MAKALAH KALKULUSPENGGUNAAN TURUNAN

Nama Kelompok : 1.Rudi Purniawan(09021181320054)2.Danang Paminto L(09121002051)3. Juita Asri Lestari(09021181320025)

TEKNIK INFORMATIKAUNIVERSITAS SRIWIJAYA

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah puji syukur kami panjatkan atas kehadirat allah SWT yang telahmemberikan kesempatan, kesehatan dan karunianya kepada kami yang tak terhinggajumlahnya sehingga kami dapat menyelesaikan karya tulis ini tepat pada waktunya.Makalah Matematika Dasar ini ynag membahas tentang Aplkasi Turunan dalam Matematika, cabang ilmu lain maupun dalam kehidupan sehari-hari.Dalam pembuatan makalah ini, penulis mendapat bantuan dari berbagai pihak, maka pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada : Drs. Asep deni azis Kepala SMK Maarif Cicalengka, yang telah memberikan kesempatan dan memberi fasilitas sehingga makalah ini dapat selesai dengan lancar.Akhir kata semoga makalah ini bisa bermanfaat bagi pembaca pada umumnya dan penulis pada khususnya, penulis menyadari bahwa dalam pembuatan makalah ini masih jauh dari sempurna untuk itu penulis menerima saran dan kritik yang bersifat membangun demi perbaikan kearah kesempurnaan. Akhir kata penulis sampaikan terimakasih.

BAB IIIPENUTUP

Kesimpulan

Dari pembahsan diatas dapat dijelaskan atau disimpulkan penggunaan turunan sebagai berikut :1. Maksimum dan Minimum2. Kemonotonan dan Kecekungan3. Maksimum dan Minimum Lokal4. Masalah Maksimum dan Minimum5. Menggambar Grafik Fungsi6. Teorema Nilai Rata-Rata

BAB IPENDAHULUAN

1.1.Latar Belakang

Turunan adalah salah satu cabang ilmu matematika yang digunakan untuk menyatakan hubungan kompleks antara satu variabel tak bebas dengan satu atau beberapa variabel bebas lainnya. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Newton dan Leibniz dari tahun 1665 sampai dengan tahun 1675 sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika. Sir Isaac Newton (1642 - 1727) , ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716), ahli matematika bangsa Jerman dikenal sebagai ilmuwan yang menemukan kembali kalkulus. Kalkulus memberikan bantuan tak ternilai pada perkembangan beberapa cabang ilmu pengetahuan lain. Dewasa ini kalkulus digunakan sebagai suatu alat bantu yang utama dalam menyelesaikan berbagai permasalahan ilmu pengetahuan dan teknologi.

1.2.Rumusan Masalah

Apa saja apliksi turunan yang ada dalam ilu matematika, cabang imu lain atau dalam kehidupan sehari-hari?

1.3.Tujuan

Dapat menjelaskan beberapa Aplikasi turunan.

BAB II PEMBAHASAN

1.Maksimum dan Minimum

Misalkan kita mengetahui fungsifdan domain (daerah asal) S seperti pada Gambar A. maka kita akan menentukanfmemiliki nilai maksimum atau minimum pada S. Anggap saja bahwa nilai-nilai tersebut ada dan ingin mengetahui lebih lanjut dimana dalam S nilai-nilai itu berada. Pada akhirnya kita dapat menentukan nilai-nilai maksimum dan minimum.

Definisi :Andaikan S, daerah asalf, memuat titik C, kita katakana bahwa:

f(c) adalah nilai maksimumfpada S jikaf(c)f(x) untuk semua x di Sf(c) adalah nilai minimumfpada S jikaf(c)f(x) untuk semua x di Sf(c) adalah nilai ekstrimfpada S jika ia adalah nilai maksimum atau minimum

Misalkan f : D R dan c D. Nilai f(c) disebut nilai maksimum apabila f(c) f(x) untuk setiap x D.Nilai f(c) disebut nilai minimum apabila f(c) f(x)untuk setiap x D. Nilai maksimum atau minimum disebut nilai ekstrim.

Contoh 1. Misalkan f(x) = x2, x [-1,2]. Nilai maksimumnya adalah 4 [= f(2)], sedangkan nilai minimumnya adalah 0[= f(0)]. Perhatikan grafiknya.

