Matematika 6 Mak

DEVETGODI[NO OSNOVNO OBRAZOVANIEDEVETGODI[NO OSNOVNO OBRAZOVANIE

Skopje, 2011Skopje, 2011

JJOVO STEFANOVSKIOVO STEFANOVSKINAUM CELAKOSKINAUM CELAKOSKI

Drag u~eniku!

Ti si ve}e vo {esto oddelenie i si navlezen vo tajnite na matematikata.So matematikata se sre}ava{ sekojdnevno: na u~ili{te, doma, pa duri i vo tvoite

igri.So ovaa kniga }e nau~i{ novi interesni sodrìni od broevite. ]e stekne{ novi soz-

nanija od geometrijata. Vo temata Merewe }e gi izu~i{ mernite edinici za pove}eveli~ini i operaciite so niv.

Knigava e podelena na ~etiri tematski celini. Tematskite celini zapo~nuvaat sonivnata sodrìna, a nastavnite edinici vo niv se numerirani.

Vo nastavnite edinici ima oznaki vo boja i preku niv se ispi{ani poraki, aktivnos-ti, obvrski i drugi sugestii, i toa:

Nastavnite edinici zapo~nuvaat so ne{to {to ti e pozna-to. Treba da se potseti{ i da gi re{i{ dadenite barawa. Toa}e ti koristi pri izu~uvaweto na novoto vo lekcijata.

So ovie oznaki nastavnata edinica e podelena na delovi(porcii) koi se odnesuvaat na novi poimi.

So vakvite oznaki se ozna~eni aktivnostite, pra{awata izada~ite {to }e gi re{ava{ samostojno ili so pomo{ na tvo-jot nastavnik. Vo ovoj del go u~i{ novoto vo lekcijata, zatoatreba da bide{ vnimatelen i aktiven za podobro da go nau~i{i razbere{. Najbitnoto e oboeno so òlta boja.

Najbitnoto od lekcijata e izdvoeno vo vid na pra{awa,zada~i ili tvrdewa. Toa treba da go pameti{ i da gokoristi{ vo zada~i i prakti~ni primeri.

Ovoj del sodrì pra{awa i zada~i so koi moè{ da seproveri{ dali pogolemiot del od izu~enoto go razbira{ za damoè{ da go primenuva{ i da go koristi{ vo sekojdnevniotìvot.

Treba redovno i samostojno da gi re{ava{ ovie zada~i.So toa podobro }e go razbere{ izu~enoto, a toa }e ti bideod golema polza.

Potrudi se da gi re{ava{ zada~ite i problemite vo ovojdel. So toa }e znae{ pove}e i }e bide{ pobogat so idei.

Koga }e naide{ na te{kotii pri izu~uvaweto na matematikata ne otkaùvaj se,obidi se povtorno, a upornosta }e ti donese rezultat i zadovolstvo.

]e n¢ raduva ako so ovaa kniga ja zasaka{ matematikata pove}e i postigne{ odli~enuspeh.

Od avtorite

Potseti se!

Problemi

Zada~i

Treba da znae{

1.

2.

3. ...

...,A B

Proveri se?

3

1. Mnoèstvo. Na~ini na zapi{uvawe 4

2. Broj na mnoèstvo. Kone~ni mnoèstva 7

3. Ekvivalentni mnoèstva. Ednakvi mnoèstva. Podmnoèstvo 9

4. Presek, unija i razlika na mnoèstva 12

5. Podreden par. Dekartov proizvod 15

6. Niza od prirodnite broevi 177. Dekaden broen sistem 208. îtawe i zaokruùvawe na

prirodni broevi 239. Instrumenti za pribirawe

podatoci 2610. Sobirawe 2711. Odzemawe 2912. Zavisnost na zbirot i

razlikata od promenata na komponentite 31

13. Mnoèwe 3414. Delewe 37

15. Zavisnost na proizvodot i koli~nikot od promenata na komponentite 40

16. Broen izraz. Ravenki 4317. Aritmeti~ka sredina 4718. Delivost na prirodni broevi.

Delivost na zbir i razlika 4819. Priznaci za delivost so

2 i so 5 5120. Priznaci za delivost so

3 i so 9 5321. Priznak za delivost so 4 5522. Prosti i sloèni broevi.

Pretstavuvawe sloèn broj kako proizvod od prosti mnoìteli 57

23. Zaedni~ki delitel. Najgolem zaedni~ki delitel 60

24. Zaedni~ki sodràtel. Najmal zaedni~ki sodràtel 63

25. Slikoven dijagram.Stolbest dijagram 66

26. U~e{e za prirodni broevi.Proveri go svoeto znaewe 68

TEMA 1. PRIRODNI BROEVI

MMNO@ESTVO. NAÎNI NA ZAPI[UVAWE4

Potseti se!

Na crteòt se pretstaveni mnoès -tvoto A i mnoèstvoto V so Venovidijagrami.

A V

Elementite na mnoèstvoto A secvetovi.

[to se elementite na mnoèstvoto V?

a

bv

g

Iskaì usno edno mnoèstvo A i zapi{i gi negovite elementi.

Na crteòt e pretstaveno mnoèstvoto S so Venov dijagram.

Iskaì dva objekta {to ne se elementi na tvoeto mnoèstvo A.

Koi broevi se elementi na mnoèstvoto S?

Neka so D e ozna~eno mnoèstvotood site denovi vo sedmicata.

Kolku elementi ima mnoèstvoto D?

Dali mesecot april e element namnoèstvoto D?

Zapi{i gi site elementi na mno-èstvoto D.

Da zapomnam! Edno mnoèstvo e opredeleno ako se znae koi sesite negovi elementi.

1

543

7 26 S

Mnoèstvoto S moè da se zapi{e na tabelaren na~in(so redewe na elementite), taka {to }e se zapi{at me|uzagradi site negovi elementi, odvoeni so zapirki, t.e. C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

1

2

3

1

Zapi{i go mnoèstvoto P so Venov dijagram.

Zapi{i go mnoèstvoto R na tabelaren na~in, taka {to broevite }e gi podredi{ po~nuvaj}i od najmaliot.

Zapi{i go mnoèstvoto R na tabelaren na~in, taka {to broevite }e gi podredi{ po~nuvaj}i od najgolemiot.

Elementi na edno mnoèstvo R se broevite: 10, 6, 2, 8 i 4.4

A

B

5

6

7

8

5

Zapi{i go na tabelaren na~in mnoèstvoto A od bukvi {to se upotrebeni vozborot masa.

Zapi{i go mnoèstvoto A na tabelaren na~in.

Pri zapi{uvaweto na mnoèstvo na tabelaren na~in, redosledot na elementite ne e biten.

Ako bukvata x se upotrebi kako zamena za imiwata na ~leno -vite od semejstvoto Acevski, mnoèstvoto A moè da se zapi{e:

A={x | x e ~len na semejstvoto Acevski}.Vaka zapi{ano mnoèstvoto A velime deka e pretstaveno na opisen na~in.

Zapi{i go mnoèstvoto Y od site samoglaski vo makedonskata azbuka.

so Venov dijagram; na tabelaren na~in.

Mnoèstvoto S={x | x e cifra od brojot 2638} zapi{i go:

Zapi{i go mnoèstvoto R na tabelaren na~in.

So koj od slednite zapisi mnoèstvoto R e pretstaveno na opisen na~in?

a) {x | x >19}.b) {x | x e neparen broj od vtorata desetka}.v) {x | x e priroden broj od vtorata desetka}.

Na crteòt e dadeno mnoèstvoto R so Venov dijagram.

1115

1917

13 R

Da zapomnam! Mnoèstvoto {m, a, s, a}pra vilno se zapi{uva {m, a, s}. Istiteelementi vo mno ̀ estvoto se zapi{uvaatsamo edna{.

Semejstvoto Acevski go so~inuvaat: tatkoto Petar, majkataBiljana, sinot Dragan i }erkata Ana.

Neka so A e ozna~eno mnoèstvoto od site ~lenovi na semej -

stvoto Acevski.

9 Razgledaj go mnoèstvoto M zapi{ano so Venoviot dijagram.Elementi na mnoèstvoto M se bukvite od zborot klupa.

ka

pu

lM

„Bukvata k e element na mnoèstvoto Mili k mu pripa|a na M“„Bukvata a e element na mnoèstvoto Mili a mu pripa|a na M“„Bukvata e ne e element na mnoèstvoto Mili e ne mu pripa|a na M“

k ∈ M

a ∈ M

e ∉ M

Velime: Zapi{uvame:

V

10

11

6

Na crteòt e pretstavena edna otse~ka a i to~kite: A, B, C,N, L, K i S.

Treba da znae{

So koristewe na znacite ∈ ili ∉ zapi{i to~ni tvrdewa za bukvite i, s, l,u, p i mnoèstvoto M.

Zapi{i to~ni tvrdewa za to~kite ozna~eni na crteòt iza otse~kata a so koristewe na znacite ∈ ili ∉.Nacrtaj prava p i ozna~i to~ki R, P, S i L takvi {to: R ∉ p; P ∈ p; S ∈ p i L ∉ p;

S

A

a

L

S

V

K

N

Da navede{ primeri namnoèstva;

da pretstavi{ dadeno mno -èstvo so Venov dijagram,na opisen i na tabelarenna~in;

pravilno da gi koristi{znacite ∈ i ∉.

Koga edno mnoèstvo e opredeleno?

Zapi{i go mnoèstvoto K ~ii elementi se broe-vite: 1, 3, 5, 7 i 9:

Koj broj od prvata desetka e element, a koj ne eelement na mno ̀ estvoto K? Zapi{i go toa so koris-tewe na zna cite ∈ ili ∉.

so Venov dijagram; na tabelaren na~in;

na opisen na~in.

Zada~i

e

pb

A V

Na crteòt se dadeni mnoèstvataA i V.

1.

ka

u

Koi bukvi se elementi na mnoès -tvoto A?

Od bukvite {to se elementi na mnoèstvoto V sostavi zbor (ime nadrvo).

Zapi{i go mnoèstvoto A na tabelaren na~in, a mnoèstvoto V na opisen na~in.

So koristewe na znacite ∈ ili ∉zapi{i koja od bukvite: e, u, b, k e ele-ment na mno ̀ estvoto V.

Nacrtaj edna otse~ka i ozna~i ja so a.

Ozna~i to~ki M, N, C, D i Y taka {to:M ∈ a, N ∉ a, C ∈ a, D ∈ a i S ∉ a.

2.

So Venov dijagram zapi{i mnoèstvaA i V takvi {to:1 ∈ A, 2 ∈ A, 2 ∈ B, 3 ∈ A, 4 ∈ A, 4 ∈ B,5 ∈ A, 6 ∈ A, 6 ∈ B, 7 ∈ B, 8 ∈ A, 8 ∈ Bi 9 ∈ B.

3

Proveri se!

Potseti se!

7BBROJ NA MNO@ESTVO. KONE^NI MNO@ESTVA

Mnoèstvoto A e dadeno so Venovdijagram.

Od koi elementi e sostaveno mno -èstvoto A?Izbroj gi elementite na A.

Kolku elementi ima mnoèstvoto A?

Razgledaj gi mnoèstvata A, V i Si odgovori na pra{awata.

21

Od koi elementi e sostaveno sekoeod mnoèstvata?

Kolku elementi ima sekoe od mno -

èstvata A, V i S?

a cd

b

A

Voo~iv! Mnoèstvoto A ima 3elementi, V ima 7 elementi imnoèstvoto S ima 99 ele-menti.

Brojot na elementite na dadeno mnoèstvo A se vika broj na A i se ozna~uva so δA.

Zapomni!

Voo~i i zapomni!

Kolku elementi ima mnoèstvoto devoj~iwa vo tvojata paralelka?

Kolku vkupno u~enici ima mnoèstvoto mom~iwa vo tvojata paralelka?

Kolkav e brojot na site u~enici vo tvojata paralelka?

Na sekoe od ovie mnoèstva mu go odredi brojot na negovite elementi.

Site ovie mnoèstva se kone~ni mnoèstva.

2

Najvisokata planina vo Republika Makedonija eKorab. Vrvot na Korab e visok 2 764 metri.

Kolku elementi ima mnoèstvoto planini voRepublika Makedonija {to se povisoki od 3 000metri?

3

4A = {juni, juli, januari}C = {x | x e mesec vo godinata ~ie ime zapo~nuva so bukvata l}.

Odredi go brojot na mnoèstvata A, V i S.

Maj

V

A

B

A = {a, b, c};B = {x | x e den vo sedmica};C = {x | x e priroden broj pomal od 100}.

5

8Voo~uva{ deka mnoèstvoto planini od zada~ata 3 i mnoèstvoto S odzada~ata 4 nemaat nitu eden element.

Mnoèstvoto {to nema nitu eden element se vika prazno mnoèstvo i seozna~uva so znakot ∅. I praznoto mnoèstvo se smeta za kone~no mnoèstvo.

M = {x | x e planina vo R. Makedonija povisoka od 3 000 metri} = ∅.

δ∅ = 0.

Navedi eden primer za prazno mnoèstvo.

[to e broj na mnoèstvo;

da navede{ primeri zakone~no i za praznomnoèstvo.

Zapi{i primer za:

kone~no mnoèstvo S takvo {to δS = 3;

mnoèstvo Y takvo {to δY = 0.

ìteli na Prilep;

yvezdi na neboto;

zrnca ìto vo edna vre}a;

broevi {to moè da se zapi{at so cifrata 1?

Zada~i

Odredi go brojot na elementite namnoèstvoto:

L = {2, 4, 6, 8, 10}S = {x | x e u~enik vo V oddeleniepovisok od 5 metri}K = ∅

1. Odredi go brojot na elementite na sekoeod mnoèstvata A i V {to se dadeni soVenovi dijagrami.

2.

Odredi go brojot na elementite na sekoeod mnoèstvata A = {2, 3, 4, ..., 99} i B = {x | x e priroden broj i 8 ≤ x < 25}.

3.

Tvoi druga ri koi bile na go di {enodmor na pla netata Mars.

Problem

Dali e kone~no mnoèstvoto:

Treba da znae{ Proveri se!

1A V2 5

7436

Potseti se!

9

Odredi go brojot na elementitena mnoèstvoto:

A = {2, 4, 6, 8, 10}

B = {1, 3, 5, 7, 9}

C = {10, 20, 30, 40, 50}.

[to zabeleùva{?

EKVIVALENTNI MNO@ESTVA. EDNAKVI MNO@ESTVA. PODMNO@ESTVO

Y

T

Odredi go brojot na elementite namnoèstvata Y i T.

Koj od znacite <, = ili > treba da se zapi{e

vo kruk~eto na zapisot δT δY?

Zapi{i go mnoèstvoto A = {x | x e bukva od zborot DEBAR} i mnoèstvoto B = {x | x e neparen broj od prvata desetka} na tabelaren na~in.

Odredi gi δA i δV, a potoa sporedi gi.

Zapi{i mnoèstvo S {to ima broj na elementi ednakov na δA, odnosno δV.

Mnoèstvata {to imaat ednakov broj elementi sevikaat istobrojni ili ekvivalentni mnoèstva.

31

2

Ako mnoèstvata A i V se ekvivalentni,zapi{uvame: A ~ V.

3

Zapi{i go tabelarno mnoèstvoto A ~ii elementi se bukvite na zborotme~ka i mnoèstvoto V ~ii elementi se bukvite na zborot kam~e.

Mnoèstvata A i V imaat ist broj elementi: δA = δV.

Isto taka, mnoèstvoto A e sostaveno od istite elementi, kako i mnoèstvoto V.

4

Voo~i!

A

[TO SE BUNI[,

MNO@ESTVATA SE

EKVIVALENTNI!

B

Odredi go brojot na sekoe od mnoèstvata:B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {a, e, i, o, u}, D = {100}, E = {M, A, J}, F = {Δ} i G = {M, A, T, E, I, K}.

Zapi{i gi ekvivalentnite mnoèstva so znakot “~”Zapi{i mnoèstvo {to }e bide ekvivalentno so mnoèstvoto G.

10Dve mnoèstva A i V se ednakvi ako se sostaveni od isti elementi.

Zapi{uvame: A = V

Dali se ednakvi mnoèstvataA = {1, 3, 5, 7} i B = {1, 2, 5, 7}?

Koi od slednive mnoèstva se ednakvi me|u sebe: A = {x | x > 5 i x < 10}, B = {8, 7, 6, 9}, C = {5, 6, 7, 8, 9, 10}, D = {6, 7, 8, 9}?

Razgledaj go crteòt! Elementi na mnoèstvotoM se rozi, a na mnoèstvoto S se crveni rozi.

Dali sekoj element na mnoèstvoto S e ele-ment na mnoès tvoto M?

Za dve mnoèstva A i V {to ne seednakvi, pi{uvame: A ≠ V.

5

no: {s, t, o, l} = {l, o, s, t}

6

7S

V M

Za mnoèstvoto S velime deka e podmnoèstvo na mnoèstvoto M, ako sekoj ele-ment na mnoèstvoto S e element na mnoèstvoto M. Zapi{uvame: S ⊆ M.

Ako mnoèstvoto S e podmnoèstvo na mnoèstvoto M i M ima elementi {to ne mupripa|aat na mnoèstvoto S, toga{ S se vika vistinsko podmnoèstvo na M.Zapi{uvame S ⊂ M.

Mnoèstvoto Y e dadeno so Venov dijagram.Dali mnoèstvoto R e podmnoèstvo na mno-èstvoto Y? Obrazloì go svojot odgovor!Dali mnoèstvoto K e vistinsko podmnoè-stvo na mnoèstvoto Y? Obrazloì! Koe od slednite tvrdewa e to~no: P ⊂ S; S ⊆ S i S ⊂ S?

13

4

2

6

Y

R

K 5

7

8

Sekoe mnoèstvo e podmnoèstvo samo na sebe. A ⊆ A.

Primer: {a, b, c} ⊆ {a, b, c}, zatoa {to sekoj element od prvoto mnoèstvo e elementna vtoroto mnoèstvo.

Praznoto mnoèstvo e podmnoèstvo na sekoe mnoèstvo. ∅ ⊆ A.

Voo~i!

11

Da navede{ primeri za ednakvi, odnosnoekvivalentni mnoèstva;

da razlikuva{ ekvivalentni mnoèstvaod ednakvi mnoèstva;

da znae{ {to e podmnoèstvo i {to evistinsko podmnoèstvo;

da odredi{ podmnoèstvo od dadenomnoèstvo.

Dadeno e mnoèstvoto P = {5, 10, 15, 20}.

Zapi{i mnoèstvo K ekvivalentno so mnoèstvoto R.

Zapi{i mnoèstvo L ednakvo so mnoè-stvoto R.

Zapi{i dve podmnoèstva na mnoè-stvoto R.

Treba da znae{ Proveri se!

Zada~i

Na crteòt gi voo~uva{ mnoèstva-ta D i N.

1. Neka U e mnoèstvoto u~enici vo tvo -eto u~ili{te, R e mnoèstvoto u~enicivo {esto oddelenie, K e mnoèstvotou~e nici od tvojata u~ilnica, a elemen-tot y si ti, u~eniku.

So Venov dijagram pretstavi gi mno-èstvata U, P, K i elementot y.

2.

3.

7 9 51

N

D

3 2 8 6

4 10

Zapi{i go mnoèstvoto D natabela ren na~in.

Zapi{i go mnoèstvoto N na opisenna~in.

Dali mnoèstvata D i N se ekviva-lentni? Zo{to?

[to e to~no za D i N: D ⊆ N ili N ⊆ D? Zo{to?

Ako y ∈ K i K ⊆ R, toga{ y ∈ R. Dali eto~no? Zo{to?

4. Zapi{i gi site podmnoèstva namnoèstvoto A = {a, b, c}.

DosetkaI ova e matemaika!

Vo edna prodavnica za metalni proizvodi, me|u kupuva~ot i proda-va~ot se vodel sledniot razgovor:"Kolku pari e eden?#, pra{al kupuva~ot."Deset denari#, odgovoril prodava~ot."Za kolku pari moàm da kupam dvanaeset?#, pra{al kupuva~ot."Dvaeset denari#, odgovoril prodava~ot."Dobro, dajte mi toga{ trista i dvanaeset#, kaàl kupuva~ot."Toa }e ve ~ini, gospodine, trieset denari.# [to kupil kupuva~ot?

B

12

Na crteòt se dadeni mnoèstvata A, V i D.

Zapi{i gi mnoèstvata A, V i D na tabela-ren na~in.

3 A VD

1 3

5 7

9

2 6

4 10

8

Presek na dve mno ̀ estva A i V e mnoèstvoto S obrazuvano od elementite {to sezaedni~ki za A i V.Zapi{uvame: C = A ∩ V i ~itame: „S e ednakvo na A presek V“.

x ∈ A ∩ V, zna~i: x ∈ A i x ∈ V.

Neka A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 5, 7} i C = {1, 4, 5}.

Opredeli gi mnoèstvata: A ∩ B, A ∩ C i B ∩ A.Dali mnoèstvata A ∩ B i B ∩ A se ekvivalentni? Dali se razli~ni?

Pretstavi gi mnoèstvata A, V i S so Venov dijagram, taka {to da moè da se odredat elementite na nivnite preseci.

1

2

Pretstavi gi mnoèstvata A i V soVenov dijagram.

Dadeni se mnoèstvata A = {1, 2, 3, 4, 5} i B = {3, 4, 5, 6}.

Mnoèstvoto zaedni~ki elementi naA i V ozna~i go so S.

Mnoèstvoto S pretstavi go natabelaren na~in.

A

PRESEK, UNIJA I RAZLIKA NA MNO@ESTVA4Potseti se!

Spored crteòt A e mnoèstvocrveni figuri, V e mnoèstvotriagolnici, a S e mnoèstvocrveni triagolnici.

Zo{to mnoèstvoto S e presekna mnoèstvata A i V?

A S V

Voo~i go re{enieto. C = {3, 4, 5}.

1

2

63

4

5

A BC

Mnoèstvoto S epresek na mno -èstvata A i V.

Mnoèstvoto D e unija namnoèstvata A i V.

13Unija na mnoèstvata A i V e mnoèstvoto D obrazuvano od site elementina tie mnoèstva.Zapi{uvame: D = A ∪ V i ~itame: „D e ednakvo na A unija V”.

x ∈ A ∪ V, zna~i: x ∈ A ili x ∈ V.

A, V i C.

C ∪ B, C ∪ A i B ∪ A.A ∪ ∅, B ∩ C, B ∩ A i A ∩ C.

Na crteòt se dadeni mnoèstvata A, V i Cso Venov dijagram.Zapi{i gi na tabelaren na~in mnoèstvata:

4A

CV

1 2

9

3

12 13

11 14

VOdredi gi mnoèstvata A ∩ V i V ∩ A.

Dali mnoèstvata A ∩ V i V ∩ A se razli~ni?

Odredi gi mnoèstvata A ∪ V i V ∪ A.

Dali mnoèstvata A ∪ V i V ∪ A se ednakvi?

Dadeni se mnoèstvata A = {1, 2, 3, 4, 5} i V = {2, 4, 6, 8}.5

Odredi A ∪ B, a potoa (A ∪ B) ∪ C.Odredi B ∪ C, a potoa A ∪ (B ∪ C).Dali (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)?Proveri dali vaì: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

Pokaì deka za presekot, odnosno za unijata, na mnoèstvata B i S od zada~ata 4vaì komutativnoto svojstvo.

Proveri go komutativnoto svojstvo za nivnata unija.

Neka A = {3, 6, 9}, B = {2, 4, 6, 8} i C = {1, 3, 5, 9}.7

6

Voo~uva{ deka: A ∩ V = V ∩ A i A ∪ B = B ∪ A

Voo~i!

Presekot na dve mnoèstva ima komutativno svojstvo.

Unijata na dve mnoèstva ima komutativno svojstvo.

Unijata na tri mnoèstva imaasocijativno svojstvo.

Presekot na tri mnoèstva ima asocijativno svojstvo.

Izberi tri mnoèstva A, V i S i pokaì deka (A ∩ V) ∩ S = A ∩ (V ∩ S).

Ako se znae deka x ∈ A ∪ B, dali x ∈ B?

Problem

�

G

Zapi{i gi na tabelaren na~in mnoèstvata A i V.

Zapi{i go na tabelaren na~in mnoèstvoto S ~ii elementi se onie ele-menti od mnoèstvoto A {to ne se elementi na mnoèstvoto V.

Razgledaj go crteòt. So Venov dijagram se pret-staveni mnoèstvata A i V.

8 A B1

273

8

95

6

14

Neka A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 5, 7, 9} i C = {3, 5, 7, 9, 11}.9

Zapi{i gi na tabelaren na~in mnoèstvata: A \ B, B \ A, B \ C i A \ (B \ C).Dali A \ B = B \ A?Proveri dali e to~no: A \ (B \ C) = (A \ B) \ C?

Neka M = {x | x e priroden broj i x < 7}, S = {5, 6, 7, 8, 9} i P = {x | x e priroden broj odprvata desetka}. Odredi:

10

M ∩ Y. Y ∪ R. P \ M. M ∪ (R \ Y).

Razlikata na mnoèstvata nema ni komutativnoni asocijativno svojstvo.

Treba da znae{!

Da odredi{ presek na dve mnoèstva;

da odredi{ razlika na dve mnoèstva;

da odredi{ unija na dve mnoèstva;

deka presekot, odnosno unijata, imakomutativno i asocijativno svojstvo.

Dadeni se mnoèstvata A = {a, b, f, g},B = {b, c, e, f, 1, 2} i C = {b, c, e, 1}.Zapi{i gi mnoèstvata:

A ∩ B. B \ C. A ∪ B ∪ C.

Zada~i

Na crteòt se dadeni mnoèstvaso Venovi dijagrami pod a, b i v.

1.

Koi operacii se pretstaveni soobo enite delovi?

a) b) v)

Dadeni se mnoèstvata A = {m, n, p, k} i M = {s, p, t, k, r}

2.

Odredi δA i δM.Zapi{i gi na tabelaren na~in A ∪ M, M ∩ A i M \ A.Odredi: δ(A ∪ M), δ(A ∩ M) i δ(M \ A).

Neka R e mnoèstvoto parni broevi, a Y emnoèstvoto neparni broevi od pr vatadesetka.

3.

[to pretstavuva:a) unijata na R i Y; v) razlikata na R i Y;b) presekot na R i Y; g) razlikata na Y i R?Obrazloì go svojot odgovor za sekoj od slu~aite pod a, b, v i g.

NA {TO LI E EDNAKVA

RAZLIKATA ME|U NIV?

Mnoèstvoto S od elementite {to mu pripa|aat na mnoèstvoto A, a ne mu pripa|aatna mnoèstvoto V se vika razlika na mnoèstvoto A so mnoèstvoto V. Zapi{uvame: S = A \ V i ~itame: „S e ednakvo na A minus V”.

x ∈ A \ B zna~i: x ∈ A i x ∉ B.

Mnoèstvoto S = {1, 2, 5, 6} dobieno na vakov na~in e razlikana mnoèstvoto A i mnoèstvoto V, odnosno S = A \ V.

Proveri se!

Potseti se!

15PODREDEN PAR. DEKARTOV PROIZVOD51

Dadeni se mnoèstvata {2, 3} i {3, 2}.Tie se dvoelementni, t.e. se sostave-ni od par elementi.

No, vo nekoi slu~ai, redosledot naelementite vo parot ima bitno zna -~ewe: par rakavici, par ~evli i dr.

Dali {2, 3} = {3, 2}? Zo{to?

Na crteòt e pretstavena kino sala.Tretiot stol vo vtoriot red i vto-riot stol vo tretiot red se prazni.

Redot i stolot pret-stavuvaat eden par.

Neka prviot broj odparot go ozna~uva redot (2), a vtoriotbroj go ozna~uva sto-lot (3). Toa go zapi-{uvame so (2, 3) i ve-lime deka e podreden par.

Tie ozna~uvaat razli~nimesta vo salata.

Parot (a, b) vo koj to~no se znae koj elemente prv, a koj element e vtor se vika podredenpar. Vo podredeniot par (a, b), a e prva kom-ponenta, dodeka b e vtora komponenta.

2 Neka mnoèstvoto A = {s, p, q}, a mnoèstvoto B = {1, 2}.

Zapi{i gi site podredeni paro-vi ~ija prva komponenta e elementna V, a vtorata komponentae element na A.

Da zapomnam! Podredeniot par (a, b) e ednakov na podredeniotpar (c, d) ako a = c i b = d i sezapi{uva (a, b) = (c, d).

Zapi{i gi site podredeni parovi ~ija prva komponenta e element na A, a vtoratakomponenta e element na V.

Dali podredenite parovi (2, 3) i (3, 2) ozna~uvaat isto mesto vo salata?

Dali podredeniot par (s, 1) e ednakov so (1, s)?

Neka A = {1, 2} i B = {a, b, c}. Formiraj go mnoèstvoto ~ii elementi se sitepodredeni parovi na koi prvata komponenta e od mnoèstvoto A, a vtoratakomponenta e od mnoèstvoto V.

3

Mnoèstvoto na koe elementi mu se site podredeni parovi ~ija prva komponenta eelement od mnoèstvoto A, a vtorata komponenta od mnoèstvoto V se vikaDekartov proizvod na mnoèstvata A i V. Se ozna~uva so A h V. Se ~ita A po V.

A h V = {(x, y) | x ∈ A i y ∈ B}.

Dadeno e mnoèstvoto S = {1, 2, 3} i Dekartoviot proizvod S x P = {(1, a), (2, a), (3, a)}.4Zapi{i go mnoèstvoto R na tabelaren na~in.

A

B

16

A h A e Dekartov proizvod na mnoèstvoto A. Dekartoviot proizvod A h A se vikaDekartov kvadrat i se ozna~uva so A2. Se ~ita: „A na kvadrat.”

Dadeno e mnoèstvoto A = {a, b}. Odredi go Dekartoviot proizvod A x A.5

Odredi go Dekartoviot kvadrat na mnoèstvoto M = {5, p}.6

Voo~i i zapomni

Treba da znae{!

Da razlikuva{ dvoelementno mnoè-stvo od podreden par;

da gi odredi{ site podredeni paroviza dve dadeni mnoèstva;

{to e Dekartov proizvod;

da odredi{ prva i vtora komponentana podreden par;

{to e Dekartov kvadrat.

Dadeni se mnoèstvata A = {a, b}, B = {5, 55}i C = {m, n}.

Zapi{i gi site podredeni parovi ~ijaprva komponenta e element na mnoè -stvoto A, a vtorata komponenta e ele-ment na mnoèstvoto S.

Zapi{i go mnoèstvoto A h V na tabela -ren na~in.

Zapi{i go mnoèstvoto V2.

Zada~i

Zapi{i gi podredenite parovi na koiprvata komponenta e od mnoèstvotoA = {2, 5}, a vtorata komponenta odmnoèstvoto V = {a, b, c}.

1.

Koj broj treba da stoi na mestoto od� za podredenite parovi da bidatednakvi:a) (5, �) = (5, 2);b) (�, 6) = (8, 6);v) (�, 3) = (7, �)?

2.

Dadeno e mnoèstvoto Y h R = {(0, m), (1, m), (2, m)}.

4.

Odredi go mnoèstvoto Y.

Odredi go mnoèstvoto R.

Odredi go Dekartoviot kvadrat na

mnoèstvoto Y.

A e mnoèstvo imiwa:A = {Jovan, Biljana, Dragan}.V e mnoèstvo glagoli:V = {pee, spie, u~i}.Odredi go Dekartoviot proizvod A h V.

3.Podredenite parovi }e mibidat prosti re~enici. Naprimer: Jovan pee.

Proveri se!

Potseti se!

17

B

NIZA OD PRIRODNITE BROEVI6

Kolku klupi ima vo tvojata u~il -nica?

Odredi go brojot na mom~iwata vo tvojata paralelka.

Pro~itaj gi broevite:23, 1005, 207, 987 000.

So koi cifri e zapi{an brojot 813 265?

Kolku cifri se koristat za zapi-{uvawe na broevite? Koi se tie? Za sekoj od tie broevi velime deka e priro-

den broj.

So cifri zapi{i gi broevite:

sto pedeset i {est;

devetstotini i eden;

eden milion.

1

Broevite: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ..., 99, 100, 101, ..., 9 999, 10 000, ... se vikaatprirodni broevi, a taka naredeni eden po drug ja obrazuvaat nizata na prirodnitebroevi.

Mnoèstvoto prirodni broevi se ozna~uva so N; N = {1, 2, 3, 4, ...}.Brojot 0 ne go smetame za priroden broj. Zatoa 0 ∉ N.

Mnoèstvoto od site prirodni broevi i brojot 0 se ozna~uva so N0; N0 = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

Na crteòt voo~uva{ ulica i dva reda ku}iozna~eni so broevi.

So koi broevi se ozna~eni ku}ite od ednatastrana na ulicata?

So koi broevi se ozna~eni ku}ite od drugata strana na ulicata?

2

Broevite: 1, 3, 5, 7, ... se neparni broevi, a 2, 4, 6,8, 10 ... se parni broevi.

Koi od broevite: 36, 13, 1 111, 100 000, 99 se parni, a koi se neparni?3

A

Prirodni broevi!

1 2 3 4 5 ...

V Kako }e opredeli{ brojna prava?

Raboti spored barawata i sledi go crteòt.

Nacrtaj prava a.Na pravata a ozna~i dve to~ki O i A.Na to~kata O pridruì £ go bro jot 0, a na to~kata Abrojot 1.

4

0 1

O A

20 1

SO A

a

a

a

18

Brojot 5 e prethodnik, a brojot 7 e sledbenik na brojot 6.

Koj e prethodnik, a koj e sledbenik na brojot 100?

Kako se dobiva prethodnikot, a kako sledbenikot na eden broj?

6

Zapi{i eden mnogu golem priroden broj.

Dodaj go brojot 1 na brojot {to si go zapi{al.

Dali ima pogolem broj od brojot {to go dobi?

Mnoèstvoto na parni broevi. Mnoèstvoto na neparni broevi.

Brojot na ìtelite vo R. Makedonija. Brojot na zrnca pesok na edna plaà.

7

Koe od slednite mnoèstva e beskone~no?8

Sekoj broj od nizata na prirodnite broevi, osven 1, se dobiva koga na negoviotprethodnik }e mu se dodade brojot 1.

2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1; ...; 100 = 99 + 1; ...; 365 = 364 + 1; ...

Na koj bilo brojmoàm da mudodadam 1 i }edobijam pogolembroj.

Otse~kata OA ja zemame za edini~na otse~ka, t.e. OA = 1.

Na polupravata OA, od to~kata A, prenesi ja edini~nata otse~ka OA. Kraj-nata to~ka ozna~i ja so S i pridruì ñ go brojot 2.

Kako }e odredi{ to~ka {to odgovara na brojot 3?

Voo~i drug primer za beskone~no mnoèstvo.

Mnoèstvoto od prirodni broevi ~ija cifra na edinici e 1, t.e. {1, 11, 21, 31, ...}.�

Na ovoj na~in e opredelena prava na koja moè da se pretstavuvaat prirodnite broevi.Taa prava se vika brojna prava.

Voo~i i zapomni!

Sekoj priroden broj ima sledbenik.

Prirodnite broevi se podredeni po golemina: 1 < 2 < 3 < ... < 56 < 57 < ... < 1 008 < ...

Ne postoi najgolem priroden broj.

Ima beskone~no mnogu prirodni broevi.

Mnoèstvoto N od prirodnite broevi e beskone~no mnoèstvo.

0 1 2 3 4 6

Razgledaj go crteòt:5Koj broj e za 1 pomal od brojot 6?

Koj broj e za 1 pogolem od brojot 6?

19

Dadeni se cifrite: 7, 4 i 0.

Navedi primer za beskone~no mnoèstvo.

Formiraj gi site tricifreni prirodni broevi so koristewe na dadenite cifri.

Podredi gi broevite {to gi formira po~nuvaj}i od najgolemiot broj.

Zapi{i gi prethodnikot i sledbenikot na najgolemiot broj {to go formira.

Zada~i

Na crteòt ima kniga so skinatistranici.

1. Koi broevi na brojnata prava treba dase zapi{at na praznite mesta?

2.

Nacrtaj brojna prava i na nea pretstavigi parnite broevi od 0 do 20.

3.

Mnoèstvoto S = {x | x e neparen priro-den broj}, zapi{i go na tabelaren na~in.

4.

Zapi{i go so zborovi brojot ozna~enso strelkata.

Koj element e najmal vo mnoèstvoto Y?

Dali mnoèstvoto Y ima najgolem ele-ment?

Kolku elementi ima mnoèstvoto Y?

Zapi{i gi brevite na straniciteod knigata {to se skinati.

So koi cifri se zapi{ani broe-vite na tie stranici?

Zapi{i go mnoèstvoto A od par-nite broevi na stranicite {tonedostasuvaat vo knigata.

0 10 20 30 40 50 60 100 120 140 160

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Treba da znae{!

Da razlikuva{ {to e cifra, a {to broj;

da odredi{ sledbenik i prethodnik nadaden priroden broj;

da pretstavuva{ prirodni broevi na brojnaprava;

da navede{ primeri za beskone~no mnoèstvo.

Zapi{i gi podredeni prirodnite broevi na tretata desetka vo pettatastotka.

9

JAS SUMPRETHODNIK!

JAS SUMSLEDBENIK!

Proveri se!

Potseti se!

20 DEKADEN BROEN SISTEM

Kolku desetki ima brojot 100?

Kolku iljadi ima brojot 3 865?

Kolku edinici ima brojot 128 563?

Zapi{i go so cifri brojot pret-staven na pozicionata smetalka.

Zapi{i go mno`estvoto S od sitecifri so koi se zapi{uvaat pri-rodnite broevi.

7

1

SI DI EI S D E

00 11 22 33 44 5566 77 88 99

Odredi go δS.

Site pri rodni broevi gi zapi {u vame sodesette cifri: 0, 1, ..., 9.Broe vite gi zapi{uvame vo dekadenbroen sistem.

Ima desetcifri.

Na koja pozicija e zapi{anacifrata 2?

Pozicionata vrednost nacifrata 4 vo brojot 7 143 528 e~etirieset iljadi. Koja e pozi-cionata vrednost na cifrata 3,a koja na cifrata 8?

Vo klasata milioni na pozicijata edinicimilioni e zapi{ana cifrata 7. Koja enejzinata poziciona vrednost?

Vo zapisot na broevite, sekoja cifra poka`uva broj na edinici ili broj na desetkiili broj na stotki itn., soodvetno na pozicijata (mestoto) na koe e zapi{ana.

Se potsetiv! 7 ⋅ 1 000 000 = 7 000 000.

Razgledaj ja tabelata vo koja e za pi{an brojot 7 143 528. Sekoja ci fra na brojot ezapi{ana na odre dena pozicija (mesto). Sekoja grupa od tri cifri, odej}i oddesnonalevo, e zapi{ana vo odredena klasa.

2

A

KLASAMILIONI

KLASAILJADI

KLASAEDINICI

SM DM EM SI DI EI S D E

7 1 4 3 5 2 8

Cifra KlasaPozicija na

koja e zapi{anacifrata

Pozicionavrednost na

cifrata

3 Iljadi DI 30 000

4 Iljadi EI 4 000

5 Edinici S 500

0 Edinici D 0

9 Edinici E 9

21

Broevite 1, 10, 100, 1 000 itn. se vikaat dekadni edinici.

Sostavi tabela za brojot 2 628 i vo nea zapi{i gi podatocite za sekoja cifra.

Zapi{i gi site dekadni edinici do 10 000 000.

Kako se vika brojot zapi{an pod a), a kako se vika brojot pod b)?

Koja e pozicionata vrednost na cifrite: 5; 8; 2 vo brojot 50 800 200 000?

Razgledaj ja tabelata so podatoci za brojot 34 509.3

Voo~i! Za kolku pati se zgolemuva vrednosta na cifrata 3 po~nuvaj}i od pozicijatana edinicite?

4

34 509

20Jas vredampove}e

Nie smeisti

EI S D E

3 3 3 3⋅10⋅100

⋅1 000

2

Zapi{i go brojot koj{to ja sodr`i cifrata 1, a po nea se dopi{ani:

a) 3 nuli; b) 6 nuli; v) 9 nuli; g) 12 nuli; d) 18 nuli.5

Zapi{i go so cifri brojot †Pedeset milijardi osumstotini milioni i dveste iljadi”.6

B

Brojot, zapi{an:

1 000 000 000, se vika milijarda;

1 000 000 000 000, se vika bilion;

1 000 000 000 000 000 000, se vika trilion.

Zapomni!

��

Znam za a) i b).Kako li se vikaatdrugite broevi?!

22

Razgledaj go crte`ot!

Pro~itaj go brojot pretstaven na pozicionatasmetalka i zapi{i go so cifri.

Koja cifra ja zapi{a na pozicijata desetkiiljadi i koja e nejzinata poziciona vrednost? EM SI DI EI S D E

Proveri se!

Zada~i

Daden e brojot 5 203 478. Za sekojaod cifrite 5; 2; 7; 0 odredi:

a) vo koja klasa se nao|a;

b) koja e nejzinata pozicija;

v) koja e nejzinata poziciona vrednost.

1.

Koj broj }e dobie{ ako na edentrilion ja izbri{e{ sekoja vtoranula?

4.

Kako se ~ita brojot 5, a kakocifrata 5?

5.

Kako se vika brojot {to ima milionmilioni?

6.

Sostavi tabela od klasi i poziciivo koja }e gi zapi{e{ cifrite nabrojot 7 405 906.

2.

Zapi{i go so cifri brojot †osumbilioni trista i dve milijardi{eeset milioni ~etiristotiniiljadi i petstotini”.

3.

Treba da znae{!

Da odredi{ klasi na pove}ecifren broj;

da ja odredi{ pozicionata vrednost na sekoja cifra vo daden broj;

deka cifrite se znaci za zapi{uvawe na broevite.

Problem

Sedumcifren broj po~nuva so cifrata 7. Kako i da girazmesti{ cifrite na toj broj, brojot ne se menuva.Koj e toj broj?

23

Potseti se!

^̂ITAWE I ZAOKRU@UVAWE NA PRIRODNI BROEVI

Zapi{i go so zborovi brojot: 16;23; 45; 125; 50; 200.

Zapi{i go so zborovi brojot

a) 157; b) 216; v) 350.

Vo koi od zapi{anite broevi goupotrebi svrznikot “i”?

81A

Na eden ko{arkarski natprevar reporterot kaàl deka natprevarot go sle-dat okolu 2 000 gleda~i.

3

Zapi{i gi so zborovi broevite:

200 000; 20 300 000; 70 112 500; 9 326 540 217.

2

Broevite 32, 35 i 37 sepretstaveni na brojnaprava.

4

B

Sporedi go tvoeto zapi{uvawe so dade-noto.a) Sto pedeset i sedum.b) Dveste i {esnaeset.v) Trista i pedeset.

Dali reporterot go kaàl to~niotbroj na gleda~i?

Koi se sosedni desetki za pretstavenite broevite?

Odredi ja razlikata na sekoj od broevite do sosednite desetki.

Do koja sosedna desetka e poblisku sekoj od broevite?

Voo~i go ~itaweto na broevi i upotrebata na svrznikot †i”.

Svrznikot †i” ne se koristi ako brojot eod eden zbor (imeto na klasata ne sesmeta).

15 - petnaeset;

700 - sedumstotini;

50 000 - pedeset iljadi.

Vo sekoja klasa: edinici, iljadi, mil-ioni, ... svrznikot †i” se koristi me|uposlednite dva zbora, t.e. dva broja(imeto na klasata ne se smeta).

302 413 - trista i dve iljadi ~etiris-totini i trinaeset.

5 020 340 - pet milioni dvaeset iljadi trista i ~etirieset

Svrznikot †i” se koristi i me|u klasi,ako poslednite dva zbora (broja)pripa|aat na razli~ni klasi.

300 200 - trista iljadi i dveste.

8 302 100 - osum milioni trista i dve iljadi i sto.

�

�

��

��

��

Reporterot kaàl pri -blièn broj na gleda~i.

30 32 35 37 40

24 Sogledaj gi odgovorite

Za dadenite broevi brojot 30 e pomalata sosedna desetka, a 40 e pogolemata sose dnadesetka.

32 - 30 = 2; 40 - 32 = 8. Brojot 32 e poblisku do 30.

37 - 30 = 7; 40 - 37 = 3. Brojot 37 e poblisku do 40.

35 - 30 = 5; 40 - 35 = 5. Brojot 35 e to~no me|u broevite 30 i 40.

Brojot 32 e pribli`no ednakov na brojot 30. Zapi{uvame 32 ≈ 30.

Velime deka

Brojot 37 e pribli`no ednakov na brojot 40. Zapi{uvame 37 ≈ 40.

Brojot 35 e to~no me|u broevite 30 i 40. Po dogovor zapi{uvame 35 ≈ 40.

Ova zapi{uvawe se vika zaokruùvawe na broj na desetki.

Zaokruì gi na desetki broevite: 148, 243, 2 671, 3 585 i 74 598.5

Broevite: 3 435 i 3 468 se pretstaveni na brojna prava.6

Zaokruì gi na stotki broevite: 1 372, 2 145, 1 653 i 4 898.7

Zaokruì gi na iljadi broevite: a) 21 363; 47 612; 43 577. b) 4 803; 13 501; 177 982.

8

��3 4003 435 3 468

3 500

Odredi ja razlikata na sekoj od broevite do sosednite stotki.

Koga pri zaokruùvaweto na eden broj na stotki cifrata na pozicijata stotki ostanu-va ista, a koga se zgolemuva za 1?

Do koja sosedna stotka e poblisku sekoj od broevite?

Zaokruì go sekoj od broevite na stotki.

Sogleda deka 3 435 e poblisku do 3 400, a 3 468 do 3 500.

Broevite zaokruèni na stotki se: 3 435 ≈ 3 400; 3 468 ≈ 3 500.

Cifrata na pozicijata stotki ostanuva ista ako cifrata na pozicijatadesetki e broj pomal od 5, a se zgolemuva za 1 ako cifrata na pozicijatadesetki e 5 ili broj pogolem od 5.

25Sogledaj go re{enieto a)

21 363 ≈ 21 000; 47 612 ≈ 48 000; 43 577 ≈ 44 000.

Sogleda deka pri zaokruùvawe na nekoj broj do odredena pozicija (desetki, stotki,iljadi, ...) postapuva{ na sledniot na~in:

Cifrata na taa pozicija ostanuva ista ako po nea e nekoja od cifrite: 0, 1, 2, 3 ili4, a taa se zgolemuva za 1 ako po nea e nekoja od cifrite 5, 6, 7, 8 ili 9.

Zaokruì go brojot 35 738 na:a) desetki; b) stotki; v) iljadi; g) desetki iljadi.

9

��

Site cifri desno od taa pozicija se zamenuvaat so nuli.�

Treba da znae{!

Pravilno da ~ita{ prirodni broevi,pomali ili pogolemi od milion;

da zaokruùva{ prirodni broevi na:desetki, stotki i iljadi.

Pro~itaj go brojot: 5 200; 45 678 350.

Zaokruì go na desetki; stotki; iljadi,brojot: a) 34 752; b) 224 750.

Proveri se!

Zada~i

Zapi{i go so bukvi brojot: 2 345; 250;6 400 310.

1.

Zapi{i go so cifri brojot: †Tristamilioni dveste i pet iljadi i osum-stotini”.

2.

Koj od znacite <, = ili > treba dastoi vo kruk~eto za da bide to~no?

3.

Dali brojot 24 632 e poblizu

a) do 24 700 ili do 24 600;

b) do 24 000 ili do 25 000?

4.

Zaokruì go brojot 25 375 na: desetki; stotki; iljadi.

5.

Zaokruì go brojot 15 409 632 nailjadi.

6.

7.

12 245 12 250; 12 245 12 240;

12 245 12 200; 12 245 12 300.

Dali postoi najgolem priroden broj?

Koj e najmaliot priroden broj?

Zapi{i ja cenata na avtomobilot so zborovi.

1 216 358 den.

Obidi se da re{i{!

Ne bi imalo smisla da go kaè{ kakoza okruèn broj, brojot na tvojot telefon.

Obidi se da najde{ dva primera kade nebi imalo smisla da gi zaokruì{ broe-vite.

26

Partizan(gimnastika)

Spartak(karate)

Delikates(ko{arka)Akvaten(tenis)

Dru{tvo (aktivnost)

R A B O T AS O P O D A T O C I

Angela i @aki sprovele istraùvawe za vonnastavnite aktivnosti na u~eniciteod svojata paralelka. Tie gi pra{ale u~enicite vo koe dru{tvo ~lenuva sekoj odniv. Podatocite prvo gi zapi{ale so crti~ki, a potoa gi sredile i formiraletabela.

1

Ilija sprovel istraùvawe za bojata na velosipedite {to naj~esto se sre}ava vonegovoto selo. Pribiral podatoci taka {to gi nabquduval decata so velosipedivo u~ili{niot dvor i popolnuval lista so crti~ki.

2

Marija pribirala podatoci za omilenoto godi{no vreme na nejzinite sou~enici. Voo~i ja listata: P - prolet; L - leto; E - esen; Z - zima.

3

Broj

Partizan(gimnastika)

Spartak(karate)

Delikates(ko{arka)Akvaten(tenis)

Dru{tvo (aktivnost) Broj

9

13

15

3

Tabela so crti~ki Tabela na frekvencii

Vo tabelata se dadeni broj napodatoci. Taa se vika tabelana frekvencii.

Kolku vkupno u~enici odgovo-rile na postavenoto pra{awe?

Formiraj nova tabela na frek -vencii taka {to podatocite }egi podredi{ spored golemina-ta na brojot (po~nuvaj}i od naj-golemiot broj).

Formiraj tabela na frekfencii.

Podredi gi podatocite po~nuvaj}i od najmaliot.

Kolku vkupno velosipedi zabeleàl Ilija?

Koja boja na velosipedi e najzastapena?@olta

Crna

Crvena

Sina

Zelena

Boja Broj

Nabquduvaweto na Ilija e eden od na~inite na koj moè da sepriberat podatoci. Podatoci moàt da se priberat na razli~nina~ini: pra{uvawe po telefon, ispra}awe pra{alnik popo{ta, koristewe knigi, spisanija i dr.

Pretstavi gi podatocite vo tabela na frekvencii i podredi gi po~nuvaj}i odnajomilenoto godi{no vreme.

P P L Z Z E P L E Z Z P L E Z Z P P LL L E Z P E E Z Z P P P L E P P Z L E

INSTRUMENTI ZA PRIBIRAWE PODATOCI9Pribiraweto na podatoci se vr{i na pove}e na~ini: so anketirawe, nabquduvawe,merewe, broewe, od literatura i dr.

Instrumenti (sredstva) za pribirawe podatoci se: pra{alnik, anketen list, objavenipregledi i drugi statisti~ki podatoci.

Potseti se!

27

B

A

Promena na mestata na sobiro-cite ili komutativno svojst-vo na sobiraweto.

a + b = b + a

Ako se promeni mestoto na sobirocite zbirot ostanu-va nepromenet.

52 + 34 = 86 ili 34 + 52 = 86

sobiroci zbir sobiroci zbir

Grupirawe na sobirocite iliasocijativno svojstvo nasobiraweto.

a + (b + c) = (a + b) + cZatoa, zagradite moè da seizostavat: a + b + c.

Nulata pri sobiraweto.a + 0 = 0 + a = a

Presmetaj:

14+ 35

353+ 168

47+ 803

68 + 37 + 3 + 916 =

98 796+ 14 534

Mare i Mile ìveat voKo~ani. Na odmor oti{levo Struga, no eden den sezadràle kaj baba im voBitola.

1

Odredi go zbirot na broevite 52 i 34.2

Struga

90 km

190 km

Bitola

Ko~ani

Kolku kilometri pominale Mare i Mile od doma do baba im?

Kolku kilometri pominale od Ko~ani do Struga?

Potseti se i voo~i gi svojstvata na sobiraweto vo mnoèstvoto N0.

Trite sobiroci moàt da se grupiraat na dva na~ina.Zbirot ostanuva nepromenet.

(71 + 114) + 16 = ili 71 + (114 + 16) =

185 + 16 = 201 71 + 130 = 201

Koga eden od sobirocite e nula, toga{ zbirot e edna-kov na drugiot sobirok.

583 + 0 = 583 ili 0 + 583 = 583

SOBIRAWE10

Presmetaj:

17 + 36 + 13 + 44 =

3

12 + 81 + 9 + 38 + 27 =

161 + 234 + 439 =

Primer

Koga se koristat svojstvata, sobirawetoe polesno!

27 + 59 + 3 = 27 + 3 + 59 = 30 + 59 = 89

Vo tabelata se dadenipodatocite za brojotna u~enici vo VI odde-lenie vo edno u~ili{te.

Odredi go vkupniot broj na u~enici vo VI oddelenie vou~ili{teto.

Odredi go brojot na u~enicite vo VIa i VIb, a potoa spo redi

gi.

28

Paralelka Mom~iwa Devoj~iwa

VIa 17 14VIb 14 17VIv 9 22

Zada~i

Presmetaj:1.

Vo eden vesnik pi{uva:„Na otvoraweto na festivalotprisustvuvale 1 300 posetiteli.Naredniot den pretstavata jagledale 726 posetiteli”.

2.

171

Grupiraj gi sobirocite i odredi gozbirot:

3.

64 + 33 + 36 + 48 + 57 =

Napravi procenka na zbirot od bro -evite 7 328 i 6 435, zaokruù vaj}i gina: iljadi; stotki; desetki.Za kolku se razlikuvaat pribli` ni -te rezultati od to~niot zbir nabroevite?

4.

Kolku posetiteli go posetilefestivalot vo dvata dena?

+ 16

27+ 72

39+ 93 + 39

44 + 27 + 51 + 33 + 19 =

1 024 + 1 039 + 2 161 + 4 836 =

V

Grupiraj gi sobirocite na drug na~in i odredi go zbirot.4

45 + (45 + 56) =

Odredi go zbirot na broevite 74, 33, 26, 48 i 57.

Odredi go zbirot na broevite 140, 310, 750, 360 i 290.

Na zbirot od broevite 124 i 139 dodaj go zbirot na broevite 261, 55 i 276.

Odredi go prethodnikot na sekoj od broevite 372, 126 i 319 i presmetaj gozbirot od prethodnicite.

( 1 207 + 101) + 269 =

5

Napravi procenka na zbirot od broevite so zaokruùvawe na stotki:a) 2 738 i 2 465; b) 4 562 i 5 378.

Za kolku se razlikuva pribli`niot rezultat od to~niot zbir na broevite?

6

Problem!

Brojot 2 e zapi{an sedum pati.

2, 2, 2, 2, 2, 2, 2

Koj e najmaliot zbir {to moè da sedobie od sedum dvojki i dva znaka plus?

Da odredi{ zbirna dva ili pove}ebroevi;da gi primeni{svojstvata na sobi -ra weto vo ednos-tavni primeri;da go proceni{rezultatot odsobira weto.

Treba da znae{!Proveri se!

Potseti se!

29

Presmetaj:

Koj broj treba da stoivo kvadrat~eto za dabide to~no?

475- 232

1 852- 800

2 685- 518

9 840- 189

47 - = 19

28 + = 47

+ 19 = 47

ODZEMAWE11

A Letnite olimpiski igri vo 2000 godina bea voSidnej - Avstralija.Olimpiskiot komitet pobaral da bidat rezervi-rani 4 830 vleznici za sve ~e noto otvorawe, noslobodni bile 3 892 sedi{ta.

Kolku lu|e ostanale bez vleznica?

1

4 830 - 3 892 =

Namalenik Namalitel Razlika

B

Olimpijada 1992

Ekipa Poeni

Italija 15 760

Amerika 15 649

Polska 16 018

Kolku poeni pove}e osvoila polskata ekipa oditalijanskata ekipa?

Koja e razlikata me|u najgolemiot i najmaliot broj poeni?

Za da moème da ja presmetame razlikata a - b na broevite a i b vo mnoèstvoto N0

treba da bide a > b ili a = b.

Koristi gi podatocite vo tabelata za da odgovori{ na pra{awata.2

Kolku vkupno leb proizveduva furnata zaedna sedmica?

Spored podatocite vo tabelata presmetaj kolku vkupno neprodaden leb ostanalo.

Vo edna furna se pe~at po 5 000 leba sekoj den.Vo tabelata se dadeni podatocite za prodade-niot leb vo edna sedmica.

3 Den Br. lebovi

Ponedelnik 1 260

Vtornik 4 205

Sreda 4 728

êtvrtok 3 916

Petok 4 010

Sabota 4 857

Nedela 1 376

30

Vozot trgnal od Bitola za Skopje so489 patnici. Vo Prilep od vozot sleg -le 120 patnici, a se ka~ile 70 patni-ci. Vo Veles slegle 42 patnici, a seka~ile 98. So kolku patnici vozot stignal voSkopje?

Zada~i

Kon brojot 836 dodaj ja razlikatana broevite 299 i 173.

Razlikata na najgolemiot ~etiri-cifren broj i najmaliot trici frenbroj zgolemi ja za 1 216.

1.

2. Asan imal 1 350 denari. Za da kupipatiki mu trebale 3 120 denari. Asangi zaokruìl parite na stotki.

Pomogni mu na Asan za da odrediu{te kolku stotki mu nedostasuvaat.

Presmetaj to~no kolku pari mu nedo -stasuvaat na Asan.

4.

