Matematika villamtrening

5/11/2018 Matematika villamtrening

1/92

r r s z e y y e l ' l e s lital e g y e t e m r e


2/92

~ r T~~Ud .dpe~. . . . . 1 I I I I I I I I i I I i I I . . . . . . H E T 5 Z I m r U ! 1 ~ E n S C G IA I H : R D E n . ~

,A ,O FT -B UDA PE ST - K EISZ IN T 'O ERET I SEG I A_I (ADE ,MIAF E L v t T E L T

VALASZTH.AT6 TANTARGYAKMAGYA R N YE LViE S .m OO A l;O M , T O RT EN 'E U M , M A l tM A T m:A ,f IZ IKA . BIOL6GIA,Kf.Mili\, KOZGAZDA , . ' i , AGTAN ,ANGO l . , NEfi. l fETEL6A06K, SZEMINAg lUMVJEZETQK ,SZAKM Al ANYAG OK OSSZ fALLfT OI KO ,zf:.~ msKoLA ill TANKO NYVSZER ZO K VEZ[,1'6 KOztrIS,WLAm SZAKTANAROKB~nki 1!1i 'l 'V


3/92

Birkes Gyorgy-MATEMATIKA.

VI L L A M T R E N I N G


4/92

M A T E I v tA T I IIK A V I ' t i I J . .M T R E N IN G

T E L.: 0 ,6/1 26G\700i,,+IUADO@DFJ]::IU

.A KO NY"i! f ff iS :U ' : I5TElNE K" n ~.,.,.. . 'AUTAN~iJZu:SEKlZM0LAG }l.

KIAD5il?J'l.,sos. B l ILEEGYEZESE 'VELLEHETSEGliS

KIADI:J\ .AI T ET :'NUN GMm \ . I tt 'J i's Jl'V I ilAD l

1 06 5 '1mDAPE3T ,Bf' l .FC~Y-Z$Jl[N'ZKY lITJ.

. RJ) i.DQVEZ ,_ ET{ l; VARGA Mi IH ;( }5 J ] , O l U ' I ' 6 E S T 9 rm EU tS ~ GYU~ N c O E M 1Sz 'f \.K.Jc \1 lUVEZE, ' :r6: QROSZU ; .i> l" EVA.OGYVEZ.E1TO: ,D f{ '. .C,s'~.[\_ESZ TAMAsP'I~0.1'48ClibS VEZETD: NAGY .Grt)~Gf

VEZ[TO SZErut l :gZTCh ~'L'fONA[illNATA

K ES'ZO l.T A DEBflliCENI KAn~TAUS ' r -r ' fOMDAJ3}\l"4"A N Y P M Y A , : r A : B E , R . ; f FELa.~KApUSl F6zSEF- i O o Z DEBRE I cEN . , B A LM~ ~ZO ]lVARO S ltn , ~ . 4 gy a szorzaterreke is Q ', A z erdekes az, hogy minetjobb matematiksbol valaki, annal nehezebb amegoldas, hiszen az (x-xj-ben az, e l . s o x v~hoz6" a masodik x ko nstans, hogy ezek kjejthet~.ke;;ryfi1!~st,. az a kepzettm a te rn atik us ok na l f el sem merul, c sak ha lijonnek; bogy a feladat beesapos,Igyekeztem mine I . tobb t6m aban m inel v altozato sabb p eld akat leirni. N em ragasz-k od tam m ere ve n a : k 5 2 ie pi .s ko ]a i a ny ag ho z, E g y- eg y e rd e ke s feladatot, tlletve temat(pl. matemat ika to r tenet ) akkor i s felvettem , ha nem a tananyag resze,A fela dato k nehez segi 8zintje is k U l o n , b Q z O , nagyollegyszerllto] n ag yo n n eh 6:d gterjed a skiila . A feladatsorokhan is m arad tak nehez feladatok, de a konyv v e g e . mkiildtl. is osszegyiljtotlem. egy fe jezetnyn ,Tobb pelda aItabinosithat6, melyebb megertese.n maternatika e gy-e gy .Q uanGaganak: r negi sme re sev el to rt enhe t, A mego ld a sok melletr nehiny feladamal jell-emazt a fogalm at, am i arapjan erd ekl0 d6 o lv aso k ke reshetnek az adott temabankonyvekben, I n te rn e ten.

A szerzo

6


8/92

MATEMATIKA VILLAMrRENING

1 . A L A P M , U V E L E T E K1.1. Trunas pe.nztitrc.ajaban '9 d arab 10 0 fo rinto s, 9 darab 10 forintos es 1 0 d ara b 'I

forim os p enzerm e v an. H < : 1 n y f orin tj a v an T amas na k?1.2. Apenztamit,l h lls zf o.rin to s e rmev el f iz ettem es minden ennel kisebb enneh81

visszakaptamegyet. Hany fo rinter t vasaro l tam? '1.3. A peuzfiarmil hUsze.zer forintos b an kj eg gy el fi ze ttem , es min den, e nu 61 k ise bb

bau1.o :: je -gyb6Jvisszakaptam egyet, Hany forinten vasarolrsm?1 4. A pellzmrual mindenfele bankjegybol es entlebOJ pontosan egyet kellenad no rn . H any fo rinto t fize ttetn?

