MATA KULIAH : MATEMATIKA

POKOK BAHASAN : 1. PENDAHULUAN : PERTIDAKSAMAAN, NILAI

MUTLAK, SISTEM KOORDINAT

2. FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI

3. LIMIT DAN KONTINUITAS

4. DERIVATIF

5. APLIKASI DERIVATIF

6. DERET TAYLOR DAN DERET MAC LAURIN

7. INTEGRAL TAK TENTU

8. INTEGRAL TERTENTU

9. APLIKASI INTEGRAL TERTENTU

10. SISTEM PERSAMAAN LINEAR

BUKU PEGANGAN : 1. Salers, S.L., and Hille, E., 1995 : Calculus One and

Several Variables, J. Wiley.

2. Purcell, E., 1985 : Kalkulus dan Geometri Analitis,

Erlangga.

KOMPONEN PENILAIAN 1. UTS : 30 %

2. UAS : 35 %

3. KUIS : 10 %

4. TUGAS/ PR : 15 %

5. KEAKTIFAN : 10 %

SANGSI-SANGSI :

1. Tidak mengikuti UTS & UAS : NILAI NOL.

2. Menyontek dan bekerja sama pada saat Ujian & Kuis :

NILAI NOL.

3. Keterlambatan maksimal 15 menit.

1

BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI

2.1. Fungsi

Apabila himpunan A dan B tak kosong, maka relasi dari A ke B didefinisikan sebagai himpunan

tak kosong AXBR ⊂ dengan { }BbAabaAxB ∈∈= &:),( .

Jika R adalah relasi dari A ke B dan Aa∈ berelasi dengan Bb∈ , maka dinotasikan Rba ∈),(

atau aRb atau )(aRb = .

Definisi (fungsi)

Diketahui R relasi dari A ke B. Jika setiap Aa∈ berelasi dengan tepat satu Bb∈ , maka R disebut

fungsi dari A ke B.

BAf →:

dengan

A disebut daerah asal/ domain

B disebut daerah kawan/ kodomain

Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A disebut range/ daerah hasil/ image.

2.1.1. Fungsi Surjektif, fungsi Injektif, dan fungsi Bijektif

Diberikan fungsi BAf →:

(i) Jika setiap anggota himpunan B mempunyai kawan anggota himpunan A, maka f disebut

fungsi Surjektif/ fungsi Pada (Onto function).

(ii) Jika setiap anggota himpunan B yang mempunyai kawan di A, kawannya tunggal, maka f

disebut fungsi Injektif/ fungsi 1-1 (Into function).

(iii) Jika setiap anggota himpunan B mempunyai tepat satu kawan di A, maka f disebut fungsi

Bijektif/ fungsi Korespondensi 1-1 (Bijektif function).

a • b • c •

•1 •2 •3

•4

2

2.1.2. Operasi pada fungsi

Diberikan skalar real α dsn fungsi-fungsi f dan g

.0)(,)(/)())(/()().())(.(

)())(()()())(()()())((

≠===

−=−+=+

xgxgxfxgfxgxfxgf

xfxfxgxfxgfxgxfxgf

αα

dengan domain :

Contoh :

Diberikan fungsi-fungsi f dan g sebagai berikut :

xxf −= 2)( dan )1ln()( −= xxg ,

Tentukan gf + dan fg / , beserta domainnya.

Penyelesaian :

2022)( ≤⇔≥−⇔−= xxxxf , didapat : { }2: ≤∈= xRxfD

101)1ln()( >⇔>−⇔−= xxxxg , didapat : { }1: >∈= xRxgD

a. )1ln(2)()())(( −+−=+=+ xxxgxfxgf

dengan domain :

{ } ]2,1(21: =≤<∈=∩=+ xRxgDfDgfD

b. xxxfxgxfg −−== 2/)1ln()(/)())(/(

dengan domain :

{ } )2,1(21:0)(:/ =<<∈=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≠∩= xRxxfg

Df

DfgD

2.1.3. Fungsi Invers

Diberikan fungsi BAf →: . Kebalikan (invers) dari fungsi f adalah relasi g dari B ke A.

Jika BAf →: merupakan korespondensi 1-1, maka invers f merupakan fungsi, dinotasikan 1−f .

)()(1 xfyyfx =⇔−= . fDf

RfRf

D =−=− 1dan1 .

{ }0)(:/

.≠∩∈=

∩==−=+

=

xggDfDxgfD

gDfDgfDgfDgfDfDfDα

3

Contoh :

Tentukan 1−f dari fungsi-fungsi berikut :

1. 23

11)(+−

−=xxxf

2.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>+−

=−<−

=

0,1

10,10,

)(

xx

xxx

xg

Penyelesaian :

1. 23

1123

11)(+−

−=⇔+−

−=xxy

xxxf y

xx

−=+−

⇔ 123

1

)(1

32

3232)32(

323212323

1)23)(1(

yfy

yx

yyxyxyx

xyxyxxxy

−=

−

−=⇔

−=−⇔−=−⇔

−=−−+⇔−=+−⇔

Jadi, x

xxf32

32)(1−−

=− .

2.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>+−

=−<−

=

0,1

10,10,

)(

xx

xxx

xg

Untuk 0<x , 0)( >−== xxgy sehingga :

0,)(1 >−=−= yygyx .

Untuk 0=x , 1)0( −=g sehingga :

)1(10 −−= g .

Untuk 0>x , 110

1

1

1)( −=

+

−>

+

−==

xxgy

dan 0<y sehingga :

4

.01,)(11

11

1

<<−−=−−

=⇔

−=+⇔

+

−=

yygy

yx

yxyx

y

Jadi,

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<<−−−

−=>−

=−

01,11,0

0,)(1

xx

xx

xxxg

2.1.4. Fungsi Komposisi

Definisi

Fungsi komposisi dari f dan g, dinotasikan gf o , didefinisikan sebagai :

))(())(( xgfxgf =o

dengan domain :

{ }fDxggDxgfD ∈∈= )(:o .

Contoh :

1. Tentukan gf o , fg o , dan domainnya dari fungsi-fungsi berikut :

21)( xxf −= dan 22)( xxg = .