Vesna ima 2 725 denari. Maja ima 120denari pove}e od Vesna. Ana ima 385denari pomalku od Vesna i Majazaedno.

Kolku denari ima Maja?

Kolku denari ima Ana?

3.

(26 + 128) - 37 = ; 432 - (26 + 15) = ;

(439 - 195) + (270 - 36) = .

Presmetaj:

Proceni ja razlikata na broevite 2 376 i 1 289 zaokruùvaj}i gi na stotki.

Proceni ja razlikata na broevite 457 i 165 zaokruùvaj}i gi na desetki;stotki. Sporedi gi procenkite so to~nata vrednost na razlikata.

4

Da odredi{ razlika na dva broja;

da presmeta{ vrednost na broenizraz so operaciite sobirawe iodzemawe so ili bez zagradi;

da ja proceni{ razlikata priodzemaweto.


Obidi se!

Ako zamisli{ koi bilo tri prirodni broja, dalisekoga{ me|u niv }e ima dva ~ij{to zbir e paren broj?

31ZAVISNOST NA ZBIROT I RAZLIKATA OD PROMENATA NA KOMPONENTITE

12

Potseti se!

Dadeni se zbirot 320 + 150 = 470i razlikata 250 - 120 = 130.

Koj broj treba da stoi vo kvadrat -~eto za da bide to~no.(320 + 30) + 150 = 470 + ;(320 - 30) + 150 = 470 - ;(320 + 30) + (150 - 30) = 470 + ?

A Utroto na †Denot na drvoto# sedoneseni 2 600 zimzeleni sadni-ci i 3 100 listopadni sadnici.

a) Kolku sadnici od dvata vidase doneseni toa utro?

b) Napladne se doneseni u{te400 zimzeleni sadnici. Za kolku}e se zgolemi brojot na sadnicitedoneseni toa utro?

1

Poznato e deka a + b = 200. Neka edniot od sobirocite se zgolemi za 300.

Presmetaj go zbirot a + (b + 300).

2

Kako }e se promeni zbirot 340 + 620 = 960

a) ako edniot sobirok se namali za 60;

b) ako edniot sobirok se namali za 60, a drugiot se zgolemi za 60?

3

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.a) 2 600 + 3 100 = 5 700; utroto se doneseni 5 700 sadnici.b) (2 600 + 400) + 3 100 = 3 000 + 3 100 = 6 100 = 5 700 + 400. Brojot na sadnicitedoneseni utroto se zgolemil za 400.

a) (340 - 60) + 620 = 280 + 620 == 900 = 960 - 60;

b) (340 - 60) + (620 + 60) = 960; zbirot ne se promeni.

a) Zbirot se namali za tolku za kolku{to se namali edniot od sobirocite.

Sogleda deka

Voo~i op{to za zbirot a + b = c

Ako edniot sobirok se zgolemi za odreden broj, a drugiotostane ist, toga{ i zbirot }e se zgolemi za istiot toj broj. (a + m) + b = c + m

Ako edniot sobirok se namali za odreden broj, a drugiotostane ist, toga{ i zbirot }e se namali za istiot toj broj. (a - m) + b = c - m

Zbirot nema da se promeni ako edniot sobirok se namaliza odreden broj, a drugiot se zgolemi za istiot toj broj. (a - m) + (b + m) = c

�

�

�

32 B Dadena e razlikata 750 - 430 = 320. Presmetaj i sogledaj kako semenuva razlikata ako namalenikot

a) se zgolemi za 50; b) se namali za 50.

4

Dadena e razlikata 2 480 - 560 = 1 920. Kako }e se promeni razlikata, ako namali -telot: a) go namali{ za 30; b) go zgolemi{ za 30?

5

Presmetaj ja razlikata 6 354 - 2 314. Kako }e se promeni razlikata ako i namale -nikot i namalitelot

a) se zgolemat za 120; b) se namalat za 120?

6

Kako }e se promeni razlikata, ako namalenikot se zgolemi za 10, a namalitelot senamali za 10?

7

Sekako sogleda:a) (750 + 50) - 430 = 800 - 430 == 370 = 320 + 50.

Razlikata: a) }e se zgolemi za 30; b) }e se namali za 30.

b) Razlikata }e se namali za 50.

a) Razlikata se zgolemi za 50, t.e.isto kolku {to be{e zgolemennamalenikot.

Voo~i deka razlikata ostanuva ista.

Voo~i op{to za razlikata a - b = d

Ako namalenikot se zgolemi (odnosno se namali) zaodreden broj, a namalitelot ostane ist, toga{ i razlikata}e se zgolemi (odnosno }e se namali) za istiot toj broj.

(a + m) - b = d + m(a - m) - b = d - m

Ako namalitelot se zgolemi za odreden broj, a namale -nikot ostane ist, toga{ razlikata }e se namali za toj broj.Ako namalitelot se namali za odreden broj, a namale nikotostane ist, toga{ razlikata }e se zgolemi za istiot toj broj.

a - (b + m) = d - ma - (b - m) = d + m

Razlikata nema da se promeni ako namalenikot i nama -litelot se zgolemat ili se namalat za eden ist broj.

(a + m) - (b + m) = d(a - m) - (b - m) = d

�

�

�

Kako se menuva zbirot na dva broja,ako edniot sobirok:

Treba da znae{!

se zgolemi za daden broj;

se namali za daden broj;

se zgolemi za daden broj, a drugiotsobirok se namali za toj broj?

Kako se menuva razlikata na dva broja:

ako namalenikot se zgolemi odnosnose namali za daden broj;

ako namalitelot se namali, odnosnose zgolemi za daden broj;

ako i namalenikot i namalitelot sezgolemat, odnosno se namalat, zaistiot toj broj.

33

Zbirot na dva broja iznesuva 3 540. Kolku }e iznesuva zbirot ako edniot od sobiro -cite se namali za 140?

Razlikata na dva broja iznesuva 270. Kolku }e iznesuva razlikataa) ako namalenikot se namali za 27? b) ako namalitelot se zgolemi za 27?

Presmetaj 460 - 120.Odredi go x vo ravenkata: (460 + x) - (120 + 58) = 340.

Proveri se!

Zada~i

Kako }e se promeni zbirot ako edenod sobirocite se zgolemi za 234?

1.

Ako namalitelot se zgolemi za 25,{to treba da se napravi so nama -lenikot za da ne se promeni raz-likata?

4.

Ako a - b = 100, presmetaj:a) (a - 20) - (b - 20);b) (a + 30) - (b + 30);v) (a - 10) - (b + 10);g) (a + 5) - (b - 5);

5.

Edno utro Milica dobila izvesnasuma pari od tatko £ i izvesna sumapari od majka £. Od parite od majka£ taa potro{ila 100 denari.Ve~erta, tatko £ i dal u{te 200denari i taa utvrdila deka ima 700denari. Kolku denari vkupno utroto£ dale tatko £ i majka £?

6.

Ako 1 230 + 670 = 1 900, toga{ kolkue (1 230 - 350) + 670?

2.

Dadena e razlikata6 543 - 2 732 = 3 811.

Za koja vrednost na x e to~no raven-stvoto

6 543 - (2 732 - x) = 3 811 + 13.

3.

Problem

Razmisli i obidi se da presmeta{ usno. Kolkava erazlikata me|u zbirot na prvite sto parni i zbirot naprvite sto neparni broevi?

Potseti se!

34

Komutativno svojstvo namnoèweto.

a ⋅⋅ b = b ⋅ a

Ako se promenat mestata na mnoìtelite proizvodotostanuva nepromenet.

4 ⋅ 6 = 24 ili 6 ⋅ 4 = 24

mnoìteli proizvod mnoìteli proizvod

Asocijativno svojstvo namnoèweto.

(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)Zatoa, zagradite moè da seizostavat: a⋅ b⋅ c.

Mnoèwe so brojot 1

a ⋅ 1 = a

Trite mnoìteli moàt da se grupiraat na dvana~ina. Proizvodot ostanuva nepromenet.

(2 ⋅ 5) ⋅ 3 ili 2 ⋅ (5 ⋅ 3)

10 ⋅ 3 = 2 ⋅ 15

30 = 30

Ako edniot od mnoìtelite e eden, toga{ proizvodote ednakov na drugiot mnoìtel.

468 ⋅ 1 = 468

Mnoèwe so brojot 0

0 ⋅ a = 0

Ako eden od mnoìtelite e nula, toga{ proizvodot eednakov na nula.

0 ⋅ 235 = 0

A Eden avtomobil tro -{i 7 litri benzin zaizminati 100 kilo-metri pat.

Presmetaj:

35 ⋅ 5 = 480 ⋅ 3 =

1 260 ⋅ 38 = 4 004 ⋅ 20 =

145 ⋅ 23 = (3 ⋅ 5) ⋅ 200 = Kolku litri benzin }e potro{i avto-mobilot za 400 kilometri pat?

1

Dragan patuval 5 dena so svojot velosiped i sekoj denpominuval po 9 kilometri.Zoran patuval 6 dena so svojot velosiped i sekoj denpominuval po 8 kilometri.

2

Kolku kilometri pove}e pominal Zoran od Dragan?

Potseti se i voo~i gi svojstvata na mnoèweto vo mnoèstvoto N0.

MNO@EWE13

�

�

35

Primer

Koga se koristat svojstvata, mnoèwetoe polesno!

Presmetaj:

2 ⋅ (50 ⋅ 9) =

3

Presmetaj:4

(7 ⋅ 25) ⋅ 4 = 7 ⋅ (25 ⋅ 4) = 7 ⋅ 100 = 700

(500 ⋅ 7) ⋅ 2 =

50 ⋅ (4 ⋅ 8) =

40 + (130 ⋅ 10) =

(280 + 32) ⋅ 8 =

96 − 2 ⋅ (30 − 18) =

Presmetaj:5

40 ⋅ (25 + 5) = i (40 ⋅ 25) + (40 ⋅ 5) =

Kakvi se vrednostite na brojnite izrazi?

Proveri dali e to~no?

(68 - 10) ⋅ 5 = 68 ⋅ 5 - 10 ⋅ 5

Kako se formiraat izrazite {to gisporeduva{?

To~kite odatpred crti~kite

No, prvo vozagradite!

Voo~i deka: a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c; (a + b) ⋅ c = (a ⋅ c) + (b ⋅ c);a ⋅ (b − c) = (a ⋅ b) - (a ⋅ c); (a − b) ⋅ c = a ⋅ c - b ⋅ c.

Proceni go proizvodot 324 ⋅ 48, zaokruùvaj}i gi mnoìtelite na desetki. Za kolku se razlikuva dobienata pribli`na vrednost od to~nata?

6

320 ⋅ 50 = 16 000; 324 ⋅ 48 = 15 552; procenkata e za 448 pove}e od to~nata vrednost.

So ovie ravenstva e iskaàno:

distributivnoto svojstvo na mnoèweto vo odnos na sobiraweto.

distributivnoto svojstvo na mnoèweto vo odnos na odzemaweto.��

BKolku kilometri pominal Jovan?

Jovan pe{a~el 4 sedmici, po 4 dena sedmi~no, po 4 kilometri na den.7

Sogledaj!

Proizvodot 4 ⋅ 4 ⋅ 4 kratko se zapi{uva 43, a se ~ita: ~etiri na treti. Zapisot 43 se vika stepen so osnova 4 i stepenov pokazatel 3.

36

Mnoèwe Kratok zapis Vrednost

4 ⋅ 4 ⋅ 4 43 64

3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3

6 ⋅ 6

8 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ 8

[to pokaùva osnovata na stepenot?

[to pokaùva stepenoviot poka zatel?

Zapi{i go 108 vo vid na mnoèwe.

Odredi ja vrednosta na 14.

Po dogovor: 51 = 5; a1 = a.

43

�STEPEN

�OSNOVA

�STEPENOVPOKAZATELDa zapomnam: Proizvodot na

ednakvi mnoìteli kratkozapi{an se vika stepen.

Kratko zapi{i go mnoèweto i proizvodot.

Da odredi{ proizvod na dva ilipove}e broevi;

da gi primenuva{ svojstvata namnoèweto;

da go proceni{ proizvodot odmnoèweto na dva boja;

da odredi{ vrednost na stepen.

Treba da znae{!

Ilija i Jovan kupile po 8 paketi, vo koiimalo po 8 bonbonieri so po 8 bonboni vosekoja bonboniera.

Kolku paketi kupile Ilija i Jovanzaedno?

Po kolku bonbonieri imal sekoj od niv?

Kolku bonboni imal Jovan?

Zapi{i go brojot na bonboni na Ilija vo vid na stepen.

Presmetaj:1.

Vo eden zbir, brojot 245 se javuvakako sobirok 48 pati. Presmetaj gotoj zbir.

2.

Radiusot na Zemjata iznesuva 6 370kilometri. Rastojanieto od Zemjatado Mese~inata e pogolemo okolu 60pati od radiusot. Odredi go rastojanieto od Zemjatado Mese~inata.

3.

Proceni go proizvodot 127 ⋅ 268zaokruùvaj}i na:a) stotki; b) desetki.Odredi ja razlikata na to~niot iprocenetiot proizvod.

4.

186 ⋅ 35 =

(427 ⋅ 5) ⋅ 24 =

(1 376 - 376) ⋅ 100 =

50 ⋅ (60 + 80) =

496 ⋅ 12 - 96 ⋅ 12 =

73 =

42 + 4 + 34 - 25 =

Proveri se!

Zada~i

Koi cifri treba dagi zapi{e{ na mesta-ta od ∗, za mnoè we -to da bide to~no pre -smetano?

439 ⋅ ∗7

3∗73

+ ∗756

2∗633

5.

Potseti se!

A

37

14 : 7 =

20 : 10 =

22 : 2 =

88 : 22 =

396 : 3 =

1 200 : 60 =

Presmetaj: U~enicite sobrale 1 300 de-nari za da kupat topki. Sekojatopka bila po 325 denari.

1

Vkupno 84 u~enici se prijavile za u~ili{niotturnir vo odbojka. Za treneri na ekipite seprijavile 6 nastavnici.

2

Kolku topki kupile?

Ako sekoja ekipa e sostavena od 12 u~enici, dali brojot na nastavnici za trenerie dovolen?

1 300 : 325 =

delenik delitel koli~nik

Delewe so brojot 1a : 1 = a

Ako delitel e brojot 1, toga{ koli~nikot e ednakov nadelenikot.

23 765 : 1 = 23 765

Delewe na broj sam so sebe.a : a = 1, a ≠ 0

Delewe na brojot 0.0 : a = 0, a ≠ 0

Ako delenikot e ednakov na delitelot, toga{ koli~nikote 1.

762 : 762 = 1

Ako delenik e brojot 0, toga{ koli~nikot e ednakov nabrojot 0.

0 : 16 = 0

2 : 0 nema smisla!Brojot 0 ne mo`e da bide delitel.

Izvr{i proverka na dobienite rezultati.

DELEWE14

Presmetaj:

(28 + 32) : 1 = 432 : 3 + 168 =

(40 + 7) ⋅ 12 - 225 : 5 =

108 : 18 + 3 485 : 85 =

3

Odredi go delenikot, ako delitelot e72, a koli~nikot e 102.

So koj broj treba da se podeli brojot 18 712 za da se dobie brojot 1?

76 - 12 ⋅ 3 + 53 - 100 =

anSekoga{ sumprv jas

To~kite odatpred crti~kite

Potseti se i voo~i gi svojstvata na deleweto vo mno`estvoto N0.

B

18

54

: 3 : 6

108

Treba da znae{!

Da odredi{ koli~nik na dvabroja;

da go pretstavi{ delenikotso pomo{ na koli~nikot,delitelot i ostatokot.

Presmetaj go koli~nikot:

1 584 : 9 = 17 472 : 84 =

Presmetaj 1 510 : 125 =Delenikot pretstavi go so pomo{ na koli~ nikot,delitelot i ostatokot.

38

Po kolku marki dobil sekoj? Kolku marki ostanale nepodeleni?

Ako a = 77 i b = 5, odredi go koli~nikot a : b i ostatokot r.Zapi{i go brojot a vo forma a = b ⋅ q + r.

16 : 3; 50 : 15; 125 : 11.

Voo~i deka 71 = 23 ⋅ 3 + 2.

Ivan, Bojana i Beti sobiraat po{tenski marki. Tie imale 71 markai sakale da si gi podelat podednakvo.

4

Odredi gi koli~nikot q i ostatokot r pri deleweto a : b i zapi{i go brojot a voforma a = b ⋅ q + r.

6

5

Vo deleweto 71 : 3 brojot 23 ekoli~nik, a brojot 2 e ostatok.

Ako vo deleweto a : b, brojot q ekoli~nik, a r e ostatok, toga{:

a = q ⋅ b + r

Razmisli i odgovori!

Pri deleweto vo koe delitelot e brojot 8, ostatokot mo`e da bide: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Zo{to ostatokot ne mo`e da bide brojot 8?

Zada~i

Podeli so prviot broj, a potoa dobi-eniot rezultat podeli go so vtoriotbroj.

1.42

84

: 7 : 2

98

Proveri se!

Edno jato lastovici pripreselbata preletalookolu 10 000 kilometri.Najgolemata brzina {to ja dostig-nalo jatoto bila 40 kilometri na~as.Kolku najmalku ~asovi letalojatoto?

39Koj broj treba da se zapi{e vo kva -drat ~eto za da bide to~no deleweto?

2.

Zapi{i izraz i presmetaj ja negovatavrednost.

Odredi go zbirot na brojot 85 iproizvodot na broevite 4 i 15.

Na koli~nikot od broevite 210 i 30dodaj go brojot 700.

Koj broj e razlikata me|u proizvo -dot na broevite 120 i 6 i nivniotkoli ~ nik?

3.

Vo kvadrat~eto odredi broj za dabide to~no ravenstvoto:

a) 3 020 = 125 ⋅ 24 + ;

b) 2 100 = 261 ⋅ + 12.

4.

Eden pol`av so najgolemata negovabrzina pominal 12 metri za 4 ~asa.Kolku centimetri pominal pol ̀ a -vot za 1 minuta?

5.

72 63 9

9 600 50

4 169 13

: 9 :

:

:

: 19

: 19

Se se}avam:: 5

⋅ 5

4 10

:

2= 10 : 2

Koi cifri treba da gi zapi{e{ namestata od ∗, za deleweto da bideto~no presmetano.

6.

Dvajca u~enici delele eden ist broj:prviot so 16, a vtoriot so 19. Prviotdobil koli~nik 22 i ostatok 9.Kolkav koli~nik dobil drugiotu~enik?

7.

Zbirot na dva broja e 660. Ako napogolemiot broj mu se izbri{e ednanula oddesno, toga{ tie se ednakvi.Koi se tie broevi?

8.

1∗55 : ∗5 = 3∗ - 13∗

∗∗∗- ∗∗∗

0

40 ZZAVISNOST NA PROIZVODOT I KOLI^NIKOT ODPROMENATA NA KOMPONENTITE

15Potseti se!

Spored koe svojstvo e to~no raven-stvoto:a) 10 ⋅ 4 = 4 ⋅ 10;b) (10 ⋅ 4) ⋅ 5 = 10 ⋅ (4 ⋅ 5)?

Dadeno e: 80 ⋅ 5 = 400. Zapi{i broj vokvadrat~eto za da bide to~no raven-stvoto.a) (80 ⋅ 3) ⋅ 5 = ; b) 80 ⋅ (3 ⋅ 5) = ;

v) 80 ⋅ (5 ⋅ 3) = ; g) (80 ⋅ 5) ⋅ 3 = .

DELENIK DELITEL KOLI^NIK

KOMPONENTI

96 : 24 = 4

Deleweto a : b ima smisla za b ≠ 0.

A Presmetaj go proizvodot 15 ⋅ 6.Potoa, zgolemi go prviot mno -ìtel:a) 2 pati; b) 3 pati; v) 7 patii proveri kolku pati se zgo -lemil proizvodot.[to voo~uva{?

1

Neka a ⋅ b = 50. Presmetaj: a) (a ⋅ 3) ⋅ b; b) a ⋅ (b ⋅ 10).2

Presmetaj go proizvodot 40 ⋅ 9. Potoa, prviot mnoìtel namali go: a) 2 pati; b) 4 pati; v) 5 pati

i sporedi go dobieniot proizvod so dadeniot. [to zabeleùva{?

3

Ako a ⋅ b = 120, presmetaj kolku iznesuva: a) (a : 3) ⋅ b; b) a ⋅ (b : 5).4

Dadeno e 15 ⋅ 16 = 240. Presmetaj gi proizvodite: (15 ⋅ 2) ⋅ (16 : 2); (15 : 5) ⋅ (16 ⋅ 5),

a potoa sporedi gi so dadeniot proizvod.

5

Sporedi go tvoeto re{enie so slednoto.15 ⋅ 6 = 90;

a) (15 ⋅ 2) ⋅ 6 = 30 ⋅ 6 = 180 = 90 ⋅ 2.

Sogleda deka dadeniot proizvod sezgolemilb) 3 pati; v) 7 pati.

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.40 ⋅ 9 = 360;

a) (40 : 2) ⋅ 9 = 20 ⋅ 9 = 180 = 360 : 2.

Proizvodot e namalen: b) 4 pati; v) 5 pati.

Voo~i deka edniot mnoìtel e zgolemen 2 pati, odnosno 5 pati, a drugiot mnoìtel enamalen 2 pati, odnosno 5 pati. Proizvodot ne se promenil.

Dadeniot proizvode zgolemen 2 pati.

Edniot mnoìtel e nama -len 2 pati i dadeniot pro -izvod e namalen 2 pati.

� � �

41

B Poznato ti e deka 72 : 12 = 6.Presmetaj:a) (72 ⋅ 2) : 12 = ; (72 : 2) : 12 = ; b) 72 : (12 ⋅ 3) = ; 72 : (12 : 3) = ;

v) (72 : 4) : (12 : 4) = ; (72 ⋅ 4) : (72 ⋅ 4) = .

6

Poznato ti e deka a : b = 30.Presmetaj:a) (a ⋅ 2) : b; b) a : (b : 3); v) (a : 5) : (b : 5).

7

Delenikot e zgolemen 2 pati,odnosno namalen 2 pati i ko -li~nikot e zgolemen 2 pati,odnosno e namalen 2 pati.

Op{to za proizvodot a ⋅ b = p

Ako edniot mnoìtel se zgolemi odreden broj pati, a dru-giot mnoìtel ostane ist, toga{ i proizvodot }e se zgolemiisto tolku pati.

(a ⋅ m) ⋅ b = p ⋅ m

Ako edniot od mnoìtelite se namali odreden broj pati, adrugiot ostane ist, toga{ i proizvodot }e se namali istotolku pati.

(a : m) ⋅ b = p : m

Proizvodot ne se menuva koga edniot mnoìtel se namaliodreden broj pati, a drugiot mnoìtel se zgolemi isto tolkupati.

(a : m) ⋅ (b ⋅ m) = p

�

�

�

Op{to za koli~nikot a : b = q

Ako delenikot se zgolemi (odnosno se namali) odredenbroj pati, a delitelot ostane ist, toga{ koli~nikot }e sezgolemi (odnosno }e se namali) isto tolku pati.

(a ⋅ m) : b = q ⋅ m(a : m) : b = q : m

Ako delitelot se zgolemi (odnosno se namali) odredenbroj pati, a delenikot ostane ist, toga{ koli~nikot }e senamali (odnosno }e se zgolemi) isto tolku pati.

a : (b ⋅ m) = q : ma : (b : m) = q ⋅ m

Koli~nikot ne se menuva ako i delenikot i delitelotistovremeno se zgolemat (odnosno se namalat) ist broj pati.

(a ⋅ m) : (b ⋅ m) = q(a : m) : (b : m) = q

�

�

�

Voo~i kolku pati e zgolemen, odnosno namalen: delenikot vo a); delitelot vo b);delenikot i delitelot vo v).

Sporedi gi dobienite koli~nici sodadeniot. [to zabeleùva{?

Sporedi go tvoeto re{enie so slednovo.a) (72 ⋅ 2) : 12 = 144 : 12 = 12 = 6 ⋅ 2;(72 : 2) : 12 = 36 : 12 = 3 = 6 : 2.

Sogleda vo b) deka delitelot e zgolemen (namalen) 3 pati, a koli~nikot e namalen(zgolemen) 3 pati. Koli~nikot vo v) ne se promeni.

42 Treba da znae{!

Kako se menuva proizvodot na dva brojavo zavisnost od promenata namnoìtelite;

kako se menuva koli~nikot na dva brojavo zavisnost od pro menata na deleni -kot, odnosno na delitelot.

Odredi gi nepoznatite broevi p i m, ako:a) 50 ⋅ 23 = p, (50 ⋅ m) ⋅ 23 = p ⋅ 9;b) 30 ⋅ 12 = p, 30 ⋅ (12 : m) = p : 6.

Znae{ deka 600 : 30 = 20. Presmetaj:a) (600 ⋅ 7) : 30; b) 600 : (30 ⋅ 4);v) 600 : (30 : 5); g) (600 : 10) : (30 : 10).

Proveri se!

Zada~i

Daden e proizvodot a ⋅ b = 60. Presmetaj:a) (a ⋅ 3) ⋅ b; b) a ⋅ (b ⋅ 7);v) (a : 4) ⋅ b; g) (a : 6) ⋅ (b ⋅ 6).

1. Vo fabrikata za ~okolada, dve ekipipakuvale ~okoladi od po 100 g voednakvi kutii.Vtorata ekipa spakuvala vkupno 1 680~okoladi, a toa e 3 pati pomalkukutii otkolku prvata ekipa. Kolku ~okoladi spakuvala prvataekipa?

4.

Presmetaj go koli~nikot 7 680 : 240,no prethodno svedi go na delewe soednocifren delitel, koristej}i gosvojstvoto za nepromenlivost nakoli~nikot.

5.

Daden e koli~nikot a : b = 90.Presmetaj:a) (a ⋅ 5) : b; b) a : (b : 6);v) (a ⋅ 7) : (b ⋅ 7) g) (a : 12) : (b : 12).

2.

Dadeno e a ⋅ (b ⋅ 5) = 80. Presmetaj:a) a ⋅ b; b) a ⋅ (b : 4); v) (a ⋅ 8) ⋅ (b : 8).

3.

Zanimliv problem!

Edna èna donela na pazar ko{nica so jajca. Naprviot kupuva~ mu prodala polovinata od jajcata ipolovina jajce, na vtoriot polovina od ostatokot ipolovina jajce, na tretiot polovina od ostatokot ipolovina jajce, na ~etvrtiot polovina od ostatokot ipolovina jajce. Koga pettiot kupuva~ kupil polovinaod ostatokot i polovina jajce, se konstatiralo dekasite kupuva~i kupile celi jajca i ènata gi prodalasite jajca. Kolku jajca donela ènata na pazar?

43BROEN IZRAZ. RAVENKI16Potseti se!

Presmetaj:

a) 26 - 4 ⋅ 5 - 3;

b) 14 + 6 ⋅ (9 - 24 : 3) - 23.

Zbirot na dva broja e 200, aedniot sobirok e 120. Kolkue drugiot sobirok?

Sostavi izraz od podatocite i soodvet-nite operacii.

Po koj redosled }e gi izvr{uva{ operaciite?

120 + 300 : 2 - 4 ⋅ 35 - 50 = 120 + 150 - 140 - 50 == 270 - 190 = 80.

Izrazot {to go sostavi se vika broen izraz.

Rezultatot po izvr{uvaweto na site operacii vonego se vika vrednost na brojniot izraz.

Presmetaj go dobieniot izraz.Proizvodot na dva broja e128, a edniot mnoìtel e 64.Kolku e drugiot mnoìtel?

A Darko imal 120 denari. Majka mu mudala 300 denari da si gi podelat pod-ednakvo so sestra mu. Vo kniàrnicatakupil 4 tetratki po 35 denari i {estarza 50 denari. Kolku denari mu ostanalena Darko?

1

Odredi ja vrednosta na brojniot izraz:

a) 85 + 15 -30; b) 5 ⋅ 12 : 3 ⋅ 2; v) 24 - (16 + 4 ⋅ 3) : 7.2

⋅ x

: 64

12864x

+ x

− 120

200120x

120 + x = 200x = 200 - 120x = 80

64 ⋅ x = 128x = 128 : 64x = 2

Sporedi go tvoetore{enie so dadenoto

Izrazi se slednive zapisi: 3, 5, 140; 13 + 17; 10 - 4 ⋅ 8; 5 + 18 : 6 - (4 ⋅ 25 + 25).

Ne se izrazi: 2 + + 3; 5 -; : (8-2); 2 + ( ⋅ 8).

Sobiraweto i odzemaweto se vikaat operacii od prv red, a mnoèweto i delewetose operacii od vtor red.

Voo~i i zapomni

Prvo }e gi izvr{am operaciite mnoèwe i delewe, potoa sobirawe iodzemawe; no, pred s¢ - vo zagradite.

44

Operaciite od ist red se izvr{uvaat po redosledot kako {to se zapi{ani vo broj -niot izraz.

Op{to za redosledot na izvr{uvawe na operaciite

Voo~i ja postapkata i postapi po barawata.

��

Prvo se izvr{uvaat operaciite od vtor red, a potoa operaciite od prv red.�Ako vo brojniot izraz ima zagradi, toga{ prednost ima izvr{uvaweto na operaciitevo zagradite.

�

Presmetaj ja vrednosta na brojniot izraz:

a) 45 - 5 ⋅ 3 - 24 : 6; b) 5 ⋅ 12 : 3 ⋅ 2; v) 96 + 4 ⋅ (18 - 8 : 2) - (27 - 4 ⋅ 6) : 3.3

Re{i ja ravenkata

a) (x + 1) + 300 = 702; b) 1 432 + x = 3 200 + 17.5

B Rifat zamislil takov priroden broj, koj{to sobran so najgolemiot tricifrenbroj go dava brojot 1 234. Koj e toj broj?

4

Prvo, baraniot broj ozna~i go so nekoja bukva, na primerso bukvata x.

Na brojot x dodaj mu go najgolemiot tricifren broj - toa e 999; taka }e go dobie{zbirot x + 999.

Zna~i, x = 1 234 - 999; x = 235.

Spored uslovite na zada~ata, zbirot x + 999 e ednakov na 1 234, pa x + 999 = 1 234.

Kako }e go odredi{ nepoznatiot sobirok od ova ravenstvo?

Sobirokot x }e go odredam ako od zbirot 1 234 go odzemam drugiotsobirok 999.

+ 999 = 1 234

Ravenstvoto x + 999 = 1 234 so koe go odredi nepoznatiot broj x se vika ravenka.

Nepoznatiot broj x se vika nepoznata.

Odreduvaweto na nepoznatiot broj se vika re{avawe na ravenkata.

x

45Dadena e ravenkata: a) x - 1 270 = 2 380; b) 8 226 - x = 1 149.6

Re{i ja ravenkata: a) x - (1 300 + 78) = 2 630; b) 5 273 - x = 3 700 - 37.7

Vo edna vinarska vizba vo kutii treba da spakuvaat 1 392 {i{iwa, a vo sekojakutija treba da ima po 16 {i{iwa. Kolku kutii bile potrebni?

8

Odgovori na pra{awata i re{i ja dadenata ravenka.

a) � [to e nepoznatiot broj x, a {to se poznatite broevi 1 270 i 2 380?

� Kako se odreduva nepoznatiot namalenik pri dadeni namaleitel i razlika?

b) Kako }e go odredi{ nepoznatiot namalitel x vo ravenkata pri dadeniot nama -lenik 8 226 i dadenata razlika 1 149?

Op{to za ravenkite vo koi se odreduva nepoznat: sobirok, namalenik ili namalitel

Ako go ozna~i{ so k brojot na potrebnite kutii, toga{ vo niv }e ima 16 ⋅ k {i{iwa, pa16 ⋅ k = 1 392.

Brojot 1 392 e proizvod na mnoìtelite 16 i k.

Kako }e go odredi{ mnoìtelot k?

Namalenikot x }e go odredam taka {to na razlikata 2 380 }e go dodadamnamalitelot 1 270.

Namalitelot x }e go odredam taka {to od namalenikot 8 226 }e ja odze-mam razlikata 1 149.

Mnoìtelot k }e go odredam ako proizvodot 1 392 go podelam somnoìtelot 16.

Nepoznat sobirok, pri poznat zbir i drugiot sobirok, seodreduva taka {to od zbirot se odzema poznatiot sobirok.

x + b = c; x = c - b(b i c se poznati broevi)

Nepoznat namalenik, pri poznati namalitel i razlika, sedobiva koga na razlikata £ se dodade namalitelot.

x - b = d; x = d + b(b i d se poznati broevi)

Nepoznat namalitel, pri poznati namalenik i razlika sedobiva taka {to od namalenikot se odzema razlikata

a - x = d; x = a - d(a i d se poznati broevi)

�

�

�

k = 1 392 : 16; k = 87. [i{iwata bile spakuvani vo 87 kutii.

Re{i ja ravenkata: a) 17 ⋅ y = 595; b) (10 + 3) ⋅ z = 178 + 4.9

46

Potoa obrazloì go zaklu~okot deka x = 47 ⋅ 25.

Koj broj e re{enieto? Proveri go svoeto tvrdewe.

Kako moè{ "da ja pro~ita{# ravenkata x : 25 = 47,

t.e. {to se poznatite broevi 25 i 47, a {to e nepoznatata x?

10

"Pro~itaj# ja ravenkata 1 120 : x = 35 i obrazloì go zaklu~okot x = 1 120 : 35.11

Re{i ja ravenkata

a) x : 7 = 63; b) (z + 4) : 10 = 8; v) 1 080 : x = 24; g) 50 : (x + 2) = 10.

12

Op{to za ravenkite vo koi se odreduva nepoznatiot: mnoìtel, delenik ili delitel.

Nepoznatiot mnoìtel, pri poznat proizvod i drugiotmnoìtel, se odreduva taka {to proizvodot }e se podeli sopoznatiot mnoìtel.

a ⋅ x = p; x = p : a(a i p se poznati)

Nepoznatiot delenik, pri poznat delitel i koli~nik, seodreduva taka {to koli~nikot }e se pomnoì so delitelot.

x : b = q; x = q ⋅ b(b i q se poznati)

Nepoznatiot delitel, pri poznat delenik i koli~nik seodreduva taka {to delenikot }e se podeli so koli~nikot.

a : x = q; x = a : q(a i q se poznati broevi)

�

�

�

Treba da znae{!

Da odreduva{ vrednost na daden broenizraz;

koi operacii vo broen izraz imaatprednost pri nivnoto izvr{uvawe;

da re{ava{ ravenki spored svojstvatana aritmeti~kite operacii.

Odredi ja vrednosta na brojniot izraz:17 + 3 ⋅ (56 - 4 ⋅ 13) - (62 - 18 : 3).

Re{i gi ravenkite:a) 235 + x = 250; b) x - 37 = 63;v) x : 15 = 10; g) 645 : x = 15;d) (x + 2) ⋅ 35 = 105.

Proveri se!

Zada~i

Odredi ja vrednosta na brojniotizraz:a) 190 - (5 ⋅ 30 - 128 : 16);b) 325 - (144 : 16 + 7 ⋅ 13).

1.

Vo edna firma napolnile 1 360 gajbijabolka, od koi 420 od vidot deli{es,635 ajdaret, a ostanatite gajbi od vi -dot tetovsko jabolko. Kolku gajbitetovsko jabolko bile?

3.

Ana ima 11 godini. Pred 3 godini majka£ imala 4 pati pove}e godini od Ana.Kolku godini ima sega majka £ na Ana?

4.

Jana i Jovan imaat po ist broj orevi.Se znae deka zaedno bi imale 140orevi koga Jana bi imala 2 pati pove -}e, a Jovan 5 pati pove}e. Po kolkuorevi imaat Jana i Jovan?

5.

Re{i ja ravenkata:a) 115 + x = 225; b) 1 320 - x = 1 120;v) 17 ⋅ x = 289; g) x : 30 = 40;d) 483 : x = 23; |) 50 : (x + 2) = 10.

2.

47

Ponedelnik 12

Den Broj na kaseti


Sa{o e sopstvenik na videoklub i izdava videokaseti. Podatocite za izdadenitekaseti gi zapi{uval vo tabela.

1

Vtornik 9

Sreda 15

^etvrtok 6

Petok 23

Koj den Sa{o izdal najmnogu kaseti?

Kolku kaseti pove}e bile izdadeni vo petok otkolku vo vtornik?

Kolku vkupno kaseti bile izdadeni?

Sa{o go interesiralo kolku kaseti iz -daval prose~no na den, a za toa e po -trebno da ja presmeta aritmeti~katasredina na broevite od tabelata.

12 + 9 + 15 + 6 + 23 = 65

65 : 5 = 13

Voo~i!

Vkupno izdadenikaseti

Prose~no izdadeni kasetisekoj den

Broj na denovi

Vo tekot na pette rabotnidenovi vo sedmicata Sa{oizdaval pro se~no po 13 videokaseti dnevno.

Brojot 13 e aritmeti~ka sredi-na za broevite 12, 9, 15, 6 i 23.

Pretstavi gi podatocite vo tabela.

Kolku poeni prose~no osvoil Ace na testovite po matematika?

Presmetaj ja aritmeti~kata sredina na broevite: 2

Na testovite po matematika Agim gi postignal sledive rezultati: na testot 1osvoil 89 poeni, na testot 2 osvoil 91 poen, na testot 3 osvoil 100 poeni i natestot 4 osvoil 80 poeni.

3

24, 36, 42; 657, 890, 1 240, 121, 3 522.

ARITMETI^KA SREDINA17

Da zapomnam: Aritmeti~ka sredina na dva ili pove}e broevi ekoli~ nikot od zbirot na tie broevi i brojot na sobirocite.

48

3 3 ⋅ 6

3

9

1 ⋅ 18

2 9 2 ⋅ 9

1 18 1 ⋅ 18

Broj na Broj na u~enici Vkupnoredovi vo sekoj red u~enici

Potseti se!A

Presmetaj:

Vo koi od delewataostatokot e 0?

24 : 6 =

139 : 2 =

265 : 5 =

2 785 : 8 =

Osumnaeset u~enici od VI oddelenie sepodgotvuvaat za patroniot praznik. Tie sa -kaat da nastapat taka {to }e se podredu-vaat vo redovi so ednakov broj u~enici.

1

Na kolku razli~ni na~ini moè da se podredatu~enicite?

Dopolni ja tabelata so podatocite za podreduvawena u~enicite.

Se veli: 18 e deliv so broevite 1, 2, 3, 6, 9i 18. Tie broevi se vikaat deliteli na bro-jot 18. Se zapi{uva: D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.

Na kolku na~ini moè da se dobie brojot 18 kakoproizvod na dva broja?

So koi broevi moè da se podeli brojot 18 taka {toostatok pri deleweto da bide brojot 0 (bez ostatok)?

Da zapomnam: Brojot 18 se deliso broevite 1, 2, 3, 6, 9 i 18bez ostatok.

So delewe proveri dali:2

Brojot 4 e delitel na brojot 8 (4 ⋅ 2 = 8 ili 8 : 4 = 2 i ostatok 0).4

brojot 6 e delitel na brojot 24;

brojot 31 e deliv so brojot 5;

brojot 42 e deliv so brojot 6.

Zapi{i 5 broevi {to se delivi so brojot 4.

Odredi go mnoèstvoto D14 na site deliteli na

brojot 14.3

Voo~i deka za da gi odredi{ site deliteli na brojot 14 treba postapno da deli{ so1, 2, 3, ..., 7.

JAS SUM

DELITEL!

DELIVOST NA PRIRODNI BROEVI.DELIVOST NA ZBIR I RAZLIKA

18

49

B

Prirodniot broj b e delitel na prirodniot broj a, ili a e deliv so b, ako osta-tokot pri deleweto na a so b e 0.

10 : 5 = 2 10 = 5 ⋅ 2

Prirodniot broj b e delitel na prirodniot broj a, ako a = b ⋅ k za nekoj prirodenbroj k. Zapi{uvame: b | a. îtame: b e delitel na a.

Prirodniot broj a e sodràtel na prirodniot broj b, ako b e delitel na a.

35 e sodràtel na 5, bidej}i 5 | 35

Sekoj priroden broj e deliv so 1 i sam so sebe.10 : 1 = 10 i 10 : 10 = 1a : 1 = a i a : a = 1

DELITEL NA 10

Proveri dali se delivi so brojot 7: 28, 42 i 28 + 42; 14, 18 i 14 + 18.

Proveri dali se delivi so brojot 3: 9, 24 i 24 - 9; 15, 22 i 22 - 15.

Proveri dali se delivi so brojot 4: 12, 15 i 12 ⋅ 15; 10, 15 i 15 ⋅ 10.

Mnoèstvoto od site sodràteli na brojot 4 go ozna~uvame so S4;

S4 = {4, 8, 12, 16, ...}.

5

Delivost na zbirm | a i m | b

m | (a + b)

Delivost na razlikam | a i m | b

m | (a - b)

Delivost na proizvodm | a ili m | b

m | (a ⋅ b)

Ako brojot a e deliv so brojot m i brojot b e deliv sobro jot m, toga{ zbirot (a + b) e deliv so brojot m.

5 | 15 i 5 | 35 5 | (15 + 35)

Ako brojot a e deliv so brojot m i brojot b e deliv sobrojot m, toga{ razlikata (a - b) e deliva so brojot m.

3 | 21 i 3 | 9 3 | (21 - 9)

Ako brojot m e delitel ba rem na eden od broevite a ilib, toga{ m e delitel na proizvo dot (a ⋅ b).

2 | 8 i 2 | 15 2 | (8 ⋅ 15)

Voo~iv vo zada~ata!

Zbirot e deliv so brojot 7 ako dvata sobiroka se delivi so 7.

Razlikata e deliva so brojot 3 ako namalenikot i namalitelot sedelivi 3.

Proizvodot e deliv so brojot 4 ako eden od mnoìtelite e deliv so 4.

Site broevi {to se delivi so brojot 4 se vikaat sodràteli na brojot 4.

�

�

�

�

�

�

�

Zapi{uvame: 5 | 10. îtame: 5 e delitel na 10.

Op{to

50 Od broevite: 15, 18, 25 i 28 odredi dva broja taka {to:

zbirot e deliv so 5; razlikata e deliva so 3;

proizvodot e deliv so 7, a ne e deliv so 5.

Voo~i deka nieden od sobirocite, odnosno i namalenikot i namalitelot ne se deliviso 5, a zbirot, odnosno razlikata se delivi so 5.

6

Proveri dali zbirot 12 + 8, odnosno razlikata 24 - 9, se delivi so 5.7

Koga eden priroden broj e deliv sodrug priroden broj;

da odredi{ deliteli i sodràtelina daden priroden broj;

so primer da ja pokaè{ delivostana zbir, razlika i proizvod naprirodni broevi.

Treba da znae{!

Dadeni se broevite: 5, 8, 30 i 56.

Koj od tie broevi e deliv so 6?

Zapi{i gi site deliteli na brojot 30.

Zapi{i tri sodràteli na 5.

Dali brojot 5 e delitel na 58?

Proveri bez da presmetuva{ dali e to~no:

4 | (8 + 36); 5 | (56 - 30);5 | (30 - 5); 5 | (30 ⋅ 6).

Zada~i

Koi od broevite 1, 2, 3, 5 ili 7 sedeliteli na brojot 70?

Odredi gi site deliteli na brojot64.

Proveri dali 4 | 12; 3 | 36; 10 | 1 000.Zapi{i 7 sodràteli na brojot 3. Kolku sodràteli ima brojot 3?

1.

Zapi{i po eden primer za da japokaè{ delivosta na:

zbir na 4 prirodni broevi so broj;

razlika na 2 prirodni broevi sobroj;

proizvod na 3 prirodni broevi sobroj.

2.

Bez da go presmeta{ zbirot, odnosnorazlikata, odredi dali e deliv so 5.

a) 40 + 25; b) 27 + 20;

v) 50 - 15; g) 35 - 29.

3.

Bez da gi presmetuva{ proizvodite,utvrdi koj od niv e deliv so 3, a kojso 7.

a) 9 ⋅ 5; b) 4 ⋅ 14 ⋅ 2;

v) 5 ⋅ 12; g) 8 ⋅ 21 ⋅ 5.

4.

Neka A = {6, 7, 13, 16, 24, 32, 43}.Zapi{i go tabelarno mnoèstvotoB = {x | x ∈ A i 4 | x}.

5.

Proveri se!

51

Voo~i ja postapkata

132 : 2 = (130 + 2) : 2; 2 | 132, bidej}i 2 | 130 i 2 | 2.

254 : 2 = (250 + 4) : 2; 2 | 250, bidej}i 2 | 250 i 2 | 4.

365 : 2 = (260 + 5) : 2; 2 | 365, bidej}i 2 | 360 i 2 | 5.

Zapomni!

Eden broj e deliv so 2, ako cifrata na edinicite na tojbroj e 0, 2, 4, 6 ili 8.

Koi od broevite: 132,254 i 365 se deliviso 2?

2

Koj od broevite: 530, 738, 1 336, 1 112 i 2 243 e deliv so 2?3

Moàm da voo~am! Dali eden broj e deliv so 2 ili ne e, zavisi od cif-rata na edinicite na toj broj.

A

Proveri dali broevite: 10, 70 i 270 sedelivi so 2.

Za da utvrdi{ dali eden broj edeliv so drug broj, dovolno e dago odredi{ nivniot koli~nik.

Delivosta moè da se utvrdi ibez da se vr{i deleweto. Toa gopravime so pomo{ na kriteriumiili takanare~eni priznaci zadelivost.

1

Voo~i ja postapkata

10 = 2 ⋅ 5; 2 | (2 ⋅ 5), t.e. 2 | 10.

70 = 7 ⋅ 10; 2 | (7 ⋅ 10), t.e. 2 | 70.

290 = 29 ⋅ 10; 2 | (29 ⋅ 10), t.e. 2 | 290.

Moàm da voo~am!

Brojot {to zavr{uva nanula, moè da se zapi{e ka -ko proiz vod vo koj eden mno -ì tel e 10. Toj proizvod edeliv so 2.

Sekoj broj na koj cifratana edinici e 0 e deliv so 2.

PRIZNACI ZA DELIVOST SO 2 I SO 519Potseti se!

Eden priroden broj e deliv so drugpri roden broj ako ostatokot prideleweto e 0.

Odredi koj od broevite: 37, 64 i 310e deliv so 2.

Koj od broevite: 65, 800 i 273 edeliv so 5?

�

��

��

Ova tvrdewe se vika priznak za delivost so 2.

52

Moàm da voo~am! Brojot~ija cifra na edinici e5 e deliv so 5.

B Voo~i ja postapkata

10 : 5 = (2 ⋅ 5) : 5; 5 | 10 bidej}i 5 | 2 i 5 | 5.

70 : 5 = (10 ⋅ 7) : 5; 5 | 70 bidej}i 5 | 10 i 5 | 7.

360 : 5 = (10 ⋅ 36) : 5; 5 | 360 bidej}i 5 | 10 i 5 | 36.

Moàm da voo~am!

Brojot ~ija cifra na edinici e nula moè da se zapi{e kako pro izvodvo koj eden od mnoìtelite e 10.

Toj priroden broj e deliv so 5.

Sekoj priroden broj na koj cifrata na edinicite e 0 e deliv so 5.

Proveri dalibro e vite: 10,70 i 360 sedelivi so 5.

4

Voo~i ja postapkata

65 : 5 = (60 + 5) : 5; 5 | 65, bidej}i 5 | 60 i 5 | 5.

105 : 5 = (100 + 5) : 5; 5 | 105, bidej}i 5 | 100 i 5 | 5.

263 : 5 = (260 + 3) : 5; 5 | 263, bidej}i 5 | 260 i 5 | 3.

Koi od broevite: 65,105 i 263 se deliviso 5?

5

�

��

��


Zapomni!

Eden broj e deliv so 5, ako cifratana edinicite na toj broj e 0 ili 5.

Koj od broevite: 180, 243, 525, 420 i 1 275 e deliv so 5?6

Da proveri{ dali nekoj priroden broj edeliv so 2, odnosno so 5, bez da goizvr{i{ deleweto;

da go primeni{ priznakot za delivostso 2, odnosno so 5, vo zada~i.

Treba da znae{!

Koj od broevite: 13, 24, 15, 57, 155, 850 i1 000 e

deliv so 2; deliv so 5;

deliv so 2 i so 5?

Proveri se!

Zada~i

Bez da go izvr{i{ deleweto proverija delivosta so 2 na broevite: 28, 70,96, 797, 2 001 i 25 000.

1.

Iskaì go priznakot za delivost so 5.2.

Koi od broevite: 102, 275, 400, 876 i995 se delivi so 5?

3.

Ana imala pove}e od 60, a pomalku od70 bonboni. Taa gi podelila bonbo ni tena 5 svoi drugarki podednakvo.

Kolku bonboni imala Ana?

4.

53

BOdredi go zbirot na cifrite na sekoj od broevite.

Utvrdi na koi od broevite zbirot na cifrite e deliv so 9?

Mo`am da voo~am! Koga eden broje deliv so 3 i zbirot na negovitecifri e deliv so 3.

Mo`am da voo~am! Koga edenbroj e deliv so 9 i zbirot nanegovite cifri e deliv so 9.

Zapomni!

Eden broj e deliv so 3, akozbirot od cifrite so koi toj ezapi{an e broj deliv so 3.

Zapomni!

Eden broj e deliv so 9, akozbirot od cifrite so koi toj ezapi{an e broj deliv so 9.

Koj od broevite: 111, 292, 1 112 i 1 236 e deliv so 3?3

Koi od bro e vite: 78, 117, 348, 486 i 1 567 se delivi so brojot 9?4

so 3; so 9; so 3 i so 9.

Bez da deli{ opredeli koj od broevite: 459, 774, 1 497, 5 640, 6 327 i 7 235 e deliv:5

Zapi{i tri broja ~ij zbir na cifrite edeliv so 3.

2

Proveri dali broevite {to gi zapi {ase delivi so 3.

PRIZNACI ZA DELIVOST SO 3 I SO 920Potseti se!

Odredi koi od broevite: 9, 66, 171i 231 se delivi so 3.

Koi od broevite: 18, 999, 1 062 i 11 000 se delivi so 9?

A Koi od broevite: 72, 84, 297 i373 se delivi so brojot 3?

1

Odredi go zbirot na cifrite nasekoj od broevite.

Utvrdi kaj koi od broevite zbi -rot na nivnite cifri e delivso 3.

Utvrdi koi broevi se delivi so3 i kaj koi broevi zbirot na ci -frite e deliv so 3. [to zaklu -~uva{?



54 Mo`am da voo~am! Broevite: 459, 774 i 6 327se delivi so 3 i so 9.

Zapomni!

Sekoj broj {to e deliv so9 e deliv i so 3.

Ako saka{ da znae{ pove}e!

Obidi se da zaklu~i{!

Zo{to eden broj e deliv so 9 koga zbirot na negovite cifri e deliv so 9?

Voo~i na sledniov primer: 486 = 400 + 80 + 6 = 100 ⋅ 4 + 10 ⋅ 8 + 6 = =(99 + 1) ⋅ 4 + (9 + 1) ⋅ 8 + 6 = (99 ⋅ 4) + 1 ⋅ 4 + 9 ⋅ 8 + 1 ⋅ 8 + 6 = (99 ⋅ 4 + 9 ⋅ 8) + (4 + 8 + 6);

Izrazot 99 ⋅ 4 + 9 ⋅ 8 e deliv so 9 spored praviloto za delivost na proizvod i zbir.

Od vrednosta na izrazot 4 + 8 + 6 zavisi dali brojot 486 e deliv so 9.

4 + 8 + 6 = 18; 9 | 486, bidej}i 9 | 18.

Na sli~en na~in poka`i ja delivosta na brojot 123 so 3.

Milica vlegla vo prodavnica da kupi eden sladoled i tri ~okoladi. Znaela dekasladoledot ~ini 60 denari. Prodava~ot i rekol deka treba da plati 220 denari. Taarekla deka smetkata ne e to~na. Prodava~ot povtorno presmetal i se izvinil. KakoMilica znaela deka smetkata ne e to~na, a ne ja znaela cenata na ~okoladata?

Koj priroden broj e deliv so 3;

da odredi{ dali daden broj e deliv so 9;

sekoj priroden broj {to e deliv so 9 e deliv so 3.

Treba da znae{!

Koi od broevite: 75, 94, 258 i 347 sedelivi so 3?

Koja cifra treba da stoi na mestoto na ∗vo 5 6∗3 za da se dobie broj deliv so 9?

Zapi{i eden broj {to e deliv so 3 i so 9.Zada~i

Koi od broevite 348, 512, 1 245 i 6 123 se delivi so 3?

1.

Koi od broevite 4 279, 9 126 i 540 sedelivi so 9?

2.

Koja cifra treba da se zapi{e namestoto ozna~eno so ∗, za dobieniotbroj da bide deliv so 3?

1 3∗7; 6 53∗; 3 ∗25; 24 ∗62.

3.

Zameni ja yvezdi~kata so cifra, takadobieniot broj da bide deliv so 9.

3∗8; 6 ∗74; 1 8∗3; 35∗12.

4.

Koja cifra treba da zapi{e{ na mes -toto ozna~eno so ∗ vo brojot 27 55∗ zabrojot da bide deliv so 2 i so 3?

5.

Proveri se!

��

55

Potseti se!

Moàm da voo~am!Dali nekoj broj e deliv so brojot 4 ili ne, zavisi od dvocifreniot brojformiran od cifrata na edinicite i cifrata na desetkite na toj broj.

Zapomni!

Daden broj e deliv so 4, ako negoviot dvocifren zavr{etok e deliv so 4.

A

Koj od broevite: 96, 300, 2 718i 3 008 e deliv so 4?

Proveri dali broevite: 100, 500 i1 300 se delivi so 4.

1

Voo~i ja postapkata

100 = 25 ⋅ 4; 4 | 100, bidej}i 4 | (25 ⋅ 4).

500 = 100 ⋅ 5; 4 | 500, bidej}i 4 | (100 ⋅ 5).

1 300 = 100 ⋅ 13; 4 | 1 300, bidej}i 4 | (100 ⋅ 13).

Voo~i ja postapkata

132 : 4 = (100 + 32) : 4; 4 | 132, bidej}i 4 | 100 i 4 | 32.916 : 4 = (900 + 16) : 4; 4 | 916, bidej}i 4 | 900 i 4 | 16.283 : 4 = (200 + 83) : 4; 4 | 283, bidej}i 4 | 200 i 4 | 83.

Moàm da voo~am!

Brojot na koj cifrite na edi ni cata i desetkata se nuli moèda sezapi{e kako pro izvod vo koj eden od mnoì telite e 100.

Toj proizvod e deliv so 4.

Sekoj broj na koj cifrata na edinicite e 0 i cifrata na de setkite e 0e deliv so 4.


Koi od broevite132, 916 i 283 sedelivi so 4?

2

PRIZNAK ZA DELIVOST SO 421

��

��

56 Utvrdi koj od broevite: 48, 108, 135, 1 240, 7 732 i 9 006 e deliv so 4.3

Da odredi{ dali nekoj prirodenbroj e deliv so 4 bez da go izvr{i{deleweto.

Treba da znae{!

Zapi{i go brojot 9 996 kako zbir od koj}e utvrdi{ dali e deliv so 4.

Zapi{i dva broja {to se delivi so 4.

Zada~i

So cifrite 1, 2, 3 i 4, bez nivno pov-toruvawe, zapi{i gi site ~etiri-cifreni broevi {to se delivi so 4.

1.

Koja cifra treba da se zapi{e na me -stoto ozna~eno so ∗ za brojot da bidedeliv so 4?

362∗; 4 71∗; 5 4∗2; 52∗0.

2.

Zapi{i tri prirodni broevi {to sedelivi so 4 i 5.

3.

Zapi{i go brojot od vtorata desetkana ~etvrtata stotka {to e deliv so2, 3 i 4.

4.

Proveri se!

I ova e matematika !

Na masa se nao|aat 50 grav~iwa. Dva igra~i naizmeni~no zemaat po edno, ili podve ili po tri grav~iwa. Pobeduva onoj igra~ koj posleden }e zeme.

Kolku grav~iwa treba da zeme igra~ot {to po~nuva prv za sigurno da pobedi?

Napravi pobedni~ka strategija za igra~ot koj {to zema prv.

Napravi pobedni~ka strategija za igra~ot {to zema vtor ako na masata ima 20grav~iwa.

Napravi pobedni~ka strategija ako na masata ima koj bilo broj grav~iwa i igra~itenaizmeni~no zemaat od 1 do 4 ili od 1 do 5 itn.

Ako ne mo`am da re{am te{ka zada~a, }e probam so sli~napolesna. ]e probam so 10 grav~iwa, potoa so 20 grav~iwa itn.

57

B

5 1, 5

6 1, 2, 3, 6

3 1, 3

4 1, 2, 4

2 1, 2

1 1

Razgledaj ja tabelata.2

Broj Delitel na brojot Koj broj ima samo eden delitel?

Koi od broevite vo tabelata imaat samo dva deliteli?

Koi od broevite vo tabelata imaat pove}e od dva deliteli?

Zapomni!

Broevite {to imaat samo 2 deliteli se vikaatprosti broevi.

Broevite {to imaat 3 ili pove}e deliteli sevikaat sloèni broevi.

Brojot 1 ne e nitu sloèn nitu prost broj.

Vo tabelata broevite: 2, 3 i 5 se prosti.Vo tabelata broevite 4 i 6 se sloèni.