I.S.Egy CD-re 700 Mh adatfer, egy flopira 1,44 Mh. Han), Hopi adata fe r egyetlenCD~re?( ,. 6. Egy auto 7 I benzint fogyaszr lOa kilometereukent, U benzin 2 2 0 Ft-ba kertll,

M e nnyibe keru l egy 1.50 km-esur?1.7. A kezeinken 10 u jj v an. Rimy u jj " Inn tiz k ~en?:1. 8. Egy emeletes hi".l. W. emeleten harom ablak van, az osszes wbbi szinten negy.H iiny ablaka v an a haznak?1.9. Melyik az a szam a -17" -7, 5" 15 e s 34 szamok k5zGJ, mely egy 'e il io a tobbinegy osszegeveI?LtD ,. E gy m ozibana be16p ojegy :.\1119 00Ft, minden 10.0602:5 v iszont ingyen m ehetbe a . moziba . H iln y Ft-ot gyuj tO t tek abeIepo jegyek tldlb61, ha tegnap 99 n e w

ment a moziba?I.H. Egy hatfordnlos sakkversenyen 2:5-25 perc volt e gy jatszrna go nd olko da siideje 2 tbrd'llt6 k6zi:itt 1 0 p erc szunet volt Hsny perces volt a verseny?1.12. H~tnyszor vetithet le egy mozi egy k6tonis filmet egy nap, ha 10 perc szunetet

is kell tartania ket vetites k6zutt?LB. Hany Mba van osszesen 2 g6lyanak, 3 bekanak, 4 macskanak, 5 tyuknak, 7

legynek es 3 z;s.irAfilak11 .1 4. H any p otl:ye es la .b a v an o ss ze se n l l i e i l hetpotty6s katicanak? ( egy kat ic anak

hat laba van):1l.1S .H anynap negy egym as utani ev?L I6 ., M ax imum b i i . n y nap van ket ( eg yma s n ta ni) h 6n apban?.t.17 ..M inim um ha ny nap van kit ( egyru :a s u tani ) h on apban?11.l8. Maximum hany nap van ]liirom (egymas uHini) himapba.tI?l.t9.,:M.inimum hriny nap van luirom (egymas utani) honapban?J .2 0 , . Menny i a h arem leg kisebb p rlm szam negyzetenek osszege?:1..2'1.N a gysag sze rint h~ny~\dilt neg-), jegyfi szam < Ie 200Ql?

[)FT-8U'DAf"EST, , A. I< !E "TSZINTU E ;RmSEG I AKAlOEM ltA ., TEL 06 (1) 413-0769. info@dfth!.l. W V I W . c f ft . h u 1


9/92

, .

M A T E . M A l lt < A . V I L I,. .AMTRENING

: 1. 2 2 ..Nagysag !f ze :dnt h anyadik poz it iv paws szam a 2 22 2? '1.2 3. E gy m atektanar 6rni m unw a dic serete; adhat~ 5 d lc se-ret egy pirospont, 5pirespont egy kis o,tO s. :; kis:c )H ~s egy nagy t'itos. E gy f6le 'Ybe.n 20 het van,heti 6 If.l3tek6:w. I::biny n ag y ij td st te he t s ze re zn i?1 .2 4 1.B a li nt 1 0 e vv e 1 f ia ra la bb , mi,Pt K inga. E gy ev I nid va K i ng a haromszor annyiid os le sz , m in t Balint, Ha ny e ves Kin.ga?1 .2 5. B a Um 10 evve1 fi at al a. bb , m int Klnga, Hgy ev mu lv a King~ ketszer ennyi i dosIe.sz, mint Balint, H iny eves Balint '!

2 . 5Z0VEGES FE LADATOK'2 .1 . A 'l e te 'to ne l 1 2 o rz ik e, . 3 szarvas, es egy vadd iszno evert 5 kicsinyevel.M egje]ent egy 'negytagiJ. f ar ka se sa pa t, a klk e li je sz te tte k az ozik6ket es 3 tis

vaddisz]lo,u" Hanyallat maradt az ete.t:onel?1..2.,Egy szandt6gep 2 e ra alan. tom5rit le eg y filmerHany p erc a.latt '\fi3g,el egymasf61:szer gyorsabb sza.nd t6gep egy k etszer olyan . bQSSZU filrnme]?2 .3 . S z6 k5 ev ak ko r van, he .ez evszam oszrhato 4-gyel; kiveve, ha 100",zll.1 oS7.:rhat6de 4O!J..zalnem. H an y $ z5 koev van. 2000 ev alert?

2 .4 . L egfe.lje'bb hM l)' ev van kef s2';okoev kozott?'Z.S.A es B vona ton nmz ta l. A ' e U . ' i l r o I a hetedik kocs iban utazo tt , B ped ig a h < \ n l l r o tsza.mitoiU hetedikben, Ke,tn:jiikkocs.ija kli.zott egy kocsi volt Legalabb baBY

kocsIbo.I a Ilt a szerelveny?' 2 .6 .A es B vo na to n u ta zta k, A eioh:ol a hetedik koesiban utazott, B ped ig a hatu lr61szam~tot t hetedikben, Ke: t te jUk koc s ij a knrott eg y k oc si volt legfeljebh h A n ykocsib61 a n t a szsrelveny?1.1. A z ebre sztM r a 6ril[ !h~ D 't4 p ere et keslk. H arom es feI 6nlval eze.lott lett pon-t osan be< ilH tv i; l"Most pcntosan 12 era van. Huny p erc m ulv


10/92

EGYENES U T AZ EG YETEM RE M ATEM ATliKA v lLLAMr rRENING

2.9. Egy [0 ros konnerkozeses sakkversenyen az elen nero volt holtverseny, agyoztes 5 p rmt ta l nyer t, HaLny~m,voltakholtversenyben masodibk?2 ,.10 . M inden nap kl ak:arjuk akasztani a [aH a, hogy hanyadika van, L egalabb himysZ[Llnkartyara van s zuk segunk?I .U . E gy buszon 2 ,4 l ilo - es 4 6 aU6hely v an , d e: e gy U l ob eiy et ket alli(.)ja is at lehetalakitani, M axim um M ny utas utaihat a bu szon?1 .1 2 . E . g y bu szon 2 4 U 1 o - e s 4 6 arl6hely v an" d e e . g y u lo hely et k 6t a H o m is a t lehetalakltani, M inim um hany utas utazhata buszon?

