Logika Matematika, Fungsi dan Fungsi Invers

download Logika Matematika, Fungsi dan Fungsi Invers

of 26

  • date post

    15-Apr-2017
  • Category

    Education

  • view

    722
  • download

    9

Embed Size (px)

Transcript of Logika Matematika, Fungsi dan Fungsi Invers

LOGIKA MATEMATIKA, FUNGSI DAN FUNGSI INVERS

LOGIKA MATEMATIKA, FUNGSI DAN FUNGSI INVERSDISUSUN OLEH:UFIT FITRIANI (145500016)MARATUS SH (145500042)FIKA ALIFTIANA (145500165)ANI ROSIDAH (145500181)

1

1TELAAH KURIKULUM MATEMATIKA SEKOLAH MENENGAH09/04/2015LOGIKA MATEMATIKA, FUNGSI DAN FUNSI INVERS

1. LOGIKA MATEMATIKA2. FUNGSI3. FUNGSI INVERSAPA SAJA YANG AKAN KITA PELAJARI ?2

(bernilai salah atau S)

(bernilai benar atau B)

(bernilai salah atau S)

(B) (S) (S) (B) p~pBSSB

3

1.B. PERNYATAAN MAJEMUK1) KONJUNGSIKonjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata gabung dan yang disimbolkan dengan . Konjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan p q yang dibaca p dan q .Konjungsi p q bernilai benar , jika p dan q keduanya benar. Dalam kondisi yang lainnya konjungsi p q bernilai salah.Tabel Kebenaran Konjungsi :

2) DISJUNGSIDisjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata gabung atau yang disimbolkan dengan . Disjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan p q yang dibaca p atau q .Disjungsi p q bernilai salah, jika p dan q keduanya salah. Dalam kondisi yang lainnya disjungsi p q bernilai benar.Tabel Kebenaran Disjungsi :

4

TELAAH KURIKULUM MATEMATIKA SEKOLAH MENENGAH409/04/2015LOGIKA MATEMATIKA, FUNGSI DAN FUNSI INVERS

3) IMPLIKASIImplikasi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata gabung Jika .... maka ...... yang disimbolkan dengan . Implikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan p q yang dibaca Jika p maka q .i. pernyataan p disebut anteseden (sebab)ii. pernyataan q adalah konsequen (akibat)Implikasi p q bernilai salah, jika anteseden benar dan konsequen salah. Dalam kondisi yang lainnya implikasi p q bernilai benar.Tabel Kebenaran Implikasi :

4) BIIMPLIKASIBiimplikasi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata gabung ..... jika dan hanya jika ...... yang disimbolkan dengan . Biimplikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan p q yang dibaca p jika dan hanya jika q , yang berarti jika p maka q dan jika q maka p Biimplikasi p q bernilai benar, jika p dan q kedua-duanya benar atau p dan q keduan-duanya salah. Dalam kondisi yang lainnya biimplikasi p q bernilai salah.Tabel Kebenaran Biimplikasi :

5

5) KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISIDari suatu implikasi p q dapat dibentuk implikasi-implikasi baru yaitu :1. qp yang disebut konvers dari p q.2. ~p~q yang disebut invers dari p q3. ~q~p yang disebut kontraposisi dari p q.Hubungan antara implikasi , konvers , invers dan kontraposisi dapat ditunjukkan dengan tabel kebenaran seperti terlihat di bawah ini.

Nilai logisnya sama ( ekuivalen logis )6

1.C. NEGASI DARI PERNYATAAN MAJEMUKSeperti halnya negasi dari suatu pernyataan tunggal, pernyataan majemuk juga dapat dibuat negasinya. a. Negasi dari konjungsi yaitu ~(p q) adalah ~p ~qb. Negasi dari disjungsi yaitu ~ (p q) adalah ~p ~q c. Negasi dari implikasi yaitu ~ (p q) adalah ~p ~ qd. Negasi dari biimplikasi yaitu ~(p q) adalah (~p q) dan (~p q ) Contoh soal :

Diketahui pernyataan implikasi p q, makaa. Negasi dari negasinya adalah ......................... b. Negasi dari konversnya adalah .......................c. Negasi dari inversnya adalah .........................d. Negasi dari kontraposisinya adalah ...................

