Makalah struktur aljabar grupoida
-
Upload
dianto-irawan -
Category
Documents
-
view
5.950 -
download
21
description
Transcript of Makalah struktur aljabar grupoida
MAKALAH
STRUKTUR
ALJABAR
“GRUPOIDA”
4/20/2012OLEH DIANTO IRAWAN
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR Pengertian Operasi BinerSifat-sifat Operasi BinerTable CayleyPengertian GrupoidaSifat-sifat GrupoidaDAFTAR PUSTAKA
4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
GRUPOIDA
dengan perkataan lain operasi biner * tidak tutup jika
dengan a *b
4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
b) Jikat T = S x S maka operasi biner adalah tertutup, sebab setiap
pasangan berurutan anggota dari S dipasankan dengan anggota dari S
Definisi tersebut akan ditunjukkan dengan contoh berikut :
Contoh I
Misalnya S = himpunan semua bilangan asliOperasi * pada himpunan S didefinisikan sebagai pengurangan padabilangan, artinya a * b = a – b. operasi pengurangan adalah operasibiner yang tidak tertutup.
4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
Contoh 2S = Himpunan semua bilangan asli.Operasi * pada himpunan S didefinisikan sebagai penjumlahan padabilangan, artinya a * b = a + b Operasi penjumlahan adalah operasibiner yang tertutup.
4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
Definis 4.2
SIFAT-SIFAT OPERASI BINER
4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
ContohA = {1, 2, 3… }
a. Operasi pengruangan pada himpunan A :
Tidak tertutup,
Tidak komulatif, 7 – 3 ≠3 – 7
Tidak asosiatif (7-3) – 1 ≠ 7 – 93 – 1) .
b. Operasi penjumlahan pada himpunan A mempunyai sifat :
4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
Tabel Cayley
Tabel cayley merupakan salah satu cara untuk mendefinisikan operasibiner pada himpunan, khusunya himpunan berhingga
Misalnya himpunan S = {a, b, c} dengan operasi * didefinisikandengan tabel 1.
* a b c
a b c b
b a c b
c c b a
Anggota yang dioperasikan dicantumkan padabari pertama (paling atas) dan pada kolompertama (paling kiri).
Hasil kali anggota S dinyatakan dalam bujursangkar yang didalam, mulai baris kedua dankolom kedua.
4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
Cara membaca tabel Cayley sebagai berikut :
Anggota yang akan dioperasikan dari sebelah kiri kita baca padakolom paling kiri
Anggota yang akan dioperasikan dari sebelah kanan kita baca padabaris paling atas. Perhatikan hasil oprasi pada daerah yang diarsir, c*b= b
Pembacaan Tabel 1 selanjutnya sebagai berikut :
a * b = a
a * b = c
a * c = b
b * a = a
b * a = b
b * c = b
c * a = c
c * b = c
c * c = a
4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
Untuk selanjutnya sifat-sifat oeprasi biner melalui Tabel sebagaiberikut :
4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
PENGERTIAN GRUPOIDA
Struktur Aljabar suatu himpunan S yang dilengkapi dengan satuatau lebih operasi biner yang tertutup. Apabila himpunan Sdilengkapi dengan satu operasi biner * maka struktur Aljabartersebut dinyatakan dengan S, *). Apabila himpunan S dilengkapidengan dua operasi biner * dan 0; maka struktur aljabar tersebutdinyatakan dengan (S,*,0) atau (S,0,*). Struktur aljabar yang palingsederhana adalah grupoida
Definisi 4.3
Suatu struktur dan perkalian pada himpunan bilangandinyatakan dengan + dan x A = {1,2,3 … }B = { ….. 2,-1, 0,1 ,2 .. ) Q = { x | x bilangan rasional } R = { x | x bilangan real }
4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
Struktur Aljabar berikut adalah grupoida :
(A, +) dan ( A, x) (B, +) dan (B, x) (Q, +) dan (Q, x) (R, +) dan (R, x)
Contoh 12
M1 adalah himpunan matriks ordo m x nM2 adalah himpunan matriks ordo n x nPerhatikan contoh 3 dan 4(M1, +), (M2, +) dan (M2,x) adalah grupoida
4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
SIFAT-SIFAT GRUPOIDA
4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
Contoh
(A, +) dengan A = {1, 2, 3 …. } adalah grupoidaSifat-sifatnya adalah : Tidak memenuhi delemen identitas penjumlahan sebab ∀a∈A memenuhi0 + a = a + 0 = a dan 0 ∈A memenuhi a + b = b + a Asosiatif, ∀a,b,c ∈A memenuhi (a + b ) + c = a (b + c)
Misalkan (G, *) grupoida dengan operasi biner * dinyatakan dengansuatu tabel Cayley.