2.13.Egy dobozban szamok vannak, 6 db 3-as~5 db 2~es es 4, db l-es, Egymasut~'iu1ikivesszuk a szamokat, de ha n> 1 , n he]yett mindi g visszateszunk n db(n-l)=es szarnot, Hany egyes lesz a vegen?2 ..1 4. E gy p iro s h\mpaniU batvanan allnak el.Q thlnk. H arom perc ig piro s a Iam pa,- ' ~-majd egy perc ig zo ld , ezalatt 15 auto tu d athaladrri. HAl lYpercmulva tudunkl l: tmenni a lampan?2 . IS . Egy tizem eleres hazban a 6.- 'c .m van a lift Bela a 7 .-r.oft a 5 . .re, A nna a 9 .-1'0 1 a2 . ~ra s ze re tn e menn i, L eg ala bb ballY emeletet ken a lif tn ek rn enni ?2 .16. E gy tlzemeletes hazban a 6.-on va n a lift. Bela az 5.-fO]a 7 ..-re, Anna a . 9 .. r5 1a 2.-ra szeretne menni, Legalabb l U \ I 1 Y emeletet kellaIiflnek menni?2 a, 1 '7 . H a n y olyau ketjeg;yH szam van, am elyhez 1 1 . 1 1 .o z z a a d o k 47=et . h~l"Omjeg-yfi.szamot kapok?l. I 8 . K inga mor szulet'ett,am ikor D ani 3 eves volt, Baril'll akk or szu letett am iko rDani 13 eves volt Hany eves volt ekkor K]]~.ga?

:2 .19 . B gy kere kp aro s mar meg ten es me~ hli.tlilevo (Iganak a tranya 2:3 . Ha meg 6D ' km -tmegtesz, ez az atany 3::2 ]esz. HallY k ID ura t r es z meg 6 ss ze sen a k eT tkparo s?2 .20 . Egy kerekp fl ro s ma r megren , e s u l i . e g barndevoilglinak: a n m y a 1:2. Ha m : e g 60 km-trnegtesz, ee az arany 2 ; 3 lesz. Hany km UIQt te sz meg oss: z:e sen a kerekpli rms?

2.,lt. 2 kg k J o i r t e annyiba kerul mint 5 kg a l m a . 3 kg u h ' : r u i e r t 120 forintot fizeaem.Me,_nnyitfi.zet'J],6.k ugyanennyi Idjoeert'?2..22. Aes B biliardoztak, .A lei minden jat.szm ara 1 0F t volt B harom jatsziUatnyert es 40 F t-ot vesztetr, loU ny jatszma:n jatszottak osszesen?2.23. Akhtlleusz utol akarja erni az e loUe: 990 meterrel masz6 teknQsb6katA khilleusz ] mp alan I 0 m erert resz m eg, a teknosbeka.p,e>cUg 10 H lp alan 1m etert, H arry m p m ulva eri utol?1,.2 4 . A kapit:any hajojam est 4 0 eves, K etszer annyi ido sl m int am ennyi a ka,pitauyvolt akkoz amikor a haja anny] idijs v olt, m in t a ImpjU iny most. H any eves a:kapitany?2;, . :2,5.A kapitany m ost K etszer annyi idos, mint am ikor a haj6ja volt akkor am ikora kapitany volt annyi ides, mint a haj6ja most A kapitan:y es a . haj6 eJet~ko ranek o sszege 7 0, Hatly e ve s a k ap ita ny ?


11/92

IMATEMAIl iKA VILLkMTRENING sG 'Y ENES O rr ,A I E G YE ]EM RE

3-. S Z A M O K ELNIMlESE.3 .1 . H a ny as sz amo t jelend a ~5rtSg tetra eloltag?3 .2 . Banyas s~Amo ti eh ,'!D~ i. a , penta d5t~g?l~j.H-~M sUm.()~je~edtia b~e1&~g~3.4. H a n Y < l ! s . szamo1;'je]enU a gOfOg h~ta , e]o1~;g?3.5.Hanyas szamot jelenti a g8 rH g oeta elotag'?,3.6. Ha tiy as S 'z amot . m e l .e n d a gorgg ennea e . l O t a g ?3.7 . .Banyas, szOOiot jelehtf;a g a m g geca e16til;g1'3 .8.H~!lJ .yasszamot jelenci a gkh."ijg_endeca e ] o t : a g 1'3 ;9 . Hanyas s:t;lmQt j_elen;ti a . g&5g: dodeea e16tag?3.10 . I1 i'ny~s szamotjerenfi- a gaxiig I mtakafd eea e~QU i.g?3.11~Iiany~s,8zAmo~jelen.4 a gorog ico ellOpg?3. .11. H6nyas, s.dm.a~jatenti' a t g6rdg tJiaconta:e]otag?3 .13. HooYa .'S s z a l n c r t ; J;c;lienl] t t gQtog - h e c a t O f;llotag?:'3 1 A


12/92

EGYENES O r f J I Z . EGYE fEM RE MATEMATIKA V'ILLAMTIREN'ING

, . r4 . E G 1 E S Z S Z A M O K4.1. Egy szambru :l a t lz esek hel yen aJI6 sza1ll1jegyet athu zom , akkor 7 03 -at kapok.H a a szaz;a~ o;kh t i ' : i y e n 6J.li)szamjegyet h(lZ0m a t . akkor 7 23 -at kapok. M e kko ra

a s zam?4.2: . E gy s zambO I le vontu k a szamjegyei t es 709-e . t . 7 l0 w'e t v agy 7 11-et kap tu nk ,