7

1.D. DUA PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN (EKUIVALEN LOGIS)Dua pernyataan dikatakan ekuivalen (ekuivalen logis) jika untuk semua kemungkinan dari nilai-nilai kebenaran komponen-komponennya, kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama.Untuk menyelidiki ekuivalen atau tidak ekuivalennya dua pernyataan majemuk, kita menggunakan tabel kebenaran.Dua pernyataan majemuk P(p,q,....) dan Q(p,q,....) yang ekuivalen dinyatakan dengan lambang P(p,q,...) = Q(p,q,....)

8

1.E. PERNYATAAN BERKUANTOR DAN NEGASINYANOA. PERNYATAAN BERKUANTORB. NEGASI PERNYATAAN BERKUANTOR1.Kuantor Universal adalah Kuantor yang menyatakan semua atau setiap yang dilambangkan dengan yang dibaca untuk semua Contoh : x A dibaca Untuk semua x anggota A. Untuk semua bilangan ganjil ,kuadratnya adalah ganjil.Negasi dari Kuantor Universal. Negasi dari pernyataan x ( Untuk semua x anggota A) adalah x A (Ada x yang bukan anggota)Contoh :Negasi dari x R, jika x2 < 1, maka x < 1 adalah x R, x2 < 1 tetapi x 1Negasi dari x B , Jika x2= 1 , maka x = 1 adalah x B, x2= 1 tetapi x 1 2.Kuantor Eksistensial adalah Kuantor yang menyatakan ada, baik dalam jumlah satu atau beberapa banyak yang dilambangkan dengan yang dibaca ada beberapa Contoh : x A yang dibaca Ada beberapa x anggota A Ada beberapa x dan y sehingga x + y = x.yNegasi dari Kuantor Eksistensial.Negasi dari pernyataan x A (Ada x anggota A) adalah x A (Untuk semua x bukan anggota A)Contoh :Negasi dari x B, x + 3 = 5 adalah x , x + 3 5 Negasi dari x R, x2 < 0 adalah x R, x2 0

9

1.F. PENARIKAN KESIMPULANSalah satu tujuan yang penting dari pelajaran logika matematika adalah untuk memperoleh pengetahuan guna menguji argumentasi atau penarikan kesimpulan.Suatu argumentasi dikatakan berlaku atau sah jika dan hanya jika konjungsi dari premis-premisnya berimplikasi konklusi, yaitu bilamana semua premisnya benar, maka konklusinya juga benar.Ada 3 macam penarikan kesimpulan , yaitu :

2. Modus Tollens.Premis 1 : p q (benar)Premis 2 : ~q (benar)----------------------------------Konklusi : ~p (benar)

3. SilogismaPremis 1 : p q (benar)Premis 2 : q r (benar)-----------------------------------Konklusi : p r (benar)

1. Modus Ponens.Premis 1 : p q (benar)Premis 2 : p (benar)-------------------------------Konklusi : q (benar)

10

1.G. PEMBUKTIAN SIFAT MATEMATIKASuatu bukti dalam matematika adalah suatu argumentasi yang menunjukkan bahwa suatu pernyataan p q selalu benar (logis benar atau tautologi). Misalnya p adalah konjungsi premis-premis, dan q adalah konklusi suatu argumentasi. Dalam hal demikian p maupun q meungkin menyangkut beberapa pernyataan tunggal. Jadi harus ditunjukkan (dibuktikan) bahwa p q selalu benar bagaimanapun nilai kebenaran pernyataan komponen-komponennya.Ada beberapa cara untuk membuktikan atau menunjukkan kebenaran suatu argumentasi, diantaranya adalah bukti langsung, bukti tidak langsung dan induksi matematika.

11

1. Bukti Langsung.12

2. Bukti Tidak Langsung.13

14

2.A. OPERASI ALJABAR PADA FUNGSI`Seorang photografer dapat menghasilkan gambar yang bagus melalui dua tahap, yaitu; tahap pemotretan dan tahap editing. Biaya yang diperlukan pada tahap pemotretan (B1) adalah Rp500,- per gambar, mengikuti fungsi: B1(g) = 500g + 2500 dan biaya pada tahap editing (B2) adalah Rp100,- per gambar, mengikuti fungsi: B2(g) = 100g + 500, dengan g adalah banyak gambar yang dihasilkan.a) Berapakah total biaya yang diperlukan untuk menghasilkan 10 gambar dengan kualitas yang bagus?b) Tentukanlah selisih antara biaya pada tahap pemotretan dengan biaya pada tahap editing untuk 5 gambar.