Teorema Eksistensi dan Nilai Ekstrim

Jika f kontinu pada [a,b], maka f akan mencapai nilaimaksimum dan minimum pada [a,b].Teorema ini mengatakan bahwa kekontinuan merupakan syarat cukup bagi eksistensi nilai ekstrim.Fungsi pada Contoh 1, misalnya, merupakan fungsi yang kontinu pada [-1,2] dan fungsi ini mempunyai nilai maksimum dan minimum pada [-1,2].Fungsi yang tidak kontinu mungkin saja mempunyai nilai ekstrim. Sebagai contoh, fungsi yang didefinisikan sebagai berikut :

f(x)= -1, jika x = 0,= x, jika 0 < x < 1,= 2, jika x = 1,

mempunyai nilai maksimum 2 [= f(1)] dan nilai minimum -1 [= f(0)].Namun demikian, ketakkontinuan tidak menjamin eksistensi nilai ekstrim. Sebagai contoh, fungsig(x) = ., jika x = 0 atau 1,= x, jika 0 < x < 1,tidak mempunyai nilai ekstrim, baik maksimum maupun minimum.

Terjadinya Nilai-Nilai Ekstrim (lokasi titk ekstrim) :

Biasanya fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan akan mempunyai suatu selangIsebagai daerah asalnya. Tetapi selang ini boleh berupa sebarang dan sembilan tipe yang dibahas 1.3. beberapa dari selang ini memuattitk-titik ujung; beberapa tidak. MisalnyaI= [a,b] memuat titik-titik ujung dua-duanya; (a,b) hanya memuat titik ujung kiri; (a,b) tidak memuat titk ujung satupun. Nilai-nilai ekstrim sebuah fungsi yan didefinisikan pada selang tertutup sering kali terjadi pada titik-titik ujung. Jika c sebuah titik pada manaf(c) = 0 disebut c titik stasioner. Pada titik stasioner, grafikfmendatar karena garis singgung mendatar. Nilai-nilai ekstrim terjadi pada titik-titik stasioner. Jika c adalah titik dalam dariIdimanaf tidak ada, disebut c titik singular. Grafikfmempunyai sudut tajam, garis singgung vertikal. Nilai-nilai ekstrim dapat terjadi pada titik-titik singular. Walaupun dalam masalah-masalah praktis sangat langka.

Contoh 2.Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi f(x) = -2x3 + 3x2 + 1 pada [-1,2].

Jawab:Turunan f adalah f (x) = -6x2 + 6x = 6x(1 x).Jadi titik stasionernya adalah 0 dan 1, sedangkan titik singularnya tidak ada. Dengan demikian terdapat 4 titik kritis,yakni -1, 0, 1, dan 2 (dua titik ujung selang dan dua titikstasioner).Sekarang bandingkan nilai f di titik-titik kritis tersebut:f(-1) = 6, f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = -3.Menurut Teorema Lokasi Titik Ekstrim, f mesti mencapai nilaimaksimum 6 (di -1) dan minimum -3 (di 2).2.Kemonotonan dan Kecekungan

Fungsi f dikatakan naik pada I apabila untuk setiap x, y I dengan x < y berlaku f(x) < f(y).Fungsi f dikatakan turun pada I apabila untuk setiap x, y I dengan x < y berlaku f(x) > f(y).Fungsi f dikatakan monoton pada I apabila f naik atau turun pada I.

Catatan. I dapat berupa selang buka atau tutup.

Teorema 3.Misalkan f kontinu dan mempunyai turunan pada I.Jika f (x) > 0 untuk setiap x I,maka f naik pada I. Jika f (x) < 0 untuk setiap x I, maka f turun pada I.Contoh 3.Diketahui f(x) = x3 12x. Kita hitung turunannya:f (x) = 3x2 12 = 3(x 2)(x + 2).Periksa tanda f (x) pada garis bilangan real:

Menurut teorema di atas, f naik pada (-,-2) dan juga pada (2,); dan turun pada (-2,2).

Misalkan f mempunyai turunan pada I = (a,b).Jika f naik pada I,maka grafik fungsi f cekung ke atas pada I;

jika f turun pada I,maka grafik fungsi f cekung ke bawah pada I.

Teorema 4.

Misalkan f mempunyai turunan kedua pada I. Jika f (x) > 0 untuk setiap x I, maka grafik fungsi f cekung ke atas pada I. Jika f (x) < 0 untuk setiap x I, maka grafik fungsi f cekung ke bawah pada I.

Contoh 4.Diketahui f(x) = x3 12x. Maka, f (x) =3x2 12 dan f (x) = 6x. Periksa tanda f (x):

Menurut Teorema di atas, grafik fungsi f cekung ke atas pada (0,) dan cekung ke bawah pada (-,0).

Grafik fungsi f(x) = x3 12x.