Me]y iJ ;j et a harem k6"dH?4.3. Egy szamhoz hoz za ad t!.lk a sziimjegyeit ,e:s12 l-et vag)' I 22-t kepnmk, Melyik

.ez aszam?4.4. Hany harommal osztha:to szam vall 98 es 1'51kJjzfit~?4 .5 . H a ny hiiz van egy utca 9~,e!ses 127 - , e s sorszamu haza k5.z5tt?4 .6 . H a ny szamje gy ~l a legnagyobb , ktilonbozQ sZ


13/92

MATEMATIKA VILLAM'TRENING E!GYENES or AZ EGYETEMRE

4 .2 1 . M ermyi a szamjegyek o sszege a, legkisebb, kUlonbo:zo sz;amj.egy,ekbol . tU6,4-gyeI kez,dod6 ot jegyi1 szamban?4 .2 2. M ennyi a sz~,tnj'egyek. osszege a l egnagyo'bb. k.i lilo nboiZo g ,z am jegy ,e kbO l ilU6. . .szamban?4.23. Mennyi az ossze'ge annak a ~eg'kls.e:bbes legnagyobb k e ; t j e . g : y i i termeszetesszamnak, amelyben a ti ze se k .h el y6 n 5~ne] nem kisebb, az egyesek he]ye.n5 -ne .l k is ebb s zi lma il ?4 . 2 4 . Mennyi az osszeg anna.k a legkisebb es legna,gyo bb ketj egyU termeszetess zamnak, amely be n a t iz es ek hel yen 5-nelMni nagyobb,az egyesek helyen

5- .mH nagyobb szamaU?4 .2 5. M ennyj az C sszege annak a Iegkisebb es Jegnagyobb k.etjegyli term eszetes szfu tm ak,

am elyben atizesek helyen legabibb 5 , az egyesek!.1elyen .~egteljebb5 a U ?

.+. .n , t' r

5 ~ TORTEK E S S Z A Z A L E 1 K5 .1. B A nyadik lett Bahn t a ver senyen , ha az ind ulo k 2 J3 -;tj,eUhle er t celba, 1I4-e

pedig Ilttina, hcltverseny nem volt'?5 .2 ., H anyadik lett Balfm a versenyen, ha azmdulok ] /3-a e.kltte err c e : l 1 b a " I l-enpedig utlina., h oltv erse ny n em Yuh?5 .3 . .Dani U4-e t k tH to tle el penzene'k, Balint 3!4-et . Mindketten ugyananuyit kO]-tot tek. 'Hanysz ,Ql' i, )sa Dan] : r e n z e B alin tenak a vas~\diis utan?5 . 4 ., Egy .28 fos o sztaly ban a fillk szamakJetotOd resze aluuyok sz;amanak, Hally:fluja r e bb e a z o sz ta ly ba ?5$ . E gy .30 fO s o sz hi1 yb an a fi. uk s zf ima ket he rmad resze a Ianyok szamartak,

Mennyivei tobb lany j A r eb be az o sztaly ba, m in t flu ?5 .6 . M e u uy i egymiUi6 egytized ezreleke?5.7 , . Hany szazalekkal ke n 115veiniilnk az 1 /4 -et ah ho z~ hogy l ! Z et k ap junk?5 .8 ., H any s,ziizah~kkai valtozikegy negy1.et terulete, ha oldalait ] O%-kal ,csi jk~kentjuk?5 .9 '. H a rry sz az ate kk il v ii,h oz ik eg y n .e .g yz et te rtile te , h a o]dal


14/92

EGYENES O T AZ E'GYETE'MRE MATEMAT IKA VILLAMTIREN.lNG

5 .10 . 12 litertiszta a lk oh olb el 4 0% - os a lk oh olt keszitettunk, Hany liter lert?S .U . H arm ine liter 4 0% - 0 5 a tk oho fbo l s ze re tn enk 2 :5% -o sat ki!szlteni. IH il1Y Ii ter~ i .ze l: ont sunk hozza?S .I1 .. Leirtu k nagysag szerin ti so rba a legfeljebb 9 9 nev ezojil (nem egyszerilsfthe-

Li)) tOlteket. A 11121 utani szam p /q , M e Jd ..ora q?5 .13 . A hns su teskor Wmegenek ~{l%-at v esziti el- H any kg nyers hils szilkseges12 0 d b I 0 0 grannnos stH t szelet elkeszitesellYZ?S .14 ., A szilvaaak 80% -3: viz, a z a sza h sz .i1v 8:na k mar csak 40%-a. H any kg szilva-bol lesz 100 kg aszalt szilva? .5.15. Egy ceg 1200 Jann.iivtnek 2 5% - .a mo to r, a . t5bbi szeme]ygcipkoosi. Ate] be -

