSSBPerangkai tidak atau []Jika diperhatikan nilai kebenaran dari (AvB), hasilnya akan terlihat terbalik dari AB. Oleh karena itu, disebut tidak atau (not or) atau operator nor (disebut juga peirce arrow).ABABBBSBSSSBSSSBPerangkai XOR (exclusive or) [ ]Jika diperlihatkan A xor B tampak terbalik dari A B, yakni jika A dan B nilainya sama, maka hasilnya salah, tetapi jika A dan B nilainya berbeda, maka hasilnya benar. ABA BBBSBSBSBBSSSKesimpulanSemua perangkai mempunyai tabel kebenarannya masing-masing yang menunjukkan semua nilai kebenarannya dari setiap pasangan yang mungkin ada.Tabel kebenaran dapat digunakan untuk mencari nilai kebenaran dari suatu argumen yang rumit.Perangkai dasar hanya ada tiga yakni perangkai dan, atau, tidak, sedangkan lainnya bukan perangkai dasar.Pertemuan ke-7Proposisi MajemukPendahuluanPerangkai logika digunakan untuk mengkombinasikan proposisi atomik menjadi proposisi majemuk.Untuk menghindari salah tafsir akibat adanya ambiguitas, proposisi majemuk yang akan diberi tanda kurung sehingga proposisi-proposisi dengan perangkai-perangkai yang berada di dalam tanda kurung disebut fully parenthesized expression (fpe).Proposisi atomik berisi satu variabel proposisional atau satu konstanta proposisional.Proposisi majemuk berisi minimum satu perangkai, dengan lebih dari satu variabel proposisional.

contohJika dewi rajin belajar. Maka ia lulus ujian dan ia mendapat hadiah istimewa.

A = Dewi rajin belajar.B = Dewi lulus ujian.C = Dewi mendapat hadiah istimewa

A B ^ C

((A B) ^ C

atau(A (B ^ C))

Kedua kemungkinan tersebut dapat menghasilkan nilai kebenaran yang berbedaSkema Merupakan salah satu cara untuk menyederhanakan suatu proposisi majemuk yang rumit dengan memberi huruf tertentu untuk menggantikan satu subekspresi.Misal (A ^ B) dapat diganti dengan P, sedangkan (A V B) dapat diganti dengan Q. Jadi P berisi variabel proposisional A dan B, demikian juga Q. P disini bukan vaiabel proposisional karena nilai P tergantung dari nilai A dan B.P = (A^B) dan Q=(AvB), maka (P Q) = ((A^B) (AvB))

Aturan FPESemua ekspresi atomik adalah fpeJika P adalah fpe, maka juga ( P)Jika P dan Q adalah fpe, maka juga (P^Q), (PvQ), (P Q), dan (P Q)Tidak ada fpe lainnyaEkspresi logika yang dijelaskan di atas disebut well formed formulae (wff). Jadi wff = fpe.Contoh A (B ( Av B)) A (B Av B))A (B ( Av B)Tanda kurung harus lengkap dan tidak ada perangkai pada dua proposisi majemuk yang berada pada tanda kurungMenganalisis proposisi majemukJika dewi lulus sarjana pendidikan TIK, orang tuanya akan senang, dan ia dapat bekerja, tetapi jika dia tidak lulus, semua usahanya akan sia-sia.Memisahnya dapat menggunakan teknik parsing.(A (B^C))^(( A) D)Pertemuan ke-8EVALUASI VALIDITAS ARGUMENPendahuluanMengubah suatu argumen atau pernyataan menjadi suatu ekspresi logika, tentunya harus mengenali sub-eskpresi.Pembuktian validitas ekspresi logika dari suatu argumen dapat dilakukan dengan tabel kebenaran.

Mengevaluasi validitas argumenSebelum mengevaluasi validitas suatu argumen, terlebih dahulu harus membentuk pernyataan-pernyataan menjadi ekspresi logika.Contohjika anda mengambil mata kuliah logika matematika, dan anda tidak memahami tautologi, maka anda tidak lulus.Untuk membuktikan validitasnya, berilah variabel proposional yang relevan. Dan bentuk ekspresi logikanya sebagai berikut:(A ^ B) C Selanjutnya buatlah tabel kebenarannya.Contoh Tidak belajar, tidak lulus.Kalimat tersebut dalam logika proposisional harus dibaca lengkap, yakni: jika anda tidak belajar, maka anda tidak lulus.Jadi bentuknya sekarang terlihat, yakni jikamaka. Lalu proposisi diubah menjadi variabel proposisional:A = Anda belajar, B = Anda lulusSehingga menjadi : A BContohBarang-barang yang dibeli di toko ini dapat dikembalikan, jika dan hanya jika berada dalam kondisi yang baik, dan pembeli membawa bukti pembeliannya.Kemudian ubah menjadi variabel proposisional.A = Barang-barang dapat dikembalikan.B = Barang-barang dalam kondisi baik.C = Pembeli membawa bukti pembeliannya.Ekspresi logikanya : A (B ^ C)Jadi, untuk membuat suatu pernyataan, dan nantinya juga pernyataan-pernyataan dalam suatu argumen, dapat diubah menjadi ekspresi logika. Sebagai bantuan dapat menggunakan heuristik. Heuristik untuk mengubah pernyataan menjadi ekspresi logikaAmbil pernyataan-pernyataan yang pendek tanpa perangkai logika.Ubahlah pernyataan-pernyataan yang pendek tersebut dengan variabel-variabel proposisional.Rangkailah variabel-variabel proposisional dengan perangkai yang relevanBentuklah menjadi proposisi majemuk jika memungkinkan dengan memberi tanda kurung biasa yang tepat.Contoh Jika Badu belajar rajin dan sehat, maka ia lulus ujian, atau jika ia tidak belajar rajin dan tidak sehat, maka ia tidak lulus ujian.Untuk suatu argumen yang terdiri dari banyak pernyataan-pernyataan yang diikuti satu pernyataan berupa kesimpulan, maka validitasnya ditentukan dari hasil tabel kebenaran.((A ^ B) C) v ((A ^ B) C)Pertemuan ke-9TAUTOLOGI, KONTRADIKSI DAN CONTINGENTTAUTOLOGI(A ^ B) (C v ( B C))(A v A) (A ^ B) v B ((A v B) ^ C) v CTautologi = suatu ekspresi logika yang selalu bernilai benar di dalam tabel kebenarannya, tanpa memperdulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada didalamnya.

Contoh Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah dan jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kuliah.(( A B) ^ (C B)) ((A v C) B)KONTRADIKSIA ^ A (( A v B) ^ A) ^ BKontradiksi = suatu ekspresi logika yang selalu bernilai salah di dalam tabel kebenarannya, tanpa memperdulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada di dalamnya.Contingent(( A ^ B) C) A((A B) ^ ( B C)) ( C A) Contingent = suatu ekspresi logika yang mempunyai nilai benar dan salah di dalam tabel kebenarannya, tanpa memperdulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada di dalamnya.KUISJika Badu senang, maka Siti senang, dan jika Badu tidak senang, maka Siti tidak senang. Dengan demikian, Badu tidak senang atau Badu tidak sedih

Gunakan teknik heuristik dan buktikan dengan tabel kebenaran apakah termasuk tautologi, kontradiksi dan contingent.