Zapi{i gi na tabelaren na~in mnoèstvata:A = {x | x ∈ N i x < 20}; B = {x | x ∈ A i x e prost broj}; C = {x | x ∈ A i x e sloèn broj}.

3

Odredi go proizvodot na prostite broevi: 2, 3 i 7; 2, 3 i 5; 2, 2, 3 i 3.4

4 71Jas sumsloèn

A Jas !? Jas sumprost.

A Zapi{i tri broevi {toimaat samo dva deliteli.

Zapi{i tri broevi {to ima -at pove}e od dva deliteli.

1

PROSTI I SLO@ENI BROEVI. PRETSTAVUVAWE SLO@EN BROJ KAKO PROIZVOD

OD PROSTI MNO@ITELI

22

Potseti se!

Sekoj priroden broj e deliv so 1.

Sekoj priroden broj e deliv sam sosebe.

Zapi{i gi site deliteli na broevite:3, 17 i 53.

Odredi gi site deliteli na broevite:6, 12 i 15.

58

Sporedi go tvoeto re{enie sodadenoto.

Pretstavi go kako proizvod sekoj od broevite: 42, 50 i 75.5

Moàm da voo~am!Sloèn broj moàm da pret-stavam kako proizvod odprosti broevi.

42 = 21 ⋅ 2 = 7 ⋅ 3 ⋅ 2

50 = 25 ⋅ 2 = 5 ⋅ 5 ⋅ 2 = 2 ⋅ 52

75 = 15 ⋅ 5 = 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 3 ⋅ 52

��

�

�

�

��

Zapomni!

Sekoj sloèn priroden broj moè da se zapi{e kako proizvod od prosti broevi,t.e. da se razloì na prosti mnoìteli.

Zapi{i go brojot 36 kako proizvod od prosti broevi.6

Razloì go brojot 120 na prosti mnoìteli.

Voo~i ja postapkata za razloùvawe na daden broj na prosti mnoìteli.

7

12060301551

22235

Prvo povlekuvame vertikalna crta do brojot 120. Vertikalnatacrta ja zamisluvame kako znak za delewe, a koli~nicite gizapi{uvame pod delenikot.

Deleweto go zapo~nuvame so najmaliot prost delitel na dade-niot broj i prodolùvame so toj delitel s¢ dodeka e mo`no (voslu~ajov so 2).

Postapkata ja prodolùvame so sekoj od koli~nicite s¢ dodekadobieme koli~nik 1.

��

�

�

1 164582291971

22397

Posledniot koli~nik 97 ne e deliv ni so 3 ni so 5.

Proveruvame i utvrduvame deka ne e deliv ni so naredniotprost broj 7.

Nema potreba da proveruvame za naredniot prost broj 11,bidej}i 112 > 97.

Zna~i, 97 e prost broj.

So koristewe na istata postapka razloì gi na prosti mnoìteli broevite: 36, 140,600 i 10 000.

120 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 23 ⋅ 3 ⋅ 5

1164 = 22 ⋅ 3 ⋅ 97

Voo~i go razloùvaweto na brojot 1 164.

59Treba da znae{!

Koi prirodni broevi se prosti, a koi sloèni;

da razloì{ daden broj na prosti mnoìteli.

Koj od broevite 91 i 97 e sloèn broj? Obrazloì!

Razloì go brojot 152 na prosti mnoì-teli.

Zada~i

Razloì gi na prosti mnoìtelibroevite: 15, 42, 38, 75 i 11 115.

1.

Brojot na godinite na Sa{o esloèn broj pomal od 30, a pogolemod 20 i moè da se pretstavi kakoproizvod na tri ednakvi prostimnoìteli. Kolku godini ima Sa{o?

2.

Edno semejstvo ima neparen broj deca,prost broj doma{ni mileni~iwa, parenbroj avtomobili i sloèn broj spalnisobi. Zbirot na site ovie broevi e 10.Koi se tie broevi?

3.

4. Obidi se da zapi{e{ parni broevipogolemi od 2 kako zbir na dvaprosti broja.

Primer: 8 = 3 + 5, 12 = 5 + 7, 48 = 37 + 11.

Napi{i go kako zbir od prostibroevi brojot: 14; 52.

Proveri se!

Istraì sam!

Vo eden hotel imalo 100 svetilki. Na edna tabla imalo prekinuva~i za sekojasvetilka i tie bile ozna~eni so broevi od 1 do 100.Ako prekinuva~ot se pritisne edna{, svetilkata se pali, a ako se pritisne povtor pat taa se gasi. Site svetilki bile izgasnati.Domarot prviot den gi pritisnal site prekinuva~i, t.e. site svetilki gi zapalil.Za da za{tedi elektri~na energija, toj vtoriot den go pritisnal sekoj vtor prek-inuva~, tretiot den sekoj tret i na toj na~in stotiot den go pritiskal samo sto-tiot prekinuva~. Koi svetilki, t.e. svetilkite so koi ozna~eni broevi }e svetatpo stotiot den?

Moàm sam da istraàm i da go re{am problemot.]e razmislam prvo za 10 svetilki, potoa za 20,potoa za 30 i taka }e zaklu~am za 100 svetilki.

60

Potseti se!

ZAEDNI^KI DELITEL. NAJGOLEM ZAEDNI^KI DELITEL

A

Voo~uvam deka: Ako D28 e mnoèstvo deliteli na brojot 28, a D24,

mno ̀ e stvo deliteli na brojot 24, toga{ D28 ∩ D24 e mnoèstvoto na

za ed ni~kite deliteli na broevite 28 i 24.

23

Odredi gi site deliteli na brojot 18.

Mnoèstvoto deliteli zapi{i go tabelarno i ozna~i go so D18.

Odredi gi site deliteli na brojot 24.

Mnoèstvoto deliteli zapi{i go tabelarno i ozna~i go so D24.

Odredi gi zaedni~kite deliteli na broevite 18 i 24, t.e. odredi D18 ∩ D24.

Mimoza kupila bonboni za 28 de -nari, a Ivan kupil od is tite bon-boni za 42 denari.

1

Odredi go mnoèstvoto zaedni~ki deliteli na broevite 30 i 45. Odredi NZD(30, 45).2

Koja bi moèla da bide cenatana edna bonbona?

Koja bi moèla da bide najvi-sokata cena na edna bonbona?

Voo~i ja postapkatai zaklu~i!

Site deliteli na brojot 28. D28 = {1, 2, 4, 7, 14, 28}

Site deliteli na brojot 42. D42 = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}

Zaedni~kite deliteli za broevite 28 i 42. D28 ∩ D42 = {1, 2, 7, 14}

Voo~i deka:

Cenata na edna bonbona bi moèla da bide: 1, ili 2, ili 7 ili 14 denari.

Najvisokata cena bi moèla da bide 14 denari.

Brojot 14 e najgolem zaedni~ki delitel za broevite 28 i 42.

Zapomni!

Najgolemiot od site zaedni~ki deliteli na broevite m i n se vika najgolemzaedni ~ ki delitel na broevite m i n. Se ozna~uva: NZD(m, n).

��

��

61

B

Odredi go najgolemiot zaedni~ki delitelna broevite: a) 24 i 30; b) 9 i 14.

3

Voo~i!

Zaedni~ki delitel za broevite 9 i 14 ebrojot 1, a toj e i nivniot najgolemzaedni~ki delitel, t.e. NZD (9, 14) = 1.

Zapomni!

Ako NZD (a, b) = 1, toga{ za broevite a i b velime deka se zaemno prosti broevi.

Voo~i ja postapkata i raboti sporedbarawata.

Razloì gi broevite 168 i 180 na prosti mnoìteli.

Pretstavi gi broevite 168 i 180 kako proizvod od prosti broevi.

Odredi NZD(168, 180).4 16884422171

22237

120, 15060, 7520, 254, 5

235

42, 63, 8414, 21, 282, 3, 4

37

18090451551

22335

168 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7

180 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5

Voo~i!

Proizvodot od zaedni~kite prosti de li teli na broevite 168 i 180 e nivniot najgolemzaedni~ki delitel, t.e. NZD(168, 180) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12.

Voo~i ja skratenata postapka za odre duvawe NZD.

Odredi go najmaliot prost broj {to e delitel na dvata broja.

Odredi go najmaliot prost broj {to e delitel na dvata dobienikoli~nici.

Postapkata ja prodolùva{ s¢ dodeka dobienite koli~nicistanat zaemno prosti broevi.

Proizvodot na zaedni~kite prosti deliteli e najgolemiot zaed-ni~ki delitel, t.e.

NZD(120, 150) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30 i NZD(42, 63, 84) = 3 ⋅ 7 = 21.

Odredi NZD(120, 150) i NZD(42, 63, 84).5

Odredi a) NZD(72, 90); b) NZD (150, 180, 240)6

�

�

�

��

�

�

62

Razloì gi broevite 36 i 60 na prostimnoìteli, a potoa odredi go nivniot NZD.

Dadeni se dve ìci od 8 m i 12 m. Koja enajgolemata dolìna so koja moàt dveteìci da se podelat na ednakvi delovi?

Zada~i

Odredi go mnoèstvoto zaedni~kideliteli na broevite: 30 i 36.

1.

Dadeni se dve ìci. Ednata e dolga 96m, a drugata 180 m. Kolku metri e naj-golemata dolìna so koja moè da seizmerat dvete ìci?

5.

Odredi:

a) NZD(12, 18); v) NZD(60, 90, 120);

b) NZD(48, 72); g) NZD(240, 300, 600).

2.

Odredi:

a) NZD (16, 25); b) NZD(36, 72).3.

Kolku najmnogu ednakvi buketi moèda se napravat od site 48 beli i site72 crveni karanfili, taka {to vosekoj buket da ima ist broj karanfiliod ista boja?

4.

Obidi se da re{i{!

Kolku najmnogu ednakvi paket~iwamoè da se napravat od 48 ~okoladi,72 bajaderi i 120 bonboni, taka {tovo sekoe paket~e da ima po ednakovbroj par~iwa od ist proizvod i siteproizvodi da bidat upotrebeni?

6.

Koristej}i gi dadenite mreì,odredi gi i zapi{i gi na soodvet-nite to~ki delitelite na broevite: a) 36 i 54; b) 28, 42 i 98.

7.

Da odredi{ zaedni~ki delitel nadva broja;

koi broevi se zamno prosti broevi;

da odredi{ najgolem zaedni~ki de -litel na dva ili pove}e broevi, poskratena postapka.

Treba da znae{! Proveri se!

Spored mreìte odredi: NZD(36, 54) i NZD(28, 42, 98).

1 3

2

36

54�NZD

1

723

4228 98

�NZD

63

A Dvajca drugari se sretnale vo bi-blioteka. Edniot odi vo biblio -tekata sekoj ~etvrti den, a drugi -ot sekoj {esti den. Po kolku denatie povtorno }e se sretnat vobibliotekata?

1

ZZAEDNI^KI SODR@ATEL. NAJMAL ZAEDNI^KI SODR@ATEL

24Potseti se!

Mnoèstvoto sodràteli na brojot3, zapi{i go na tabelaren na~in iozna ~i go so S3.

Mnoèstvoto sodràteli na brojot4 zapi{i go tabelarno i ozna~i goso S4.

Zapi{i go mnoèstvoto zaedni~kisodràteli na broevite 3 i 4, t.e.odredi go S3 ∩ S4.

B

Voo~i ja postapkata i zaklu~i!

Mnoèstvoto sodràteli na brojot 4. S4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...}

Mnoèstvoto sodràteli na brojot 6. S6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...}

Mnoèstvoto zaedni~ki sodràteli S4 ∩ S6 = { 12, 24, 36, ...}na broevite 28 i 42.

Voo~i!

Dvajcata drugari vo bibliotekata }e se sretnat po 12 dena, 24 dena, 36 dena itn.

Prv pat }e se sretnat po 12 dena.

Brojot 12 e najmaliot zaedni~ki sodràtel za broevite 4 i 6.

Zapomni!

Najmaliot priroden broj n koj e sodràtel na prirodnite broevi a i b se vikanajmal zaedni~ki sodràtel na broevite a i b. Se ozna~uva: NZS(a, b) = n.

Odredi go mnoèstvoto zaedni~ki sodràteli na broevite 3 i 5. Odredi NZS(3, 5).2

Voo~i ja postapkata za odreduvawe na NZS.

Razloì gi broevite 12 i 45 na prosti mnoìteli.

Odredi NZS(12, 45).3 12631

223

451551

335

�

��

��

64

Postapkata prodolì ja so dobienite koli~nici i ostanatiteprepi{ani broevi {to go nemaat soodvetniot prost delitel.

Proizvodot na dobienite prosti deliteli e najmaliot zaedni~kisodràtel na dadenite broevi, t.e.

NZS(60, 72, 90) = 23 ⋅ 32 ⋅ 5 = 8 ⋅ 9 ⋅ 5 = 360.

60, 72, 9030, 36, 4515, 18, 4515, 9, 455, 3, 155, 1, 51, 1, 1

222335

Odredi NZS na broevite: a) 14 i 15; b) 20 i 40; v) 60, 90 i 120.6

Voo~i!

Ako dva broja se zaemno prosti, toga{ NZS na tie broevi e nivniot proizvod, t.e.NZS(14, 15) = 14 ⋅ 15 = 210;

Ako od dva broja, edniot e sodràtel na drugiot, toga{ NZS na tie broevi e pogo -lemiot, t.e. NZS(20, 40) = 40.

Pretstavi go sekoj od broevite 9 i 12 kako proizvod naprosti broevi, a potoa odredi go nivniot najmal zaed-ni~ki sodràtel.

Na u~ili{nata zabava se dodeluvale nagradi na sled-niot na~in:

zna~ka dobival sekoj 10-ti posetitel;

sok dobival sekoj 15-ti posetitel.

kapa dobival sekoj 20-ti posetitel.

Koj e prviot posetitel {to gi dobil site tri nagradi?

Treba da znae{!

Da odredi{ mnoèstvozaedni~ki sodràteli nadva broja;

da odredi{ najmalzaedni~ki sodràtel nadva ili pove}e broevi,po skratena postapka.

Odredi NZS(m, n), ako e poznato deka: m = 22 ⋅ 33 ⋅ 5; n = 23 ⋅ 32 ⋅ 7.4

Odredi NZS(60, 72, 90).5

Voo~i ja skratenata postapka za odreduvawe na NZS so pomo{ na vertikalna crta.

Odredi go prostiot delitel, po~nuvaj}i od najmaliot, na eden ili pove}e od dade -nite broevi.

Brojot 12 razloèn na prosti mnoìteli e proizvodot 22 ⋅ 3.�Brojot 45 razloèn na prosti mnoìteli e proizvodot 32 ⋅ 5.�Site prosti mnoìteli na broevite 12 ili 45 se 2, 3 i 5. Tie se javuvaat so najgolem stepen kako: 22, 32 i 5.

�

Najmaliot zaedni~ki sodràtel e nivniot proizvod, t.e. NZS(12, 45) = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 = 180.

�

�

�

�

�

�

Proveri se!

65Zada~i

Odredi go mnoèstvoto sodràteli nabroevite: 10 i 15, a potoa odrediNZS(10, 15).

1.

Odredi:

a) NZS(8, 10); v) NZS(80, 120);

b) NZS(6, 12, 18); g) NZS(120, 180, 240).

2.

Od ista stanica istovremeno trgnaletri avtobusi. Prviot se vra}a vo sta -nicata sekoi 50 minuti, vtoriot sekoi60 minuti, a tretiot sekoi 75 minuti. Po kolku najmalku minuti }e se najdatzaedno na po~etnata stanica site triavtobusi?

3.

Dva broda trgnuvaat istovremeno odisto pristani{te. Prviot se vra}a vopristani{teto sekoi 20 dena, a vtori-ot sekoi 24 dena. Po kolku najmalku denovi brodovite}e se najdat vo istoto pristani{te?

4.

Milan imal pomalku od 30 kocki. Akogi redi po 3 vo eden red edna mu osta -nuva. Ako gi redi po 4, isto taka, ednamu ostanuva, no ako gi redi po 5 ne muostanuva ni edna kocka.Kolku kocki imal Milan?

5.

Tri svetilki so razli~na boja se vklu -~eni vo isto vreme. Crvenata svetilkase gasi na sekoi 5 sekundi, sinata sve -tilka se gasi na sekoi 4 sekundi, aòltata svetilka se gasi na sekoi 6sekundi.Na kolku sekundi }e izgasnat site trisvetilki?

6.

Istraì sam!

Po {to se sli~ni, a po {to se razli~ni broevite 12 i 16?

Obidi se da presmeta{!

Najmaliot zaedni~ki sodràtel na nekoj broj i brojot 12 e brojot 24. Koj e nepoznatiot broj?

Zanimliv problem!

Dvajca bra}a sakale da kupat karti za "Zabaven park#. Se presmetale i na edniot odniv mu nedostasuvale 20 denari za dve karti, a na drugiot za dve karti mu nedostasu-val eden denar. Utvrdile deka i nivnite pari vkupno nedostasuvale za dve karti.Kolku pari ~inela edna karta za "Zabavniot park# i kolku denari imal sekoj od niv?

66R A B O T A

S O P O D A T O C I

SLIKOVEN DIJAGRAM. STOLBEST DIJAGRAM25

Pretstavi gi podatocite vo tabela.

Vo koja sedmica se prodadeni najgolem broj maici?

Kolku pove}e maici se prodadeni vo sedmica 2 od sedmica 1?

Kolku vkupno maici se prodadeni vo {este sedmici?

Proda`ba na maici

Sedmica 1

Sedmica 2

Sedmica 3

Sedmica 4

Sedmica 5

Sedmica 6

Znakot pretstavuva 10 maici,

a 5 maici.

Slikoven dijagram e na~in napretstavuvawe na podatoci sokoristewe na sliki ili simboli.

Vo edna prodavnica e zapi{uvana proda`bata namaici vo 6 sedmici. Podatocite se pretstaveniso slikoven dijagram. Razgledaj go dijagramot.

1

Broj 30 50 20 25 15 40

Koga [etawe Doma U~ewe Sportuvawe Na rabota Drugo

U~enicite vo VI oddelenie pribrale podatoci za toa koga lu|eto najmnogu sakaat daslu{aat muzika. Podatocite se pretstaveni vo tabelata.

2

Voo~i ja tabelata za brojot na pozajmeni knigi odgradskata biblioteka.

3

Pretstavi gi podatocite vo tabela so koristewe na simbolot (slu{alki).

Eden simbol pretstavuva 10 odgovori.

Kade lu|eto naj~esto slu{aat muzika?

Kolku vkupno odgovorile na postavenoto pra{awe?

Pretstavi gi podatocite vo slikoven dijagram ako

eden simbol � pretstavuva 50 knigi.

Zapi{i tri pra{awa vo vrska so podatocite i odgo-vori gi.

Den Br. knigi

Ponedelnik 350

Vtornik 400

Sreda 150

^etvrtok 100

Petok 50

67Okolu na{eto sonce se vrtat 9 planeti. Sedum od pla ne tite imaat svoisateliti (mese~ini). Vo tabe lava se da deni podatocite za brojot na sate -litite otkrieni do 1992 godina.

4

Zemja 1

Mars 2

Jupiter 16

Saturn 18

Uran 15

Neptun 8

Pluton 1

Planeta Broj na mese~ini

Zo{to e podobro da se pretstavat podatocitena stolbest dijagram otkolku vo tabela?

Pretstavi gi podatocite na stolbest dijagram taka {to stolbovite da bidat nacrtani hori-zontalno.

Voo~i go izborot na skalata. Zo{to ne bibilo prakti~no da se koristi skala soedini~na merka 5 ili 10 vo ovoj primer?

Da se nacrta horizontalna oska i da se zapi{at imiwata koi se odnesuvaat napodato cite.

Da se nacrta vertikalna oska i da se zapi{e vidot na edi ni~nata merka.

Da se odlu~i za goleminata na edini~nata merka na skalata taka {to da mo`e dase pretstavat site podatoci i da se formira skalata.

Da se nacrtaat stolbovite.

Da se zapi{e naslov na stolbestiot dijagram.

Mese~ini na planetite

broj

na

mes

e~in

i

0

2468

1012141618

Z M J S U N P

Planeti

0

5

10

15

20

broj

na

mes

e~in

i

0

10

20

broj

na

mes

e~in

i

Za da se pretstavat podatocite na stolbest dijagram potrebno e:

�

��

��

Dadeni se mnoèdstvata A = {a, b, c}i B = {1, 5}. Odredi go dekartoviot

proizvod A x B i dekartoviot kvadrat B2.

Dadeni se mnoèstvata A = {x | x eneparen broj od vtorata desetka},

B = {x | x e prost broj od vtorata desetka} i C = {x | x ∈ N i 15 < x ≤ 19}.a) Zapi{i gi A, B i C na tabelaren na~in.b) Pretstavi gi B i C so Venov dijagram izapi{i go B∩C tabelarno.v) Odredi koi od mnoèstvata A, B, C,B∩C i B\C se ekvivalentni.

68 UUÊ[E ZA PRIRODNI BROEVI. PROVERI GO SVOETO ZNAEWE

261.

2.

Od dve cevki te~e voda vo bazen,pri {to vo edna sekunda niz ednata

cevka se vlevaat 9 l, a niz drugata 6 l.Kolku litri voda }e se vleat vo bazenotniz dvete cevki za 15 min?

7.

Ana i Bojan delele eden ist broj:Ana so 14, a Bojan so 18. Ana dobila

koli~nik 23 i ostatok 2. Koj koli~ nik godobil Bojan?

8.

Najdi ja aritmeti~kata sredina nabroevite: 427, 586, 386 i 485.

10.

Koi od broevite 105, 372, 801, 930 i254 se delivi so:

a) 2; b) 5; v) 3; g) 9 ?

11.

Koja cifra treba da zapi{e{ namestoto ozna~eno so * za brojot da

bide deliv so 4: a) 573*; b) 74*2 ?

12.

Razloì go brojot 315 na prosti mno -ìteli.

13.

Odredi go mnoèstvoto D68, t.e.mnoèstvoto od site deliteli na

brojot 68.

14.

Odredi NZD i NZS za broevite 18 i24.

15.

Kolku najmnogu ekipi so ednakov broju~enici moè da se sostavat od site

12 devoj~iwa i site 20 mom~iwa, taka {tosekoja ekipa da ima ist broj devoj ~iwa iist broj mom~iwa?

16.

Na edna telefonska linija stolbo -vite bile postaveni na rastojanie

od 30 m. Stolbovite treba da se razmestatna rastojanie od 50 m. Koi stolbovi odtelefonskata linija }e ostanat na istomesto?

17.

9.

Dadeni se cifrite 9, 1 i 0. a) Formiraj gi site tricifreni

broevi so koristewe na site tri dadenicifri. b) Podredi gi po golemina broevite {to gidobi, po~nuvaj}i od najmaliot. v) Zapi{i gi prethodnikot i sledbenikotna najmaliot broj od for miranite broevi.

3.

Zapi{i go brojot „dvaeset milijarditrista pedeset milioni pet iljadi i

sedumdeset“. Vo koja klasa i na koja pozi-cija e cifrata 3 vo toj broj? Koja e pozi-cionata vrednost na cifrata 3?

4.

Zaokruì gi broevite 6485 i 2539 nastotki i najdi go zbirot na zaokru -

ènite broevi. Za kolku se razlikuva tojzbir od to~niot zbir?

5.

Kako }e se promeni razlikata 35 648 - 18 719 ako namalitelot se

namali za 300, a namalenikot ostane ist?

6.

Eden kow i edno magare nosat tovar.

Ako od brojot na kilogrami {to go nosimagareto odzeme{ 9 kg, }e dobie{ 19 kg.Ako tri pati go namali{ brojot na kilo-grami {to go nosi kowot, }e dobie{ 13 kg.Kolku kilogrami tovar nosat kowot imagareto zaedno?

69

1. To~ka i prava. Osnovni svojstvana pravata 70

2. Zaemna polo`ba na dve pravi 73

3. Rastojanie me|u dve to~ki 75 4. Poluprava. Otse~ka.

Dol`ina na otse~ka 77 5. Prenesuvawe na otse~ki 806. Iskr{ena linija 837. Osnovni i izvedeni poimi 878. Kru`nica i krug 899. Zaemna polo`ba na kru`nica i

to~ka. Zaemna polo`ba na kru`-nica i prava 92

10. Zaemna polo`ba na dve kru`nici 94

11. Poluramnina. Agol 9712. Sporeduvawe agli. Vidovi

agli 10013. Sosedni, naporedni i nakrsni

agli 103

14. Centralen agol. Konstrukcijana agol 105

15. Grafi~ko sobirawe i odzemawe na agli 108

16. Merewe na agli. Aglomer 11017. Aritmeti~ki operacii so

agli 11318. Zaemno normalni pravi. Rasto-

janie od to~ka do prava 11619. Simetrala na otse~ka. Sime-

trala na agol 11820. Komplementni i suplementni

agli 12021. Mnoguagolnik 12222. Nekoi vidovi mnoguagolnici 12523. Perimetar na mnoguagolnik 12724. U~e{e za geometriski figuri

vo ramnina. Proveri go svoeto znaewe 130

TEMA 2. GEOMETRISKI FIGURIVO RAMNINA

Potseti se!

A

70

Na crteòt e pretstavena prava a inekolku to~ki:To~kite: A, D i F £ pripa|aat na pra-vata a.To~kite: V, C, H i G ne £ pri pa|aat napravata a.Na pravata a ima i mnogu drugi to~ki.

Moème da re~eme deka pravata emnoèstvo to~ki.

Za to~kata M velime deka £ pripa|a napravata p ili deka pravata p minuvaniz to~kata M; kratko zapi{uvame M ∈ p.

To~kata N, pak, ne £ pripa|a, t.e. ne leì na pravata p, a mo ̀ e da se kaè i deka Nleì nadvor od pravata p; kratko zapi{uvame N ∉ p.

Nacrtaj prava b i na nea ozna~i ne -kolku to~ki. Ozna~i i to~ki {to ne £pripa|aat na pravata b.

Kako si ja zamisluva{ pravata?

Razgledaj go crteòt i zapomnigo iskaà noto.

1A

D

BG a

C H

F

M

p

N

Da zapomnam! To~kata leì na pravata ili to~kata ne leì na pravata.

Nacrtaj edna prava i ozna~i ja so m. Potoa ozna~i gi to~kite A, V,S, M i N taka {to: A ∈ m, B ∉ m, C ∉ m, M ∈ m i N ∈ m.

2

Na crteòt se ozna~eni pravata d i to~kite: A ∈ d,B ∉ d, C ∉ d, D ∈ d, E ∈ d, F ∈ d i G ∉ d.

Moè{ li da ozna~i{ i drugi to~ki {to ñ pripa-|aat na pravata d? Kolku?

Moè{ li da ozna~i{ i drugi to~ki {to ne ñ pri-pa|aat na pravata d? Kolku?

3

AD

G

Cd

B

E F

Na pravata leàtbesko ne~no mnogu to~ki,no ima i to~ki {to neleàt na taa prava.

Ova zapomni go kako prvo osnovno svoj stvona pravata.

Voo~i!

Iskaì gi so zborovi kratkite zapisi A ∈ m i B ∉ m.

TO^KA I PRAVA. OSNOVNI SVOJSTVA NA PRAVATA

1

B

71

Bukvite p i q, pak, na crteòt ozna ~uvaatista prava. Zapi{uvame p ≡ q i velime:„Pravite p i q se sov pa |a at“.

A

B a

bE

C

D

A

B

p

q

Voo~i koi od ozna~enite to~ki nacrteòt leàt na ista prava.

4

Spored crteòt utvrdi dali seto~kite kolinearni:

a) A, R i V; g) M, Y i B;

b) M, Y i N; d) A i V;

v) A, R i N; |) N, P, S, M.

5

Bukvite A i V na crteòt ozna~uvaatista to~ka.

Zapi{uvame: A ≡ V i velime: „To~kiteA i V se sovpa|aat”.

6

Za to~kite {to leàt na ista pravase veli deka se kolinearni.Na crteòt to~kite A, S i D se koli -ne ar ni i to~kite V, S i E se kolin-earni.To~kite A, V i D ne leàt na istaprava, pa tie ne se kolinearni.

Voo~i i zapomni!

Koga }e kaème: „ozna~i dve to~ki“,„dadeni se dve pravi”, }e podrazbi-rame deka tie dve to~ki, odnosno tiedve pravi se r a z l i ~ n i.

Niv }e gi ozna~uvame so r a z l i ~ n ibukvi.

Voo~i i zapomni!

A

M S m

nN

P

B

Niz to~kite M i N minuva to~no ednaprava.

Ova zapomni go kako vtoro osnovnosvoj stvo na pravata.

Voo~i i zapomni!Niz to~kite M i N na crteòtminuva pravata p. Dali moè{da povle~e{ nekoja drugaprava {to minuva niz to~kiteM i N?

7

Ozna~i dve to~ki A i B i povle ~i prava p opredelena so tie dve to~-ki. Potoa izberi to~ka S {to ne leì na pravata p. Kolku pravi se opredeleni so tie tri to~ki? Zapi{i gi tie pravi so pomo{ na to~ki.

8

M

pN

Da zapomnam! Od vtoroto osno v nosvoj stvo proizleguva deka dveto~ ki opredeluvaat edna edin-stvena prava. Zatoa prava moèda se ozna~i i so dve nej zinito~ki i da se kaè: „pravataMN”, namesto „pravata p”.

Koi od to~kite na crteòt se:

a) kolinearni; b) nekolinearni?

3.

Na pravata p se ozna~eni to~kite M,N i R. Kako moè na drug na~in da seimenuva pravata p?

4.

D

A b

aC

B

E

72 Razgledaj gi crteìte, razmislii za klu~i spored baraweto.

Voo~uva{ deka se povle ~eni tri pra vi {tominuvaat niz to~ kata M i pet pravi {tominu vaat niz to~kata N.

Moè{ li da povle~e{ i drugi pravi taka{to da minuvaat niz to~ka ta M? Kolku? Aniz to~kata N?

9

Ma

bc

N

Niz edna to~ka minuvaat besko ne ~nomnogu pravi.

Za takva to~ka A, kako na crteòt, seveli deka e zaedni~ka to~ka napravite {to minuvaat niz nea.

Voo~i i zapomni

A

10 Ozna~i edna to~ka R. Nacrtaj tri pravi a, b i c, taka {to to~kata R da bide nivnazaedni~ka to~ka.

Treba da znae{!

Da opredeli{ zaemen odnos na to~ka iprava;

da gi iskaùva{ i objasnuva{ prvoto ivtoroto osnovno svojstvo na pravata;

da razlikuva{ dali tri ili pove}eto~ki se kolinearni ili se nekolin-earni.

Nacrtaj prava a i ozna~i to~ki A, V, M iR {to leàt na pravata a i to~ki C, D,F i N {to ne leàt na pravata a.

Ozna~i tri kolinearni to~ki A, V i S.

Ozna~i to~ka M i povle~i pravi a, b, c id {to minuvaat niz to~kata M. Kolkupravi moè{ da povle~e{ {to }e min-uvaat niz to~kata M?

Zada~i

Nacrtaj dve pravi a i b i na sekoja odniv ozna~i po tri to~ki.

1.

To~kite A, V, S i D se rasporedenita ka {to me|u niv nema tri to~ki {tose ko linearni. Kolku pravi oprede -luva at tie to~ki? Prikaì go toa nacrte`.

5.

Ozna~i tri to~ki A, V i S i nacrtajtri pravi a, b i c taka {to pravata ada minuva niz to~kite A i V, b nizto~kite V i S i c niz to~kite A i S.Koja e zaedni~kata to~ka na pravitea i c?

2.

Proveri se!

Potseti se!

B

A

73

Pravite a i b na crteòt imaatzaedni~ka to~ka R.

Dali moè dve pravi da imaatpove}e od edna zaedni~ka to~ka?Zo{to?

a

bP

Dve pravi moè da imaat najmnoguedna zaedni~ka to~ka.Za pravite koi imaat edna zaed-ni~ka to~ka se veli deka sese~at vo taa to~ka. Zaedni~katato~ka se vika prese~na to~ka natie pravi.Na crteòt pravite a i b se se~ati nivna prese~na to~ka e R.Toa kratko se zapi{uva a ∩ b = {P}

Dve pravi koi nemaat zaedni~kato~ka se vikaat paralelnipravi. Pravite a i b na crteòtse paralelni.

Toa kratko se zapi{uva a || b.

b

ac

Zapi{i kratko:

a) Pravite a i b se se~at vo to~kata M.

b) Prese~nata to~ka na pravite c i d e to~kata L.

v) Zaedni~kata to~ka na pravite m i ne to~kata Y.

1 Spored crteòt odredi {to e to~no.

a) a ∩ b = {A}. v) b ∩ c = {B}.b) a ∩ c = {B}. g) a ∩ c = {C}.

2

Dve pravi moè i da nemaat zaedni~ka to~ka. Takvi se pravite a i b nacrteòt.

Toa prakti~no zna~i: kolku i da gi„pro dolùva{“, tie ne }e se se~at.

3

A

C

B

ab

ZAEMNA POLO@BA NA DVE PRAVI2

b

a

cZaemnata polo`ba na pravite a, b i cna crteòt e slednava:

a i b se paralelni, t.e. a || b.

a i c se se~at, t.e. a || c.

b i c se se~at, t.e. b || c.

4

74

Treba da znae{!

Za koi dve pravi se veli dekase se~at;

koi dve pravi se vikaat para-lelni pravi;

deka pravi {to se sovpa|aat sesmetaat za paralelni.

Nacrtaj prava a i ozna~i to~ka R ∉ a. Niz to~ -kata R povle~i prava b {to ja se~e pravata a.

Nacrtaj tri pravi a, b i c taka {to, par po par,da nemaat zaedni~ki to~ki. Zapi{i gi simboli -~ki zaemnite polo`bi na tie pravi.

Nacrtaj tri pravi a, b i c taka {to a || b i

b ∩ c = {M}.

Zada~i

Nacrtaj tri pravi a, b i c taka {to daimaat edna zaedni~ka to~ka.

1.

Dali trite pravi AV, VS i BD imaatzaedni~ka to~ka? Koja e taa to~ka?Pretstavi go toa na crte`.

2.

Dadeni se to~kite A, V i S. Kolkupravi opredeluvaat tie to~ki? Raz -gledaj gi site mo`ni slu~ai vo zavis-nost od polo`bata na to~kite.

3.

Nacrtaj prava a, a potoa nacrtaj pravab, taka {to a || b.

4.

Nacrtaj prava m. Potoa nacrtaj pravin i p taka {to n || m i p || m. Vo kakvazaemna polo`ba se pravite n i p?

5.

Koga nekoi pravi se sovpa|aat, toa se sme ta za specijalen slu~aj na paralelnost,pa zatoa mo`e da se ka`e deka sekoja prava e paralelna sama na sebe, t.e. a || a.

Za pravite a i b na koi site to~ki im se zaedni~kivelime deka se sovpa|aat.

ili se paralelni.

ili se se~at;

Dve pravi

Voo~i i zapomni!

ab

Proveri se!

Potseti se!

75

B

A

BC = 0 cm, zatoa {to to~kite V i S se sovpa|aat.

Dosega pove}e pati si odreduval ras-tojanie od edno mesto do drugo, od edenobjekt do drug, od edna to~ka do druga.Toa rastojanie si go iskaùval soodreden broj centimetri (cm), metri(m), kilometri (km) i sl.

Rastojanieto od edna to~ka A do drugato~ka V e broj pogolem od nula ili edna-kov na nula, toj broj go ozna~uvame so AV.Zna~i, AV ≥ 0.

Brojot AV e pogolem od nula koga to~kite se razli~ni i e ednakov na nula kogato~kite se sovpa|aat.

Na primer, rastojanieto me|u to~kiteA i V e 5 cm, {to kratko se zapi{uvaAB = 5 cm, rastojanieto od Skopje doVeles e 55 km i sl.

Izmeri go rastojanieto me|u to~kite

S i D vo milimetri i zapi{i go

kratko.

A

a

Vo vrska so crteòt odredi gi rasto-

janijata AB, BC i CD.

Za koi bilo dve to~ki A i V, rastojani-eto od A do V e ednakvo na rastojanie-

to od V do A, t.e. AB = BA.

1 d

AB

CD

Razgledaj go crteòt ivoo~i gi tvrdewata.

B

C

D

Spored crteòt:

Odredi gi rastojanijata MN i NM, a potoa sporedi gi. Zapi{i go toa sim-boli~ki.

2

Ako rastojanieto CD = 28 cm, toga{ kolkavo e rastojanieto DC ?3

Na crteòt se dadeni nekolinearnite to~ki A,

V i S. Izmeri gi rastojanijata AB, AC i CB.Sporedi gi:

AB so AC + CB;BC so BA + AC;AC so AB + BC;

4

A B D

C

M N

Voo~i!

A

C

B

[to zabeleùva{?

Zaklu~iv deka AB < AC + CB;BC < BA + AC i AC < AB + BC.

RASTOJANIE ME¿U DVE TO^KI3

AB = 4 cm; AB > 0; BD = 3 cm; BD > 0;

To~kite M, N i R na crteòt se kolinearni.

Izmeri gi rastojanijata MP, MN, NP i MPsporedi go so MN + NP.

76

To~kite A, V i S se kolinearni pri {toto~kata V e me|u to~kite A i S. Pre-smetaj go rastojanieto me|u to~kite A i

V, ako AC = 7 cm i BC = 42 mm.

To~kite A, V i S leàt na ista prava,

pri {to AB = 35 mm i BC = 48 mm.

Kolku e AC?

5

Odredi dali to~kite A, V i S leàt na ista prava, ako:6

M N P

[to zaklu~i?Zaklu~iv deka

MP = MN + NP.

Ako za tri to~ki M, N i R vaì ravenstvoto MP = MN + NP, toga{ tie tri to~kileàt na ista prava. Vo toj slu~aj se veli deka to~kata N leì me|u to~kite M i R.

Rastojanie me|u dve to~ki A i V e broj AV so slednive svojstva:

1) AB ≥ 0; 2) AB = BA; 3) za koja bilo to~ka S vaì: AC ≤ AB + BC.

AC = 8 cm; AB = 5 cm; BC = 4 cm;

Treba da znae{!

Rastojanieto me|u dve to~ki e broj po-golem od nula ako to~kite se razli~ni,a e ednakov na nula ako tie se sovpa-|aat;

za koi bilo dve to~ki A i V, AB = BA;za koi bilo tri to~ki A, V i S,

AC ≤ AB + BC.

Dali to~kite A, V i S leàt na ista

prava ako AC = 56 mm, AB = 3 cm i

BC = 26 mm ? Zo{to?

To~kite M, N i R ne se kolinearni, pri

{to MN = 3 cm i NP = 5 cm. Moè li MPda bide 95 mm?

Zada~i

4.1.

Na pravata p to~kata R leì me|u to~-

kite M i Y, MP e tripati pomalo od

PS i MS = 12 cm. Presmetaj gi MP i PS.

5.

Za koi bilo tri to~ki A, V i S rastojanieto od Ado S e pomalo ili e ednakvo na zbi rot od rasto-

janijata od A do V i od V do S, t.e. AC ≤ AB + BC.

Dali se kolinearni to~kite K, L i M ako

KL = 3 cm, LM = 52 mm i KM = 82 mm?2.

Nacrtaj prava m i na nea ozna~i to~kiM, N, R i Y, taka {to N da leì me|u Mi R i M da leì me|u N i Y.

3.

Proveri se!

AC = 8 cm; AB = 25 mm; BC = 55 mm.

Potseti se!

B

A

77

Na crteòt e dadena pravata a ito~ kata O {to leì na taa prava.

Na kolku delovi pravata a e pode-lena so to~kata O?

Koi od ozna~enite to~ki leàt naista strana od to~kata O?

Ozna~i dve to~ki na pravata a, me|ukoi leì to~kata O.

Na crteòt e nacrtana poluprava. Ako to~kata O e po~etnato~ka, a M e koja bilo to~ka od polupravata, toga{ kratkozapi{uvame: poluprava OM.

a

p

O

a O C DBA

AO

V

Pravata p so to~kata O e po delena nadva dela, taka {to nitu eden od tie de -lovi ne ja sodrì to~kata O.

Za to~kata O se veli deka e grani~na to~ka na sekoj od dvata dela.

Sekoj od delovite od pravata, zaedno so grani~nata to~ka se vika poluprava.

Grani~nata to~ka se vika po~etna to~kana polupravata.

Razgledaj go crteòtvoo~i i zapomni

OM

Nacrtaj prava a i na nea ozna~i dve to~ki A i V. Kolku polupravi se ozna~eni na tojna~in? Zapi{i gi kratko tie polupravi.

1

So pomo{ na to~kite M i N na crteòt, zapi{i gikratko dvete polupravi na koi e razdelena pravatam so to~kata O.

2

Ozna~i dve to~ki M i N. Nacrtaj poluprava taka {to M da bide nejzina po~etnato~ka, a N to~ka {to ñ pripa|a na polupravata.

3

Kolku polupravi so po~etna to~ka O se ozna~eni na crteòt? Koi od niv sesostavni polupravi?

4

m O

N

M N

m O BA

C

Voo~i!

Polupravite OM i ON formiraat edna prava. Takvite polupravi se vikaatsostavni polupravi.

Pravata i polupravata se mnoèstva to~ki. Sekoe mnoèstvo to~ki u{te sevika geometriska figura.

POLUPRAVA. OTSE^KA. DOL@INA NA OTSE^KA4

78

Izmeri go rastojanieto me|u to~kite Ai V na crteòt i toa zapi{i go simbo -li~ki.

8

Izmeri gi rastojanijata me|u to~kiteA i D i me|u to~kite D i V. [to zabe -leùva{?

Voo~i i zapomni!

Rastojanieto me|u krajnite to~ki M iN na otse~kata MN se vika dolìnana taa otse~ka i se ozna~uva so MN.

MN = 5 cm

M NA B

Na crteòt e dadena otse~kata AV i nanea to~kata D.

9

A D B

Voo~i i zapomni!

Na crteòt AD = DB. Zna~i to~kata D e

podednakvo oddale~ena od krajnite

to~ki A i V na otse~kata AV. Takvata

to~ka se vika sredna to~ka ili sredi-

na na taa otse~ka.

Nacrtaj otse~ka RY i odredi ja nejzinata sredna to~ka O.10

Da zapomnam! Edna otse~kamoè da se ozna~i i so malabukva. So istata bukva seozna~uva i dolìnata nataa otse~ka. Na crteòtotse~kata MN e ozna~ena sobukvata m i m = 5 cm.

Imenuvaj gi geometriskite figuri nacrteòt.

5

Imenuvaj gi otse~kite na crteòt poda) i b).

7

Na crteòt se ozna~eni pravata p ito~kite M, N i R.

6

aC

O

A D

B

p P NM

Me|u koi to~ki leì to~kata R?

Ima li drugi to~ki na pravata p {to leàt me|u to~kite M i N?

Voo~i i zapomni!

Geometriskata figura {to gi sodrìto~kite M i N i site to~ki {to leàtme|u niv se vika otse~ka. To~kite M i N se vikaat krajni to~kina otse~kata MN.

M N

M X N

Aa)

b)

V

S

m

To~kata H na crteòt b) i site drugito~ki {to leàt me|u M i N se vikaatvnatre{ni to~ki na otse~kata MN.

79

Koi dve otse~ki se skladni otse~ki?[to e poluprava?

Treba da znae{!

Da crta{ i da ozna~uva{poluprava;

{to e poluprava;

da objasni{ {to e otse~ka;

{to e dolìna na otse~ka;

za koi dve otse~ki se veli dekase ednakvi ili skladni.

Koi od ozna~enite to~ki na crteòt £ pripa|aat na otse~kata AV?

Nacrtaj edna otse~ka AV, a potoa nacrtajotse~ka CD {to e ednakva so otse~kata AV.

Zada~i

1.

Ozna~i tri nekolinearni to~ki O, A iV, a potoa nacrtaj gi polupravite OA iOV. Nacrtaj poluprava OS, {to e so -stavna na polupravata OV.

2.

Nacrtaj prava p i na nea ozna~i dveto~ki M i N. Na pravata p ozna~ito~ki R i Y {to pripa|aat naotse~kata MN i to~ki K i L {to ne ñpripa|aat na taa otse~ka.

3.

5.

[to e dolìna na otse~kata AV?4.

Ozna~i tri nekolinearni to~ki A, V iS. Kolku otse~ki odreduvaat tie to~ki?Imenuvaj gi tie otse~ki.

6.

Ozna~i tri kolinearni to~ki E, F i G.Kolku otse~ki odreduvaat tie to~ki?Imenuvaj gi.

7.

Otse~kite AV i CD se skladni. Kol-kava e dolìnata na otse~kata CD, ako

AB = 4 cm?

8.

Voo~i i zapomni!

Od sporeduvaweto na otse~kite, na cr -te ̀ ot, moème da utvrdime deka:

AB = EF i CD = GHZa dve otse~ki {to imaat ednakvidolìni se veli deka se ednakvi iliskladni otse~ki.

11

Nacrtaj otse~ka CD {to e ednakva sootse~kata AV na crteòt.

12

A B

G H

A B

EF

C

D

A C F

E

D

B G

Izmeri gi dolìnite na otse~kiteAB, CD, EF i GH i sporedi gi.

Koi od dadenite otse~ki imaat ednakvi dolìni?

Proveri se!

Potseti se! A

80

Na crteòt e dadena polupravataOM i e ozna~ena to~ kata A.

Izmeri go rastojanieto me|u to~kiteO i A.

Dali na polupravata OM moè{ daodredi{ i druga to~ka {to e odda -le ~ena od to~kata O isto kolku ito~ ka ta A?

Konstruiraj otse~ka {to e ednakvana otse~kata AV.

2A B

O M S

O

Toa svojstvo na to~kite od polupravata moè da se iskoristi za crtawe ednakviot se~ki samo so pomo{ na linijar i {estar.

Nacrtaj poluprava OY (crte` a).

Otvori go {estarot, taka {to negoviot otvor da bideednakov na dolìnata na otse~kata AV, t.e. “zemi ja”otse~kata AV (crte` b).

Zabodi go {estarot vo po~etokot na polupravata OY iso istiot otvor ozna~i to~ka M (crte` v).

Razgledaj go dadenoto re{enie i rabotispored upatstvata i crteìte.

Re{enie:

A M

Postapi spored baraweto iprou~i go iskaànoto.Nacrtaj poluprava OM i na neaodredi dve to~ki A i V, takvi {to

OA = 1 cm i OB = 3 cm.

1

Ako n e broj pogolem od nula, toga{ napolupravata OM leì samo edna to~kaA {to e na rastojanie n od to~kata O,

t.e. OA = n.

Dali ima druga to~ka A1, osven A, takva

{to OA1 = 1 cm?

Voo~i go ova kako edno svojstvo nato~kite od polupravata.

Crte` napraven samo so pomo{ na linijar i {estar se vika konstrukcija.

a)

b)

O Y

A Vv)

O M YOvaa postapka u{te se vika grafi~ko prene-suvawe na otse~ka na dadene poluprava.

Otse~kite AV i OM se ednakvi.

PRENESUVAWE NA OTSE^KI5

B

81Nacrtaj otse~ka MN i poluprava OR. Prenesi ja otse~kata MN na polupra-vata OR.

3

Otse~kite m (t.e. KL) i n (t.e. MN) se pre -neseni na polupravata OT (na crteòt

desno) taka {to OP = KL i PS = MN.

Kolkava e dolìnata na otse~kata OY?

4

Odredi go, na grafi~ki na~in, zbirot naotse~kite a i b od crteòt.

5

6

K

m

L

O

m

a

n

P S T

M

n

N

A

a

B C

b

D

Otse~kata OY pretstavuva grafi~ki zbirna otse~kite a i b, koj{to se ozna~uva so a + b (crt. g).

Nacrtaj poluprava OT (crt. a).

Prenesi ja otse~kata a na polupravata OT(crt. b).

Prenesi ja otse~kata b na polupravata OT,so po~etna to~ka R i krajna to~ka Y (crt. v).

Raboti spored upatstvatai sledi gi crteìte O

a)T

O Pb)

T

a b

O P Sv)

Ta + b

O Sg)

T

Na crteòt se dadeni otse~kite KL i MNi polupravata OT. Otse~kite KL i MN sepreneseni na polupravata OT.

Na toj na~in na polupravata OT e dobiena

otse~ka OY. Kolkava e dolìnata na

otse~kata OY?

7 Odredi ja na grafi~ki na~in razlikata

na otse~kite m = KL i n = MN.

K L

M N

m

O S P Tn

m

n

Nacrtaj poluprava OT.

Na polupravata OT prenesi ja otse~kata KL = m taka {to OP = n.

Otse~kata MN = n prenesi ja na polupravata OT so po~etok vo to~kata R, kon to~kata

O. Taka }e ja dobie{ otse~kata PS, pri {to PS = n.

Otse~kata OY e razlika na otse~kite KL i MN, t.e. OS = m – n.

Raboti spored postapkata

82

Nacrtaj otse~ka AB = 48 mm i polupra-va OY. Prenesi ja otse~kata AV napolu pravata OY.

Konstruiraj gi otse~kite OM = a + 2b i

ON = 2a – b, ako a = 3 cm i b = 2 cm.

Za sekoj broj n pogolem od nula, napolupravata OY leì samo edna to~kaA {to e na rastojanie n od to~kata O,

t.e. OA = n;

kako se prenesuva otse~ka vrz polu pra va;

kako grafi~ki se odreduva zbir, odno -sno razlika na dve otse~ki.

Nacrtaj otse~ki a = 62 mm i b = 3 cm, a potoa konstruiraj gi otse~kitea + b i a - b.

8

Treba da znae{!

Konstruiraj gi otse~kite: 2a + b ia + 2b, ako a = 25 mm i b = 22 mm.

Nacrtaj poluprava OY i na nea ozna~i

gi to~kite A i V, taka {to OA = 4 cmi AB = 2 cm.

Zada~i

1.

Za koj crte` velime deka e konstruk-cija?

2.

Konstruiraj gi otse~kite: OM = 2a i

ON = 3a, ako a = 3 cm.3.

4.

Konstruiraj gi otse~kite: a - b ia - 2b, ako a = 72 mm i b = 2 cm.

5.

Konstruiraj ja otse~kata: a + b - c, akoa = 5 cm, b = 3 cm i c = 4 cm.

6.

Proveri se!

Proveri ja svojata sposobnost na voo~uvawe.Proveri so broewe.

Kolku kvadrati ima vo figurata na crteòt a)?

Kolku pravoagolnici ima vo figurata na crteòt b)?

Kolku ramnostrani triagolnici ima vo figurata na crteòt v)?

a) b) v)

1.

2.

3.

83

A Za dve otse~ki {to imaat zaed-ni~ka samo kraj na to~ka se velideka se sosedni otse~ki.

M N

Na crteìte a) - d) se dadeni otse~ kiteAV, VS, CD i DE, koi{to se nadovrzu-vaat edna na druga na razni na~ini.

Otse~kite MN i NP na crteòt se sosedniotse~ki. Odgovori na barawata.

P

ISKR[ENA LINIJA6Potseti se!

To~kite A i V se krajni to~ki naotse~kata AV.

[to imaat zaedni~ko otse~ kite AV iVS na crteòt?

Od crteòt voo~uva{deka otse~kite AV iVS ne leàt na istaprava.

A B

A

B

C

Na koi od crteìte dve sosedni otse~kileàt na ista prava?

Na koi od crteìte nema sosedni otse~ ki{to leàt na ista prava?

A B C D Ea)

b)

v)ED

C

BA

A

B

C

D

EA

D

BE

C

g)

D

B

Cd)

A

Ako pri nadovrzuvaweto na otse~kite, koi bilo dve sosedni otse~ki ne leàt naista prava, toga{ dobienata geometriska figura se vika iskr{ena linija.

Geometriskite figuri b), g) i d) se iskr{eni linii, a a) i v) ne se. Zo{to?

E

F

GH

Koi od figurite na crteòt se iskr{eni linii?1

A CBK I

L

MN

P R

T

S

a) b) v) g)

Zapomni!

B

Koi se sosedni strani na stranata VS?

Koi strani ne se sosedni na stranata CD?

Od crteòt a) moè{ da voo~i{ dekakrajnite to~ki A i E na iskr{enatalinija ABCDE ne se sovpa|aat.

Krajnite to~ki A i E na iskr{enatalinija b) se sovpa|aat vo to~kata A.

Na crteòt e dadena edna iskr{ena linija.2

Voo~i i zapomni!

Za edna iskr{ena linija kaj koja kra-jnite to~ki se sovpa|aat se veli dekae zatvorena.

A V

S

D

E

A V

S

D

E

A ≡ E B

S

D

Razgledaj go crteòt iprosledi go iskaùvaweto

Stranite natriagolnikotformiraatzatvorenaiskr{enalinija.

A

S

V

Koja od iskr{enite linii na crteòt nema nesosedni strani {to se se~at?

Koja od iskr{enite linii e zatvorena i nema nesosedni strani {to se se~at?

3

a) b) d) |)v) g)

84Na crteòt e dadena edna iskr{ena linija. Otse~kiteAV, VS i CD se vikaat strani na iskr{enata linija,a nivni te krajni to~ki - temiwa.

A V

S

D

So koja otse~ka e sosedna otse~kata AV, a so kojae so sedna otse~kata VS?

Sosednite otse~ki na iskr{enata linija se vikaat sosed-ni strani. Na primer, sosedni strani na iskr{enata lin-ija na crteòt se AV i VS, kako i VS i CD.

Koi od stranite na iskr{enata linija na crteòt ne i se sosedni?

a) b)

85Voo~i!

Zatvorena prosta iskr{enalinija se vika poligonalnalinija.

Zapomni!

Iskr{enite linii a), b) i |) nemaat nesosedni strani {to se se~at. Takva linija sevika prosta iskr{ena linija.

Iskr{enite linii b) i |) se zatvoreni i nemaat nesosedni strani {to se se~at.

Stranite na ~etiri a gol ni kotABCD formiraat poligonalnalinija.

A

D

B

C

V 4 Presmetaj go zbirot od dol -ì nite na stranite na iskr -{enata linija na crteòt.

A B

C

D

E

32 mm

2 cm

45 mm

4 cm

Zbirot od dolìnite na stranite na is -kr{enata linija se vika perimetar naiskr{enata linija i se ozna~uva so L.

Voo~i i zapomni!

Perimetarot na iskr{enata linija odcrteòt e:

L = 32 + 40 + 45 + 20, t.e.

L = AB + BC + CD + DE

L = 137 mm.

5 Presmetaj go perimetarot na iskr{enata linija KLMNP, ako KL = 8 cm, LM = 6 cm,

MN = 5 cm, NP = 7 cm i PK = 6 cm.

Da objasni{ {to e zatvorena iskr{enalinija;

{to e zatvorena prosta iskr{ena lini-ja, t.e. poligonalna linija;

{to e perimetar na iskr{ena linija.

Treba da znae{!

Nacrtaj zatvorena iskr{ena linijaABCDE.

Presmetaj go perimetarot na zatvore-

nata iskr{ena linija ABCDE, ako

AB = 5 cm, BC = 8 cm, CD = 6 cm,

DE = 4 cm i EA = 7 cm.

Proveri se!

86

[to e perimetar na iskr{ena linija?

Nacrtaj prosta zatvorena iskr{enalinija so sedum temiwa.

3.

4.

Presmetaj go perimetarot na iskr{e -nata linija pretstavena na crteòt.

6.

A B

C

D

E

4 cm

25 mm

28 mm35 mm

3 cm

Dvornata ograda ABCD ima perimetar L = 21 m. Presmetaj ja dolìnata na

stra nata AV, ako BC = 5 m,

CD = 720 cm, DA = 630 cm.

5.

Ozna~i ~etiri to~ki A, V, S i D, taka{to da nema tri to~ki {to leàt naista prava.

Nacrtaj prosta zatvorena iskr{enalinija so temiwa vo to~kite A, V, Si D.

Zada~i

1.

Kolku temiwa i kolku strani ima is-kr{enata linija na crteòt? Imenu-vaj gi temiwata i stranite.

2.

A B

C

D

E

Obidi se!

Bez da go podigne{ vrvot na molivot od hartijata, nacrtaj iskr{enalinija, so koja dadenata figura a) }e ja podeli{ na {est pravoagol-ni triagolnici.

a) b) v)

Nacrtaj figura (zatvorena, iskr{ena linija) crt. b) "so eden poteg#,bez krevawe na molivot od hartijata i bez povtorno minuvawe po ve -}e nacrtana linija. Dali e toa mo`no da se napravi so figurata v)?

1.

2.

87

Zapomni!

Broj, zbir na dva broja, otse~ka, kru` -nica, plo{tina na pravoagolnik, iskr -{ena linija se matemati~ki poimi.

1 Voo~i gi i potseti se na slednite matemati~ki poimi {to si gi izu~uval.

to~ka; rastojanie; poluprava; sredina na otse~ka;

prava; ramnina; otse~ka; iskr{ena linija.

Potseti se za nekoi od ovie poimi

a) Geometriskata figura {to gi sodrì to~kite A i V i site to~ki {to leàt me|u niv se vika otse~ka.

b) To~kata na otse~kata {to e podednakvo oddale~ena od nejzinite krajni to~ki se vika sredina na otse~kata.

v) Geometriskata figura od nadovrzani otse~ki, takvi {to koi bilo dve sosedni otse~ki ne leàt na ista prava se vika iskr{ena linija.

A

OSNOVNI I IZVEDENI POIMI7Potseti se!