koszentevel


15/92

r

MA1i iEMAT~KA vluAMTRENI~NG EG YENES OT A:l. E:GEfEM'RE

16.1. Egy f ilm 1 ,08 -1(or kezdodijtt es 8 :4 7 -kor ert veget 11


16/92

EGYENES C I T A Z EGYET cMR .'E M t A I E MAT I K A VI LtfiMTRENING

;7 , . A T L AG7 ..1 . M ennyi 30 es l2 0 harm onikus k5zepe?7.2 , . Mennyi 30 es 12 0 mertani kozepe?7.3. Mennyi 30 es 120 s zamtani k ij ze p e? ''7 .4 . M e nnyi 10 01 es 9 99 negyzeteinek szam tani ko zepe?7 .5 . M ennyi 4 es 16 szamtani e s r ne rt an i kozepenek szamtani kozepe?7.,6. Mennyi. 4 es 2 8 szam tani tis negyzetes kijz ep ene ksz am tani k 5ze pe '?7.7. [vlenuyivd nagyobb I es 7 negyzetes kozepe, mint szamtani kozepe?1.8 . M ennyivelnagyobb 2 e s 8 s : z . a m t a n i k15 ze pe ,r nin t me rta ni k oz ep e?7.9. Egy biciklis 2 o r a hossza t 30 krn/h sebesseggel k : e . r e k p a _ f o z . i J k , i t l i l j d lijabh 26ni t :50 km/h sebesseggel, R a . n y km/h a z a tl ag sebe ssege?7.10. K e f tartos elem mel 17 6u it vU.:llgit a zseblarnpa, ket normallal csak 'l l 6rntH any 61 '61vilagft eg y ta rto s e seg y normal elemmel?7 .n .., E gy !G 'id az egyik cS~tpMl 10 or a alatt, a Tn its ik csapbol 40 ora alan tehk megvizzel. Hany oraalatttelik m eg v izzel a hlJd. ha mindket c s apo t k iny it juk ?7.ll. Peter az ev egy]]( felebeu kethetente mos ha]at, a r n . a s i t ( feleben heteute

ketszer, Hanyszormos h.ajat Peter az evben?7.13. T iz k{Uijnbt'l:zo pozitlv ' e g e s : z :S2


17/92

r

MATEMA"f I 'KA VIL lAMn~ENl l rMG EGYENIES 01Kl EGYETEMRIE

7 .2 3. E gy kocsi . abroncsa elkopik, ha hatso kereken 20000 km-t, vagy az elsokereken 30 '000 km-t fur, M O : l x i m u n l hany km -t rehetek meg veluk, ha kozbenkicserelhetem az elsoket a hat-s6klml?

7 . :2 :4 . Egy csonakbol ..kiesett egy labda, de a benne ti.l.ok csak 6 perc lnldva veneke sz re . R .ogWn v iss za fo rd u lt ak ,erte,. Hany perc m ulva ertek vissza a l .a bch ii g.ha a Ibly6 sebessege '1 km/h,.a cs:6nake 15 km/h?

7.25. Bela 90 mp alart t U G felszaladni i e . g y mozgolepcsdn, ha az nemmilkodik. Ha- .!llukodik. akkor egy helyben allva 6{ )mp-ig tim azut fdfel.e ...Hany mp alanszalad fel B e la a r li lozg6ilepcson" ha mliktidik?

.+.B . AZ 'ONOSSAGOK

8.1.., Ket szam szorzata 666. Mennyi az ossze'gfik negyLielel1ek es anegyzetukoss: tegenek k~l!t lnbsege'?8.2" a+b = 12 es a2-b~= ]44. Mennyivel nagyobb [1, mint b?

8:,3. a-b = = 12 es a2-b~= 288. Mennyia e s b osszege?8~.4.Mennyi 12342=234~ ?8.5. Mennyi 777~}~2.2222?8 .6. M ennyi :t 0 0 ~ k6b.e b en a szam jegyek oss zege ?8 .7 . M ennyi 100 1 negyzeteben a szamjegyek f l s , s z ; e , g e ' f8 .S :.Me nnyi. 1 03 n egyze le be n a s:z :am je gy ck 6ssz eg 'e ?8~9.Mennyi 9 99 kaM b en a szamjegyek Bssz.ege?8.10. Menl1yi 999 negyzet eben a s zam jegyek oss z.e ge ?8.11. M ennyi a 1000 00 000 11 sz~m szun1[ jegyeinek ossze.ge?,8.n ..M enuyi a ]0000000013 szam sz am jeg ye in ek o ssz eg e?8.t3. Mennyi t1 J 10000000 .092 szam szamjegyejnek 5sslege?8.14. Mennyi a4000000004~ sZ~lm szamjegyeinek osszege?8.1!5" Me1ll1ilyia 999992 szam szam jegye ine k osszege?8.16. Azl, 2. 1,4,.5,6; 7 szamokbo! h1Im.lasava] kepezznk az osszegnket, majd


18/92

EGYE'N'ES ur AZ EGY lE l'EMRE MATE:MATIKA Vl l lAMTAEN ING

S.11. Az I, 2, 3, 4; 5, 6, 7 sziunokb61 paron!k6nt kepezzuk az osszegnket, majd azfg y kapott szamokat osszeadiuk, Mennyi lesz az eredtuen.y?S . lS . , M ennv i W2+ 9 2+ 8 2+ 7 :!+ 62 + 5j;+ 4 2 + 3~ 2 2 + 12 ?8 . .19 . M enny] lOf_9: . i+82_72+6~_5z+4i l _32;+21_r l ; '? '8 .20 . i()arab szam ossz.ege 100 . A s:z..:ilmokb6] paiQrik~nt kepeztiik ijssz;eg~iket;

u:lepezhik B i Z u88zeg iJ ik e t, majd ezt a 12 0 8Zarl1otolsszeadtuk.. H anyszorosa ez a szam a 1 0 szam osszegenek.?8 .2 2 . lO r 8zitmb61 negyesevel kepeztijk az o sszeg uket, I uajd l ~; }ZU a 2 1 0 szam otosszead tuk. H anyszorosa ez a szam a to szam i js s. ze~genek?