2. Tentukan gf o jika diketahui :

⎩⎨⎧

<≥+

=0,/10,1

)(xxxx

xf

dan

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤−

>

−=

1,12

1,1

)(

xx

xx

x

xg

Penyelesaian :

1. 0)1)(1(02121)( ≥+−⇔≥−⇔−= xxxxxf

1atau 1 −== xx

-- ++ --

-1 1

5

Jadi, { }11: ≤≤−∈= xRxfD

RgDxxg =⇒= 22)(

4

412

)2

2(1))(())(( xxxgfxgf −=−==o

dengan domain :

{ }{ }{ }{ }[ ]2/1,2/1

2/12/1:

2/120:

1220:

)(:

−=

≤≤−∈=

≤≤∈=

≤≤∈=

∈∈=

xRx

xRx

xRx

fDxggDxgfD o

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−==

212

22

12))(())(( xxxfgxfg o

dengan domain :

{ }{ }

]1,1[11:

)(:

−=≤≤−∈=

∈∈=

xRx

gDxffDxfgD o

2. ⎩⎨⎧

<≥+

=0,/10,1

)(xxxx

xf , ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤−

>

−=

1,12

1,1

)(

xx

xx

x

xg

))(())(( xgfxgf =o

Untuk 1>x ,

011

111

1)1(1

)( >>−

+=−+−

=−

=xx

xx

xxg , sehingga :

1,1

1)(1))(())(( >

−

+=+== xx

xxgxgfxgf o .

Untuk 1≤x , 111.212)( =−≤−= xxg .

Karena 1)( ≤xg , maka dapat dibagi menjadi dua subinterval yaitu 1)(0 ≤≤ xg dan 0)( <xg

(i) 11201)(0 ≤−≤⇔≤≤ xxg

12/1

221≤≤⇔

≤≤⇔x

x

6

sehingga :

.12/1

,2)12(1)(1))(())((≤≤

=−+=+==x

xxxgxgfxgf o

(ii) 2/10120)( <⇔<−⇔< xxxg

sehingga :

.2/1,)12/(1)(/1))(())(( <−=== xxxgxgfxgf o Jadi,

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<−≤≤

>−+=

2/1,)12/(112/1,2

1,)1/(1))((

xxxx

xxxxgf o

2.2. Grafik Fungsi

Diberikan fungsi f.

Himpunan { }fDxxfyyx ∈= ),(:),( disebut grafik fungsi f.

2.2.1. Grafik fungsi dalam S.K. Cartesius

a. Fungsi Aljabar

Fungsi f disebut fungsi aljabar jika f dapat dinyatakan sebagai jumlahan, selisih, pangkat, hasil kali,

hasil bagi, atau akar fungsi suku banyak (polinomial).

Fungsi aljabar meliputi :

1. Fungsi rasional yang dapat berupa fungsi bulat (polinomial) dan fungsi pecah.

2. Fungsi irasional

Keterangan

1. Fungsi Rasional

Fungsi suku banyak (polinomial)

Polinom berderajat n : nxnaxaaxnPxf +++== L10)()( ,

dengan n bilangan bulat tak negatif,

naaa ,,1,0 L merupakan bilangan real, 0≠na .

(i) Fungsi konstan

Polinom dengan 0=n

cxf =)( , grafiknya berupa garis lurus sejajar sumbu-x.

Contoh : 2)( =xf

7

(ii) Fungsi Linear

Polinom dengan 1=n

baxxf +=)( , grafiknya berupa garis lurus dengan gradien a dan melalui ),0( n .

Contoh : 1)( += xxf

(iii) Fungsi Kuadrat

Polinom dengan 2=n

cbxaxxf ++= 2)( , grafiknya berupa parabola. Deskriminan acbd 42 −= .

Contoh : 2)( xxf =

(iii) Fungsi Kubik

Polinom dengan 3=n

dcxbxaxxf +++= 23)( .

Contoh :

3)( xxf = ,

3)1()( += xxf

Fungsi pecah

Fungsi pecah adalah fungsi yang dapat dinyatakan sebagai hasilbagi dua fungsi suku banyak/

polinom.

mx

mbxbb

nx

naxaa

xf+++

+++=

L

L

10

10)(

Contoh :

xxf

1)( = ,

1)(

−

=

x

xxf

2. Fungsi Irasional

Contoh : 22

)( xaxf −=

8

b. Fungsi Transenden

meliputi : Fungsi Trigonometri, Fungsi Siklometri, Fungsi Eksponen, dan Fungsi Logaritma.

(i) Fungsi Trigonometri

y

P(x,y)

r

|y|

θ

0 |x| x

Didefinisikan :

yxCotxyTanxrSecrxCos

yrCorySin

////

/sec/

=⇒==⇒==⇒=

θθθθθθ

Dari definisi di atas, dapat ditunjukkan bahwa :

θθ

θθ

θθθ

θθθ

SinCo

CosSec

SinCosCot

CosSinTan

1sec

1

=

=

=

=

θθ

θθ

θθ

2sec21

221

122

CoCot

SecTan

CosSin

=+

=+

=+

9

(ii) Fungsi Siklometri

Fungsi Siklometri adalah invers fungsi trigonometri.

Untuk domain tertentu invers fungsi trigonometri merupakan fungsi.

Didefinisikan :

),0(,cot1)2/,2/(,sec1

),0(,arccos1sec

)2/,2/(,arctan1],0[,arccos1

]2/,2/[,arcsin1

π

ππ

π

ππ

π

ππ

∈=⇔=−=

−∈=⇔=−=

∈=⇔=−=

−∈=⇔=−=

∈=⇔=−=

−∈=⇔=−=

yyCotxxarcxCoty

yySecxxarcxSecy

yySecxecxxCoy

yyTanxxxTany

yyCosxxxCosy

yySinxxxSiny

(iii) Fungsi Eksponensial

1,0,)( ≠>= aaxaxf

(iv) Fungsi Logaritma

{ }.0:1,0,log

>∈=≠>=⇔=

xRxfDaayaxxay

KUIS 1 :

1. Tentukan gf o jika diberikan fungsi-fungsi sebagai berikut :

⎪⎩

⎪⎨⎧

<≥

=0,0,)(

xxxxxf

dan

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−≤<<−+−

≥+=

1,341,122

4,2)2()(

xxxxx

xxxg

dan gambarkan grafik fungsi f, g dan gf o .

