Matematika Teknik 2
-
Upload
trie-irsad -
Category
Documents
-
view
307 -
download
13
description
Transcript of Matematika Teknik 2
Minggu Nama Bab Rb 8.20 Rb 13.101 1 Pendahuluan, Integral garis 20 Peb2 2 Persamaan Diferensial Biasa 27 Peb3 2 Aplikasi persoalan Fisika 6 Mar4 3 Persamaan Diferenensial Linier 13 Mar5 Quiz 1 Persamaan Diferensial Biasa, Persoalan fisika 20 Mar6 3 Persamaan Diferensial Serentak 27 Mar7 4 Transformasi Laplace 3 Apr8 4 Persoalan Fisika, Persamaan Serentak 10 Apr9
UTS Persamaan Diferensial Linier, Transformasi Laplace17 Apr
10 24 Apr11 5 Deret Fourier 1 Mei12 6 Persamaan Diferensial Parsial 8 Mei13 6 PD Parsial, Transformasi Laplace 15 Mei14 22 Mei15 Quiz 2 Deret Fourier, Persamaan Diferensial Parsial 29 Mei16 Penutup 5 Jun17 HER Quiz 1, UTS, Quiz 2 12 Jun
UAS Semua bab 19 Jun
Q 1 10% Bobot 10% untuk nilai terkecil, 30% untuk nilai terbesar.UTS 20% Tidak dilarang untuk ikut Quiz, Her 2x, diambil nilai terbesar, denganQ 2 30% catatan tidak berlaku curang. Jika curang, kesempatan itu = O.UAS 40% Total 100%
Mata Kuliah Matematika Teknik 2 berbobot 3 SKS (Satuan Kredit Semester) artinya, waktukuliah (tatap muka) adalah 3 jam seminggu, ditambah 3 jam belajar mandiri.Jika tidak tertib dalam mengatur waktu belajarnya, maka hasilnya tidak akan memuaskan.
Hampir semua Quiz dilakukan dengan cara Open Book, tetapi yang baru membuka bukunyasaat ujian, hampir pasti sukar untuk lulus. Perlu banyak latihan di luar waktu kuliah kelas.Mahasiswa bebas memilih kelas A atau B, tidak tergantung dengan NIM, bahkan boleh ikutdalam 2 kelas, A dan B, termasuk Quiz atau Her-nya. Jika jujur, dinilai yang terbaik.Kejujuran dalam mengerjakan soal sangat dijunjung tinggi, sehingga tindakan bekerja samadalam mengerjakan soal dapat menyebabkan mahasiswa mendapat nilai E (Tidak Lulus), baikbagi yang menyontek atau yang dicontek, meskipun yang dicontek tidak menyadarinya.
Daftar Kepustakaan1 Matematika Lanjutan, Murray R. Spiegel, Schaum Series, Penerbit Erlangga2 Advanced Engineering Mathematics, Kreyszig, John Wiley & Sons, 7th edition.3 Matematika Teknik, KA Stroud, Penerbit Erlangga
Minggu Nama Bab Km 7.30 Km 10.001 1 Sistim Bilangan Komplex, Fungsi Komplex 21 Peb2 2 Integral Garis, Integral Komplex 28 Peb3 3 Persamaan Diferensial Biasa 7 Mar4 Quiz 1 Fungsi Komplex, Integral Komplex 14 Mar5 3 Persamaan Diferensial Biasa, Persoalan Fisika 21 Mar6 4 Persamaan Diferensial Linier 28 Mar7 4 Persoalan Fisika, Persamaan Serentak 4 Apr8
UTS Persamaan Diferensial Biasa , Pers. Diferensial Linier11 Apr
9 18 Apr10 5 Transformasi Laplace 25 Apr11 6 Deret Fourier 2 Mei12 9 Mei Waisak13 7 Persamaan Deferensial Parsial 16 Mei14 7 Persamaan Deferensial Parsial, Persoalan Fisika 23 Mei
15 Quiz 2 Transf. Laplace, Deret Fourier, Pers. Dif. Parsial 30 Mei16 6 Jun Mi'raj17 Her Quiz 1, UTS , Quiz 2 13 Jun
Q 1 10% Bobot 10% untuk nilai terkecil, 30% untuk nilai terbesar.UTS 20% Tidak dilarang untuk ikut Quiz, Her 2x, diambil nilai terbesar, denganQ 2 30% catatan tidak berlaku curang. Jika curang, kesempatan itu = O.UAS 40% Total 100%
Mata Kuliah Matematika Teknik 2 berbobot 3 SKS (Satuan Kredit Semester) artinya, waktukuliah (tatap muka) adalah 3 jam seminggu, ditambah 3 jam belajar mandiri.Jika tidak tertib dalam mengatur waktu belajarnya, maka hasilnya tidak akan memuaskan.Hampir semua Quiz dilakukan dengan cara Open Book, tetapi yang baru membuka bukunyasaat ujian, hampir pasti sukar untuk lulus. Perlu banyak latihan di luar waktu kuliah kelas.Mahasiswa bebas memilih kelas A atau B, tidak tergantung dengan NIM, bahkan boleh ikutdalam 2 kelas, A dan B, termasuk Quiz atau Her-nya. Jika jujur dinilai yang terbaik.Kejujuran dalam mengerjakan soal sangat dijunjung tinggi, sehingga tindakan bekerja samadalam mengerjakan soal dapat menyebabkan mahasiswa mendapat nilai E (Tidak Lulus), baikbagi yang menyontek atau yang dicontek, meskipun yang dicontek tidak menyadarinya.
Daftar Kepustakaan1 Matematika Lanjutan, Murray R. Spiegel, Schaum Series, Penerbit Erlangga2 Advanced Engineering Mathematics, Kreyszig, John Wiley & Sons, 7th edition.3 Matematika Teknik, KA Stroud, Penerbit Erlangga
Rumus-rumus deferensial:Jika u = u(x) dan v = v(x) adalah fungsi-fungsi dari x, dan a, c, p adalah konstanta, maka:1 d
(u ± v) =du
±dv
dx dx dx
2 dcu = c
dudx dx
3 duv = u
dv+ v
du= uv' + u'v = u'v + uv'
u' = du/dxdx dx dx v' = dv/dx
4 d u=
v du/dx - u dv/dx=
u' v - u v'dx v v2 v2
5 dup = p up-1 du
dx dx
6 dau = au ln a
dx
7 deu = eu du
dx dx
8 dln u =
1 dudx u dx
9 dsin u = cos u
dudx dx
10 dcos u = - sin u
dudx dx dan masih ada lagi untuk fungsi-fungsi hiperbolikus.
Turunan parsial.Jika U = U(x,y) = fungsi dari x dan y, maka ∂U/∂x = dU/dx dengan y dianggap bilanganContoh, U = 8x2y3 , maka ∂U/∂x = 16xy3 ∂U/∂y = 24x2y2
Turunan bertingkat.Jika U(x) diturunkan 2 kali, maka hasilnya adalah d du = d2U
dx dx dx2
Jika U = 8x2y3
maka ∂2U/∂x2 = ∂/∂x (16xy3 ) = 16 y3 ∂2U/∂y2 = ∂/∂y (24x2y2 ) = 48 x2y∂2U/∂x∂y = ∂/∂x (∂U/∂y) = ∂/∂x (24x2y2 ) = 48xy2
∂2U/∂y∂x = ∂/∂y (∂U/∂x) = ∂/∂y (16xy3 ) = 48xy2
Rumus-rumus Integrasi.Ada 2 macam integrasi, yaitu integral tak tentu dan integral tertentu.Contoh, 3x2 dx = x3 + c integral tak tentu, di mana c adalah konstanta bebas
2 2
3x2 dx = x3 = 23 - 13 = 7 integral tertentu, tidak ada konstanta bebas.1 1
1 (u ± v) dx = u dx ± v dx Dalam rumus-rumus ini seharusnya ada konstanta
2 cu dx = c u dx bebas, tetapi tidak ditulis.
3 u dv = u v - v du
4up du =
1u p+1 p ≠ -1
p+1
5u - 1 du =
du= ln u
u
6au du =
au
a ≠ 0 , 1
ln a
7 eu du = eu
8 sin u du = - cos u
9 cos u du = sin u Masih ada lagi rumus integral untuk fungsi hiperbolikus.
Contoh soal, kerjakan integrasi berikut:x sin x dx Rumusnya, u dv = u v - v du misalkan u = x maka du = dx
sin x dx = dv , maka v = - cos xx sin x dx = - x cos x + cos x dx = - x cos x + sin x
Petunjuk: Pemisalan u adalah sedemikian sehingga du makin sederhana, soal makin sederhana.
Contoh, hitung ex cos x dx Jika u = ex, maka du tetap = ex dxdv = cos x dx, maka v = sin x. Soal tidak makin sederhana.
Misalkan ex cos x dx = ex ( A cos x + B sin x) di mana A dan B harus dicariIntegrasi adalah kebalikan dari deferensiasi, maka untuk mencari A dan B adalah dengan
d/dx [ex (A cos x + B sin x)] ≡ ex cos x ex (A cos x + B sin x - A sin x + B cos x) = ex [(A+B) cos x + (B-A) sin x] ≡ ex cos xkoefisien cos: A + B = 1 A = 1/2koefisien sin: B - A = 0 B = 1/2
ex cos x dx = ex (1/2 cos x + 1/2 sin x)
au du = a ≠ 0 , 1
Contoh-contoh bentuk PD (Persamaan Diferensial)1 (y")2 + 3x = 2 (y')3 di mana y' = dy/dx, y" = d2y/dx2
2 dy+
y= y2
dx x3 d2Q
- 3dQ
+ 2Q = 4 sin 2tdt2 dt
4 dy=
x + ydx x - y
5 ∂2V+
∂2V= 0
∂x2 ∂y2
Orde Persamaan.Yang dimaksud dengan orde adalah tingkat turunan tertinggi. Maka, orde dari contohbentuk-bentuk PD di atas adalah: 2 , 1 , 2 , 1 , 2
Pengelompokan yang lain berdasar banyaknya variabel adalah, PD biasa (ordinary) jikabanyaknya variabel hanya 1 (satu), misalnya y = y(x). Jika lebih dari 1 disebut parsial.Contoh 5 menunjukkan hal tsb, V = V(x,y).
Konstanta bebas.Konstanta bebas akan muncul pada hasil integrasi.Misalkan y" = 6x, maka kalau diintegralkan 2 kali akan menghasilkan y = x3 + c1x + c2
di mana c1 dan c2 adalah konstanta bebas.Satu hal yg perlu dicatat adalah, banyaknya konstanta bebas sama dengan orde persamaan.Banyaknya konstanta bebas tsb harus diusahakan sesedikit mungkin. Misal, c1c2 x harusditulis menjadi cukup c3 x di mana c3 = c1c2.Pemberian nomor pada c1, c2 dst tidak harus berurutan, sebab angka tadi hanya pembeda.Hurufnyapun bebas, tidak harus huruf kecil, boleh juga huruf besar atau huruf yunani.
Konstanta bebas tsb dapat ditentukan besarnya jika ada syarat batas. Dengan demikianmaka banyaknya syarat batas juga harus sesuai dengan besarnya orde persamaan.
Topik-topik yang dibahas dalam bab ini:1 Pemisahan variabel, atau variabel yang bisa dipisahkan.2 Persamaan Eksak3 Faktor integrasi4 Persamaan linier5 Persamaan homogen6 Persoalan Fisika
Sebetulnya masih ada bentuk-bentuk lain, tapi karena penggunaannya khusus, maka bagiyang akan mempelajarinya, dipersilahkan mempelajarinya melalui buku-buku referensi.
1. Pemisahan variabel.Bentuk umum: f1(x) g1(y) dx + f2(x) g2(y) dy = 0 di mana f = fungsi dari x saja,
g = fungsi dari y saja.Pemecahan: Usahakan suku dengan dx hanya berisi f(x), dan suku dy hanya g(y).Maka g1(y) pada suku pertama dan f2(x) pada suku kedua harus dihilangkan, yaitu dengancara membagi kedua suku dengan f2(x) g1(y). Hasilnya adalah:f1(x) g1(y)
dx +f2(x) g2(y)
dy = 0f1(x)
dx +g2(y)
dy = 0f2(x) g1(y) f2(x) g1(y) f2(x) g1(y)
F(x) dx + G(y) dy = 0 F(x) dx + G(y) dy = c
Contoh soal:Pecahkan : (4x + xy2 ) dx + (y + x2 y) dy = 0 Syarat batas: y(1) = 2
Jawab : (4x + xy2 ) dx + (y + x2 y) dy = x (4 + y2 ) dx + y (1 + x2 ) dy = 0
Kedua suku dibagi dengan: (4 + y2 )(1 + x2 )
x (4 + y2 ) dx+
y (1 + x2 ) dy=
x dx+
y dy= 0
(4 + y2 )(1 + x2 ) (4 + y2 )(1 + x2 ) (1 + x2 ) (4 + y2 )
x dx+
y dy=
1 d(1+x2 )+
1 d(4+y2 )(1 + x2 ) (4 + y2 ) 2 (1 + x2 ) 2 (4 + y2 )
1/2 ln (1 + x2 ) + 1/2 ln (4 + y2 ) = ln c1 1/2 d(1 + x2 ) = x dx
ln (1 + x2 ) + ln (4 + y2 ) = ln c (1 + x2 )(4 + y2 ) = c ln ab = ln a + ln b
Syarat batas: y (1) = 2 artinya, jika x = 1 maka y = 2.Isikan x = 1 dan y = 2 pada (1 + x2 )(4 + y2 ) = cdiperoleh : (1 + 1)(4 + 4) = 16 = c maka (1 + x2 )(4 + y2 ) = 16
Latihan: Pecahkan:3.45 (y3 + y)(t2 + 1) dy = (ty4 + 2y2t) dt y = y(t)
3.61 4x dy - y dx = x2 dy
3.63 x2 (y + 1) dx + y2 (x - 1) dy = 0
3.69 y (u2 + 2) du - (u3 - u) dy = 0
3.73 x (v2 + 1) dv + (v3 - 2v) dx = 0
3.74 x (v2 - 1) dv + (v3 + 2v) dx = 0
3.70 y (u2 + 2) du + (u3 + u) dy = 02. Persamaan Eksak.
Bentuk umum: M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 di mana ∂M/∂y = ∂N/∂xPerhatian: Suku N(x,y) harus dianggap positip, sehingga jika negatip, maka syarat
eksaknya menjadi: ∂M/∂y = - ∂N/∂x
Fungsi U(x,y) = c memiliki sifat eksak jika memenuhi syarat:∂U/∂x = M(x,y)
di mana ∂M/∂y = ∂N/∂x∂U/∂y = N(x,y)
Maka U(x,y) = c dapat dicari dari M(x,y) ∂x atau dari N(x,y) ∂y
Contoh soal: Pecahkan: (3x2 + y cos x) dx - (4y3 - sin x ) dy = 0Pemecahan: M(x,y) = 3x2 + y cos x ∂M/∂y = cos x sama persis
N(x,y) = sin x - 4y3 ∂N/∂x = cos x maka eksak
Misalkan jawabnya adalah U(x,y) = co , makaU = M(x,y)∂x = (3x2 + y cos x) ∂x = x3 + y sin x + F(y)
Mencari F(y) dari ∂U/∂y = N(x,y)U = x3 + y sin x + F(y) ∂U/∂y = sin x + F' (y) F'(y) = - 4y3
N(x,y) = sin x - 4y3 F(y) = - y4 + c1
U = x3 + y sin x - y4 + c1 = co
atau x3 + y sin x - y4 = c
Latihan, pecahkan:2.61 a) (x + 2y) dx + (2x - 5y) dy = 0 b) dy
=3 - 4xy2
y(1) = -1c) (y ex - e - y) dx + (x e - y + ex ) dy = 0 dx 4x2y + 6y2
4.47 (y + 2xy3 ) dx + (1 + 3x2y2 + x) dy = 0
4.48 y exy dx + x exy dy = 0
4.49 3x2y2 dx + (2x3y + 4y3) dy = 0
4.51 (y sin x + xy cos x) dx + (x sin x + 1) dy = 0
4.54 xy - 1dx -
1dy = 0
x2y xy2
4.57 (3e 3t y - 2t) dt + e 3t dy = 0
4.58 (cos y + y cos t) dt + (sin t - t sin y) dy = 0
4.52 (3x4y2 - x2 ) dy + (4x3y3 - 2xy) dx = 0
4.61 (6t5x3 + 4t3x5 ) dt + (3t6x2 + 5t4x4 ) dx = 03. Faktor integrasi.
Bentuk umum: P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0 , tetapi ∂P/∂y ≠ ∂Q/∂x, tidak eksakTetapi jika kedua suku dikalikan dengan μ = μ(x,y) , maka hasilnya:μP(x,y) dx + μQ(x,y) dy = 0 atau M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
di mana ∂M/∂y = ∂N/∂x, eksakSeterusnya, cara penyelesaiannya seperti pada persamaan eksak.
Contoh, pecahkan:(3y - 2xy3 ) dx + (4x - 3x2y2 ) dy = 0 Faktor integrasi berbentuk xpyq
Penyelesaian, kalikan kedua suku dengan xpyq
xpyq (3y - 2xy3 ) dx + xpyq (4x - 3x2y2 ) dy = 0 (3xpyq+1 - 2xp+1yq+3 ) dx + (4xp+1yq - 3xp+2yq+2 ) dy = 0 atau P dx + Q dy = 0
M = 3xpyq+1 - 2xp+1yq+3 ∂M/∂y = 3(q+1) xpyq - 2(q+3) xp+1yq+2 bisa sama persisN = 4xp+1yq - 3xp+2yq+2 ∂N/∂x = 4(p+1) xpyq - 3(p+2) xp+1yq+2 bisa eksak
Disebut "bisa sama persis" karena kedua persamaanmemiliki suku-suku yang sama persis, kecuali koefisiennya.