Titik (c,f(c)) disebut titik belok (di buku: titik balik) f apabila f cekung ke atas di kiri c dan cekung ke bawah di kanan c,atau sebaliknya.Pada contoh sebelumnya, (0,0) merupakan satu-satunya titik belok f(x) = x3 12x.

Turunan Pertama dan KemonotonanIngat kembali bahwa turunan pertamaf(x) memberi kita kemiringan dari garis singgungfdititik x, kemudian jikaf(x) > 0, garis singgung naik ke kanan, serupa, jikaf(x) < 0, garis singgung jatuh ke kanan.Turunan Kedua dan KecekunganSebuah fungsi mungkin naik dan tetap mempunyai grafik yang sangat bergoyang (Gambar B), maka kita perlu mempelajari bagaimana garis singgung berliku saat kita bergerak sepanjang grafik dari kiri ke kanan. Jika secara tetap berlawanan arah putaran jarum jam, kita katakan bahwa grafik cekung ke atas, jika garis singgung berliku searah jarum jam, grafik cekung ke bawah.

Titik BalikAndaikanfkontinu di c, kita sebut (c,f(c)) suatu titik balik dari grafikfjikafcekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c. grafik dalam Gambar C menunjukkan sejumlah kemungkinan.Gambarsoal :Jika f(x) = x3+ 6x2+ 9x + 3 cari dimana f naik dan dimana turun?Penyelesaian:Mencari turunan ff(x) = 3x2+ 12x + 9= 3 (x2+ 4x + 3)= 3 (x+3)(X+1)Kita perlu menentukan (x+3) (x+1) > 0 dan (x+3) (x+ 1) < 0 terdapat titik pemisah -3 dan -1, membagi sumbuxatas tiga selang ( -, -3), (-3, -1) dan (-1, ). Dengan memakai titik uji -4, -2, 0 didapatf`(x) > 0 pada pertama dan akhir selang danf`(x) < 0 pada selang tengah.Jadi, f naik pada (-, -3] dan [-1, ) dan turun pada [-3, -1]Grafikf(-3) = 3f(-1) = -1f(0) = 3

3.Maksimum dan Minimum Lokal

Definisi :Andaikan S, daerah asalf, memuat titik c. kita katakan bahwa :i. f(c) nilai maksimum lokalfjika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehinggaf(c) adalah nilai maksimumfpada (a,b) Sii. f(c) nilai minimum lokalfjika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehinggaf(c) adalah nilai minimumfpada (a,b) Siii. f(c) nilai ekstrim lokalfjika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokalTeorema titik kritis pada dasarnya berlaku sebagaimana dinyatakan dengan nilai ekstrim diganti oleh nilai ekstrim lokal, bukti pada dasarnya sama. Jika turunan adalah positif pada salah satu pihak dari titik kritis dan negative pada pihak lainnya, maka kita mempunyai ekstrim lokal.

Nilai f(c) disebut nilai maksimum [minimum] lokal f apabila f(c) f(x) [f(c) f(x)] di sekitar c.Nilai maksimum/minimum lokal disebut nilai ekstrim lokal.

Uji Turunan Pertama.Jika f (x) > 0 di sekitar kiri c dan f(x) 0 di sekitar kanan c, maka f(c) merupakan nilai minimum lokal.

Contoh 5.Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal f(x) = x3 12x.Jawab:f (x) = 3x2 12 = 3(x 2)(x + 2) mempunyai tanda:

Menurut Uji Turunan Pertama, f(-2) merupakan nilai maksimum lokal dan f(2) merupakan nilaiminimum lokal, sesuai dengan yang kita lihat pada grafiknya.Uji Turunan Kedua.Misalkan f (c) = 0 dan f mempunyai turunan kedua pada suatu selang yang memuat c. Jika f (c) < 0, maka f (c) merupakan nilai maksimum lokal. Jika f (c) > 0, maka f(c) merupakan nilai minimum lokal.Contoh 6.Untuk f(x) = x3 12x, f (x) = 3x2 12 = 0 di x = -2 dan di x = 2.Dengan Uji Turuan Kedua, kita hitung f (x) = 6x < 0 di x = -2;jadi f(-2) merupakan nilai maksimum lokal. Sementara itu f (x)> 0 di x = 2, dan karenanya f(2) merupakan nilai minimum lokal.

Catatan. Hasil di atas sesuai dengan hasil sebelumnya.