2. Tentukan invers dari fungsi f berikut :

10

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>

−

+

=

<

−=

1,1

13

1,2

1,1

2

)(

xx

x

xx

x

xf

Dan gambarkan grafik fungsi f dan 1−f .

3. Gambar grafik dari ||26)( xxxxf −= .

*****Selamat mengerjakan*****

BAB III LIMIT DAN KONTINUITAS

Diberikan fungsi 1)( += xxf

Grafik fungsi dari

1)( += xxf

Tabel nilai dari fungsi f

3

2

1

-1 0 1 2

Jadi, 211

lim)(1

lim =+→

=→

xx

xfx

Artinya :

ketika x semakin dekat ke bilangan 1 dengan 1≠x , maka nilai 1)( += xxf semakin dekat ke 2.

X f(x)=x+1

3 4

2 3

1,6 2,6

1,2 2,2

1,15 2,15

1,009 2,009

0,99 1,99

0,55 1,5

0 1

11

Secara umum,

⇔=→

Lxfax )(lim ” ketika x semakin dekat ke bilangan a dengan ax ≠ , maka nilai f(x) semakin dekat ke

bilangan L.

Definisi

⇔=→

Lxfax )(lim untuk setiap bilangan 0>ε , terdapat bilangan 0>δ sehingga apabila δ<−< ax0

maka berlaku ε<− Lxf )( .

Contoh

Tunjukkan bahwa : 7132

lim =+→

xx

Bukti

3223637)13(

εε <−⇒<−=−=−+ xxxx

Diambil sebarang bilangan 0>ε , terdapat bilangan 3

εδ = , sehingga apabila δ<−< 20 x , maka berlaku

εε

δ ==<−=−=−+

33323637)13( xxx

Jadi terbukti bahwa : ε<− 63x

Dengan kata lain, 7132

lim =+→

xx

■

Sifat

Jika )(lim xfax→ ada, maka limitnya tunggal.

Artinya :

Jika Lxfax =→

)(lim dan Kxfax =→

)(lim maka L = K

12

Contoh

Tunjukkan bahwa x

x

x

||

0lim→

tidak ada

Penyelesaian

untuk x > 0 diperoleh :

110

lim0

lim||

0lim =

→=

→=

→ xx

x

xx

x

x

Tetapi untuk x < 0 diperoleh : 110

lim0

lim||

0lim −=−

→=

−

→=

→ xx

x

xx

x

x

Karena limitnya tidak tunggal, maka x

x

x

||

0lim→

tidak ada ■

Sifat

Diberikan konstanta k bilangan real, Lxfax =→

)(lim , dan Kxgax

=→

)(lim , maka berlaku :

1. kkax =→lim

2. { } KLxgaxxfaxxgxfax ±=→

±→

=±→

)(lim)(lim)()(lim

3. kxkfax =→

)(lim kLxfax =→

)(lim

4. LKxgaxxfaxxgxfax =→→

=→

)(lim)(lim)()(lim

5. 0,)(lim

)(lim

)(

)(lim ≠=

→

→=→

KK

L

xg

ax

xf

ax

xg

xfax

6. untuk n bilangan asli, berlaku :

i. ( ) nL

n

xf

ax

nxfax =⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

→

=→

)(lim)(lim

ii. ( ) nL

n

xf

ax

nxfax−=

−

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

→

=−→

)(lim)(lim

13

iii. ( ) nL

n

xf

ax

nxfax/1

/1

)(lim/1)(lim =⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

→

=→

untuk n genap dan L > 0.

Contoh

1. 2/1)41(1

lim411

lim xx

xx

+→

=+→

52/1

)41(1

lim =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +→

= xx

2. 12

2

)13(1

lim

)12(1

lim

1312

1lim ==

+→

+→=

+

+→ x

x

xx

x

xx

Latihan

1. 822

42

2lim

−+

−→ xx

xx

2. 1

32

21

lim−

+−→ x

xx

3. xx

x

3 110

lim +−→

Penyelesaian

1. )4)(2()2)(2(

2lim

82242

2lim

+−+−

→=

−+

−→ xx

xxxxx

xx

)4()2(

2lim

++

→=

xx

x

3

2

6

4

)4(2

lim

)2(2

lim==

+→

+→=

xx

xx

2.

32

2

32

2.

13

22

1lim

13

22

1lim

++

++

−+−

→=

−+−

→x

x

xx

xxx

x

14

2

1

4

2

3221

lim

)1(1

lim322

)1(1

lim

32

2)1(

)1)(1(1

lim

32

2)1(

211

lim

32

2)1(

)32(41

lim

−=−

=++

→

+−→=

++

+−→

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++−

+−→

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++−

−→

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++−

+−→

=

xx

xx

x

xx

xx

xxx

xx

xx

xx

xx

3. xx

x

3 110

lim +−→

Substitusi : 13133 1 −=⇒+=⇒+= yxxyxy

10 →⇒→ yx

131

1lim

3 110

lim−

−→

=+−

→ y

yyx

xx

Ingat : )22)((33 babababa ++−=−

Sehingga diperoleh :

3

1

)12(1

lim

1

)12(

11

lim

)12)(1(

11

lim

131

1lim

3 110

lim

−=++

→

−=

++

−→

=

++−

−→

=

−

−→

=+−

→

yyy

yyy

yyy

yy

y

yyx

xx

15

Teorema Apit

Diberikan fungsi-fungsi f, g, dan h sehingga :

)()()( xhxgxf ≤≤ untuk semua x di dalam interval terbuka yang memuat a.

