MA1201 M12-2 11-04-14
Transcript of MA1201 M12-2 11-04-14
MA1201 MATEMATIKA 2AMA1201 MATEMATIKA 2A
Hendra GunawanSemester II, 2013/2014Semester II, 2013/2014
11 April 2014
Kuliah yang LaluKuliah yang Lalu
12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah. u gs dua (atau eb ) peuba12.2 Turunan Parsial12.3 Limit dan Kekontinuan12.3 Limit dan Kekontinuan12.4 Turunan fungsi dua peubah12.5 Turunan berarah dan gradien12.5 Turunan berarah dan gradien12.6 Aturan Rantai12 7 Bidang singgung dan aproksimasi – Bag II12.7 Bidang singgung dan aproksimasi Bag II12.8 Maksimum dan minimum12 9 Metode pengali Lagrange12.9 Metode pengali Lagrange
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 2
Kuliah Hari IniKuliah Hari Ini
13 1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang
13.2 Integral Berulang
3 3 l i h k13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah BukanPersegi Panjang
13.4 Integral Lipat Dua dalam Koordinat Polar
13.5 Penggunaan Integral Lipat Duagg g p
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 3
13.1 INTEGRAL LIPAT DUA ATAS PERSEGIMA1201 MATEMATIKA 2A
PANJANGMenghitung atau menaksir integral lipat duaMenghitung atau menaksir integral lipat duaatas persegi panjang dengan menggunakandefinisidefinisi
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 4
Ingat: Integral Tentu untukb hFungsi Satu Peubah
Jumlah Riemann untuk f , , n
ii xtf ).(f
merupakan hampiran untuk luas daerahdi bawah kurva y = f(x) x є [a b] Jika
i
iif1
)(
di bawah kurva y = f(x), x є [a,b]. Jika
n
iiiP
xtf10||
).(lim
ada, maka f dikatakan terintegralkanpada [a,b]. Integral tentu f pada [a,b]d d f k b
i 1
didefinisikan sebagai
b
dxxf )(
n
iiPxtf
0||).(lim 1¾ 0 1/3 ½ 7/8
10/25/2013 (c) Hendra Gunawan 5
a
iP 10||
Jumlah Riemann Fungsi Dua PeubahJumlah Riemann Fungsi Dua Peubah
Misalkan S = {(x,y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} {( ,y) , y }dan f : S R kontinu (kecuali pd suatukurva) dan terbatas. Bentuk partisi Ai, dengan panjang ∆x dan lebar ∆y dandengan panjang ∆xi dan lebar ∆yi, dandi tiap Ai pilih titik sampel (xi,yi). Makadiperoleh jumlah Riemann
k h i l
n
iiii Ayxf
1),(
Syg merupakan hampiran volume ruangdi antara permukaan z = f(x,y) danpersegi panjang S.
S
p g p j g
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 6
Integral Lipat Fungsi Dua PeubahIntegral Lipat Fungsi Dua Peubah
Misalkan f fungsi dua peubah yang terdefinisiMisalkan f fungsi dua peubah yang terdefinisipada persegi panjang S. Jika
n
ada maka f dikatakan terintegralkan pada S
iiiiP
Ayxf10||||
),(lim
ada, maka f dikatakan terintegralkan pada S. Selanjutnya,
n
di b t i t l li t d d i f d S
iiiiP
S
AyxfdAyxf10||||
),(lim:),(
disebut integral lipat dua dari f pada S. 4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 7
ContohContoh
Diketahui persegi panjang SDiketahui persegi panjang S= {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 8}.
T k i il i dAyx864 2
Taksir nilai
dengan jumlah Riemann,
S
dAy16
g j ,dengan membagi S atas 8 persegi sama besar danmemilih titik‐titik tengahtiap persegi sebagai titik
lsampelnya.4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 8
Jawab: Kita hitung nilai f di titik titik sampel:Jawab: Kita hitung nilai f di titik‐titik sampel: f(1,1) = 57/16, f(1,3) = 65/16, f(1,5) = 81/16, f(1 7) = 105/16 f(3 1) = 41/16 f(3 3) = 49/16f(1,7) = 105/16, f(3,1) = 41/16, f(3,3) = 49/16, f(3,5) = 65/16, f(3,7) = 89/16.
L l d ∆A 4 kit l hLalu, dengan ∆Ai = 4, kita peroleh
)(864 82
AfdAyx
4
),(1686
1
iiii
S
AyxfdAyx
.138)89654941105816557(164
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 9
Teorema KeterintegralanTeorema Keterintegralan
Jika f kontinu (kecuali pd suatu kurva)Jika f kontinu (kecuali pd suatu kurva) dan terbatas pada persegi panjang S,
k f t i t lk d Smaka f terintegralkan pada S.
Contoh: Setiap polinom dua peubahterintegralkan pada sembarang persegiterintegralkan pada sembarang persegipanjang.
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 10
Sifat‐Sifat Integral Lipat DuaSifat Sifat Integral Lipat Dua1. Linear: Jika k R, maka
a. . SS
dAyxfkdAyxkf ),(),(
b.