So izu~uvaweto na matematikata,dosega u~e{e za: broj, zbir na dvabroja, otse~ka, kru`nica, plo{tinana pravoagolnik i sl.

Navedi u{te nekolku raboti {to si gi izu~uval.

[to iskaùvaat re~enicite a) - v)?

So re~enicata pod a) se opredeluva kakva geometriska figura e otse~kata, t.e. se davaodgovor na pra{aweto „[to e otse~ka?”

Za re~enicata pod a) se veli deka e definicija na poimot otse~ka.

Re~enicata pod b) e definicija na poimot sredna to~ka.

Re~enicata pod v) e definicija na poimot iskr{ena linija.

Voo~i!

Vo definicijata na poimot iskr{ena linija se upotrebeni poimite sosedni otse~ki iprava.

Za definirawe na poimot sredina na otse~ka , pak, se upotrebeni poimite to~ka i prava.

2 Kako se definira poimot kolinearni to~ki?

88

Koi osnovni i koi izvedeni poimise upotrebuvaat pri definirawe-to na poimot za tvorena iskr{enalinija?

Iskaì ja definicijata za:

a) dolìna na otse~ka;

b) perimetar na iskr{ena linija.

Nabroj gi osnovnite poimi vo geome -trijata.

Zada~i

1.

Koi od navedenite poimi se izvedenipoimi: to~ka, prava, otse~ka, polu -prava, geometriska figura, rastojanie?

2.

3.

Koi poimi se upotrebeni pri defini-rawe na poimot geometriska figura?

4.

Zapomni!

Za osnovni poimi vo geometrijata se zemaat poimite: to~ka, prava, ram nina i rasto-janie.

Za site drugi poimi se dava definicija i tie se vikaat izvedeni poimi.

Taka na primer, od geometriskite poimi {to si gi izu~uval izvedeni poimi se: ot se~ -ka, sredna to~ka, iskr{ena linija, prosta iskr{ena linija, perimetar na iskr {enalinija i dr.

3 Iskaì ja definicijata za poluprava.

Koi osnovni poimi se upotrebeni pri definiraweto na poimot poluprava?

To~ka, prava i ramnina se osnovni poimi vogeometrijata;

za osnovnite poimi ne se dava definicija;

izvedenite poimi se definiraat;

poluprava, otse~ka, sredina na otse~ ka,iskr{ena linija se izvedeni poimi.

Treba da znae{!

Poimite to~ka i prava ne gi definirame so drugi poimi. Niv samo gi objas-nuvame.

Prifateno e nekoi poimi da se zemat za po~etni i tie se narekuvaatosnovni poimi.

Osnovnite poimi ne se definiraat.

Proveri se!

89

A

Na crteòt e dadena kru`nica k i na nease ozna~eni to~kite A, B, C, D, E i F.Razgledaj go crteòt i postapi sporedbarawata.

Na kakvo rastojanie seto~kite na kru`nicataod to~kata O?

U{te kolku to~ki moè{da ozna~i{ na kru`nica-ta?

1

O

D

C

BA

F

E

Mnoèstvoto od site to~ki vo ramninata {to se na ednakvo rastojanie od ednaizbrana to~ka vo taa ramnina se vika kru`nica.

Otse~kite OA, OB i OC go svrzuvaat centarot na kru`nicata soto~ki od kru`nicata i se ednakvi me|u sebe.

Sekoja otse~ka {to go svrzuva centarot so koja bilo to~ka od kru`nicata se vikaradius na kru`nicata; i nejzinata dolìna se voka radius na kru`nicata.

Radiusot naj~esto se ozna~uva so bukvata r od latinicata.

Voo~iv! Kru`nicata e mno -èstvo to~ki i site tieto~ki se na ednakvo rasto-janie od to~kata O.

Izbranata to~ka se vika centar na kru`nicata i naj~esto se ozna~uva so O.

KRU@NICA I KRUG8Potseti se!

Pove}e pati dosega si crtalkru`nica so pomo{ na {estar.

Za da nacrta{ kru`nicapo trebno e da znae{ kadeda ja zabode{ iglata ikolku da go „otvori{“{estarot.

Nacrtaj kru`nica so centar O i otvor na {estarot 25mm. Na kru`nicata ozna~ito~ki A, B i C i sekoja od niv povrzi ja so centarot O.

Razgledaj go crteòt i odgovori na pra{awata:

Kade leàt krajnite to~ki na otse~kite OA, OB, i OC?

Kakvi se tie otse~ki me|u sebe po dolìna?

2

B

C

A

O

r

3

Koja od dadenite otse~ki e radius na kru`nicata?

Zo{to otse~kata OC ne e radius na kru`nicata?

Na crteòt e dadena kru`nicata k i otse~kite OA, OB,OC i OD. A

C

k

B

O

D

90

B

4

Kolku kru`nici moè{ da nacrta{ so centar vo to~kata O i radius 2 cm?

So dadena to~ka kako centar i daden radius moè da se nacrta samo edna kru`nica.

Edna kru`nica e napolno opredelena ako se dadeni centarot i radiusot na kru`ni -cata.

Nacrtaj kru`nica so centar O i radius r= 2 cm.

Kru`nicata k so centar O i radius r se ozna~uva so k (O; r).

Razgledaj go crteòt i odgovori na pra{awata.

Na kolku delovi e podelena ramninata so kru`nicata k?

Moème da kaème deka to~kite V i D „se nadvor” od kru`nicata k. Na koj del odramninata mu pripa|aat to~kite A i C?

Na crteòt e dadena kru`nica k (O; r) i to~kite A, B,C i D.

6

5 Nacrtaj kru`nica k (O; 2 cm).

O C

A

D

B

k

V

Kru`nicata k ja deli ramninata na dva dela (oblasti) - vnatre{en (vnatre{naoblast) i nadvore{en (nadvore{na oblast).

OBA

D

k

8

Centarot i radiusot na kru`nicata k se vikaat centar i radius na krugot. Krugot socentar O i radius r go ozna~uvame so K(O; r).

Razgledaj go crteòt i odgovori na postavenite pra{awa.

Kade leàt krajnite to~ki na otse~kite AB i CD?

Koja od dadenite otse~ki minuva niz centarot O?

Na kolku radiusi e ednakva otse~kata AB?

Geometriskata figura sostavena od edna kru`nica i od nejzinata vnatre{na oblastse vika krug.

7 Nacrtaj krug K (O; 22 mm).

Na crteòt e dadena kru`nicata k i na nea seozna ~eni to~kite A, B, C i D i se povle~eniotse~kite AB i CD.

d

C

Voo~i i zapomni!

Otse~ka ~ii{to krajni to~ki ñ pripa|aat na kru`nicata se vika tetiva na kru`nicata.Otse~kata AV e tetiva {to minuva niz centarot.

Tetiva {to minuva niz centarot se vika dijametar na kru`nicata. Dijametarot na

kru`nicata naj~esto se ozna~uva so d i d= 2r.

919 Nacrtaj kru`nica k (O; 25 cm). Presmetaj go dijametarot na kru`nicata.

Na kolku delovi e podelena kru`nicata soto~kite A i B?

10 Nacrtaj kru`nica k (O; r) i na nea ozna~i dveto~ki A i B.

O

BA

kC

Koi od to~kite A, V, S i D opredeluvaat polukru`nica?

11 Nacrtaj kru`nica k (O; r), tetiva AV i dijametar CD.

Zapomni!

So to~kite A i B kru`nicata e podelena na dva dela. Sekoj od tie delovi zaedno so

to~kite A i B se vika kruèn lak i se ozna~uva so AV, ako toa e pomaliot.

Pogolemiot, pak, se ozna~uva so tri bukvi, t.e. ASV.Neka tetivata na kru`nicata pretstavuva dijametar. Sekoj od dobienite kru`ni lacise vika polu kru`nica.

Treba da znae{!

Da objasni{ {to e kru`nica;

{to e kruèn lak i kako seozna~uva;

{to e centar, a {to radius nakru`nica;

so {to e zadadena ednakru`nica;

da objasni{ {to e tetiva nakru`nica i koja tetiva sevika dijametar;

koja geometriska figura sevika krug.

O

ABE

k

D

C

Koi od ozna~enite to~ki na crteòt:

a) ñ pripa|aat na kru`nicata k?

b) pripa|aat na krugot K?

v) se krajni to~ki na radiusot nakru`nicata?

Kolkav e radiusot na

kru`nicata so

dijametar d = 32 mm?

Proveri se!

Zada~i

Nacrtaj kru`nica k (O; 2 cm). Dalicentarot O e to~ka od kru`nicata?

1.

[to e radius na kru`nica?2.

Nacrtaj kru`nica k so dijametar

d = 4 cm i na nea tetiva AB = 3 cm.3.

Nacrtaj kru`nica k(O; 25 mm) i na nea

ozna~i kruèn lak AV, taka {to za

soodvetnata tetiva da bide AB = 3 cm.

4.

Presmetaj go dijametarot na kru`ni -cata so radius r = 28 mm.

5.

Presmetaj go radiusot na kru`ni cataso dijametar d = 5 cm.

6.

Potseti se!

92

A

B

Koja od to~kite A, B, C, D i E leì na kru`nicata k (O, 35 mm), ako AO = 3 cm,

BO = 35 mm, CO = 4 cm, DO = 3 cm 5 mm, EO = 2 cm 8 mm?

Na kru`nicata k na crteòt se ozna~e -ni nekolku to~ki, a ozna~eni se i to~kikoi ne leàt na kru`nicata.

Koi od ozna~enite to~ki leàt nakru`nicata k?

Koi od ozna~enite to~ki leàt vo vnatre{nata oblast na kru`nicata k?

Koi od ozna~enite to~ki leàt vo na-dvore{nata oblast na kru`nicata k?

Koi to~ki se zaedni~ki za kru`nicata k i pravata a?

AOD

B

C

EGH

Fk

a

O

D

F

EA r

CG

B

Na crteòt se dadeni: kru`nicata k (O; r) i to~kite A, B, C, D, E, F i G.

So merewe i sporeduvawe utvrdideka se to~ni dadenite tvrdewa:

a) OA = r i OD = r;b) OB = r i OE = r;v) OC = r i OF = r.

1

To~kite A i D leàt na kru`nicata.Niv noto rastojanie do centarot O eednakvo na r.

To~kite B i E leàt vo vnatre{nosta na kru`nicata k. Tie se vnatre{ni to~ki.Rastojanieto na tie to~ki do centarot O e pomalo od r.To~kite C, F i G leàt vo nadvore{nosta na kru`nicata k. Tie se nadvore{ni to~ki.Rastojanieto na tie to~ki do centarot O e pogolemo od r.

Voo~i!

2

Koja od to~kite K, L, M, N i P e nadvore{na, a koja vnatre{na to~ka na kru`nicata

k (O, 3 cm), ako OK = 30 mm, OL = 28 mm, OM = 3 cm 2 mm, ON = 38 mm, OP = 2 cm 6 mm?3


Kolku zaedni~ki to~ki ima pravata a so kru`-nicata k?

Koja od pravite ima samo edna zaedni~ka to~ka so kru`nicata k?

Koja od pravite nema zaedni~ki to~ki so kru`nicata k?

Na crteòt e dadena kru`nica k i pravite a, b i c.4

A

O

S

Va

k

b

c

ZAEMNA POLO@BA NA KRU@NICA I TO^KA.ZAEMNA POLO@BA NA KRU@NICA I PRAVA

9

93Voo~i i zapomni!

Pravata a i kru`nicata k imaat dve zaedni~ki to~ki. Velime deka pravata a e prese~kaili sekanta na kru`nicata k.

Pravata b i kru`nicata k imaat samo edna zaedni~ka to~ka. Velime deka pravata b e dopirka ili tangenta na kru`nicata k.

Pravata c nema nitu edna zaedni~ka to~ka so kru`nicata k.

5 Nacrtaj kru`nica k i na nea ozna~i to~ka R. Nacrtaj prava t {to ja dopira kru`ni -cata k vo to~kata R.

O

ab

c

Treba da znae{!

Da odredi{ to~ka {to leì na dadenakru`nica, vo kru`nicata ili nadvorod nea;

koga edna prava e sekanta na dadenakru`nica;

koga edna prava e tangenta na dadenakru`nica.

Vo kakva zaemna polo`ba se to~kata A

i kru`nicata k (O, r), ako OA = r?Vo kakva zaemna polo`ba se pravata mi kru`nicata k (O, r), ako pravata mminuva niz centarot na kru`nicata?

Zada~i

Koja od to~kite A, V, S i D e vnatre -{na to~ka za kru`nicata k (O; 3 cm), ako OA = 25 mm, OB = 30 mm, OC = 4 cm i OD = 2 cm?

1.

Nacrtaj kru`nica k (O; 8 mm) i pra vaa {to ja se~e kru`nicata.

3.

Vo kakva zaemna polo`ba moè dabidat to~ka i kru`nica?

2.

[to e tangenta na kru`nica?4.

Vo kakva zaemna polo`ba moè dabidat prava i kru`nica?

5.

Koja od pravite na crteòt e tangen-ta na kru`nicata k?

6.

Nacrtaj kru`nica k i na nea ozna~ito~ka A. Nacrtaj tangenta t kojakru`nicata ja dopira vo to~kata A.

7.

Proveri se!

Potseti se!

94

A

Na crteòt se dadeni kru`nicitek(O; r) i k1(O1; r1).

To~kata O e centar na kru`nicatak(O; r), a otse~kata OD e radius nataa kru`nica.

Imenuvaj gi centarot i radiusot na kru`nicata k1.

Koi od ozna~enite to~ki £ pripa-|aat na kru`nicata k i na kru`ni-cata k1?

Rastojanieto O1O2 me|u centrite O1 i O2 na kru`nicite k1 i k2 se vika centralno

rastojanie i naj~esto se ozna~uva so c; c = O1O2.

Kru`nicite k1 i k2 nemaat zaedni~ki to~ki.Ednata kru`nica e vo vnatre{nata oblast na drugata kru`nica.

Razgledaj gi kru`nicite k1 i k2 i odgovori na pra{awata.

Razgledaj go crteòt i odgovorina pra{aweto.Dali kru`nicite k1 i k2 imaatza edni~ki to~ki?

Dali kru`nicite k1 i k2 imaat zaedni~ki to~ki?

Vo koja oblast na kru`nicata k1 leì kru`nicata k2?

Voo~i!

Zapomni!

1

2

Na crteòt se dadeni kru`nicite k1(O1; r1) i k2(O1; r2). Razgledajgo crteòt i odgovori na pra{awata.

[to imaat zaedni~ko kru`nicite k1 i k2 ? Imaat li kru`nicite k1 i k2 zaedni~ki to~ki?

3

Na crteòt se dadeni kru`nicitek1(O1; r1) i k2(O2; r2).

O

B

AD

rk1r1

k

C

O1

O2

r2

O1

r1

k1k2

O1

r1

k1 k2

O2

O1

r1

k1k2

r2

Kru`nicite k1 i k2 nemaat zaedni~ki to~ki.

Ednata kru`nica e vo nadvore{nata oblast na drugata kru`nica.

Voo~i!

r2

ZAEMNA POLO@BA NA DVE KRU@NICI10

95Kru`nicite k1 i k2 imaat zaedni~ki centar i nemaat zaedni~ki to~ki.

Za niv velime deka se koncentri~ni kru`nici.

Voo~i i zapomni!

V

B

Nacrtaj dve koncentri~ni kru`nici k1 i k2 so radiusi r1= 3 cm i r2= 2 cm.

[to imaat zaedni~ko kru`nicite k1 i k2 ?

Razgledaj gi kru`nicite k1(O1; r1) i k2(O2; r2) nacrteòt i odgovori na pra{aweto.

7

4

6

Kru`nicite k1 i k2 imaat samo edna zaedni~ka to~ka.

Se veli deka kru`nicite k1 i k2 se dopiraat odnadvor.

Voo~i i zapomni!

Kru`nicite k1 i k2 imaat samo edna zaedni~ka to~ka.

Se veli deka kru`nicite k1 i k2 se dopiraat odnatre.

Voo~i i zapomni!

Nacrtaj kru`nici k1(O1; 2 cm) i k2(O2; 3 cm) koi se dopiraat odnadvor.

Na crteòt se dadeni kru`nicite k1(O1; r1) ik2(O2; r2).

Razgledaj go crteòt i odgovori na pra{aweto:

[to imaat zaedni~ko kru`nicite k1 i k2 ?

5

8

Nacrtaj otse~ka O1O2 = 4 cm.

Nacrtaj kru`nici k1(O1; 25 mm) i k2(O2; 22 mm).Ozna~i gi zaedni~kite to~ki na kru`nicite k1 i k2 so A i B.Povle~i gi radiusite r1= O1A i r2= O2A.

Razgledaj go crteòt i raboti spored postapkata.

O1

r1 r2

O2M

O1 O2

r2c

r1

k1

k2

O1 O2

V

A

R

96

Treba da znae{!

Vo koi zaemni polo`bi mo`at da senajdat dve kru`nici;

da prepoznae{ na crte`:

koga dve kru`nici nemaat zaedni~kito~ki;

koga dve kru`nici se dopiraat;

koga dve kru`nici se se~at.

Mo`e li dve kru`nici da se koncen-tri~ni i da se se~at?

Dve kru`nici so radiusi r1 i r2 sedopiraat odnadvor. Na {to e ednakvonivnoto centralno rastojanie?

Zada~i

Nacrtaj dve kru`nici k1 (O1; 18 mm) i

k2 (O2; 22 mm) koi nemaat zaedni ~ki

to~ki. Kolku mo`nosti ima?

1.

Nacrtaj dve kru`nici k1 (O1; r1) i

k2 (O2; r2) taka {to da se dopiraat

odnadvor.

2.

Vo kakva zaemna polo`ba sekru`nicite k1 (O1; 3 cm) i

k2 (O2; 2 mm), ako to~kite O1 i O2 se

sovpa|aat?

3.

Nacrtaj dve koncentri~ni kru`nici

k1 (O1; 2 cm) i k2 (O2; 15 mm).4.

Nacrtaj dve kru`nici k1 (O1; 25 mm)i k2 (O2; 15 mm), koi se dopiraat

odnat re.

5.

Kru`nicite k1 (O1; 3 cm) i

k2 (O2; 18 mm) se dopiraat odnatre.

Presmetaj go ra stojanieto me|univnite centri.

6.

Kru`nicite k1 i k2 imaat dve zaedni~ki to~ki A i V, odnosno kru`nicite

se se~at.

Voo~i i zapomni!

9 Nacrtaj kru`nici k1 i k2 {to se se~at.

Proveri se!

97POLURAMNINA. AGOL11Potseti se! AKoi od ozna~enite to~ki na crteòtleàt na pravata p, a koi ne leàtna nea?

Dali otse~kata AB ima zaedni~ka to~kaso pravata p?

Kakva zaemna polo`ba imaat pravata pi otse~kata EF?

Objasni zo{to to~kite C i D leàt na ista strana od pravata p, a to~kite B i D leàtna razli~ni strani od nea.

Ima li drugi to~ki koi leàt na ista strana, odnosno na razli~na strana od pravata p?

Vo kakva zaemna polo`ba se pravatap i otse~kata MN?

[to e to~kata Q za pravata p iotse~kata MN?

1 Na crteòt se ozna~eni prava-ta p i to~kite A, B, C, D, E i F{to ne leàt na nea.

M

Q N

T

p

Voo~i deka otse~kata AB nema zaedni~ka to~ka so pravata p, a otse~kata EF ja se~epravata p.

So pravata p na crteòt se formirani dve poluramnini od koiednata e oboena.

Za to~kite A i B velime deka se nao|aat (leàt) na ista strana, a to~kite E i F -na razli~ni strani od pravata p.

AB

C D

F

Ep

Moàm da voo~am deka na ista strana od pravata p ima beskone~nomnogu to~ki.

Mnoèstvoto od site to~ki vo ramninata {to leàt na ista strna oddadena prava p, zaedno so to~kite od taa prava, se vika poluramnina.Pravata p se vika rab ili grani~na prava na poluramninata.

Zapomni!

Koi od ozna~enite to~ki na crteòt leàt voista poluram nina so to~kata S?

2K

N

S

TL

P

pM

p

98 B 3 Nacrtaj dve polupravi OX i OY, kakona crteòt.

4 Na crteòt e pretstaven agol α i se ozna~eni to~ki:O, A, B, C, D, E.

XO

Y

III

[to imaat zaedni~ko polupravite OX i OY?

Na crteòt se pretstaveni dvata agla {to se obrazu-vani od polupravite OX i OY.Sekoj od tie agli e sostaven od polupravite i oboeniotdel od ramninata.

Koi od tie to~ki mu pripa|aat na agolot α?

Koi od tie to~ki se vnatre{ni za agolot α?

Delot od ramninata {to mu pripa|a na agolot, bez kracite,se vika vnatre{na oblast (ili kuso oblast) na agolot.

Vnatre{nata oblast na agolot se obeleùva so kruèn lak.

To~kite {to £ pripa|aat na vnatre{nata oblast se vikaatvnatre{ni to~ki na agolot.

Na kolku delovi e podelena ramninata so tie polupravi?

Dve polupravi so zaedni~ki po~etok ja razdeluvaat ramninatana dva dela.

Geometriskata figura formirana od dve polupravi so zaedni~ka po -~etna to~ka i edniot del od ramninata, opredelen so niv, se vika agol.

Polupravite OX i OY se vikaat kraci na agolot, a O se vika teme na agolot.

XO

Y

XO

Y

XO

Y

X

Y

O

Vnatre{na

oblast

oblast

Nadvo

re{na

Voo~i deka!

Aglite moàt da se ozna~uvaat:

so golema latinska bukva so koja e ozna~eno temeto na agolot i

simbolot � pred nea; na primer, �O.

so tri golemi bukvi od latinicata, pri {to bukvata za temeto se pi{uva na sredi-nata; na primer �AOB.

Aα

O

B

Aα

OC

ED

B

5 Nacrtaj agol so teme S i kraci SP i SR i ozna~i go so kruèn lak. Kako }e go zapi -{e{ so simboli agolot {to go nacrta?

�

so mala bukva od gr~kata azbuka, {to se zapi{uva vo oblasta na agolot;�pokraj α, se upotrebuvaat i bukvite: β (beta), γ (gama), δ (delta) i dr.;�

�

99

V 7 Na crteòt se dadeni: �MON so to~kiteA, B, C, D od negovata oblast i �SQT soto~kite E, F, G, H od negovata oblast.

Za eden agol velime deka e konveksen ako za koi bilo dve to~ki A i V od negovataoblast, site to~ki od otse~kata AV £ pripa|aat na taa oblast.

Voo~i i zapomni!

Na crteòt agolot MON e konveksen, a agolot SQT e nekonveksen.

6 Imenuvaj go sekoj odaglite na crteòt.

P RM

β

S2

MO

N DC

BS

TF

EQA

G

HSite to~ki od otse~kata AB leàt vo oblasta na�MON. Kade leàt otse~kite: BC, BD, AC?

Otse~kata EF ima to~ki {to pripa|aat na oblasta i to~ki {to ne pripa|aat na oblas-ta od �SQT. Kade pripa|aat to~kite od otse~kite: EG, FH, HE?

8 Nacrtaj eden konveksen agol α i agol β {to e nekonveksen.

Treba da znae{!

[to e poluramnina;

{to e agol;

{to e vnatre{na oblast na agol;

koj agol e konveksen.

Koja od figurite na crteòt e agol?

Koja od figurite na crteòt e konveksen agol?

S

V

O A R R M L

KT

Proveri se!

Zada~i

Koi od ozna~enite to~ki na crteòtleàt vo ista poluramnina soto~kata A?

1.

2. Imenuvaj gi temeto ikra cite na ago lot nacrteòt. Koi od ozna ~e -nite to~ki mu pripa|aatna agolot, a koi naoblasta?

aB

EA C H

D F G

O A

VD

E

C

Nacrtaj agol so teme M i kraci MP iMN. Imenuvaj go toj agol.

3.

Nacrtaj eden konveksen agol α i edenagol β {to ne e konveksen.

4.

Kolku agli se obrazuvani so polu -pravite: OA, OB i OC i kru`nitelaci na crteòt?

Imenuvaj gi tie agli.

5.

O

SV

A

100 SPOREDUVAWE AGLI. VIDOVI AGLI12Potseti se! A

Aglite, kako i otse~kite moè dase sporeduvaat.

1 Raboti spored barawata, voo~i,zapomni i odgovori.

Na crteòt e daden eden agol.

Imenuvaj go toj agol.

Imenuvaj gi kracite i temeto naagolot.

P M

N

Na proyirna hartija nacrtaj dva agla, α = �AOB i β = �CSD, kako na crte -òt, a potoa izreì gi.

Postavi go edniot izreàn agol vrz drugiot agol, na primer α vrzβ, taka {to temeto O da se sovpadne so temeto S, a krakot OA sokrakot SC, kako na crteòt.

Vo koja oblast se nao|a krakot OB?

Krakot OB (od agolot α) leì vo oblasta na agolot β.

Ima tri mo`nosti za polo`bata na krakot OB od agolot α = �AOB vo odnos na agolotβ = �CSD, koga α i β se postaveni eden vrz drug.

α

O A

B

β

S C

D

αβ

O≡S CA

D B

αβ

O≡S CAβ

α

O≡S CA

B D

α β

O≡S CA

B

1) Krakot OB se sovpa|a sokrakot OD

- toga{ velime dekaaglite α i β se ednakvi(skladni).

Voo~i!

D

3) Krakot OB se nao|a vonadvore{nata oblast naagolot β - toga{ velimedeka α e pogolem od β.

2) Krakot OB se nao|a vovnatre{nata oblast naagolot β - toga{ velimedeka α e pomal od β.

D B

B 2 Razgledaj go agolot AOV na crteòt, razmislii odgovori.

[to obrazuvaat kracite na agolot AOB?

OA B

101

3 Nacrtaj ramen agol MON, obeleì go so lak i ozna~i to~ki A,B,C, D vo negovataoblast.

Agol ~ii{to kraci obrazuvaat edna prava se vika ramen agol.

Voo~i i zapomni!

Koi bilo dva ramni agli se ednakvi.

Koi od otse~kite AB, AC, BC i BD celosno leàt vo oblasta na �MON?

Dali �MON e konveksen ili nekonveksen agol?

O

C

A B

Raboti spored barawata, voo~i, zapomni i odgovori.

Na proyirna hartija nacrtaj ramen agol AOB.

Previtkaj go listot vo temeto O, taka {to kraciteOA i OB da se sovpadnat. Potoa odvitkaj go listot.

4

Voo~uva{ deka so linijata na previtkuvawe ramniot agol e podelen na dvaskladni, odnosno ednakvi delovi. Sekoj od tie delovi e prav agol.

Agol koj e polovina od ramniot agol se vika prav agol.

Agolot AOC na crteòt e prav agol. Zapi{i go dru-giot prav agol.

Voo~i gi pravite agli na tvojot triagolen linijar.

Voo~i i zapomni!

Razgledaj go crteòt i postapi spored baraweto.5

Nacrtaj poluprava OA.

Temeto na praviot agol postavi go vo to~kata O, taka {toeden od kracite na pravoagolniot linijar da se sovpa|a sopolupravata OA.

Po drugiot krak od praviot agol na triagolniot linijar-povle~i poluprava OB.

Na toj na~in nacrta prav agol AOB.

V

O A

Izmeri so praviot agol na pravoagolniot linijar koj odaglite na crteòt e prav agol.

6

γβ

α

Razgledaj gi aglite AOB i MPN na crteòt i sporedi giso praviot agol.

7

Koj od dadenite agli e pomal od praviot agol, a koj epogolem od praviot agol?

α

O A

V

102Agol {to e pomal od praviot agol se vika ostaragol.

Agol {to e pogolem od praviot agol, a pomal odramniot, se vika tap agol.

Voo~i i zapomni!

Dali tie polupravi OA i OV ja delatramninata na dva dela?

β

α β γ δ

R M

N

8 Proceni koi od aglite nacrteòt se ostri, a koitapi, a potoa proveri soprav agol od linijarotdali si procenil to~no.

10 Na crteòt e pretstaven poln agol AOV i nultiagol NPM.

V 9 Kakva e zaemnata polo`ba nadve polupravi OA i OV, akoto~kata V £ pripa|a na polu -pravata OA kako na crteòt?

O V

A

O V

A

P MN

]e prifatime sovpadnatite polupravida opredeluvaat dva agla.

Edniot agol e sostaven od polupra -vite (koi{to se sovpa|aat) i ostana-tiot del od ramninata - toj agol sevika poln agol;

�

drugiot agol e sostaven od polupra -vite (koi{to se sovpa|aat), a negovataoblast e prazno mnoèstvo - toj agolse vika nulti agol (nula - agol).

�

Treba da znae{!

Koj agol se vika:

ramen agol? prav agol?

ostar agol? tap agol?

poln agol? nulti agol?

Koi vidovi agli moè{ da gi pre - poznae{ na crteòt? Imenuvaj gitie agli.

Podredi gi po golemina, po~nu vaj -}i od najmaliot, aglite: α, β, γ i δ,ako α e ramen agol, β e prav agol,γ e ostar agol i δ e tap agol.

C

O A

B

Proveri se!

Zada~i

Koj agol se vika ramen agol?1.

Kakov agol pretstavuva polovinataod praviot agol?

2.

Kakov agol obrazuvaat strelkite na~asovnikot vo:a) 14 ~asot; b) 15 ~asot; v) 17 ~asot; g) 18 ~asot?

3.

Dali polniot agol e konveksen? Obrazloì gotvojot odgovor.

103

[to imaat zaedni~ko �AOB i �BOC?

Kako go vikame takviot par agli?

Kakov agol obrazuvaat kracite OA i OS?

Nacrtaj ostar agol AOB i tap agol MPN.4.

Nacrtaj tri polupravi OA, OB, i OC,taka {to � AOB e prav agol i � BOCe ostar agol. Od koj vid e � AOC?

Nacrtaj tap agol MON i ostaragol NOP, taka {to � MOP dabide ramen agol.

6.

5.

A

P

Koi od aglite na crteòt se sosedni agli?Obrazloì go odgovorot.

1

Na crteòt vo „potseti se”, aglite α i βimaat zaedni~ko teme O i zaedni~kikrak OV.

Dva agla so zaedni~ko teme i eden za ed -ni~ki krak, a nemaat zaedni~ki vnatre -{ni to~ki se vikaat sosedni agli.

OA

BD

C MF E

GH

a) b) v)

SN

SOSEDNI, NAPOREDNI I NAKRSNI AGLI13Potseti se!

Na crteòt se aglite α i β.

Imenuvaj gi kracite i temiwata na aglite α i β.

[to imaat zaedni~ko aglite α i β?

αβ

O A

BC

B 2 Na pravata AS na crteòt e izbrana to~kata O i e povle~ena polupravata OV.

O SA

V

Moè{ da voo~i{ deka aglite AOV i VOS se sosedni agli i obrazuvaat ramen agol.

Dva sosedni agli {to obrazuvaat ra men agol se vikaat naporedni agli.

Zapomni!

Nacrtaj eden ostar agol MPN, a potoa nacrtaj agol NPS naporeden na agolot MPN.Od koj vid e agolot NPS?

3

Nacrtaj prav agol α, a potoa nacrtaj agol β naporeden na α. Od koj vid e agolot β?4

104

G

V Pravite AS i BD na crteòt se se~at voto~kata O. Taka se obrazuvani aglite α, β, γi δ. Kracite OC i OD na agolot γ se prodol -ènija na kracite OA i OV na agolot α. Zatakvi agli velime deka se nakrsni agli.

γβ

δα

DO A

C B

Nakrsni agli sei aglite β i δ,na crteòt.

Dva agli {to imaat zaedni~ko teme, a kracite naedniot agol se prodolènija na kracite od dru-giot agol niz temeto, se vikaat nakrsni agli.

Nacrtaj ostar agol AOV, a potoa nacrtaj agol MON, taka {to tie dva agli da senakrsni.

5

A

OB

D CNacrtaj na hartija ili na karton nakrsni agli kakona crteòt. Ise~i gi vnimatelno nakrsnite agli ipostavi gi eden na drug. ]e voo~i{ deka nakrsniteagli pri postavuvaweto eden na drug se sovpa|aat.Poradi toa moè{ da kaè{ deka nakrsnite aglise skladni (ednakvi).Na crteòt �AOD = �BOC i �AOB = �COD.

Nacrtaj prav agol MPN, a potoa nacrtaj go negoviot nakrsen agol SPR. Od koj vid seaglite MPS i NPS?

6

Treba da znae{!

Da prepoznae{ i da objasni{koi agli se sosedni agli;

da prepoznae{ i objasni{ koiagli se vikaat naporedni agli;

da prepoznae{ i da objasni{koi agli se nakrsni agli.

Dali moàt da bidat sosedni aglite AOV i BCD?

Aglite AOV i VOS se naporedni agli. Ako �AOVe prav, toga{ od koj vid e �VOS?

Agolot MPN e tap agol. Od koj vid e nakrsniotagol na �MPN?

Proveri se!

Zada~i

Imenuvaj gi sosedniteagli na crteòt.

Vnimavaj ima ~e -tiri para sosedniagli!

1.

Koj od aglite na crte ̀ ote naporeden na agolot α?Koi drugi dva agli senaporedni?

2.

Nacrtaj eden tap agol α, a potoa nacr-taj go negoviot naporeden agol β. Odkoj vid e agolot β?

3.

Za koi dva agli se veli deka senakrsni?

4.

Odredi gi paro -vite nakrsniagli na crteòt.

5.

OD A

BC

β αδγ

12

34

5 67

8

CENTRALEN AGOL. KONSTRUKCIJA NA AGOL14Potseti se!

105

ANa crteòt e dadena kru` -nica k, centar O i na nea seozna~eni to~kite A i V.

Kako se vika sekoj od tie dva dela?

Kako se vika otse~kata AV?

Kako se ozna~uva pomaliot od dvatakru`ni laci?

Na kolku delovi e pode-lena kru`nicata k so to~ -kite A i V?

Kade se nao|a temeto na agolot: α; β?

Zapi{i go kru`niot lak {to goobrazuvaat kracite na agolot αi leì vo toj agol.

Zamisli deka agolot α se vrti okolu to~kata O vo nasoka na dvi -èweto na strelkite na ~asovnikot, s¯ dodeka to~no go pokrieagolot β.

Zapi{i go kru`niot lak {to goobrazuvaat kracite na agolot αi ne leì vo toj agol.

1 Na crteòt e dadena kru` nicak so centar O i aglite α i β.

k

VC

αβD

AO

k V

AO

βα

γ O

Agol ~ie{to teme se nao|a vo centarotna dadena kru`nica se vika centralenagol.

2 Koj od aglite α, β i γna crteòt e centra -len agol? Zo{to ago -lot γ ne e centralen?

4 Na crteòt e dadena kru`nica k i centar O i dva centralni agli,koi{to se skladni.

3 Kracite na agolot α (na crteòt) ja se~at kru`nica-ta k vo to~kite A i B.

k V

C

αAO

Sekoj centralen agol vo dadena kru`nica opredeluva to~no eden kruèn lak {toleì vo toj agol.

Za agolot i za lakot velime deka se soodvetni ili si odgovaraat eden na drug.

Zapomni!

Kade bi padnala to~kata A, a kadeto~kata V?

So koj lak bi se sovpadnal lakot AV?

Voo~uvam deka lakotAV bi se sovpadnal solakot CD.

106

Moàm da zamislam deka agolot α, so vrtewe okolu to~kata O, }e se sov-padne so agolot β. Tetivite AV i CD }e se sovpadnat, t.e. tie se ednakvi.

Na skladni centralni agli vo ista kru`nica ili vo razli~ni kru`nici soednakvi radiusi im odgovaraat skladni kru`ni laci.

Na skladni laci vo ista kru`nica ili vo razli~ni kru`nici so ednakvi radiusi imodgovaraat skladni centralni agli.

Na ist na~in moè{ da voo~i{ deka vaì i obratnoto:

Kakvi se soodvetnite laci AB i CD?

Tetivata AV mu pripa|a na agolot α, a tetivata CD - na β.Kako }e zaklu~i{ deka ovie tetivi se skladni (ednakvi)?

Dali centralniot agol α e skladen so central-niot agol β?

Voo~i deka α e pomal od ramniot agol, a β epogolem od ramniot agol.

5 Centralnite agli α i β na crteòt se skladni.

6 Tetivite AV i CD vo kru`nicite k1 i k2, so ednakvi radiusi, se ednakvi.

Na skladni centralni agli vo kru`nica ili vo razli~ni kru`nici so ednakvi radi -usi im odgovaraat skladni (t.e. ednakvi) tetivi.

Vaì op{to!

Na ednakvi tetivi vo ista kru`nica ili vo razli~ni kru`nici so ednakvi radiusiim odgovaraat skladni centralni agli samo koga tetivite: ili dvete pripa|aat ilidvete ne pripa|aat na soodvetnite agli.

Voo~i deka

Na crteòt se dadeni kru`nicite k1 i k2, so ednakvi radiusi. Vo sekoja od

kru`nicite se ozna~eni tetivi:

AB = 2 cm, CD = 24 mm, KL = 24 mm i

MN = 2 cm. Koi od ozna~enite agli se

ednakvi me|u sebe? Zo{to?

7

β

α

B

D

k1A

C γ

δ

KN

k2L

M

107BZnae{ deka na ednakvi centralni agli vo kru`nici so ednakvi radiusiodgova raat ednakvi kru`ni laci (odnosno tetivi). Toa moè{ da goiskoristi{ da konstruira{ agol, ednakov na daden agol, samo so pomo{na linijar i {estar . Kako se pravi toa? Vidi ja slednata zada~a.

Nacrtaj poluprava RT (crt. b).

So proizvolen otvor na {estarot, na dadeniot agol a),nacrtaj del od kru` ni cata so centar vo to~kata O {to }e giprese~e kra cite OK i OL. Taka }e ja dobie{ tetivata AV{to odgovara na �AOB (crt. v)

So istiot otvor na {estarot, kako pri crt. v, nacrtaj delod kru`nicata so centar vo to~ ka ta R (crt. g).

Otvori go {estarot i „zemi go“ so nego rastojanieto AB odcrt. v.

Zabodi go {ilecot na {estarot vo to~kata M i so drugiotkrak prese~i go prethodno nacrtaniot lak na crt. g; taka}e ja dobie{ to~kata N.

Nacrtaj ja polupravata RY {to minuva niz to~kata N (crt.d); so toa }e dobie{ �TPS = α.

O

α

Daden e agolot α = �KOL (crt. a). Konstruiraj agol ednakov na agolot α.

8

K

L

O

αA

B

K

L

N

P M T

P T

a)

v)

b)

Sledi ja postapkata ~ekor po ~ekor.

g)

NS

P M T

d)

Nacrtaj tap agol α, a potoa konstruiraj agol βednakov na agolot α.

9

Treba da znae{!

Da objasni{ koj agol se vika centralenagol;kakov e odnosot me|u ednakvite cen-tralni agli i soodvetnite kru`nilaci;deka na ednakvi centralni agli odgo-varaat ednakvi tetivi.

Vo kru`nicata k na

crteòt, AB = MN iAB > CD.Koi od ozna~enite aglise ednakvi me|u sebe?

O

BC D

M

NA

Zada~i

Koj agol se vika centralen agol?1.

Nacrtaj kru`nica k(O; 3 cm) i edna

nejzina tetiva AB = 35 mm. Nacrtaj go centralniot agol α vo koj leì teti-vata AV.

2.

Nacrtaj ostar agol α, a potoa konstrui -

raj agol β ednakov so agolot α.

3.

Nacrtaj prav agol AOV, a potoa nacrtaj

agol MPN ednakov so agolot AOV.

4.

��

�

�

�

�

Proveri se!

Potseti se!

108 GRAFI^KO SOBIRAWE I ODZEMAWE NA AGLI15A

Kako }e konstruira{ agol β edna kovna daden agol α?

Na crteòt e daden agol α i polu-prava OA.

1 Dadeni se aglite α i β. Odredi gografi~ki nivniot zbir.

Konstruiraj agol AOV ednakov na agolot α.

O A

O A

Cα

α

α

β

β

B

Razgledaj go crteòt i rabotispored postapkite.

Nacrtaj dva agla α i β i poluprava OA.

So ist otvor na {estarot nacrtajkruèn lak na agolot α, na agolot β i napolupravata OA.

Konstruiraj agol AOV ednakov na agolot α.

Konstruiraj agol VOS ednakov na agolot β.

Koja operacija ja izvr{i so aglite α i β?

Na {to e ednakov agolot AOS? Zapi{igo toa simboli~ki.

Od prethodnite aktivnosti moè{e davoo~i{ kako grafi~ki (konstruktivno) sesobiraat agli.

So opi{anata postapka dobivme agolAOS, koj e ednakov na zbirot od aglite αi β, t.e. �AOS = α + β. Ovaa postapka sevika grafi~ko sobirawe ili kon-strukcija na zbir na dva agla.

B

2 Nacrtaj ostar agol α i prav agol β, a potoa odredi go grafi~ki nivniot zbir.

3 Dadeni se aglite α i β. Odredi ja grafi~ki nivnata razlika.

O

RN

M

Razgledaj go crteòt i raboti spored postapkite.

Nacrtaj tap agol α, ostar agol β i poluprava OM.

So ist otvor na {estarot nacrtaj kru`ni laci na aglite α i β i na polupravata OM.

Konstruiraj agol MON ednakov na agolot α.

Konstruiraj agol NOP ednakov na agolot β taka {to krakot OR da bide vo oblasta na

agolot MON.

α β

��

109��

Vo vrska so crteòt zapi{isimboli~ki:

C

O A

B

So opi{anata postapka go dobivme �MOR = α - β; so nea e izvr{eno grafi~ko t.e.konstruktivno odzemawe na aglite α i β.

[to pretstavuva agolot AOSza aglite AOV i VOS?

[to pretstavuva agolot AOV za aglite AOS i SOV?

Taka go dobi agolot MOR.

[to pretstavuva agolot MOR za aglite α i β?

Koja operacija ja izvr{i so aglite α i β?

4 Nacrtaj prav agol α i ostar agol β, a potoa odredi ja grafi~ki nivnata razlika.

Zada~i

Nacrtaj dva ostri agli α i β i kon-struiraj go nivniot zbir.

1.

Nacrtaj ostar agol α i konstruiraj goagolot 2α (2α = α + α).

2.

Nacrtaj tri ostri agli α, β i γ, a potoakonstruiraj go agolot α + β + γ.

3.

Nacrtaj eden tap agol α i eden ostaragol β i konstruiraj ja nivnata razlika.

4.

Nacrtaj tap agol α i prav agol β i kon-struiraj ja nivnata razlika.

Nacrtaj ostar agol α i ostar agol β, β epomal od α, a potoa konstruiraj goagolot 2α − β.

6.

5.

Treba da znae{!

Da odredi{ grafi~ki

zbir na dva agla;

razlika na dva agla.

Proveri se!

Obidi se!

Kolku agli (ozna~eni so lak)ima na crteòt?

Koi parovi agli se sosedni?

To~kata O leì na pravata AE.

Koi parovi agli se naporedni?

A O E

D

CB

110

Potseti se!

MEREWE AGLI. AGLOMER16

So koja naprava se meri dolìnata naotse~kata?

Nabroj (barem tri) merni edinici zadolìna.

Kakvi se me|u sebe dva centralni agli~ii{to soodvetni laci ima se skladni?

Nacrtaj agol α i agol β {to e pogolemod α.

A V

A I aglite moàt da se sporeduvaati, spored toa, moàt da se merat.

Na crteòt, laciteAB, BC i CD seskladni.

1

Lacite AB, BC, CD, DE i EF na crte-

òt se skladni. Koj e merniot broj naagolot: a) AOF; b) AOC vo odnos naagolot α?

2 Razgledaj go ramniot agol AOV isoodvetniot lak - polukru`nicata nacrteòt.

3

Kolku stepeni ima ramniot agol?Kolku stepeni ima praviot agol?

4

Kakvi se me|u sebecentralnite agli α, βi γ?

Agolot AOD e zbir od aglite α, β i γ,koi{to se skladni me|u sebe. Kolkupati agolot α se sodrì vo agolot AOD?

Se veli i: merniot broj na agolot AODvo odnos na agolot α e 3.

Voo~i deka polukru`nicata e podelena na 180 delovi.

Agolot koj{to e 180-ti del od ramniot agol se zema za osnovna edinica za mereweagli.

Negovata golemina se vika agolen stepen ili kuso stepen. Se ozna~uva: 1o; se ~ita"eden stepen#.

Koj del od ramniot agol e centralniot agol {to mu soodvetstvuva na eden 180-ti delod polukru`nicata?

Voo~iv deka: ako ramen agolse podeli na 180 dela, se do -biva agol so golemina od 1o.

111B

Razgledaj go crteòt na koj e prikaàno mere-weto na agolot VAS i odgovori:

5

Kolku stepeni ima sekoj od aglite na crteòt?6

Napravata za merewe agli se vikaaglomer.

Kade e postavena to~kata O od aglomerot?

Aglomerot e prikaàn na crteòt.

Kade leì krakot AV od agolot VAS?

Pro~itaj na aglomerot kolku stepeni ima�VAS.

Aglomerot moè da bide napraven od tenka me -talna plo~ka, od karton ili od plastika.

Toj ima forma na polukrug koj e podelen na 180ednakvi delovi i sekoj del ozna ~uva eden ste-pen.

Na skalata se ozna~eni broevi od 0 do 180, a centarot na polukru`nicata eozna~en so O.

0

0

S

V

A

0

S

AV0

K

M N

a) b)

So pomo{ na aglomer, nacrtaj�MPN = 105o.

7

Nacrtaj poluprava RM so po -~etna to~ka R.

Postavi go aglomerot taka {toto~kata O da se sovpadne sopo~etnata to~ka R na polu -pravata RM.

0

MP

R M

R M

N

Ozna~i to~ka N na mestoto ka -de {to skalata na aglomerotpokaùva 105o.

Povle~i poluprava PN. Na toj na~in so pomo{ na aglomer, nacrta �MPN = 105o.

�

�

�

� �

112

Ako daden agol α ima 25 stepeni, 38 minuti i 42 sekundi, toa se zapi{uva vaka: α = 25o 28’ 42’’.

a) 5o = 5 ⋅ 60’ = 300’.

So pomo{ na aglomer nacrtaj agol od: a) 48o; b) 115o;8

Pretvori gi vo minuti: a) 5o; b) 12o 45’; v) 45o 15’.9

Pretvori gi vo sekundi: a) 4o; b) 10o 15’; v) 20o 20’ 20’’.10

Pomali edinici od stepenot za merewe agli se agolna minuta ili kuso minu-ta (se ozna~uva 1’) i agolna sekunda ili kuso sekunda (se ozna~uva 1’’). Edenstepen ima {eeset minuti, a edna minuta {eeset sekundi.

1o = 60’; 1’ = 60’’; 1o = 60 ⋅ 60’’ = 3 600’’.

V

Treba da znae{!

Koja e osnovnata edinica za merewegolemina na agol;

koi se pomali edinici od stepen;

{to e agolen stepen;

kolku minuti ima 1o;

kolku sekundi ima 1’.

Proveri se!

Od koj vid e agolot {to ima 90o?

Od koj vid e agolot {to ima 124o?

Pretvori vo minuti 35o 17’.

Pretvori vo sekundi 15o 2’ 13’’.

Zada~i

Kolku stepeni ima sekoj od aglite:VOS, BOD, COD, BOM i MON nacrte`ot?

1.

Izmeri gi aglite α i β na crte`ot.2.

Nacrtaj agol od: a) 47o; b) 126o.3.

Pretstavi gi vo minuti:a) 25o; b) 30o 15’.

4.

Podredi gi po golemina, po~nuvaj}iod najmaliot, aglite: α = 71o 35’; β = 62o 58’ 30’’; γ = 96o 45’; δ = 84o 35’ 40’’.

5.

O

N

MD C

B

α β

113

A

Voo~i ja postapkata pri re{avaweto.

1 Presmetaj go zbirot na aglite α = 85o 36’ 25’’ i β = 32o 12’ 20’’.

1. Soberi gi sekundite: 25’’ + 20’’ = 45’’2. Soberi gi minutite: 36’ + 12’ = 48’

3. Soberi gi stepenite: 85o + 32o = 117o

85o

32o

117o

36’12’

48’

25’’20’’

45’’+

α + β = 117o 48’ 45’’.

ARITMETI^KI OPERACII SO AGLI17Potseti se!

Osnovna edinica za merewe agli estepen.

Pomali edinici od stepenot se minu-ta i sekunda.

1o = 60’; 1’ = 60’’; 1o = 3 600’’.Pretvori gi vo stepeni:a) 120’; b) 180’.Pretvori gi vo stepeni i minuti:a) 86’; b) 145’.


Voo~i ja postapkata.

3 Presmetaj ja razlikata na aglite α = 78o 38’ 42’’ i β = 26o 15’ 18’’.



1. Odzemi gi sekundite: 42’’ - 18’’ = 24’’2. Odzemi gi minutite: 38’ - 15’ = 23’

3. Odzemi gi stepenite: 78o - 26o = 52o

78o

26o

52o

38’15’

23’

42’’18’’

24’’-

α - β = 52o 23’ 24’’.

1. 30’’ + 50’’ = 80’’ = 1’ + 20’’

2. 36’ + 42’ + 1’ = 79’ = 1o + 19’3. 84o + 35o + 1o = 120o

84o

35o

120o

36’42’

19’

30’’50’’

20’’+

α + β = 120o 19’ 20’’.



114

90o

28o

61o

25’36’

48’

18’’35’’

43’’-

α - β = 61o 48’ 43’’.


1. 18’’ < 35’’. Od 25’ odzemame 1’; 1’ = 60’’; 18’’ + 60’’ = 78’’; 78’’ - 35’’ = 43’’

2. 24’ < 36’. Od 90o odzemame 1o; 1o = 60’; 24’ + 60’ = 84’; 84’ - 36’ = 48’3. 89o - 28o = 61o



9 Presmetaj ja razlikata na aglite α = 88o 24’ i β = 25o 38’ 40’’.

1. 1’ = 60’’; 60’’ − 40’’ = 20’’

2. 1o =60’; 83’ − 38’ = 45’3. 87o - 25o = 62o

88o

25o

62o

24’38’

45’

40’’

20’’-

α - β = 62o 45’ 20’’.


10 Presmetaj gi razlikite: a) 90o - 35o 42’; b) 180o - 65o 25’ 35’’.

ZA ONIE [TO SAKAAT DA ZNAAT POVE]E

1 Presmetaj 4α , ako α = 28o 32’ 24’’.

2 Presmetaj 5α , ako α = 20o 18’ 28’’.


1. 4 ⋅ 24’’ = 96’’ = 1’ + 36’’

2. 4 ⋅ 32’ + 1’ = 128’ + 1’ = 129’ = 2o + 9’3. 4 ⋅ 28o + 2o = 112o + 2o = 114o 4α = 114o 9’ 36’’.

4 ⋅ 28o 32’ 24’’ = 114o 9’ 36’’

B

1153 Presmetaj α : 6, ako α = 76o 32’ 42’’.

4 Koj agol e 4 pati pomal od agolot α = 75o 34’ 20’’?


76o 32’ 42’’ : 6 = 12o 45’ 27’’- 72o

- 270’2’ 42’’ = 162’’

- 162’’0

4o 32’ = 272’ 4o 32’ = 4 ⋅ 60’ + 32’ = 272’

2’ 42’’ = 2 ⋅ 60’’ + 42’’ = 162’’

Treba da znae{!

Agli se sobiraat taka {to po red }e se sobiraat sekun-dite, odnosno minutite, odnosno stepenite;

da sobira{ agli koga zbirot na sekundite, odnosnominutite e pogolem od 60;

agli se odzemaat taka {to po red }e se odzemaat sekun-dite, odnosno minutite, odnosno stepenite;

da odzema{ agli koga brojot na minutite ili nasekun dite vo namalenikot e pomal od istiot broj vonamalitelot.

Presmetaj α + β i α − β,ako α = 68o 45’ 22’’ i β = 30o 25’ 48’’.

Proveri se!

Zada~i

Presmetaj α + β i α - β, ako α = 88o 26’ 32’’ i β = 25o 10’ 20’’.

1.

Presmetaj α + β i α - β, akoα = 76o 32’ 42’’ i β = 40o 38’ 50’’.

2.

Presmetaj go agolot β koj{to so agolot αdava zbir od 90o, ako α e:

a) α = 36o 40’; b) α = 42o 42’ 42’’.

3.

Presmetaj go agolot β koj{to so agolot αdava zbir od 180o, ako α e:

a) α = 78o 30’; b) α = 65o 35’ 25’’.

4.

Obidi se!

Na crte`ot e nacrtanagol od 19o.

Kako mo`e bez aglomer, a samo so{estar i linijar, da se konstruira agolod 1o?

19o

116

A

Kakva zaemna polo`ba imaat pravite m i n?

Kakov agol formiraat aglite α i β?

Ako α e prav agol, kakov e agolot β?

1 Na crteòt se dadeni pravite m in. Razgledaj go crteòt i odgo vorina pra{awata:

n

m

ZAEMNO NORMALNI PRAVI. RASTOJANIE OD TO^KA DO PRAVA

18Potseti se!

Pravite a i b na crteòt se se~at.

Tie imaat samo edna zaedni~kato~ka. Koja e taa to~ka?

Rb

a

αβ

B

Za dve pravi {to se se~at i obrazuva at praviagli se veli deka se zaemno normalni praviili deka ednata prava e normala na drugataprava. Toa simboli~ki se zapi{uva: m ⊥ n.

Zapomni!

Nacrtaj prava p i ozna~i to~ka A {to ne leì na taa prava. Nacrtaj prava s {tominuva niz to~kata A i e normalna na pravata p.

2

Da zapomnam! Pravite m in se se~at i obrazuvaatpravi agli. Tie se zaemnonormalni pravi.

Odredi go najkratkoto rastojanie od to~kataM do pravata p na crteòt.

3

Razgledaj go crteòt i postapi sporedbarawata.

Izmeri gi rastojanijata MA, MB, MC, MDi ME i sporedi gi.

Koe od navedenite rastoja -nija e najmalo?

Vo kakva zaemna polo`base pravata p i pravata MC?

Da zapomnam! Moàm da zaklu -~am deka najmalo e rastojani-eto MC, a toa e dolìnata naotse~kata {to e normalna napravata p.

M

CBAp

ED

�

�

Pod rastojanie od to~ka M do prava p se podrazbira „najkusoto” rastojanie.

Rastojanieto od to~kata M do pravata p go merime po normalata povle~ena niz to~kata M kon pravata p.

Rastojanie na to~kata M do pravata p e dolìnata na otse~kata MC, kade {to C e prese~nata to~ka na normalata i pravata p.

Zapomni!

117

��

��

Odredi go rastojanieto od to~kata A do pravata a na cr te -òt. Razgledaj go crteòt a) i raboti spored postapkata.

4

a

A

a

b

V

A

Nacrtaj prava b koja minuva niz to~kata A i e normalnana pravata a (koristej}i go praviot agol na tvojottriagolen linijar).

Ozna~i ja prese~nata to~ka B na pravite a i b.

Dolìnata na otse~kata AB e rastojanieto od to~kata Ado pravata a. Vo slu~ajov AB = 27 mm.

Koja od otse~kite na crteòt e rastojanie odto~kata P do pravata a?

Izmeri go rastojanieto od to~kata P do pra-vata a.

5R

CBA

a

D

a)

Nacrtaj prava a i ozna~i to~ka A {to e na rastojanie 3 cm od taa prava.6

Treba da znae{!

Za koi dve pravi seveli deka se zaemnonormalni;

da odredi{ rasto-janie od to~ka doprava.

Kaj edno selo minuva reka, oddale~ena od nego. Na rekatatreba da se postavi most taka {to da bide najblisku doseloto.

Objasni, spored toa {to u~e{e, kako }e go odredi{ mestotokade {to treba da bide postaven mostot na rekata.

Zada~i

[to e rastojanie od to~ka do prava?1.

Nacrtaj prava m i ozna~i to~ka M {tone leì na taa prava.Odredi go rastojanieto od to~kata Mdo pravata m.

2.

Odredi go rastojanieto od to~kata Ado pravata c na crteòt.

3.

Nacrtaj prava p i ozna~i to~ka P {toe na rastojanie 2 cm od pravata p.

4.

Nacrtaj prava p i na nea ozna~i to~kaM. Niz to~kata M povle~i prava q,normalna na p.

5.

S

VD

A

c

Proveri se!

118 SSIMETRALA NA OTSE^KA. SIMETRALA NA AGOL19Potseti se! A

To~kata M e sredna to~ka na otse~-kata AB = 3 cm.

Odredi gi AM i MB.

Pravite a i b na crteòtse zaemno normalni.

Od koj vid e agolot α?

A M V

α

a b

1 Dadena e otse~kata AV. Niznejzinata sredna to~ka O po -vle~i prava s {to e normalnana otse~kata AV.

A V

s

O

Nacrtaj otse~ka AB.

Odredi ja srednata to~ka O naotse~kata AB.

��

B

Niz to~kata O povle~i prava s normalna na AB.

Na kakvi delovi pravata s ja deli otse~kata AB?

Vo kakva zaemna polo`ba se pravata s i otse~kata AB?

M N

n sm

R

Pravata s {to ja prepolovuva otse~kata AB i e normal-na na nea vika simetrala na otse~kata AB.

Voo~i i zapomni!