Koefisien xpyq 3(q+1) = 4(p+1) 4p - 3q = - 1 p = 2xp+1yq+2 2(q+3) = 3(p+2) 3p - 2q = 0 q = 3
Pemeriksaan:
dx - dy = 0
M = 3 x2 y4 - 2 x3 y6 ∂M/∂y = 12 x2 y3 - 12 x3 y5
sama persis, eksakN = 4 x3 y3 - 3 x4 y5 ∂N/∂x = 12 x2 y3 - 12 x3 y5
Jawab, U(x,y) = co
U = M dx = [3 x2 y4 - 2 x3 y6 ] ∂x = x3 y4 - 1/2 x4 y6 + H(y)Mencari H(y) ∂U/∂y = 4 x3 y3 - 3 x4 y5 + H'(y) H'(y) = 0
≡ N = 4 x3 y3 - 3 x4 y5 H(y) = c1
U = x3 y4 - 1/2 x4 y6 + c1 = co x3 y4 - 1/2 x4 y6 = c
Latihan, pecahkan: Faktor integrasi berbentuk xp yq
2.63 (2xy3 + 2y) dx + (x2y2 + 2x) dy = 0
5.25 (xy - 2y2 ) dx - (x2 - 3xy) dy = 0
2y dx - 3xy2 dx - x dy = 0 y dx + x (x2 y - 1 ) dy = 0
4.131 (8y dx + 8x dy) + x2y3 (4y dx + 5x dy) = 0
4.130 x (4y dx + 2x dy) + y3 (3y dx + 5x dy) = 0
4.132 x3y3 (2y dx + x dy) - (5y dx + 7x dy) = 0Pecahkan persamaan diferensial berikut jika faktor integrasi berbentuk xp yq
A (8y dx + 8x dy) + x2y3 (4y dx + 5x dy) = 0Ubah bentuk soal menjadi: xp yq (8y + 4x2y4) dx + xp yq (8x + 5x3y3) dy = 0
M = 8xp yq+1 + 4 xp+2yq+4 ∂M/∂y = 8(q+1) xp yq + 4(q+4) xp+2yq+3 mungkin bisaN = 8xp+1 yq + 5xp+3yq+3 ∂N/∂x = 8(p+1) xp yq + 5(p+3) xp+2yq+3 eksak
Persamaan koefisien: 8(q+1) = 8(p+1) p = q4(q+4) = 5(p+3) p = 16 - 15 = 1 q = 1
M = 8x y2 + 4 x3y5 ∂M/∂y = 16 xy + 20 x3y4
sama persis, eksakN = 8x2y + 5x4y4 ∂N/∂x = 16 xy + 20 x3y4
Jawab, U(x,y) = c di mana ∂U/∂x = M = 8x y2 + 4 x3y5 maka U = M ∂x = (8x y2 + 4 x3y5 ) ∂x = 4x2y2 + x4y5 + F(y)
∂U/∂x = 8x2y + 5x4y4 + F '(y) ≡ N = 8x2y + 5x4y4
F '(y) = 0 F(y) = c1
U(x,y) = 4x2y2 + x4y5 + c1 = c0 atau U = 4x2y2 + x4y5 = c
B x (4y dx + 2x dy) + y3 (3y dx + 5x dy) = 0Ubah bentuk soal menjadi: xp yq (4xy + 3y4) dx + xp yq (2x2 + 5xy3) dy = 0
(4xp+1yq+1 + 3xpyq+4) dx + (2xp+2yq + 5xp+1yq+3) dy = 0M = 4xp+1yq+1 + 3xpyq+4 ∂M/∂y = 4(q+1) xp+1yq + 3(q+4) xpyq+3 mungkin bisaN = 2xp+2yq + 5xp+1yq+3 ∂N/∂x = 2(p+2) xp+1yq + 5(p+1) xpyq+3 eksak
Persamaan koefisien : 4(q+1) = 2(p+2) 2p - 4q = 0 p = 2q3(q+4) = 5(p+1) 5p - 3q = 7 q = 1 p = 2
M = 4x3y2 + 3x2y5 ∂M/∂y = 8x3y + 15x2y4
sama persis, eksakN = 2x4y + 5x3y4 ∂N/∂x = 8x3y + 15x2y4
Jawab, U(x,y) = c di mana ∂U/∂x = M = 4x3y2 + 3x2y5
maka U = M ∂x = (4x3y2 + 3x2y5 ) ∂x = x4y2 + x3y5 + F(y)
∂U/∂y = 2x4y + 5x3y4 + F '(y) ≡ N = 2x4y + 5x3y4
F '(y) = 0 F(y) = c1
U(x,y) = x4y2 + x3y5 + c1 = c0 atau U = x4y2 + x3y5 = cC x3y3 (2y dx + x dy) - (5y dx + 7x dy) = 0
Ubah bentuk soal menjadi: xp yq (2x3y4 - 5y) dx + xp yq (x4y3 - 7x) dy = 0(2xp+3yq+4 - 5xpyq+1) dx + (xp+4yq+3 - 7xp+1yq) dy = 0
M = 2xp+3yq+4 - 5xpyq+1 ∂M/∂y = 2(q+4) xp+3yq+3 - 5(q+1) xpyq mungkin bisaN = xp+4yq+3 - 7xp+1yq ∂N/∂x = (p+4) xp+3yq+3 - 7(p+1) xpyq eksak
Persamaan koefisien : 2(q+4) = (p+4) p - 2q = 4 p = -2 2/3 = - 8/35(q+1) = 7(p+1) 7p - 5q = -2 q = -3 1/3 = - 10/3
M = 2x1/3y2/3 - 5x- 8/3y- 7/3 ∂M/∂y = 4/3 x1/3y- 1/3 + 35/3 x- 8/3y- 10/3 sama persisN = x4/3y- 1/3 - 7x- 5/3y- 10/3 ∂N/∂x = 4/3 x1/3y- 1/3 + 35/3 x- 8/3y- 10/3 eksak
Jawab, U(x,y) = c di mana ∂U/∂x = M = 2x1/3y2/3 - 5x- 8/3y- 7/3
maka U = M ∂x = (2x1/3y2/3 - 5x- 8/3y- 7/3) ∂x =6/4 x4/3y2/3 + 3x- 5/3y- 7/3 + F(y)
∂U/∂y = x4/3y- 1/3 - 7x- 5/3y- 10/3 + F '(y) ≡ N = x4/3y- 1/3 - 7x- 5/3y- 10/3
F '(y) = 0 F(y) = c1
U(x,y) = 6/4 x4/3y2/3 + 3x- 5/3y- 7/3 + c1 = c0 U = 6/4 x4/3y2/3 + 3x- 5/3y- 7/3 = c
4. Persamaan Linier.Bentuk umum : dy
+ P(x) y = Q(x)
dx
Faktor integrasi: μ = eP(x) dx
sehingga soal menjadi d (μy) = μ Q(x)dx
Contoh soal:Pecahkan :
xdy
- 2y = x3 cos 4xdx
Penyelesaian: Rubah bentuk soal menjadi bentuk standarddy
-2y
= x2 cos 4xdx x di mana P(x) = - 2 x -1
Q(x) = x2 cos 4x
μ = eP(x) dx
= e-2x-1 dx
= e- 2 ln x
= eln x- 2
= x-2
Maka soal berubah menjadi:
x-2 dy-
2y= cos 4x atau
d[x -2 y] = cos 4x
dx x3 dxx-2 y = cos 4x dx = 1/4 sin 4x + c
atau y = 1/4 x2 sin 4x + c x2
Latihan soal, Pecahkan :5.47
xdy
= y + x3 + 3x2 - 2xdx
5.48 dQ+
3 Q= 2
dt 100 - t
5.49 dQ+
2 Q= 4
dt 10 + 2t
5.50 dQ+
2 Q= 4
+ P(x) y = Q(x)
dt 20 - t
5.51 dI+ 20 I = 6 sin 2t
dt
5.55 dQ+ 0,04 Q = 3,2 e - 0,4 t
dt
5.54 dQ+ 100 Q = 10 sin 120 πt
dt
5. Persamaan Homogen.Bentuk umum: dy
= Fy
dx x
Cara penyelesaian, misalkan y= v maka
dy= F(v)
x dx
y = v x maka v dx + x dv = dy atau dy= v + x
dvdx dx
Sehingga soalnya berubah menjadiv + x
dv= F(v)
dx
xdv
= F(v) - vdv
=dx ini adalah bentuk variabel
dx F(v) - v x yang dapat dipisahkanContoh soal, Pecahkan:
(2x3 + y3 ) dx - 3xy2 dy = 0 semua suku berderajat 3Penyelesaian:Rubah bentuk soal menjadi bentuk standard dy
=2x3 + y3
=2 + (y/x)3
+ = 4
dx 3xy2 3 (y/x)2
misalkan y/x = v maka dy=
2 + v3
dx 3v2
v + xdv
=2 + v3
y = vx dy= v + x
dv dx 3v2
dx dx
v + xdv
=2 + v3
xdv
=2 + v3
- v =2 - 2v3
dx 3v2 dx 3v2 3v2
3v2 dv=
dx-1/2 ln [2-2v3 ] = ln x + ln co
2 - 2v3 xx2 [2 - 2v3 ] = c x2 [2 - 2(y/x)3 ] = c
Latihan soal, Pecahkan :3.124
y ' =2y4 + x4
xy3
3.139y ' =
2xyy2 - x2
3.144y ' =
x4 + 3x2y2 + y4
x3y
3.145 (x3 + y3) dx - 3xy2 dy = 0 3.127 y ' = 2xy / (x2 - y2)
3.126 y ' = (x2 + y2) / xy 3.128 y ' = (y - x) / x
6. Persoalan Fisika.Rangkaian Listrik. R R = Tahanan, Resistor, Ohm
L = Induktor, HenryEC
= =
S = Switch S C = Kapasitor, FaradL E = Batery, Volt
Perbedaan tegangan voltage yang melewati R adalah iR , di mana i = arus, amperePerbedaan tegangan yang melewati L adalah L di/dt , dimana t = waktu, detikPerbedaan tegangan yang melewati C adalah q/C , di mana q = muatan, coulombArus i = dq/dtMaka berdasar hukum Kirchoff, persamaan tegangan dalam 1 (satu) loop adalah:
Ldi
+ iR +q
= Edt C
karena i = dq/dt , maka :L
d2q+ R
dq+
q= E
dt2 dt CUntuk loop yang bercabang, arah arus i perlu diperhatikan karena mempengaruhi tanda.Dalam persoalan fisika biasanya ada syarat batas. Syarat batas ini ada yang secara jelasdinyatakan, tetapi banyak juga yang tidak dinyatakan, sehingga berlaku ketentuan umum.
Contoh soal.2.32 Suatu Resistor R = 10 ohm dipasang serie dengan
induktor L = 2 henry dan batery E. RPada t = 0 switch ditutup dan arusnya i = 0.Hitung i untuk t > 0 jika a) E = 40 S
b) E = 20 e -3t Lc) E = 50 sin 5t
Penyelesaian:Persamaan tegangan
Ldi
+ iR = E atau 2di
+ 10 i = Edt dtdi
+ 5 i =E ini adalah persamaan linier dengan
E
C
dt 2 P(t) = 5E(t) = E/2
Maka faktor integrasinya μ =5 dt 5 t
e = eSehingga soal berubah menjadi
e 5t di+ 5 i e 5t =
Ee 5t
dt 2d
i e 5t = E
e 5t setelah diintegralkan, diperoleh i e 5t = E
e 5t dtdt 2 2
a) E = 40i e 5t =
Ee 5t dt = 20 e 5t dt = 4 e 5t + c
2i = 4 + c e - 5t
0 = 4 + c c = - 4 i = 4 - 4 e - 5t
Syarat batas, t = 0 , i = 0
b) E = 20 e -3t
i e 5t = E
e 5t dt = 10 e 2t dt = 5 e 2t + c2
i = 5 e - 3t + c e - 5t
0 = 5 + c c = - 5 i = 5 e - 3t - 5 e - 5t
Syarat batas, t = 0 , i = 0
c) E = 50 sin 5t
i e 5t = E
e 5t dt = 25 e 5t sin 5t dt = 2
= 25 e 5t (A cos 5t + B sin 5t) A, B dicariMencari A dan B: d/dt [e 5t (A cos 5t + B sin 5t)] = e 5t sin 5te 5t (5A cos 5t + 5B sin 5t - 5A sin 5t + 5B cos 5t) = e 5t sin 5t
e 5t [(5A + 5B) cos 5t + (5B - 5A) sin 5t] = e 5t sin 5tKoefisien cos : 5A + 5B = 0 A = - 1/10Koefisien sin : 5B - 5A = 1 B = 1/10
+ 5 i =
i e 5t = 25 e 5t (- 1/10 cos 5t + 1/10 sin 5t) + ci = 25 (- 1/10 cos 5t + 1/10 sin 5t) + c e -5t 0 = - 25/10 + cSyarat batas, t = 0 , i = 0 c = 25/10
i = 25 (- 1/10 cos 5t + 1/10 sin 5t) + 25/10 e -5t
= 5/2 (sin 5t - cos 5t) + 5/2 e -5t
Latihan, pecahkan:2.77 Suatu rangkaian listrik terdiri dari sebuah resistor 8 ohm yg dihubungkan serie dengan
sebuah induktor 0,5 henry dan sebuah batery E. Pada saat t = 0, arus = 0.Tentukan besarnya arus pada t > 0 dan arus maksimumnya, jika :a) E = 64 b) E = 8t e - 16t c) E = 32 e - 8t
2.78 a) Tentukan besarnya arus pada rangkaian soal 2.77 jika E = 64 sin 8tb) Bagian mana arus yang bersifat transien (sesaat), dan mana yang kontinyu.
2.33 Sebuah resistor R = 5 ohm dan sebuah kondensor C = 0,02 farad dihubungkan seriedengan sebuah batery E = 100 Volt. Jika pada t = 0 muatan q = 5 coulomb,tentukan muatan q dan arus i untuk t > 0.
8.18 Sebuah rangkaian serie L = 3 henry dan R = 15 ohm dipasang pada jaringan listrik110 Volt dengan frekwensi 60 Hz. Hitung i setiap saat jika i = 0 pada t = 0.
Defleksi (lenturan) batang.2.42 w = W/L Sebuah batang sederhana panjang L diberi beban merata
w = W/L. a) Cari persamaan lendutannyaA L B b) Cari lendutan maksimum
Penyelesaian: Mula-mula buat DBB-nya RA = wL/2wL RB = wL/2
A B Rumus dasar lendutan:y " =
M(x)RA L RB EI
y wx Sudut kemiringan batangθ = y ' =
M(x)dx
Mx x EIA Besarnya simpangan lendutan
y = y ' dx = M(x)
dx2
RA x EIx/2 M(x) = RA(x) - wx (x/2) = 1/2 wLx - 1/2 wx2
Perhatian: Salah satu indikasi kebenaran rumus adalah kesamaan satuan.Satuan wLx sama dengan satuan wx2. Kalau tidak sama berarti salah.
EI y " = M(x) = 1/2 wLx - 1/2 wx2
EI y ' = M(x) dx = 1/4 wLx2 - 1/6 wx3 + c1 c = konstanta bebasEI y = M(x) dx2 = 1/12 wLx3 - 1/24 wx4 + c1x + c2
Besarnya konstanta bebas c dapat dicari melalui syarat batas.Karena ada 2 konstanta bebas, maka perlu ada 2 syarat batas.Syarat batas 1) x = 0 , lendutan yo = 0
2) x = L , lendutan yL = 0 atau, pada x = L/2, y ' = 0 karena y = maxCatatan: Syarat batas x = L hanya boleh digunakan jika rumus M(x) berlaku untuk
x = L. Untuk beberapa kasus, dimana beban tidak simetris, maka rumusM(x) untuk sisi kiri dan sisi kanan akan berbeda.
y = 0 y = 1/12 wL(0)x3 - 1/24 w(0)4 + c1(0) + c2 maka c2 = 0y = 1/12 wLx3 - 1/24 wx4 + c1x
y = L y = 1/12 wL4 - 1/24 wL4 + c1L = 0 c1 = -1/12 wL3 + 1/24 wL3 = -1/24 wL3
Maka EI y = 1/12 wLx3 - 1/24 wx4 - 1/24 wL3x
Lendutan maximum terjadi di y ' = 0y ' = 1/4 wLx2 - 1/6 wx3 - 1/24 wl3 = 0 atau 6L x2 - 4 x3 - L3 = 0
x = L/2 6/4 L3 - 4/8 L3 - L3 = 0 benar
x = L/2 EI ymax = 1/96 wL4 - 1/384 wL4 - 1/48 wL4 = - 5/384 wL4
Perhatian: Tanda - (negatip) diperoleh jika tanda M(x) dari RA(x) atau cw positip.
2.43 Sebuah batang cantilever panjang L dengan beban terpusat P di ujung L.Cari persamaan lendutannya, dan cari lendutan maximum.
L P Penyelesaian: Dengan DBB diperoleh RA = PMA = PL
A MA B M(x) = RA(x) - MA = Px - PL (satuan sama)RA EI y " = M(x) = Px - PL
x EI y ' = 1/2 Px2 - PLx + c1
M(x) EI y = 1/6 Px3 - 1/2 PLx2 + c1x + c2
A MA Syarat batas x = 0 , maka y = 0 maka diperoleh c2 = 0RA x = 0 , maka y ' = 0 diperoleh c1 = 0
Maka EI y = 1/6 Px3 - 1/2 PLx2
Lendutan maximum terjadi di x = LEI yL = 1/6 PL3 - 1/2 PL3 = - 1/3 PL3
Contoh soal: Cari persamaan lendutan dan lendutan max.a P b Dengan DBB diperoleh: RA = Pb/L
A B RB = Pa/LL Ada 2 persamaan momen
RA RB 0 < x < a Mx = RA(x) = Pbx/Lx a P
A A a < x < L Mx = RA(x) - P(x-a)Mx x Mx = Pbx/L - Px + Pa
RA 0 < x < a RA a < x < L = Pa - Pax/L
0 < x < a EI y ' = Pb/2L x2 + c1
EI y = Pb/6L x3 + c1x + c2
a < x < L EI y ' = Pax - Pa/2L x2 + c3 ada 4 konstanta bebasEI y = Pa/2 x2 - Pa/6L x3 + c3x + c4 Perlu 4 syarat batas
Syarat batas 1) x = 0 , y = 02) x = L , y = 03) x = a , y ' kiri = y ' kanan agar batang tidak patah4) x = a , y kiri = y kanan agar batang tidak putus
1) Pb/6L (0)3 + c1(0) + c2 = 0 c2 = 02) PaL2/2 - PaL2/6 + c3L + c4 = 0
PaL2/3 + c3L + c4 = 0 3 persamaan dengan 3 variabel3) Pa2b/2L + c1 = Pa2 - Pa3/2L + c3 c1 , c3 , c4 dapat dicari4) Pba3/6L + c1a = Pa3/2 - Pa4/6L + c3a + c4
Cara mencari c1 , c3 , c4 :Persamaan 3) dikalikan a dikurangi persamaan 4) , maka akan diperoleh c4
Harga c4 dimasukkan ke persamaan 2) , maka akan diperoleh c3
Harga c3 dimasukkan ke persamaan 3) , maka akan diperoleh c1
4) Pba3/6L + c1a = Pa3/2 - Pa4/6L + c3a + c4
3) x a Pa3b/2L + c1a = Pa3 - Pa4/2L + c3a -- Pba3/3L = - Pa3/2 + Pa4/3L + c4 c4 = Pa3/2 - Pa4/3L - Pba3/3L
= Pa3/2 - Pa3/3 = Pa3/6
Masukkan harga c4 ke persamaan 2)PaL2/3 + c3L + Pa3/6 = 0
c3 = - PaL/3 - Pa3/6L
Masukkan harga c3 ke persamaan 3)
Pa2b/2L + c1 = Pa2 - Pa3/2L - PaL/3 - Pa3/6Lc1 = Pa2- 2Pa3/3L - PaL/3 = Pa/3L (3aL - 2a2 - L2 )
= - Pa/3L (L - a)(L - 2a) = - Pab(b - a)/3L
0 < x < a EI y = Pbx3/6L - Pab(b - a)x/3L= Px/6L (bx2 - 2ab2 - 2a2b)
Latihan soal:1 w = W/L Batang cantilever AB panjang L diberi beban merata.
A B Cari persamaan lendutannya, dan cari lendutan max.L
2 L/2 P L/2 Batang sederhana AB panjang L diberi beban terpusatA a b B P di tengah-tengah.
L Cari persamaan lendutannya, dan cari lendutan max.
3 Jika batang cantilever AB soal 1 diberi beban terpusat P di ujung batang, cari persamaan lendutannya, dan cari lendutan max.
4 Jika batang sederhana AB soal 2 diberi beban merata w = W/L sepanjang L,cari persamaan lendutannya, dan cari lendutan max.
5 Cari persamaan lendutannya, dan cari lendutan max jika beban P pada batang AB soal 2 tidak terletak di tengah-tengah, tetapi pada jarak a = L/3, L/4, 2L/3, 3L/4.