2 Aditif: Jika S = S U S maka
SSS
dAyxgdAyxfdAyxgyxf ),(),()],(),([
2. Aditif: Jika S = S1 U S2, maka
),(),(),(SSS
dAyxfdAyxfdAyxf
3. Monoton: Jika f(x,y) ≤ g(x,y) utk (x,y) S, maka21 SSS
)()( dAyxgdAyxf4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 11
.),(),( SS
dAyxgdAyxf
13.2 INTEGRAL BERULANGMA1201 MATEMATIKA 2A
13.2 INTEGRAL BERULANGMenghitung integral lipat dua (pada persegi
j ) b i i t l b lpanjang) sebagai integral berulang
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 12
Menghitung Integral Lipat DuaMenghitung Integral Lipat Dua
Jika f terintegralkan pada persegi panjang S = f g p p g p j g[a,b] x [c,d], maka integral lipat dua dari f pada Sdapat dihitung sebagai integral berulang:p g g g g
atau d b
dxdyyxfdAyxf ),(),(atau c aS
( , ) ( , ) .b d
f x y dA f x y dydx Catatan: Pada cara pertama, ruang diiris sejajarsumbu x terlebih dahulu
S a c
sumbu‐x terlebih dahulu.4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 13
Contoh 1Contoh 1Jika S = {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 8} = [0,4] x [0,8],
864 2
hitung sbg integral berulang
dengan mengintegralkan thd x terlebih dahulu.
S
dAyx16864 2
dengan mengintegralkan thd x terlebih dahulu.
Jawab:
8 4 22
4864 dxdyyxdAyx
0 0 16216
yS
128 2
dy
25124
120
dyy
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 14
.32138
1251296
Contoh 2Contoh 2Jika S = {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 8} = [0,4] x [0,8],
864 2
hitung sbg integral berulang
dengan mengintegralkan thd y terlebih dahulu.
S
dAyx16864 2
dengan mengintegralkan thd y terlebih dahulu.
Jawab:
4 8 22
4864 dydxyxdAyx
0 0 16216
yS
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 15
CatatanCatatanPengintegralan berulang:
Terhadap y dahulu, Terhadap x dahulu,
l l h d l l h dlalu terhadap x: lalu terhadap y:
S S
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 16
SoalSoalJika S = {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} = [0,1] x [0,1],
hitung sebagai integral berulang.S
xydAxe
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 17
13.3 INTEGRAL LIPAT DUA ATAS DAERAHMA1201 MATEMATIKA 2A
BUKAN PERSEGI PANJANGMenghitung integral lipat dua atas daerahMenghitung integral lipat dua atas daerahbukan persegi panjang
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 18
Bagaimana menghitung integral lipatd d h b kpada daerah bukan persegi panjang?
S
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 19
Integral pada Daerah y‐SederhanaIntegral pada Daerah y Sederhana
Himpunan S disebut y‐sederhanaHimpunan S disebut y sederhanaapabila S dapat dituliskan sebagai
S = {(x y) : u (x) ≤ y ≤ u (x) a ≤ x ≤ b}S = {(x,y) : u1(x) ≤ y ≤ u2(x), a ≤ x ≤ b},
dengan u1(x) dan u2(x) kontinu. D l h l i i i l f d S d SDalam hal ini, integral f pada S dapatdihitung sebagai
S
b
a
xu
xuS
dydxyxfdAyxf)(
)(
2
.),(),( a b
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 20
a xuS )(1
Integral pada Daerah x‐SederhanaIntegral pada Daerah x Sederhana
Himpunan S disebut x‐sederhanaHimpunan S disebut x sederhanaapabila S dapat dituliskan sebagai
S = {(x y) : v (y) ≤ x ≤ v (y) c ≤ y ≤ d}d
S = {(x,y) : v1(y) ≤ x ≤ v2(y), c ≤ y ≤ d},
dengan v1(y) dan v2(y) kontinu. D l h l i i i l f d S SDalam hal ini, integral f pada Sdapat dihitung sebagai
S
2 ( )
( )
( , ) ( , ) .v yd
S c v y
f x y dA f x y dxdy c
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 21
1 ( )S c v y
Contoh 1Contoh 1Hitung apabila S adalah daerah tertutup xydA
yang dibatasi oleh y = x2 dan y = 1.
J b
S
Jawab:
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 22
Contoh 2Contoh 2Hitung apabila S adalah daerah tertutup x dAe
2
yang dibatasi oleh garis y = 2x, garis x = 4, dansumbu x
S
sumbu‐x.
Jawab:
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 23
Soal 1Soal 1Tentukan volume bendapejal yang terletak diOktan I dan dibatasi olehparaboloida z = x2 + y2, tabung x2 + y2 = 4, danbidang‐bidang koordinat.
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 24
Soal 2Soal 2
Hitung apabila S dAx2Hitung apabila S
adalah daerah cincin yg
S
dAx1 20
dibatasi oleh lingkaranx2 + y2 = 1 dan x2 + y2 = 4.
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 25