Koja od pravite na crteòt e simetrala na otse~kata MN?2

Nacrtaj otse~ka CD i potoa nacrtaj ja nejzinata simetrala s.3

Na crteòt e daden � AOB = 68o i vo negovata oblast epovle~ena poluprava OC taka {to � AOC = 34o.

Razgledaj go crteòt i odgovori na pra{aweto.

Kolku stepeni ima � COB?

Na kakvi delovi polupravata OC go deli agolot AOB?

4

O A

C

B

Zaklu~iv! Polupravata OC godeli agolot AOB na dva ednakvidela. � AOB = 68o, � AOC = 34o i � COB = 34o.

Polupravata {to go deli eden agol nadva ednakvi agli se vika simetralana toj agol.

Zapomni!

��

119Proveri, koja od polupravite: OM, ON i OP nacrteòt e simetrala na agolot AOB.

5

Nacrtaj agol od 56o i so pomo{ na aglomerpovle~i ja negovata simetrala.

6

Treba da znae{!

Da objasni{: {to e simetrala na otse~ -ka i {to e simetrala na agol;

da nacrta{: simetrala na dadenaotse~ka i simetrala na daden agol.

Nacrtaj otse~ka EF = 48 mm kako nacrteòt, a potoa nacrtaj ja nejzinatasimetrala.

Nacrtaj �AOV = 100o i potoa povle~ija negovata simetrala.

Kolku simetrali moè da se povle~at:

na dadena otse~ka; na daden agol?

O A

M

NP

B

E

F

To~no posimetrala!

Proveri se!

Zada~i

Simetralata s ja se~e otse~kata AB = 5 cm vo to~kata M. Presmetaj go AM.

1.

Simetralata s ja se~e otse~kata MNvo to~kata P, taka {to MP = 35 mm.Pre smetaj ja dol ̀ i nata na otse~kata MN.

2.

Nacrtaj otse~ka AB = 5 cm, a potoanacrtaj ja nejzinata simetrala.

3.

Nacrtaj iskr{ena linija od dve otse~ -ki AB i BC. Nacrtaj gi sime tralite naotse~kite AB i BC.

4

Polupravata OP e simetrala na �MON = 84o. Kolku stepeni ima �MOP?

Nacrtaj agol α = 76o i povle~i janegovata simetrala.

7.

5.

Polupravata OC e simetrala na �AOB.Presmetaj go �AOB, ako �AOC = 35o.

6.

Potseti se!

120

A


Kakov agol e zbirot na aglite α i β?

Kolku stepeni ima ramniot agol?

Kolku stepeni ima �AOV, koj{to e zbir od aglite α i β?

Kolkav agol e zbirot na aglite αi β?

Kolku stepeni ima praviot agol?

Kolku stepeni ima α + β?

Koi od parovite agli imaat zbir 90o?

a) α = 35o i β = 55o;

b) α = 26o i β = 46o;

v) α = 48o i β = 52o.

Na crte`ot e konstruiran zbirotna aglite α = 40o i β = 50o.

1

Dali aglite α i β se komplementni, ako:

a) α = 25o i β = 65o;

b) α = 23o i β = 77o;

v) α = 44o i β = 46o?

2

Ako α = 32o, toga{ kolku iznesuva negoviot komplementen agol β?3

Izmeri gi aglite α i β i presmetaj go nivniot zbir.4

Voo~iv! Zbirot na aglite α i β e 180o, t.e. nivniot zbir pretstavuvaramen agol.

α = 40o

α

β

β = 50oZa dva agla ~ij zbir iznesuva 90o se velideka se komplementni agli.

Zapomni!

α

αβ

β

OA V

S

B

KOMPLEMENTNI I SUPLEMENTNI AGLI20

121

Treba da znae{!

Za koi dva agla velime deka se kom-plementni?

Za koi dva agla velime deka sesuplementni?

Neka �AOV = 62o. Koj od aglite: α = 38o;β = 118o; γ = 28o e:

komplementen so agolot AOV;

suplementen so agolot AOV?

Zada~i

Proveri dali aglite α i β se komple-mentni, ako:

a) α = 48o i β = 52o;

b) α = 32o i β = 58o;

v) α = 66o i β = 24o.

1.

Presmetaj go komplementniot agol naagolot α = 39o.

2.

Nacrtaj eden ostar agol, a potoa kon-struiraj go negoviot komplementen agol.

3.

Proveri dali se suplementni aglite αi β, ako:

a) α = 105o i β = 65o;

b) α = 128o i β = 52o;

v) α = 46o i β = 134o.

Nacrtaj tap agol, a potoa konstruiraj gonegoviot suplementen agol.

6.

4.

Presmetaj go suplementniot agol naagolot α = 76o.

5.

Za dva agli ~ij{to zbir iznesuva 180o se veli deka se suplementni agli.

Zapomni!

α = 65o i β = 115o; α = 108o i β = 72o; α = 125o i β = 65o?

Koi od aglite α i β se suplementni:5

Ako α = 75o, toga{ kolku iznesuva negoviot suplementen agol β?6

Proveri se!

Potseti se!

122

ANa crteòt se dadeni tri iskr -{eni linii.

Koi strani na iskr{enata linija KLMNPja se~at stranata KL?

Dali stranite {to ja se~at stranata KL se nejzini sosedni strani?

Ima li nesosedni strani vo iskr{enata linija ABCDE {to se se~at?

1 Na crteòt se dadeni zatvoreniiskr{eni linii KLMNP i ABCDE.Razgledaj go crteòt i odgovori napra{awata.

Navistina vo iskr{enata linija ABCDEnema neso sedni strani koi se se~at.

Nacrtaj poligonalna linija DEFGH.2

Koi od stranite na iskr{enatali nija ABCDE ne se sosedni sostra nata AB?

Iskr{enata linija pod a) e otvorena,a pod b) i v) e zatvorena.

Stranite AB i BC na iskr{enatalinija ABCDE se sosedni. Tie imaatzaedni~ko teme B.

Zatvorena iskr{ena linija vo kojanema nesosedni strani {to sese~at se vika poligonalna linija.

a)

A

b) v)

B

C

K

DE

N

L

M

P

A B

C

D

E

MNOGUAGOLNIK21

B Razgledaj ja poligonalnata linija ABCDEFna crteòt.

Na kolku delovi poligonalnata linija jarazdeluva ramninata?

Oboeniot del se vika vnatre{en del ilivnatre{na oblast na poligonalnata linija.

3

Poligonalnata linija i nejzinatavnatre{na oblast obrazu vaat ednageometriska figura.

B A

F

ED

C

123

Koja od figurite na crteìte e mnoguagolnik?4

Zapomni!

Geometriskata figura obrazuvana od edna poligonalna linija i nejzinatavnatre{na oblast se vika mnoguagolnik.

Na crteòt e daden mnoguagolnikot ABCDE.5

To~kite: A, B, C, D i E se temiwa na mnoguagolnikot.

Temiwata A i B se sosedni temiwa - leàt na istastrana.

Koi temiwa se sosedni so temeto D?

Koi temiwa ne se sosedni na temeto C?

Otse~kite: AB, BC, CD, DE i EA se vikaat strani na mnoguagolnikot ABCDE.

Za koi strani na mnoguagolnikot ABCDE temeto B e zaedni~ko teme?

Stranite AB i BC imaat zaedni~ko teme B. Tie se vikat sosedni strani.

A B

C

D

E

Koi strani na mnoguagolnikot KLMNP se sosednistrani na stranata MN?

6

Koi strani na mnoguagolnikot KLMNP ne se sosednistrani na stranata KL?

7

K L

M

N

P

a) b) v)

So koi polupravi e obrazuvan agolot KLM?

Kolku agli obrazuvaat polupravite, na koi leàt stranite na mnoguagolnikot KLMNP, vo negovata vnatre{na oblast?

Razgledaj go mnoguagolnikot KLMNP.8

124

Treba da znae{!

[to e poligonalna linija;

koja geometriska figura se vikamnoguagolnik;

{to e teme, {to e strana i {to eagol na mnoguagolnik;

koi se sosedni temiwa, a koi senesosedni temiwa kaj mnoguagolnik;

koi se sosedni strani, a koi senesosedni strani kaj mnoguagolnik.

Zo{to iskr{enatalinija na crteòt nee poligonalna linija?

Koi strani naiskr{enata linijaABCDE ne se sosednina stranata CD?

Voo~i i zapomni!

Aglite: KLM, LMN, MNP, NPK i PKL se agli na mnoguagolnikot.

Nacrtaj mnoguagolnik ABCD i ozna~i gi negovite agli so α, β, γ i δ.9

Zada~i

Koja od iskr{enite linii e poligo-nalna linija?

1.

Koja od geometriskite figuri nacrteòt e mnoguagolnik?

2.

Nacrtaj mnoguagolnik ABCD.

Koi strani na mno -gu agolnikot KLMNP,na crteòt, sesosedni na stranataMN?

5.

3.

Koi od temiwatana mnoguagolni -kot ABCDE ne sesosedni so teme-to D?

4.

A

D

B

CE

a)

a) b) v)

b)

A B

C

D

E

K L

M

NP

Proveri se!

Pomogni mu na gradinarot!

Eden gradinar dobil zada~a da posadi12 sadnici vo 6 reda, po 4 sadnici vosekoj red.

]e moè li gradinarot da ja izvr{izada~ata?

Potseti se!

125

AKako se vika geometriskata figura{to e obrazuvana od edna poligo-nalna linija i nejzinata vnatre{naoblast?

To~kite D, E i G leàt na mnogua -golnikot ABCD.

Kade leàt site to~ki od otse~ kite FG,HT i XY?

Dali site to~ki od otse~kite: OR, ST iUV leàt vo mnoguagolnikot pod b)?

U{te koi od ozna~enite to~ki leàtna mnoguagolnikot ABCD?

Koi od ozna~enite to~ki ne leàtna mnoguagolnikot ABCD?

Voo~i!

1 Na crteìte a) i b) se dadenidva mnoguagolni ka i po nekolkuotse~ki ~ii{to krajni to~kipri pa|aat na mnoguagolnicite.

Koi od mnoguagolnicitena crteòt se konveksni?

2

Nacrtaj eden konveksen i eden nekonveksen mnoguagolnik.3

Vo mnoguagolnikot pod a) site to~ki na otse~kite ~ii{to krajni to~ki leàt na mno -guagolnikot, se to~ki od toj mnoguagolnik. Za takvite mnogagolnici se veli deka sekonveksni.

Vo mnoguagolnikot pod b) nekoi to~ki od otse~kite ~ii{to krajni to~ki leàt namnoguagolnikot, ne mu pripa|aat na mnoguagolnikot. Za toj mnoguagolnik se veli dekae nekonveksen.

A B

F G

CMD

HE

Razgledaj gi crteìte i odgovori napra{awata.

O T

RS

V

UX

YH

G T

F

a)b)

v)g)

a) b)

NEKOI VIDOVI MNOGUAGOLNICI22

Potseti se!

Razgledaj go mnoguagolnikot ABCDE na crteòt.

To~kite: A, B,C, D i E se temiwa, otse~kite AB,BC, CD, DE i EA se strani na mnoguagolnikot.

Aglite: ABC, BCD, CDE, DEA i EAB se agli namnoguagolnikot. A B

C

D

E

126 B

Koj mnoguagolnik se vika {estagolnik?5

Nacrtaj mnoguagolnik so sedum strani.Kako se vika takviot mnoguagolnik?

6

Odredi go vidot na sekoj od mnoguagol-nicite na crteòt.

7

Treba da znae{!

Koj mnoguagolnik se vika konvek-sen;

koj mnoguagolnik se vika nekon-veksen;

kako se delat mnoguagolnicitespored brojot na aglite (temiwa-ta, stranite).

Zo{to mnoguagolnikotABCD na crteòt enekonveksen?

Kako se vika mnogua gol -nikot {to ima 8 strani?

A

Razgledaj gi mnoguagol-nicite na crteòt iodgovori na pra{awata.

4

Kolku agli, temiwa i strani ima sekoj odtie mnoguagolnici?

Kako se vika mnoguagolnikot AVS? A B E

F

GC

H

LK

M

N

P

Zapomni!

Spored brojot na aglite (temiwata ili strani -te) mnoguagolnikot moè da bide:

triagolnik -mnoguagolnik so tri agli (temiwa i strani);

~etiriagolnik -mnoguagolnik so ~etiri agli (temiwa i strani);

petagolnik -mnoguagolnik so pet agli (temiwa i strani).

Da, toj ima tri agli i sevika triagolnik..

a) b)

v)

B

C

D

Natamu, pod mnoguagolnik }e podrazbirame konveksen mnoguagolnik, ako ne e re~e -no poinaku.

Proveri se!

Zada~i

Koj mnoguagolnik se vika konveksenmnoguagolnik?

1.Nacrtaj petagolnik ABCDE.2.

Koi temiwa se sosedni na temeto B?

Koi strani ne se sosedni na strana-ta BC?

Presmetaj go perimetarot na mnoguagolnikot ABCDE, ako:

AB = 4 cm, BC = 25 mm, CD = 3 cm, DE = 35 mm i EA = 3 cm.

127Koi od ozna~enite to~ki nacrte ̀ ot leàt na mnogu agol -nikot ABCD?

3. Ozna~i pet to~ki A, B, C, D i E kakona crteòt, a potoa nacrtaj petagol-nik ABCDE koj e nekonveksen.

4.

A M B

H

C

ED

NF G

A B

CE

D

PERIMETAR NA MNOGUAGOLNIK23Potseti se!

Presmetaj go perimetarot na triagol-nikot AVS.

Presmetaj go perimetarot na kvadratso strana a = 5 cm.

C

VA

A

B

Presmetaj go perimetarot na poligonalnata linija ABCD.

Perimetarot na poligonalnata li nija {to go formira mnoguagolni kot se vika peri -metar na mnogu agolnikot i se ozna~uva so L.

1 Razgledaj go mnoguagolnikotABCD na crteòt. Na nego se da -deni dolìni te na otse~kite odkoi e sostavena po ligonalnatalinija na mnoguagolnikot.

D

C

BA 4 cm

4 cm

2 cm

3 cm

Perimetarot na mnoguagolnikot ABCDE na crteòt e: L = AB + BC + CD + DA;

L = 4 + 3 + 4 + 2 = 13 cm, t.e. L = 13 cm.

Voo~i!

2

3 Presmetaj go perimetarot na triagolnikot AVS nacrteòt ako: a = 28 mm, b = 32 mm i c = 40 mm.

S

VA c

b a

Potseti se!

128

a) L = a + b + c; 22 = a + 9 + 6; 22 = a + 15,a = 22 - 15; a = 7 cm.Re{i ja zada~ata pod b).

Sledi go re{enieto:

L = AB + BC + CA, t.e. L = a + b + c.Zapomni!

4 Presmetaj ja stranata a na triagolnikot AVS, ako se dadeni:

a) L = 22 cm, b = 9 cm i c = 6 cm; b) L = 30 cm, b = 12 cm i c = 8 cm;

Koj triagolnik se vika ramno -krak triagolnik?

5 Presmetaj go perimetarot na ramnokrak triagolnik ABC so osnova AB = a = 4 cm i

kraci AC = BC = b = 3 cm.

L = AB + BC + AC, L = a + b + c; L = a + b + b, t.e.

L = a + 2 ⋅ b; L = 4 + 2 ⋅ 3 = 4 + 6 = 10 cm, t.e. L = 10 cm.

Voo~i ja postapkata:

L = a + b + b, L = a + 2 ⋅ b 23 = a + 2 ⋅ 7; 23 = a + 14; a = 23 - 14; a = 9 cm;

Sledi go re{enieto na a)!

Presmetaj go perimetarot na ΔAVS.

A B

C

c

b a

6 Presmetaj go perimetarot na ramnokrak triagolnikso osnova a = 8 cm i krak b = 6 cm.

7 Presmetaj ja osnovata a na ramnokrak triagolnik, ako se dadeni:

a) perimetarot L = 23 cm i krakot b = 7 cm;b) perimetarot L = 30 cm i krakot b = 9 cm.

8 ΔAVS e ramnostran triagolnik so strana a = 5 cm.

D E

F

a

aa

�Zapomni

�

129

Presmetaj go perimetarot na ramnostran triagolnik so strana a = 8 cm.

L = AB + BC + CA, L = a + a + a, L = 3 ⋅ a L = 3 ⋅ 5; L = 15 cm.

Sledi go re{enieto:

L = 3 ⋅ a; 18 = 3 ⋅ a; a = 18 : 3; a = 6 cm.

Sledi go re{enieto:9 Presmetaj ja stranata na ramno-stran triagolnik so perimetar: a) L = 18 cm; b) L = 36 cm.

��Zapomni

Treba da znae{!

[to e perimetar na mnoguagolnik;

da presmeta{ perimetar na mnoguagolnik;

da presmeta{ perimetar na triagolnik;

da presmeta{ edna strana na mnoguagol-nik, ako e daden perimetarot i drugitenegovi strani.

Presmetaj go perimetarot na ram-nokrak triagolnik so osnova a = 4 cmi krak b = 5 cm.

Presmetaj ja stranata a na ΔAVS, akoL = 24 cm, b = 7 cm i c = 9 cm.

Proveri se!

Zada~i

Presmetaj go perimetarot na mnogu-

agolnikot ABCD, ako: AB = 3 cm,

BC = 34 mm, CD = 46 mm i DA = 5 cm.

1.

Presmetaj go perimetarot na ΔAVS,ako: a = 8 cm, b = 12 cm i c = 9 cm.

2.

Presmetaj go perimetarot na ramno -krak triagolnik so osnova a = 8 cm ikrak b = 11 cm.

4.

Presmetaj ja stranata a na ΔAVS, ako:L = 42 cm, b = 12 cm i c = 15 cm.

3.

Perimetarot na eden ramnokrak tri a -golnik e 34 cm. Presmetaj ja osnovata ana toj triagolnik, ako krakot b = 12 cm.

5.

Ramnokrak tri a golnik so osnova a = 12cm ima perimetar L = 32 cm. Presmetajgo krakot na toj triagolnik.

6.

Presmetaj go perimetarot na ramnostrantri a golnik so strana a = 18 cm.

7.

Ramnostran triagolnik ima perimetarL = 27 cm. Presmetaj ja stranata na tojtriagolnik.

8.

Dol`inite na ~etiri strani od edenpetagolnik se: 32 mm, 25 mm, 28 mm i35 mm, a perimetarot mu e L = 150 mm.Presmetaj ja do`inata na pettatastrana.

9.

Dali se kolinearni to~kite A, B i C,

ako AB = 4 cm, BC = 76 mm i

CA = 36 mm?

130

Nacrtaj prava p i prava q, i ozna~ito~ki A, B i C {to leàt na pravata

p i to~ki C, D i E {to leàt na pravata q.Zapi{i so simbolite ∈ i ∉ koi od tieto~ki pripa|aat, a koi ne pripa|aat napravata p, odnosno na pravata q.

UUÊ[E ZA GEOMETRISKI FIGURI VO RAMNINA. PROVERI GO SVOETO ZNAEWE

241.

Nacrtaj kru`nica k(O; 27 mm) i na

nea ozna~i kruèn lak AB, taka {to

soodvetnata tetiva da bide AB = 35 mm.

Kolku e dijametarot na taa kru`nica?

6.

Odredi koi od iskr{enite linii nacrteòt se poligonalni.

objasni zo{to drugite iskr{eni linii nese poligonalni.

5.

Nacrtaj kru`nica k1(O1; 30 mm), apotoa kru`nica k2(O2; r2) {to }e ja

dopira k1 odnatre, a centralnoto rastoja -nie da bide 10 mm.

7.

Nacrtaj dve otse~ki, a i b, kako nacrteòt.

4.

[to e otse~ka?3.

a) [to e agol?b) [to e vnatre{na oblast na agol?

8.

Imenuvaj gi siteagli ozna~eni so

lak, na crteòt. Koividovi agli prepozna-va{ me|u niv?

9.

Nacrtaj agol α = �AOB,kako na crteòt. Potoa,

nacrtaj agol β {to e naporedenso AOB.

10.

Nacrtaj tap agol α, a potoa kon-struiraj agol β ednakov so agolot α.

11.

Nacrtaj ostar agol α i prav agol β.Potoa, konstruiraj gi aglite α + β i

α - β.

12.

Od koj vid e agolot {to ima 90o 35'?Pretvori gi vo minuti 90o 35'.

13.

Presmetaj go agolot β koj{to soagolot α = 45o 35' 45’’ dava zbir 90o.

14.

Nacrtaj prava p i ozna~i to~ka M {toe na rastojanie 3 cm od pravata p.

15.

[to e simetrala na otse~ka?16.

Proveri dali aglite α = 105o 45' i β = 75o 15' se suplementni.

17.

Perimetarot na eden ~etiriagolnike 64 m, a trite negovi strani imaat

dolìni: 24 m, 13 m i 14 m. Kolku e dol -ìnata na ~etvrtata strana?

18.

2.

a b

Potoa konstruiraj ja otse~kata: a) a + b; b) a - b.

1 2 3 4 5

131

1. Dropka. îtawe i pi{uvawe na dropki 132

2. Vidovi dropki 135

3. Pretstavuvawe dropki na brojnaprava. Ednakvost na dropki 140

4. Sobirawe i odzemawe na dropki so ednakvi imeniteli 143

5. Pro{iruvawe i skratuvawe na dropki 146

6. Decimalna dropka. Decimalen broj 149

7. Svojstva na decimalnite broevi 153

8. Pretstavuvawe na decimalnite broevi na brojna prava. Sporedu-vawe na decimalnite broevi 155

9. Vidovi dijagrami. Izbor nadijagram 157

10. Sobirawe na decimalni broevi 160

11. Odzemawe na decimalni broevi 163

12. Mnoèwe na decimalni broevi 166

13. Delewe na decimalni broevi 170

14. Pretvorawe na dropka vo decimalen broj 175

15. Zaokruùvawe na decimalen broj 178

16. Izbor na primerok. Analiza izaklu~ok 180

17. U~e{e za dropki. Decimalni broevi. Proveri go svoeto znaewe 182

TEMA 3. DROPKI. DECIMALNI BROEVI

Potseti se!

Koj del od edna ~okolada }e dobie sekoe dete?

Na kolku dela e podelena sekoja ~okolada? Kolku dela }e dobie sekoe dete?

132

Na crteòt figurite se podeleni nadelovi ednakvi po plo{tina.

Na kolku ednakvi delovi e podelenasekoja od figurite?

Imenuvaj eden del na sekoja odfigurite.

Iskaì go i zapi{i go oboeniot delna sekoja figura.

Vo edna burek~ilnica ima edna celapita burek. Kako }e postapi prodava -~ot ako pobara{ da kupi{ ~etvrtinaburek?

Kolku tretini ima edno celo?

Kolku polovini ima edno celo?

Vo edna prodavnica ima samoce li lebovi. Kako }e postapiprodava~ot ako pobara{ dakupi{ polovina leb?

Edno celo e podeleno na ~etiri edna kvide lovi, t.e. odre deno e kolku e

1 : 4.

1

2

3

Koli~nikot 1 : 4 ne e priroden broj, za{to nieden priroden broj pomnoèn so 4 ne dava 1.

Sepak, razumno e da kaème deka toj koli~nik e ednakov na edna ~etvrtina i da prifatime deka i edna ~etvrtina e broj.

Zapi{uvame , t.e. 1 : 4 = .1__4

1__4

Kako tri deca }e podelat podednakvo dve ~okoladi? Razgledaj go crteòt.4

Sogledaj!

A

DROPKA. ÎTAWE I PI[UVAWE NA DROPKI1

Pitata burek prodava~ot }eja podeli na ~etiri ednakvidelovi.

B

Koli~nicite 1 : 3 i 5 : 6 ne se prirodni broevi.

Koli~nikot m : n ne e priroden broj, ako n ne e delitel na m.

Koli~nikot m : n go zapi{uvame .

So toa, pokraj prirodnite broevi, }e izu~uva{ i drugi broevi koi se vikaat dropki.

m__n

133

2 : 3 = ; se ~ita: dve tretini ili 2 vrz 3.

Moème da kaème deka e broj, zapi{an vo vid na dropka, no ne e pri -

roden broj.

2__3

2__3 2__

3

Zapi{i gi koli~nicite 1 : 2; 4 : 5 i 11 : 15 vo vid na dropki i pro~itaj gi.5

7

6 Koj od slednite koli~nici ne e priroden broj?a) 6 : 3; b) 1 : 3; v) 5 : 6; g) 8 : 4.

Vo koj koli~nik delenikot e deliv so delitelot?


[to pokaùvaat broevite so koi e zapi{ana dropkata?

Kako se vikaat broevite so koi e zapi{ana dropkata?

Zapi{i go so dropka oboeniot del od celoto.

Na kolku delovi e podeleno celoto?

Voo~i!

Op{to

Voo~i i zapomni!

Dropkata e koli~nik na prirodnite broevi m i n. Se ~ita: m vrz n.m__n

Drop ka e ko li ~nik na dva pri rodni broja.

�

�

�

Broevite so koi e zapi{ana dropkata se vikaat: m - broitel i n - imenitel. Tie seoddeleni so crti~ka koja se vika drobna crta. Taa go zamenuva znakot za delewe.

broiteldrobna crtaimenitel

m__n

Imenitelot n pokaùva na kolku ednakvi delovi e podeleno celoto. Broitelot m gopokaùva brojot na tie delovi, odnosno kolku takvi delovi se zemeni od celoto.

134 8 [to pokaùva broitelot, a {to imenitelot, vo dropkata ?5__6

9 Zapi{i i pro~itaj dropka koja ozna~uva osum 15-ti delovi od edno celo.

Treba da znae{!

Da iskaè{ {to pretstavuva ednadropka;

da ~ita{ i da zapi{uva{ dropki;

da objasni{ {to pretstavuvabroi te lot, a {to imenitelot voedna dropka.

Zada~i

Iskaì {to pokaùva imenitelot, a{to broitelot na dropkite:

; ; .

Nacrtaj kvadrat i {rafiraj godelot .

Zapi{i gi koli~nicite vo vid nadropki i pro~itaj gi.

7 : 9; 12 : 23; 4 : 121.

1.

Zapi{i i pro~itaj tri dropki ,kade {to a, b ∈ {7, 9, 28, 105}.

2.

Koj del e:a) 1 dm od 1 m b) 1 cl od 1 lv) 1 g od 1 kg g) 1 dm2 od 1 m2

4.

3.

5.

Od 36 u~enici vo edno oddelenie 21se odli~ni. Pretstavi go so dropkadelot na odli~nite u~enici vo odde-lenieto.

7.

Vo 8 ednakvi vre}i~ki ima vkupno 5 kg {e}er. Kolku kilogrami {e}erima vo sekoja vre}i~ka?

8.

a__b

5__8

12__19

38__125

4__9

Zapi{i:a) 3 cm vo dm; b) 28 cm vo m;v) 9 dl vo l; g)15 g vo kg.

6. Zapi{i:

a) m vo cm; b) m vo dm;

v) l vo dl; g) kg vo g.

1__42__5

3__58__

25

Nacrtaj kvadrat i {rafiraj od kvadratot.

[to pokaùva broitelot, a {to imeni-

telot vo dropkata ?

Koj del e 1 cm od 1 m? Zapi{i 7 dl vo l.

5__8

5__8

Proveri se!

Potseti se!

135

Kolku polovini ima edno celo?

Kolku tretini ima edno celo?

Kolku polovini ima vo: dve celi, petceli?

Zapi{i edno celo vo:

sedmini.tretini;polovini;

1

Voo~i!

= 1, = 1, = 1.

Voop{to, za dropka , so ednakovbroitel i imenitel, kade {to n e priro-den broj imame:

= n : n = 1, t.e. = 1.

2__2

3__3

7__7

n__n

n__n

n__n

Zapi{i go brojot 1 kako dropka: so imenitel 8; so broitel 12.2

Presmetaj gi koli~nicite: 2 : 1; 9 : 1 i n : 1 (n e priroden broj) i pretstavi gi kako dropki.

3

Zapi{uva{:

Sekoj priroden broj n moè da se pretstavi kakodropka so broitel n i imenitel 1.

= 2 : 1 = 2; = 9 : 1= 9; = n : 1 = n.2__1

9__1

n__1

Zapi{i go brojot 8 kako dropka so broitel 8.

Zapi{i go brojot 15 kako dropka so imenitel 1.4

5 Zapi{i dve celi kako dropka so imenitel tri.

Sogledaj: 2 = 1 + 1 = + = . Moème da kaème deka dropkata e ednakva

na prirodniot broj 2.

Ovoj na~in na zapi{uvawe priroden broj kako dropka so daden imenitel ne eprakti~en za pogolemi broevi. Voo~i go sledniot pokus na~in.

6__3

3__3

3__3

6__3

A

VIDOVI DROPKI2

Kako moè{ brojot 5 da go zapi{e{ vovid na dropka so imenitel 4?

Kolku ~etvrtini ima vo 5 celi?

Vo 5 celi ima 4 ⋅ 5 ~etvrtini,

t.e. 5 = = .

Ednakvo

4 ⋅ 5____4

20__4

B

136

Koi od figurite pretstavuvaat pomalku od edno celo, a koi pove}e od edno celo?

Pretstvi gi so dropki figurite od prviot red. Sporedi gi broitelite so nivnitesoodvetni imeniteli. [to zaklu~uva{?

Zapomni!

Dropkata pretstavuva priroden broj ako b e delitel na a.

Dropkata so koja e pretstaven priroden broj se vika prividna dropka.

a__b

7 Koi od slednive dropki se prividni dropki:

; ; ; ; ; ; ; ; ?1__2

4__2

6__6

3__4

5__1

14__7

25__4

22__2

31__8

Sekoj priroden broj moè da se smeta za dropka.

Ima dropki koi ne pretstavuvaat priroden broj.

Spored toa, mnoès tvoto prirodni broevi e podmnoèstvo od mnoèstvoto dropki.

8 Na crteòt se formirani figuri od ednakvi delovi {to pretstavuvaat

od eden krug.

1__4

I

II

a) b) v)

g) d) |) e)

Kolku ~etvrtini ima sekoja figura od vtoriot red?

Kolku ~etvrtini ima sekoja figura od prviot red?

Na koja od slednite dropki ime nitelot e delitel na broitelot?

Koja od niv e priroden broj: ; ; ; ; ; ; ?3__5

4__2

15__3

18__9

3__6

5__10

21__7

6 Pretstavi go brojot 8 vo pettini i brojot 12 vo sedmini.

Koj bilo priroden broj m moè da se zapi{e vo vid na dropka so imenitelpriroden broj n.

m = m ⋅ n____n

137Pretstavi gi so dropka figurite od vtoriot red. Sporedi gi broitelite sonivnite soodvetni imeniteli. [to zaklu~uva{?

Broitelot na sekoja od ovie dropki e pomal od imenitelot, {to zna~i deka tiesodràt pomalku delovi otkolku {to ima edno celo. Tie dropki se pomali od 1.

Figurite od prviot red se pretstavuvaat so dropkite: a) , b) i v) .

Takov vid se dropkite: , , , itn. Niv gi vikame pravilni dropki.

Voo~i!

1__4

2__4

3__4

2__5

7__9

9__11

28__31

Na sekoja od ovie dropki broitelot e pogolem od imenitelot, {to zna~i, sodrì pove}edelovi otkolku {to ima edno celo. Tie dropki se pogolemi od 1.

Figurite od vtoriot red se pretstavuvaat so dropkite: g) , d) , |) i e) .

Od takov vid se dropkite: , , , itn. Niv gi vikame nepravilni dropki.

5__4

6__4

7__4

9__4

9__4

11__3

25__13

38__19

9 Dadeno e mnoèstvoto M = { , , , , , }.

Zapi{i gi na tabelaren na~in mnoèstvata A = {x | x ∈ M i x < 1} i B = {x | x ∈ M i x > 1}.

Dropkite pomali od 1 u{te se vikaat ~isti dropki, a dropkite pogolemi od 1 sevikaat ne~isti dropki.

1__2

5__3

5__8

7__7

5__11

14__9

10 Od koj vid e dropkata ?

Zapi{i ja dropkata kako zbir od polovini so dva sobiroka.

Zapi{i ja dropkata kako zbir od polovini so tri sobiroka.

3__2

3__23__2

Zapomni za pravilni dropki:

Vo koja bilo dropka (a, b ∈ N), ako a < b, toga{ < 1.a__b

a__b

Zapomni za nepravilni dropki:

Vo koja bilo dropka (a, b ∈ N), ako a > b, toga{ > 1.a__b

a__b

V

138

11 Zo{to sekoja dropka pogolema od 1 moè da se zapi{e kako me{an broj?

Dropkata da ja zapi{eme kako me{an broj.32__5

Sledi go re{enieto:

Sledi go re{enieto

Ako go podeli{ broitelot so ime nitelot, toga{ dobieniot koli~nik ecelot del na me {aniot broj. Zo{to?

Dobieniot ostatok e broitel na dropkatapomala od 1, a imenitelot ostanuva ist.

32 : 5 = 6-30

2

;

12 Zapi{i ja dropkata vo me{an broj: a) b) v) g) d) |) .6__5

8__3

15__4

48__11

80__13

132___17

Me{aniot broj da go zapi{eme kako dropka.3

2 __4

Da opredelime kolku ~etvrtini sodrì me-

{aniot broj .

Kolku ~etvrtini sodràt 2 celi?

Dropkata pomala od 1 sodrì u{te 3 ~etvrtini.

32 __

4

32 __

4 =2 ⋅ 4 + 3

= 11_______ __

4 4

2 ⋅ 4 ~etvrtini

2 ⋅ 4 + 3 ~etvrtini

32 25

= 65

32 2 25

= 32 : 5 = 6 +5

= 65

;

Me{an broj moè da se zapi{e kako dropka.

îtame: tri polovini e ednakvo na edno celo i edna polovina.Dropkite pogolemi od 1 zapi{ani so celo i ~ista dropka se vikaat me{ani broevi.

Dropkata e pogolema od 1 i moè da se pretstavi kako zbir od polovini,

t.e. = + + = 1 + . Zbirot 1 + kratko se zapi{uva 1 .

Moème da zapi{eme = 1 .

Prosledi go re{enieto

3__2

3__2

1__2

1__2

1__2

1__2

1__2

1__2

3__2

1__2

Me{an broj sodrìcelo i dropka.

�

�

139

13 Me{anite broevi: , , zapi{i gi vo vid na dropka.2

3 __5

54 __

79

8 __11

Treba da znae{!

Da gi prepoznava{ vidovite dropki:dropki pomali od 1 (pravilni drop-ki), dropki pogolemi od 1 (nepravilnidropki), prividni dropki i me{anitebroevi.

Da zapi{e{ priroden broj vo vid nadropka so odreden imenitel.

Da pretstavi{ dropka pogolema od 1vo me{an broj i obratno.

Koja od slednite dropki: , , , ,

, e pomala od 1, pogolema od 1, pri -

vidna dropka?

Kolku celi ima dropkata ? Zapi{i ja

kako me{an broj.

Kolku pettini ima vo ? Zapi{i go

me{aniot broj vo vid na dropka.

13__3

2__3

3__2

6__3

9__8

9__3

9__10

43 __

5

Zada~i

Sekoj od prirodnite broevi: 2, 5,7, 8 i 11 zapi{i go vo vid nadropka so imenitel:

a) 1; b) 3; v) 7.

1.

Kolku dropki pomali od 1 mo`e{da zapi{e{ so imenitel 5, a broi-tel priroden broj?

2.

Zapi{i dve dropki pomali od 1 soimenitel 7.

3.

4.

Pretvori gi vo dropki me{anite broevi:

, , , .6.

Zapi{i dve dropki pogolemi od 1 sobroitel 12.

5. Pretvori gi vo me{ani broevi dropkite:

, , , , .

18 __

48

3 __9

31 __

103

15 __4

28__3

17__4

21__8

29__5

125__9

Proveri se!

Me{an broj se pretstavuva kako dropka taka {to imenitelot se mno`i soceloto i toj broj se dodava na broitelot. Toj broj se zapi{uva za broitel, aimenitelot ostanuva ist.

Dosetka!

Edno pole go zafatila poplava so voda i sekoj denbilo poplavuvano dvojno pove}e otkolku vo prethod-niot den. [estiot den bilo poplaveno celoto pole.Na krajot od koj den bilo poplaveno polovina odpoleto?

140

Potseti se!

Sekoj priroden broj moè da se pretstavi na brojna prava.

Na crteòt e nacrtana pravata p i nanea ozna~i dve to~ki A i B.

Na crteòt e opredelen brojna

prava so edine~na otse~ka AB = 1.

Koj broj e pridruèn na to~kata A, akoj na to~kata V?

1 Nacrtaj brojna prava soedini~na otse~ka 2 cm.Na brojot 3 pridruì £ jato~kata C.

Na brojot 5 pridruì ja to~kata D, a nabrojot 7 to~kata E.

Odredi ja dolìnata na otse~kata CE.

Kolku pati treba da ja prenese{ edi -ni~nata otse~ka za da odredi{ to~ka zabrojot 14?

2 Nacrtaj otse~ka AB so dolìna 6 cm. Na otse~kata AB odredi to~ka C taka {to

AC = AB. Odredi ja dolìnata na otse~kata AC.2__3

1__3

Otse~kata AB e podelena na 3 dela. Sekoj del imadolìna 2 cm, a otse~kata AC ima 2 takvi dela.

AC = 4 cm.

Razgledaj go crteòt!

A C B

Dropkite, kako i prirodnite broevi, moàt da se pretstavuvaat na brojna prava.

Pretstavi ja dropkata na brojnata prava p.1__4

3

Edini~nata otse~ka AB od 0 do 1 treba da ja po -deli{ na 4 ednakvi dela. Na krajot od prviot del

e to~kata M i na nea e pridruèna dropkata .

Kade se nao|a dropkata na brojnata prava p?

Na brojnata prava pretstavi gi dropkite i .

Voo~i deka dropkata e pomala od 1.1__4

1__4

1__4

1__2

3__4

0 1 2

A M B C

1__4

A

PRETSTAVUVAWE DROPKI NA BROJNA PRAVA.EDNAKVOST NA DROPKI

3

A B p0 1

Kako }e ja odredi{ to~kata D, taka {to AD = AB. Odredi ja dolìnata na otse~ -kata AD?

0 1 2

Ap

p

B C

Dropkata se nao|a

na otse~kata AV.

1__4

B

Vo postapkata odgovori na barawata.

Nacrtaj brojna prava i na nea odredi to~ki so broevite od 1 do 6.Zapi{i ja dropkata vo me{an broj. Pome|u koi broevi }e bide dropkata ?

Me|u koi broevi otse~kata }e ja podeli{ na 3 dela? Kolku delovi }e odvoi{ za da

odredi{ to~ka za dropkata ? Na istata brojna prava pretstavi gi dropkite i .

10__3

10__3

10__3

11__3

1__4

2__8

4__3

Milica kupila od pita burek, a Teuta od pita burek so ista golemina.

Koja od niv kupila pogolem del od pita burek? Postapi spored barawata.

Pretstavi gi dvete piti burek so dva kruga so ednakvi radiusi(kako na crteòt).

Edniot krug podeli go na 4 dela, a drugiot na 8 dela.

Od prviot krug oboj , a od vtoriot .

Sporedi gi oboenite delovi.

5 1__4

2__8

1__4

2__8

Mil

ica

Jova

n

Milica oboila delovi na tri ednakvi lenti, a Jovan delovi na tri ednakvi kvadrati.

Na kolku delovi e podelena sekoja od lentite?

Koj del od sekoja lenta, odnosno sekoj kvadrat e oboen?

Na kolku delovi e podelen sekoj od kvadratite?

Sporedi gi oboenite delovi na lentite, odnosno na kvadratite.

6

4 Na brojna prava so edini~na otse~ka 3 cm pretstavi ja dropkata .10__3

Moàm da zaklu~am!

=1__4

2__8

Oboenite delovi od lentite se ednakvi i dropkite , i se ednakvi.

Spored toa moème da zapi{eme:

1__2

2__4

4__8

1__2

2__4

= 1__2

4__8

=; ; .2__4

4__8

=

141

142

So koristewe na praviloto za ednak-vost na dropki odredi go x za dropki -te da bidat ednakvi

5.

Na brojna prava pretstaveni se broe-

vite i 1. Pretstavi gi brevite:

; 3 i .

6.

a) = ; b) = ; v) = ; g) = .2__3

x__12

7__x

35__40

2__9

x__27

10__11

3__4

3__4

5__4

1__2

17__4

100__x

1

Koi od slednite dropki se ednakvi:

i , i , i ; i ?

= , vaì: 1 ⋅ 4 = 2 ⋅ 2

= , vaì: 2 ⋅ 8 = 4 ⋅ 4;

= , vaì: 2 ⋅ 6 = 3 ⋅ 4; = . Proveri i zapi{i.

1__2

2__4

2__4

4__8

2__3

4__6

4__6

6__9

Da zapomnam! Kaj ednakvite drop-ki vaì: ako pomnoì{ vkrsteno}e dobie{ ednakvi proizvodi.

Praviloto vaì za koi bilo ednakvi dropki i , t.e. = , ako vaì a ⋅ d = b ⋅ c.a__b

c__d

a__b

c__d

7 Koi od slednive dropki se ednakvi: a) i ; b) i ; v) i ; g) i ?2__5

6__15

3__7

6__14

11__10

44__40

80__81

90__91

Treba da znae{!

Da nacrta{ brojna prava sodadena edini~na otse~ka;

da pretstavuva{ dropki nabrojna prava;

da odredi{ dali dve drop-ki se ednakvi so pomo{ napraviloto za ednakvost nadropki.

Koi dropki odgovaraat na to~kite A, B i C na brojnataprava?

Nacrtaj brojna prava so edini~na otse~ka 1 cm i na

nea odredi to~ka A {to odgovara na dropkata .

Koj broj treba da bide zapi{an vo kvadrat~eto za da

bidat ednakvi dropkite = ?

7__3

2__3

6__Zada~i

1. Koi dropki odgovaraat na to~kite A,B i C od brojnata prava?

Nacrtaj brojna prava so edini~naotse~ka 2 cm i na nea pretstavi gi

broevite a) 5; b) 7; v) 4 ; g) 6 .

2.

1__6

5__30

1__2

9__19

7__10

28__40

9__11

27__37

Sogledaj go praviloto {to vaì kaj ednakvite dropki.

Oboenite delovi na kvadratite se ednakvi.

Spored toa: 2__3

4__6

= 6__9

= .

�

�

�

Proveri se!

0

A B C

1 2 3

0

A

1 2 3 4

B C

Nacrtaj brojna prava so edini~naotse~ka 4 cm i na nea pretstavi gi

dropkite , , , .

3.

4.

3__4

9__8

9__4

7__2

3__4

1__2

SOBIRAWE I ODZEMAWE NA DROPKI SO EDNAKVI IMENITELI

4Potseti se!

Biljana i Sa{ko razdelile eden krugna 4 ednakvi delovi. Biljana oboila

od krugot, a Sa{ko od istiot

krug. Koj del od krugot oboile Biljana i Sa{ko zaedno?

Nacrtaj krug i zapi{i gioboenite delovi.

Presmetaj + .

Presmetaj kolku pove}e oboil Sa{ko,

t.e. - .

Primeni go distributivnoto svojstvona deleweto vo odnos na sobiraweto(12 + 9) : 3 = .

1__4

2__4

1__4

2__4

2__4

1__4

Raboti spored slednite postapki ispo redi go re{enieto.

Najdi go zbirot na dropkite i

.

Voo~i kako }e go objasnime sobiraweto na dropki so ednakvi imeniteli so pomo{ nadistributivnoto svojstvo na deleweto voodnos na sobiraweto.

1 3__54__

5

(3 + 4) : 5 = 3 : 5 + 4 : 5

3 : 5 + 4 : 5 = (3 + 4) : 5

Primeni go distribu-tivnoto svojstvo naizrazot (3 + 4) : 5 =

Promeni gi stranite nadobienoto ravenstvo.

Zapi{i gi koli~nicitevo vid na dropka.

Presmetaj go zbirot ipretstavi go vo me{anbroj.

3 + 4_____ 5

3__ +5

4__ =5

3 + 4_____ =5

3__ +5

4__ =5

7__ =5

21__ .5

A

Razgledaj go crte`ot i objasni kako e pretstaven zbirot + na brojnata prava.23__5

4__5

0 1 2 3__5

4__5

3 4 2__ + __ = 1__5 5 5

Da zapomnam: Dropki so ednakvi imeniteli se sobiraat vaka: ,

a, b, c ∈ N, t. e. zbirot od broitelite se pi {uva za broitel, a imenitelotostanuva ist.

a b a + b__ + __ = _____c c c

Odredi go zbirot33 1

2__ + __.5 5

143

144

B

Eden traktorist za eden ~as izoral od edna niva, a vtoriot ~as izoral odnivata.

6

Odredi go zbirot na dropkite:

a) + ; b) + ; v) 2 + .

5

4

7__9

5__9

5__7

3__4

4__7

1__4

11__20

8__20

Koj del od nivata izoral traktoristot za dvata ~asa?

Koj del od nivata ostanal neizoran?

II na~in

Zapi{i go me{aniot broj 2 kako zbir od celite i dropkata pomala od 1.

Vo izrazot 2 + + odredi go zbirot na dropkite pomali od 1.

Zapi{i go zbirot 2 + vo me{an broj.

3__5

1__5

3__5

4__5

Odredi go zbirot 3 + 1 na dva na~ina. 2__7

4__7

7 Koja dropka treba da se zapi{e namesto x za da va`i: = + x?7__9

5__9

Voo~i!

Na dropkata treba da £ se dodade dropkata za da se dobie dropkata .

Dropkata e razlika na dropkite i ; zapi{uvame: - = = .

5__9

2__9

7__9

2__9

7__9

5__9

7__9

5__9

7- 5____9

2__9

Da zapomnam: Dropki so ednakvi imeniteli se odzemaatvaka:

- = , a > c,

t.e. razlikata na broitelite se zapi{uva za broitel, a ime nitelot ostanuva ist.

a__b

c__b

a-c____b

Voo~i deka zbirot mo`e da se presmeta na dva na~ina.

I na~in

Pretvori go me{aniot broj 2 vo dropka pogolema od 1.

Odredi go zbirot + .13__5

1__5

3__5

Zapi{i go zbirot vo me{an broj.14__5

��

��

�

�

9 Dolìnata na ednata strana na eden pravoagolnik e 5 cm,

a dolìnata na sosednata strana e za 1 pomala.2__ cm5

3__5

Treba da znae{!

Da odredi{ zbir na dropki soednakvi imeniteli;

da presmeta{ razlika na drop-ki so ednakvi imeniteli.

Odredi go zbirot, a potoa zapi{i go vo me{an broj.

Koj broj e za 2 pomal od brojot 3 ?

3 7__ + __.8 8

3 12 __ + 1 __.4 4

4__9

2__9

Odredi ja dolìnata na sosednata strana.

Odredi go perimetarot na pravoagolnikot.

Presmetaj:

a) b)

Presmetaj:

Eden u~enik prviot den pro~ital od

edna kniga, a vtoriot den od is ta -ta kniga.

Koj del od knigata pro~ital za dvata dena?

Koj del od knigata mu ostanal nepro~itan po vtoriot den?

Eden bazen se polni od tri cevki. Za

eden ~as prvata cevka polni od

ba zenot, vtorata , a tretata od

ba zenot.

Koj del od bazenot }e go napolnat

trite cevka za eden ~as?

Koj del od bazenot }e ostane ne

napolnet?

Sa{ko ima 10 godini, a Biljana 15

go dini.

Kolku godini }e ima Sa{ko po 3

godini?

Za kolku godini }e bide postara

Biljana od Sa{ko po 3 godini?

Zbirot na broevite i namali

go za .

Zada~i

1.

2.

3.

4.

5.

6.

712

1112

v) 3 4+ 415

215 3

105

10

312

712

512

512

g) 1+ 715

3+

79

39

- b) v)-

35

112

512

412

g) 3 - 12

11

1719

1519

511

d) 3

a)

+ 411

2-

34

5

57

3

57

5

17

2

14

2-

5 4 1__ + __ + --.9 9 9

1 21 __ + 2 __.3 3

Proveri se!

8 Presmetaj ja razlikata: a) - ; b) - ; v) 3 - 1 .11__12

7__12

11__25

5__8

16__25

3__8 145

oboeniot del e , a na drugiot .

146

Voo~i gi kvadratite so edna -kvi strani. Na edniot kvadrat

Sporedi gioboenitedelovi.

Sogleda deka oboenite delovi se ednakvi, t.e. = . Isto taka = , bidej}i 3 ⋅ 8 = 4 ⋅ 6.

1

Ako broitelot i imenitelot na edna dropka se pomnoàt so eden ist broj, razli~enod nula, se dobiva dropka ednakva na dadenata.

Ovaa postapka se vika pro{iruvawe na dropkite.

Vaì op{to!

Broitelot i imenitelot na dropkata se pomnoèni so 2, a nejzinata

vrednost ne se promeni.

Broitelot i imenitelot na dropkata pomnoì gi so: 2, 3 i 4. Proveri dali

dobienite dropki se ednakvi so dropkata .

Pro{iri gi dropkite: a) so 3; b) so 4; v) so 10.

2

3

56

56

56

310

78

A

PRO[IRUVAWE I SKRATUVAWE NA DROPKI5Potseti se!

45

810

56

5 . 36 . 3

Koj broj treba da se zapi{e vo kvad -rat~eto za da bide to~no ravenstvoto.

Koe svojstvo na deleweto e primeneto?

Proveri dali dropkite se ednakvi:

i i; ;

12 : 5 = (12 ⋅ 3) : (5 ⋅ ).

34

34

34

68

34

68

68

Moè{ da voo~i{ deka = . Od toa i od = se dobiva deka = .68

3 ⋅ 24 ⋅ 2

34

3 ⋅ 24 ⋅ 2

34

Voo~i deka = = . Ova ravenstvo vaì bidej}i 5 ⋅ 12 = 6 ⋅ 10;

= = . Ova ravenstvo vaì bidej}i 5 ⋅ 18 = 6 ⋅ 15.

Sogledanoto svojstvo na dropkite moè{ da go objasni{ od svojstvoto na deleweto

a : b = (a ⋅ n) : (b ⋅ n). Spored toa: = ; a, b, n ∈ N.

56

1012

5 ⋅ 26 ⋅ 2

ab

a ⋅ nb ⋅ n

56

1518

5 ⋅ 36 ⋅ 3

68

�

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

= = = = .

147

Broitelot i imenitelot na dropkata podeli gi so nivniot zaedni~ki delitel.

Proveri ja ednakvosta na dadenata i dobienite dropki.

Proveri dali dobienata dropka e ednakva so dropkata .

Dropkata skrati ja postapno so zaedni~kite deliteli na broitelot i imenitelot.6

Broitelot i imenitelot na dropkata podeli gi so 2.4__6

4__6

15__20

36__60

5

4B

Da zapomnam! Skratuvawetona dropkite se vr{i doneskratliva dropka.

Broitelot i imenitelot na dropkata se podeleni so ist broj, a nejzi -

nata vrednost na se promeni.

46

Presmeta deka = , t.e. = . Ova ravenstvo vaì bidej}i 4 ⋅ 3 = 6 ⋅ 2.4 : 26 : 2

23

46

23

Sogledanoto svojstvo na dropkite moè{ da go objasni{ od svojstvoto na deleweto zanepromenlivosta na koli~nikot, t.e. a : b = (a : n) : (b : n) kade a, b, n se prirodni bro-

evi i n e delitel na a i b. Spored toa: = .ab

a : nb : n

Odredi go najgolemiot zaedni~ki delitel za broitelot i imenitelot na dropkata .

Skrati ja dropkata so NZD(36, 60).

36 : 260 : 2

3660

3660

35

18 : 230 : 2

9 : 315 : 3

Presmeta deka NZD(36, 60) = 12. = = .36 : 1260 : 12

3660

35

Dropkata ne moè da se skrati, bidej}i broitelot i imenitelot na dropkata se

zaemno prosti broevi. Vakva dropka se vika neskratliva dropka.

Voo~i deka edna dropka moè{ postap noda ja skrati{ do neskratliva dropka sozaedni~kite deliteli na nejziniotbroi tel i imenitel ili poednostavno,broi telot i imenitelot da gi podeli{so nivniot NZD.

35

Ako broitelot i imenitelot na edna dropka se podelat so nivniot zaedni~ki delitel(pogolem od eden), toga{ se dobiva dropka ednakva na dadenata.

Ovaa postapka se vika skratuvawe na dropkite.

Vaì op{to!

�

a) = ; b) = ; v) = ; g) = .

Vo zapisot odredi go x za dropkata da

bide neskratliva i pomala od 1.

148

Pro{iri ja so 2 i so 5 dropkata:

a) ; b) ; v) ; g) .

Skrati ja dropkata :

a) postapno; b) so NZD(90, 126).

Kolku stotinki ima sekoja od drop-

kite ; ; ; ; ?

Zada~i

1.

6.

3.

2__5

Napi{i tri dropki ednakvi na drop-

kata .

2.6__9

3__7

11__12

15__17

Koristej}i go svojstvoto za skratuvawei pro{iruvawe na dropki, odredi go x.

7.

x__7

20__28

7__9

x__54

8__x

24__33

11__17

33__x

4__5

3__10

17__20

24__25

9__50

Koi od slednive dropki se neskrat-

livi ; ; ; ; ; ?

4.3__6

2__5

17__25

21__27

29__36

111___999

90___126

Dropkite i pro{iri gi taka

{to da imaat ist imenitel.

8.3__4

5__6

Skrati gi dropkite:

; ; ; ; .

5.5__

158__

1236__54

54___144

100___120

Zapi{i gi dropkite i vo:

a) desetinki; b) stotinki.

1__2

4__5

12__18

x__3

Da pro{iruva{ dropki;

da skratuva{ dropki;

koja dropka e neskratliva.

Treba da znae{!

Odredi go x vo ravenstvoto so pomo{ na

skratuvawe na dropki. = .

x__3

Proveri se!

Problemi!

Vo edna kofa imalo voda, a vo drugavino. Napolneta e ~a{a od kofata sovino i e sipana vo kofata so voda, apotoa istata ~a{a e napolneta odkofata so me{avinata od voda i vinoi e sipano vo kofata so vino. [to imapove}e, voda vo kofata so vino ilivino vo kofata so voda?

Skrati gi dropkite: a) ; b) ; v) ; g) .7 12___16

25___50

72___90

27___999

Milica i Jovan imale vkupno 909

denari. Koga Milica potro{ila od

nejzinite pari, a Jovan potro{il

od negovite pari, toga{ i na dvajcataim ostanale ista suma pari. Po kolkudenari imale na po~etokot?

3__44__5

Potseti se!

149149149

A

Mernite broevi so koi se izrazeni pomalite merni edinici vo pogolemi se dropki.Imenitelite na ovie dropki se dekadnite edinici: 10, 100, 1 000, ...

Dropkite: , , , , , , , ... na koi imenitelite se dekadni

edinici se vikaat decimalni dropki.

Zapi{i gi slednite pomalimerni edinici kako de lovi odpogolemite:

1 cm vo dm; 5 dm vo m;

8 g vo dag; 1 cm vo m;

7 cm vo m; 1 g vo kg;

9 m vo km.

1 cm = dm; 5 dm = m; 8 g = dag; 1 cm = m; 7 cm = m;

1 g = kg; 9 m = km.

1

So koi merni edinici merime dol`ina,a so koi masa?

Kako se vikaat broevite: 1, 10, 100,1 000, ...?

Zapi{i gi slednite pogolemi merniedinici vo pomali:1 dm vo cm; 5 m vo dm; 8 dag vo g;1 m vo cm; 7 m vo cm; 1 kg vo g;9 km vo m.

1__10

1__10

5__10

8__10

1___100

7___100

1_____1 000

9_____1 000

1_____1 000

9_____1 000

5__10

8__10

1___100

7___100

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto:

Voo~i i zapomni!

Decimalna dropka mo`e skrateno da se zapi{e bez imenitel vo zapis nare~endecimalen zapis ili decimalen broj.

Decimalna dropkaSe zapi{uva vodecimalen broj

Se ~ita decimalniot brojRazgledaj gi

primerite!0,1 Nula celi i 1 desetinka

1__10

0,5 Nula celi i 5 desetinki5__

10

0,01 Nula celi i 1 stotinka

1 1,3 Edno celo i 3 desetinki3__

10

1___100

DECIMALNA DROPKA. DECIMALEN BROJ6

Dropkata sodr`i 2 stotinki i 9 iljadinki ili 29 iljadinki.

se zapi{uva 0,029 i se ~ita: nula celi i 29 iljadinki.

2 = 2,17; 3 = 3,009.

150150150 U{te nekolku primeri:

35___100

35___100

35___100

30___100

5___100

3__10

5___100

30 + 5______100= = + = +

Dropkata sodr`i 3 desetinki i 5 stotinki, t.e. 35 stotinki.

se zapi{uva 0,35 i se ~ita nula celi i 35 stotinki.

29_____1 000

29_____1 000

29_____1 000

20_____1 000

9_____1 000

2___100

9_____1 000

20 + 9______1 000= = + = +

324____100

24____100= 3 se zapi{uva 3,24 i se ~ita 3 celi i 24 stotinki.

7____100

2 se zapi{uva 2,07 i se ~ita 2 celi i 7 stotinki.

Decimalnite dropki 2 i 3 da gi zapi{eme kako decimalen broj.