Jika Lxhaxxfax =→

=→

)(lim)(lim , maka Lxgax =→

)(lim

Contoh

Tentukan xxx

1sin20

lim→

Penyelesaian

Dengan menggunakan teorema apit diperoleh :

Untuk 21sin2211sin1,0 xx

xxx

x ≤≤−⇒≤≤−≠

Perhatikan bahwa :

020

lim =−→

xx

dan 020

lim =→

xx

Sehingga diperoleh : xxx

1sin20

lim→

=0

LIMIT SATU SISI

3L )(xfy =

2L

1L

1x 2x

3)(2

lim Lxfxx =→

tetapi )(1

lim xfxx→ tidak ada.

Perhatikan bahwa :

2)(

1

lim Lxfxx

=+→

dibaca : limit fungsi f ketika x mendekati x1 dari kanan

dan

16

1)(

1

lim Lxfxx

=−→

dibaca : limit fungsi f ketika x mendekati x1 dari kiri

Definisi

1. 0,0)(lim >∃>∀⇔=−→δεLxf

ax sehingga fDx∈∀ dengan ),( aax δ−∈ berlaku :

ε<− Lxf )( .

2. 0,0)(lim >∃>∀⇔=+→

δεLxfax

sehingga fDx∈∀ dengan ),( δ+∈ aax berlaku :

ε<− Lxf )( .

Contoh :

1. Diberikan fungsi 22

)(−

−=

xx

xf .

Tentukan nilai limit fungsi f untuk 2→x dan 3→x

Jawab

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

<−

−

−−

≥−

−

−

=−

−=

02,2

)2(

02,2

2

22

)(

xx

x

xx

x

xx

xf

⎩⎨⎧

<−≥

=2,12,1

)(xx

xf

1

2

-1

17

a. 11

2

lim)(

2

lim =+

→

=+

→ x

xf

x

tetapi 11

2

lim)(

2

lim −=−+

→

=−

→ x

xf

x

b. 11

2

lim)(

3

lim =+

→

=+

→ x

xf

x

dan 11

2

lim)(

3

lim =+

→

=−

→ x

xf

x

2. Diberikan fungsi ⎪⎩

⎪⎨⎧

<+

≥−=

3,32

3,1)(

xx

xxxf

Tentukan nilai limit fungsi f untuk 3→x

Jawab

21

3

lim)(

3

lim =−+

→

=+

→

x

x

xf

x

tetapi 1232

3

lim)(

3

lim =+−

→

=−

→

x

x

xf

x

3. 00

lim =+→x

x dan x

x −→0lim tidak ada

Dari Ketunggalan Limit diperoleh teorema berikut :

Teorema

Lxfax

xfax

Lxfax =−→=+→

⇔=→

)(lim)(lim)(lim

Akibat

Jika )(lim)(lim xfax

xfax −→

≠+→ maka )(lim xfax→ tidak ada.

Dari ketiga contoh di atas dapat diambil kesimpulan :

1. )(

2

lim xf

x →

tidak ada sebab )(

2

lim)(

2

lim xf

x

xf

x−

→

≠+

→

1)(

3

lim =

→

xf

x

sebab 1)(

3

lim)(

3

lim =−

→

=+

→

xf

x

xf

x

18

2. )(

3

lim xf

x →

tidak ada sebab )(

3

lim)(

3

lim xf

x

xf

x−

→

≠+

→

3. xx 0lim→

tidak ada

LIMIT TAK HINGGA

DAN LIMIT MENUJU TAK HINGGA

Perhatikan fungsi x

xf 1)( =

xy /1= 1

-1 0 1

-1

Perhatikan bahwa :

+∞=+

→

=+

→ xx

xf

x

1

0

lim)(

0

lim , −∞=−

→

=−

→ xx

xf

x

1

0

lim)(

0

lim . Jadi,xx

1

0

lim

→

tidak ada.

dan

01

lim)(lim =

∞→

=

∞→ xx

xf

x

, 01

lim)(lim =

−∞→

=

−∞→ xx

xf

x

Definisi (Limit Tak Hingga)

1. ∞=→

)(lim xfax jika 0,0 >∃>∀ δM sehingga fDx∈∀ dengan δ<−< ||0 ax berlaku :

Mxf >)(

2. −∞=→

)(lim xfax

jika 0,0 >∃>∀ δM sehingga fDx∈∀ dengan δ<−< ||0 ax berlaku :

Mxf −<)(

Contoh

1. ∞=+−→ |1|1

1lim

xx

19

2. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−→=

−→ 11

21

0lim

231

0lim

xxxxxx

−∞=→

−=

→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−→=

21

0lim

21

0lim

11

0lim

xx

xxxx

Definisi (Limit Menuju Tak Hingga)

1. Lxfx

=∞→

)(lim jika 0,0 >∃>∀ Mε sehingga Mx >∀ berlaku : ε<− Lxf )( .

2. Lxfx

=−∞→

)(lim jika 0,0 >∃>∀ Mε sehingga Mx −<∀ berlaku : ε<− Lxf )( .

Sifat

0lim =±∞→ nx

cx

Contoh

1.

2121

.223

122lim223

122lim

x

xx

xxx

xx −

+

∞→=

−

+

∞→

32

0302

223

212

lim =−+

=−

+

∞→=

x

xx

20

2. ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−∞→

xxxx

22lim

( )( )

111

2211

2lim

1

1.

222lim

222lim

22

222

lim

22

22.22lim

=+

=−+∞→

=

−+∞→=

−+∞→=

−+

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−

∞→=

−+

−+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−∞→

=

xx

x

x

xxx

xx

xxx

xx

xxx

xxx

x

xxx

xxxxxx

x

Latihan

1. 7422

322lim

++

−−

∞→ xx

xxx

2. 17325657326

lim+++

−+−

−∞→ xxx

xxxx

3. 2735

273lim

+++

−+

−∞→ xxx

xxx

Penyelesaian

1.

2121

.7422

322lim

7422

322lim

x

xxx

xxxxx

xxx ++

−−

∞→=

++

−−

∞→

21

002001

2742

2321

lim =++−−

=++

−−

∞→=

xx

xx

x

21

2. 17325657326

lim+++

−+−

−∞→ xxx

xxxx

−∞=+++−+−∞

=+++

−+−

−∞→=

+++

−+−

−∞→=

0001000

51

47

221

565

47

22

lim

5151

.17325657326

lim

xxx

xxxx

x

x

xxxx

xxxx

3.