8 .%3 . , 10 szamMlotoseve] kepezWk az O~szJ~guk,et.,mejd ezta 252 szamot osz-szaadtuk, Hauys201"OSa ez a Slam a :I . 0 s zam oS~1 !egenek? '8 .2 4. A g'8~as ta.bla m ezoit m egszam ozru k I -toi 64-ig sorban a bal felsa s ar ok t6 1 ajobb alsoig,. Kivalasztunk .8 szarnot: minden s O I - b 6 1 ,esminden oszlopbolegyet valaszthatu nk, M ekkora az osszegnk?

8..25. Egy buv5s negyzetben 1-16-.ig szerepelnek a szarnok ugy, hogy mindensorban es oszlopban a szamok osszege ugyanakkora, Vagyis mekkora?

9. S ZO VEGES EGYEN LETEK.9.1. Peti megette cukorkdinak hatodat, igy 60 cuk.orkaja maradt, Hany cukorkaja

vo! tPetinek.?9.2. Ha a 144-et ketszer e gym as uU 'in. ugyanezzal a sdmmal elosztom, akkcr I6~otkapok. Melyik aza szam amel lyel ket sz er o sz to tt ar u?9 .3 . Gon do ltam 2 term6s~ et'e s szamra, Hao sszeszo rz om a irel, ' B - a t kapokH a esszead om

oke t, 9 - et Mennyit kspok, 1'1aa . tmgyobb szambolkivonem < ' I . kisebbet?9 .4 . K inga 1.0 evvel id5sebb BilJintmil 615J evvelfiafaiabb Danina]. Hoiny 'evesekf i s s z e s e . J : ' I . , ha Balint. 2 eves?9,.5. K ing:a 10 evvel id ose bb B a lin tn al c s 3 evvel fiatalabb D aninal. O sszesen 32eve sek: Ha .ny eve- s K inga?


19/92

MATIEIMATIKA V!lLAM 1RENIING EG YENE:S Llr A Z E GYE TcMR E

9.6. Bontsd fel a 60~at ke t szam osszegere ugy~ hegy az egyik szam hetede egyenloI egyen a m asik szamuyolcadavall M e kkora a kisebbik szam ?9.7 . . Ha egy szarnhoz h ez za ad om a k !e th an na da t. es azigy nyert sz()m b61 kivonom

ez o ss ze g h armad a t, allot 1O-e t kapok, Melyik ez a szam:?9 .8 . H a eg y tegla 2 kg m eg egy fe l t l e g l , < 1 , . akkor bfmy kg negy tegla?9 .9 '. M e gd up U iztam a p enzem et m ajd elkolro ttem 2 4 P t-ot, M e gint m egd up ]aztalll amaradekpenzem es elkiU tottem 2 4 F t-ot, Igy neg)' forintom rnaradt, Hanyforintomvolt eredetileg?9 .1 0. E g y b arom je gy u sza I 11b6 ] kivontam a fQrd!itoUjfit, a ktilonbsegben a szamje-g ye k fe lc se re io o.te k a z e re de ti sz am ho z kipest. Mekkora a ; szam?

9.11. Dani es Kingatestverek. Daninak anny] lanytestvere van. mint f iu..K:inganakfeleannyi hinytestvere v an, m int f i u . Winy fiiltestve]:le v an K i ng an ak ?9,.1.:2:.,ani ,e s K inga te stv ere k. Daninak aimyi la ny te stv er e v an ; mint filL Kinganak

harmadannyi l anyt es tve re van, mint fill. H a ny an v an na k a te stv ere k?9.]3. B ence ] km-re lakik az isko ] ; : : - i t 6 1 . , az ( ll 12 percig tart, P e t e r 250 m-relmesszebh Jakikcea ugyanolyan g yo rsan ru egy. Many perceel eUibb kellelindulnia abhoz, hogyegyszerre erjenek az iskolaba?901 .4 . Hany o]ya:llk!e.1jegyii szam v an , ame ly ne k e lh ag yv aa z e]s5 jegyel, ~ szamharmadat kapjuk?

9 .1 5. H an y olyan k6tjegyu szarn van, amelynek elhagyva az , e lsa jegye t, a szamh.SJtodal kapjuk?9.l6 ..Egy csahidbl: liD . a harom gyerek e l. elkorana l: . osszege most 2 0 ev, M ennyi leszaz e le tkoruk osszege 3 ev mtllva?9.17 . Egy k ere kp dro s m ar m eg te tt es meg h ii tra levo l ]t ji lnak aJranyal:2. H a meg 60km -trnegtesz, ez az arany 2:3 lesz, Hfully kin utat tett m eg erldig a kerek'p~]ros?

9 .1 8. E g y k ere kp aro s I T h 9 ! r ll'lebJtett e s meg imtra]e\"o6~!anak arnl lya 1;2 , Ha meg 60 km-tm egesz, ez az aniny 3:2 le.sz.Hfmy km u tat tesz m eg osszesena kerekparos?

9..19. Egy 100 meteres futoversenyen, amikor az A celba en , .B-nek meg 10 meterv olt v issz a, A n )ik or B eelba 'en, C-nek volt meg 1.0 m eter, H any m eterre v oltill celt61 c : , amikor A beert a celba?9 .2 0. 3 00 szek sorban van. m in den so rb an ugyanannyi szek. A z ' ! ! l [ s a harom SOI~szekejt a tobbi sor ve:gere rakjuk ugy, hogy tovabbra is minden sorbanugyanannyi s~ekl es z, M ekkora n?

9'.21. Egy haromjegy(i szam k o ~ e p s ' Q jegyet t6IOljtlk.. Mi volt a . bri romj. egyu . s zam,ba az igy kapott . k e t j e g Y T l i szarn 6-00 resze 3i Z e redet i s zamnak ?'. 2 ,2 .. Egy M rom j egyi1 s zam kdzepso jegyet ror61juk. M i volt a . ha1"Omjegyti szam,1:Ii I.at : fgy kapot t ketj e gyu szam 1 -e d re sz e azeredeti sztmmak?