Voo~i go i zapomni go na~inot na zapi{uvawena decimalna dropka vo decimalen broj.

17____100

9_____1 000

17___100

9_____1 000

Za:

Prvo se zapi{uvaat celite. 2 3

Se zapi{uva zapirka, koja se vika decimalna zapirka. 2, 3,

Se zapi{uva broitelot na decimalnata dropka, ako toj ima tolku cifri kolku {to ima nuli vo imenitelot.

Vo vtorata dropka pred broitelot zapi{uvame dve nuli. Broi telot treba da ima tolku cifri kolku {to ima nuli imenitelot.

2,17 3,009

17____100

2 39_____

1 000Postapka

151Zapi{i gi kako decimalni broevislednite decimalni dropki:

; ; ; 3 ; 15 .

2

3__10

25___100

9___100

79_____1 000

3_____1 000

Da zapomnam! Sekojadecimalna dropkamo`am da ja zapi{amkako decimalen broj.

0,5 : nula celi i 5 desetinki;

3,14 : tri celi i 14 stotinki;

17,005 : sedumnaeset celi i pet iljadinki.

B Pro~itaj gi slednite decimalni broevi: 0,5 ; 3,14 ; 2,03 ; 17, 005.

Decimalnata zapirka go deli decimalniot broj nadva dela.

Delot pred zapirkata se celite.

Delot po zapirkata se vika decimalen del.

Mestata na cifrite vo decimalniot del sevikaat decimalni mesta, a cifrite se vikaatdecimali.

Decimalniot broj 3,14 ima 3 celi i dve decimali.

Zapi{uvaweto na decimalnite broevi e prika`ano vo slednata tabela, na primerot

12 = 12,017.

3

3 , 14decimali

desetinki

celi

stotinki

17_____1 000

KLASAILJADI

KLASAEDINICI

SI DI EI S D E

1 2

DE

SE

TI

NK

I

ST

OT

IN

KI

IL

JAD

IN

KI

DE

SE

T-

IL

JAD

IN

KI

ST

O-

IL

JAD

IN

KI

MI

LI

ON

IN

KI

0 1 7,CEL DEL DECIMALEN

DELDECIMALNA

ZAPIRKA

Zapi{i go decimalniot broj 3,25 kako decimalna dropka.

Pro~itaj go i zapi{i go so zborovi brojot 3,25.

4

Voo~i ja postapkata:

�

��

�

�

� ��

152

Decimalen broj e poseben zapis nadecimalna dropka;

da zapi{e{ decimalna dropka vodecimalen broj i obratno;

pravilno da ~ita{ decimalni broevi.

Zapi{i i pro~itaj decimalen broj kojima 23 celi i 105 za decimalen del.

Zapi{i 7 vo decimalen broj i 0,012

vo decimalna dropka.

3___100

Treba da znae{!

Koi od slednite dropki se decimalnidropki:

Zapi{i tri decimalni dropki so bro-itel 13, a razli~ni imeniteli.

Kolku celi i kolku decimali imadecimalniot broj:

a) 36,08; b) 3,0031; v)138,05?

Zapi{i gi decimalnite dropki vodecimalni broevi:

Pro~itaj gi decimalnite broevi:

a) 2,03; b) 12,015; v) 0,0035.

Zapi{i gi vo decimalni dropki sled -nite decimalni broevi:

a) 0,2; b) 1,05; v) 4,003; 1,0017.

Zada~i

1.

2.

3.

4.

5.

6.

3__10

7___200

131___200

6____1 000

a) ; b) ; v) ; g) ; d) ?12____

1 0016___

1009___

10029_____

1 0003____

1 000a) ; b) 2 ; v) 11 ; g) 14 .

Treba da dobie{: Tri celi i25 stotinki.

Dobieniot tekst zapi{i gokako decimalna dropka.

Voo~uva{ deka: Decimalen broj se zapi{uva vo vid na decimalna dropka na sledniotna~in:

Celite od decimalniot broj se zapi{uvaat za celi na dropkata.

Decimalniot del se zapi{uva za broitel na decimalnata dropka.

Za imenitel se zapi{uva dekadna edinica so tolku nuli kolku {to ima decimali.

Da zapomnam: Decimalen broj sezapi{uva vo decimalna dropkaspored pravilnoto ~itawe.

Treba da dobie{:

Re{eni primeri:

25___100

3 .

5__10

0,5 = ;32___

1001,32 = 1 ;

17____1 000

12,017 = 12 ;

Proveri se!

153

Zapi{i gi decimalnite dropki vo deci -malni broevi.

1 Dropkata pro{iri ja so 10,

100 i 1 000.

3__10

Treba da go dobie{ slednoto re{enie:

3__10

30___100

3 ⋅ 10______10 ⋅ 10

= = ;3__

10300_____

1 0003 ⋅ 100______

10 ⋅ 100= = ;

APotseti se!

SVOJSTVA NA DECIMALNITE BROEVI7

Dropkata pro{iri ja so 10, a

potoa so 100.

Dropkata skrati ja so 10.

2__10

30___100

Decimalnite broevi se ednakvi, a se razlikuvaat po toa {to od desnata strana imaatpo edna ili pove}e nuli.Toa e edno svojstvo na decimalnite broevi.

Brojot 5 zapi{i go vo vid na dropka so imenitel 1.

Taa dropka pro{iri ja so 10, 100 i 1 000.

Dobienite dropki zapi{i gi vo decimalni broevi.

Decimalnite broevi zapi{i gi taka {to da imaatist broj decimali:

a) 0,8 ; 4,25 ; 28,05 ; 6,028; b) 2,3 ; 0,03 ; 23,012 ; 5,4207.

Moè{ da zapi{e{:

Voo~i!

3__10

300_____1 000

3 000______10 000

30___100

= = = , t.e. 0,3 = 0,30 = 0,300 = 0,3000.

Decimalniot broj ne se menuva ako od desnata stra -na mu se dopi{at kolku bilo nuli.

Sekoj priroden broj moè da se zapi{e kako decimalen broj na toj na~in {to seoddeluva so zapirka i se dopi{uvaat nuli kako decimali.

2

3

5 = .

Voo~uva{ deka:

5__1

= = 5,0;5 ⋅ 10_____1 ⋅ 10

50___10

= = 5,00;5 ⋅ 100______1 ⋅ 100

500___100

= = 5,000.5 ⋅ 1 000________1 ⋅ 1 000

5 000_____1 000

Toa {to go voo~i za brojot 5, vaì za koj bilo priroden broj.

� �

154

Si go dobil re{enieto: Voo~i ja istata postapka za dropkata .3 200_____1 000

Izostavi gi nulite, taka {to decimalnite bro -evi da ne ja promenat vrednosta:a) 2,90; b) 0,03500; v) 1,0030; g) 28,102000; d) 7,0.

Dali }e se promeni decimalniot brojako od desnata strana mu dopi{e{,odnosno izostavi{, edna ili pove}enuli;

da zapi{e{ priroden broj vo decima -len.

Zapi{i gi broevite 1,2 ; 15 i 0,40 sotri decimali.

Izostavi gi nulite vo broevite, a niv -nata vrednost da ne se promeni.

a) 3,0250; b) 12,00; v) 0,10200.

Broevite: 1,300; 0,5; 23; 1 000 zapi {igi so dve decimali.

Dali }e se promeni vrednosta na bro -jot 1,05 ako se izostavi nulata i sezapi{e 1,5?

Vo decimalnite broevi: 0,5000; 0,5020;1,2020300 izostavi gi site nuli, a tieda ne ja promenat vrednosta.

Broevite; 8; 1,2; 3,25 zapi{i gi taka{to da imaat po tri decimali.

Decimalen broj koj oddesno ima nuli, ne se me -nuva, ako tie se izostavat.

6

Treba da znae{!

Zada~i

1.

2.

3.

4.

4

80___100

Zapi{i gi prirodnite broevi 6, 12 i 135 kako decimalni broevi

a) so edna decimala; b) so dve decimali.

5 Decimalnata dropka skrati ja so 10.

Dadenata i skratenata dropka zapi{i gi kako decimalni broevi.

B

� = . = ; 0,80 = 0,8.80___

10080 : 10_______100 : 10

8___10 � = . = ; 3,200 = 3,2.

3 200 : 100__________1 000 : 100

32___10

3 200_____1 000

Proveri se!

Problem!

Bratot i sestrata imaat ist broj orevi.Bratot £ dal na sestrata ~etiri orevi.Kolku orevi ima sestrata pove}e odbratot?

i 2 pretstavi gi na brojna prava.

Koe rastojanie go delime na 10 ednakvi delovi za da go pretstavime decimalniot

broj 1 ? Kako }e ja odreduvame to~kata {to mu odgovara?

Dropkata moè da se skrati so 10, t.e. = . Kako }e ja odredime to~kata na

brojnata prava {to mu odgovara na brojot 2 ?

155PRETSTAVUVAWE NA DECIMALNITE BROEVI

NA BROJNA PRAVA. SPOREDUVAWE NA DECIMALNITE BROEVI

8

Potseti se!

Pretstavi go na brojna prava brojot 2 .2__4

Kako se sporeduvaat prirodnite broevi:

a) so razli~en broj cifri;

b) so ist broj cifri?

A Decimalnite dropki: , 118__

104___

10030___

100

8__10

8__10

4__10

Razgledaj go re{enieto!

Voo~i! 0 1 2 31,40,8

130___100

2,3

2

��

Decimalnite broevi gi pretsta vu vame na brojna prava na ist na~in kako i dropkite.

Decimalniot broj 0,8 go zapi{uvame kako decimalna dropka, t.e. 0,8 = .

Rasto ja nieto od 0 do 1 go delime na 10 ednakvi delovi i decimalniot broj 0,8 go pridru ̀ uvame na to~kata {to go ozna~uva osmiot del.

4__10

30___100

30___10030___

100

3__10

Moàm da zaklu~am! Sekojdecimalen broj moè da sepretstavi na brojna prava.

Odredi to~ki na brojnata prava (A,Vi S), na koi im se pridruèni deci -malnite broevi: 0,2; 1,9 i 3,00.

2

3 Na brojnata prava se dadeni to~kite A,V, S i D. Odredi go brojot {to moè dase pridruì na sekoja od to~kite. 0 1 2 3 4

DCBA

Decimalnata dropka pro{iri ja so 10. Potoa, dropkata

pro{iri ja so 10 i dropkata pro{iri ja so 10.

1__10

1_____1 000

1___1004B

Dobienite dropki od pro{iruvaweto zapi{i gi vo decimalni broevi.

Sporedi gi broevite: 2,01 i 1,86; 6,29i 6,172; 9,121 i 9,101; 0,1031 i 0,1028.

Pretstavi gi na brojna prava slednite

broevi: 0,6; 1,7; 3 .

Zada~i

1. 2.40___

100

156Razgledaj go re{enieto i voo~i go toa {to e zaklu~eno.

Op{to

Sporedi gi decimalnite broevi: a) 18,43 i 19,15; b) 35,6 i 35,49; v) 4,1001 i 4,101.

Da pretstavuva{ decimalni broevi na brojna prava;

od decimalnite broevi {to imaat razli ~ ni celi,pogolem e onoj {to ima pogolem broj celi;

ako decimalnite broevi {to se sporedu vaat imaatisti celi, pogolem e onoj {to ima po golemdecimalen del;

ako dva decimalni broja imaat isti celi i ednakovdecimalen del, toga{ tie se ednakvi.

Sporedi gi decimalnite broevi: a) 7,2 i 9,3; b) 12,8 i 12,4; v) 15,369 i 15,38.

= ; = ; = , t.e. 0,1 = 0,10; 0,01 = 0,010; 0,001 = 0,0010.

Toa {to go zaklu~i, koristi go za sporeduvawe na decimalni broevi.

1__10

10___100

1___100

10_____1 000

1____1 000

10______10 000

Edna desetinka ima 10 stotinki; edna stotinka ima 10 iljadinki itn.

5

6

Pri sporeduvawe na dva decimalni broja prvo se sporeduvaat celite.

Broevite 7,2 i 9,3 imaat razli~ni celi, t.e. 9 > 7, spored toa 9,3 > 7,2.

Kaj broevite koi imaat isti celi, se sporeduva decimalniot del.

Broevite 12,8 i 12,4 imaat isti celi, no razli~en decimalen del, t.e. 8 > 4. Sporedtoa 12,8 > 12,4.Brojot 15,38 ima pogolem decimalen del od brojot 15,369, bidej}i 38 stotinki e 380iljadinki, a 380 > 369. Spored toa, 15,38 > 15,369.

Treba da znae{!

Na brojna prava pretstavigi decimalnite broevi 0,5i 1,400.

Sporedi gi decimalnitebroevi:

a) 25,9 i 26,3;

b) 17,2002 i 17, 202;

v) 14,101 i 14,1010.

Pozi ci onata vrednost na sekoja ci fra vo deci mal niot del e 10 pati pogolema odpozi cio na ta vrednost na cifrata zad nea.

�

�

�

Proveri se!

Problem!

Koj znak treba da se postavi me|u broevite 2 i 3 za da se dobie broj pogolem od 2, apomal od 3?

157Podredi gi po golemina (po~ -nuvaj}i od najmaliot) broe-

vite: 0,05; 0,050; 5; .

Na brojnata prava, na to~kata A £ epri dru`en brojot 131,102, a na to~kataV brojot 131,120. Koja od ovie to~ki epoblisku do to~kata na koja £ odgovarabrojot 100?

3. 4.

5_____1 000

VIDOVI DIJAGRAMI. IZBOR NA DIJAGRAM9

Zelen~ukovi gradini

Domati

Zelen~ukGradinata

na MajaGradinata

na Ana

2__5

1__6

1 Maja i Ana imaat zelen~ukovi gradini ednakvi po golemina. Sekoja posadila vogradinata domati, piperki i zelka.Vo tabelata se dadeni podatocite za delot od gradinite zasaden so razli~en vidzelen~uk.

Kolkav del od gradinata na Maja bilposaden so zelen~uk?

Kolkav del od gradinata na Ana bil po-saden so zelen~uk?

Piperki1__

101__3

Zelka1__5

4__12

Kolkav del od dvete gradini ostanalneposaden?

Vo ~ija gradina neposadeniot del e pogolem?

Prvo pretstavi gi podatocite na stolbesti dijagrami.

Skalite na dijagramite neka se: edno celo podeleno na 10 ednakvi delovi i ednocelo podeleno na 12 ednakvi delovi;

Formiraj gi stolbovite, no vnimavaj: = ...2__5

4__10


Vo tabelata se dadeni podatoci za tempera turite vo 5 dena, mereni tripati na den.2

Dijagramot prikaàn na crteòt se vikasektorski dijagram. Sektorskiot dijagrampokaùva soodnos me|u delovite od celoto.

158

Omilena hrana

Vo VI2 oddelenie vo edno u~ili{te ima 32 u~enici. Odgovorite na pra {a weto za

omileniot vid hrana se zapi{ani vo tabelata.

Site u~enici pretstavuvaat edno celo.(Pretstavi go so krug, kako na crteòt.)

Podeli go krugot na 2 polovini.

Oboj ja ednata polovina zeleno, a drugata podelija na dva ednakvi delovi (~e tvrtini).

Oboj gi ~etvrtinite.

So koja boja e oboen delot od u~enicite {tosakaat zelen~uk?

3

Vid nahrana

Zelen~uk

Ovo{je

Meso

Broj nau~enici

Del odceloto

16

8

8

1__21__41__4

Omilena hrana na32 u~enici

1__2

Zelen~uk

1__4

Ovo{je

1__4

Meso

Vo edna paralelka ima 28 u~enici.

Sok od limon sakaat od u~e ni -

cite, a od borovinki sakaat od

u~nicite.

Za vreme na eden izlet od u~eni ci -

te igrale krienka, od u~enicite

igrale fudbal, tr~ale niz {umata,

a ostanatite sobirale {umski plodovi.

So pomo{ na sektorski dijagram pretstavigi podatocite:

3__4 1__

4

1__6

2__61__

6

4

So dijagrami se pretstavuvaat podatoci na razni na -~ini. Dijagramite se lesni za ~itawe i ra zbi rawe.Ima razni vidovi dijagrami: stolbest, slikoven,sektorski, a sekoj od niv ima prednosti i nedo sta -toci. Voo~i!

Ova e interesno!Ako saka{ pove}eda znae{.

Koja e prose~nata temperatura voponedel nik?

Koj den i vo kolku ~asot tempe ratura -ta e najvisoka?

Kolkava e prose~nata temperatura vopette dena napladne?

Koj den ima najgolema temperaturnarazlika?

Ponedelnik 18 oS 24 oS 23 oS

Vtornik 23 oS 29 oS 23 oS

êtvrtok 15 oS 17 oS 22 oS

Petok 17 oS 22 oS 20 oS

Nedela 22 oS 28 oS 25 oS

Temperaturi vo 5 denovi

Denovi 7 ~asot 12 ~. 19 ~.

1593035

2025

1510

50

F K R G

Bro

j na

u~en

ici

SportF - fudbal; K - ko{arka;

R - rakomet; G - gimnastika

Stolbest dijagram

Prednosti:

lesno se ~itaat podatocite;

☺

Nedostatoci:

ako stolbovite se so bliska golemina te{ko se~itaat podatocite;

�ednostavno se sporeduvaat goleminite.

zavisno od skalata moè da se dobie pogre{envpe~atok na golemite razliki.

Omilen sport

FKRG

Eden znak ozna~uva 2 u~enika

Prednosti:

lesno se ~itaat podatocite;

☺

Nedostatoci:

Za da se pokaè to~en brojmora da se koristat deloviod simboli i znaci;

�ednostavno se sporeduvaat.

za da se utvrdi to~en broj mo rada se presmetuva.

Omilen sport

Slikoven dijagram

Sektorski dijagram

Prednosti:

odli~no se sporeduvaat celoto i delovi od celoto.

☺

Nedostatoci:

te{ko e da se koristi koga delovite od celoto se mali.

�

Kompju

ter

Sport Muzika

îtaw

e

Film

Vo tabelata se dadeni podatocite za toa kako Miki go pominuva vremeto vo edenden (24 ~asa).

Zapi{i gi prednostite i nedostatocite na sekoj od na~inite na koj se pretstavenipodatocite za toa kako Miki go pominuva vremeto.

Pretstavi gi podatocite so stolbestdijagram.

Pretstavi gi podatocite so slikoven

dijagram kade {to pretstavuva 2 ~asa.

Obidi se podatocite da gi pretstavi{ na sektorski dijagram.

5

6

U~ili{te

U~ewe

Spiewe

Jadewe

Igrawe

Denot na Miki

Denovi Vreme vo ~asovi

6

3

9

2

4

160

1 Mimoza kupila 2,37 m crvena lenta i1,52 m sina lenta za pa kuvawe na novo -godi{ni po daroci. Kolku metri lentavkupno kupila Mimoza?

Treba da presmeta{: 2,37 m+ 1,52 m

Raboti spored slednite barawa i voo~i go re{a-vaweto.

Pretstavi gi mer ni -te broevi kako de -cimal ni dropki.

Odredi go nivniotzbir.

Zbirot pretstavi gokako decimalen broj.

Voo~uva{ deka:

2,37 = ;237___100

+ =

= 3,89

237___100

152___100

389___100

389___100

1,52 = .152___100

2,37+ 1,52

3,89

Voo~i go re{avaweto na zada~ata na drug na~in.

2,37 m = 237 cm; 1,52 m = 152 cm

389 cm = 3,89 m

237 cm+ 152 cm

389 cm

Pretvori gi metrite vo centimetri

Odredi go zbirot na dol`inite nalentite (vo centimetri)

Pretvori go zbirot vo metri

Voo~i i zapomni!Poprakti~no

Decimalni broevi se sobi -raat kako {to se sobiraati prirod ni broevi. Pritoatreba deci malnite zapirkivo sobirocite i vo zbi rotda bidat na ista ver ti kal -na prava.

E d s,2 3 7,1 5 2,3 8 9,

+

Desetinki pod

destinki, stotinki

pod stotinkiEdinici podedinici

A

SOBIRAWE NA DECIMALNI BROEVI10Potseti se!

Pretstavi gi kako decimalnibroevi dropkite:

, i 6

Brojot 2047,0138 zapi{i go vo tabela.

Kolku centimetri ima vo 2 m?Kolku ima vo 3 m? A kolkuima vo:

a) 2,5 m? b) 2,6 m? v) 2,58 m?

3____1 000

156___10

3___100

EI S D E d s i di si,�

�

�

�

�

�

�

161

Potseti se!

��

�

�

�

+

D E d s i,

4 2 6,

Voo~i kako e presmetanzbirot na broevite 42,6i 5,931.

Na prakti~en na~in presmetaj:134,62 + 0,691.

Avtobus prviot ~as pominal 62,3 km, vtoriot ~as po -minal 4,62 km pove}e od prviot ~as. Kolku kilometripominal avtobusot za dvata ~asa?

Za da presmeta{ zbir na decimalni broevitreba da gi zapi {e{ eden pod drug, i toa:

celi pod celi (edinici pod edinici, desetkipod desetki itn.);

decimali pod decimali (desetinki poddesetinki, sto tinki pod stotoinki itn.);

decimalnite zapirki na sobirocite i na zbirotda bidat na ista vertikalna prava;

cifrite na zbirot odredi gi na ist na~in kakokoga sobi ra{ prirodni broevi.

Prakti~no

Poprakti~no2

3

5 9 3 1,

1 1 5 3 1

4 8 5 3 1,

42,6+ 5,931

48,531

1

Proveri dali e to~no:362 + 8 = 8 + 362;4 + 168 + 6 = 4 + 6 + 168;174 + 0 = 0 + 174;(72 + 56) + 44 = 72 + (56 + 44).

Koi svojstva na sobiraweto na prirodni broevi gi iskoristi?

Pretstavi go kako decimalen broj brojot 15.

Proveri dali e to~no:

0,54 + 3,2 = 3,2 + 0,54

Presmetaj gi zbirovite:

Zbirot na dva decimalni broja ne se menuvaako sobirocite gi promenat mestata.

4

0,54+ 3,2

3,2+ 0,54i

B

Ova e komutativno svojstvo na sobirawetodecimalni broevi.

Izrazot (3,4 + 12,9) + 4,2 ima

vrednost 16,3 + 4,2 = 20,5

Presmetaj ja vrednosta na izrazot 3,4 + (12,9 + 4,2).Dobienata vrednost sporedi ja so vrednosta 20,5 na prethodniot izraz.

5

Za sobiraweto na decimalni broevi va`i asocijativnoto svojstvo.

Iska`i go!

162

Da presmeta{ zbir na decimalni bro evi, za -pi{ani vo red ili, pak, eden pod drug;

da zapi{e{ priroden broj kako deci malen ida presmeta{ zbir na priro den i decimalenbroj;

da gi koristi{ komutativnoto i asocijativ -noto svojstvo za olesnuvawe pri sobirawetona decimalni broevi;

Deka zbirot na decimalen broj i 0 e ednakovna decimalniot broj.

Presmetaj: 03,4 + 4,2; 56,37 + 2,8;9,24 + 12.

Proveri dali e: 6,7 + 2,4 = 2,4 + 6,7.Iska`i go komutativnoto svojstvona sobiraweto decimalni broevi.

Presmetaj 6,4 + (12,8 + 3,6) i (6,4 + 12,8) + 3,6. Sporedi gidobienite rezultati. Iska`i goasoci jativnoto svojstvo nasobiraweto decimalni broevi.

Treba da znae{!

Brojot 5,6 zgolemi go za 2.

Treba da go presmeta{ zbirot na broevite 5,6 i 2.

Pretstavi go brojot 2 kako decimalen broj.

Zapi{i gi sobirocite eden pod drug i presmetaj go zbirot.

6

7

Decimalen broj se sobira so priroden broj taka{to prirodniot broj }e se pretvori vo deci ma -len broj, a potoa dvata broja }e se soberat.

7 - priroden broj

7,0

7,00

decimalnibroevi

Presmetaj: 15,6 + 0 0 + (2,6 + 4)Zbirot na deci-malen broj i nulae ednakov na de-cimalniot broj.24,8

+ 0,024,8

Brojot 100,075 zgolemi go za:a) 63,3; b) 5;v) zbirot na broevite 4,78 i 56,3;g) 0.

Zada~i

1.

Proveri se!

Presmetaj:

5,6 + 25,8 =

0,142 + 6,71 =

4 + 4,48 + 4,886 =

362,003 + 54 + 0,72 =

2.

Re{i gi ravenkite

x - 156,6 = 1,54; x - 4,0245 = 0,81.

3.

Padobranec pa|a 4 s so zatvoren pa -dobran. Vo prvata sekunda preletal4,9 m, a vo se koja naredna sekunda po9,8 m pove}e. Kolku metri preletalza tie 4 s?

Zapi{i ~etiri broja od koi prviot e3,69, a sekoj nare den e za 3,69 pogolemod prethodniot.

4.

5.

}

163ODZEMAWE NA DECIMALNI BROEVI11Potseti se!

Presmetaj: + 6 + .3___

1001___

100

Presmetaj: - ;

;

841___100

523___100

24___100

Proveri dali: =7__

1070___

100

a)

- 0.263___100

v)

-612___10

549___10

b)

Presmetaj: 2,78- 0,24

1

Postapi spored slednite barawa

Pretvori gi decimalnite broevi vo

decimalni dropki: 2,78 =

Odredi ja nivnata razlika:

Pretvori ja dobienata razlika vo decima -

len broj:

278___100

24___100

; 0,24 = .

278___100

- = .24___

100254___100

= 2,54.254___100

A

Da zapomnam:Deci malni bro evise od zemaat kako{to se odzemaatpriro dni broevi.

Pri zapi{uvaweto edenpod drug treba decima l -nite za pirki na nama le -ni kot i namalitelot dabidat na ista verti kal -na prava.

Pretprijatieto „Gradinar” odnelo na pazar 2,745 t kompiri, a prodalo 1,423 t.Kolku toni kompiri ostanale neprodadeni?

2

Zna~i: 2,78- 0,24

2,54

�

�

�

Koi broevi treba da se odzemat? 2,745 t - 1,423 t, t.e.

Pretvori gi tonite kompiri vo kilogrami.

Odzemi gi mernite broevi {to gi poka`uvaatkilogramite.

Pretvori go vo toni dobieniot ostatok.

2,745 t = 2745 kg; 1,423 t = 1423 kg.

Ostatokot e: 1322 kg = 1,322 t.

2,745- 1,423

2 745- 1 423

1 322

Treba da se odzeme prodadenoto koli~estvo kompiri od vkupnoto.

��

�Zapi{i gi decimalnite broevi eden poddrug i presmetaj ja razlikata.

2,745- 1,423

1,322�

164

Za da presmeta{ kolku kilometri treba da pomine pe{akot, treba pominatiotpat da go odzeme{ od vkupnata dol`ina na patot.

Pe{akot treba da pomine 12 km. Prviot ~as pominal 4,28 km. U{te kolku kilometrimu ostanale da pomine?

namalenikot 12 zapi{i go kako deci -malen broj (so dve nuli zad decimal -nata zapir ka);

zapi{i gi decimalnite broevi edenpod drug i izvr{i go odzemaweto.

Brojot 29,563 namali go za 15.

Od decimalen broj treba da odzeme{ priroden broj. Postapi na sledniot na~in:

namalitelot 15 zapi{i go kako decimalen broj so 3 nuli kako decimali;

zapi{i gi dvata decimalni broja eden pod drug i izvr{i go odzemaweto.

Da zapomnam: Pri odzemawena priroden broj i deci ma -len broj, prirodniot broj sezapi{uva kako decimalenbroj so onolku nuli kolku{to ima decimali deci -mal niot broj.

Za da ja presmeta{ razlikata na dva decimalni brojatreba da gi zapi{e{ eden pod drug, i toa:

celi pod celi (edinici pod edinici, desetki pod de-setki itn.);

decimali pod decimali (desetinki pod desetinki, sto-tinki pod stotinki itn.);

decimalnite zapirki na namalenikot, namalitelot i razlikata da bidat na ista vertikalna prava.

Cifrite na razlikata odredi gi na ist na~in kako {to se odreduvaat pri odzemawe na prirodni broevi.

Prakti~no:

27,48- 0,36

27,12d

eset

inki

pod

de-

seti

nki,

sto

tink

ipo

d s

toti

nki

nasoka naodzemaweto

cel

i po

dce

li

3

4

Izvr{i go slednoto:

�

�

�

�

�

�

��

Presmetaj 6,84 - 0.

Postapi spored slednite barawa.

Pretstavi go namalenikot kako decimalen broj i izvr{i go odzemaweto.

Dobienata razlika pretvori ja vo decimalen broj.

5 Da zapomnam: Pri od zemawe na 0 oddeci malen broj kako raz lika sedobiva istiot toj decimalen broj.

5,2- 0,0

5,2

165Proveri se!Pravilno da gi zapi{uva{ nama leni kot inamalitelot eden pod drug i da go izvr {uva{odzemaweto;

koga namalenikot ili namalitelot e pri ro -den broj, nego treba da go pret sta vi{ kakodecimalen broj so onolku nuli kolku {to imadecimali deci malniot broj;

odzemaweto da go izvr{uva{ oddesno nalevo;

koga namalitelot e 0, razlikata e ednakva nanamalenikot.

Treba da znae{!

Presmetaj:

a) 6,27 - 5,12; b) 43,7 - 5,849.

Brojot 7 namali go za 0,7.

Brojot 6,5 namali go za 5.

Zbirot na broevite 8 i 8,8 namaligo za 0.

Presmetaj:

26,3 - 5,2 5,96 - 4,87

1042,07 - 148,396 343 - 3,27

5,68 - 2 846,825 - 0

Za kolku e:

56,62 pogolem od 46,31?

100 pomal od 301,62?

54 pogolem od 25,64?

3,8 pogolem od 0?

Vodovodna cevka {to ima dol`ina6 m e podelena na 3 dela. Dol`initena dvata dela se: 3,2 m i 2,46 m.Kolku metri e tretiot del?

Brojot 64 zgolemi go za razlikata nabroevite 6,4 i 4,64.

Namalenikot e 24,6, a razlikata e2,6. Odredi go namalitelot.

Namalitelot e 6,2, a razlikata e2,6. Odredi go namalenikot.

Razlikata e 64,3. Taa e za 3 pogo -lema od namalitelot. Odredi gonamalenikot.

Masloto i {i{eto zaedno imaat 1,23 kg.[i{eto ima masa 462 g. Kolku kilogra-mi e masata na masloto?

Zada~i

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Problemi!

Zbirot na eden dvocifren priroden broj i eden decimalen e 26,3.Milica pri sobi raweto na tie broevi decimalnata zapirka vodecimalniot broj pogre{no ja posta vila za edno mesto vo levo idobila zbir 13,43. Koi broevi gi sobirala Milica?

Potseti se!

166 MNO@EWE NA DECIMALNI BROEVI12

Pomesti se vdesnoza edno mesto!

Presmetaj usno:

1 ⋅ 0,06; 10 ⋅ 0,06; 100 ⋅ 0,06; 1 000 ⋅ 0,06; 10 000 ⋅ 0,006.

Pretvori gi kilome-trite vo metri.

Presmetaj go proiz-vodot so 10 (vo metri).

Proizvodot pretvorigo vo kilometri.

Voo~uva{ deka vo pro-izvodot decimalnatazapirka e pomestenanadesno za edno mesto.

So kalkulator se dobiva:

Da zapomnam: Deci-malen broj se mnoìso 10 taka {to de -cimalnata zapirkana toj broj se pome -stuva nadesno zaedno mesto.

Presmetaj go proizvodot na brojot 1,438 so 10, 100 i 1000.Moè{ da koristi{ kalkulator (kade {to namesto decimalna zapirka imadecimalna to~ka, a namesto znakot “⋅” ima “h”).

Pri mnoèwe na decimalen broj so 10, 100, 1000, ... negovata decimalna zapirka sepo mestuva soodvetno za edno, dve, tri, ... mesta nadesno, odnosno za onolku mestanadesno kolku {to ima nuli dekadnata edinica.

3,635 km = 3635 m.

3635 m ⋅ 10 = 36350 m.

36350 m = 36,35 km

36,35 km ⋅ 10 = 363,5 km

Pe{ak za 1 ~as pominuva 3,635km. Kolku kilometri }e pomineza 10 ~asa ako se dviì bezzastanu va we i so ista brzina?

Treba da presmeta{ 3,635 km ⋅ 10.

1

Voo~i gi ~ekorite i re{avaweto.

2

1 0 x 1 . 4 3 8 =

1 0 0 x 1 . 4 3 8 =

1 0 0 0 x 1 . 4 3 8 = 1438.

143.8

14.38

Voo~i!

3

Presmetaj:10 ⋅ 526; 100 ⋅ 526; 1000 ⋅ 526.

Objasni {to se slu~uva so brojot na nu li -te vo proizvodot pri gornite mnoèwa.

A

�

�

�

�

�

�

�

Potseti se! 167êkorot na Zoran ima0,74 m. Kolku metripominal Zoran koganapravil 4 ~ekori?

Treba da presmeta{ 4 ⋅ 0,74 m.

Decimalen broj se mno -ì so priroden broj ta -ka ka ko {to se mnoàtpri ro dni bro evi.Brojot na de ci malite vopro izvodot e edna kovso brojot na de cimalitevo decimal ni ot broj.

Pretvori gi dolìnite na stranite na pravoagolnikot vo milimetri.

Presmetaj go proizvodot na brojot 9 so broevite

2400,8; 5612,9; 428,27; 20,3; 0,9.

Presmetaj ja plo{tinata na pravoagolnikot (vo kvadratni milimetri).

Pretvori ja plo{tinata vo kvadratni centimetri.

4,6 cm = 46 mm3,2 cm = 32 mm

46 ⋅ 32 = 1472R = 1472 mm2

R = 14,72cm2

Spored formulata za plo{tina na pravoagolnik (R = a ⋅ b), treba da go odre -di{ proizvodot na mernite broevi 4,6 i 3,2 i da go zapi{e{ vo kvadratnicentimetri.Voo~i gi barawata i na~inot na re{avaweto:

Presmetaj ja plo{tinata R na pravoagolnik so strani a = 4,6 cm i b = 3,2 cm.

0,74 m = 74 cm

4 ⋅ 74 cm = 296 cm

296 cm = 2,96 m

4 ⋅ 0,74 m = 2,96 m

Presmetaj:2,3 + 2,3 + 2,3.Kako moè{ skrateno da go zapi{e{ovoj zbir?

Proveri dali e 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 = 2,1?

4

Raboti spored slednite barawa i voo~uvaj.

Zapomni!

Pretvori gi metrite vo centimetri.

Izvr{i go mnoèweto so 4 (vo cm).

Proizvodot pretvori go vo metri.

Voo~i kako e dobien proizvodot.

5

6

Voo~i gi nepresmetaniot i presmetaniot proizvod na mernite bro -evi i objasni kako se mnoàt decimalni broevi.

4,6 ⋅ 3,2 = 14,72

Dva decimalni broja se mnoàt taka kako {to se mnoàt prirodni broevi,a vo proizvodot se oddeluvaat onolku decimalni mesta kolku {to imaatdecimali dvata mnoìteli zaedno.

B

V

��

�

�

��

�

Potseti se!

168

Presmetaj: a) 3,76 ⋅ 0; (5,2 + 8,03) ⋅ 0; 5,6 - 0 ⋅ 0,3;

b) 9,8 ⋅ 1; (7 - 0,4) ⋅ 1 ; 2,3 + 1 ⋅ (8,7 + 2)

Presmetaj: 7,04 ⋅ 20,6; 20,6 ⋅ 7,04

0,2 ⋅ 0,03 = 0,006

Zo{to ima dve nuli pred cif-rata 6?

Brojot na deci ma -li vo pro iz vodote 3, a ima samoedna ci fra (ci -frata 6). Za toa,dvete deci malnimesta se do pol -nuvaat so nuli.

Proizvodot na dva decimalni broja ne se menuva akomnoìtelite gi razmenat svoite mesta, t.e. za koibilo dva decimalni broja a i b vaì:

a ⋅ b = b ⋅ a (komutativno svojstvo).

Presmetaj i sporedi gi proizvodite: 2,3 ⋅ (7,2 ⋅ 0,1) = ; (2,3 ⋅ 7,2) ⋅ 0,1 = .

Proizvodot na decimalni broevi ne zavisi od na~inot na grupi rawe na mnoì teli -te, t.e. za koi bilo decimalni broevi a, b i c vaì:

a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c (asocijativno svojstvo).

Iskaì go distributivnoto svojstvo na mnoèweto na prirodni broevi vo odnosna sobiraweto.

Proveri dali toa svojstvo vaì za decimalnite broevi 3,48; 1,01 i 5,2, t.e. dali

(3,48 + 1,01) ⋅ 5,2 = 3,48 ⋅ 5,2 + 1,01 ⋅ 5,2.

4,56 ⋅ 3,7 = 16,879

2 1 3+ =

Zbi

r na

bro

jot

na d

ecim

ali

vom

no`

itel

ite

Bro

j na

dec

i mal

ivo

pro

i zvo

dot

Presmetaj:

0,6 . 6,1 =

0,6 . 9,9 =

0,6 . (6,1 + 9,9) =

Sporedi gi rezultatite.

8

Voo~i!

9

10

11

Voo~i!

Za koi bilo decimalni broevi a, b i c vaì: (a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c; c ⋅ (a + b) = c ⋅ a + c ⋅ b(distributivno svojstvo).

G

Presmetaj: 0,04 ⋅ 0,23. Prosledi go re{enieto!7

169Voo~i!

Za koj bilo decimalen broj a e to~no: a ⋅ 0 = 0 ⋅ a = 0; a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a.

Presmetaj:

6,405 ⋅ 7 = ; 315,002 ⋅ 12 = ;

0,0063 . 3 = .

Da presmeta{ proizvod nadecimalen broj i dekadna edinica;

da presmeta{ proizvod nadecimalen broj i priroden broj;

da presmeta{ proizvod nadecimalen broj i decimalen broj;

da gi primenuva{ svojstvata namno`eweto.

Presmetaj:

a) 4,286 ⋅ 100 = ; 8000 ⋅ 0,03 = ;

b) 3,7 ⋅ 7 = ; 6 ⋅ 2,005 = ;

v) 9,6 ⋅ 3,01 = ; 0,004 ⋅ 6,03 = .

Objasni dali e to~no (bez da presmetuva{:

6,34 ⋅ 0,1 = 0,1 ⋅ 6,34;

(1,2 ⋅ 5,6) ⋅ 0,01 = (1,2 ⋅ 0,01) ⋅ 5,6 = 1,2 ⋅ (5,6 ⋅ 0,01);

(4,1 + 2,5 - 6) ⋅ 0,04 = 4,1 ⋅ 0,04 + 2,5 ⋅ 0,04 - 6 ⋅ 0,04.

Presmetaj:

0,748 ⋅ 10 = ; 10 ⋅ 9,4 = ;

3,6 ⋅ 100 = ; 100 ⋅ 10,006 = ;

0,2 ⋅ 1 000 = .

Zgolemi go 10 pati sekoj od broevite:1,8; 0,0072; 1 000,01.

Zgolemi go 1 000 pati sekoj od broe-vite: 3,4; 0,007; 96,006.

Koj broj e 2 000 pati pogolem od bro-jot 2 000,2?

Treba da znae{!

Zada~i

1.

4.

5.

6.

7.

2.

3.

Presmetaj ja plo{tinata na podot nau~ilnicata koja ima dimenzii 6,8 m i9,4 m.

Presmetaj ja vrednosta na izrazite:

2,4 ⋅ 12 + 6 ⋅ 5,412 - 16 = ;

0,004 ⋅ 25 + 6,1 ⋅ 10 + 5 = .

Odredi go proizvodot od zbirot i raz -likata na broevite 16,009 i 9,0016.

Mimoza imala 6000 denari. 0,65 od pa -rite potro{ila za rol{ui, a 0,2 za te -tratki i u~ili{ten pribor. Kolku pariñ ostanalo?

Proveri se!

Sporedi gi izrazite:

4,65 ⋅ 0,524 i 5,24 ⋅ 0,465.

Zapi{i ~etiri broja od koi prviot e1,6, a sekoj nareden e 1,5 pati pogolemod prethodniot.

8.

9.

Potseti se!

170

Voo~i go brojot na nulite vo dekadnite edinici i pomestuvaweto na decimalnatazapirka vo proizvodot. [to zabele`a?Od dobienite ravenstva odredi gi koli~nicite:

62,5 : 10 = ; 543,2 : 100 = ; 1 345,8 : 1 000 = .

62,5 : 10 = 6,25;543,2 : 100 = 5,432;1 345,8 : 1 000 = 1,3458.

Kako e pomestena zapirkata vo sekojkoli~nik spored delenikot i dekad-nata edinica?

Odredi gi proizvodite:

6,25 ⋅ 10 = ;

5,432 ⋅ 100 = ;

1,3458 ⋅ 1 000 = .

6,25 ⋅ 10 = 62,5;

5,432 ⋅ 100 = 543,2;

1,3458 ⋅ 1 000 = 1 345,8.

Odredi gi koli~nikot i ostatokot pri deleweto:

265 : 10 = ; 412 : 100 = ;

Presmetaj:

34,7 ⋅ 10 = ; 2,136 ⋅ 100 = ;

Od ravenstvoto 148 ⋅ 23 = 3 404 odredi go ko -li~nikot:

3 404 : 23 = .

1

6,2 5: 10

,Voo~i!

Presmeta deka

Koli~nik na decimalen broj i dekadna edinica (10, 100, 1 000, ...) se dobiva so pome -stuvawe na zapirkata vo decimalniot broj nalevo za onolku mesta kolku {to imanuli dekadnata edinica.

Zapomni!

Voo~iv deka: Deci -malen broj }e pode -lam so 10 taka {todecimalnata zapir -ka }e ja pomestam zaedno mesto nalevo.

Presmetaj:

34,7 : 10 = ; 257,1 : 100 = ; 17 845,32 : 1 000 = .

2

Presmetaj: 6,3 : 10 = i 3,2 : 100 = .3

A

DELEWE NA DECIMALNI BROEVI13

Ako pri pomestuvaweto na decimalnatazapirka nalevo nema dovolno mesta,toga{ se dodava potreben broj nuli.

Voo~i i zapomni!

0,63 ⋅ 10 = 6,3; 6,3 : 10 = 0,630,032 ⋅ 100 = 3,2; 3,2 : 100 = 0,032

Potseti se!

171Odredi gi koli~nicite na broevite: 2 685,7; 3,78; 12 i 0,06 so: 10,100 i 1 000.

4

Odredi gi koli~nikot i osta -tokot pri delewe na brojot:

a) 3728 so 16; b) 6412 so 24.

5 Lenta so dolìna 7,23 m razdeli ja na3 ednakvi dela. Odredi ja dolìnatana sekoj del.

Treba da presmeta{: 7,23 : 3 = .

Raboti spored barawata. Voo~i go re{avaweto.

Dolìnata na lentata pretvori ja vo centrimetri.

Presmetaj go koli~nikot vo centimetri.

Pretvori go dobieniot koli~nik vo metri.

7,23 m = 723 cm

723 cm : 3 = 241 cm12

3

241 cm = 2,41 m

Voo~uva{ deka: 7,23 : 3 = 2,41 , zatoa {to 2,41 . 3 = 7,23.

Kako moè da se presmeta 7,23 m : 3; bez da se pretvoraat metrite vo centimetri?

Raboti spored slednite barawa:

Izvr{i delewe na 7,23 so 3 ne obr -nu vaj}i vnimanie na decimalnatazapirka.

Po zavr{uvawe so deleweto vo ko -li~nikot stavi zapirka tamu kade{to si zavr{il so delewe na celoto.

7,23 : 3 = 2,41- 6

12- 12

3- 3

0

453,6 : 28 = 16,- 28

173- 168

56Prvo ja spu{ta -me pr vata de -cimala ...

...,

a po

toa

vo k

o-l

i~ni

kot

stav

a-m

e za

pirk

a.Zapomni!

Pri delewe na decimalen broj so priroden broj postapi kako da deli{ prirodnibroevi.

Koga }e ja spu{ti{ decimalata na desetinkite, toga{ vo koli~nikot stavi zapirka.

B

�

�

Presmetaj 292 : 16 bez ostatok.

Napravi go slednoto:

Pretstavi go delenikot kako decimalen broj.

Izvr{i go nazna~enoto delewe, no sega kako delewe nadecimalen broj so priroden broj.

6 56,0 : 35 = 1,6- 35

210- 210

0

Potseti se!

172

Pretvori ja dolìnata na pravoagolnikot vo de -cimetri.

23 cm = 2,3 dm

Presmetaj: 2 728 : 4 = ; 272,8 : 4 = ; 27,28 : 4 = . .

Presmetaj: 10,626 : 23 =

0,9768 : 37 =

0,06723 : 9 =

Treba da presmeta{ 1,38 : 0,6 = .

138 cm : 6 = 23 cm

1,38 dm2 = 138 cm2; 0,6 dm = 6 cm

7

8

Zapomni!

Raboti spored barawata. Voo~i go re{avaweto.

Ako celoto e pomalo od delitelot, to -ga{ vo koli~nikot se zapi{uva 0 celi.

Primer:

4,752 : 6 = 0,792- 0

47- 42

55- 54

12- 12

0

3,45 : 5 =

Nula celi

9Presmetaj bez ostatok: 365,4 : 9; 27,0 : 4.

Odredi go koli~nikot na broevite 78 i 12bez ostatok. Pritoa ima potreba brojot 78da go pretstavi{ kako decimalen broj (78,0).

[to }e se slu~i so koli~nikot ako deleni-kot i delitelot se pomnoàt so ist broj?

Plo{tinata na eden pra -voagolnik e 1,38 dm2, a ne -govata {irina e 0,6 dm.Odredi ja dolìnata napravoagolnikot.

Pretvori gi kvadratnite decimetri vo kvadratnicentimetri, a decimetrite vo centimetri.

Odredi ja dolìnata na pravoagolnikot (vo cen -timetri).

Presmetavme deka koli~nik na 1,38 i 0,6 e brojot 2,3,t.e. 2,3 ⋅ 0,6 = 1,38. Brojot 2,3 moè da se dobie i bez pretvorawe na decimetrite vo centimetri.

Voo~i! 1,38 : 0.6 = 2,3.

V

�

�

�

Zgolemi gi 10 pati delenikot i delitelot;

Bidej}i sega delitelot e priroden broj odredigo koli~nikot na decimalniot 13,8 i prirodniotbroj 6.

Raboti spored barawata Primer: 23,12 : 3,4 =

23,12 ⋅ 10 = 231,2; 3,4 ⋅ 10 = 34;231,2 : 34 = 6,8

2720

��

173Da zapomnam: Decimalen broj se deli so decimalen broj taka{to: de ci malnite zapirki se pomestuvaat nadesno vo delenikoti vo deli telot za tolku mesta kolku {to e potrebno delitelotda stane priroden broj.Potoa se delat dobienite broevi (taka kako {to se deli dadenbroj so priroden broj).

10Vnimavaj! Brojot na decimalite vo delenikot e pomal od brojot na decimalitevo delitelot. Zatoa razmisli i odgovori: Kolku nuli treba da se dopi{at nadelenikot oddesno za da mo`e potoa da se pomestat decimalnite zapirki?

Presmetaj: a) 3,4 : 0,017 = ; b) 0,64 : 0,0032 = .

Treba da znae{!

Da presmeta{ koli~nik na de -cimalen broj i dekadna edinica;

da presmeta{ koli~nik na de -cimalen broj i priroden broj;

da presmeta{ koli~nik vo kojdelitelot e decimalen broj.

Presmetaj: 34,6 : 10 = ;

6,485 : 1000 = ; 62,17 : 100 = .

Presmetaj 257,52 : 12 i napravi proverka nare{enieto.

Za kolku mesta treba da se pomestidecimalnata zapirka nadesno vo delenikot i

delitelot za da se presmeta:

12,031 : 1,6 = ; 3,101 : 0,08 = ;

0,345 : 0,025 = .

Koj broj e pomal od brojot 4,76

a) 10 pati; b) 100 pati; v) 1 000 pati?

Zada~i

1.

Presmetaj:

0,6 : 3 = ; 4 : 5 = ;

735 : 35 = ; 1,95 : 15 = ;

27 : 1 125 = ;

23,45 : 37 = na 4 decimali;

341,3 : 12 = na 2 decimali.

2.

Proveri se!

Presmetaj na 6 decimali:

1 : 7 = ; 4 : 7 = ;

2 : 7 = ; 5 : 7 = ;

3 : 7 = ; 6 : 7 = ;

[to zaklu~uva{ za decimalite na koli~nicite?

3.

Presmetaj:

6 : 0,2 = ; 0,75 : 0,15 = ;

48 : 0,12 = ; 1,836 : 0,204 = ;

3,417 : 0,85 = ; 0,044 : 0,25 = .

4.

Kolku pati 0,14 e pomalo od 0,7?5.

Presmetaj i izvr{i proverka na re{e-nieto:

34 : 0,085 = ; 33 : 1,28 = ;

12,4 : 0,031 = ; 0,0108 : 1,6 = .

6.

Re{i gi ravenkite:

100 ⋅ x = 2,416;

156,12 : x = 10;

0,018 = 18 ⋅ x;

0,0625 ⋅ x = 3,1275.

7.

174 Eden patnik pominal 14,730 kmza 5 ~asa. Kolku kilometri,prose~no, pominuval za 1 ~as?

Odredi ja vrednosta na izrazite:

(6,72 : 0,6 + 1,125 ⋅ 0,8) : 1,21 + 8,375 =

2,5 + 0,39 : 0,5 + (2,31 + 0,058) : 3,2 =

Vo VI3 oddelenie imalo 34 u~enici.

Na krajot na godinata uspehot pomate ma tika bil sledniot: 15 u~e -nici so odli ~na ocenka, 9 u~eniciso mnogu dobra, 7 so dobra i 3 sodovolna ocenka. Presmetaj go sredniot uspeh po ma -te ma tika vo paralelkata na 2decimali.

8.

9.

10.

ZA ONIE [TO SAKAAT DA ZNAAT POVE]E

Proveri dali se to~ni ravenstvata:(5,6 + 4,4) ⋅ (5,6 - 4,4) = 5,62 - 4,42; (5,62 = 5,6 ⋅ 5,6; 4,42 = 4,4 ⋅ 4,4)(2,4 - 1,8)2 = 2,42 - 2 ⋅ 2,4 ⋅ 1,8 + 1,82.

1.

Koj broj moè da se podeli so sekoj decimalen broj razli~en od nula bez ostatok?2.

3.

4.

5.

6.

Kako }e se promeni:a) zbirot na dva broja ako edniot sobirok go zgolemime za 2,3, a drugiot go zgolemimeza 3,2;b) namalitelot ako namalenikot se zgolemi za 5,8, a razlikata se namali za 5,8;v) proizvodot na dva broja ako edniot go pomnoìme so 8,75, a drugiot so 0,72;g) koli~nikot ako delenikot go pomnoìme so 1,25, a delitelot go namalime 4 pati?

Od 1kg bra{no se dobiva 1,252 kg leb. Kolku leb se dobiva od 576 kg bra{no?

Kon koj broj treba da se dodade 2,2 za da se dobie broj {to e 3,5 pati pogolem od 9,2?

Za kolku plo{tinata na kvadrat so strana 15,34 m e pogolema od plo{tinata napravoagolnik so strani 16,12 m i 12,03 m?

Re{i gi ravenkite:

5,7x + 3,1x + 0,4 = 34,21; x : 8,04 = 5,05;

3,48 : x = 1,45; (x - 2,5) : 5,1 = 0,8.

7.

Potseti se!

175PRETVORAWE NA DROPKA VO DECIMALEN BROJ141 Pretvori ja vo decimalen broj

dropkata .Koja operacija ja ozna~uva drobnatacrta?Vo dropkata zameni ja drobnata

crta so toj znak i izvr{i ja operacijata.

Pro~itaj ja dropkata i zapi{i ja

kako decimalen broj.

Objasni: kako se pretvora decimalna dropka vo decimalen broj.

3__4

3__4

3___100

Raboti spored barawata:

Pro{iri ja dropkata so 25.

Dobienata decimalna dropka pretvori ja vo decimalen broj.

Sigurno dobi deka = 0,75.

Presmetaj 3 : 4.

Sporedi gi dobienite rezultati.

3__4

Primer: Dropkata pro{iri ja so 125.

Dobienata decimalna dropka pretvori ja vo decimalen broj.

Presmetaj 5 : 8 = .

2 So pro{iruvawe ili skratuvawe, slednite dropki pretvori gi vo decimalni

dropki, a potoa vo decimalni broevi: , , , i .1__2

3__5

5__8

5__8

132___300

164___400

Koja od dropkite , , i ne moè da se pretvori vo decimalna dropka?

Sigurno voo~i deka toa e dropkata .

33__5

1__4

5__6

5__6

11__20

Zapomni!

Samo neskratliva dropka ~ij imenitel se razloùva na proizvod od mnoìtelite2 ili 5, moè da se pretstavi kako decimalna dropka.

Sekoja dropka koja moè da se pretstavi kako decimalna dropka pretstavuvakone~nodecimalen broj.

A

Koja od dropkite , ili pretstavuva kone~nodecimalen broj?

Utvrdi koja od dropkite moè da se pro{iri do decimalna dropka so imenitel 1 000; ili

podeli go broitelot so imenitelot i utvrdi koj od dobienite koli~nici e kone~nodecimalen broj.

23__40

7__15

5__12

4

176 Dropkite , i pretvori gi vo decimalni broevi.

Raboti spored barawata:

Sigurno dobi:

= 0,333...; = 1,363636...; = 0,297297.....

Dobienite decimalni broevi imaat beskone~no mnogudecimali. Takvi broevi se vikaat beskone~nodecimalni broevi.

1__3

1__3

15__11

11__13

15__11

11__37

Utvrdi dali imenitelite se razlo`uvaat na mno`iteli 2 i 5, odnosno dali decimal -nite broevi }e imaat kone~en broj decimali ili ne.

Podeli go broitelot na dropkata so imenitelot.

Voo~i!

Vo sekoj od broevite, neposredno po decimalnata zapirka, edna ili pove}e cifrise povtoruvaat po ist redosled.

5

Zapomni!

Vakvite decimalni broevi se vikaat ~isto periodi~ni decimalni broevi.Brojot {to go obrazuvaat cifrite {to se povtoruvaat se vika period na decimal -niot broj.

Vo prviot broj period e 3, vo vtoriot 36, a vo tretiot 297.0,333.... = 0,(3). Se ~ita: nula celi i 3 kako period;1,3636... = 1,(36). Se ~ita: edno celo i 36 kako period....

Dropkite , i pretvori gi vo decimalni broevi.

Raboti spored slednite barawa:

razgledaj gi imenitelite na dropkite i utvrdi dali decimalniot broj ekone~no decimalen;

podeli go broitelot so imenitelot i utvrdi dali decimalniot broj e periodi~en.

65__

18679___495

7__12

So upotreba na digitron se dobiva:

= 0,2777...; = 1,3717171...; = 0,58333...5__

18679___495

7__12

B

V

Voo~i!

Dobienite decimalni broevi se periodi~ni, no pred periodot ima edna ili dve ci -fri. Vakvite decimalni broevi se vikaat me{ano periodi~ni decimalni broevi.

177Zapomni!

Ako od desnata strana na edenpriroden broj ili nulata, sezapi{e zapirka i potoa se do -pi{at cifri, se dobiva zapisna broj koj{to se narekuvadecimalen broj.

^itame:

0,2777... = 0,2(7) - nula celi, 2 dese -tinki i 7 kako period.

1,37171... = 1,3(71) - edno celi, 3 dese -tinki i 71 kako period.

0,58333... = 0,58(3) - nula celi, 58 sto -tinki i 3 kako period.

Sekoj od broevite 2, 3 i 58 voprimerite se vika pretperiod.

Da oceni{, spored imenitelot nadrop kata, dali taa se pretvora vokone~no decimalen broj ili, pak, vobeskone ~nodecimalen (periodi~en)broj;

koj broj e kone~nodecimalen;

da objasni{ {to e period, a {to pret -period;

{to e ~isto periodi~en decimalen broj;

{to e me{ano periodi~en decimalenbroj;

deka dropka mo`e da se pretvori:- ili vo kone~nodecimalen broj;- ili vo periodi~en decimalen broj;

deka postojat i drugi beskone~nodeci -malni broevi koi ne se periodi~ni. Zaniv }e u~i{ vo VIII oddelenie.

Treba da znae{! Proveri se!

Oceni, bez da gi deli{ broitelot so

imenitelot, dali dropkata pret-

stavuva kone~en decimalen broj.

Pretvori gi vo decimalen broj

dropkite , , i .

Odredi gi periodite i pretperioditevo slednite decimalni broevi:

2,777..... ; 0,64786478... ; 1,527373... ;126,120404...

2__20

3__5

7__8

12__7

4__9

Pro{iri gi ili skrati gi dropkitetaka {to vo imenitelot da se pojavi10, 100 ili 1000, a potoa pretvori givo decimalni broevi:

, , , , , , , .

Zada~i

1.

3__5

23__80

11__32

18___200

229___125

24__20

83__64

37__25

Pretvori gi vo decimalni broevidropkite:

, , , , , , , , .

2.

2__3

9__11

3__5

19__20

5__18

37___275

24__20

1__27

2__15

Odredi gi periodot i pretperiodotvo decimalnite broevi:

0,378787... ; 6,543023023... .

3.