5151

.2735

273lim

2735273

lim

x

xxxx

xxxxxx

xxx +++

−+

−∞→=

+++

−+

−∞→

00001

000

52

47

211

52

47

21

lim

=+++

−+=

+++

−+

−∞→=

xxx

xxxx

LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

Teorema

1. 1sin0

limsin0

lim =→

=→ x

xxx

xx

2. 1tan0

limtan0

lim =→

=→ x

xxx

xx

Contoh

1.

x

xxxxx

xxxxx

x 1

1.

3tan42sin3

0lim

3tan42sin3

0lim

++

→=

++

→

135

3.4123

3tan41

2sin3

0lim =

++

=+

+

→=

xx

xx

x

22

2. xx

xxx

xxxx

x cos1cos1.

tancos1

0lim

tancos1

0lim

++−

→=

−

→

21

21.1.1.1

cos11.

tan.sin.sin

0lim

.)cos1)(tan(

2sin0

lim

)cos1)(tan(

2sin0

lim

)cos1)(tan(

2cos10

lim

==+→

=

+→=

+→=

+−

→=

xxx

xx

xx

x

xx

xxxx

x

xxxx

x

xxxx

x

3. xx

xx

xxx

x.

3tan5sin

0lim

3tan5sin

0lim

→=

→

35

31.5

3tan.5sin

0lim ==→

=x

xx

xx

Bilangan Alam (e)

Ingat : Rumus Binomial Newton

Untuk setiap ℜ∈ba, dan Ν∈n berlaku :

nbbnannbnnana

nbann

bnan

bnan

bnan

kbknan

k knnba

++−−+−+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−∑=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

L

L

22!2

)1(1

0222

111

00

0)(

Untuk 1=a dan n

b 1= , diperoleh :

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+=

−∑=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

nn

nnnnnn

k

nknn

k knn

n

112111!

12111!3

111!2

12

110

11

LL

en

n

nn==++++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞→......718,2

!1

!31

!21211lim L

23

Untuk Ν∈nm, dengan nm ≥ berlaku :

m

mn

n ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +≤⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ + 1111

Untuk ℜ∈x , Ν∈nm, dan mxn ≤≤ berlaku :

m

mx

xn

n ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +≤⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +≤⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ + 111111

Dengan teorema Apit diperoleh :

ex

xx=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

∞→11lim

Dengan cara yang sama,

( )

aex

xa

x

exxx

ex

xx

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

∞→

=+→

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

−∞→

1lim

11

0lim

11lim

Contoh

1. 35

1211lim

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

++

∞→

xxx

, substitusi : 12

1+

=x

y

0→⇒∞→ yx

21

212

1

1212

1

−=⇒

−=⇒

=+⇒+

=

yx

yyx

yxyx

y

Sehingga diperoleh :

3512

11lim+

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

++

∞→

xxx

= ( ) 321

2151

0lim +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

→yy

y

24

( )

( ) ( )

( )

( ) 252

51

10

lim

25

11

0lim

21

10

lim25

10

lim

21

25

10

lim

eyyy

yyy

yy

yyy

yyy

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+→

=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+→

=

+→

+→

=

++→

=

2. 43

12212lim

431212lim

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

−+−

∞→=

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

−+

∞→

xx

xx

xxx

x

4312

21lim+

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

−+

∞→=

xxx

substitusi : 12

2−

=x

y

0→⇒∞→ yx

211

22

2212

2

+=⇒

+=⇒

=−⇒−

=

yx

yyx

yxyx

y

25

Sehingga diperoleh :

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) 331

1lim

311lim

211

1lim3

1lim

2113

1lim

421131lim

4312

21lim

eyyx

yyx

yx

yyx

yyx

yyx

xxx

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+∞→

=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+∞→

=

+∞→

+∞→

=

++∞→

=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

∞→=

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

−+

∞→

Teorema

Jika 0)(lim =→

xfcx

dan ±∞=→

)(lim xgcx

, maka

( ))().(lim

)()(1limxgxf

cxexgxfcx

→=+→

Contoh

Tentukan 232

1lim +−→

xxx

xx

Penyelesaian

( ) 232)1(1

1lim232

1lim

+−−+

→=+−

→

xxx

xx

xxx

xx

Diambil : 1)( −= xxf dan 232

)(+−

=xx

xxg

Sehingga : 011

lim =−→

xx

dan ∞=+−→ 2321

limxx

xx

26

Jadi,

( )

1)1)(2()1(

1lim

232)1(

1lim

232)1(1

1lim232

1lim

−=−−

−

→=

+−−

→=

+−−+

→=+−

→

exxxx

xe

xxxx

xe

xxx

xx

xxx

xx

KONTINUITAS

Definisi

Fungsi f dikatakan kontinu di titik ax = jika :

)()(lim afxfax

=→

Dengan kata lain, fungsi f kontinu di titik ax = jika memenuhi syarat-syarat berikut :

1. f(a) ada

2. )(lim xfax →

ada

3. )()(lim afxfax

=→

Selanjutnya, titik ax = disebut titik kontinuitas

Jika salah satu syarat tidak dipenuhi, maka f dikatakan diskontinu di ax = .

Secara grafik, fungsi f kontinu di titik ax = jika grafik fungsi f pada suatu interval yang memuat a tidak

terpotong di titik ( ))(, afa

)(xfy = a 1x 2x 3x 4x b

27

Fungsi f kontinu di 1x dan di setiap titik di dalam (a,b) kecuali di titik-titik 2x , 3x , 4x .

1. )(2

lim xfxx →

tidak ada

2. )3()(3

lim fxfxx

≠→

3. Nilai fungsi )4(xf tidak ada

Contoh

1. x

xxf 12)( −= diskontinu di x = 0 sebab )0(f tidak terdefinisi

2. Fungsi ⎩⎨⎧

≥<

=0,10,0

)(xx

xH

diskontinu di x = 0 sebab )(0

lim xHx →

tidak ada

3.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥+

<<−+−≤+

=

1,2211,12

1,1)(

xx

xxxx

xf

a. diskontinu di x = -1 sebab )(1

lim xfx −→

tidak ada

b. kontinu di x = 1

Teorema

Jika fungsi f dan g kontinu di a, k sebarang konstanta real,

maka :

i. fgkfgf ,,± kontinu di a

ii. f/g kontinu di a dengan syarat 0)( ≠ag .