Bentuk umum Persamaan Deferensial Linier lengkap orde n :
ao(x)dny
+ a1(x)dn-1y
+ a2(x)dn-2y
+ . . + an-1(x)dy
+ an(x) y = R(x)dxn dxn-1 dxn-2 dx
Jika turunan-turunan tsb ada yang berpangkat lebih dari 1 (satu) maka tidak linier.
Lambang Operator.Untuk penyingkatan, sering d/dx, d2/dx2, dst ditulis menjadi D, D2, dst.Contoh: d2y
+2dy
+y = 0 bisa ditulis menjadi (D2 + 2D + 1) y = 0dx2 dx
Sifat Operator adalah D [pu + qv] = p D[u] + q D[v] p, q = bilanganu, v = fungsi
Yang dibahas dalam bab ini, adalah persamaan deferensial linier dengan koefisien konstanta.Bentuk umumnya adalah:
aodny
+ a1dn-1y
+ a2dn-2y
. . + an-1dy
+ an y = R(x)dxn dxn-1 dxn-2 dx
atau dalam bentuk operator:[ao Dn + a1 Dn-1 + a2 Dn-2 + . . . + an-1 D + an] y = R(x) atau [φD] = R(x)
Jawab dari persamaan deferensial linier:Ada 2 (dua) jawaban sehingga disebut bahwa jawabannya telah lengkap, yaitu:y = yH + yK di mana
yH adalah jawab pelengkap dari persamaan Homogen [φD] = 0yK adalah jawab khusus dari persamaan lengkap [φD] = R(x), dan yK memiliki 2 sifat:
1) Bebas linier terhadap yH
2) Bentuknya sama atau mirip dengan R(x)
Mencari jawab pelengkap atau jawab homogen yH :
Pandang persamaan deferensial linier [ao Dn + a1 Dn-1 + a2 Dn-2 + . . . + an-1 D + an] y = 0Misalkan yH = e mx (catatan: jawab homogen selalu dalam bentuk e pangkat sesuatu)maka d[e mx] = m e mx
d2 [e mx] = m2 e mx ao mn + a1 mn-1 + a2 mn-2 + . . . + an-1 m + an = 0. . . . . ini adalah polinom m pangkat n yang bisa diuraikan menjadi:
dn [e mx] = mn e mx ao (m-m1)(m-m2)(m-m3). . . (m-mn) = 0 ada n akar
Akan ada 3 (tiga) kemungkinan tentang bentuk akar-akar persamaan polinom tsb.1) Semua akar mi berbeda, tidak ada yang sama2) Beberapa akar mi sama3) Ada 2 atau lebih akar bilangan komplex. Akar komplex selalu berpasangan.
1) Semua akar mi berbeda, tidak ada yang samaMaka jawab homogennya adalah:
m1x m2x m3x mnxyH = c1 e + c2e + c3e + . . . + cne c = konstanta bebas
2) Beberapa akar mi samaMisalkan ada 2 akar m yang sama, m1 = m2 = m*Maka jawab homogennya adalah:
m*x m3x mnxyH = (c1 x + c2) e + c3e + . . . + cne banyaknya konstanta
bebas tetap = nSetiap suku harus bebas linier, maka tidak boleh ada suku c1 e m*x + c2 e m*x karena2 suku tsb akan dapat dijumlahkan menjadi (c1 + c2) e m*x = c* e m*x sehingga banyaknyakonstanta bebas akan kurang dari n.
Jika m1 = m2 = m3 = m* , makam*x m4x mnx
yH = (c1 x2 + c2 x + c3) e + c4e + . . . + cne
3) Ada 2 atau lebih akar bilangan komplex. Akar komplex selalu berpasangan.Misalkan m1 = a + bi di mana a, b adalah bilangan riil dan i = √-1 maka jawabnya
ax m3x mnxyH = e (c1 cos bx + c2 sin bx) + c3 e + . . . + cneJawaban ini diperoleh dengan menggunakan teorema Euler
e iφ = cos φ + i sin φe - iφ = cos φ - i sin φ
Contoh soal, pecahkan:2 y " - 5 y ' + 2 y = 0 Persamaan akar-akarnya : 2 m 2 - 5 m + 2 = 0
(2m - 1)(m - 2) = 0 m1 = 1/2 m2 = 2Maka yH = c1 e x/2 + c2 e 2x
y " - 8 y ' + 16 y = 0 Persamaan akar-akarnya : m 2 - 8 m + 16 = 0(m - 4) 2 = 0 m1,2 = 4
Karena ada 2 akar sama, maka jawabnya: yH = (c1 x + c2) e 4x
(D2 + 6D + 25) y = 0 Persamaan akar-akarnya : m 2 + 6 m + 25 = 0
m1,2 =- 6 ± √(36 - 100)
= -3 ± 4i2
Maka yH = e - 3x (c1 cos 4x + c2 sin 4x)Mencari jawab khusus yK
Telah disebutkan di atas bahwa yK memiliki 2 sifat: 1) Bebas linier terhadap yH
2) Sama atau mirip dengan R(x)Maka bentuk-bentuk kemiripan itu bisa disajikan dalam tabel :
Bentuk R(x) Bentuk pemisalan yK
1) f e mx A e mx A harus dicari
2) f cos mx + g sin mx Harus lengkap:atau f cos mx saja A cos mx + B sin mx A, B harus dicariatau g sin mx saja
3) f xp + g x p-1 + . . . Harus lengkap:baik lengkap atau tidak lengkap A xp + B x p-1 + . . . + M x + N
A, B, . . M, N harus dicari
4) e px (f cos mx + g sin mx) Harus lengkap:baik lengkap atau tidak lengkap e px (A cos mx + B sin mx) A, B dicari
5) e px (f xp + g x p-1 + . . .) Harus lengkap:baik lengkap atau tidak lengkap e px (A xp + B x p-1 + . . . + M x + N)
A, B, . . M, N harus dicari
6) (a xp + b x p-1 + . . .) cos mx + Harus lengkap:(f xp + g x p-1 + . . .) sin mx (A xp + B x p-1 + . . . + M x + N) cos mx +baik lengkap atau tidak lengkap (P xp + Q x p-1 + . . . + V x + W) sin mx
A, B, . . V, W harus dicari
7) Gabungan yang di atas Gabungan yang di atas
Contoh-contoh soal, pecahkan, cari jawab lengkapnya, jawab homogen dan jawab khusus :3.18 (D2 + 2D + 4) y = 8 x2 + 12 e -x
Jawab lengkap : y = yH + yK
Mencari yH : Misalkan yH = e mx
Maka persamaan akar-akar m :m1,2 =
- 2 ± √(4 - 12)
m2 + 2m + 4 = 0 2 m1,2 = - 1 ± i√2
Jawab homogen: yH = e -x (c1 cos √2 x + c3 sin √2 x)yH sudah bebas linier terhadap R(x) = 8 x2 + 12 e -x
Mencari yK: Misalkan yK = Ax2 + Bx + C + D e -x A,B,C,D harus dicariyK = Ax2 + Bx + C + D e -x Dy = 2Ax + B - D e -x
D2y = 2A + D e -x dimasukkan ke soal :(D2 + 2D + 4) y = 2A + D e -x + 2 (2Ax + B - D e -x ) + 4 (Ax2 + Bx + C + D e -x ) =
4A x2 + (2A + 4B) x + 2A + 2B + 4C + (D - 2D + 4D) e -x ≡ 8 x2 + 12 e -x
Persamaan koefisienx2 4A = 8 A = 2x1 4A + 4B = 0 B = - 2xo 2A + 2B + 4C = 0 C = 0e -x 3D = 12 D = 4 yK = 2x2 - 2x + 4 e -x
y = yH + yK = e -x (c1 cos √2 x + c3 sin √2 x) + 2x2 - 2x + 4 e -x
c1 dan c2 adalah konstanta bebas yang bisa dicari jika ada syarat batas.
3.19 Soalnya sama dengan 3.18 , hanya suku 10 sin 3x ditambahkan pada R(x)Maka jawabnya juga sama dengan jawab 3.18 , hanya harus ditambah dengan yK'
Misalkan yK' = P cos 3x + Q sin 3x D y = - 3P sin 3x + 3Q cos 3xD2y = - 9P cos 3x - 9Q sin 3x
Dimasukkan ke soal:(D2 + 2D + 4) y = - 9P cos 3x - 9Q sin 3x + 2 (- 3P sin 3x + 3Q cos 3x) +- 9P cos 3x - 9Q sin 3x + 2 (- 3P sin 3x + 3Q cos 3x) + 4 (P cos 3x + Q sin 3x) =(- 5P + 6Q) cos 3x + (-5Q - 6P) sin 3x ≡ 10 sin 3x
m1,2 =
Persamaan koefisien :cos - 5P + 6 Q = 0 P = - 60/61 Pemeriksaan : 300/61 - 300/61 = 0 benarsin - 5Q - 6 P = 10 Q = - 50/61 250/61 + 360/61 = 10 benar
yK' = - 60/61 cos 3x - 50/61 sin 3xy = y3.18 + yK' =
e -x (c1 cos √2 x + c3 sin √2 x) + 2x2 - 2x + 4 e -x - 60/61 cos 3x - 50/61 sin 3x
3.20 (D2 + 4) y = 8 sin 2xJawab, y = yH + yK
Mencari yH , misalkan yH = e mx persamaan akar-akar m: m2 + 4 = 0m1,2 = ± 2i
yH = c1 cos 2x + c2 sin 2x yH tidak bebas linier terhadap R(x) = 8 sin 2x
Mencari yK : Misalkan yK = (Ax + B) cos 2x + (Px + Q) sin 2xD y = A cos 2x - 2(Ax + B) sin 2x + P sin 2x + 2 (Px + Q) cos 2x
= (2Px + 2Q + A) cos 2x + (- 2Ax - 2B + P) sin 2x angka-angka koefisien sama, hanya beda tanda
D2 y = 2P cos 2x - 2(2Px + 2Q + A) sin 2x - 2A sin 2x + 2(- 2Ax - 2B + P) cos 2x= (- 4Ax - 4B + 4P) cos 2x + (- 4 Px - 4Q - 4A) sin 2x
angka-angka koefisien sama, hanya beda tandaMasukkan ke soal:
(D2 + 4) y = (- 4Ax - 4B + 4P) cos 2x + (- 4 Px - 4Q - 4A) sin 2x+ 4 [(Ax + B) cos 2x + (Px + Q) sin 2x]
= 4P cos 2x - 4A sin 2x 4P = 0 P = 0≡ 8 sin 2x - 4A = 8 A = - 2
yK = - 2x cos 2xy = c1 cos 2x + c2 sin 2x - 2x cos 2x
Persamaan simultan (serentak).d2x
+dy
+ 3x = e -t Atur bentuk soal menjadidt2 dt (D2 + 3) x + Dy = e -t
d2y- 4
dx+ 3y = sin 2t
- 4D x + (D2 + 3) y = sin 2tdt2 dt
e -t D
x =sin 2t D2 + 3
=4 e -t- 2 cos 2t
(D4 + 10D2 + 9) x = 4 e -t - 2 cos 2tD2 + 3 D D4 + 10D2 + 9- 4 D D2 + 3 Persamaan diferensial dalam x
D2 + 3 e -t
y =- 4 D sin 2t
=- 4 e -t - sin 2t
(D4 + 10D2 + 9) y = - 4 e -t - sin 2tD2 + 3 D D4 - 9 + 4D2
- 4 D D2 + 3 Persamaan diferensial dalam y
(D4 + 10D2 + 9) x = 4 e -t - 2 cos 2tJawab x = xH + xK
Mencari xH , misalkan xH = e mt Persamaan akar-akar m: m4 + 10m2 + 9 = 0(m2 + 9)(m2 + 1) = 0 m1,2 = ± 3i
m3,4 = ± ixH = c1 cos 3t + c2 sin 3t + c3 cos t + c4 sin t sudah bebas linier terhadap R(t)
Mencari xK : Misalkan xK = A e -t + B cos 2t + C sin 2t suku sin tidak akan munculD x = - A e -t - 2B sin 2t + 2C cos 2t
D2 x = A e -t - 4B cos 2t - 4C sin 2tD3 x = - A e -t + 8B sin 2t - 8C cos 2tD4 x = A e -t + 16B cos 2t + 16C sin 2t
Dimasukkan ke soal: (D4 + 10D2 + 9) x = 4 e -t - 2 cos 2tA e -t + 16B cos 2t + 16C sin 2t + 10 (A e -t - 4B cos 2t - 4C sin 2t) +
9 (A e -t + B cos 2t + C sin 2t) =20A e -t - 15B cos 2t - 15C sin 2t ≡ 4 e -t - 2 cos 2tPersamaan koefisien:20A = 4 A = 1/515B = 2 B = 2/15 xK = 1/5 e -t + 2/15 cos 2t15C = 0 C = 0
x = c1 cos 3t + c2 sin 3t + c3 cos t + c4 sin t + 1/5 e -t + 2/15 cos 2t
(D4 + 10D2 + 9) y = - 4 e -t - sin 2ty = yH + yK yH = a1 cos 3t + a2 sin 3t + a3 cos t + a4 sin t
Misalkan yK = P e -t + Q sin 2t suku cos tidak akan munculD2 y = P e -t - 4Q sin 2tD4 y = P e -t + 16Q sin 2t
(D4 + 10D2 + 9) y = P e -t + 16Q sin 2t + 10(P e -t - 4Q sin 2t) + 9(P e -t + Q sin 2t)= 20P e -t - 15Q sin 2t ≡ - 4 e -t - sin 2t
Persamaan koefisien20P = - 4 P = - 1/515Q = 1 Q = 1/15 yK = - 1/5 e -t + 1/15 sin 2t
y = a1 cos 3t + a2 sin 3t + a3 cos t + a4 sin t - 1/5 e -t + 1/15 sin 2t
Soal-soal latihan, Pecahkan:3.77 dx
+ 2x =dy
+ 10 cos tsyarat batas: bila t = 0 maka x = 2 , y = 0
dt dtdy
+ 2y = 4 e -2t -dx
dt dt
3.78 (D2 + 2) x + D y = 2 sin t + 3 cos t + 5 e -t syarat batas, jika t = 0D x + (D2 - 1) y = 3 cos t - 5 sin t - e -t x = 2, dx = 0, y = -3 , dy = 4
3.85 i Diketahui R1 = 8 ohm R2 = 1 ohmR1 L L = 2 henry C = 0,1 farad
C Syarat batas t = 0 , maka i = 0 dan q = 0i1 a) E = 360
i2 b) E = 600 e -5t sin 3tR2 Hitung q , i , i1 , i2 sebagai fungsi dari t
Contoh 3.37Sebuah rangkaian listrik terdiri atas induktor 2 henry, resistor 16 ohm dan kapasitor 0,02farad dipasang serie dengan sebuah batery E = 100 sin 3t. Jika pada t = 0 muatan dan arus = 0, hitung besar arus dan muatan pada t > 0.
Jawab: Persamaan integralnya :L
di+ Ri +
q= E
dt Ckarena
i =dq
maka Ld2q
+ Rdq
+q
= Edt dt2 dt C
d2q+
R dq+
q=
Emaka
d2q+ 8
dq+ 25 q = 50 sin 3t
dt2 L dt LC L dt2 dt
Jawab: q = qH + qK
Mencari qH : Misalkan q = e mt m2 + 8m + 25 = 0 m1,2 = - 4 ± 3iqH = e -4t (c1 cos 3t + c2 sin 3t) bebas linier terhadap R(t)
E
+ 2y = 4 e -2t -
Mencari qH : Misalkan yK = A cos 3t + B sin 3t A, B dicariD y = - 3A sin 3t + 3B cos 3tD2y = - 9A cos 3t - 9B sin 3t
Masukkan ke soal: (D2 + 8D + 25) q = 50 sin 3t- 9A cos 3t - 9B sin 3t
- 24A sin 3t + 24B cos 3t25A cos 3t + 25B sin 3t
(16A + 24B) cos 3t + (-24A + 16B) sin 3t ≡ 50 sin 3t
Persamaan koefisien :cos 16A + 24B = 0 A = -1 23/52
qK = - 1 23/52 cos 3t + 25/26 sin 3tsin -24A + 16B = 50 B = 25/26
q = e -4t (c1 cos 3t + c2 sin 3t) - 1 23/52 cos 3t + 25/26 sin 3ti = dq/dt = e -4t (-4c1 cos 3t - 4c2 sin 3t - 3c1 sin 3t + 3c2 cos 3t)
+ 225/52 sin 3t + 75/26 cos 3t
Syarat batas, t = 0 , maka q = 0 , i = 0qo = c1 - 1 23/52 = 0 c1 = 1 23/52 io = - 4c1 + 3c2 + 75/26 = 0 c2 = 25/26
q = 25/52 e -4t (3 cos 3t + 2 sin 3t) - 1 23/52 cos 3t + 25/26 sin 3ti = e -4t (-2 23/26 cos 3t - 8 9/52 sin 3t) + 225/52 sin 3t + 75/26 cos 3t
= - 25/52 e -4t (6 cos 3t + 17 sin 3t) + 225/52 sin 3t + 75/26 cos 3tContoh soal 3.48 Diketahui rangkaian listrik seperti di gambar samping.
M L i = i1 + i2 E = 120 volt20 Ω 4 H i2 Hitung besar arus setiap saat.