9 .23 . .Egy ke1jegyij szam egyen16 a szam:jegyei u$Szegrne,k n a r o l T I l S Z o r o s i i v a l M elyik ez a'?szamt


20/92

EGYENIES urAZ EG YETEMRE M ATEM ATIKA VIU_AiMTR~NING

9.24. Felirtuk a 3-at, mint haromegymas u tan kove tk ezo paratlan szam szorzatat.Mdyik a legnagyobb szam a harom k5zill?9 '.2 5 . M a lt vasarnap l1aromszo.r olyan hosszu ideig voltarn ebren, m int amennyitaludtam, Hany a r a t aludtam?

1 O . ,E G Y E N L iE T E IK E , SE'GYENL6TtENSE,GE.K

H U. A harom jegyu 2 ,aI e s 1 a2 szam ok aranya 21n 2 . Mekkera a,'{10 ..2 . alb"'" 2/3 es ; : ' 1 + h ketj egy'u IU~:gyz:etszam, M ekkora a'?10.3. alb = 2/ 5 as aTb ketjegyu. negyzetszam Mekkora a?10 ..4 . E g y 2 4 'ta g~1ta rs as sg ( hiiz as pa ro k. e s g ye re ke ik ) k ira nd u ln i mennek, A kiran-dulasra osszesen 24 dinnyet visznek magukkal, Aferfiak kettot, 3. nok feJ .t ': t, a

gyerekek negyed d innyel v isznek, Hall;y gy ere k v an a tarsa sag ba u?1 0.5 . A z ec ]en y tijm.ege v izzel egyu tt 8 0 kg. H a kitiniju k a VI.! .felet,a Wme,ge 4 8 kgl es z, H~ .l 1.Ykg az i lr es ed eny tom.eg :e?

10.,6. Egy 130 m hosszu tehervonat oninkent 42 km-t tesz meg. Hany mp alatthalad at eg:y 2 20 m hO :S SXl l alaguton?10 .7 . M ennyi a b szam jegy e:rteke~habb=b+bxb+b, aho l bb ketjegy( l szam ot jelo l?10.S..Egy versenyen 10'pont jar a helyes valaszert.> 5 pont a hibas v


21/92

r

MAl1EMATiKAV~LLAMTAENING EGYENES ur AZ EGYETE'MR IE

lO.14.lvf.e]yik a legkisebb l-nel nagyobb egesz, amelyik l -gyel kisebb a forditottjaketszeresenel? ( pl, a .k,etjegyu ab fO l'd H:OU ja.a ba szam)

U U S .. M e lyik az a ketjegyu szam, amelybo] kivcnva a :fo:rditottjat a szam elsoszinnjegyet kapjuk eredmenyul?10 .1,6. M e lyik az a legkisebb pozitiv egesz szam , am ely ket ket je gyda egesz szam_. - -hanyadosauak t O O - S Z Q r Q s a . ?10.t7. Melyik aza pozitlv szam, amelynek hannadates negyedet osszeszorozva aszam k,e:tszereset: kapjuk?10.tS. Melyik az apozitfv szarn, amelynek I~armadat e s negyedct 6sszeszo:rozvaa

szam negyszereset kapjuk?10 ..19 . x abszo lu t erteke 6- to .l n agyo bb, m int x , M e kko ra x negyzete?It}.20. li t nyo lc szo ro sa ennyiv al tobb '9 9~ ne], m int amennyivel 9 '9 to bb x-nel. Mek -korax?10.21 . x -I - Lx "" 3 . M ekkora x), + lIxz?10 .21., Hauy e ge szm eg old 1is.a v an sz 5 21 < x?


22/92

EGYENES (r r AZ EGY IE1EMR !E MAJEMAT !KA VILLAMTRENIING

11.9. M enu yi (2 x+ 3)4 kifejte5 6be:n az x3 egytu.thatoja.?11.10. Mennyi -(2x-3)(2x:-].)(2x+l)(2x+3) kifejteseben az xl,egytlttliat6ja?11.11. Mennyi -(2x-3J(2x-l)(;2xH)(2x+3) ki:['ejtese.ben az X ? egymtha.t6j~l?U.12. Mennyi (x2+x+ l )2 kifejtes6be:n az X egyO.tthat6ja'?11.13. Mennyi (x2+xH)2 kifejM s eben az xl ,egyiUJhat6ja?1 I . 1 4 . Mennyi (x?+x+li k j f e j t i ! 5 ' S J e b e n az Xl e~tthatoja?H.tS. Mennyi (xJ+x?+x+ 1)3 kjfejt~ssben az x egyutthat6ja?U .16, M ennyi (x l+X~+x+ Ii kifejteseben az x6 ,egytilUhat6j a?11 - M ' . . . " (3 1 l)lk' P: ., "!k 1. '" .,1... " ....!l.17 . . 'eru:'tyl .x+x +x+ I ll!eJtes:e,~e.n - a z x egyutlw.lfltOj~l\(11.18 . M ennyj (x 3+x2+x+li1 k if ej rt es eber ra z egyu tt ha t6k oss zege ?1.1.19'.Mennyi (X S+x

3+ I )? kifej teseben az X

Segyutthat6ja?n.lO. Mennyi (x 5+ xJ+ 1f .kifejteseben az x G egyHlthatoJ,a?11.21. Mennyi (X5+X~+ 01 kifejteseben az x' egyutthatoja?