Teorema

Fungsi polynomial, fungsi pecah rasional, fungsi akar, fungsi logaritma, fungsi eksponen, dan fungsi

trigonometri kontinu pada domain masing-masing.

Contoh

1. 22)( ++= xxxf kontinu pada R

28

2. 1)( −= xxf kontinu pada ),1[ ∞

3. 1243

)(−

+=

x

xxf kontinu pada { }1&1 ≠−≠ℜ∈ xxx

BAB IV DERIVATIF/ TURUNAN

Definisi

Diberikan fungsi f dengan domain Df dan Dfa∈ .

Derivatif fungsi f di a, ditulis )(af ′ , didefinisikan sbb :

hafhaf

haf )()(

0lim)( −+

→=′ , asalkan limitnya ada.

Contoh

Diberikan fungsi xxf =)( , tentukan )0(f ′

Penyelesaian

hh

h

hh

h

hfhf

h

hfhf

hf

0lim

0

0lim

)0()(

0lim

)0()0(

0lim)0(

→=

−

→=

−

→=

−+

→=′

Karena ⎩⎨⎧

<−≥

=⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<−

≥=

0,10,1

0,

0,

hh

hh

hhh

hhh

hh

Sehingga,

11

0

lim

0

lim =+

→

=+

→ hhh

h

Tetapi,

1)1(

0

lim

0

lim −=−−

→

=−

→ hhh

h

Karena limit kanan ≠ limit kiri, maka )0(f ′ tidak ada.

29

Latihan

Diberikan fungsi 32)( −= xxf , tentukan )2(f ′

Fungsi Turunan

Dari definisi turunan, untuk Dfa∈ ,

hafhaf

haf )()(

0lim)( −+

→=′ ….. (1)

Jika limit (1) ada, maka untuk { }ada)(afDfaD ′∈= dapat dibentuk fungsi f ′ pada D, yang disebut

fungsi turunan, yaitu : h

xfhxfh

xf )()(0

lim)( −+

→=′ ….. (2)

Contoh

{ } .....)(,0,)( =′≥∈== xfxRxDfxxf

Penyelesaian

0,2

1

10

lim

)()(

0lim

.0

lim

0lim

)()(

0lim)(

>=

++→=

++

−+

→=

++

++−+

→=

−+

→=

−+

→=′

xx

xhxh

xhxhxhx

h

xhxxhx

hxhx

h

hxhx

h

hxfhxf

hxf

Jika pada (1) diambil hax += , maka didapat :

axafxf

axaf

−−

→=′ )()(lim)( ….. (3)

Jika pada (2) diambil )(xfy = dan xh Δ= , maka didapat :

xxfxxf

xxf

Δ−Δ+

→Δ=′ )()(

0lim)( ….. (4)

30

Namakan )()( xfxxfy −Δ+=Δ , didapat :

xy

xxf

ΔΔ

→Δ=′

0lim)(

Apabila nilai xy

x ΔΔ

→Δ 0lim ada, maka nilainya dapat ditulis dengan notasi Leibnitz

dxdy .

Teorema

Jika fungsi f mempunyai turunan di titik ax = , maka fungsi f kontinu di titik ax = .

Sebaliknya tidak berlaku,

Counter example :

xxf =)( kontinu di titik 0=x , tetapi )0(f ′ tidak ada.

Rumus dasar dan sifat turunan

1. f fungsi konstan, yaitu kxf =)( .

0

0lim

)()(

0lim)(

=Δ−

→Δ=

Δ−Δ+

→Δ=′

xkk

x

xxfxxf

xxf

Jadi, 0)( =′ xf .

2. n

xxf =)( dengan n bilangan bulat 1

)(−

=′⇒n

nxxf

3. jika u dan v masing-masing mempunyai turunan dan k sebarang konstanta real, maka :

.0)(asalkan

,2

)]([

)().()().()()()()().(

)().()().()()().()().()(.)()(.)().(

)()()()()()().(

≠

′−′=′⇒=

′+′=′⇒=

′=′⇒=

′±′=′⇒±=

xvxv

xuxvxvxuxfxvxuxfiv

xuxvxvxuxfxvxuxfiiixukxfxukxfii

xvxuxfxvxuxfi

Aturan Rantai

1. Diketahui )(ufy = dengan )(xgu = maka :

)(.....)()()(.....)()(

iixgxxguiufuufy

−Δ+=Δ−Δ+=Δ

sehingga,

xu

uy

xy

ΔΔ

ΔΔ

=ΔΔ .

31

0)(

0 →Δ⇒→Δ uii

x sehingga diperoleh :

dxdu

dudy

xu

xuy

x

xu

uy

x

xy

xdxdy

.

0lim

0lim

.0

lim

0lim

=

ΔΔ

→ΔΔΔ

→Δ=

ΔΔ

ΔΔ

→Δ=

ΔΔ

→Δ=

Jadi, dxdu

dudy

dxdy .= dengan )(ufy = dan )(xgu = .

2. Jika f dan g mempunyai turunan, maka gf o juga dapat mempunyai turunan, yaitu :

[ ] )()).(())(()()( xgxgfxgfxgf ′′=′=′o

Contoh

.....,13)( =+=dxdyxxf

Penyelesaian

CARA I

13 += xy , y dapat dipandang sebagai fungsi f dan g dengan )()( xgxf = dan 13)( += xxg , f dan

g mempunyai turunan. ))(())(( xgfxgfy o== .

Sehingga :

132

23

23.)(2

1

)()).(()()(

+=

=

′′=′=′=

x

xdxdy

xxgdx

dy

xgxgfxgfydxdy

o

CARA II

Dengan notasi Leibnitz

13 += xy , misal 13 += xu , didapat uy =

32

ududy

xdxdu

21

23

=

=

Sehingga :

132

23

23.2

1

.