Spored oznakata za period na deci -malen broj zapi{i gi broevite:

4,636363... ; 0,102102... ;

3,54034034... ; 4,27117117... .

4.

Zapi{i go kako beskone~nodecimalenbroj brojot:

a) 3,6(54) ; v) 6,(53) ;

b) 0,77(2401) ; g) 0,06(5231).

5.

Potseti se!

178

1 Edna parcela od 123 m2 ja ure -duvaat u~enicite od VIa odde -

lenie. Vo paralelekata ima 32u~enici. Po kolku kvadratnimetri, vo prosek, ureduva sekoju~enik?

Treba da presmeta{ 123 : 32.

Sigurno dobi 123 : 32 = 3,84375, t.e. dekasekoj u~enik treba da uredi po 3,84375 m2.

Odredi go koli~nikot;

Oceni go prakti~noto zna~ewe na do-bienite kvadratni metri po u~enik.

Brojot 3 128 zaokruèno na iljadiiznesuva 3 000, t.e. 3 128 ≈ 3 000. “ ≈ “, se ~ita: pribli`no ednakvo so.Zaokruì go brojot 3 128 na stotki.

Kako glasi postapkata za zaokru ̀ u -vawe na priroden broj?

Dali treba 135 ≈ 130 ili 135 ≈ 140?Objasni!

Brojot ima prakti~no zna~ewe samo do vtorata decimala (vo dm2), t.e. da se izvr{izaokruùvawe na decimalniot broj na dve decimali.

Decimalni broevi so dve decimali {to se najblisku do brojot 3,84375 se: 3,84 i 3,85, t.e.

3,84 < 3,84375 < 3,85

Zna~i: 3,84375 ≈ 3,84 (~itame: 3,84375 e pribli`no ednakov so 3,84) i 3,84375 ≈ 3,85.

2 Odredi gi dvata najbliski decimalni broja na brojot 1,37268 {to imaat po ednadecimala.

Utvrdi kolkava e napravenata gre{ka pri zaokruùvawe na brojot 1,37268 na edna decimala.

Sigurno utvrdi deka baranite broevi se 1,3 i 1,4 t.e. 1,3 < 1,37268 i 1,37268 < 1,4.

Kolkava e napravenata gre{ka pri sekoe od zaokruùvawata: 1,37268 ≈ 1,3 i

1,37268 ≈ 1,4, }e utvrdi{ ako gi sporedi{ razlikite:

1,37268 - 1,3 = 0,07268 i 1,4 - 1,37268 = 0,02732Do koja od to~kite za broevite 1,3 ili 1,4 epoblisku to~kata na brojot 1,37268? 1,3 1,4

0,072681,37268

0,02732

A

ZAOKRU@UVAWE NA DECIMALNI BROEVI15

Zapomni!

Razlikata {to pokaùva za kolku dadeniot broj e pogolem ili pomal od svojata pri-bli`na vrednost ja vikame gre{ka na zaokruùvaweto.

Pri zaokruùvawe nastojuvaj da napravi{ {to pomala gre{ka.

Vo dvata slu~aja napravenata gre{ka e pomala od 0,1.

Velime: Brojot 1,37268 sme go zaokruìle so to~nost do 0,1, odnosno so to~nost na edna decimala.

��

179

3 Brojot 4,8162704 zaokruì go so to~nost:a) na edna decimala, t.e. do 0,1; g) do 0,0001;b) do 0,01; d) do 0,0001.v) do 0,001;

ako prvata ispu{tena cifra e pomala od 5, toga{ poslednata zadràna cifra nese menuva;

ako prvata ispu{tena cifra e 5 ili pogolema od 5, toga{ poslednata zadrànacifra se zgolemuva za 1.

Voo~uva{ deka zaokruùvaweto (zamenuvaweto) na brojot 1,37268 so brojot 1,4e so pomala gre{ka otkolku so brojot 1,3.

Pri zaokruùvawe na decimalen broj po~ituvaj go slednoto pravilo na

zaokruùvawe:

Da se zaokruì nekoj broj so dadenato~nost zna~i toj broj da se zameni sodrug broj {to e pogolem ili pomal odnego, zaradi odredeni prakti~nipotrebi;

da zaokruì{ daden broj so odredenato~nost spored praviloto za otfrlawena cifri od brojot;

da objasni{ kako se zaokruùvadecimalen broj so odredena to~nost.

Treba da znae{!

Brojot 0,315 zaokruì go na dve deci -mali.

Dropkata pretvori ja vo

decimalen broj so to~nost do 0,001.

Odredi ja gre{kata na zaokruùvawe toako 1,47 ≈ 1,47328.

7__34

��

�

Proveri se!

Broj

0,0374

Zaokru`. soto~n. do 0,01

Gre{kana zaok.

Gre{kana zaok.

Zaokru .̀ soto~n. do 0,001

7__34

Zaokruì gi na tri decimali bro -evite: 2,7145; 3,03277; 0,01523.

Zada~i

1. Presmetaj:

4,26 + - 1,00312 so to~nost do 0,01.

4.

Napravi tabela, zaokruì gi broevitevo nea so nazna~enata to~nost i odre-di ja gre{kata na zaokruùvaweto.

5.Dropkata pretvori ja vo

decimalen broj so to~nost do: 0,1; 0,01; 0,0001.

2.

Zbirot na broevite 4,7125 i3,3914 presmetaj go so to~nostdo 0,001.

3.

2__7

0,5386

426,4235

6,0141

S O P O D A T O C IR A B O T A180

IZBOR NA PRIMEROK. ANALIZA I ZAKLUÔK16

Koja e prose~nata najgolema brzina na site pet trki(aritmeti~ka sredina)?

Na edna trka vo 1912 god. e postignata najgolemabrzina koja e 4 pati pomala od najgolemata brzinavo 2000 godina. Kolku iznesuva taa brzina?

Patni~ki avion postignuva 3 do 3,5 pati pogolemabrzina od najgolemata brzina {to e postignata vo1999 godina. Vo koi granici se dviì brzinata naavionot so to~nost do edna decimala?

Analiza na podatocite. Me|u koi dve godini raz li -kata na brzinite e:

a) najmala; b) najgolema; v) okolu 50 km na ~as?

Sostavi stolbest dijagram za brzinite sporedpodatocite {to se dadeni vo tabelata.

Koristi ja tabelata za da odgovori{ na nekolku pra{awa.

Razlikata na najgolemite brzini na najbrzata i najbavnata trka zaokruì ja soto~nost do 0,1.

Kolku pobavno odel pobednikot na trkata vo 2 000 godina od pobednikot natrkata vo 1 998 godina?

Koja bi bila prose~nata najgolema brzina na dvete najbrzi trki?

Godina

1996Mihael

[umaher

1997Mihael

[umaher

1998Dejvid

Kulthard

1999Mika

Hakinen

2000Mihael

[umaher

Pobednik

310,36

344,44

326,78

294,06

312,56

Najgolemabrzina (km/h)

A

2

1

Vo u~ili{teto kade {to u~i Aco ima 1 200 u~enici. Aco sakal u~ili{teto daima nov sportski teren. Se obidel da otkrie kolku u~enici sezainteresirani za nov sportski teren.

Namesto da go pra{a sekoj u~enik, Aco odlu~il da pra{a del od u~enicite.

Aco odlu~il da pra{a 100 u~enici od site oddelenija, t.e. izbral primerok.

Brojot 100 pretstavuva golemina na primerokot.

NegativnoAko Aco pra{a 1 200

u~enici:

Pozitivno

Ako Aco pra{a 12 u~enici:

Potrebno e pove}e vreme]e znae kolku to~no

u~enici sakaat nov teren

Dobiva mal broj odgovori, {to ne edovolno za pravilna procenka

Za kratko vreme }e gi dobie odgovorite☺

☺

Ako Aco pra{a 100 u~enici:

Potro{enoto vreme e optimalnoDobiva dovolenbroj odgovori za pravilna procenka

☺

☺ ☺

�

B

181Vo izborot na primerok, osven goleminata, va`no e i koj }e go so~inuvaprimerokot.

Zapi{i svoe razmisluvawe za toa {to e pozitivno, a {to e negativno voslednive slu~ai:

ako Aco pra{a samo u~enici od I do IV oddelenie;

ako Aco pra{a samo u~enici {to se zainteresirani za sport;

ako Aco pra{a slu~ajno izbrani u~enici od site oddelenija od negovotou~ili{te.

Odgovorite na pra{aweto za noviot sportski teren Aco gi pretstavil vo tabela,napravil analiza i izvel zaklu~ok.

3

Aco utvrdil deka 0,6 od primerokot sakaat novsportski teren.Toj presmetal:0,6 od 1 200 e 0,6 ⋅ 1 200 = 720

Nov sport. teren/prim.

DA 60 = 0,6

Mislewe Broj Odnos

NE 23

Ne znam 17

60___100

Voo~i!

Aco predvidel deka: ako gi pra{al site 1 200 u~enici, pribli`no 720od niv bi odgovo rile deka se zainteresirani za nov sportski teren.

Odredi go odnosot za drugite dva odgovora.

Presmetaj kolkav broj od u~enicite bi odgovorile deka ne sakaat nov sportski teren,a kolku u~enici od u~ili{teto bi bile neodlu~ni.

Koi broevi treba da se zapi{at vo delot odtabelata so naslov „odnos”?

So pomo{ na presmetanite odnosi odredi go brojot na ìtelite vo gradot za koi moè dase kaè deka bi bile zainteresirani za ra -zli~ni vidovi filmovi.

Za {to bi moèle da mu posluàt dobienite informacii na sopstvenikot na videoklubot?

Najpopularni videokaseti

Detski 40 40:400=0,1

Nau~en 36

Vid nafilm

Broj Odnos

Komedija 152

Stari fil. 100

Muzi~ki 72

Sopstvenikot na eden videoklub sakal da utvrdi koj vid filmovi se najpopu larnivo gradot. Gradot imal 20 000 ìteli. Prodava~ot zapi{al podatoci za 400~lenovi na videoklubot.

4

182

Nacrtaj otse~ka AB = 6 cm.a) Odredi to~ka C na otse~kata AB

taka {to: AC = AB.

b) Ako AD = 2 cm, toga{ koj broj treba da

stoi na mestoto na za da bide AD = AB.

UUÊ[E ZA DROPKI. DECIMALNI BROEVI.PROVERI GO SVOETO ZNAEWE

171. Ako namalenikot 3,24 se zgolemi za

0,24, a namalitelot 0,324 se namaliza 0,24, toga{ razlikata }e se zgolemi za2 ⋅ 0,24. Proveri.

11.

So sobirawe proveri dali e pra -vilno izvr{eno odzemaweto

59,216 - 11,11 = 48,106.

12.

Proveri dali e to~no izvr{enimnoèweto 12 346 ⋅ 24 = 296 304.

Potoa, bez da presmetuva{, odredi goproizvodot

1,2346 ⋅ 24. 12,346 ⋅ 2,4.

0,12346 ⋅ 0,24.

13.

Presmetaj gi proizvodite 5,32 ⋅ 20 i0,64 ⋅ 1,2, a potoa, bez da presme tu -

va{ odredi go koli~nikot

106,4 : 5,32. 0,768 : 1,2.

15.

Re{i ja ravenkata2,5 ⋅ x = 6,42: 1,2.

x : 0,5 = 13,5 : 0,25.

16.

Presmetaj ja brojnata vrednost naizrazot (9,12 - 0,6) : 1,2 + 29,5 ⋅ 0,5.

17.

Zapi{i ja kako decimalen brojdropkata

. .

18.

Po zaokruùvaweto na brojot2,861254 e dobien brojot 2,8613.

So kolkava to~nost e zaokruèn ovoj broj?

19.

Dropkata pretvori ja vo deci-

malen broj i zaokruì ja so to~nost do 0,01.

20.

Presmetaj go koli~nikot

55,56 : 2,4. 0,84375 : 0,27.

14.

Vo osum ednakvi kutii ima vkupno12 kg bonboni. Kolku kilogrami

bonboni ima vo edna kutija?

2.

Brojot 5 prestavi go kako dropka so

broitel 5. imenitel 5.

3.

Zapi{i dropka so broitel 2

koja e pogolema od 1.

koja e pomala od 1.

4.

Pretstavi go na brojna prava zbirot

+ ; + .

5.

Skrati ja dropkata do neskra-

tliva dropka.

6.

Pro{iri ja dropkata so 8.8.

Presmetaj go zbirot 26,4 + 2,64 + 0,0264.

9.

Izvr{i go sobiraweto i proveridali e to~no:

0,628 + 12,91 < 5,496 + 8,048Odredi ja razlikata na dobienite zbi -

rovi.

10.

Skrati ja dropkata

so 7. so NZD(45, 270).

7.

2__3

3__8

2__8

1__5

84____210

56____126

45____270

7__8

126____15

73___8

629____495

4__5

183

1. Merki za dol`ina, masa i te~nost 184

2. Merki za vreme i temperatura 1873. Imenuvan broj 1894. Pretvorawe na pove}eimen broj

vo ednoimen broj 1925. Pretvorawe na ednoimen broj

vo pove}eimen broj 194

6. Operacii so imenuvani broevi 1967. Merki za plo{tina 2018. Merki za volumen 2039. Volumen na kvadar i kocka 20610. U~e{e za merewe. Proveri go

svoeto znaewe 210

TEMA 4. MEREWE

184 MMERKI ZA DOL@INA, MASA I TE^NOST1Potseti se! ANa linijarot pokaì dol -ì ni od 1 dm, 3 cm, 8 mm i4 cm 6 mm.

Koja merka se koristi zamerewe dolìna napati{tata i rasto janieme|u dve naseleni mesta?

Kolku dekagrami ima vo 1 kg?

Koja merka se koristi zamerewe masa na rudaiskopana od rudnik?

Kolku dl ima vo 1 l?

MERKI ZA DOL@INA

1 Proceni gi dolìnite na otse~kite AB i CD ina iskr{enata linija PQRST, a potoa, somerewe proveri ja to~nosta na tvojata procenka.

A

C

VD

P R T

Q S

Koi merni edinici gi upotrebi?

Nabroj i drugi merki za dolìna {to gi znae{.

Pogolemi i pomali merni edinici od metarot se prikaàni vo slednata tabela.

Osnovna merna edinica za dolìna e metar (m).

Pogolemi merni edi -nici od metarot se:

dekametar (dam)

hektometar (hm)

kilometar (km)

Pomali merni edi-nici od metarot se:

decimetar (dm)centimetar (cm)

milimetar (mm)

1 dam1 m1 hm

1 km

1 dm1 cm1 mm

Voo~i gi i zapomni gi vrskite me|u merkite za dolìna!

1 km = 10 hm = 100 dam = 1000 m1 hm = 10 dam = 100 m

1 dam = 10 m

1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm1 dm = 10 cm = 100 mm

1 cm = 10 mm

Da zapomnam! Sekoja mernaedinica za dolìna e 10 pa -ti pomala od mernataedinica {to e neposrednopogolema od nea.

Koja merka bi trebalo da stoi na mestoto na “∗”.

Za 1 ~as, Petar moè da izodi okolu 4 ∗.

2

Mimoza vo tetratkata nacrtala kvadrat so dolìna na stranata 30 ∗.

Kolku dekametri ima vo a) 90 m? b) 300 m? v) 1700 m?

3 Vo 1 dm ima 0,1 m. Kolku metri ima vo 1 cm?4

�

⋅ 1000

⋅ 100

⋅ 10

: 1000

: 100

: 10

185MERKI ZA MASA

MMERKI ZA TE^NOST

5 Nabroj gi mernite edinici za masa {to gi znae{.

Koja e osnovna merna edinica za masa?

Kolku kilogrami ima 1 t? [to e pogolemo 8 dag ili 1 kg?

Koja merka za masa bi trebalo da stoi na mestoto od “∗” vo slednite re~enici:

So kamion e prevezeno 6 ∗ jaglen. Koko{kata {to ja kupil Darko ima masa 2 ∗.

Osnovna merna edinica za masa e kilogram (kg).

Pogolema merka od kilograme ton (t).

1 t = 1 000 kg

6

Hektogram (hg)

Dekagram (dag)

Gram (g)

Decigram (dg)

Centigram (cg)

Miligram (mg)

1 hg

1 dag

1 g

1 dg

1 cg

1 mg

1 kg

B

Pomali merni edinici odkilogramot se dadeni voslednava tabela.

Pogolemi i pomali merni edinici za merewe te~nost se dadeni vo slednava tabela.

�

�

Voo~i gi i zapomni gi vrskite me|u merkite za masa!

1 kg = 10 hg = 100 dag = 1000 g1 hg = 10 dag = 100 g

1 dag = 10 g

1 g = 10 dg = 100 cg = 1000 mg1 dg = 10 cg = 100 mg

1 cg = 10 mg

1 kg = 10 hg = 100 dag = 1000 g = 10 000 dg = 100 000 cg = 1 000 000 mg

Da zapomnam!Sekoja mernaedinica zamasa e 10 patipo mala odmernata edi -nica {to ene po srednopogolema odnea.

Za da izmeri par~e meso, mesarot na edniot tas odvagata stavil tegovi od 1 kg, 2 kg i 1 kg, a na ta sotso meso teg od 10 g. Kolku e masata na mesoto?

7

Nabroj gi merkite za te~nost {to gi zapozna dosega.

Dali zapozna merka za te~nost pogolema od 1 l? Kolku dl ima 1 l?8

V

Osnovna merna edinica za te~nost e litar (l).

Pogolemi merni edinici od litar se:

Dekalitar (dal)Hektolitar (hl)Kilolitar (kl)

Pomali merni edinici od litar se:

Decilitar (dl)Centilitar (cl)Mililitar (ml)

1 dal1 l1 hl

1 kl

1 dl1 cl1 ml⋅ 1000

⋅ 100

⋅ 10

: 1000

: 100

: 10

: 1 000 000

: 100 000

: 10 000

: 1 000

: 100

: 10

186

Proveri se!

Kolkupati: a) 1 m e pogolem od 1 cm?b) 1 dm e pomal od 1 hm?

Kolkupati: a) 1 kg e pogolem od 1 g?b) 1 dag e pomal od 1 hg?

Kolkupati: a) 1 hl e pogolem od 1 dal?b) 1 ml e pomal od 1 dl?

Podredi gi po golemina:

5 hg, 1 kg, 10 g, 12 mg, 8 dag.

Podredi gi po golemina:

5 dal, 2 hl, 6 dl, 8 ml, 1 l.

Vo edna ovo{na gradina se nabrani4,5 t jabolka i bile prodadeni po 17denari za eden kilogram.

Kolku denari se dobieni?

Zada~i

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Voo~i gi i zapomni gi vrskite me|u merkite za te~nost!

1 kl = 10 hl = 100 dal = 1 000 l1 hl = 10 dal = 100 l

1 dal = 10 l

1 l = 10 dl = 100 cl = 1000 ml1 dl = 10 cl = 100 ml

1 cl = 10 ml

Da zapomnam!Sekoja merka zate~ nost e 10 patipomala od mer ka -ta {to e ne po sre -dno pogolema odnea.

1 l mineralna voda ~ini 20 denari. Kolku denari~ini 2 dl (edna ~a{a) mineralna voda?

9

Naredi gi po golemina slednite broevi: 6 dal, 5 hl, 8 dl, 4 ml, 9 l, 3 cl.10

Treba da znae{!

Koja e osnovnata edinica za merewe:

dolìna; masa; te~nost;

da gi navede{ pomalite i pogolemitemerki za:

dolìna; masa; te~nost;

da go objasni{ soodnosot ma|u merkite za:

dolìna; masa; te~nost.

Nacrtaj otse~ki bez merewe sodolìni: 1 cm, 1 dm, 25 cm i 75 cm.

Proveri so merewe i utvrdi za kolku si pogre{il.

Izmeri ja dolìnata na tvojot~ekor vo centimetri.

Izmeri go so ~ekori rastojanietome|u dva objekta.

Proceni kolku metri e toa rasto -janie.

Proveri ja, so merewe, to~nosta natvojata procenka.

Podredi gi otse~kite so dolìni 9 dm, 2 m, 48 cm, 94 mm, 4 dm 7 cm,po~nu vaj}i od najkratkata.

187

Potseti se! A

MERKI ZA VREME I TEMPERATURA2

Kolku minuti ima 1 ~as?

Navedi dve merki za vreme pogolemiod ~as.

Koja merna edinica se koristi zamerewe na dnevnata temperatura?

Dali vo istata merna edinica seiskaùva i temperaturata na bolniot?

MERKI ZA VREME

Koe vreme poka ̀ uva~asovnikot vo ~asovi,minuti i sekundi?

Navedi gi merkite za vreme {to si giizu~uval.

1

Koja e najmalata merka za vreme {to sija izu~uval?

Pretvori: 5 dena vo ~asovi; 8 ~asa vo minuti; 25 minuti vo sekundi.2

Zapomni!

Osnovna merna edinica za vreme e sekunda (s). Pogolemi merki od sekunda se:minuta (min), ~as (h), den (d), sedmica, mesec, godina, decenija, vek (stoletie) imilenium. Postojat i pomali merki od sekunda.

Voo~i!

1 den ima 24 ~asa; 5 dena imaat 5 ⋅ 24 ~asa = 120 ~asa.

Voo~i gi vrskite me|u merkite za vreme!

1 min = 60 s; 1 h = 60 min = 3600 s; 1 d = 24 h = 1440 min = 86400 s;1 sedmica = 7 d = 168 h = 10080 min = 604800 s. 1 mes. = 30 d; 1 god = 365 d.

Kolku minuti ima 1 ~as? Kolku sekundi ima 1 minuta?

Pretvori 147 ~asa vo denovi i ~asovi.3

Pretvori 5 godini 8 meseci 13 dena vo denovi.4

147 ~asa : 24 = 6 dena i ostatok 3 ~asa

B MERKI ZA TEMPERATURA

Pro~itaj ja temperaturata {to e prikaàna na termometarot.

Vo koja merna edinica se iskaùva temperaturata?

5

�

188

Zapoznaj se poop{irno

Osnovna merna edinica za temperatura e kelvin (K).

Vo sekojdnevniot `ivot se upotrebuva mernata edinica celziusov stepen (oS).

[vedskiot fizi~ar i astronom Anders Celzius (1701-1744) vovel skala

Taka, vodata mrzne na 0 oS, t.e. na 273,16 K, a vrie na 100 oS, t.e. na 373,16 K.

Temperaturata izrazena vo kelvini se vika apsolutna temperatura.

Po~etokot na mereweto na apsolutnata temperatura e nula kelvini ili -273,16 oS.

Taa najniska mo`na temperatura se vika apsolutna nula.

Ako temperaturata na nekoe telo e izrazena vo celziusovi stepeni, toga{apsolutnata temperatura, ozna~ena so T, se presmetuva po formulata

T(K) = t (oC) + 273,16

36,5

340,4290

12,84

320,16

4

277,16

oS

K

Napravi tabela kako dadenata ipopolni ja (oS - celziusovi stepeni,K - kelvini).

6

Treba da znae{!

Koja e osnovnata merna edinica zavreme;da gi navede{ merkite za vreme pogo -lemi od sekunda i vrskite me|u niv;koja e osnovnata merna edinica zatemperatura;koja e vrskata me|u kelvin icelziusov stepen.

Proveri se!

Kolku pati 1 s e pomala od: a) 1 min; b) 1 h?Kolku ~asovi ima 1 d?Kolku K odgovaraat na 0 oS na tempe ra -turnata skala?Edno telo ima temperatura od 20 oS. Kolkue apsolutnata temperatura na toa telo?

Zada~i

1. Vozot, spored vozniot red, stignuvavo 13 h 55 min. Ako docni 1 h 32 min,vo kolku ~asot }e stigne?

3. Ribarski brod isplovil od ednopristani{te na 8 septemvri vo 6 h, ase vratil vo pristani{teto na 17septemvri vo 18 h (istata godina).Izrazi go vremeto na brodot odisplovuvaweto do vra}aweto:a) vo denovi; b) vo ~asovi;v) vo sedmici i denovi.

2. Za edna priredba bila predvidenaprograma vo traewe od 1 h 20 min.Izvedbata traela 120 minuti. Kolkuminuti pove}e traela izvedbata odplaniranoto?

4. Presmetaj 15 god. 8 mes. 9 d vo denovi.

5. Kolku e apsolutnata temperatura natelo {to ima: a) 37 oS; b) -50 oS?

kade {to vodata mrzne na 0 oS, a vrie na 100 oS. Stotiot del od skalata se vikacelziusov stepen.

Promenata na temperaturata za eden celziusov stepen e ednakva na eden kelvin.No, na temperaturnata skala, na 0 oS odgovaraat 273,16 K.

189

Potseti se!

IMENUVAN BROJ3Na sekoja od numeriranite desetsli ki~ki e postaveno pra{awe.Dadeni se i odgovorite na sekoeod pra{awata.

Izbroj gi i zapi{i gi:- brojot na klupite vo tvojatau~il ni ca;- brojot na stol~iwata vo tvojatau~ilnica.

Izmeri ja dolìnata na tvojotmoliv. Zapi{i go merniot broj imernata edinica {to se re zultatna tvoeto merewe.Koi se merni edinici za:a) dolìna; b) masa?

1

Kolku denari?

1

Kolku centi me triima otse~kata?2

Kolku ki -logramibra{no?

3

Kolku ovci ima?4

A V

Kolku e~asot?5

Kolku stepenie agolot?6

Kolku vodasobira{i{eto?

7

Kolku kru{iima?8

Kolku knigiima?9

Kolku e tem-peraturata?10

αα = ?

3 ovci

6 knigi

4 kru{i

46o

38,5o S

2 cm

1 l

2 kg

2 ~asot

10 denariMerna edinica

Voo~i !

Sekoj odgovor sodrì meren broj imerna edinica. Merniot broj so mer -nata edi nica se odredeni so broeweili so merewe.(so broewe: 4 kru{i, 3 ovci, ...; so merewe: 2 cm; 2 kg...).

Imenuvan broj

3 cmMeren broj

Imenuvaniot broj e sostaven od neimenuvan broj i merna edinica zapi{ana do nego.

Imenuvaniot broj {to e zapi{an so eden neimenuvan broj i edna merna edinica u{te sevika i ednoimen broj.

Zapomni!

Sostavi tabela i vo nea za sekoja sliki~kazapi{i go soodvetniot broj.

Zapi{i gi vo tabelata odgovorite sporedpra{awata vo sliki~kite.

AB = ?

A

� �

Zapi{i ednoimen broj {to go pokaùva:brojot na u~enicite vo tvojata paralelka; brojot na tvoite godini;kolkava e tvojata visina (vo centimetri).

2

Dadeni se broevite: a) 5 kg, 3 kg, 126 kg; b)3 m, 5 kg, 7 l, 15 kanti. 3

[to imaat zaedni~ko broevite pod a)?

Kakvi se mernite edinici na broevite pod b)?

190 Zapomni!

Imenuvani broevi {to se zapi{ani so isti merni edinici se vikaat istoimenibroevi. Broevite pod a) se istoimeni . Broevite pod b) ne se istoimeni.

Pokraj nazivot merna edinica se upotrebuvaat nazivite: edinica za merewe iliskrateno merka.

Koi dva od broevite 2 m, 6 km, 46 m, 23 kg se istoimeni?

[to treba da stoi na mestoto na ∗ vo zapisite 2∗, 3∗ i 17∗ za tie da bidatistoimeni so brojot 5 km?

4

Dadeni se broevite: 4 l, 6 ml, 9 hl, 116 cl.5

Zapi{i po 2 imenuvani broja od ist vid vo edinicite za merewe: a) dolìna; b) masa.

Zapomni!

Dva ili pove}e imenuvani broja {to se iskaàni so merkite za ista veli~ina se vi -kaat imenuvani broevi od ist vid.

Broevite 4 l, 6 ml, 9 hl i 116 cl se imenuvani broevi od ist vid.

Brojot {to sodrì dva ili pove}e ednoimeni broevi od ist vid se vika pove}eimenbroj. Edniomenite broevi se vikaat ~lenovi na pove}eimeniot broj.

6

Dolìnata na edna prostorija e 3 m 6 dm, a {irinata 4 m 2 dm 5 cm.7

[to se meri so merkite na tie broevi?

Dali vo istite merki e iskaàn i brojot 6 dal? A dali brojot 8 cm?

So kakvi broevi se zapi{ani dimenziite na prostorijata?

Zapi{i po eden pove}eimen broj vo merkite za: a) dolìna; b) masa; v) vreme.8

Zapomni!

Pove}eimeniot broj 6 m2 3 dm2 2 cm2 pretstavi go kako zbir.

Zbirovite: a) 6 kg + 4 dag + 2 g; b) 5 l + 4 dl + 3 cl pretstavi gi kako pove}eimeni broevi.

9

Moè{ da zapi{e{:4 m + 5 cm = 4 m 5 cm3 kg + 2 dag + 5 g = 3 kg 2 dag 5 g

Da zapomnam! Pove}eimen brojpretstavuva zbir na dva ili pove}eednoimeni broevi od ist vid.

B

��

Brojot 2 kg 3 cg 5 mg e pove}eimen; 2 kg; 3 cg i 5 mg se negovi ~lenovi.�

191Treba da znae{!

Da razlikuva{ imenuvan od nei me -nuvan broj;

da prepoznava{ istoimeni broevi;

koi imenuvani broevi se od ist vid;

da objasni{ koj broj e ednoimen, akoj pove}eimen.

Proveri se!

Koj od broevite: 4 knigi, 6 cm, 4 , 7 deca

i 8 e imenuvan, a koj neimenuvan?Koi od broevite 3 kg, 6 dm, 8 g, 5 m i 4 dmse: a) istoimeni b) od ist vid?

Navedi primer na pove}eimen broj so 3~lena vo merkite za te~nost.

Zada~i

Zapi{i dva imenuvani i dva neime -nuvani broja.

1.

I ova e matematika!

Se sretnale dvajca prijateli To{e iPetar. To{e go pra{al Petar: "Kade siprijatele, ne te gledam ~esto?# Petarodgovoril: "êsto odam vo razli~nigradovi da gi zapoznaam ubavinite naMakedonija.# To{e pra{al: "Koi gradovigi poseti?# Petar vedna{ mu odgovoril:"Prvata sabota vo eden mesec bev voBerovo, a vtorata sabota vo istiot mesecpo prviot petok bev vo Strumica. Prvatasabota vo sledniot mesec bev vo Debar, avtorata sabota vo istiot mesec po prviotpetok bev vo Ohrid.# "Koj datum be{e voOhrid?#, pra{al To{e. Petar go pogle -dnal i odgovoril: "Datumot moè{ samda go odredi{.#Na koj datum Petar bil vo Ohrid?

Izbroj gi knigite na policata.Zapi{i go toa kako imenuvan broj.

2.

Zapi{i dva pove}eimeni broja:- edniot vo merkite za vreme;- drugiot vo merkite za te~nost.

3.

Zapi{i go vremeto (izra -zeno vo ~asovi, minuti isekundi) {to go pokaùva~asovnikot.

4.

Zapi{i dva istoimeni broja.6.

Zapi{i tri pove}eimeni broja koi seod ist vid.

7.

Dadeni se broevite:5; 7 m; 12 kg 3 dag; 4 m 2 dm; 8 hl; 4 m;29,6; 4 kg, 6 m 5 dm; 74; 3 kg; 9 hl; 7; 14 l;8 m2; 5 l; 8; 12; 4; 15 m2. Napravi tabela i zapi{i gi broevitespored barawata:

8.

Kakov broj zapi{a?

neimenuvani; ednoimeni;

pove}eimeni; istoimeni.

Denarite i denite zapi{i gi kakopo ve}eimen broj.

5. 5 2 1 50

deniden.den.den.

12

192

1 Pove}eimeniot broj 4 m 2 dm7 cm pre tvori go vo ednoimenbroj.Raboti spored postapkata isporedi go re{enieto:

Toa e centimetar (cm)

4 m = 400 cm2 dm = 20 cm

400 cm + 20 cm + 7 cm

400 cm + 20 cm + 7 cm = 427 cm

Voo~i ja najmalata merna edinica vo brojot.

^lenovite so pogolema merna edinicapretvori gi vo najma lata merna edinica.

Pretstavi go pove}eimeniot broj vo vid nazbir od istoimeni broevi (vo cm).

Izvr{i go nazna~enoto sobirawe.

A

PRETVORAWE NA POVE]EIMEN BROJ VOEDNOIMEN BROJ

4

Potseti se!

1 m = 10 dm, t.e. 1 m e 10 pati pogolemod od 1 dm. Kolku pati e pogolem: a) 1 m od 1cm?b) 1 kg od 1 g? v) 1 h od 1 min?

Voo~i vtor na~in na pretvorawe na pove}eimen vo ednoimen broj koristej}i gi sled -nite dve tvrdewa.

�

Vo merkite za dolìna, masa i te~nost sekoja merna edinica e 10 pati pomala odneposredno pogolemata merna edinica.

�

Vo dekaden broen sistem pozicijata na sekoja cifra e 10 pati pogolema od pozicijatana prethodnata cifra.

�

�

�

�

4 m 2 dm 7 7cm = cm4 2

Pretvori go vo ednoimen broj brojot 4 dm 5 mm, primenuvaj}i gi dvete prikaànipostapki.

3

2 Objasni zo{to 5 hg 3g = 5 hg 0 dag 3 g = 503 g.

Da zapomnam! Ovie pove}e ime nibroevi lesno gi zapi{uvam voednoimen broj.

Gi bri{am pogolemite merniedinici, a ostanuva najmalata.

Treba da vnimavam dalitreba da stavam 0 i kade.

Ako vo pove}eimeniot broj vo merkiteza dolìna, masa ili te~nost nedo -sta suva po red nekoja merna edinica,na nejzinoto mesto se stava 0.

Voo~i i zapomni!

�

193

Voo~i deka pove}eimen broj vo merki za vreme ne moè{ da go pretvori{ vo ednoimenspored prikaàniot vtor na~in. Zo{to?

Voo~i go vtoriot (skraten) na~in za pretvorawe na pove}eimen vo ednoimen broj.

Zabeleà! Moè{ da gi izbri{e{ mernite edinici, da stavi{ zapirka po merniotbroj na mernata edinica vo koja se bara da go pretvori{ pove}eimeniot broj i nakrajot da ja zapi{e{ taa merna edinica. Ako vo redosledot nedostasuva nekoja mernaedinica, na nejzino mesto se stava nula.

Pretvori go brojot 5 m 3 dm 8 cm vo: a) decimetri; b) metri.5

Pretvori go brojot 8 l 7 dl 3 ml vo decilitri.6

Pretvori gi vo ednoimeni broevi vo najmala edinica:

a) 5 god 3 mes. 2 dena; b) 4 mes. 2 sedm. 3 dena 5 ~asa;

v) 2 h 34 min 15 s.

(1 god = 365 dena, 1 mes. = 30 dena).

4

Voo~i gi i zapomni gi postapkite!

a) Vo decimetri:

5 m = 5 ⋅ 10 dm = 50 dm8 cm = (8 : 10) dm = 0,8 dm5 m 3 dm 8 cm = 50 dm + 3 dm + 0,8 dm == 53,8 dm.

b) Vo metri:

3 dm = (3 : 10) m = 0.3 m8 cm = (8 : 100) m = 0,08 m5 m 3 dm 8 cm = 5 m + 0,3 dm + 0,08 m == 5,38 m.

B

��

5 m 3 dm 8 cm = 53,8 dm.� 5 m 3 dm 8 cm = 5,38 m.�

��

��

Da zapomnam! Ako pove}eimen broj pretvoram vo ednoimen broj vomerna edinica {to ne e najmala, toga{ merniot broj e decimalen.

Pretvori go brojot 4 kg 6 dag 5 g vo kilogrami.7


Da pretvori{ pove}eimen broj voednoimen, vo koja bilo merna edinica i

da koristi{ poprakti~ni postapki zapretvorawe;

deka pri pretvorawe na pove}eimen voednoimen broj, vo najmala merna edini -ca od pove}eimeniot broj, merniot broje priroden broj, a vo drugi slu~ai edecimalen.

Pretvori gi vo ednoimeni broevislednite pove}eimeni broevi:

a) 3 m 2 dm 5 mm (vo mm);

b) 9h 26 min 54 s (vo sekundi; vominuti).

Pretvori go brojot 6 kg 5g vo ednoimenbroj vo: a) g; b) dag.

194

Ednoimeniot broj 364 cmpretvori go vo pove }e -imen broj.Raboti spored postap ka -ta i sporedi go re{e ni -eto.

9

364 cm = 3 ⋅ 100 cm + 6 ⋅ 10 cm + 4 cm

3 ⋅ 1 m + 6 ⋅ 1 dm + 4 cm == 3 m 6 dm 4 cm

Merniot broj pretstavi go vo razvienaforma taka {to imenuvaniot broj da bidezbir na istoimeni broevi (vo cm).

Spored razvienata forma na merniot brojpretvori gi centimetrite vo pogolemi merniedi nici i toa zapi{i go kako pove}eimenbroj.

Zada~i

Pretvori go vo ednoimen broj (vonajmalata merka vo brojot) brojot:

a) 5 km 2 dam 5 m; b) 7 hl 8 dal 4 ml;v) 4 t 6 kg 5 dag; g) 9 dena 8 h 7 min.

1.

Pretvori:

a) 8 m 3 dm 4 cm vo dm;

b) 8 km 9 dam 7 m vo km;

v) 5 t 8 kg 7 hg 5 g vo kg;

g) 9 kg 7 dag 5 g 8 mg vo g;

d) 8 l 5 dl 6 ml vo dl.

4.

Korab e visok 2 km 7 hm 6 dam 4 m.Kolku metri e visok Korab?

2.

Vremeto me|u dve polni mese~iniiznesuva 29 dena 12 h 44 min 3 s.Kolku sekundi ima ovoj period.

3.

Zanimlivo pra{awe

Ako vo 24 ~asot pa|a do`d, dali po 48~asovi vremeto mo`e da bide son~evo?

PRETVORAWE NA EDNOIMEN BROJ VO POVE]EIMEN BROJ5Potseti se!

Brojot 428 se zapi{uva vo razviena formana sledniot na~in:

428 = 400 + 20 + 8 = 4 ⋅ 100 + 2 ⋅ 10 + 8.

Zapi{i gi broevite 764 i 8 053 vo raz vi enaforma.

A

�

�

Voo~i!

364 cm = 3 m 6 dm 4 cm

Poprakti~no!

Voo~i!

5 427 mm = 5 m 4 dm 2 cm 7 mm5 427 mm = 5 4 2 7

Me|u cifrite od brojot treba da se os tavat praznimesta;do cifrata na pozicijata edinici treba da se za -pi{e najmalata merka (toa e mm);do cifrata na desetki treba da se za pi{e 10 patipogo lemata merka (toa e cm) itn.

Seto ova e to ~nosamo za imenuva nibro evi vo mer kiteza dol`ina, masai te~nost.

195Pretvori go vo pove}eimen broj, brojot: a) 5034 g; b) 2014 dl; v) 60308 mm.2

B

Pretvori go brojot 4837154 s vo pove}eimen broj.3

4837154 s : 60 = 80619 min i ostatok 14 s

80619 min : 60 = 1343 h i ostatok 39 min

1343 h : 24 = 55 dena i ostatok 23 h

Ako brojot na sekundite go podeli{ so 60, }e dobie{ minuti i ostatok vo sekundi.

Ako brojot na minutite go podeli{ so 60, }e dobie{ ~asovi i ostatok vo minuti.

Ako ~asovite gi podeli{ so 24, toga{ {to e koli~nikot, a {to ostatokot?

Voo~i ja postapkata i sporedi go re{enieto:

4837154 s = 55 d 23 h 39 min 14 s.

Voo~i!Voo~iv deka: ^lenovi na baraniotpove}eimen broj se: posledniotkoli~nik (55 d) i trite ostatoci(23 h, 39 min i 14 s)

Pretvori go vo metri brojot 8,2 cm.Voo~i gi postapkite i sporedi go re{enieto.

I na~in8,2 cm = (8,2 : 100) m; 8,2 cm = 0,082 m.

II na~inVnesi go brojot vo tabela so merni edinici.

km hm dam m dm cm mm0 0 0 0 0 8 2

km hm dam m dm cm mm0 0 0 6 3 8 4

Zapirkata stavi ja zad mernata edinica vo kojapretvorame (m). Zna~i, 8,2 cm = 0,082 m.

Pretvori go brojot 6,384 m vo pove}eimen broj.

Sostavi tabela so merni edinici i vo nea vnesi gobrojot. Pro~itaj go brojot.

Pretvori gi ednoimenite broevi: 324 min; 4526 dena; 6462 g; i 4142 l vo pove}eime nibroevi.

,

Od tabelata se ~ita: 6,384 m = 6 m 3 dm 8 cm 4 mm.

, ,

4

5

6

7

�

��

kg hg dag g dg cg mg0 9 7 5 3 0 2

Brojot {to e vo tabelata pretstavi go: a) kako pove }eimen broj; b) vo dg; v) vo kg.

196 Treba da znae{!

Da pretvori{ ednoimen broj vo pove -}eimen broj i da koristi{ poprakti~nipostapki za pretvorawe.

Pretvori go vo poeve}eimen broj brojot:

a) 6 475 mm; b) 3 604 ml; v) 24 300 s.

Proveri se!

Zada~i

Ednoimeniot broj pretvori go vopove}eimen:

a) 3 402 mm; b) 4 007 cm;

v) 47 063 dg; g) 47 632 mg;

d) 1 035 ml; |) 35 007 dl.

1.

Ednoimeniot broj vnesi go vo tabela,a potoa zapi{i go vo pove}eimen broj:

a) 387,25 m; b) 30,02 dam;

v) 320,05 g; g) 401,53 dl.

2.

Pretvori go brojot vo pove}eimenbroj bez da koristi{ tabela:

a) 22,05 m; b) 5 302,67 g;

v) 43,15 l; g) 0,237 kg.

3.

Mese~inata ja obikoluva Zemjata za 2 551 443 sekundi. Pretvori go ovojbroj vo pove}eimen (vo: denovi,~asovi, minuti i sekundi).

4.

OPERACII SO IMENUVANI BROEVI6Potseti se!

Nabroj gi merkite za dolìna, masa, te~ -nost, vreme i temperatura. Koja e osnov na -ta merna edinica za sekoja od merkite?

Zapi{i:

a) 8 m 4 dm 3 mm vo milimetri; b) 7 kg 5 dag 4 g vo gramovi;v) 7 dal 7 l 5 dl vo decilitri;g) 3 d 2 h 8 min vo minuti.Zapi{i go brojot vo pove}eimen broj:

a) 3 507 g; b) 7 402 dl; v) 4 005 m; g) 5 032 min.

Edna letva ima 2 m 7 dm 4 cm, a druga 3 m 2 cm.

Kolkava e vkupnatadolìna na let vite?

Potrebno e da sepresmeta zbirot od dol -ìnite na dvete letvi.Toa moè da se napravina dva na~ina.

Voo~i ja postapkata isporedi go re{enieto.

1A

2 m 7 dm 4 cm3 m 0 dm 2 cm

2 m 7 dm 4 cm+ 3 m 0 dm 2 cm

5 m 7 dm 6 cm

Zapi{i gi pove}eimenite broevi taka {to istoimenite~lenovi da bidat eden pod drug

Presmetaj go zbirot na sekoj par istoimeni~lenovi.

I. �

�

197

+Voo~i!

2 m 7 dm 4 cm 5 m 7 dm 6 cm+ =3 m 2 cm

+

Zbirot na pove}eimenite broevi go odrediv taka {to sobrav centi -metri so centimetri, decimetri so decimetri i metri so metri.

Voo~i go zbi rot nabroevite 5 dm 9 cmi 3 dm 4 cm.

5 dm 9 cm + 3 dm 4 cm

8 dm 1 3 cm = 9 dm 3 cm

Ako nekoj ~len vo zbirot so drìpogolema merna edi nica, toga{taa se dodava na ~lenot pred nego.

II. Raboti spored barawata i voo~i drug na~in na re{avawe:

2 m 7 dm 4 cm = 274 cm3 m 2 cm = 302 cm

274 cm +302 cm = 576 cm

576 cm = 5 m 7 dm 6 cm

Odredi go zbirot na dobienite ednoimeni broevi.

Dobieniot ednoimen broj pretvori go vo pove}eimenbroj.

2 m 7 dm 4 cm + 3 m 2 cm = 274 cm + 302 cm = 576 cm = 5 m 7 dm 6 cmVoo~i

Pretvori gi pove}eimenite broevi vo ednoimeni bro evivo najmalata merna edinica taka {to tie da bidatistoimeni.

�

��

��

�

�

7 dm 4 cm - 2 dm 6 cm

4 dm 8 cm

Zabeleà deka: 4 cm e pomalo od 6 cm;od 7 dm odzede 1 dm;1 dm = 10 cm;10 cm + 4 cm = 14 cm;14 cm - 6 cm = 8 cm;6 dm - 2 dm = 4 dm.

Voo~i ja razlikata nabro evite 7 dm 4 cm i 2 dm 6 cm.

Presmetaj: 4 m 5 dm 3 mm + 7 m 9 cm 8 mm - 3 m 3 dm 2 mm.Raboti spored slednite upatstva:

2

Presmetaj go zbirot na broevite 4 m 5 dm 3 mm i 7 m 9 cm 8 mm.Od presmetaniot zbir odzemi go brojot 3 m 3 dm 2 mm.

10 cm6 dm

��

3 Presmetaj 2 m 4 cm 3 mm ⋅ 3. Moè da se presmeta na dva na~ina:

Sekoj ~len na pove}eimeniot broj pomnoì go so 3.

Ako pri mnoèweto dobie{ broj {to sodrì pogolema merna edinica, neadodaj ja na soodvetnata pogolema mer na edinica.

I.

B

198 2 m 4 cm 3 mm ⋅ 3 = 6 m 12 cm 9 mm = 6 m 1 dm 2 cm 9 mm��

�

2 m 4 cm 3 mm ⋅ 3 = 2043 mm ⋅ 3 = 6129 mm = 6 m 1 dm 2 cm 9 mm.

Presmetaj 12 km 9 dam 6 m : 3.Moè da se presmeta na dva na~ina:

4

5 Presmetaj: 4 m 5 dm 3 mm - 9 dm 6 cm : 3.

Sekoj ~len vo pove}eimeniot broj podeli go so 3;I.

12 km 9 dam 6 m : 3 = 4 km 3 dam 2 m

Pove}eimeniot broj pretvori go vo ednoimen broj;

presmetaj go koli~nikot na ednoimeniot broj i brojot 3;

dobieniot koli~nik pretvori go vo pove}eimen broj.

II.

Pove}eimeniot broj pretvori go vo ednoimen broj (vo mm);dobieniot ednoimen broj pomnoì go so 3;

II.

dobieniot proizvod pretvori go vo pove}eimen broj.

Voo~i drug na~in na re{avawe.

Vaka e poprakti~no:

12 km 9 dam 6 m : 3 = 12096 m : 3 = 4032 m = 4 km 3 dam 2 m.

��

6 Presmetaj: 5 kg 7 dag 8 g + 9 hg 8 dag 4 g.Zbirot moè{ da go presmeta{ na dva na~ina. Postapi spored barawata:

Zapi{i gi pove}eimenite broevi edenpod drug, taka {to istoimeni te broevida bidat na ista verti kalna prava.

Izvr{i go sobiraweto na istoime ni tebroevi.

Ako vo zbirot ima pogolema mernaedinica nea dodaj ja na soodvetnatapogolema merna edinica.

I. na~in

Pretvori gi pove}eimenite broevi voednoimeni broevi vo nejmalata mernaedinica (vo gramovi).

Izvr{i go sobiraweto.

Presmetaniot zbir pretvori go vopove}eimen broj.

II. na~in

Zbir ili razlika na pove}eimeni broevi od merkite za masa i od merkite za te~nostse odreduva na ist na~in kako {to se odreduvaat i za pove}eimenite broevi odmerkite za dolìna. Na ist na~in se mnoì, odnosno deli, pove}eimen broj od tiemerki so imenuvan broj.

V

�

�

�

�

��

199

��

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto: 5 l 5 dl 5 ml + 6 dal 4 dl = 6 dal 5 l 9 dl 5 ml.

Voo~i deka, za da gi sobere{ dvata pove}eimeni broevi spored vtoriot na~in,potrebno e dvata pove}eimeni broevi da gi pretvori{ vo ednoimeni so ista mernaedinica.

5 l 5 dl 5 ml + 6 dal 4 dl = 5 505 ml + 60 400 ml = 65 905 ml = 6 dal 5 l 9 dl 5 ml.

5 t 642 kg 8 dag ⋅ 4 = 564 208 dag ⋅ 4.Izvr{i go mno`eweto i dobieniot ednoimen broj zapi{i go vo pove}eimen.

�

�

Presmetaj: 4 l 5 dl 5 ml + 6 dal 4 dl.7

Odredi ja vrednosta na izrazot: a) 24 kg - 6 dag 3 g + 9 kg 8 hg 5 dag; b) 7 kl 5 dal 6 l 9 dl - 7 hl 8 l 5 dl + 6 kl 4 dal 4 dl.

8

9 Brojot 5 t 642 kg 8 dag zgolemi go 4 pati.

Presmetaj: a) 2 kg 2 hg 5 dag 4 g : 49; b) 32 l 5 cl ⋅ 5 + 6 dal 2 l 6 dl 5 cl : 35.10

11

12

13

Mimoza se rodila koga Kire imal 6 g 3 mes 8 dena. Sega Mimoza ima 10 g. 11 mes. 24 dena. Kolku godini ima Kire?

G

Presmetaj: 5 g. 6 mes.12 dena ⋅ 3 - 3 g. 5 mes. 6 dena : 9. Postapi spored barawata:

Simo prestojuval vo stranstvo 8 g. 7 mes., a negoviot sin Zoran 5 pati pokuso vreme.Kolku vreme Zoran prestojuval vo stranstvo?

Odredi go zbirot na pove}eimenite broevi.

Pogolemite merni edinici dodaj gi nasoodvetnata povisoka merna edinica.

Za da ja odredi{ starosta na Kire, treba da postapi{ na sledniot na~in.

6 g. 3 mes. 8 dena+ 10 g. 11 mes. 24 dena

16 g. 14 mes. 32 dena1 g. 2 mes. 1 mes. 2 dena

17 g. 3 mes. 2 dena

5 g. 6 mes. 12 dena = 2017 dena3 g. 5 mes. 6 dena = 1251 den

2017 dena ⋅ 3 - 1251 den : 9 = = 6051 den - 139 dena = 5912 dena

5912 dena : 365 = 16 g. i ostatok 72 dena5912 dena = 16 g. 2 mes. 12 dena

Pretvori gi pove}eimenite broevi voednoimeni (vo denovi).

Izvr{i gi nazna~enite operacii sodobienite ednoimeni broevi.

Dobieniot rezultat pretvori go vopove}eimen broj.

200Treba da znae{!

Proveri se!

Da presmeta{ zbir i razlika na pove -}eimeni broevi od merkite za dol ̀ i -na, masa te~nost i vreme;

Presmetaj:

7 m 2 cm 5 mm + 4 m 3 dm 2 cm -- 6 dm 8 cm 7 mm;7 t 5 kg 8 g + 435 kg 9 g - 2 t 125 kg;7 hl 7 l 4 ml + 5 dal 3 l 6 cl;13 g. 6 mes. 7 den. - 10 g. 8 mes. 20 den.

Presmetaj:

5 m 3 dm 2 cm ⋅ 7; 9 m 6 cm 3 mm : 3;2 t 3 kg 4 dag : 9 + 654 kg 3 dag ⋅ 2;4 l 3 cl 2 ml ⋅ 5 - 2 l 5 cl 2 ml : 9;6 g. 9 mes. + 15g. 8 mes. 9den. : 9.

sobiraweto i odzemaweto na pove}e -imenite broevi da go izveduva{ na dvana~ini: sobirawe, odnosno odzemawe,na istoimenite ~lenovi ili so pre -tvorawe na pove}eimenite broevi voednoimen;

da presmeta{ proizvod, odnosno koli -~nik na pove}eimen broj so neimenuvanbroj na dva na~ina: so mno`ewe, odno -sno delewe na ~lenovite na pove}e i -meniot broj so neimenuvaniot, ili sopretvorawe na pove}eimeniot broj voednoimen.

Zada~i

Presmetaj:

a) 2 m 8 dm + 6 dm 4 cm + 5 cm 9 mm;b) 4 km 3 dam 5 m - 8 dam 6 m;v) 9 m - 6 m 3 dm 5 cm + 4 dm 3 cm.

1.

2. Presmetaj:

a) M ⋅ 4, ako M = 6 m 7 dm 3 mm;b) P : 2, ako P = 8 dm 6 cm 4 mm;v) 9 m 7 cm 2 mm : 8;g) (246 cm - 2 dm 2 cm) : 8.

Presmetaj: A + B - C ako:a) A = 3 t 3 kg; B = 305 dag C = 205 kg 6 dag.

b) A = 3 l 2 cl; B = 2 dal 2 dl C = 1 l 2 dl 3 ml.

3.

Ako e M = 6 l 3 cl, kolku e:a) M ⋅ 4; b) M - 2 ml; v) M : 9.

4.

Pretprijatieto dobilo 8 sandacistoka. Sekoj sandak ima 1 t 136 kg.Odredi ja masata na nabavenata stoka.

5.

Vo prodavnicata e doneseno 6 hl 3 dal5 l sok koj }e se prodava po 45 denariza 1 l, i 154 kg jabolka po 30 denariza 1 kg. Kol ku denari ~inat sokot ijabolkata zaedno?

6.

Presmetaj:7.12 kg 42 g : 9; 5 l 7 dl 4 cl : 7;12 t 632 kg : 8.

Doma}inkata potro{ila 13 kg 4 hg4 dag bra{no za 6 dena.

8.

Kolku bra{no prose~no tro{eladnevno?Kolku bra{no potro{ila prvite 5dena?

Vozot, spored vozniot red stignuvavo 18 h 45 min.Ako docni 1 h 42 min, vo kolku ~asot}e stigne?

9.

201MERKI ZA PLO[TINA7Potseti se!

Odredi ja plo{tinata na pra -voagolnikot, spored dade nitedimenzii.

1 Odredi ja plo{tinata na figuratana crte`ot.

Vo koja merna edinica ja presmetaplo{tinata na figurata?

Plo{tinata na Ohridskoto Ezero e 349 km2.2

3 cm

5 cm

Vo koja merna edinica jaizrazi plo{tinata na pravo -agolnikot?

So koja merka e iska`ana plo {ti nata naOhridskoto Ezero?

Nabroj i drugi merki za plo{tina.

2 cm

1 cm2 cm

1 cm

A

Osnovna merna edinica za plo{tina e kvadraten metar (m2).Kvadraten metar e plo{tinata na kvadrat so strana 1 m.

Zapomni

Pogolemi i pomali merni edinici od kvadraten metar se navedeni vo slednava tabela.

Pogolemi merniedi ni ci od kvadra -ten metar se:

kvadraten dekametar(dam2)

kvadraten hektometar(hm2)

kvadraten kilometar(km2)

1 dam2

1 hm2

1 km2

1 dm2

⋅10000

⋅100

⋅1000000

:10000

:100

:1000000 1 mm2

1 cm21 m2

Voo~i gi i zapomni gi vrskite me|u kvadraten metari drugite merki za plo{tina.

1 km2 = 100 ha = 10 000 a = 1 000 000 m2

1 ha = 100 a = 10 000 m2

1 a = 100 m2

1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2

1 dm2 = 100 cm2 = 10 000 mm2

1 cm2 = 100 mm2

Za merkite hm2 i dam2 se upotrebuvaat imiwata hektar (ha) i ar (a), t.e. 1 ha = 1 hm2 i 1 a = 1 dam2.

Pomali merni edi -ni ci od kvadraten

metar se:

kvadraten decimetar(dm2)

kvadraten centimetar(cm2)

kvadraten milimetar(mm2)

202

1 mm22 3 4 5 6 7 8 9

9

8

7

6

5

4

3

2

1

101

1 dm2

Konstruiraj kvadraten decimetar, podeli go nakvadratni centi me tri i oboj go kako na crteòv.

3

Koj meren broj treba da stoi na mestoto na ∗ za da bide to~no:1 m2 = ∗ dm2 1 dm2 = ∗ cm2

1 m2 = ∗ cm2 1 dm2 = ∗ mm2

1 m2 = ∗ mm2 1 cm2 = ∗ mm2

4

Kolku cm2 ima vo 1 dm2?

Koja plo{tina e pogolema: 1 m2 ili 100 dm2?

Da zapomnam! Sekoja merka za plo{tina e 100 pa tipomala od merkata {to e neposredno po golema od nea.

1 cm2

Proveri se!

Kolku a) kvadrtani decimetri;b) kvadrtani centimetri ima vo 5 m2?

Kolku a) kvadrtani hektometri (hm2);b) kvadrtani dekametri (dam2);v) kvadrtani metri (m2) ima vo 3 km2?

Kolku km2 ima vo 200 ha?

Treba da znae{!

Koja e osnovnata merna edinica zaplo{tina;

da gi nabroi{ pogolemite i pomalitemerki za plo{tina od kvadraten metar;

koi se vrskite me|u mernite edinici zaplo{tina.

Zada~i

1. Kolku a) kvadratni centimetri;b) kvadratni milimetri ima vo 7 dm2?

3. Se prodava edna niva od 2 ha.Sopstvenikot ja prodal taka {to zasekoj m2 dobil po 240 denari. Kolkuvkupno dobil za nivata?