N i1 K Jawab: Loop JKNPJ2
di1 + 10 i1 + 20 i = 12010 Ω 2 H i dt
2di1 + 10 i1 + 20 i1 + 20 12 = 120
P 20 Ω J dtLoop KLMNK
4di2 + 20 i2 - 10 i1 - 2 di1 = 0dt dt
Setelah diatur diperoleh:(2D + 30) i1 + 20 i2 = 120
disederhanakan(D + 15) i1 + 10 i2 = 60
(- 2D - 10) i1 + (4D + 20) i2 = 0 - i1 + 2 i2 = 0i1 = 2 i2
(D + 15) i1 + 5 i1 = 60(D + 20) i1 = 60 i1 = c1 e -20t + 3
syarat batas t = 0 i = 0c1 = - 3 i1 = - 3 e -20t + 3
i2 = - 3/2 e -20t + 3/2Latihan soal, pecahkan:3.63 (D3 - 8) y = 16x + 18e -x + 64 cos 2x - 32
3.64 a) y " + 3 y ' + 2 y = 4 e -2x b) (D3 + 3D2) y = 180 x3 + 24 x
c) y " + 4 y ' + 8 = e -2x cos 2x d) y " + 4 y ' + 8 = e -2x sin 2x
3.84 Rangkaian listrik L = 2 henry, R = 4 ohms, C = 0,05 Farad dipasang serie dengan E.Pada t = 0, muatan q = 2 coulomb. Hitung I pada t > 0 jikaa) E = 100 voltb) E = 100 sin 4t
Diketahui : L(H) R(Ω) C(F) E(V) Cari i jika
E
ES
i A 2 24 0.005 4 sin 3t pada t = 0R L B 2 20 0.010 3 sin 2t maka Q = 0
C C 2 12 0.020 5 sin 2t dan i = 0L di/dt + Ri + Q/C = E i = dQ/dt
9.126 (D2 + 60D + 500) i = (2t - 50) e -10t sin 50t (D2 - 6D + 25) y = 6 e 3x cos 4x
9.191 (D2 - 10D + 29) y = - 8 e 5x sin 2x 9.192 (D2 + 4D + 5) y = 60 e -2x sin x
9.199 (D2 - 6D + 25) y = (2x - 1) e 3x cos 4x 9.194 (D2 - 2D + 10) y = 18 e x cos 3x
3.85 i Diketahui R1 = 8 ohm R2 = 1 ohmR1 L L = 2 henry C = 0,1 farad
C Syarat batas t = 0 , maka i = 0 dan q = 0i1 a) E = 360
i2 b) E = 600 e -5t sin 3tR2 Hitung q , i , i1 , i2 sebagai fungsi dari t
Loop atas
L di + q + R1i = E L di1 + L di2 + q + R1i1 + R1i2 = Edt C dt dt C
i1 =dq
L d2q + R1dq + q + L di2 + R1i2 = E
dt dt2 dt C dtLoop bawah
-q+ R2i2 = 0
C
d2q +R1 dq + q + di2 +
R1i2 = E (D2 + 4D + 5)q + (D + 4)i2 =
Edt2 L dt LC dt L L L
E
E
-q + R2i2 = 0 - 10 q + i2 = 0C
a) E = 360(D2 + 4D + 5)q + (D + 4)i2 = 180
- 10 q + i2 = 0
180 D+4
q =0 1
=180 (D2 + 14D + 45) q = 180
D2+4D+5 D+4 D2 + 14D + 45 (D + 9) (D + 5) q = 180-10 1 q = c1 e -9t + c2 e -5t + 4
i1 = dq/dt = - 9 c1 e -9t - 5 c2 e -5t
i2 = 10 q
Syarat batas, t = 0 , q = 0 c1 + c2 = -4 c1 = 5i1 = 0 - 9 c1 - 5 c2 = 0 c2 = -9
q = 5 e -9t - 9 e -5t + 4i1 = - 45 e -9t + 45 e -5t
i2 = 50 e -9t - 90 e -5t + 40i = 5 e -9t - 45 e -5t + 40b) E = 600 e -5t sin 3t (D2 + 4D + 5)q + (D + 4)i2 = 300 e -5t sin 3t
- 10 q + i2 = 0 i2 = 10 q300e-5tsin 3t D+4
q =0 1 = 300 e -5t sin 3t (D2 + 14D + 45)q = 300 e -5t sin 3t
D2+4D+5 D+4 D2 + 14D + 45-10 1 qH = c1 e -9t + c2 e -5t
Misal qK = e -5t (A cos 3t + B sin 3t)Dq = e -5t [(-5A+3B) cos 3t + (-3A-5B) sin 3t]
D2q = e -5t [(16A-30B) cos 3t + (30A+16B) sin 3t] masukkan ke soal
e -5t [(16A-30B) cos 3t + (30A+16B) sin 3t]14 e -5t [(-5A+3B) cos 3t + (-3A-5B) sin 3t]45 e -5t (A cos 3t + B sin 3t)e -5t [(-9A+12B) cos 3t + (-12A-9B) sin 3t] ≡ 300 e -5t sin 3t A = - 16
B = - 12q = c1 e -9t + c2 e -5t + e -5t(-16 cos 3t - 12 sin 3t)
i1 = dq/dt = - 9 c1 e -9t - 5 c2 e -5t + e -5t(44 cos 3t + 108 sin 3t)
Syarat batas, t = 0 q = 0 c1 + c2 - 16 = 0 c1 = -9i1 = 0 - 9 c1 - 5 c2 + 44 = 0 c2 = 25
q = - 9 e -9t + 25 e -5t - e -5t(16 cos 3t + 12 sin 3t)i1 = 81 e -9t - 125 c2 e -5t - e -5t(44 cos 3t + 108 sin 3t)i2 = - 90 e -9t + 250 e -5t - e -5t(160 cos 3t + 120 sin 3t)i = - 9 e -9t + 125 e -5t - e -5t(204 cos 3t + 228 sin 3t)
1. Bobot 30 Diketahui : L(H) R(Ω) C(F) E(V) Cari i(t) jikai A 2 24 0.005 4 sin 3t pada t = 0
R L B 2 20 0.010 3 sin 2t maka Q = 0C C 2 12 0.020 5 sin 2t dan i = 0
L di/dt + Ri + Q/C = E i = dQ/dtL d2Q/dt2 + R dQ/dt + Q/C = Ed2Q/dt2 + R/L dQ/dt + Q/LC = E/L (D2 + R/L D + 1/LC)Q = E/L
ES
A (D2 + 12 D + 100)Q = 4 sin 3t Q = QH + QK
Mencari QH Misalkan QH = e mt
m2 + 12 m + 100 = 0 m1,2 = -6 ± 1/2 √(144-400) = -6 ± 2iQH = e -6t (c1 cos 2t + c2 sin 2t)
Mencari QK Misalkan QK = A cos 3t + B sin 3tDQ = - 3A sin 3t + 3B cos 3t
D2Q = - 9A cos 3t - 9B sin 3t
Masukkan ke soal : (D2 + 12 D + 100)Q = 4 sin 3t - 9A cos 3t - 9B sin 3t- 36A sin 3t + 36B cos 3t100A cos 3t + 100B sin 3t +
(91A + 36B) cos 3t + (91B - 36A) sin 3t ≡ 4 sin 3t
Persamaan koefisien : 91 A + 36 B = 0 A = -0.015## A + 91 B = 4 B = 0.038
QK = - 0,015 cos 3t + 0,038 sin 3t
Q = QH + QK = e -6t (c1 cos 2t + c2 sin 2t) - 0,015 cos 3t + 0,038 sin 3ti = dQ/dt =
e -6t (-6c1 cos 2t - 6c2 sin 2t - 2c1 sin 2t + 2c2 cos 2t) + 0,045 sin 3t + 0,114 cos 3t
Syarat batas t= 0, Q = 0 c1 - 0,015 = 0 c1 = 0.015i = 0 -6c1 + 2c2 + 0,114 = 0 c2 = -0.012
Q = e -6t (0,015 cos 2t - 0,012 sin 2t) - 0,015 cos 3t + 0,038 sin 3ti = e -6t ( -0.114 cos 2t + 0.0413 sin 2t) + 0,045 sin 3t + 0,114 cos 3t
1. Bobot 30 Diketahui : L(H) R(Ω) C(F) E(V) Cari i(t) jikaES
i A 2 24 0.005 4 sin 3t pada t = 0R L B 2 20 0.010 3 sin 2t maka Q = 0
C C 2 12 0.020 5 sin 2t dan i = 0(D2 + R/L D + 1/LC)Q = E/L i = dQ/dt
B (D2 + 10 D + 50)Q = 3 sin 2t Q = QH + QK
Mencari QH Misalkan QH = e mt
m2 + 10 m + 50 = 0 m1,2 = -5 ± 1/2 √(100-200) = -5 ± 5iQH = e -5t (c1 cos 5t + c2 sin 5t)
Mencari QK Misalkan QK = A cos 2t + B sin 2tDQ = - 2A sin 2t + 2B cos 2t
D2Q = - 4A cos 2t - 4B sin 2tMasukkan ke soal : (D2 + 10 D + 50)Q = 3 sin 2t - 4A cos 2t - 4B sin 2t
- 20A sin 2t + 20B cos 2t50A cos 2t + 50B sin 2t +
(46A + 20B) cos 2t + (46B - 20A) sin 2t ≡ 3 sin 2tPersamaan koefisien : 46 A + 20 B = 0 A = -0.032
-20 A + 46 B = 4 B = 0.0731Q K = -0.032 cos 2t + 0.0731 sin 2t
Q = QH + QK = e -5t (c1 cos 5t + c2 sin 5t) + -0.032 cos 2t + 0.0731 sin 2ti = dQ/dt =
e -5t (-5c1 cos 5t - 5c2 sin 5t - 5c1 sin 5t + 5c2 cos 5t) + 0,064 sin 2t + 0,146 cos 2tSyarat batas t= 0, Q = 0 c1 - 0,032 = 0 c1 = 0.0318
i = 0 -5c1 + 5c2 + 0,146 = 0 c2 = 0.0025Q = e -5t (0,032 cos 5t + 0,003 sin 5t) - 0,032 cos 2t + 0,073 sin 2t
ES
i = e -5t ( -0.146 cos 2t - 0.1717 sin 5t) + 0,046 sin 2t + 0,146 cos 2t
1. Bobot 30 Diketahui : L(H) R(Ω) C(F) E(V) Cari i(t) jikai A 2 24 0.005 4 sin 3t pada t = 0
R L B 2 20 0.010 3 sin 2t maka Q = 0C C 2 12 0.020 5 sin 2t dan i = 0
(D2 + R/L D + 1/LC)Q = E/L i = dQ/dt
C (D2 + 6 D + 25)Q = 5 sin 2t Q = QH + QK
Mencari QH Misalkan QH = e mt
m2 + 6 m + 25 = 0 m1,2 = -3 ± 1/2 √(36-100) = -3 ± 4iQH = e -3t (c1 cos 4t + c2 sin 4t)
Mencari QK Misalkan QK = A cos 2t + B sin 2tDQ = - 2A sin 2t + 2B cos 2t
D2Q = - 4A cos 2t - 4B sin 2t
Masukkan ke soal : (D2 + 6 D + 25)Q = 3 sin 2t - 4A cos 2t - 4B sin 2t- 12A sin 2t + 12B cos 2t25A cos 2t + 25B sin 2t +
(21A + 12B) cos 2t + (21B - 12A) sin 2t ≡ 5 sin 2tPersamaan koefisien : 21 A + 12 B = 0 A = -0.103
-12 A + 21 B = 5 B = 0.1795Q K = -0.103 cos 2t + 0.1795 sin 2t
Q = QH + QK = e -3t (c1 cos 4t + c2 sin 4t) + -0.103 cos 2t + 0.1795 sin 2ti = dQ/dt =
ES
e -3t (-3c1 cos 4t - 3c2 sin 4t - 4c1 sin 4t + 4c2 cos 4t) + 0,206 sin 2t + 0,358 cos 2tSyarat batas t= 0, Q = 0 c1 - 0,103 = 0 c1 = 0.1026
i = 0 -3c1 + 4c2 + 0,358 = 0 c2 = -0.013Q = e -3t (0,103 cos 4t - 0,013 sin 4t) - 0,103 cos 2t + 0,179 sin 2ti = e -3t ( -0.359 cos 2t - 0.3718 sin 4t) + 0,206 sin 2t + 0,358 cos 2t
Transformasi Laplace didefinisikan sebagai: ∞Lf(t) = F(s) = e -st f(t) dt
Operator Laplace L juga bersifat sebagai operator 0Lc1f1(t) + c2f2(t) = c1 Lf1(t) + c2 Lf2(t)
Selanjutnya akan lebih sering menggunakan tabel:Tabel Laplace
No. f(t) = L -1 F(s) F(s) = L f(t)
1 1 1s > 0
s
2 t n n = 1, 2, 3, . . . n !s > 0
s n+1
3 e at 1s > a
s - a
4 cos ωt ss > 0
s2 + ω2
5 sin ωt ωs > 0
s2 + ω2
6 cosh at as > a
s2 - a2
7 sinh at ss > a
s2 - a2
Pengembangan Laplace:
Lf (n)(t) = s n Lf(t) - s n-1 f(0) - s n-2 f ' (0) - s n-3 f " (0) - . . . - f (n-1) (0)pangkat s dari n turun satu-satu sampai habisf '(0) juga diturunkan lagi satu-satu sampai tidak memiliki koefisien s
Lf '(t) = s Lf(t) - f(0)
Lf "(t) = s 2 Lf(t) - s f(0) - f ' (0)
Le at f(t) = F(s - a) kebalikannya L -1F(s-a) = e at f(t)
Lt n f(t) = (- 1)n dnF
= (- 1)n F n(s) L -1F n (s) = (- 1)n t n f(t)dsn
dan masih ada beberapa formula lagi yang penggunaannya khusus.Contoh-contoh soal:4.5 Hitung L3 e -4t Jawab:
Le at =1 maka
L3e-4t =3
s-a s + 4L4 cos 5t
L cos ωt =s maka
L4 cos 5t =4s
s2 + ω2 s2 + 254.8 Hitung :
Lsin t cos tL sin ωt =
ω makaL1/2 sin 2t =
1= L1/2 sin 2t s2 + ω2 s2 + 4
4.12 Hitung:
L -1 5= 5L -1 1
= 5 e -2t
s + 2 s + 2
L -1 4s - 3= 4L -1 s
-3
L -1 2= 4 cos 2t - 3/2 sin 2t
s2 + 4 s2 + 4 2 s2 + 4
L -1 2s - 5= 2L -1 1
- 5L -1 1= 2 - 5t
s2 s s2
4.13 Hitung:
L -1 1= L -1 1 1
=A
+B
= (A+B)s + 2As2 + 2s s(s + 2) s(s + 2) s s + 2 s (s + 2)
(A+B)s + 2A = 1 A + B = 0 B = - 1/22A = 1 A = 1/2
L -1 1= L -1 1/2
- L -1 1/2= 1/2 - 1/2 e 2t
s(s + 2) s s + 24.27 Hitung:
Le 3t sin 4t Le at f(t) = F(s-a)
Lsin 4t =4
a = 3 Le3t sin 4t =4
s2 + 16 (s-3)2 + 16
=4
s2 - 6s + 25Lt 2 e -2t Lt n f(t) = (- 1)n F n(s) f(t) = e -2t
F(s) = 1
s + 2n = 2 F2(s) = d -1
=2
Lt 2 e -2t =2
ds (s + 2)2 (s + 2)3 (s + 2)3
Le -2t t2 f(t) = t2
F(s) = 2 a = -2s3
F(s-a) =2
(s + 2)3
4.33L -1 2s + 3
= L -1 2(s-1) + 5= e t (2 cos 2t + 5/2 sin 2t)
s2 - 2s + 5 (s-1)2 + 4
4.39L -1 2s2 - 4
= L -1 A+
B+
C=
(s-2)(s+1)(s-3) s - 2 s + 1 s - 3
L -1 = 2L -1 - 5L -1 = 2 - 5t
Ae2t + Be-t + Ce3t
A(s+1)(s-3) + B(s-2)(s-3) + C(s-2)(s+1)=
2s2 - 4(s+1)(s-2)(s-3) (s-2)(s+1)(s-3)
(A + B + C) s2 + (-2A - 5B - C) s + (-3A + 6B - 2C) = 2 s2 - 4
Koefisien s2 : A + B + C = 2 A = - 4/3s1 -2A - 5B - C = 0 B = - 1/6so -3A + 6B - 2C = -4 C = 7/2
4.40L -1 3s + 1
= L -1 A+
Bs + C= A e t + B cos t + C sin t
(s-1)(s2+1) s - 1 s2 + 1
A(s2 + 1) + (s-1)(Bs + C) = 3s + 1jika s = 1 A(2) + 0 = 4 A = 22(s2 + 1) + (s-1)(Bs + C) = 3s + 1Jika s = 0 2 - C = 1 C = 12(s2 + 1) + (s-1)(Bs + 1) = 3s + 1Jika s = 2 10 + 2B + 1 = 7 B = - 2
4.41L -1 5s2-15s+7
= L -1 A+
B+
C= Ae-t+ (B + C*t)e2t
(s+1)(s-2)2 s + 1 s - 2 (s - 2)2
A(s-2)2 + B(s+1)(s-2) + C(s+1) = 5s2 - 15s + 7s = - 1 A(9) = 5 + 15 + 7 = 27 A = 3s = 2 3C = 20 - 30 + 7 = - 3 C = - 13(s-2)2 + B(s+1)(s-2) - (s+1) = 5s2 - 15s + 7s = 0 12 - 2B - 1 = 7 B = 2
Mencari C*
L -1 -1= C* t e 2t atau Lc* t e 2t = C* (-1) 1
d 1≡
-1(s - 2)2 ds s - 2 (s - 2)2
C*1
≡-1
(s - 2)2 (s - 2)2
C* = -14.30
Lt sin 2t = (-1) 1 d 2
=4s
ds s2 + 4 (s2+4)2
Lt2 sin 2t = (-1) 2 d2 2
=d - 4s
= -4(s2+4)-2 + 8s(s2+4)-3 2sds2 s2 + 4 ds (s2+4)2
=-4(s2+4) + 16s2
=12s2-16
(s2+4)3 (s2+4)3
Masukkan ke soal:
s2Y - 2s + 1 - 3(sY - 2) + 2Y = (s2 - 3s + 2) Y - 2s + 7 =1
s + 1
(s2 - 3s + 2) Y =1
+ 2s - 7 =2s2 - 5s - 6
s + 1 s + 1
Y =2s2 - 5s - 6
=A
+B
+C
(s + 1)(s2 - 3s + 2) s + 1 s - 2 s - 1
y(t) = A e -t + B e 2t + C e t A(s-2)(s-1) + B(s+1)(s-1) + C(s+1)(s-2) = 2s2-5s-6s = - 1 A = 1/6s = 2 B = -2 2/3
s = 1 C = 4 1/2
Latihan soal, Kerjakan soal-soal Persamaan Diferensial Linier dengan cara Laplace.
Fungsi periodik.Fungsi f(x) disebut periodik dengan periode T jika f(x+T) = f(x)Contoh fungsi periodik itu adalah fungsi goneometri sinus, cosinus dst dengan periode 2πContoh bentuk-bentuk fungsi periodik:
T T Kebanyakan fungsi tidak periodik.Fungsi periodik tsb misalnya gerakanpegas, bandul jam, sebagai fungsi dari
T T waktu.