+=

=

=

x

xdxdy

xudx

dydxdu

dudy

dxdy

Latihan

.....,)142(2sin =−=dxdyxy

Turunan Fungsi Implisit

Fungsi eksplisit berbentuk : )(xfy = , sedangkan bentuk implisitnya adalah : 0)( =− xfy atau

.0),( =yxF

Langkah penurunan fungsi implisit :

1. Asumsikan y merupakan fungsi x dan diferensiabel

2. Turunkan kedua ruas terhadap x

3. Selesaikan dxdy ke dalam x dan y.

Contoh

......633 =⇒=+dxdyxyyx

Penyelesaian

xy

xy

xy

xydxdy

xydxdyxy

ydxdyx

dxdyyxxy

dxdyx

dxd

22

22

623

236

236)623(

662323)6(33

−

−=

−

−=⇔

−=−⇔

+=+⇔=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

33

Latihan

......4)23( =⇒=+dxdyxyx

Turunan Fungsi Invers

Misalkan )(xfy = mempunyai invers, yaitu )(ygx = , maka didapat :

,)()(

1)()(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Δ−Δ+

=−Δ+

Δ=

ΔΔ

xxfxxfxfxxf

xyx

dengan )()( ygyygx −Δ+=Δ , sehingga jika 0→Δy maka 0→Δx , diperoleh:

x

xfxxf

xxxxfxy

xxdy

dx

Δ

−Δ+

→Δ

=

ΔΔ+→Δ

=ΔΔ

→Δ=

)()(lim

0

1)(

10

lim0

lim Jadi,

dxdydy

dx 1=

Contoh

xxfy == )( , tentukan dxdy dan

dydx

Penyelesaian

xdxdy

21

=

x

dxdydy

dx 21==

Turunan Fungsi Trigonometri

Misalkan f(x) = sin(x) =→ )(' xf …..?

xxxx

x

xxfxxf

xxf

Δ−Δ+

→Δ=

Δ−Δ+

→Δ=′

)sin()sin(0

lim

)()(0

lim)(

x

xxxxxx Δ

−Δ+Δ=

→Δ

)sin()sin().cos()cos().sin(lim0

34

[ ]

)cos(20.1).sin()cos(

1)cos()sin(lim)sin(lim).sin()cos(

1)cos(1)cos(.1)cos(lim).sin()cos(

)sin().cos(lim1)cos()sin(lim

00

0

00

x

xx

xx

xxxx

xx

xxxx

xxx

xxx

xx

x

xx

=

+=

+ΔΔ

ΔΔ

+=

+Δ+Δ

Δ−Δ

+=

ΔΔ

+Δ

−Δ=

→Δ→Δ

→Δ

→Δ→Δ

Jadi, )cos()(' xxf =

Rumus-rumus dasar

1. )cos()(')sin()( xxfxxf =⇒=

2. )sin()(')cos()( xxfxxf −=⇒=

3. )(sec)(')tan()( 2 xxfxxf =⇒=

4. )(cos)(')cot()( 2 xecxfxxf −=⇒=

5. )tan().sec()(')sec()( xxxfxxf =⇒=

6. ).cot().(cos)(')(cos)( xxecxfxecxf −=⇒=

Contoh

Tentukan )(xf ′ jika x

xxfsec

1tan)( −=

Penyelesaian

xxxxxxxf

x

xdxdxx

dxdx

xf

xxxf

2

2

2

sectan.sec)1(tansec.sec)('

sec

)(sec).1(tan)1(tan.sec)('

sec1tan)(

−−=

−−−=

−=

35

xxxf

xxxxxf

xxxxxf

xxxxxf

sectan1)('

sectan)1(secsec)('

sectantansec)('

sectan)1(tansec)('

22

22

2

+=

+−−=

+−=

−−=

Latihan

Tentukan dxdy dari fungsi-fungsi berikut:

1. xxy 55 tan5tan5 +=

2. 5 5sec xy =

3. )23()sin( 222 +=+ xyyx

Turunan Fungsi Siklometri

Misalkan )sin(xarcy = , berarti )sin( yx = .

...=dxdy

22 1)(sin1)cos( xyydydx

−=−==

Jadi, 21

11

xdydxdx

dy

−==

Dengan cara sama diperoleh:

1

1)(cos.5

1

1)sec(.4

11)cot(.3

11)tan(.2

1

1)cos(.1

2

2

2

2

2

−

−=⇒=

−=⇒=

+−

=⇒=

+=⇒=

−

−=⇒=

xxdxdyxecarcy

xxdxdyxarcy

xdxdyxarcy

xdxdyxarcy

xdxdyxarcy

36

Contoh

Tentukan turunan dari fungsi )sin(.1 2 tarcts −=

Penyelesaian

222

2

22

2

1

)arcsin(11

1.112

2).arcsin(

))(arcsin(.11).arcsin(

)sin(.1

t

tt

tt

t

ttdtds

dttdt

dttdt

dtds

tarcts

−−=

−−+

−

−=

−+−

=

−=

Latihan

Tentukan turunan dari fungsi ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