4.Masalah Maksimum dan Minimum

Contoh 7.Tentukan titik pada lingkaran x2 + y2 = 1 yang terdekat ke titik P(1,2).Jawab:Misalkan s menyatakan jarak titik (x,y) pada lingkaran x2 + y2 = 1 ke titik P(1,2), yakni

Karena meminimumkan s sama dengan meminimumkan s2, kita tinjau D = s2,

Turunkan terhadap x, kita peroleh

Perhatikan bahwa dD/dx = 0 apabila

yaitu apabila x = 1/5.

Dengan memeriksa tanda dD/dx di sekitar 1/5,kita simpulkan bahwa D mencapai minimum di x =1/5.Jadi titik terdekat ke P(1,2) adalah (1/5,2/5).5.Menggambar Grafik Fungsi

Kita telah melihat bagaimana informasi tentang kemonotonan dan kecekungan dapat dipakai untuk menggambar grafik fungsi f(x) = x3 12x.Berikut adalah sebuah contoh lainnya.

Gambarlah grafik fungsi f(x) = x.(x 5)2, dengan memperhatikan:* daerah asal dan daerah hasilnya,* titik-titik potong dengan sumbu koordinat,* kemonotonan dan titik-titik ekstrim lokalnya,* kecekungan dan titik-titik beloknya (bila ada).

Daerah asal f adalah [0,) dan daerah hasilnya juga [0,), sehingga grafiknya akan terletak di kuadran pertama. Titik potong dengan sumbu x adalah 0 dan 5, sedangkan titik potong dengan sumbu y adalah 0. Untuk x > 0, turunan pertama f adalah

Jadi, titik-titik stasionernya adalah 1 dan 5,dan tanda f (x) adalah

Jadi f naik pada [0,1), turun pada [1,5], dan naik pada (5,). Menurut Uji Turunan Pertama, f(1) =16 merupakan nilai maksimum lokal dan f(5) = 0 merupakan nilai minimum lokal (sekaligus global).Sekarang kita hitung turunan keduanya:

Menggunakan rumus akar persamaan kuadrat, kita dapatkan f (x) = 0 ketika x = 1 + 26/3 2,6.Di kiri 2,6, f (x) < 0, shg grafiknya cekung ke bawah;sedangkan di kanan 2,6, f (x) > 0, sehingga grafiknyacekung ke atas. (2,6;f(2,6)) merupakan titik belok.

Dengan semua informasi ini, kita dapat menggambar grafik fungsi f(x) = x.(x 5)2 sebagai berikut:

6.Teorema Nilai Rata-Rata

Teorema nilai rata-rata adalah bidang kalkulus tidak begitu penting, tetapi sering kali membantu melahirkan teorema-teorema lain yang cukup berarti. Dalam bahasa geometri, teorema nilai rata-rata mudah dinyatakan dan dipahami. Teorema mengatakan bahwa jika grafik sebuah fungsi kontinu mempunyai garis singgung tak vertikal pada setiap titik antara A dan B, maka terdapat paling sedikit satu titik C pada grafik antara A dan B sehingga garis singgung di titik C sejajat talibusur AB. Dalam Gambar 1, hanya terdapat satu titik C yang demikian, dan dalam Gambar 2 terdapat beberapa.GAMBAR 1 dan 2Teorema A(Teorema Nilai rata-rata untuk Turunan). Jikafkontinu pada selang tertutup [a,b] dan terdeferensial pada titik-titik dalam dari (a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a,b) dimanaf(b) f(a) / b a =f(c)atau secara setara, dimanaf(b) f(a) =f(c) (b-a)Teorema BJika F(x) = G(x) untuk semua x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C sedemikian sehingga F(x) = G(x) + CUntuk semua x dalam (a,b)

Pak Dono mengatakan bahwa ia telah menempuh 112 km dalam 2 jam tanpa pernah melampaui 55 km/jam.Tentu saja ia berbohong. Tetapi bagaimana kita dapatmembuktikannya?

Teorema Nilai Rata-rata. Jika f kontinu pada [a,b]dan mempunyai turunan pada (a,b), maka terdapat suatu c (a,b) sedemikian sehingga

Catatan. [f(b) f(a)]/(b a) adalah nilai rata-rata f .

Contoh Soal :Diketahui f(x) = x2, x [0,1]. Hitung nilai rata-rata f dan tentukan c (0,1) sedemikian sehingga f (c) sama dengan nilai rata-rata f.

Jawab:Nilai rata-rata f pada [0,1] adalah[f(1) f(0)]/(1 0) = 1.Sementara itu f (x) = 2x = 1 jika dan hanya jikax = 1/2Jadi c = . adalah bilangan yang kita cari.