Deret Fourier.Jika f(x) itu didefinisikan pada selang (-L,L) dan di luar selang itu f(x+2L) = f(x) , makadikatakan f(x) periodik dengan periode 2L, sehingga deret Fourier F(x)-nya adalah:
∞F(x) = ao + ∑ an cos nπx + bn sin nπx
2 L Ln=1L L
an = 1 f(x) cos nπx dx disebut suku cos ao = 1 f(x) dxL L L-L -L
L
bn = 1 f(x) sin nπx dx disebut suku sin n = 0, 1, 2, 3 , . . . .L L-L
Batas-batas integrasi adalah tergantung pada selang definisi fungsi, tetapi lebar selang selalu= 2L , misalnya (-2L, 0), (-L, L) , (0, 2L), (c, c+2L)
Contoh, uraikan f(x) = x2 0 < x < 2π dalam deret Fourier∞
Jawab : F(x) = ao + ∑ an cos nπx + bn sin nπx 2L = 2π L = π2 L Ln=1
2π 2π
an = 1 f(x) cos nπx dx = 1 x2 cos nx dx = u dv = u v - v duL L π0 0
u = x2 du = 2x dxx2 sin nx
2π 2π
= - 2 x sin nx dx dv = cos nx dxnπ nπ0 0 2π 2π
= 0 + - 2 - x cos nx + 1 cos nx dx = 4 v = 1 sin nxnπ n n n2 n0 0
2π 2π 2π 2π
ao = 1 f(x) dx = 1 x2 dx = x3= 8π2
cos nx dx = sin nx = 0L π 3π 30 0 0 0
2π 2π
bn = 1 f(x) sin nπx dx = 1 x2 sin nx dx = u dv = u v - v duL L π0 0
u = x2 du = 2x dx-x2 cos nx
2π 2π
= + 2 x cos nx dx dv = sin nx dxnπ nπ0 0
2π 2πv = -1 cos nx
= -4π + 2 x sin nx - 1 sin nx dx nn nπ n n
0 02π
= -4π + 2 1 cos nx = -4πn nπ n2 n
0
∞F(x) = 8π2
+ ∑ 4 cos nx - 4π sin nx6 n2 nn=1
Misalkan diminta untuk menulis 4 suku pertama yang tidak nol, makan = 1, 2, 3, 4 . . . .
a1 = 4
a2 = 4
a3 = 4
a4 = 4
1 4 9 16
b1 = -4π
b2 = -4π
b3 = -4π
b4 = -4π
1 2 3 4
F(x) =8π2
+4
cos x -4π
sin x +4
cos 2x -4π
sin 2x +4
cos 3x -6 12 1 22 2 32
Fungsi genap dan fungsi ganjil.Sebuah fungsi disebut fungsi genap jika berlaku f(-x) = f(x) contoh cos (-x) = cos xSebuah fungsi disebut fungsi ganjil jika berlaku f(-x) = - f(x) contoh sin (-x) = - sin x
Deret Fourier 1/2 area.Adakalanya suatu fungsi hanya didefinisikan pada separuh selang, maka pada separuh selangsisanya, besarnya nilai fungsi dapat ditentukan jika diketahui fungsinya, genap atau ganjil.Contoh, f(x) = x 0 < x < 2
y y
x x-2 0 2 4 -2 0 2 4
Gambar f(x) jika f(x) adalah fungsi genap Gambar f(x) jika f(x) adalah fungsi ganjilSecermin terhadap sumbu yFormula deret Fourier 1/2 area adalah:a) Deret cos (fungsi genap)
∞ L
F(x) = ao + ∑ an cos nπx an = 2 f(x) cos nπx dx2 L L Ln=1 0
bn = 0
a1 = a2 = a3 = a4 =
b) Deret sin (fungsi ganjil)∞ L
F(x) = ∑ bn sin nπx bn = 2 f(x) sin nπx dxL L Ln=1 0
an = 0Perhatian:Jika pada deret Fourier yang lengkap batas-batas integrasinya 0 sampai 2L, maka padaderet Fourier 1/2 area batas-batas integrasinya hanya dari 0 sampai L saja.Sebagai kompesasinya, di depan tanda integral harus dikalikan 2 sehingga menjadi 2/L.
Latihan soal:7.11 Nyatakan f(x) = sin x 0 < x < π dalam deret Fourier cos
Nyatakan f(x) = cos x 0 < x < π dalam deret Fourier sin
7.8 Nyatakan f(x) = x (10 - x) 0 < x < 10 Periode 10 dalam deret Fourier
7.8 Nyatakan f(x) = x 0 < x < 2 a) Dalam deret Fourier cosb) Dalam deret Fourier sin
7.26 Nyatakan f(x) =
- x - 4 < x < 0Periode 8, dalam deret Fourier
x 0 < x < 4
7.28 Nyatakan dalam deret Fourierf(x) =
2 - x 0 < x < 4Periode 8
x - 6 4 < x < 8
7.31 Nyatakanf(x) =
2 - x 0 < x < 4 a) Dalam deret Fourier cosx - 6 4 < x < 8 b) Dalam deret Fourier sin
Nyatakanf(x) =
x 0 < x < 4 a) Dalam deret Fourier cos
8 - x 4 < x < 8 b) Dalam deret Fourier sin
Nyatakanf(x) =
x - 6 0 < x < 4 a) Dalam deret Fourier lengkap2 - x 4 < x < 8 b) Dalam deret Fourier cos
c) Dalam deret Fourier sinContoh soal :7.28 Nyatakan dalam deret Fourier
f(x) =2 - x 0 < x < 4
Periode 8x - 6 4 < x < 8
∞Jawab : F(x) = ao + ∑ an cos nπx + bn sin nπx 2L = 8 L = 42 L L
n=12L 4 8
an = 1 f(x) cos nπx dx = 1 (2-x) cos nπx dx + 1 (x-6) cos nπx dx = A + BL L 4 4 4 40 o 4
4 4 4A = 1 (2-x) cos nπx dx = 1 2 cos nπx dx - 1 x cos nπx dx =4 4 4 4 4 4
o o o= 0
4 4 4= -1 4x sin nπx - 4 sin nπx dx = 1 -4 cos nπx = -4 cos nπ - 14 nπ 4 nπ 4 nπ nπ 4 n2π2
o o o= 0
Kertas buram : x cos nπx dx = 4x sin nπx - 4 sin nπx dx4 nπ 4 nπ 4
sin nπx dx = -4 cos nπx4 nπ 4
8 8 8B = 1 (x-6) cos nπx dx = 1 x cos nπx dx - 1 6 cos nπx dx =4 4 4 4 4 4
4 4 4
f(x) =
= 08 8 8
= 1 4x sin nπx - 4 sin nπx dx = -1 -4 cos nπx = 4 1 - cos nπ4 nπ 4 nπ 4 nπ nπ 4 n2π2
4 4 4= 0
an = A + B = -4 cos nπ - 1 + 4 1 - cos nπ = 8 1 - cos nπn2π2 n2π2 n2π2
2L 4 4a0= 1 f(x) dx = 1 (2-x) dx + 1 (x-6) dx =L 4 4
0 o o4 4 8 8
= 1 2 dx - 1 x dx + 1 x dx - 1 6 dx4 nπx 4 4o o 4 4
4 4 8 8
=2
x -1
x2 +1
x2 -6
x = 2 - 2 + 6 - 6 = 04 8 8 40 0 4 4
2L 4 8bn = 1 f(x) sin nπx dx = 1 (2-x) sin nπx dx + 1 (x-6) sin nπx dx = P + QL L 4 4 4 4
0 o 44 4 4
P = 1 (2-x) sin nπx dx = 1 2 sin nπx dx - 1 x sin nπx dx =4 L 4 4 4 4o o o
4 4 4= 2 -4 cos nπx - 1 -4x cos nπx - -4 cos nπx dx =4 nπ 4 4 nπ 4 nπ 4
o o o= 0
= -2 cos nπ - 1 + 1 4 cos nπ = 2 cos nπ + 1nπ nπ nπ
Kertas buram : x sin nπx dx = -4x cos nπx + 4 cos nπx dx4 nπ 4 nπ 4= 0
8 8 8Q = 1 (x-6) sin nπx dx = 1 x sin nπx dx - 1 6 sin nπx dx =4 L 4 4 4 4
4 4 48 8 8
= 1 -4x cos nπx - -4 cos nπx - 6 -4 cos nπx =4 nπ 4 nπ 4 4 nπ 44 4 4
= 0
= -1 8 - 4 cos nπ + 6 1 - cos nπ = -2 cos nπ + 1nπ nπ nπ
bn = P + Q = 2 cos nπ + 1 + -2 cos nπ + 1 = 0nπ nπ
∞F(x) = Σ 8 1 - cos nπ cos nπx
n2π2 4o
Jika diminta untuk menulis 4 suku pertama yang tidak nol, maka :
an = 8 1 - cos nπ a1 = 8 1 - (-1) = 16n2π2 π2 π2
a2 = 8 1 - (1) = 0 n genap , an = 04π2
F(x) = 16 1 cos πx + 1 cos 3πx + 1 cos 5πx + 1 cos 7πx + . . .π2 1 4 9 4 25 4 49 4
ContohNyatakan f(x) = sin x 0 < x < π dalam a) Deret cosinus
b) Deret sinusJawab : Karena deret Fourier 1/2 area, maka L = π
a) Deret cos (fungsi genap)∞ L
F(x) = ao + ∑ an cos nπx an = 2 f(x) cos nπx dx an = 02 L L Ln=1 0
π π π
an = 2 sin x cos nx dx = 1 sin (n+1)x dx - 1 sin (n-1)x dx =π π π0 0 0
π π
-1 cos (n+1)x + 1 cos (n-1)x =(n+1)π (n-1)π0 0
-1 cos (n+1)π - 1 + 1 cos (n-1)π - 1 =(n+1)π (n-1)π-1 cos (n+1)π + 1 cos (n-1)π -2(n+1)π (n-1)π
Teori : sin x cos nx sin x cos nxsin (α+β) = sin α cos β + sin β cos α sin (α+β) = sin α cos β + sin β cos αsin (α-β) = sin α cos β - sin β cos α + sin (α-β) = sin α cos β - sin β cos α -sin (α+β) + sin (α-β) = 2 sin α cos β sin (α+β) - sin (α-β) = 2 sin β cos α
α = x β = nx β = x α = nx2 sin x cos nx = sin (n+1)x + sin (1-n)x 2 sin x cos nx = sin (n+1)x - sin (n-1)x
sin x cos nx = 1 sin (n+1)x + 1 sin (1-n)x = 1 sin (n+1)x - 1 sin (n-1)x2 2 2 2π π
a0 = 2 sin x dx = -2 cos x = -2 (-1 - 1) = 4π π π π
0 0
∞F(x) = ao + ∑ an cos nπx =2 L
n=1
∞= 2 + ∑ -1 cos (n+1)π + 1 cos (n-1)π -2 cos nxπ (n+1)π (n-1)π
n=1
Tunjukkan bn = 0L π
bn = 2 f(x) sin nπx dx = 2 sin x sin nx dx =L L π0 o
Teori :cos (x + nx) =
b) Deret sin (fungsi ganjil)∞ L
F(x) = ∑ bn sin nπx bn = 2 f(x) sin nπx dxL L Ln=1 0
an = 0
Persamaan deferensial parsial adalah persoalan pemecahan untuk fungsi 2 variabel atau lebih.Persamaan ini banyak dipakai untuk permasalahan getaran atau perpindahan panas.Bentuk umum PD Parsial:
A ∂2u + B ∂2u + C ∂2u + D ∂u + E ∂u + Fu = G∂x2 ∂x ∂y ∂y2 ∂x ∂y
Contoh-contoh soal dan penyelesaiannya.12.8 Pecahkan ∂2z = x 2 y Cari jawab tertentunya jika z(x,0) = x2
∂x ∂y z(1,y) = cos y
Jawab: ∂2z = ∂ ∂z = x 2 y ∂z = x2 y ∂x =1
x3 y + F(y)∂x ∂y ∂x ∂y ∂y 3
z =1
x3 y + F(y) ∂y =3
z =1
x3 y + F(y) ∂y =x3y2
G(y) + H(x)3 6
Syarat batas:z(x,0) = x2 z(x,0) = G(0) + H(x) = x2 H(x) = x2 - G(0)
z = x3y2
G(y) + x2 - G(0)6
z(1,y) = cos yz(1,y) =
y2
G(y) + 1 - G(0) = cos y6
G(y) - G(0) = cos y - 1 -y2
6
z = x3y2
x2 + cos y - 1 -y2
6 6
+
+
+
+
Latihan soal12.41 Pecahkan
x∂2z
+∂z
= 0syarat batas z(x,0) = x5 + x
∂x ∂y ∂y z(2,y) = 3y4
Contoh soal12.10 Pecahkan ∂2u
+ 3∂2u
+ 2∂2u
= 0∂x2 ∂x ∂y ∂y2
Jawab,Misalkan u(x,y) = e ax + by ∂u/∂x = a e ax + by ∂2u/∂x2 = a2 e ax + by
∂u/∂y = b e ax + by ∂2u/∂y2 = b2 e ax + by
∂2u/∂x∂y = ab e ax + by
∂2u+ 3
∂2u+ 2
∂2u= (a2 + 3ab + 2b2 ) e ax + by = 0
∂x2 ∂x ∂y ∂y2
a2 + 3ab + 2b2 = (a + b)(a + 2b) = 0 a1 = - b1
a2 = - 2b2
u(x,y) = e ax + by = e - b1x + b1y + e - 2b2x + b2y = e - b1(x-y) + e - b2(2x-y)
= F(x - y) + G(2x - y)
Latihan soal, pecahkan:12.42 ∂2u
- 2∂2u
- 3∂2u
= 0∂2u
- 2∂2u
+∂2u
= 0∂x2 ∂x ∂y ∂y2 ∂x2 ∂x ∂y ∂y2
Contoh soal, pecahkan: ∂2u- 3
∂2u+ 2
∂2u= x sin y
∂x2 ∂x ∂y ∂y2
Misalkan u(x,y) = uH + uK
Mencari uH Misalkan uH = e ax + by a2 - 3ab + 2b2 = 0(a - b)(a - 2b) = 0 a1 = b1
a2 = 2b2
uH = e b1x + b1y + e 2b2x + b2y = F(x+y) + G(2x+y)
Misalkan uK = (Ax+b) cos y + (Px+Q) sin y ∂u/∂x = A cos y + P sin y∂2u/∂x2 = 0
∂u/∂y = - (Ax+B) sin y + (Px+Q) cos y∂2u/∂y2 = - (Ax+B) cos y - (Px+Q) sin y∂2u/∂x∂y = -A sin y + P cos y
∂2u- 3
∂2u+ 2
∂2u=
∂x2 ∂x ∂y ∂y2
0 - 3(-A sin y + P cos y) + 2[- (Ax+B) cos y - (Px+Q) sin y] ≡ x sin yPersamaan koefisien x cos y - 2A = 0 A = 0
x sin y - 2P = 1 P = - 1/2cos y - 3P - 2B = 0 B = 3/4sin y 3A - 2Q = 0 Q = 0
u = F(x+y) + G(2x+y) + 3/4 cos y - 1/2 x sin y
Latihan soal, pecahkan: ∂2u- 3
∂2u+ 2
∂2u= y sin x atau y cos x
∂x2 ∂x ∂y ∂y2
∂2u- 2
∂2u- 3
∂2u= x cos y atau x sin y
∂x2 ∂x ∂y ∂y2
Contoh-contoh soal, pecahkan dengan metoda pemisahan variabel.12.14 ∂u = 4 ∂u syarat batas u(0,y) = 8 e - 3y
∂x ∂yJawab:Misalkan u (x,y) = X(x).Y(y) maka ∂u/∂x = X ' Y
∂u/∂y = X Y ' dimasukkan ke soal:X ' Y = 4 X Y ' atau X '
=Y '
4X YCara penyusunan: Turunan di atas, bilangan di bawahSuku kiri hanya fungsi dari x, suku kanan hanya fungsi dari y, tetapi kedua suku tsb tetapharus sama berapapun x dan y berubah-ubah. Hal ini hanya bisa terjadi jika kedua sukutsb adalah suatu konstanta (bilangan).
maka, X '=
Y '= c
4X Y di mana c = konstantaDiperoleh: X '
= c4X atau X ' - 4c X = 0 X = A e 4c x
Y '= c
u = P e 4cx + c y
Y atau Y ' - c Y = 0 Y = B e c y
Syarat batas:u(0,y) = 8 e - 3y u(0,y) = P e c y ≡ 8 e - 3y P = 8
c = -3u = 8 e - 12 x - 3 y
Misal syarat batasnya ditambah menjadi u(0,y) = 8 e - 3y + 4 e - 5y
maka karena ada 2 suku, jawab umumnya juga harus 2 suku.u = P1 e 4c1x + c1 y + P2 e 4c2x + c2y
u(0,y) = 8 e - 3y + 4 e - 5y
u(0,y) = P1 e c1 y + P2 e c2y ≡ 8 e - 3y + 4 e - 5y P1 = 8 c1 = - 3P2 = 4 c2 = - 5u = 8 e - 12x - 3y + 4 e - 20x - 5y
12.16 Pecahkan ∂u= 2
∂2u 0 < x < 3
∂t ∂x2 t > 0syarat batas u(0,t) = u(3,t) = 0
u(x,0) = 5 sin 4πx - 3 sin 8πx + 2 sin 10πx |u(x,t)| < MJawab, misal u(x,t) = X(x).T(t)
maka X T ' = 2 X " T atau T '=
X "= -λ2
2T XDiambil konstanta c = - λ2 karena 2 hal 1) Agar tidak bekerja dengan bilangan akar
2) Agar |u(x,t)| < MDiperoleh 2 persamaan
T ' + 2λ2T = 0 T = c1 e - 2λ2 t
X " + λ2 X = 0 X = c2 cos λx + c3 sin λx
Sehingga u = XT = e- 2 λ 2 t (A cos λx + B sin λx)
Syarat batas 1: u(0,t) = 0 u(0,t) = e - 2 λ 2 t A = 0 A = 0
u = XT = Be- 2 λ 2 t sin λx
Syarat batas 2: u(3,t) = 0u (3,T) = Be
- 2 λ 2 t sin 3λ = 0
sin 3λ = 0 3λ = nπ λ = nπ/3n = 0, 1, 2, 3, . . . .
u = XT = Be-2(nπ/3)2t sin
nπx3
Syarat batas 3: u(x,0) = 5 sin 4πx - 3 sin 8πx + 2 sin 10πx
u(x,0) = B sinnπx
+ P sinpπx
+ Q sinqπx
3 3 3
= 2
= 5 sin 4πx - 3 sin 8πx + 2 sin 10πxB = 5 P = - 3 Q = 2n/3 = 4 p/3 = 8 q/3 = 10
u = XT = 5 e- 32 π 2 t sin 4πx - 3 e
- 128 π 2 t sin 8πx + 2 e- 200 π 2 t sin 10πx
Latihan soal, Pecahkan:12.46 a)
3∂u
+ 2∂u
= 0 u(x,0) = 4 e - x
∂x ∂yb) ∂u
= 2∂u
+ u u(x,0) = 4 e - 5x + 2 e - 3x
∂x ∂y
c) ∂u= 4
∂2u u(0,t) = 0 u(π,t) = 0∂t ∂x2 u(x,0) = 2 sin 3x - 4 sin 5x
d) ∂u = ∂2u ux(0,t) = 0 u(2,t) = 0∂t ∂x2
u(x,0) = 8 cos3πx
- 6 cos9πx
4 4Latihan soal, pecahkan:12.47 ∂2y
= 4∂2y y(0,t) = y(5,t) = 0 y(x,0) = 0
∂t2 ∂x2 yt(x,0) = f(x) a) f(x) = 5 sin πxb) f(x) = 3 sin 2πx - 2 sin 5πx
Contoh soal, pecahkan dengan teori Deret Fourier12.17 Pecahkan ∂u
= 2∂2u syarat batas u(0,t) = u(3,t) = 0
∂t ∂x2 u(x,0) = 25
Jawab, misal u(x,t) = X(x).T(t)maka X T ' = 2 X " T atau T '
=X "
= -λ2
2T XDiperoleh 2 persamaan
T ' + 2λ2T = 0 T = c1 e - 2λ2 t
X " + λ2 X = 0 X = c2 cos λx + c3 sin λx
Sehingga u = XT = e- 2 λ 2 t (A cos λx + B sin λx)
Syarat batas 1: u(0,t) = 0 u(0,t) = e - 2 λ 2 t A = 0 A = 0
u = XT = Be- 2 λ 2 t sin λx
Syarat batas 2: u(3,t) = 0u (3,T) = Be
- 2 λ 2 t sin 3λ = 0
sin 3λ = 0 3λ = nπ λ = nπ/3n = 0, 1, 2, 3, . . . .
u = XT = Be-2(nπ/3)2t sin
nπx3
Syarat batas 3: u(x,0) = 25 Pada syarat batas 3 ini ada perbedaan, tidak ada unsur sinMaka cara pemecahannya agak berbeda.