=xxy

11arctan

Turunan Fungsi Logaritma

xxx

xxax

xxxa

xxxa

xxxaxxa

xy

xy

xdxdy

xdanaaxay

1)1log(

1

)log(

)log(1)log()log(0

lim

.0,1,0,log

⋅ΔΔ

+=ΔΔ+

=

Δ+⋅

Δ=

Δ−Δ+

=ΔΔ

=ΔΔ

→Δ=

>≠>=

K

Sehingga diperoleh

xe

xx

xx

xy

dxdy

a

xxx

x

a

xxx

a

xx

1

)log(

])1(limlog[

)1log(limlim

1

0

1

00

=

Δ+=

Δ+=

ΔΔ

=

⋅Δ

→Δ

⋅Δ

→Δ→Δ

)ln(1

loglog1log1 Jadi,

axae

xe

xdxdy

e

ea =⋅=⋅=

xdxdyxxea e 1lnlog: diperoleh diambil Jika =⇒==

37

Contoh

Tentukan ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

=xaxay

dxdy lnfungsi dari

Penyelesaian

xaxauy

xaxay

+−

==+−

= :ln);ln(

22

2

2

2)(

2)(

)()(1

xaa

xaa

xaxa

xaxaxa

u

dxdu

dudy

dxdy

−−

=

+−

−+

=

+−−+−

⋅=

⋅=

22

22

2

)()(

1)1(1

)ln()ln()ln(

atau

xaa

xaxaxaxaxadx

dy

xaxaxaxay

−−

=

−−−+−

=

+−−

−=

+−−=+−

=

Latihan

1. Tentukan xydxdy lnfungsi dari =

2. Tentukan xxydxdy

=fungsi dari

38

Turunan Fungsi Eksponensial

Misalkan yxberartiaay ax log0, =>=

K=

=

==→=→=

====

+

dxdy

ey

eee

eedxdyeyea

aaayaydy

dxdxdy

xx

xxx

x

2sin2

Contohlog

)ln( diambil jika

)ln(.)ln(.)ln(.

111

Penyelesaian

2

2

sin2

2sin2

)cos(2

)2cos2.(

sin2;

xx

u

uxx

exx

xxedxdu

dudy

dxdy

xxudenganeyey

+

+

+=

+=⋅=

+===

Turunan Fungsi Parameter

Fungsi )(xfy = sering dinyatakan dalam bentuk parameter yaitu :

)()(

thxtgy

==

dengan t suatu parameter

dtdx

dtdy

dtdxdt

dydxdt

dtdy

dxdy

=

⋅=⋅=1

Contoh

tey

text

t

cos

sin

=

= ⟩ K=dxdy

Penyelesaian

tetetete

dtdx

dtdy

dtdxdt

dydxdt

dtdy

dxdy

ttey

ttex

tt

tt

cossinsincos

1

cos

sin

+−

==

⋅=⋅==

=

39

tttt

dxdy

cossinsincos Jadi,

+−

=

Turunan Tingkat Tinggi

Diberikan fungsi )(xfy =

xxfxxfxf

x Δ−Δ+

=→Δ

)()(lim)('0

ada, maka nilai limitnya

disebut TURUNAN TINGKAT I dari ).(xf

2

2)()("

dxyd

dxdx

dydxf == disebut TURUNAN TINGKAT II dari ).(xf

M

n

nn

dxydxf =)()( disebut TURUNAN TINGKAT –n dari ).(xf

Contoh

K=→−== )()1ln()( )( xfxxfy n

Penyelesaian

xdxdyxf

−−

==1

1)('

22

2

)1(1)()("xdx

dydxd

dxydxf

−−

===

32

2

3

3

)1(2)()('''xdx

yddxd

dxydxf

−−

===

nx

nxnf

xdxyd

dxd

dxydxf

)1(

)!1()()(

)1(3.2)()( 43

3

4

4)4(

−

−−=

−−

===

M

40

Latihan

1. Tentukan 2

2

dxyd dari fungsi berikut :

2ty

ex t

=

=

2. Tentukan )()( xf n dari fungsi xxf sin)( =

3. Hitunglah derivative dari fungsi-fungsi berikut ini :

a. ⎩⎨⎧

−≥+−<−

=1,12

1,)(2

xxxxxG

di titik 1−=x

b. |2|)( −= xxH di titik 2=x

c. 032 =+−+ xyxy

d. 5)sin( xyyx =+

e. )1sin( 3 += xy

f. 1++= xxy

KUIS

......=⇒

dx

dy

222)22( yxyx −=+

1

DERET TAYLOR DAN DERET MACLAURIN

Teorema

Misalkan f mempunyai turunan sampai tingkat (n+1) pada selang I dan Ia∈ maka )(xf

dapat dituliskan sebagai :

)()(!

)(.....)(!2

)()(!1

)()()()(

2 xRaxn

afaxafaxafafxf nn

n

+−++−′′

+−′

+=

dengan 1)1(

)()!1(

)()( ++

−+

= nn

n axn

cfxR disebut suku sisa dan c suatu titik antara x dan a.

Dengan kata lain fungsi f bisa didekati oleh :

nn

axn

afaxafaxafafxf )(!

)(.....)(!2

)()(!1

)()()()(

2 −++−′′

+−′

+≈

Rumus di atas disebut deret Taylor dari f(x) di sekitar ax = .

Jika 0=a maka deret Taylor menjadi :

nn

xn

fxfxffxf!

)0(.....!2

)0(!1

)0()0()()(

2 ++′′

+′

+=

Deret di atas disebut deret Maclaurin.

Jadi deret Maclaurin dari f(x) adalah deret Taylor f(x) di sekitar 0=x .

Rumus-rumus deret Maclaurin dari beberapa fungsi :

1. .....!3!2

132

++++=xxxex

2. .....!5!3

sin53

−+−=xxxx

3. .....!4!2

1cos42

−+−=xxx

4. .....11

1 32 ++++=−

xxxx

5. .....11

1 32 +−+−=+

xxxx

6. .....11

1 6422 +−+−=

+xxx

x

2

Contoh

Tentukan deret Taylor fungsi xxf ln)( = di sekitar 1=x

Penyelesaian

......)1(!

)1(.....)1(!2

)1()1(!1

)1()1()()(

2 +−++−′′

+−′

+= nn

xn

fxfxffxf

n

nn

n

nn

xnxf

xnnxf

fxxf

fxxf

fxxf

fxxffxxf

)!1()1()(1.2.3).....2)(1()1()(

3.2)1(/3.2)(

2)1(/2)(

1)1(/1)(

1)1(/1)(01ln)1(ln)(

1)(

1)(

)4(4)4(

3

2

−−=⇒

−−−=

−=⇒−=

=′′′⇒=′′′

−=′′⇒−=′′

=′⇒=′==⇒=

++

MMM

Jadi,

......)1()1(.....)1(41)1(

31)1(

21)1(ln)(

......)1(!

)!1()1(.....)1(!42.3)1(

!32)1(

!21)1(

!110)(

1432

1432

+−−

++−−−+−−−==

+−−−

++−−−+−−−+=

+

+

nn

nn

xn

xxxxxxf

xn

nxxxxxf