15

2.B. MENENTUKAN KONSEP FUNGSI KOMPOSISIVeysa bekerja di sebuah toko elektronik selama 40 jam dalam seminggu dengan penghasilan Rp. 750.000,00. JikaVeysa dapat menjual diatas Rp. 7.000.000,00, ia akan memperoleh komisi 4%. Misalnya seminggu ini Veysa telah cukup menjual untuk mendapatkan komisi. Diberikan fungsi f(x) = 0,04x dan g(x) = x-7.000.000, manakah dari komposisi (fg)(x) dan (gf)(x) yang mempresentasikan besar komisinya ?

16

2.C. SIFAT-SIFAT OPERASI FUNGSI KOMPOSISIMasalah 1 :Diketahui fungsi f: RR dengan f(x) = 4x + 3 dan fungsi g: RR dengan g(x) = x1.a) Tentukanlah rumus fungsi komposisi (g f )(x) dan (f g)(x) ?b) Selidiki apakah (g f )(x) = (f g)(x) ?

(g f)(x) = 4x + 2, dan(f g)(x) = 4x 1Andaikan (g f )(x) = (f g)(x) 4x + 2 = 4x 1 2 = 1Ternyata hasil yang diperoleh adalah kontradiksi dari pernyataan.Jadi, g f f gBerdasarkan Contoh di atas, disimpulkan bahwa pada umumnya sifat komutatif pada operasi fungsi komposisi tidak berlaku,yaitu; g f f g.17

2.C. SIFAT-SIFAT OPERASI FUNGSI KOMPOSISIMasalah 2 :Diketahui fungsi f: RR dengan f(x) = 2x 1 dan fungsi g: RR dengan g(x) = 4x+5, dan fungsi h: RR dengan h(x) = 2x 3.a) Tentukanlah fungsi komposisi (g(f h))(x) dan ((g f) h)(x).b) Tentukanlah fungsi komposisi (f(g h))(x) dan ((f g) h)(x).c) Selidiki apakah: i) (g (f h))(x) = ((g f) h)(x) ii) (f (g h))(x) = ((f g) h)(x)

18

2.C. SIFAT-SIFAT OPERASI FUNGSI KOMPOSISIMasalah 3 :Diketahui fungsi f: RR dengan f(x) = 5x 7 dan fungsi I: RR dengan I(x) = x.a) Rumus fungsi komposisi f I dan I f.b) Selidikilah apakah f I = I f = f.

19

3.A. FUNGSI INVERS KEBALIKAN DARI FUNGSIMasalah 1 :Seorang pedagang kain memperoleh keuntungan dari hasil penjualan setiap x potong kain sebesar f(x) rupiah. Nilai keuntungan yang diperoleh mengikuti fungsi f(x) = 500x + 1000, (dalam ribuan rupiah) x adalah banyak potong kain yang terjual.a) Jika dalam suatu hari pedagang tersebut mampu menjual 50 potong kain, berapa keuntungan yang diperoleh?b) Jika keuntungan yang diharapkan sebesar Rp100.000,00 berapa potong kain yang harus terjual?c) Jika A merupakan daerah asal (domain) fungsi f dan B merupakan daerah hasil (range) fungsi f, gambarkanlah permasalahan butir (a) dan butir (b) di atas.(Berdasarkan Gambar di atas, dikemukakan beberapa hal sebagai berikut.(a) Gambar (i) menunjukkan bahwa fungsi f memetakan A ke B, ditulis: f: AB.(b) Gambar (ii) menunjukkan bahwa f -1 memetakan B ke A, ditulis: f -1: BA.f -1 merupakan invers fungsi f.(c) Gambar (iii) menunjukkan bahwa untuk nilai x = 50 maka akan dicari nilaif(x).(d) Gambar (iv) menunjukkan kebalikan dari Gambar (iii) yaitu mencarini