u(x,0) = ∑ Bn sinnπx
= 253
Bentuk ini mengingatkan pada teori Deret Fourier, Bn = koefisien sin, L = 33 3 3
Bn =2
f(x) sinnπx
dx =2
25 sinnπx
dx =-50
cosnπx
=50
(1 - cos nπ)L L 3 3 nπ 3 nπ
0 0 0
u(x,0) = ∑ 50
e-2(nπ/3)2t (1- cos nπ) sin
nπxnπ 3
= = -λ2
Latihan soal, pecahkan:12.17 a) ∂u
= 2∂2u syarat batas u(0,t) = u(3,t) = 0
∂t ∂x2 u(x,0) = 25x
12.48 ∂u= 2
∂2u u(0,t) = u(4,t) = 0∂t ∂x2 u(x,0) = 25x
Contoh soal, pecahkan dengan cara Transformasi Laplace.12.28 ∂u
= 4∂2u u(0,t) = 0 u(3,t) = 0
∂t ∂x2 u(x,0) = 10 sin 2πx - 6 sin 4πxJawab:
L u(x,t) = U(x,s)
L∂u
= L 4∂2u
sU - u(x,0) = 4d2U
∂t ∂x2 dx2
4d2U
- sU = - 10 sin 2πx + 6 sin 4πxdx2
syarat batas u(0,t) = 0 U(0,s) = 0u(3,t) = 0 U(3,s) = 0
U = UH + UK
Mencari UH Misalkan UH = e mx 4m2 - s = 0 m = ± √s/4U = c1 e x√s/4 + c2 e - x√s/4
U(0,s) = 0 c1 + c2 = 0 c1 = 0U(3,s) = 0 c1 e 3√s/4 + c2 e - 3√s/4 = 0 c2 = 0
Mencari UK Misalkan UK = A sin 2πx + B sin 4πx (mengapa tidak ada cos?)d2U/dx2 = - 4π2 sin 2πx - 16π2 sin 4πx
4d2U
- sU = - 16π2 A sin 2πx - 64π2 B sin 4πx - s(A sin 2πx + B sin 4πx)
dx2
≡ - 10 sin 2πx + 6 sin 4πxKoefisien sin 2πx:
-16π2A - sA = - 10 A =- 10
=10
-16π2 - s s + 16π2
sin 4πx:- 64π2B - sB = 6 B =
6=
-6-64π2 - s s + 64π2
U =10
sin 2πx -6
sin 4πxs + 16π2 s + 64π2
u(x,t) = L - 1U =10e- 16π 2t
sin 2πx - 6 e- 64π 2t
sin 4πx
Latihan soal, kerjakan dengan Transformasi Laplace:12.88 a) ∂u
= 3∂u
∂t ∂x u(x,0) = 4 e - 2x
b) ∂u=
∂u- 2u
∂t ∂x u(x,0) = 10 e - x - 6 e - 4x
c) ∂u=
∂2u u(0,t) = 0 u(4,t) = 0∂t ∂x2 u(x,0) = 6 sin (πx/2) + 3 sin πx
d) ∂u = ∂2u ux(0,t) = 0 ux(2,t) = 0∂t ∂x2 u(x,0) = 4 cos πx - 2 cos 3πx
Contoh soal:12.47 ∂2y
= 4∂2y y(0,t) = y(5,t) = 0 y(x,0) = 0
∂t2 ∂x2 yt(x,0) = 5 sin πxJawab:Misalkan y = XT , maka X T " = 4 X " T atau T "
=X "
= -λ2
4 - sU = - 16π2 A sin 2πx - 64π2 B sin 4πx - s(A sin 2πx + B sin 4πx)
4T XDiperoleh 2 persamaan:T" + 4λ2 T = 0 T = c1 cos 2λt + c2 sin 2λtX" + λ2 X = 0 X = c3 cos λx + c4 sin λxy = XT = (c1 cos 2λt + c2 sin 2λt)(c3 cos λx + c4 sin λx)
Syarat batas 1: y(0,t) = 0 y(0,t) =(c1 cos 2λt + c2 sin 2λt)c3 = 0 c3 = 0y = XT = (A cos 2λt + B sin 2λt) sin λx
Syarat batas 2: y(5,t) = 0 y(5,t) = (A cos 2λt + B sin 2λt) sin 5λ = 0sin 5λ = 0 5λ = nπ
y = XT = (A cos 2nπ/5 t + B sin 2nπ/5 t) sin nπ/5 x λ = nπ/5
Syarat batas 3: y(x,0) = 0 y(x,0) = A sin nπ/5 x = 0 A = 0y = XT = B (sin 2nπ/5 t) (sin nπ/5 x)
Syarat batas 4: yt(x,0) = 5 sin πxyt(x,t) = 2nπ/5 B (cos 2nπ/5 t)(sin nπ/5 x)yt(x,0) = 2nπ/5 B sin nπ/5 x = 5 sin πx
2nπ/5 B = 5 B = 25/2nπ B = 2,5/πnπ/5 x = πx n/5 = 1 n = 5
y = XT = 2,5/π (sin 2πt)(sin πx)
= = -λ2
Persoalan integral garis muncul pada perhitungan usaha, di mana besarnya gaya berubah-ubah.Usaha didefinisikan sebagai hasil perkalian antara gaya dengan lintasan.Selama ini usaha selalu dihitung terhadap lintasan lurus dan gayanyapun tetap.Maka, jika gaya P dan Q serta lintasan c-nya berubah-ubah, besarnya usaha adalah:
U = [P(x,y) dx + Q(x,y) dy] di mana c adalah lintasannyac
Contoh soal. (1,2)6.10 Hitung [(x2 - y) dx + (y2 + x) dy] jika lintasan c adalah:
(0,1)a) Garis lurus dari (0,1) sampai ke (1,2)b) Garis lurus patah-patah dari (0,1) ke (1,1) terus ke (1,2)c) Garis lurus patah-patah dari (0,1) ke (0,2) terus ke (1,2)d) Parabola x = t, y = t2 + 1Jawab: y (1,2)a) c Persamaan garis c adalah: y = x + 1
θ Ada 2 cara untuk mencari persamaan garis lurus.(0,1) 1) y = mx + yo di mana m = tan θ
x yo = ordinat garis potong dengan sumbu y0 maka m = y/x = 1/1 = 1
yo = 1 sehingga y = x + 1Pemeriksaan x = 0 maka y = 0 + 1 = 1 titiknya (0,1) benar
x = 1 maka y = 1 + 1 = 2 titiknya (1,2) benar
Cara 2) y - y1 =x - x1 maka
y - 1=
x - 0y = x + 1 sama
y2 - y1 x2 - x1 2 - 1 1 - 0
y = x + 1 Ada 2 pilihan, x diganti y, atau y diganti x
Misal y diganti x, maka y = x + 1masukkan ke soal akan diperoleh
dy = dx(1,2) 1
[(x2 - y) dx + (y2 + x) dy] = [x2 - (x + 1) dx + (x + 1)2 + x dx](0,1) 0
1 1y (1,2) = (2x2 + 2x) dx = 2/3 x3 + x2 = 5/3
c20 0
(0,1) c1
b) (1,1) Persamaan c1: y = 1 dy = 0 x berjalan dari 0 ke 1x Persamaan c2: x = 1 dx = 0 y berjalan dari 1 ke 2
Maka soalnya berubah menjadi:(1,2) 1 2
[(x2 - y) dx + (y2 + x) dy] = (x2 - 1) dx + (y2 + 1) dy =(0,1) 0 1
1 21/3 x3 - x + 1/3 y3 + y = 1/3 - 1 + 8/3 + 2 - 1/3 - 1 = 8/3
0 1
c) y (1,2) Persamaan c1 x = 0 dx = 0 y berjalan dari 1 ke 2
c1c2 Persamaan c2 y = 2 dy = 0 x berjalan dari 0 ke 1
2 1 2 1(0,1) y2 dy + (x2 - 2) dx = 1/3 y3 + 1/3 x3 - 2x =
x 1 0 1 08/3 - 1/3 + 1/3 - 2 = 2/3
d) Parabola x = t, y = t2 + 1 maka dx = dt dy = 2t dt
x berjalan dari 0 sampai 1, sehingga t juga berjalan dari 0 sampai 1, sehingga:(1,2) 1
[(x2 - y) dx + (y2 + x) dy] = [t2 - (t2 + 1) dt + (t2 + 1) 2 + t 2t dt] =(0,1) 0
1(2t5 + 4t3 + 2t2 + 2t -1) dt = 2 + 4 + 2 + 2 - 1 = 9
0Terlihat bahwa hasil integral garis sangat tergantung lintasannya.
Pada dasarnya, gaya adalah suatu vektor, demikian pula lintasan. Karenanya, integral garisbisa dituliskan juga dalam bentuk perkalian vektor dot. Hasil perkalian dot adalah berupabilangan skalar bukan vektor.
[ F1 dx + F2 dy + F3 dz] = [F1 i + F2 j + F3 k].[dx i + dy j + dz k] = F.drc c
di mana F = F1 i + F2 j + F3 k adalah vektor gaya atau semacamnyadr = dx i + dy j + dz k adalah vektor lintasani, j, k adalah vektor-vektor satuan dalam arah x, y dan z
Contoh 6.11 Jika F = (3x2 - 6yz)i + (2y + 3xz)j + (1 - 4xyz2)k
Hitung F.dr jika c adalah lintasan dari (0,0,0) sampai ke (1,1,1)c yang memenuhi:
a) x = t , y = t2 , z = t3
b) Garis lurus patah-patah dari (0,0,0) ke (0,0,1) lalu ke (0,1,1) lalu ke (1,1,1)c) Garis lurus yang menghubungkan langsung dari (0,0,0) ke (1,1,1)
a) Jawab: x = t maka dx = dty = t2 maka dy = 2t dt t berjalan dari 0 sampai ke 1
z = t3 maka dz = 3t2 dt sehingga soal berubah menjadi:1
[(3t2 - 6t5 ) dt + (2t2 + 3t4 ) 2t dt + (1 - 4t9 ) 3t2 dt] =0 1 1
[3t2 - 6t5 + 4t3 + 6t5 + 3t2 - 12t11 ] dt = [6t2 + 4t3 - 12t11 ] dt = - 20 0
b) Garis dari (0,0,0) ke (0,0,1) memberikan hasil x = 0, y = 0, dx = 0, dy = 0 dz adaGaris dari (0,0,1) ke (0,1,1) memberikan hasil x = 0, z = 1, dx = 0, dz = 0 dy adaGaris dari (0,1,1) ke (1,1,1) memberikan hasil y = 1, z = 1, dy = 0, dz = 0 dx ada
1 1 1dz + 2y dy + (3x2 - 6) dx = 1 + 2/2 + 3/3 - 6 = - 3
0 0 0
c) Garis lurus dari (0,0,0) ke (1,1,1) memberikan persamaan x = t , y = t , z = tdan t berjalan dari 0 sampai ke 1, sehingga hasil integrasinya menjadi
1 1[3t2 - 6t2 + 2t + 3t2 + 1 - 4t4 ] dt = [2t + 1 - 4t4 ] dt = 2/2 + 1 - 4/5 = 6/5
0 0Contoh 6.12
Hitung besarnya usaha untuk mengelilingi sebuah elips dengan pusat (0,0) dan panjangsumbu panjang = 4, sumbu pendek = 3, dengan membawa beban F.F = (3x - 4y)i + (4x + 2y)jJawab: Persamaan lintasan elips adalah
-4 4x = 4 cos θ dx = -4 sin θ dθy = 3 sin θ dy = 3 cos θ dθ 0 < θ < 2π
[(3x - 4y) dx + (4x + 2y) dy] =
0
3
-3
c2π
[- (12 cos θ - 12 sin θ) 4 sin θ + (16 cos θ + 6 sin θ) 3 cos θ] dθ =0
2π 2π[- 30 sin θ cos θ + 48 sin θ sin θ + 48 cos θ cos θ] dθ = [48 - 30 sin θ cos θ] dθ
0 02π
= 48θ - 15 sin2 θ = 96π0
Teorema Green.Jika P(x,y), Q(x,y), ∂P/∂y dan ∂Q/∂x bernilai tunggal dan kontinu pada suatu daerahtertutup sederhana yang dibatasi oleh suatu kurva tertutup sederhana c, maka
[P dx + Q dy] =∂Q
-∂P
dx dy∂x ∂y
c artinya lintasan tertutup
Contoh 6.15y (1,1) Buktikan teorema Green
[(2xy - x2) dx + (x + y2) dy]y2 = x c lintasan c kurva tertutup x = y2 dan y = x2 (cw)
y = x2 Bukti:x Dari (0,0) ke (1,1) melalui y = x2 maka dy = 2x dx
0 Dari (1,1) ke (0,0) melalui x = y2 maka dx = 2y dy1 1
[(2x3 - x2) dx + (x + x4) 2x dx] = (2x5 + 2x3 + x2) dx = 2/6 + 2/4 + 1/3 = 7/60 0
0 0[(2y3 - y4) 2y dy + (y2 + y2) dy] = [- 2y5 + 4y4 + 2y2 ] dy
1 1 = 2/6 - 4/5 - 2/3 = - 17/15Maka totalnya 7/6 - 17/15 = 1/30
Jika pakai teorema Green: P = 2xy - x2 ∂P/∂y = 2xQ = x + y2 ∂Q/∂x = 1 sehingga
1 √x 1 √x[∂Q/∂x - ∂P/∂y] dx dy = [1 - 2x] dx dy = (y - 2xy) dx =
0 x2 0 x2
1[(√x - 2x√x) - (x2 - 2x3)] dx = 2/3 x 3/2 - 4/5 x 5/2 - 1/3 x 3 + 2/4 x 4
0 = 2/3 - 4/5 - 1/3 + 2/4 = 1/30
Catatan: Batas integrasi tetap dari titik (0,0) sampai (1,1)
Latihan soal:6.22 Hitung [(6xy2 - y3) dx + (6x2y - 3xy2) dy] dari (1,2) sampai ke (3,4)
melalui 2 lintasan berbeda6.67 Hitung [(x - y) dx + (y - x) dy] dari (1,1) ke (4,2) melalui:
a) parabola x = y2
b) garis lurus dari (1,1) ke (4,2)c) garis lurus dari (1,1) ke (1,2) lalu ke (4,2)d) garis lurus dari (1,1) ke (4,1) lalu ke (4,2)e) kurva x = 2t2 +t + 1 y = t2 + 1
6.68 Hitung [(2x - y + 4) dx + (5y + 3x -6) dy] mengelilingi segi-3 dengan titik-titiksudut (0,0), (3,0) , (3,2) cw dan ccw
6.74 Hitung [(x2 - xy3) dx + (y2 - 2xy) dy] mengelilingi segi-4 dengan titik-titiksudut (0,0), (0,2), (2,2), (2,0) cw dan ccw
Hitung integral garis dengan menggunakan fungsi-fungsi di atas jika lintasannya:y Q(1,2) a) Segi-3 PQR cw atau ccw
P(-2,1) b) Segi-3 PQS cw atau ccwx c) Segi-3 PRS cw atau ccw
d) Segi-3 QRS cw atau ccwR(2,-1) Gambar di samping sudah diskala,
S(-1,-2) koordinatnya tentukan sendiri.Segi-4 PQRS adalah bujur sangkar
Hitung integral garis dengan menggunakan fungsi-fungsi di atas dengan lintasan tertutupyang dibentuk oleh kurva-kurva: a) c1 - c5 - c4 cw atau ccw
b) c1 - c3 - c6 cw atau ccwc) c2 - c6 - c4 cw atau ccwd) c2 - c3 - c5 cw atau ccw di mana
c1 y = 1/2 x + 2 c3 y = x c5 x = 2c2 y = 1/2 x - 2 c4 y = - x c6 x = - 2
6.80 Hitung [(2xy - y4 + 3) dx + (x2 - 4xy3) dy] dari (1,0) sampai ke (2,1)melalui 2 lintasan berbeda.
6.81 Hitung [(2xy3 - y2 cos x) dx + (1 - 2y sin x + 3x2y2) dy]dari (0,0) sampai ke (π/2,1) melalui 2 lintasan berbeda
Hitung integral-integral garis yang menghubungkan 2 titik pada soal-soal di atas secara berkebalikan. Jika semula dari titik A ke B, sekarang dari B ke A.
Mata kuliah : Matematika Teknik 2 BSIHari / Tanggal : Nopember 2012J a m : -J u r u s a n : Teknik MesinD o s e n : Aswata, Ir, Drs, SE, MM, IPMSifat Ujian : Bekerja sendiri, Jujur , Open book
1 Bagi 10 digit NIM anda dengan 3. Sisa 0 kerjakan soal A, sisa 1 soal B, sisa 2 soal C.
Pecahkan persamaan diferensial berikut jika faktor integrasi berbentuk xp yq
A (8y dx + 8x dy) + x2y3 (4y dx + 5x dy) = 0
B x (4y dx + 2x dy) + y3 (3y dx + 5x dy) = 0
C x3y3 (2y dx + x dy) - (5y dx + 7x dy) = 0
2 Bagi 10 digit NIM anda dengan 4. Sisa 0 dan 1 kerjakan soal A, sisa 2 dan 3 soal B.
Cari rumus lendutannya, dan cari lendutan maximum
A G w B w G
PL/2 L/2
Q PL
Q
Batang sederhana PQ panjang L Batang cantilever PQ panjang Ldiberi beban G di tengah-tengah dan diberi beban G di ujung Q danbeban merata w sepanjang L beban merata w sepanjang Lw = beban persatuan panjang w = beban persatuan panjangTuliskan syarat batasnya Tuliskan syarat batasnya
Mata kuliah : Matematika Teknik 2 BSIHari / Tanggal : Nopember 2012J a m : -J u r u s a n : Teknik MesinD o s e n : Aswata, Ir, Drs, SE, MM, IPMSifat Ujian : Bekerja sendiri, Jujur , Open book
Pilih sendiri soalnya. Tiap nomor cukup satu saja. Total ada 2 (dua) nomor.
Soal nomor 1 :3.77 dx
+ 2x =dy
+ 10 cos tsyarat batas: bila t = 0 maka x = 2 , y = 0
dt dtdy
+ 2y = 4 e -2t -dx
dt dt
3.78 (D2 + 2) x + D y = 2 sin t + 3 cos t + 5 e -t syarat batas, jika t = 0D x + (D2 - 1) y = 3 cos t - 5 sin t - e -t x = 2, dx = 0, y = -3 , dy = 4
21.10 Dx - (D + 1) y = - e t
x + (D - 1) y = e 2t
21.11 (D + 2) x + (D + 1) y = t5x + (D + 3) y = t 2
21.13 (D - 1) x + (D + 3) y = e -t - 1(D + 2) x + (D + 1) y = e 2t + t
Soal nomor 2:9.126 (D2 + 60D + 500) i = (2t - 50) e -10t sin 50t
9.190 (D2 - 6D + 25) y = 6 e 3x sin 4x atau (D2 - 6D + 25) y = 6 e 3x cos 4x
9.191 (D2 - 10D + 29) y = - 8 e 5x cos 2x atau (D2 - 10D + 29) y = - 8 e 5x sin 2x
9.192 (D2 + 4D + 5) y = 60 e -2x cos x atau (D2 + 4D + 5) y = 60 e -2x sin x
9.194 (D2 - 2D + 10) y = 18 e x sin 3x atau (D2 - 2D + 10) y = 18 e x cos 3x
9.199 (D2 - 6D + 25) y = (2x - 1) e 3x cos 4x atau (D2 - 6D + 25) y = (2x - 1) e 3x sin 4x
16.22 (D2 + 3D + 2) y = x sin 2x atau (D2 + 3D + 2) y = x cos 2x
16.19 (D2 + 2D + 4) y = e x sin 2x atau (D2 + 2D + 4) y = e x cos 2x
9.225 (D2 + 4D + 8) y = 16t e 2t
Selamat bekerja
Mata kuliah : Matematika Teknik 2 BSIHari / Tanggal : Nopember 2012J a m : -J u r u s a n : Teknik MesinD o s e n : Aswata, Ir, Drs, SE, MM, IPMSifat Ujian : Bekerja sendiri, Jujur , Open book
Bagi 3 NIM 10 digit, sisa 0 kerjakan soal A, sisa 1 soal B, sisa 2 soal C.