1. Jika pada tabel Cayley terdapat suatu baris yang urutan
anggotanya sama dengan garis paling atas maka anggota pada
kolom paling kiri merupakan suatu elemen identitas kiri
4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
Contoh(A, +) dengan A = {1, 2, 3 …. } adalah grupoidaSifat-sifatnya adalah :Tidak memnuhi delemen identitas penjumlahan sebab ∀a∈Amemenuhi 0 + a = a + 0 = a dan 0 ∈A memenuhi a + b = b + aAsosiatif, ∀a,b,c ∈A memenuhi (a + b ) + c = a (b + c)
Misalkan (G, *) grupoida dengan operasi biner * dinyatakan dengansuatu tabel Cayley.
1. Jika pada tabel Cayley terdapat satu baris yang urutannya sama dengan
urutan baris paling atas dan satu kolom yang urutan anggotanya sama
dengan kolom paling kiri keduanya menuju elelem yang sama yaitu
elemen identitas.
2. Jika letak anggota pada bujursangkar simetris terdapat garis diagonal
utama maka grupoida adalah komulatif
4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
3. Jika pada tabel Cayley terdapat satu baris yang urutannyasama dengan urutan baris paling atas dan satu kolom yangurutan anggotanya sama dengan kolom paling kirikeduanya menuju elelem yang sama yaitu elemen identitas.
4. Jika letak anggota pada bujursangkar simetris terdapat garisdiagonal utama maka grupoida adalah komulatif
CONTOHS = {a,b,c} dengan operasi biner * dinyatakan dengan tabel
* a b c
a a b c
b a b c
c c b a
a * a = a a * b = a a * c = cA elemen identitas kiri dari S
b * a = ab * b = b b * c = c b elemen identitas kiri S 4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
Jadi (S,*) grupoida tidak komulatif dan mempunyai elemen identitaskiri a dan b
S = {a, b, c } dengan operasi biner * dinyatakan dengan tabel
* a b c
a a a a
b b b b
c c c c
a * a = ab * a = b c * a = c a elemen identitas kanan dari S Demikian pula untuk b dan c
Jadi (S,*) grupoida tidak komulatif dan mempunyai elemenidentitas kanan a,b, dan cContoh
S = { a, b , c d} dengan operasi biner * dinyatakan dengan Tabel 4
4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
* a b c d
a b a d c
b a b c a
c d c b c
d c d a b
b * a = ab * b = b b * c = c b * d = d b elemen identitas kiri dari S
a * b = a b * b = b c * b = c d * b = d B elemen identitas kanan dari S
Karena b adalah elemen identitas kiri dan elemen identitas kanan,maka b merupakan elemen identitas dari S.
Jadi (S,*) grupoida komulatif dengan elemen identitas b.
4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
Sifat-sifat yang lain dari grupoida adalah sebagai berikut :
4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
Contoh
A = { 1, 2, 3, … }
B = { …., -2, -1, 0, 1, 2, …} dan B* = B – {0}
Q = {x | x bilangan rasional} dan Q* = Q – {0}
R = {x | x bilangan real} dan R* = R – {0}
4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
Apabila operasi biner * pada grupoida G dinyatakan dengan tabelCayley maka
a. (G, *) memenuhi hukum pelenyatapan kiri jika dan hanya jika setiap bari
dalam tebel terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan
b. (G, *) memenuhi hukum pelenyapan kanan jika dan jika hanya jika setiap
kolom dalam tabel terdiri dari anggota G yang memenuhi berlainan
c. (G,*) memenuhi hukum persamaan kiri jiak dan jika setiap kolom dalam
tabel terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan
d. (G,*) memenuhi hukum persamaan kanan jika dan hanya jika setiap baris
dalam tabel terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan
4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
Jadi dapat disimpulkan
1. Jika baris dalam tabel Cayley terdiri dari anggota G yang semunya berlainan maka
(G,*) memenuhi hukum pelenyapan kiri dan hukum persamaan kanan
2. Jika setiap kolom dalam tabel Cayley terdiri dari anggota G yang semuanya
berlainan maka (G,*) memenuhi hukum pelenyapan kanan dan hukum persamaan
kiri
Contoh{G,*) grupoida dengan G ={ p,q,r) dan * dinyatakan dalam tabel
* p q r
p p q r
q p q r
r p q r
a. Setiap baris dalam tabel terdiri dari anggota G yang
semuanya berlainan. Jadi (G,*) memenuhi hukum
pelenyapan kiri dan memnuhi persamaan kanan
b. Setiap kolom dalam tabel terdiri dari anggota G yang
semuanya sama. Jadi (G,*) tidak memenuhi hukum
pelenyapan kanan dan tidak memenuhi hukum
persamaan kiri.4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
DAFTAR PUSTAKA
Materi Pokok Struktur Aljabar, 1-12 ; PGTM 3929/ 4 SKS oleh Suherti Soebagio-A, Sukirman,- Jakarta : Universitas Terbuka.
4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN