LAPORAN TUGAS LATIHAN

BAB III LATIHAN 3.1.

: ALJABAR BOOLEAN : No. 5, 6, 7, 8

KELOMPOK V

Anggota

: 1. Ginda Maruli A. S. 2. Rini Prautami 3. Sheila Khairuna Pulungan 4. Siti Mawaddah 5. Wulida Dinil Arifah Lubis

NIM: 408111054 NIM: 409312024 NIM: 4103312025 NIM: 4103312026 NIM: 4103312027

Catatan: Semua aktif.

Penyelesaian Soal - Soal 5. Yang mana diantara pasangan-pasangan berikut ini yang sebanding dengan a. 5,15 b. 6,9 c. 8,16 d. 7,7 Penyelesaian :

Komentator

a. 5,15 Penyelesaian : 5,15 adalah sebanding dalam poset karena 5 pembagi dari 15. b. 6,9 Penyelesaian : 6, 9 adalah tidak sebanding dalam poset karena 9 bukan pembagi dari 6. c. 8,16 Penyelesaian : 8,16 adalah sebanding dalam poset karena 8 pembagi dari 16. d. 7,7 Penyelesaian : 7,7 adalah sebanding dalam poset karena 7 pembagi dari 7.

6. Carilah dua anggota yang tidak sebanding dalam poset-poset berikut ini. a. < 2x, > , dengan x = {0, 1, 2} b. < {1, 2, 4, 6, 8}, / > Penyelesaian: a. < 2x, > , dengan x = {0, 1, 2} 2x = {{ } { } { } { } { }{ }{ }{ }}

Dua anggota yang tidak sebanding yaitu : { { } dan { } dan { } tidak sebanding, karena { } atau { } atau { } bukan bagian dari { } bukan bagian dari { } tidak sebanding, karena { } bukan }. } bukan }. bagian dari { bagian dari { b. < {1, 2, 4, 6, 8}, / > Dua anggota yang tidak sebanding yaitu : 6 dan 8 tidak sebanding, karena 6 bukan pembagi dari 8 atau 8 bukan pembagi dari 6. 4 dan 6 tidak sebanding, karena 4 bukan pembagi dari 6 atau 6 bukan pembagi dari 4.

7. Gambarlah diagram Hasse dari poset-poset berikut ini: a. < {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}, / > dengan m/n didefinisi m adalah factor dari n b. < 2X, > dengan X = {3, 7} Penyelesaian:

a. Pertama kita akan membuktikan bahwa < {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}, / > dengan m/n didefinisi m adalah factor dari n adalah poset Penyelesaian: Andaikan P = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Akan ditunjukkan < P, / > dengan m/n didefinisi m adalah factor dari n Ambillah a, b, c P sembarang (i) a P, a / a, maka relasi / adalah refleksif. (ii) a, b P. Jika a / b dan b / a, maka a = b. Ini menunjukkan bahwa relasi / adalah antisimetri. (iii) a, b P. Jika a / b dan b / c, maka a / c. Berarti relasi / adalah transitif. Karena ketiga sifat dipenuhi, maka relasi / adalah poset pada himpunan bilangan real atau dengan kata lain < {1, 2, 3,

4, 6, 8, 12, 24}, / > dengan m/n didefinisi m adalah factor dari n adalah poset. Maka gambar diagram Hasse nya adalah: 24

12

8

6

4

3 1

2

b. Pertama kita akan membuktikan bahwa < 2 X, > dengan X = {3, 7} adalah poset. Penyelesaian: 2X = { }, { 3 }, { 7 }, { 3, 7 } Akan ditunjukkan < 2X, > adalah poset. Ambillah a, b, c 2X sembarang (iv) a 2X, a a, maka relasi adalah refleksif. (v) a, b 2X. Jika a b dan b a, maka a = b. Ini menunjukkan bahwa relasi adalah antisimetri. (vi) a, b 2X. Jika a b dan b c, maka a c. Berarti relasi adalah transitif. Karena ketiga sifat dipenuhi, maka relasi adalah poset pada himpunan bilangan real atau dengan kata lain < 2X, > adalah poset. Maka gambar diagram Hasse nya adalah: { 3, 7}

{7}

{3}

{

}

8. Gambar 3.2.7 adalah diagram Hasse dari tiga poset. h o p q r

f

g

m k

n

d

e

a

b

c

l

(i)

(ii)

z

w

x v

y

u (iii) Gambar 3.2.7 Diagram Hasse

a. Apakah ada elemen maksimal dari poset-poset ini? b. Apakah ada elemen minimal dari poset-poset ini? c. Carilah supremum atau infimum (jika ada) dari setiap berikut ini. 1) sup {d,e} 2) sup {w,y,v} 3) sup {p,m} 4) inf {a,g}

Penyelesaian : a. Elemen maksimal dari poset-poset tersebut yakni

Gambar 3.2.7 Diagram Hasse (i) < P, > adalah poset dengan P = {a, b, c, d, e, f, g, h}.

Anggota-anggota P yang sebanding dengan h adalah f, g, d, e, a, b, dan c. Karena f h, g h, d h, e h, a h, b h, dan c h, maka h adalah elemen maksimal.

Gambar 3.2.7 Diagram Hasse (ii) < P, > adalah poset dengan P= {k, l, m, n, o, p, q, r}. 1. Anggota-anggota P yang sebanding dengan o adalah m, k, dan l. Kerena m o, k o, dan l o, maka o adalah elemen maksimal. 2. Anggota-anggota P yang sebanding dengan p adalah m, k, dan l. Karena m p, k p, l p, maka p adalah elemen maksimal. 3. Anggota-anggota P yang sebanding dengan q adalah n, k, dan l. Karena n q, k q, dan l q, maka q adalah elemen maksimal. 4. Anggota-anggota P yang sebanding dengan r adalah n, k, dan l . Karena n r, k r, dan l r, maka r adalah elemen maksimal.

Gambar 3.2.7 Diagram Hasse (iii) < P, > adalah poset dengan P = {u, v, w, x, y, z}. Anggota-anggota P yang sebanding dengan z adalah w, x, y, v dan u. Karena w z, x z, y z, v z dan u z, maka z adalah elemen maksimal.

b. Elemen minimal dari poset-poset tersebut yakni

Gambar 3.2.7 Diagram Hasse (i) < P, > adalah poset dengan P = {a, b, c, d, e, f, g, h}. 1. Anggota-anggota P yang sebanding dengan a adalah d, f, dan h. Karena a kurang dari d, f, dan h, maka a adalah elemen minimal. 2. Anggota-anggota P yang sebanding dengan b adalah d, e f, g, dan h. Karena b kurang dari d, e, f, g, dan h, maka b adalah elemen minimal.

3. Anggota-anggota P yang sebanding dengan c adalah e, f, g, dan h. Karena c kurang dari e, f, g, dan h, maka c adalah elemen minimal.

Gambar 3.2.7 Diagram Hasse (ii) < P, > adalah poset dengan P = {k, l, m, n, o, p, q, r}. Anggota-anggota P yang sebanding dengan l adalah k, m, n, o, p, q, dan r. Karena l kurang dari k, m, n, o, p, q, dan r, maka l adalah elemen minimal.

Gambar 3.2.7 Diagram Hasse (iii) < P, > adalah poset dengan P = {u, v, w, x, y, z}. Anggota-anggota P yang sebanding dengan u adalah v, w, x, y, dan z. Karena u kurang dari v, w, x, y, dan z, maka u adalah elemen minimal.

c. Supremum dan infimum (jika ada) dari subposet-subposet dari P dari masing-masing gambar yakni 1) Pada Gambar 3.2.7 Diagram Hasse (i). Diperoleh bahwa batas atas dari S1 = {d, e} adalah f dan h. Karena f batas atas dan semua batas atas dari S 1 kecil dari h, maka f merupakan batas atas terkecil (supremum) dari S1, ditulis sup (S1) = f. 2) Pada Gambar 3.2.7 Diagram Hasse (iii). Diperoleh batas atas dari S1 = { w, y, v } adalah z. Karena z batas atas dari S 1, maka z merupakan batas atas terkecil (supremum) dari S 1, ditulis sup (S1) = z. 3) Pada Gambar 3.2.7 Diagram Hasse (ii). Diperoleh batas atas dari S1 = { p, m } adalah p. Karena p batas atas dari S1, maka p merupakan batas atas terkecil dari S1, ditulis sup (S1) = p. 4) Pada Gambar 3.2.7 Diagram Hasse (i). Diperoleh batas bawah dari S2 = {a, g} adalah a. Karena a batas bawah dari S2, maka a merupakan batas bawah terbesar (infimum) dari S2, ditulis inf (S2) = a.