1. Pecahkan dengan teori Laplace:
A (D2 + 3D + 2) y = e t sin 2t
B (D2 - 3D + 2) y = e - 2t sin t syarat batas, jika t = 0 y = -3 , dy = 4
C (D2 + D - 2) y = e - t sin 2t
2 Pecahkan dengan deret Fourier:
A ∂u= 2
∂2u syarat batas u(0,t) = u(4,t) = 0∂t ∂x2 u(x,0) = 20x
B ∂u= 3
∂2u syarat batas u(0,t) = u(3,t) = 0∂t ∂x2 u(x,0) = 30x
C ∂u= 4
∂2u syarat batas u(0,t) = u(3,t) = 0∂t ∂x2 u(x,0) = 15x
3 Pecahkan:
A ∂2u- 3
∂2u+ 2
∂2u= 2y sin 3x
∂x2 ∂x ∂y ∂y2
B ∂2u- 2
∂2u- 3
∂2u= 3y cos 2x
∂x2 ∂x ∂y ∂y2
C ∂2u+ 2
∂2u- 3
∂2u= 2y cos 3x
∂x2 ∂x ∂y ∂y2
Mata kuliah : Matematika Teknik 2 BSIHari / Tanggal : Nopember 2012J a m : -J u r u s a n : Teknik MesinD o s e n : Aswata, Ir, Drs, SE, MM, IPMSifat Ujian : Bekerja sendiri, Jujur , Open book
Kelompok 1 adalah soal Quiz 1, kelompok 2 soal UTS dan kelompok 3 soal Quiz 2.Boleh mengerjakan soal 1 (satu) kelompok saja.
1.1 Pecahkan persamaan diferensial berikut jika faktor integrasi berbentuk xp yq
2y dx - 3xy2 dx - x dy = 0
1.2 Batang cantilever PQ panjang L wdiberi beban merata w sepanjang L. P Qw = beban persatuan panjang.
LBerapa besar G agar lendutan di Q = 0 ? GCari persamaan lendutannya, dan cari cara pencarian lendutan max.
Petunjuk, cari lendutan karena w saja dan karena G saja. Samakan besar lendutan tsb.
2.1 Pecahkan: (D2 + 2) x + D y = 2 sin t + 3 cos t + 5 e -t
D x + (D2 - 1) y = 3 cos t - 5 sin t - e -t
3.1 Pecahkan dengan Laplace:(D2 + 2) x + D y = 2 sin t + 3 cos t + 5 e -t syarat batas, jika t = 0D x + (D2 - 1) y = 3 cos t - 5 sin t - e -t x = 2, dx = 0, y = -3 , dy = 4
3.2 Pecahkan: ∂u = ∂2u ux(0,t) = 0 ux(2,t) = 0∂t ∂x2 u(x,0) = 4 cos πx - 2 cos 3πx
3.3 Nyatakan dalam deret Fourier f(x) = x (10 - x) 0 < x < 10 Periode 10
Mata kuliah : Matematika Teknik 2 BSIHari / Tanggal : Jum'at 30 Nopember 2012J a m : 16.00 - 17.40J u r u s a n : Teknik MesinD o s e n : Aswata, Ir, Drs, SE, MM, IPMSifat Ujian : Bekerja sendiri, Jujur , Open book
Tiap nomor cukup dikerjakan 1 (satu) saja, pilih yang paling mudah. Boleh tidak urut.
1 Pecahkan persamaan diferensial berikut jika faktor integrasi berbentuk xp yq
2y dx - 3xy2 dx - x dy = 0
(xy - 2y2 ) dx - (x2 - 3xy) dy = 0
2 Pecahkan dengan Laplace:
(D2 + 2) x + D y = 3 sin t + 2 cos t + e -t syarat batas, jika t = 0D x + (D2 - 1) y = 5 cos t - 3 sin t - 5 e -t x = 2, dx = 0, y = -3 , dy = 4
(D - 1) x + (D + 3) y = e - t - 1 syarat batas, jika t = 0(D + 2) x + (D + 1) y = e 2t + t x = 2, y = -3
3 Pecahkan:
∂u = 2 ∂2u ux(0,t) = 0 ux(2,t) = 0∂t ∂x2 u(x,0) = 2 cos πx - 4 cos 3πx
∂2y= 2
∂2y y(0,t) = y(5,t) = 0 y(x,0) = 0∂t2 ∂x2 yt(x,0) = 3 sin 2πx - 2 sin 5πx
4 Nyatakan dalam deret Fourier
f(x) = x (10 - x) 0 < x < 10 Periode 10
f(x) =x - 6 0 < x < 4 a) Dalam deret Fourier lengkap atau2 - x 4 < x < 8 b) Dalam deret Fourier cos atau
c) Dalam deret Fourier sin
Selamat bekerja.
BAHAN AJAR
MATEMATIKA TEKNIK2
Dipersiapkan oleh
Aswata, Ir, Drs, SE, MM, IPM
FAKULTAS TEKNIK - JURUSAN TEKNIK MESIN
UNIVERSITAS SULTAN AGENG TIRTAYASA2012
Sistim BilanganSistim Sistim
Bilangan Riil Bilangan khayalSistim
Bilangan KomplexSistim Sistim
Bilangan Bilangan Sistim Bilangan BulatIrasional Rasional Sistim Bilangan Asli
Bilangan komplex adalah gabungan dari bilangan riil dengan bilangan khayal.Disebut khayal karena ada bilangan kwadrat yang nilainya negatip. x2 = - 1 atau x = √-1Untuk menyingkat penulisan, bilangan √-1 ditulis sebagai i , di mana i 2 = - 1Bilangan komplex z biasa ditulis sebagai z = x + iy atau z = (x,y)
x = Re z x adalah bagian riil dari zy = Im z y adalah bagian imaginer dari z
Operasi bilangan komplex.Penambahan: z1 = (x1,y1) maka z1 + z2 = (x1+x2 , y1+y2) = (x1+x2) + i(y1+y2)
z2 = (x2,y2) Bagian riil dijumlahkan dengan bagian riilBagian imaginer dijumlahkan dengan bagian imaginer
Perkalian: z1z2 = (x1,y1)(x2,y2) = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = x1(x2+iy2) + iy1(x2+iy2) == x1x2 + ix1y2 + ix2y1 - y1y2 = x1x2 - y1y2 + ix1y2 + ix2y1 == (x1x2 - y1y2) + i(x1y2 + x2y1) = (x1x2 - y1y2 , x1y2 + x2y1)
Pembagian: z1 =(x1,y1) =
x1 + iy1 =x1 + iy1 ×
x2 - iy2 =(x1x2 + y1y2 , x2y1 - x1y2)
z2 (x2,y2) x2 + iy2 x2 + iy2 x2 - iy2 x22 + y2
2
Latihan: Jika P = (2,-3) R = (-2,4) T = (-1,b) Berapa harga-hargaQ = (a,2) S = (-3,-4) a dan b jika :
1 P=
RS 2 P=
RS 3 P=
QT 4 P=
QTQ T T Q R S S R
Pemecahan:1 P
=RS (2,-3)
=(-2,4)(-3,-4)
(2,-3)(-1,b) = (-2,4)(-3,-4)(a,2)Q T (a,2) (-1,b)
(2,-3)(-1,b) = (22,-4)(a,2)(-2 + 3b) + i(-2 - 3b) = (22a + 8) + i(44 - 4a)Bagian riil = bagian riil (-2 + 3b) = (22a + 8) 22a - 3b = - 10Bagian imaginer = bagian imaginer (2b + 3) = (44 - 4a) 4a + 2b = 41
a = 1.84b = 16.82
Pemeriksaan: P=
RS 2 -3=
-2 4 -3 -4(Program Q T 2 2 -1 17Excel) 2 -3 -1 17 = 2 2 -2 4 -3 -4
48.464 + i 36.643 = -11.68 + i 3.3571 -3 -4= 48.464 + i 36.643 (benar)
3 P=
QT (2,-3)=
(a,2)(-1,b) (2,-3)(-3,4)= (a,2)(-1,b)
R S (-2,4) (-3,4) (-2,4)(6,17)
= (a,2)(-1,b)(-2,4)
2.8 + i 2.9 = (-a - 2b) + i(ab - 2)
Riil = riil 2,8 = -a - 2b a + 2b = - 2,8Imaginer = imaginer 2,9 = ab - 2 ab = 4,9
a = 4,9/b 4,9/b + 2b = - 2,8b = 4,9/a a + 9,8/a = - 2,8
2b2 + 2,8b + 4,9 = 0 b1 = -0.7 + i 1.40 a1 = -1.4 - i 2.80a2 + 2,8a + 9,8 = 0 b2 = -0.7 - i 1.40 a2 = -1.4 + i 2.80
Q1 = (a,2) = -1.4 - i 0.80 Q2 = (a,2) = -1.4 + i 4.80T1 = (-1,b)= -2.40 - i 0.70 T2 = (-1,b)= 0.40 - i 0.70
Pemeriksaan:PS
= QT = 2.8 + i 2.9Q1T1 = 2.8 + i 2.9 (benar)
R Q2T2 = 2.8 + i 2.9 (benar)
Kerjakan soal-soal di atas jika: P = (a,2) R = (2,-4) T = (2,-2)Q = (-1,b) S = (-2,1)
Kerjakan soal-soal di atas jika: P = (x,a) R = (c,d) T = (g,h)Q = (b,y) S = (e,f)
Cari harga-harga x dan y jika a,b,c,d,e,f,g,h = ± 1, ± 2 , ± 3 , ± 4 (harus tidak urut)
Mahasiswa agar berlatih dengan harga-harga P,Q,R,S dan T yang berbeda-beda.Soal-soal ini tidak sukar, hanya perlu ketelitian dan ketelatenan. Perlu banyak berlatih.Bilangan komplex dapat dinatakan dalam koordinat polar.
3y z = (4,3) Jika z = (4,3) atau z = 4 + 3i
r maka dapat juga ditulis z = r (cos θ + i sin θ)sehingga x = r cos θ
0θ x y = r sin θ
4 r disebut sebagai modulus z atau panjang vektor z
r = z = √(x2 + y2)θ disebut sebagai argument z. θ = arg z = arc tan (y/x) Unit θ biasa dalam radθ diukur positip mulai dari sumbu x berputar ke atas (lawan arah jarum jam, CCW).Harga utama θ adalah antara -π sampai π - π < Arg z < πFungsi geometri adalah fungsi periodik dengan periode 2π untuk sin & cos, π untuk tan.
Conjugate. Setiap bilangan komplex selalu memiliki pasangan komplex. Pasangan komplex ini disebut conjugate. Ini bisa tergambarkan pada pencarian akar-akar persamaan kwadrat.Misal, cari akar-akar dari persamaan x2 + 2x + 5 = 0Dengan rumus abc akan diperoleh x1 = -1 + 2i
x2 = -1 - 2iJika x1 ditulis sebagai z, maka x2 ditulis sebagai conjugate z, atau x2 = zJika z = (x,y) maka z = (x,-y)
Contoh soal: Nyatakan dalam koordinat polar: z = - 4 - 3iJawab: r = √(x2 + y2) = √(16 + 9) = 5
θ = arc tan (y/x) = arc tan 3/4 = 0.6435 ± π rad= 36.87 ± 180o
Karena z berada di kwadran 3, maka θ = 216.87 o atau = 3.7851 radMaka z = 5 (cos 3,785 + i sin 3,785)
Operasi polar.Jika z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1) dan z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2)Maka z1z2 = r1r2 [cos (θ1+θ2) + i sin (θ1+θ2)]Sedangkan untuk pembagian: z1 =
r1 [cos (θ1-θ2) + i sin (θ1-θ2)]z2 r2
Untuk pemangkatan zn = rn (cos nθ + i sin nθ)Untuk pengakaran n
z =n
r cosθ +2kπ
+ i sinθ +2kπ
n n k = 1, 2, 3 . . .
Contoh, hitung akar-akar persamaan: z2 - (5 + i)z + 8 + i = 0Jawab, dengan persamaan abc diperoleh z1,2 = 1/2 (5+i) ± 1/2 √[(5+i)2 - 4(8+i)]
= 1/2 (5+i) ± 1/2 √[-8 + 6i]Jika z = -8 + 6i , maka √[-8 + 6i] dapat dicari dengan cara biasa atau koordinat polar.Misalkan √[-8 + 6i] = a + bi , maka a2 - b2 + 2abi = -8 + 6i atau a2 - b2 = -8
2ab = 6 a = 3/b9/b2 - b2 = -8 b4 - 8b2 - 9 = 0
(b2 - 9)(b2 + 1) = 0 b1,2 = ± 3 a1,2 = ± 1b3,4 = ± i a3,4 = ± 3i
Diperoleh harga a + bi = ± (1 + 3i)Sehingga jawaban akhir: z1 = 1/2 (5+i) + 1/2 (1 + 3i) = 3 + 2i
z2 = 1/2 (5+i) -1/2 (1 + 3i) = 2 - i
Latihan: Cari akar-akar persamaan: z4 - 3 (1 + 2i) z2 - 8 + 6i = 0z2 + z + 1 - i = 0
Nyatakan dalam koordinat polar: a) 3√2 + 2i b) 2 + 3i c) i√2- √2 - 2i/3 5 + 4i 4 + 4i
Cari akar-akarnya: Akar pangkat 4 dari (-7 + 24i)Akar kwadrat dari (-7 - 24i)
Persamaan lingkaran dengan pusat di a dan dengan jari-jari r adalah: z - a= r
Turunan (diferensial).Jika f = f(z) dan g = g(z), maka (cf) ' = c f ' dimana c = bilangan, f ' = df/dz
(f ± g) ' = f ' ± g '
z = r cos + i sin
(fg) ' = f ' g + f g 'f .' f ' g - f g 'g g2
Catatan: z tidak memiliki turunanBukti: Jika f(z) = z = x - iy
dan f(z) ' = limf(z + ∆z) - f(z)
∆zf(z + ∆z) - f(z)
=(z + ∆z) - z
=∆z
=∆x - i ∆y
f(z) ∆z ∆z ∆x + i ∆yJika ∆x→0 , maka ∆z
= -1∆z Karena hasilnya tidak sama, maka
Jika ∆y→0 , maka ∆z= 1
z tidak memiliki turunan∆z
Fungsi analitik.f(z) disebut fungsi analitik di dalam domain D jika f(z) terdefinisi di dalam D, dan memilikiturunan di setiap titik di dalam D.Persamaan Cauchy - Riemann.Jika w = u(x,y) + iv(x,y) adalah fungsi komplex yang analitik, maka w akan memenuhipersamaan Cauchy - Riemann:
ux = vy dan uy = - vx
Contoh, cari turunan parsialnya:u = e
x2 - y2
cos 2xy
Jawab:ux = e
x2 - y2
(2x cos 2xy - 2y sin 2xy)
uxx = ex2 - y2
(4x2 cos 2xy - 4xy sin 2xy + 2 cos 2xy - 4xy sin 2xy - 4y2 cos 2xy)
uy = ex2 - y2
(- 2y cos 2xy - 2x sin 2xy)
=
∆z→0
uyy = ex2 - y2
(4y2 cos 2xy + 4xy sin 2xy - 2 cos 2xy + 4xy sin 2xy - 4x2 cos 2xy)
Dan kalau kita perhatikan,uxx + uyy = 0
Persamaan ini disebutPersamaan Laplace
Fungsi komplex yang memenuhi persamaan Laplace disebut fungsi Harmonik.Fungsi analitik akan memenuhi persamaan Laplace.Sehingga untuk bagian khayalnya, v(x,y) juga akan memenuhi:
vxx + vyy = 0
Contoh soal: Jika f(z) = u(x,y) + i v(x,y) adalah fungsi analitikdengan u = x2 - y2 - x , cari v
Jawab: ux = vy ux = 2x - 1v = (2x - 1) ∂y = 2xy - y + F(x) F(x) adalah konstanta bebas
uy = - vx uy = - 2yF'(x) = 0 F(x) = c c konstanta bebas
- vx = - 2x + F'(x)maka v = 2xy - y + c
atau f(z) = x2 - y2 - x + i (2xy - y + c)= x2 + 2xyi - y2 - x - i (y) + ic = z2 - z + ic
Apakah setiap fungsi analitik w = u(x,y) + i v(x,y) dapat dinyatakan sebagai f(z) ?
Pasangan harmonik.Jika w = u(x,y) + i v(x,y) adalah fungsi harmonik, maka u dan v berpasangan harmonik.