4. Dolìnata na edna pravoagolna sobae 8 m, a {irinata e 6 m. Sobata trebada se poplo~i so kvadratni plo~ki odpo 100 cm2. Kolku takvi plo~ki sepotrebni za poplo~uvawe na sobata?

2. U~ili{niot dvor so forma napravoagolnik ima dolìna 65 m i{irina 45 m.Kolku a) kvadratni metri; b) ari imatoj dvor?

203MERKI ZA VOLUMEN8Potseti se!

Kvadratot K na crteòt se sodrì to~no8 pati vo pravoagolnikot P.

Kolku e merniot broj na pravoagolnikotP vo odnos na kvadratot K?

Tuka kvadratot K e zemen za „edini~enkvadrat”, t.e. kako merka za merewe napravoagolnikot P.

[to pretstavuvaat 8-te kvadrati K zapravoagolnikot P?

Koi merki za plo{tina znae{?

Utvrdi so broewe, od kolku ta k -vi kocki e sostaven kvadarot T(t.e. kolku pati kockata Y se so -drì vo kvadarot T).

K P

1 Na crteòt e pretstavena ko c -ka Y i kvadar T. Kvadarot T esostaven od kocki, ednakvi sokockata Y.

Voo~i!

Kvadarot T zafa}a to~no 6 kocki, edna k -vi so kockata Y, zatoa velime de ka:merniot broj na kvadarot T vo odnos nakockata Y e 6, ili: volumenot na kva da -rot T e 6 vo odnos na kockata Y.

Kockata Y e zemena za „edini~na kocka”, t.e. kako merka za sporeduvawe na zafat ni -nata na kvadarot T so zafatninata na kockata Y.

YT

Da zapomnam! Za da iz meram volumen na nekoj kvadar, tre ba da izbrojamkolku edi ni ~ ni kocki moàm da slo ̀ am vo toj kvadar.

A

Zapomni!

Kockata {to ja izbravme za merewe na kvadarot se vika edini~na kocka. Merniotbroj na toj kvadar vo odnos na edini~nata kocka se vika volumen (ili zafatnina)na kvadarot.

Osnovna edinica za merewe volumen e kuben metar. Zapi{uvame: 1 m3, ~itame: edenkuben metar. Kuben metar e volumen {to go zafa}a kocka so rab 1 m.

Se upotrebuvaat i pomali edi nici od kuben metar. Voo~i ja tabelata.

Pomali merni edinici od kuben metar:

kuben decimetar (dm3)

kuben centimetar (cm3)

kuben milimetar (mm3)

1 dm3

1 cm3

1 mm3: 1000000000

: 1000000

: 1 0001 m3

204 Da zapomnam! Edna mer ka za volumen e 1 000 pati pogolema odnepo sredno poma lata merka.

Vo pregledot e daden odnosot me|u mernite edinici za volumen.

1 m3 = 1 000 dm3 1 dm3 = 1 000 cm3

= 1 000 000 cm3 = 1 000 000 mm3

= 1 000 000 000 mm3 1 cm3 = 1 000 mm3

2 Objasni zo{to 1 dm3 ima 1 000 cm3.

Voo~i go crte`ot i raboti spored postapkata.

Kolku kocki so volumen 1 cm3 mo`e{ da naredi{ edna do druga po rabot na kocka so volumen 1 dm3?

Kolku takvi redovi ti se potrebni za da ja pokrie{ osnovata na kockata od 1 dm3?

Kolku takvi sloevi ti se potrebni za da ja ispolni{ kockata od 1 dm3?

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

109

87

65

43

21

205Voo~i!

Po rabot moè{ da naredi{ 10 kocki so volumen 1 cm3;

ti trebaat 10 redovi po 10 cm3; t.e. 100 cm3;

ti trebaat 10 sloevi po 100 cm3, t.e. 1000 cm3.

��

1 cm3

3 So broewe utvrdi od kolku kocki so volumen 1 cm3 esostavena ovaa figura (kvadar).

Od 12 kocki so volumen 1 cm3 sostavi kvadar. Toa moè{ dago napravi{ na u{te 3 na~ini pokraj prikaàniot. Obidi se!

Proveri se!

Kolku pati mernata edinica 1 m3 epogolema od 1 cm3?

Kolku pati mernata edinica za volumene pogolema od neposredno pomalatamerna edinica?

Kolku a) dm3; b) cm3 ima vo 5 m3?

Treba da znae{!

Koja e osnovnata merna edinica zavolumen;

da gi nabroi{ pogolemite i pomalitemerki za volumen od eden kuben metar;

koi se vrskite me|u mernite edinici zavolumen.

Zada~i

1. Nabroj gi mernite edinici za volumen{to se pomali od m3.

2. Kolku dm3 ima vo 4 m3?

3. Kolku m3 ima vo:a) 7 000 dm3; b) 500 dm3;v) 200 000 cm3?

4. 27 650 mm3 zapi{i gi vo cm3.

Problemi!

Ima{ dva sada od 3 l i 5 l.So pomo{ na ovie sadovi izmeri 4 lvoda.

3 l 5 l

206 VOLUMEN NA KVADAR I KOCKA9Potseti se!

So broewe na kockite od koi e so -staven kvadarot, odredi go negoviotvolumen.

Kvadarot 1 e sostaven od 12 kockiso volumen 1 cm3.Spored toa kvadarot 1 ima volumenV1 = 12 cm3.

Odredi gi volumenite na kvadarot 2i kvadarot 3 .

1 cm3

1 2

3 Voo~i gi na gornata plo~a „ze lenata”,„òltata” i „sinata” pra~ka.Po kolku edini~ni kocki, t.e. po kolkukubni centimetri ima sekoja?

Voo~i deka i vo dolnata („cr venata”)plo~a ima isto tolku edini~ni kocki,t.e. isto tolku kubni centimetri.

Kolku vkupno edini~ni kocki, t.e. ku bnicentimetri ima vo kvadarot?

1 Presmetaj go volumenot na kva -darot od crteòt, ako dolì -nite na ne govite rabovi se 3 cm,4 cm i 2 cm.

1 cm

1 cm1 cm

2 Odredi go volumenot na kvadar so dimenzii:

a) 5 cm, 6 cm i 10 cm; b) 16 cm, 2 dm i 5 dm; v) a cm, b cm i c cm.

3 U~ilnicata ima forma na kvadar so dolìna 11 m, {irina 7 m i visina 3 m. Kolkukubni metri prostor ima u~ilnicata?

Voo~i i zapomni!

Vo kvadarot ima (3 ⋅ 4) ⋅ 2 edini~ni kocki, t.e. (3 ⋅ 4) ⋅ 2 kubni centimetri.

Volumenot na kvadarot e 24 edini~ni kocki, odnosno 24 cm3.

Zapi{uvame: V = 24 cm3

kade {to V e oznaka za volumen, a 24 e meren broj na volumenot. Sigurno voo~i deka toje ednakov na proizvodot od mernite broevi na tri sosedni raba na ovoj kvadar; tie sevikaat dolìna, {irina i visina (ili kuso dimenzii) na kvadarot.

A

207

Potseti se!

Zapomni!

Volumenot V na kvadar so dolìna na rabovite a, b i c se

presmetuva po formulata V = a ⋅ b ⋅ c.

a

bc

4 Rabovite na eden kvadar se: a = 6 dm, b = 8 dm i c = 9 dm. So pomo{ na formulatapresmetaj go volumenot na kvadarot.

Voo~i gi rabovite na figurata. Kakvi se me|usebe?

Figurata na crteòt eformirana od ednakvikocki so rab 1 cm.

Dali ovaa figura moè da se imenuvakako kvadar so ednakvi dimenzii?

Kako e to~no imeto na ovaa figura?

So broewe utvrdi od kolku kocki e sostavena taa.

5 Presmetaj go volumenot nakocka so rab 5 cm.

Kakvi se rabovite na kockata me|u sebe?

Voo~i deka kockata e kvadar na kogorabovite mu se ednakvi a = b = c.

Iskoristi ja formulata za volumen nakvadar i so pomo{ na nea presmetajvolu men na kocka.

V = a ⋅ a ⋅ a ili V = a3

a3 se ~ita “a na treti” ili “a na kub”.

Zapomni!

Volumenot V na kocka so dolìna na rabot a se presmetuva po formu -lata V = a3. a

a

a

Voo~iv deka volumen na kvadar }e presmetam, ako gi pomnoàmnego vite dimenzii.

6 Presmetaj go volumenot na kocka {to ima rab:

a) 6 cm; b) 30 cm vo dm3; v) 24 dm vo m3.

Upatstvo: b) a = 30 cm = 3 dm; V = 33 dm3, odnosno

V = 27 dm3.

7 [to ima pogolem volumen - kocka so rab 14 cm ili kvadar so rabovi 13 cm, 14 cm i15 cm?

1 dm3

B

208

1 dm3

1 l

Zapomni!

Osnovnata merka za te~nost se vikalitar, t.e. litar e drugo ime za kubendecimetar.

V

Potseti se!

Kako se vika osnovnata merka zate~nost?

Dali kutija vo forma na kocka sorab 1 dm sobira 1 l mineralna voda?

Proveri go ova doma, ako ima{mo`nost.

Kolku e volumenot na kvadar so rabovi2 m, 3 m i 10 m?

Kolku e volumenot na kocka so rab 7 cm?

Kolku litri sobira kutija vo forma nakocka so rab 3 dm?

Treba da znae{!

Kako se presmetuva volumen na kvadar;

da presmeta{ volumen na kvadar ako sezadadeni negovite dimenzii;

deka kockata e kvadar ~ii{to rabovise ednakvi me|u sebe;

da presmeta{ volumen na kocka ako ezadaden eden nejzin rab.

Zada~i

Edniot rab na kvadar e 8 cm, a drugitedva se ednakvi i pomali od prviot za3 cm. Kolkav e volumenot na kvada rot?

1.

Najdi kutija za ~evli, izmeri {to epotrebno i presmetaj go nejziniotvolumen.

2.

8 a) Kolku kubni decimetri ima vo 12 l? b) Kolku litri ima vo 60 dm3?

Volumenot na edna prostorija vo for -ma na kvadar e 108 m3. Dolìnata e 9m, a {irinata e 3 m. Kolku metri evisinata na prostorijata?

3.

Edna kocka ima plo{tina 24 cm2. Kolkue nejziniot volumen?

4.

Greda od ela ima dolìna 7 m. Na kra -evite ima forma na kvadrat so rab 30cm. Kolku kubni metri ima gredata?

5.

Edna kocka ima volumen 8 dm3. Pre -smetaj ja plo{tinata na kockata.

6.

Akvarium so dolìna 70 cm, {irina40 cm i visina 35 cm, napolnet e sovoda do 30 cm visina.Kolku litri voda ima vo akvariumot?

7.

Proveri se!

209Istra`i sam!

Mesec Januari Fevruari Mart April Maj Juni Juli Avgust Septemvri

Potro{uva~kana voda vo m3 29 24 23 25 27 28 31

Edno semejstvo izvr{ilo proverka na tro{ocite za voda vo prvite 9 meseci vo go-dinata. Vo tabelata e dadena potro{uva~kata na voda za sekoj mesec vo m3.

1

27 27

Presmetaj:

Kolku kubni metri voda potro{ilo semejstvoto za 9 meseci?

Najdi aritmeti~ka sredina na potro{enata voda za devette meseci. Kolku kubni metrivoda, prose~no, tro{i semejstvoto sekoj mesec?

Napravi tabela na podatoci za potro{eni pari~ni sredstva na semejstvoto za sekojmesec. Cenata na vodata e 29,5 denari za m3.

Najdi aritmeti~ka sredina na pari~nite sredstva, {to gi tro{i semejstvoto sekojmesec?

Sostavi stolbest dijagram za potro{uva~kata na voda (vo m3), vo tekot na devettemeseci.

Pretstavi ja na nego aritmeti~kata sredina.

Odredi od dijagramot vo koi meseci potro{uva~kata e povisoka od aritmeti~katasredina.

Presmetaj ja aritmeti~kata sredina (sredna vrednost) na uspehot po matematikavo tvojata paralelka.

Presmetaj go tvojot sreden uspeh na krajot na u~ebnata godina.

2

[to treba da stoi na mestoto na ∗,za da bide to~no?

a) 6 m = 60 ∗; b) ∗ km = 1 200 cm;

v) ∗ l = 3 000 ml; g) 2 dl = 200 ∗.

UU^E[E ZA MEREWE. PROVERI GO SVOETO ZNAEWE

17

1.

[to treba da stoi na mestoto na ∗,za da bide to~no?

a) 4 kg = 400 ∗; b) ∗ s = 6 min;v) 2 h = ∗ min; g) 5 OC = ∗ K.

3.

Zapi{i imenuvan broj {to e od istvid so dadeniot broj, a da ne e

istoimen so nego:

a) 4 kg; b) 7 km; v) 36 min.

5.

a) Pretvori 6 h 12s vo minuti.

b) Pretvori 7 dal 3 l 5 cl vo deci -litri.v) Pretvori 4 km 7 m 14 dm vo dekametri.

g) Pretvori 6 dag 12 g vo gramovi.

7.

Pretvori go pove}eimeniot broj voednoimen, vo najmalata zapi{ana

merna edinica.

a) 2 t 40 kg 14 dag; b) 4 km 7 dam 14 dm;v) 9 dal 8 l 5 dl; g) 2 h 17 min 14 s.

6.

Kolku pati e pogolemo:

a) 4 km od 400 m;b) 6 t od 300 kg;v) 2 l od 200 ml?

8.

Pretvori:

a) 1 m 5 dm 3cm vo centimetri;

b) 3 l 3 cl vo decilitri;

v) 2 kg 3 hg 4 mg vo dekagrami;

g) 6 h vo denovi.

9.

Pretvori go vo pove}eimen brojbrojot:

a) 3 126 cm; b) 12 488 hg; v) 231 dal.

10.

Izvr{i gi operaciite:

a) 6 t 23 kg 2 dag + 247 kg - 7hg - 3 g;b) 12 488 hg - 12 kg;v) 12 km - 6 dam 9 cm;g) 2 l + 6 dl - 8 cl 7 ml.

11.

Brojot:

a) 6 t 228 kg namali go 9 pati;

b) 2 km 8 dm zgolemi go 5 pati.

12.

Zapi{i tri merki za plo{tina po -golemi od 1 cm2.

13.

Kolku pati 2 m2 e pogolemo od 4 cm2?Objasni go odgovorot .

14.

Zapi{i tri merki za volumen pomaliod 1 m3.

15.

Edna prostorija ima dimenzii 4 m; 5 m; 3,5 m. Odredi go volumenot na

taa prostorija.

16.

Edna kocka ima volumen 27 cm3.Odredi ja plo{tinata na edna strana

od kockata.

17.

Pretvori 6 dal vo dl.2.

Pretvori 2 m 5 cm vo decimetri.4.

210

211ODGOVORI I RE[ENIJA

NA


A: e, p; V: buka; A = {e, p};V = {x | x e bukva od zborot buka};b, u, k ∈ V; e ∉ V.

1.

3.

1A

3

5 6 8 9

7

B42

1. 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170,171, 172, 173, 174; zapi{ani se socif rite 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, i 0;A = { 164, 166, 168, 170, 172, 174}.

2.

4.

3.

70, 80, 90, 110, 130, 150; so strelka e po -so~en brojot 35 (trieset i pet) i brojot 59(pedeset i devet).

S = { 1, 3, 5, 7, ...}; 1 e najmal vo S; S ne manajgolem element; S ima besko ne~no mnoguelementi.

2.

1.

2.

3.

D = {1, 3, 5, 7, 9}; N = {x | x e paren brojpomal od 11}; D i N se ekvivalentni,za{to imaat ednakov broj: δD = 5 iδN = 5.

(2, a), (2, b), (2, c), (5, a), (5, b), (5, c).2.

M

N

Ca D

S

y

UP

K

To~no e deka y ∈ P, za{to K e podmnoèstvood R, pa sekoj element od K (me|u niv i y)mu pripa|a na mnoèstvoto R.

4. ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.

0 2 4 6 8 10 14 16 20

1.

a) 2; b) 8; v) 7 i 3.

3.

S = { 0, 1, 2}; P = {m}; S2 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2),(1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2)}.

4.

A × B = {(Jovan, pee), (Jovan, spie), (Jovan, u~i), (Biljana, pee), (Biljana, spie),(Biljana, u~i), (Dragan, pee), (Dragan, spie),(Dragan, u~i)}.

1. δL = 5; δS = 0; δK = 0; δM = 0 (M - mnoè stvoto tvoi drugari {tobile na Mars).

2. δA = 5; δB = 4. 3. δA = 98; δB = 17.

Problem. Mnoèstvata od prvite tri pra {awase kone~ni, a mnoèstvoto od ~etvrtotopra{awe ne e kone~no.

Problem. Kupuva~ot kupil brojki 1, 2 i 3 zaku}en broj 312.

1. a) Unija. b) Razlika. v) Presek.

3. a) P ∪ S e mnoèstvoto na site broevi odprvata desetka; b) P ∩ S e prazno mnoè -stvo; v) P \ S e mnoèstvoto P; g) S \ P emnoèstvoto S.

2. δA = 4, δM = 5; A ∪ M = { m, n, p, k, s, t, r}, M ∩ A = { p, k}, M \ A = { s, t, r};δ(M ∪ A) = 7, δ(A ∩ M) = 2, δ(M \ A) = 3.

zada~ite

1

2

5

6

1.

2.

a) 5 e vo klasata milioni, 2 - vo ilja-di, 7 - vo edinici, 0 - vo iljadi.

3. 8 302 060 400 500.

b) 5 e na pozicijata edinici milioni (EM), 2 ena stotki iljadi (SI), 7 e na desetki (D), 0 e nadesetki iljadi (DI).v) 5 ima poziciona vrednost 5 000 000, 2 ima200 000, 7 ima 70, 0 ima 0 ⋅ 10 000 = 0.

7

3

4klasa

milioniklasa iljadi

klasaedinici

SM DM EM SI DI EI S D E

7 4 0 5 9 0 6

1. 1, 2, 5 i 7. Site deliteli na 64 se:

1. 28, 70, 96 i 25 000 se delivi so 2, za{tozavr{uvaat na 0, 6 ili 8.

3. 275, 400 i 995. 4. 65.

2. Primer 1): 4 e delitel na sekoj od broevi -

3. a) i v) da; b) i g) ne. 4. a), v) i g) so 3;

5. B = {16, 24, 32}.

5. Jatoto letalo najmalku 250 ~a -

2124. 1 000 000 000, edna milijarda.

5. Brojot 5 se ~ita: "pet#; cifrata 5se ~ita: "petka#.

6. 1 000 000 ⋅ 1 000 000 = 1 000 000 000 000;bilion.

Problem. 7 777 777.

Problem. 22 + 22 + 222 = 266.

Problem! 100. Re{enie.

Obidi se da re{i{. Na primer: 1) brojot na tvojot omilen televiziski kanal; 2) brojot na patna isprava (paso{).

1. Dve iljadi trista ~etirieset i pet;

2. 300 205 800.

4. Poblisku e: a) do 24 600; b) do 25 000.

5. 25 380; 25 400; 25 000.

7. Ne postoi; 1; (eden) milion dveste i{esnaeset iljadi trista pedeset i osumdenari.

6. 15 410 000.

3. <; >; >; <.

dveste i pedeset; {est milioni ~etiristotiniiljadi trista i deset.

8

14

15

16

18

19

10

11

12

13

54 18 3

108 36 6

18 6 1

1. 187; 99; 171. 3. 238; 174;

4. 13 000; 13 700; 13 770; 763; 63; 7;

2. 2 026.

9 060.

1. 962; 11 115. 3. 2 845; 5 185.

4. Pribli`no: 16 stotki; to~no: 1 770 den.

Obidi se: Da.

Zanimliv problem! 31 jajce. Upatstvo.Pettiot kupuva~ kupil 1 jajce, ~etvrtiot kupil2 ⋅ 1 + 1 = 3 jajca, tretiot kupil 2 ⋅ 3 + 1 = 7jajca, itn.

2. 495.

1.

1.

6 510; 51 240; 100 000; 7 000; 4 800;

1. Zbirot }e se zgolemi za 234.

zgolemi za 25.

(2 + 4 + 6 + ... + 200) - (1 + 3 + 5 ... + 199) = (2 - 1) + (4 - 3) + (6 - 5) + ... + (200 - 199) = 100.

3. Za x = 13.

2. 11 760. 3. 382 200 km.

4. a) 30 000; b) 35 100; to~no: 34 036; proce -netiot proizvod vo a) e pomal od to~niotza 4 036, a vo b) e pogolem za 1 064.

5. Po redosled na pojavuvawe na ∗: 4, 0, 1, 0;439 ⋅ 47 = 20 633.

4. Namalenikot treba da se

5. a) 100; b) 100; v) 80; g) 110.

6. 600 denari.

2. 1 550.

343; 69.

:3 :6

84 12 6

98 14 7

42 6 3:7 :2

2. 8; 171; 76; 7; 12; 13.

1. a) 180; b) 420; v) 15; g) 60.

1. a) 48; b) 225. 2. a) x = 110; b) x = 200;

3. 305 gajbi. 4. 35 godini. 4. Po 20 orevi.

v) x = 17; g) x = 120; d) x = 21; |) x = 3.

1, 2, 4, 8, 16, 32 i 64. To~no e deka 4 | 12, 3 | 36 i10 | 1 000. Sodràteli na 3 se, na primer: 3, 6,9, 12, 15, 18, 21, a ima bezbroj mnogu.

te 8, 20, 28 i 36; nivniot zbir e brojot 92, a 92 : 4 = 23, t.e. i 92 e deliv so 4. Zna~i, 4 | (8 + 20 + 28 + 36). Primer 2): 12 | (48 - 36), za {to 12 | 48 i 12 | 36.Primer 3): 7 | 21 ⋅ 5 ⋅ 6, za{to 7 | 21.

2. a) 450;

b) 15; v) 90; g) 90.

768 : 24 = (768 : 3) : (24 : 3) = 256 : 8 = 32.

3. a) 16; b) 4; v) 16.

4. 5 040. 5. 32. Re{enie. 7 680 : 240 =

3. 145; 707; 700.

4. 20; 8.

6. 1 755 : 45 = 39. 7. 19. 8. 600 i 60.

to~niot zbir e: 13 763.

sovi. Polàvot pominal 5 cm za edna minuta.Re{enie. Bidej}i polàvot pominal 12 m za 4~asa, toj pominuval po 3 m na ~as, t.e. 300 cmza 60 minuti, a toa zna~i 5 cm (= 300 : 60) za 1minuta.

b) i g) so 7.

213

1. 1 324, 1 432, 3 124, 3 412, 4 132 i 4 312.

Vnimavaj: so cifrite 1, 2, 3 i 4 moè{ daformira{ 24 ~etiricifreni broevi; od nivsamo gornite {est broevi se delivi so 4.

ili 8.

1. 15 = 3 ⋅ 5; 42 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7; 38 = 2 ⋅ 19;

2. 27.

3. 1 (dete), 3 (galeni~iwa), 2 (avtomobila) i 4

4. 14 = 11 + 3 = 7 + 7; 52 = 47 + 5 =

1. {1, 2, 3, 6}. 2. a) 6. b) 24. v) 30. g) 60.

1. {30, 60, 90, ...}; NZS (10, 15) = 30.

2. a) 40. b) 36. v) 240. g) 720.

5. 25. Pomo{. Zapi{i gi sodràtelite (do 30)

3. 300.4. 120.

6. 60 s.

3. a) 1. b) 36. 4. 24 [= NZD (48, 72)]. 5. 12 m.

6. 24 [= NZD (48, 72, 120)].

7.1. 348, 1 245 i 6 123. 2. 9 126 i 540.

4. 7; 1; 6; 7. 5. 2 ili 8.

3. 1, 4 ili 7; 1, 4 ili 7; 2, 5 ili 8; 1, 4 ili 7.

2. 0, 4 ili 8; 2 ili 6; 1, 3, 5, 7 ili 9; 0, 2, 4, 6

3. Na pr.: 20; 160; 3 240. 4. 312.

20

21

22

23

24

Obidi se da zaklu~i{! Brojot 60 e deliv so 3i vrednosta na 3 ~okoladi, nezavisno od niv-nata cena, e deliva so 3. Spored toa, mora ivkupnata suma da e deliva so 3. No, vkupnatasuma (220) ne e deliva so 3.

I ova e matematika! Igra~ot {to zema prvtre ba da zeme 2 grav~iwa i na igra~ot {to ze -ma vtor da mu ostavi 48 grav~iwa, t.e broj de -liv so 4. Potoa, kolku i da zeme vtoriot igra~,prviot mu ostava broj deliv so 4, t.e. prviotigra~ dopolnuva do 4 (vtoriot 1, prviot 3; ilivtoriot 2, prviot 2; ili prviot 3, vtoriot 1)itn. Brojot 20 e deliv so 4, pa sekoga{ pobedu-va igra~ot {to zema vtor. Ako se zemaat od 1do 4 grav~iwa, odnosno od 1 do 5 grav~iwa,toga{ se vodi smetka za delivost so 5 odnosnodelivost so 6.

Istraì sam! Sli~nosti na broevite 12 i 16:dvata se sloèni; dvata se parni; dvata sedelivi so 4. Razliki: brojot 16 e kvadrat nabroj (16 = 42), a 12 ne e; 12 ima paren brojdeliteli (D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}), a 16 ima

neparen broj deliteli (D16 = {1, 2, 3, 4, 8, 16}).

Obidi se da presmeta{! 8; 24 = NZD(8, 12).

B = {11, 13, 15, 17, 19}, C = {16, 17, 18, 19},

Zanimliv problem! Edna karta ~inela 10denari; edniot od niv nemal pari (t.e. " imal 0denari#), a drugiot imal 19 denari.

Istraì sam! 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.Upatstvo: Voo~i deka }e ostanat da svetatonie svetilki ~ij{to prekinuva~ e pritisnatneparen broj pati, a toa se svetilkite ~ij{tobroj ima neparen broj deliteli. (Takvi broevise kvadratite na prirodnite broevi: 12, 22, 32,42 itn.).

75 = 3 ⋅ 52; 11 115 = 32 ⋅ 5 ⋅ 13 ⋅ 19.

(spalni).

41 + 11 = 29 + 23.

1 3 927

26 18

364 12

54�NZD

1

7

49

23

4228 98

�NZD

211464

na sekoj od broevite 3, 4, 5, a potoa prove ri kojod sodràtelite na 5 e pogo lem za 1 i od so -dràtel na 3 i od sodrà tel na 4, istovremeno.

a) A = {11, 13, 15, 17, 19};

B ∩ C = {17, 19}.

b) v) B ~ C, B ∩ C ~ B \ C.

1.

A x B = {(a, 1), (a, 5), (b, 1), (b, 5), (c, 1), (c, 5)}; B2 = {(1, 1), (1, 5), (5, 1), (5, 5)}.

2.

a) 910, 901, 190, 109; 3.

20 350 005 070; cifrata 3 e vo klasata4.

Test:

11 17 16

181913

B C

b) 109 < 190 < 901 < 910; b) Najmal e 109;prethodnik e 108, a sledbenik 110.

milioni, na pozicijata stotki milioni i imabrednost 300 000 000.

3.

2.

4.

3.

4.

m

S M N P

5. MR = 3 cm, RY = 9 cm.

1.

1.

Del od pravata ograni~en so edna nej-zina to~ka.

Dolìna na otse~kata AV e rastojanietome|u krajnite to~ki A i V na otse~kata.

2.

3.

Konstrukcija se vika crte` napraven samoso li nijar i {estar.

5.

6.

7.

Dve otse~ki {to imaat ednakvi dolìnise skladni otse~ki.

C O B

Ap

K P S N LM

p

E F G

A

S

V To~kite A, V i S obrazu-vaat 3 otse~ki: AV, AS iVS.

To~kite E, F i Gobra zuvaat 3 ot -se~ki: EF, EG i FG.

8. CD = 4 cm.

OM = 6 cm; ON = 9 cm.

O A B S

4. a b

OA = 2a + ba

a b b

a bO A H

M N R

MN = a + 2b

AV = 83 mm.

214

1.

1.

3.

4.

2.

3.

TEMA 2. GEOMETRISKI FIGURI VO RAMNINA

A

aB C M

bN P

A a

c b

B

C

To~kata A.

a) Tokite: A, B i C; D, B i E.b) To~kite: A, B i E; A, D i B; D, B i C.

4.

5.

Prava MN, prava MP, prava NP.

A

D C

B To~kite A, B, C i Dopredeluvaat 6 pravi.

Pa

b c

2.

B D

CA

Zaedni~kato~ka napraviteAB, BC iBD e to~-kata B.

I slu~aj:

II slu~aj:

edna prava.

tri pravi.

A B C

A B

Caa || b.b

5.m

n || p.pn

1. AV = 70 - 42 = 28 t.e. AV = 28 mm.

2. To~kite K, L i M se kolinearni.(30 mm + 52 mm = 82 mm).

Zbirot na zaokruènite broevie 9 000; toj e pomal od to~niotzbir za 24.

5.

Razlikata }e se zgolemi za 300.6.

13 500 l.7.

a) 2 ili 6; b) 1, 3, 5, 7 ili 9.12.

315 = 32 ⋅ 5 ⋅ 7.13.

NZS(30, 50) = 150, 150 : 30 = 5. Na isto17.

NZD(18, 24) = 6; NZS(18, 24) = 72.15.

4 ekipi po 8 u~enici, od koi 3 devoj~iwa16.

D68 = {1, 2, 4, 17, 34, 68}.14.

18; brojot {to go delele e

324.

39 kg.

b) 105 i 930; v) 105, 372, 801 i 930; g) 801.

i 5 mom~iwa; NZD(12, 20) = 4.

mesto }e ostanat stolbovite: prviot, pettiot,desetiot itn.

8.

67 kg; magareto nosi 28 kg, a kowot9.

471.10. a) 372, 930 i 254;11.

14

5

2

3

215

OA = a + b - c

5.a

bOA = a - ba - b

bO A H

a + b - cO A

a - 2bb bR M Y

PM = a - 2b

AB = 250 cm.

1.

1.

1.

3.

2.

A B

CD Iskr{enata linija

ima: 5 temiwa - A,B, C, D i E5 strani - AB, BC,CD, DE i EA.

4. Perimetar na iskr {e -na linija e zbir oddol ̀ i nite na nejzi-nite strani.

6.

5.

L = 40 + 25 + 28 + 35 + 30 = 158, t.e. L = 158 mm.

A B

C

D

EF

G

To~ka, prava, ramnina i rastojanie.

2. Izvedeni poimi se: otse~ka, poluprava igeometriska figura.

1. 14 kvadrati.

2. 15 pravoagolnici. 3. 20 ramnostrani

triagolnici.

2. Radius na kru`nica e otse~ka {togi povr zu va centarot so koja biloto~ka od kru` nicata; i nejzinatadolìna e radius na kru`nicata.

5. d = 2 ⋅ 28 = 56, t.e.d = 56 mm.

6. r = 50 : 2 = 25, t.e.r = 25 mm.

3. a) Dolìna na otse~ka e rastojanietopome|u krajnite to~ki na otse~kata.b) Perimetar na iskr{ena linija e zbir oddolìnite na nejzinite strani.

1. Vnatre{ni se to~kite: A i D.

2. To~kata da leì (da pripa|a) na kru`nica-ta i to~kata da ne leì (da ne pripa|a) nakru`nicata.

4. Tangenta e prava koja imasamo edna zaedni~ka to~kaso kru`nicata.

5. Pravata ja se~e kru` nicata - imaat dve za - edni~ki to~ki; pravata ja dopira kru`nica-ta - ima at samo edna zaedni~ka to~ka; pra-vata i kru`nicata nemaat zaedni~ki to~ki.

6. Pravata a.

4. Mnoèstvo i to~ka.

To~kata O ne £ pripa|a nakru`nicata.

O

k

3. Ok

a

6. ab c

6

7

8

9

10

11

Proveri...

Obidi se!1. Re{enieto e dadeno na crteòt.2. Figurata v) ne moè da se nacr-ta "so eden poteg#.

7. Ok

t AO2

I k2k1

O1

1.

O2

II k2

O1

k1O1

k12. O2k2

k14. k2

3. k1 i k2 se koncentri~ni kru` nici - nemaatzaedni~ki to~ki.

O1 = O2

k15. k2

O1

O2

O1O2 = 12 mm.6.

1. Vo ista poluramnina so to~kata Aleàt to~kite: V, E, S i N.

2.

3.

Teme O i kraci OA i OV; A, O, B, D i E seto~ki od agolot; D i E se to~ki od oblasta.

Agol NMP.

M N

P4.

α β

216

1. α + β = 113o 36’ 52’’; α - β = 63o 16’ 12’’.

2. α + β = 117o 11’ 32’’;α - β = 35o 53’ 52’’.

3. a) 53o 20’;b) 47o 17’ 18’’.

4. a) β = 101o 30’; b) β = 114o 24’ 35’’.

6.

βα

O�AOB = 2α - β

A

B

1. Agol ~ii{to kraci obrazuvaat ednaprava se vika ramen agol.

1. �AOV i �VOS; �VOS i �COD;�AOS i �SOD; �AOV i �BOD.

2. Agol {to e polovina od prav agol e ostaragol.

2. Naporeden agol na αe agolot β. Napo re -dni se i aglite γ i δ.

3. 4.

5.6.

O A P

N

M

V

MOR

N

3.β α

β e ostar agol

5. Nakrsni se aglite: 1 i 3; 2 i 4; 5 i 7 i 6 i 8.

1. �BOC = 60o, �BOD = 95o, �COD = 35o,�BOM = 124o i �MON = 56o.1.

1.

2.3. 4.

Agol ~ie{to teme se nao|a vo cen ta rotna dadena kru`nica se vika centralenagol.

2.

3.

α = 50o i β = 125o. 4. a) 25o = 25 ⋅ 60’ = 1 500’;b) 30o 15’ = 1 815’.

5. β, α, δ, γ.47o 126o

O A P M

V N

O

A

V

α

β

O

N

M

O

B

A

P

N

M

4. Nakrsni agli se dva agli {to imaat zaed -ni ~ ko teme i kracite na edniot se prodol -`e nija na kracite od drugiot agol niztemeto.

βα

O�AOB = α + β

A

B

4. βαO�AOB = α - β A

B

3. β γα

O�AOB = α + β + γ A

B

2. α

O

�AOB = 2α

A

B

5. βαO�AOB = α - β A

B

a) Ostar agol;b) prav agol;v) tap agol;g) ramen agol.

Tap agol iliostar agol.

12

13

14

15

16

17

5. Polupravite OA, OV i OS obrazu-vaat 3 agli i toa: �AOV, �VOS i�AOS.

α

Obidi se!Ima 10 agli: �AOB, �AOC, �AOD, �AOE,�BOC, �BOD, �BOE, �COD, �COE, �DOE.Ima 6 para sosedni agli: �AOB i �BOC;�AOB i �BOD; �AOB i �BOE; �BOC i�COD; �BOC i �COE; �COD i �DOE. Ima 3 para naporedni agli: �AOB i �BOE;�AOC i �COE; �AOD i �DOE.

Obidi se!Nacrtaj kru`nica so centar vo temeto na ago lot�AOB = 19o. Bidej}i 19 ⋅ 19 = 361, a polniotagol ima 360o, sleduva deka, ako agolot od 19o goprenese{ 19 pati po kru`nicata so teme voto~kata O, }e dobie{ razlika od 1o.

strani {to se se~at).

2171.

2.2.

3.

Rastojanie od to~ka M do prava p edolìnata na otse~kata MN, kade {to

1. Komplementni se aglite pod b) i pod v).

1. L = 160 mm = 16 cm. 2. L = 29 cm.

4. L = 30 cm. 5. a = 10 cm.

6. b = 10 cm. 7. L = 54 cm. 8. a = 9 cm.

9. 30 mm.

3. a = 15 cm.

1. Poligonalna linija e iskr{enata li-nija pod b).

1. Mnoguagolnik na koj site to~ ki na ot -se~kite ~ii{to krajni to~ki leàt namnoguagolni kot, se to~ki od mnogu a -

Sosedni temiwa na V:A i S. Ne sosedni strani naVS: AE i ED.

3. Na mnoguagolnikot ABCD leàt to~kite: A,M, V, S, D, F i G.

2.

3.

Mnoguagolnici se iskr{enite linii pod b)i pod v).

4. Ne se sosedni so temeto Dtemiwata A i V.

5. Sosedni strani na stranata MN se stra -nite ML i NP.

4.

5.

6.

Suplementni seaglite pod b) i v).

2.

3.

β = 90o - 39o = 51o.

O

BC

A

�MOP = 42o

M

Nm

MN = 10 mm

4. P

Sm

PS = 2 cmAD = 16 mm

1.

3.

4. 7.

5.

�AOB = 70o

AM = 25 mm. 2. MN = 7 cm.

A M V

s

A

s1

s2

B

C

α6.

βα

α + β = 90o. α + β = 180o.

β = 180o - 76o = 104o.

β α

α

A

C D

B

2.

18

19

20

21

22

23

N e prese~nata to~ka na pravata p i normalatana p {to minuva niz M.

Pomogni mu na gradinarot!Gradinarot treba da gi po -sadi sadnicite kako nacrteòt.

golnikot, se vika konveksenmnogu a golnik.

C

D

E

BA

A, B, C, ∈ p; D, E ∉ p; C, D, E, ∈ q;1.

Da; BC = CA + AB.2.

Poligonalni se i �. Ne se poligonalni:5.

54 mm.6.

�AOB - ostar; �AOC - tap; �AOD - poln.

�AOC e ramen.

9.

Agolot e tap; 90o 35’ = 5 435’.

13.

β = 44o 24’ 15’’.14.

Ne se suplementni.17.

13 m.18.

10.

Test:

A, B ∉ q.

� i (ne se zatvoreni); � (ima nesosedni

β

C O A

B

218 TEMA 3. DROPKI

1.

3

2.

4.

7__9

12__23

12__19

- sedum devettini;

7__9

- sedum

devettini;

sedmini.

poka`uva deka celoto e podeleno na 19 edna -kvi de lo vi, a broitelot - deka se zemeni 12od tie delovi.

7__7

1__10

- sedum

- 12 vrz 23;

105___28

- 105 vrz 28;

4___121

- 4 vrz 121. Na primer:

Imenitelot na dropkata

a) ;1___

100b) ;

1___100

g) .1____

1000v) ;

5.3__

10a) dm;

28___100

b) m;15____

1000g) kg.

9__10

v) l;

1.

6. 7.

2.

5.3.

21__36

1_3

9 ;

1_4

5_8

4_5

8_9

4 ; 2 ; 5 ; 13 .

2_1

5_1

7_1

8_1

11__1

a) ; ; ; ; .

1.

2.

3.

4.

6.

2__3

2__3

1__3 3__

4

a) ; 1 ; 3 .

1__6

5__30

i ; 5. a) x = 8; b) x = 8;

v) x = 6; g) x = 110;

7__10

28__40

i .

1_7

6_7

Na pr.: ; . 4.

6.

13__12

36__12

Na pr.: ; .

14__7

35__7

49__7

56__7

77__7

v) ; ; ; ; .

33__4

35__9

13__10

63__4

; ; ; .

6_3

15__3

21__3

24__3

33__3

b) ; ; ;

a) 25 cm; b) 6 dm; v) 4 dl; g) 320 g. .

8.5__8

kg.

; . 4.

1

2

4

5

3Dosetka! Pettiot den.

0 1 4 5

4

3__4

9__8

9__4

7__2

1__2

6

7

0 1 2 3 4

5__4

1__2

17__4

3__4

0 1 2 3

3

4 5

1.10__9

6__12

13__15

a) ;

1.4__10

10__25

a) , ;

2.2__3

12__18

18__27

Primer , , .

4.2__5

17__25

29__36

, , .

5.1__3

2__3

2__3

3__8

5__6

; , , , .

8.3__4

9__12

5__6

10__12

= ; = .

6.5__7

b) .

3. 80, 30, 85, 96, 18 stotinki.

7. a) x = 5; b) x = 42; v) x = 11; g) x = 51.

30__34

75__85

g) , .

6__14

15__35

b) , ;22__24

55__60

v) , ;

2.4__9

a) ;b) 4; v) 8 ; g) 4 .

5.

6.

3.

8__12

13 ;

4__12

5 .

2_4

2__19

10__12

4.1_7

2_5

3__11

b) ; v) 3 ; g)1 ; d)1 . napolnet,

8__10

delovi

2__10

dela nepro~itani. pro~itani;

2__12

nenapolnet. .

Problem! Ednakvo. Upatstvo: Vo ~a{ata some{avina od vino i voda {to e sipana vovinoto ima tolku voda kolku {to ostanalovino vo kofata so voda.

Milica - 404 denari; Jovan - 505 denari.

Upatstvo: Bidej}i od parite na Milica e

ednakvo so od parite na Jovan, mo`eme da

zaklu~ime slednoto: ako edno celo go pode-lime na 9 dela i od tie delovi napravime dve

celi i , toga{ od edniot del e

1__4

1__5

4__4

1__4

5__5

219

6

7

8

13

14

15

10

11

12

Problem: 8 orevi.

Problem: zapirka.

Problem: 12 i 14,3. Upatstvo:

ednakov na od drugiot del.

Spored toa 909 : 9 = 101 e od parite na

Milica, odnosno od parite na Jovan.

Milica imala 4 ⋅ 101 denari, Jovan imal 5 ⋅ 101 denari.

1__5

1__4

1__5

1. Pod a) i g). 2. Na pr.: , , .13__10

13___100

13______10 000

3. a) 36 celi i 2 decimali. b) 3 celi i 4 de -cimali. v) 138 celi i 2 decimali.

4. a) 0,06. b) 2,09. v) 11,029. g) 14,003.

5.

6.

a) Dve celi i tri stotinki. b) Dvanaesetceli i petnaeset iljadinki. v) Nula celi itrieset i pet desetiljadinki.

5__10

2__10

3____1 000

17_____10 000

a) ; b) 1 ; v) 4 ; d) 1 .

1. 1,30; 0,50; 23,00; 1 000,00.

3. 0,5; 0,502; 1,20203. 4. 8,000; 1,200; 3,250.

2. Da.

1.

5____1 000

0 1 2 30,6 1,7 3,4

2. 2,01 > 1,86; 6,29 > 6,172; 9,121 > 9,101;0,1031 > 0,1028.

4. Poblisku e 131,102.

3. = 0,005 < 0,05 = 0,050 < 5.

1. a) 163,375. b) 105,075. v) 161,155. g) 100,075.

2. 31,4; 6,852; 13,366; 416,723.

3. 158,14; 4,8345. 4. 78,4 m.

5. 3,69; 7,38;11,07; 14,76.

1. 21,1; 893,674; 3,68;1,09; 339,73; 846,825.

3. 0,34 m.

6. 0,768 kg.

Ako pogre{niot zbir 13,43 go pomno`ime so 10,}e dobieme broj 134,3 koj go sodr`i to~niotdecimalen broj i 10 pati pogolem broj odprirodniot broj. Razlikata 134,3 - 26,3 = 108 e

4. 65,76. 5. 22; 8,8; 125,6.

2. 10,31; 201,62;28,36; 3,8;

devet pati pogolema od prirodniotbroj, t.e. prirodniot broj e 108 : 9 = 12.Voo~i vtor na~in na re{avawe soodreduvawe cifra po cifra.

1. 7,48; 94; 360; 1 000,6; 200.

2. 18; 0,072; 10 000,1; 3 400; 7; 96 006;4 000 400.

3. 44,835; 3780,024; 0,0189.

5. 45 272; 66,1. 6. 175,25927844. 7. 900 den.

4. 63,92 m2.

8. Ednakvi se na 2,4366. 9. 1,6; 2,4; 3,6; 5,4.

1. a) 0,476. b) 0,0476. v) 0,00476.

2. 0,2; 0,8; 21; 0,13; 0,024; 0,6337; 28,44.

3. 1 : 7 = 0,142857; 2 : 7 = 0,285714; 3 : 7 = 0,428571; 4 : 7 = 0,571428;5 : 7 = 0,714285; 6 : 7 = 0,857142. Sitekoli~nici se sostaveni od istite cifri.

4. 30; 5; 400; 9; 4,02; 0,176. 5. 5.

6. 400; 25,78125; 400; 0,00675.

7. 0,02416; 15,612; 0,001; 50,04.

9. 18,375; 4,02. 10. 4,05.

8. 2,946 km.

1. 0,6; 0,09; 1,2; 1,48; 1,832; 0,2875;0,34375; 1,296875.

2. 0,666...; 0,81818...; 0,6; 0,95; 1,2; 0,037037...;0,1333...; 0,2777...; 0,1345454... .

3. Pretperiod e 3, period e 78; pretperiod e54, period e 302.

4. 4,(63); 0,(102); 3,5(403); 4,2(711).

5. a) 3,654545...; b) 0,77240124012...;g) 0,06523152315... .

BrojSo to~nost

do 0,01So to~nost

do 0,001

0,0374 0,04

0,54

426,42

6,01

0,5386

426,4235

6,0141

1. 2,715; 3,033; 0,015.

3.

5.

8,104. 4. 3,54.

2. 0,2; 0,21;0,2059.

Gre{.na zaok.

0,0026

0,0014

0,0035

0,0041

0,037

0,539

426,424

6,014

Gre{.na zaok.

0,0004

0,0004

0,0005

0,0001

220

3. a) 2 dam 2 m 5 cm; b) 5 kg 3 hg 2 g 6 dg 7 cg;

v)

3 hg 2 dag 5 cg.

kg hg dag g dg cg mg

0 3 2 0 0 5 0

g)

4 kl 1 dal 5 l 3 dl.

kl hl dal l dl cl ml

4 0 1 5 3 0 0

v) 4 dal, 3 l 1 dl 5 cl; g) 2 hg 3 dag 7 g.

TEMA 4. MEREWE

3. 94 mm, 4 dm 7 cm, 48 cm, 9 dm, 2 m.

Odgovor: 8 mart.I ova e matematika!

Odgovor: Ne mo`e daZanimlivo pra{awe!

4. 12 mg, 10 g, 8 dag, 5 hg, 1 kg.

6 dl, 1 l, 5 dal, 2 hl.5. 8 ml,

6. 76 500 den.

1

1. a) 5 025 m; b) 780 004 ml;

2. 2 764 m.

3. 2 551 443 s. 4. a) 83,4 dm; b) 8,097 km;

4

1.

2.

a) 3 m 4 dm 2 mm; b) 4 dam 7 cm;

a)

51. 15 h 27 min. 2. 40 min.

3. a) 9,5 d; b) 228 h; v) 1 sedm. 2,5 d.

4. 5724 d. 5. a) 310,16 K; b) 223,16 K.

2

3

gree sonce. ]e bide polno}.

v) 4 kg 7 hg 6 g 3 dg; g) 4 dag 7 g 6 dg 3 cg 2 mg;d) 1 l 3 cl 5 ml; |) 3 kl 5 hl 7 dl.

v) 400 605 dag; g) 13 447 min.

v) 5 008,705 kg; g) 9 075,008 mg; d) 85,06 dl.

3 hm 8 dam 7 m 2 dm 5 cm.

km hm dam m dm cm mm

0 3 8 7 2 5 0

b)

3 hm 2 dm.

km hm dam m dm cm mm

0 3 0 0 2 0 0

1.Test:

A BC

0 1

a)

2. kg.b) .1__3

12__8

6. .2__5

7. ;8__18

.1__6

8. .56__64

9. 29,0664. 10. Da; 0,006.

12. Da. 13. 29,6304; 29,6304; 0,0296304.

14. 23,15; 3,125. 15. 20; 0,64. 16. 2,14; 27.

17. 21,85. 18. 8,4; 1,2(70). 19. 0,0001.

20. 9,13.

11. To~no.

5.

3. ;5__1

.25__5

4. ;2__1

. +2__3

3__8

2__8

5__8

0 1

+1__5

4__5

5; 29,6; 74; 7; 8; 12; 4

2. 12 knigi; 4. 1 h 50 min 45 s; imenuvanbroj {to e pove}eimen.

5. 18 denari 50 deni;

7.

8.

3 kg 2 hg 4 dag; 4 m 5 dm 6 cm;12m2 3 dm2 9 cm2.

6. Primer: 6 kg, 138 kg.

Neimenuvan7 m; 8 hl; 4 m; 4 kg; 3 kg; 9 hl;

14 l; 8 m2; 5 l; 15 m2Ednoimeni

12 kg 3 dag; 4 m 2 dm; 6 m 5 dmPove}eimeni7 m i 4 m; 8 hl i 9 hl; 4 kg i 3 kg; 14 l

i 5 l; 8 m2 i 15 m2; 4m 2dm i 6 m 5 dmIstoimeni

2211. a) 3 m 4 dm 9 cm 9 mm;6

1. a) 700 cm2; b) 70 000 mm2.

2. a) 2 925 m2, b) 29,25 a.

4. 4 800 plo~ki.

3. 4 800 000 den.

7

1. 1 dm3, 1 cm3; 1 mm3.

3. a) 7 m3; b) 0,5 m3;

4. 27,65 cm3.

2. 4 000 dm3.

8

1. 200 cm3.

v) 0,2 m3.

3. 4 m. 4. 8 cm3.

5. 0,63 m3.

a) dm; b) 0,012; v) 3; g) ml.

6. 24 dm2. 7. 84 l.

9

b) 3 km 9 hm 4 dam 9 m; v) 3 m 8 cm.

g) 2 dm 8 cm.

2. a) 2 dam 6 m 8 dm 1 cm 2 mm;

3. a) 2 t 800 kg 9 hg 9 dag;4. a) 2 dal 4 l 1 dl 2 cl;

5. 9 t 88 kg.6. 33 195 den.

9. 20 h 27 min.

7. 1 kg 3 hg 3 dag 8 g;

b) 4 dm 3 cm 2 mm; v) 1 m 1 dm 3 cm 4 mm;

b) 2 dal 2 l 1 cl 7 ml.

b) 6 l 2 cl 8 ml; v) 6 dl 7 cl.

4. 29 dena 12 h 44 min 3 s.

11 kg 2 hg.

8. 2 kg 2 hg 4 dag;1 t 579 kg; 8 dl 2 cl.

1.

600 dl.2.

20,5 dm.4. a) Primer: 5 t;5.

a) dag; b) 360; v) 120; 3.

g) 278,16.

b) Primer: 2 m; v) Primer: 15 s.

a) 204 014 dag; b) 40 714 dm; v) 985 dl;6.

a) 360,2 min; b) 730,5 dl;7.

a) 10 pati;8.

a) 153 cm; b) 30,3 dl;9.

a) 3 dam 1 m 2 dm 6 cm; b) 1 t 248 kg 8 hg;10.

a) 6 t 269 kg 3 hg 1 dag 7 g;11.

a) 692 kg; b) 10 km 4 m.12.

5 000 pati. Objasnenie: 2 m2 = 20 000 cm2,14.

v) 2 kl 3 hl 1 dal.

b) 1 t 236 kg 8 hg;

g) 2 l 5 dl 1 cl 3 ml.

v) 11 km 9 hm 3 dam 9 m 9 dm 1 cm;

9 cm2.17.70 m3.16.a 20 000 : 4 = 5 000.

g) 8 234 s.

v) 400,84 dam; g) 72 g.

b) 20 pati; v) 10 pati.

v) 230,0004 dag; g) 0,25 dena.

Test:

Problem! Upatstvo:

3 l 3 0 3 1 1 0 3 0

5 l 0 3 3 5 0 1 1 4 l

Aagol, i 98

- komplementni, 120- konveksen, 99- kraci na, 98- merewe na, 110 - nakrsni, 104- naporedni, 103- ostar, 102- poln, 102- prav, 101- sosedni, 103- suplementni, 121- tap, 102

- teme na, 98- centralen, 105

apsolutna gre{ka, 178aritmeti~ka sredina, 47

Bbroj (evi)

- decimalen, 149- me{ano periodi~en, 176- period na, 176- pretperiod na, 177- ~isto periodi~en, 176

- ednoimen, 191- zaemno prosti, 61- imenuvan, 191

- istoimeni, 192- meren, 191- neimenuvan, 191- neparen, 17- paren, 17- pove}eimen, 192- priroden, 17- prost, 57- slo`en, 57

brojna prava, 18

Ddekaden broen sistem, 20dekadna edinica, 21Dekartov proizvod, 15

PREGLED NA POIMI

222

Dekartov kvadrat, 16delenik, 37delewe,

- so ostatok, 38delivost, 49

- na zbir, 49- na proizvod, 49- na razlika, 49- priznaci za, 51

delitel, i- zaedni~ki, 60- najgolem zaedni~ki, 60

decimala, 151decimalna zapirka, 150dijagram,

- slikoven 159- stolbest 158

drobna crta, 133dropka, 133

- broitel na, 133- decimalna, 149- neskratliva, 147- ne~ista (nepravilna) 137- prividna, 136- pro{iruvawe na, 146- skratuvawe na, 147- ~ista (pravilna) 137

Zzapi{uvawe na mnoèstvo,

- na tabelaren na~in 4- na opisen na~in 5

Iiskr{ena linija 83

- strana na, 84- teme na, 84- zatvorena 84- prosta 85

Kkru`nica, i 89

- koncentri~ni, 95- radius na, 89- tetiva na, 90- centar na, 90- dijametar na, 90

kruèn lak 91

Llinija

- iskr{ena 83- strana na, 84- zatvorena, 84

- poligonalna 85- perimetar na, 85

litar, 187

Mmerka,

- za masa, 187- za dolìna, 186- za vreme, 189- za te~nost, 187- za temperatura, 189- za plo{tina, 203- za volumen, 205

merna edinica, 191metar,

- kvadraten, 203- kuben, 205

me{an broj, 138minuta, 189mnoguagolnik, 122

- konveksen, 125- nekonveksen, 125 - perimetar na, 127- teme na, 123- sosedni strani na, 123- sosedni temiwa na, 123- strani na, 123

mnoèstvo, a,- broj na, 7- ednakvi, 10- ekvivalentni, 9- kone~no, 7- prazno, 8- presek na, 12- razlika na, 14

Ooblast,

- vnatre{na, 90- nadvore{na, 90

osnova na stepen 36

otse~ka, i- ednakvi (skladni) 79- zbir 81- prenesuvawe 80- razlika 81- sosedni 83- dolìna na, 78- zbir na, 81

Ppodmnoèstvo, 10podreden par, 15poim, 87

- izveden, 88- matemati~ki, 87- osnoven, 88

poluprava, i 77- sostavni, 77

polukru`nica, 91poluramnina, 97prava, i

- grani~na (rab), 97- zaemnonormalni, 116- kolinearni, 71

Rrastojanie, 76

- centralno, 94ravenka, 44

Ssvojstvo,

- asocijativno, 13- distributivno, 168- komutativno, 13

sekanta (prese~ka), 93simetrala

- na agol, 118- na otse~ka, 118

sodràtel, 49- zaedniki, 63- najmal zaedni~ki, 63

sredina,- na otse~ka, 78- aritmeti~ka, 47

stepen, 35- osnova na, 36

223

- pokazatel na, 36

Ttangenta (dopirka), 93to~ka, i, 54

- vnatre{na, 92- grani~na, 77- krajna, 78- nadvore{na, 92

- po~etna, 77- sredna (sredina), 78

Uunija na mno`estva, 13

S O D R @ I N A


TEMA 2. GEOMETRISKI FIGURI VO RAMNINA

TEMA 3. DROPKI

TEMA 4. MEREWE

ODGOVORI I RE[ENIJA 211

PREGLED NA POIMI 221

3

69

131

183

CIP - Katalogizacija vo Publikacija Narodna i univerzitetska biblioteka„Sv.Kliment Ohridski“ - Skopje

Со Одлука за одобрување и употреба на учебник по предметот Математика за 6-то одделение во деветгодишно осниовно образование со бр. 22-1110/1 од 22.06.2011 година донесена од Национална комисија за учебници

CIP - Каталогизација во публикацијаНационална и универзитетска библиотека “Св.Климент Охридски” , Скопје АВТОР: Стефановски, Јово - автор ОДГОВОРНОСТ: Целакоски, Наум - автор НАСЛОВ: Математика за шесто одделение : деветгодишно основно образование ИМПРЕСУМ: Скопје : Министерство за образование и наука на Република Македонија, 2011 ФИЗИЧКИ ОПИС: 224 стр. : илустр. ; 25 см ISBN: 978-608-226-273-4 УДК: 373.3.016:51(075.2)=163.3 ВИД ГРАЃА: монографска публикација, текстуална граѓа,печатена ИЗДАВАЊЕТО СЕ ПРЕДВИДУВА: 07.11.2011 COBISS.MK-ID: 89052426

Издавач: Министерство за образование и наука за Република Македонија

Печати: Графички центар дооел, Скопје

Тираж: 15.500

Matematika za VI oddelenie devetgodi{no osnovno obrazovanie

Avtori:Jovo Stefanovski i d-r Naum Celakoski

Recenzenti:d-r Jordanka Mitevska, redoven profesor na PMF - Skopje

Zorica Nasevska, nastavnik vo OU „Ko~o Racin“ - SkopjeDobre Trajkovski, nastavnik vo OU „T. Karpo{“ - Kumanovo

Glaven urednik:Jovo Stefanovski

Lektor:Suzana Stojkovska

Kompjuterska obrabotka:Dragan [opkoski

Matematika 6 Mak

Documents

Transcript of Matematika 6 Mak