Contoh soal: Jika u = e
x2 - y2
cos 2xyadalah bagian riil dari fungsi harmonik,cari fungsi pasangannya.
uy = e (- 2y cos 2xy - 2x sin 2xy)
Jawab: Pertama, harus dibuktikan bahwa u memenuhi persamaan Laplace uxx + uyy = 0Di atas sudah dibuktikan.
ux = ex2 - y2
(2x cos 2xy - 2y sin 2xy) = vy
v = ex2 - y2
(2x cos 2xy - 2y sin 2xy) ∂y =
ex2 - y2
[(Ax + By + C) cos 2xy + (Px + Qy + R) sin 2xy]A,B,CP,Q,R dicari
vy = ex2 - y2
[- 2y (Ax+By+C) cos 2xy - 2y (Px+Qy+R) sin 2xy +
B cos 2xy - 2x (Ax+By+C) sin 2xy+ Q sin 2xy + 2x (Px+Qy+R) cos 2xy]
≡ ex2 - y2
(2x cos 2xy - 2y sin 2xy)
Didapat persamaan:Koefisien cos 2xy - 2Axy - 2By2 - 2Cy + B + 2Px2 + 2Qxy + 2Rx ≡ 2x R = 1
sin 2xy - 2Pxy - 2Qy2 - 2Ry + Q - 2Ax2 - 2Bxy - 2Cx ≡ - 2y R = 1A = B = C = P = Q = 0
vx = - uyvx = e
x2 - y2
2x (Ax + By + C) cos 2xy + 2x (Px + Qy + R) sin 2xy +
[A cos 2xy - 2y(Ax + By + C) sin 2xy + P sin 2xy + 2y(Px + Qy + R) cos 2xy]
≡ ex2 - y2
(2y cos 2xy + 2x sin 2xy)
Didapat persamaan:Koefisien cos 2xy 2x (Ax + 2By + 2C) + A + 2y (Px + Qy + R) = 2y
sin 2xy 2x (Px + Qy + R) - 2y (Ax + By + C) + P = 2x
Dari 2 persamaan ini diperoleh: R = 1A = B = C = P = Q = 0
Sehingga v = ex2 - y2
sin 2xy
Pemeriksaan:vx = e
x2 - y2
(2x sin 2xy + 2y cos 2xy) = - uy(benar)
vy = ex2 - y2
(- 2y sin 2xy + 2x cos 2xy) = ux(benar)
Latihan: Periksa, apakah fungsi berikut harmonik? Jika ya, cari pasangan harmoniknya:1.
u = ex2 - y2
cos 2xy2.
v = ex2 - y2
cos 2xy
3.u = e
x2 - y2
sin 2xy4.
v = ex2 - y2
sin 2xy
5.u = e
xycos
x2
-y2 6.
v = exy
cosx2
-y2
2 2 2 27.
u = exy
sinx2
-y2 8.
v = exy
sinx2
-y2
2 2 2 2
Fungsi eksponen e z = e x + iy = e x (cos y + i sin y) = e x e iy
e iy = cos y + i sin yRumus Euler e iz = cos z + i sin zFungsi Trigonometrik.
cos (α+β) = cos α cos β - sin α sin βcos z = cos (x + iy) = cos x cos iy - sin x sin iy = cos x cosh y - i sin x sinh y
cosh y = cos iyi sinh y = sin iy
sin (α+β) = sin α cos β + sin β cos α
sin z = sin (x + iy) = sin x cos iy + cos x sin iy = sin x cosh y + i cos x sinh yMaka:
cosh z = cos iz cosh iz = cos zi sinh z = sin iz sinh iz = i sin z
Rumus turunan:(cosh z)' = sinh z(sinh z)' = cosh z
Latihan soal:1. Periksa apakah fungsi berikut harmonik, jika ya, cari pasangan harmoniknya
u = sin x cosh yBagaimana jika v = sin x cosh y
2. Berapa harga-harga b agar fungsi berikutr harmonik, kemudian cari pasangannya.u = cos bx cosh y
Bagaimana jika v = cos bx cosh y
3. Berapa harga-harga a agar fungsi berikut harmonik, kemudian cari pasangannya.a) u = e 2x cos ay b) u = e x/2 cos y/2
Bagaimana jika v = e 2x cos ay Bagaimana jika v = e x/2 cos y/2Bagaimana jika u = e 2x sin ay Bagaimana jika u = e x/2 sin y/2
Integral garis.Integral garis didefinisikan sebagai: U = f(z) dz di mana C adalah lintasan gaya f(z)
Maka dapat dipahami bahwa integral garis U adalah usaha gaya f(z) sepanjang lintasan C.Yang dimaksud sebagai gaya tsb bisa gaya mekanik maupun elektrik, magnetik.Maka gaya f(z) tsb harus ditransformasi ke dalam fungsi lintasan C.Jika f(z) = u(x,y) + iv(x,y) dan dz = dx + idy, maka:
f(z) dz = [u(x,y) + iv(x,y)][dx + idy] = [u(x,y) dx - v(x,y) dy] + i [u(x,y) dy + v(x,y) dx]
Jika x = x(t) dan y = y(t) masing-masing fungsi dari t, makab
f(z) dz = f [z(t)] z(t) dt di mana z(t) = x + iyz = dz/dt x = dx/dt y = dy/dt
Contoh:Hitung f(z) dz jika f(z) = x-y + i(y-x) dan C adalah:
a) Garis lurus dari (1,1) ke (4,2)b) Garis lurus patah-patah dari (1,1) ke (4,1) kemudian ke (4,2)c) Parabola x = y2
Jawab: y Persamaan garis C adalah : 3y = x + 2a) C α Ada 2 cara untuk mencari persamaan garis lurus.
x Cara 1: y = mx + y0 di mana m = tan α0 1 4 y0 = titik potong pada sumbu y
Dalam gambar terbaca, m = 1/3 maka y = 1/3 x + y0
Jika y = 1, maka x = 1 sehingga 1 = 1/3 + y0
atau y0 = 2/3Didapat y = 1/3 x + 2/3 atau 3y = x + 2Pemeriksaan: y = 2 , x = 4 3(2) = 4 + 2 benar
C
C C CC
C t =a
. . . .
. . .
C
Cara 2:y - y1 =
x - x1 y - 1=
x - 13 (y - 1) = x - 1 3y = x + 2
y2 - y1 x2 - x1 2 - 1 4 - 1Persamaan lintasan C : 3y = x + 2 atau y = x/3 + 2/3 dy = 1/3 dx
x = 3y - 2 dx = 3 dyJika y diganti dengan y(x) maka akan bekerja dengan pecahanJika x diganti dengan x(y) maka akan bekerja dengan penguranganPilih x = 3y - 2 dx = 3 dy
maka batas-batas integrasi menjadi dari y = 1 sampai ke y = 2u(x,y) = x - y = 3y - 2 - y = 2y - 2v(x,y) = y - x = y - (3y - 2) = -2y + 2
f(z) dz = [u(x,y) dx - v(x,y) dy] + i [u(x,y) dy + v(x,y) dx] =2
[(2y - 2) 3 dy - ( - 2y + 2) dy] + i [(2y - 2) dy + (- 2y + 2) 3 dy] =2 2
[( 8y - 8) + i (- 4y + 4)] dy = 4y2 - 8y + i (- 2y2 + 4y) = 4 - 2i1
b) y f(z) dz = f(z) dz + f(z) dzC1 C2
x Persamaan C1 : y = 1 maka dy = 00 1 4 x berjalan dari 1 sampai 4
f(z) dz = u(x,y) dx + i v(x,y) dx4 4 4
u(x,y) = x - y = x - 1 (x - 1) dx + i (1 - x) dx = x2/2 - x + i (x - x2/2) =v(x,y) = y - x = 1 - x 1
4 ½ - 4 ½ iPersamaan C2: x = 4 dx = 0 y berjalan dari 1 sampai 2
C C C
1
1
C C1 C2
C1 C1 C1
1 1
u(x,y) = x - y = 4 - yv(x,y) = y - x = y - 4 2 2f(z) dz = - v(x,y) dy + i u(x,y) dy = - (y - 4) dy + i (4 - y) dy =
2- (y2/2 - 4y) + i (4y - y2/2) = 2 ½ - 2 ½ i
1f(z) dz = f(z) dz + f(z) dz = 4 ½ - 4 ½ i + 2 ½ - 2 ½ i = 7 - 7i
Terlihat bahwa beda lintasan akan memberikan hasil yang berbeda.Formula Green: untuk fungsi analitik, maka hasil integrasi tidak akan tergantung lintasan.
c) Parabola x = y2 dx = 2y dy y berjalan dari 1 sampai ke 2u(x,y) = x - y = y2 - yv(x,y) = y - x = y - y2
f(z) dz = [u(x,y) dx - v(x,y) dy] + i [u(x,y) dy + v(x,y) dx] =
2 2[ (y2 - y) 2y dy - (y - y2) dy ] + i [(y2 - y) dy + (y - y2) 2y dy] =
22/4 y4 - 1/3 y3 - 1/2 y2 + i [- 2/4 y4 + 3/3 y3 - 1/2 y2] = 11/3 - 2i
1(Catatan: Hasil perhitungan di atas belum diperiksa kebenarannya)Lintasan C bisa merupakan lintasan terbuka (misalnya contoh di atas) atau tertutup.Lintasan tertutup adalah mulai dari 1 titik kembali ke titik awal, bisa searah atau lawan arahjarum jam. Karena lintasan tertutup, bisa mulai dari titik mana saja, asal kembali ke semula.Contoh, hitung dz/z di mana C lintasan tertutup yang melingkupi z = 0, ccwJawab:
C2 C2 C2 1 1
C C1 C2
C C C
1 1
C
Tulis z = cos θ + i sin θ di mana 0 < θ < 2πmaka dz = (- sin θ + i cos θ) dθ sehingga dz/z = i dθ = 2πi
Jika lintasan C searah jarum jam (cw) maka dz/z = - 2πi
Teorema Integral Cauchy :Jika f(z) analitik di dalam daerah tertutup sederhana D, maka untuk setiap lintasan tertutupC di dalam D berlaku : f(z) dz = 0
Buka catatan: f(z) disebut analitik di dalam D jika f(z) terdefinisi (ada nilainya) di dalam D.Contoh : 7z - 6
dz jika C adalah lingkaran satuan ccw atau z= 1Hitung : z2 - 2zJawab: Lingkaran satuan adalah lingkaran berpusat di (0,0) dengan jari-jari = 1
7z - 6=
7z - 6=
A+
B=
A(z-2)+Bz A + B = 7 A = 3z2- 2z z(z-2) z z - 2 z(z - 2) - 2A = - 6 B = 47z - 6
dz =3 dz 4 dz
= 3(2πi) + 0 = 6πiz2- 2z z z - 2dz
2πiz 1/z memiliki diskontinuitas di z = 0 z = 0 ada di dalam C
4 dz= 0
z - 2 1/(z-2) memiliki diskontinuitas di z = 2 z = 2 ada di luar C
Rumus pengembangan: (z - z0)m dz = 2πi jika m = - 1 C = ccw= 0 jika m ≠ - 1 , atau bulat
Latihan:Hitung : 3z + 1
dzjika C adalah : a) z = ½ ccw
z2 - z b) z = 2 ccw
C C
C
C
C
C C C+
C=
C
C
C
Hitung f(z) dz jika f(z) dan lintasan C adalah :
1) 1 a) z + i= 1 ccw 3) 1 a) z + 1= 1 ccwz 2 + 1 b) z - i= 1 cw z 3 + 1
2) 3z + 1 a) z= ½ ccw 4) 3z + 1 a) z= ¼ ccw c) z= 2 z 3 - z b) z= 1 cw z 3 - z b) z - ½= ¼ cw
Formula Integral Cauchy :Jika f(z) analitik di dalam suatu domain yang terhubung sederhana D, maka untuk setiaptitik z0 di dalam D serta lintasan tertutup sederhana C di dalam D yang melingkupi z0, maka
f(z) dz= 2πi f(z0) jika C = ccw
z - z0
Contoh : z 2 + 1dz
jika C lingkaran satuan ccw dengan titik pusat a) z = 1z 2 - 1 b) z = i c) z = ½ d) z = -1 + i/2
Jawab: z 2 + 1=
f(z)=
z 2 + 1z 2 - 1 g(z) (z+1)(z-1) memiliki 2 titik diskontinuitas z1 = -1 dan z2 = 1
a) z - 1= 1 ccwz0 = 1 berada pada atau di dalam lingkaran z - 1= 1 ccw maka g(z) = z - 1
y f(z) = (z2+1) / (z+1)z 2 + 1
dz =(z2+1) / (z+1)
dzz 2 - 1 z - 1
= 2πiz2+1
= 2πix
z+1 -1 0z = 1
yb) z - i= 1 ccw
Lingkarannya tidak menutupi
C
C
C
i
C CCC
1
C
z1 = -1 dan z2 = 1 maka f(z) dz = 0x
c) z - ½= 1 ccw 0z0 = 1 ada di dalam lingkaran y
z 2 + 1dz =
(z2+1) / (z+1)dz
z 2 - 1 z - 1 x
= 2πiz2+1
= 2πi-1
z+1z = 1
d) z + 1 - i/2= 1 ccw yz0 = - 1 berada di dalam lingkaran
z 2 + 1dz =
(z2+1) / (z-1)dz
z 2 - 1 z + 1 x
= 2πiz2+1
= 2πi(-1)(-1)+1
= - 2πi0 1
z - 1 (-1) - 1z = - 1
Latihan: a) z - 1= 1 ccwHitung: dz C = lingkaran satuan b) z + 1= 1 ccw
z 4 - 1 c) z + 3= 1 ccwd) z - i= 1 ccw
Turunan fungsi analitik pada titik diskontinuitasnya.Jika f(z) dz
= 2πi f(z0) maka1 f(z) dz
= f(z0)z - z0 2πi z - z0
Jika diturunkan akan diperoleh :
f '(z0) =1 f(z) dz jika diturunkan lagi
f "(z0) =1 f(z) dz
2πi (z - z0)2 2πi (z - z0)3
C CC CC CC C-1
CCCC
CCCC CCCC
C C
C CC C½0
C
i
atau secara umumf n(z0) =
1 f(z) dz2πi (z - z0)n+1 n = 1, 2, 3, 4, . . .
atau dalam bentuk lain f(z) dz=
2πif n(z0)
(z - z0)n+1 n! C = ccwIni adalah rumus integral untuk fungsi dengan titik singularitas (diskontinuitas) jamak.
Contoh:cos z dz f(z) memiliki 2 titik singular, yaitu di z = πi(z - πi)2 C adalah lintasan tertutup sederhana ccw yang melingkupi z = πicos z dz
2πi (cos z) ' = - 2πi sin z = - 2πi sin πi = 2π sinh π(z - πi)2 z = πi
z4 - 3z2 + 6 f(z) memiliki singularitas jamak 3, z = - i(z + i) 3 C lintasan tertutup sederhana ccw yang melingkupi z = - i
z4 - 3z2 + 6 2πi(z4 - 3z2 + 6) " = πi (12z2 - 6) = - 18 πi
(z + i) 3 2! z = - i
e z dz f(z) memiliki 4 titik singular, z1,2 = 1 (jamak 2), z3,4 = ± 2i(z -1)2(z2 + 4) C lingkaran tertutup ccw melingkupi z1,2 , tidak melingkupi z3,4
e z dz= 2πi
ez ´ 2πiez(z2+4) - 2z ez
=6πei
(z -1)2(z2 + 4) z2 + 4 (z2+4)2 z = 1 25
Latihan: Hitung f(z) dz jika f(z) dan C adalah :
1) e C lintasan ccw sederhana melingkupi z = 2i , tidak melingkupi z = 0z(z - 2i)2
C lingkaran ccw z= 2 2) z4 3) z3 4) e 5) z2
CCCC
C
C
C=
Cdz
Cdz =
C
C=
Cz 2
z 2
C C
(z - 3i)2 (z + 1)3 (z - 1)2 (z - i)2
Jika f(z) dapat dituliskan dalam deret Laurent sebagai :∞
b1 b2f(z) = ∑ an (z - z0)n + + + . . . . .z - z0 (z - z0)2
n = 0maka b1 yaitu koefisien suku dengan penyebut z pangkat 1, akan sama dengan
b1 =1
f(z) dz atau f(z) dz = 2πi b12πi
di mana C adalah lintasan ccw tertutup sederhana yang melingkupi z = z0
b1 disebut sebagai residu f(z)b1 = Res f(z) Res f(z) = b1 = lim (z - z0) f(z)
Contoh :Res
9z + ilim (z - i)
9z + i=
9z + i=
10i= -5i
Hitung : z(z2 + 1) z(z + i)(z - i) z(z + i) z = i -2
f(z) jika berbentuk fraksi bisa ditulis sebagaif(z) =
p(z)q(z)
Maka rumus residunya :Res f(z) = Res
p(z) p(z0)q(z) q '(z0)
Contoh :Res
9z + i 9z + i=
10i= -5i
Hitung : z(z2 + 1) 3z2 + 1 z = i -2
Jika titik pole atau titik singular (diskontinuitas)-nya bernilai tunggal atau jamak, berlaku:
Res f(z) =1
lim d m-1
[(z - z0)m f(z)](m-1) ! dz m-1
Contoh:f(z) =
50 z
z = z0=
C C
=z→i
z = 0 z→z0
z = i
z = z0
=z = i
z = z0 z→z0
Cari residu f(z) di z = 1 (z + 4)(z - 1)2
50 zmemiliki 3 pole : pole tunggal di z = -4 dan pole derajat 2 di z = 1
(z + 4)(z - 1)2
Res50 z
=1
limd
(z - 1)2 50 z(z + 4)(z - 1)2 (2-1) ! dz (z + 4)(z - 1)2
=50(z + 4) - 50z
=250 - 50
= 8(z + 4)2 z = 1 25
Maka 50 z dz= 2πi (8) = 16πi
(z + 4)(z - 1)2 jika C adalah ccw melingkupi z = 1Latihan:Cari titik-titik pole-nya 1) z4 2) 2
z2 - iz + 2 (z2 - 1)2
Cari residu-residunya yang berada di dalam lingkaran z= 23) z - 23 4) - z2 - 22z + 8 5) 3z + 6 6) 3
z2 - 4z - 5 z3 - 5z2 + 4z (z + 1)(z2 + 16) (z4 - 1)2
Hitung f(z) dz jika C dan f(z) adalah :
7) 9z - 8 8) iz + 1 9) cos 8z 10) Soal-soal No: 3)z2 + z - 6 z2 - iz + 2 (z - π/4)3 4)
C = lingkaran C = lingkaran C = lingkaran 5)z - i= 4 cw z - 1= 3 cw satuan, ccw 6)
Teorema residu.
z = 1 z→1
C
C
f(z) =
Jika lintasan C melingkupi beberapa titik pole, maka berlaku :k
f(z) dz = 2πi ∑ Res f(z)
Contoh : 4 - 3zdz
jika C adalah ccw : a) 0 dan 1 di dalam CHitung : z2 - z b) 0 di dalam C, 1 di luar C
c) 1 di dalam C, 0 di luar CJawab : d) 0 dan 1 di luar C
Res4 - 3z
=4 - 3z
= -4 Res4 - 3z
=4 - 3z
= 1z(z - 1) z - 1 z = 0 z(z - 1) z z = 1
a) 4 - 3zdz = 2πi (- 4 + 1) = - 6πi
c) 4 - 3zdz = 2πi (0 + 1) = 2πi
z2 - z z2 - zb) 4 - 3z
dz = 2πi (- 4 + 0) = - 8πid) 4 - 3z
dz = 0z2 - z z2 - z
Latihan : Hitung f(z) dz =berikut jika C = lingkaran satuan ccw dan f(z) =
1) 30z2 - 23z + 5 2) (z + 4)3 3) 1 - 4z + 6z2 4) ez
(2z - 1)3(3z - 1) z4 + 5z3 + 6z2 (z2 + ¼)(2 - z) z(z - πi/4)2
Jika semua pole ada di dalam C : 5) z cosh πz z4 + 13 z2 + 36
Hitung 15z + 9dz
jika C adalah lingkaran ccw 6) z= 1z3 - 9z 7) z-3= 2
8) z= 4 10) z+2+i= 39) z-3/2+2i= 2,4 11) z-1= 3
C j = 1 z = zj
C
z = 0 z = 1
C
C
C
C
C
C
Integral nyata. 2πPandang bentuk I = F(cos θ, sin θ) dθ
0Dengan melakukan transformasi eiθ = z maka akan diperoleh :
cos θ =1
(eiθ + e - iθ ) =1
z +1
sin θ =1
(eiθ - e - iθ ) =1
z -1
2 2 z 2i 2i z
dan dz/dθ = ieiθ maka dθ =dziz
sehingga 2πdz f(z)
I = F(cos θ, sin θ) dθ = f(z) = dz C harus ccwiz iz0
Contoh : 2πdθ dz/iz -2 dz
= = =√2 - cos θ √2 - ½ (z + 1/z) i z2 - 2√2z + 1
0-2 dz Terdapat 2 titik pole: z1 = √2 + 1 dan z2 = √2 - 1i (z-√2-1)(z-√2+1) z = √2+1 berada di luar lingkaran satuan C
Maka hanya perlu mencari residu di z = √2 - 1
Res 1=
1=
1(z-√2-1)(z-√2+1) z-√2-1 z = √2-1 -2
Sehingga-2 dz
= 2πi-2 1
= 2πi (z-√2-1)(z-√2+1) i -2
Integral tak wajar (improper).Integral model ini ditunjukkan oleh batas-batas integrasi yang tidak wajar, yaitu ∞.Integral model ini bisa dikerjakan dengan cara pelimitan.
∞ 0 b
C C
C C
C
z = √2-1
C
f(x) dx = lim f(x) dx + lim f(x) dx-∞ a 0
f(z) dz = f(z) dz + f(x) dx = 2πi ∑ Res f(z)
a→-∞ b→∞
C S -R
R