11 12-M (5 3 1)7 ~.'~ . J: It. - 8 . ... t, It?.. ,..lennYl x + x + r , J I . C J ! : o ; : s e u e n az x e g y u t I L . . l l a t ( : i J a .l 1.23,.Menny] az x~+2'X+l polinom x-I polinomrnal vaM oszrasimaradeka?11.24. Mennyi az x4+ 1 polinom x-I pol inommel v316 oszrasimaradeka?11.2.5. M.enrayi tlz X 4+ 1 polinom x 1_ 1 p o I inomm al v alo o sztasi m arad eka?

'12. A L G E B R A I E G Y E N L E T E K12 .1 .. M i a leg nag yo bb g y5 ke az a la bb i egyen lemek : (x+9'i'(x-IO);;;;;; 0 ?l-l., 'Z.Mi a Jegnagyobb gyUke a z a l\ bb i egyenletnek: (X -HOJI ;' (x - -9) " " O ?12.3 . Mennyi az (x+ l )( x+2 ) ( x: +3 )i ""O egyenlet legkisebb g y o . k : e n e k negyzete?12 .4 - .Menny i a z ( x + l) (i ~+ 2 ) ( x+ 3 )={ l e g. yenl et Iegna,gyobh gyok6n.ek negyzetle'?12 .,5 . H any v ilas, gyo ke van. az x2(x-i)"".iI{x-l) egyenletnek?12.6. , Hatly vales gy5ke van. az x2( x? - 1 J "" 4 (Xl -]) egyen l e tnek?12.7. Hany vales gyoke van az xJ(x1-O=4(x?-I) egyenletne:k?U .S . H any w da:s szam egyezik m eg a kobgyoke.v eJ? ,12 .9 . H a.l1Yvales 828m egyesik meg a negyedik gy~kevel?12.10. I tiny valos szam e gy e- zik . meg a z Btt ld ik gyok,e; '\ l ie I ?11.1}.liany vales szam v an , ame ly ne k akebe megegyezik a:reciprokavai?


23/92

r

MATEMAl lKA VILLAMTREiNrNG EGYENES ur A Z EG YE TEMRE

12 .12 ,. I -bmy vales szam v an , arn ely ne k a n eg yz ete megegyezik areciprokaval?1 2 .1 .1 . A z x4+ 6x 2 -px-6i""O egyenlet egyik gyoke 3" M ennyi p e'lw.ke.?1 2.1 4 ,. A z xl+6x2_~px+6-Oe gy en le teg yik g yo ke 3- Menny i p e rteke ?12.,15. Az x 3-7 x z+x- -O egyenlet gyokeinek osszege p, szorzata q. Mennyi p-q er -

~b? .n.l'6. A:z.f (x)=xS+,ax 3+ xi mggvenY1!ol rudjulc , hngy (-3)""-7. Menny i f(3)712 .17 . A 'l f(x )= x5+ ax 3+bx+2 7 filggve.nY151 t l idjuk, bogy f (- 3} "" -7 . M e n ny i f(3)7U ..18 . Legfeljebb hany J-nel nagyohb es 2-uel kisebb gyoke lehet egy 8-adfokuegyenletnek?1 2.1 9. L eg feljeb b h an y n eg atfv gyoke lehe t e gy h ete df ok u e gy en le tn ek ?12,.20.1,egfe]jebb hany nemnegativ gy6ke lehet egy hatodfokuegyenletnek?l2 .2 1. H any gyoke v an a z x i+ p x- q;;;O egyenletnek, ha pes q pozitfv?12.22. ,H~n)' po:itiv g~(lke van az x2+px-q""O egyenletnek, ? e ! P es q pczitiv?12 .2 3 . H


24/92

r

r

E(J'VIENIE:S U ! T AZ EG Y~TEMR,E: M ATEM ATI'KA VluAMlREN!NG

B J 1. H an y (x ~y ), m e go ld asa v an 3iZ [x ] + l y 1 " " 10 0 egyenletnek az egesz 5ziillllOkkoreben?13 .12 . A x. A o sztaly ba 3 2 -en. ~1B ~be 3 ]-en jarnak, A B o sztaly bc l p on t annyigyereket ismerek, mint am ennyit az A-bol nem, Hany g yerek et ism e rekosszesen?l3.B. Egykisfnl osszegyUijt.Otit pokokat es cserebogarakat osszesen 8 . darabot,Me nn y! c sereb ogar v an k ijzt~i.k ~ha osszesen 5 4 labuk van ? (a poknak 8 . ac s er eb oga r: ru lk 6 la ba v an )13 .14 . .Ha rem szal. l lb6] paronkent kepez tUk a szo rz at uka t 68 2 2" 4 4, 242~ t kaptunk.Mekkora a harum szam szerzata?.l3 .l5 . H arom szam b6l p aro nken t kepezl:Uk a szo rzatu kat es 4 2 . 7 2 . 8 4-ert kap tu nk.M e kko ra a legkisebb szam ?1 3.1 6. H aro rn sz a.mh6 I p arO ILk ,e .n tkepezmk az osszeguket es 17.20, 2l-et kaptonk.M ekkora a k6zepso szam?U .H . N egy szamb61 paronkem kep.ez;~'iika z os sz eguket ,es 13" 15 , 18 ,2 2.2 5. 2 7-et.kaptunk. M ekkora a legkisebb szam?13.1:8.Ket pozitivegesz szam szorzataeggyel kisebbaz ossze-gUk ketszeresenel,Me kk ora a k isebb ik 823m?13, .19. K et ten~neszetes s zam f i8 sz egenek , ku lo n bs eg en ek , s zo rz at an ak es hanyado-sanakosszege 60..M ekk ora a na gy ob bi k s zam?

13 .10 .. x= S O ~ es y ~.nny:iva1 tobb x-nel , am ennyivel kevesebb Z '-m H. x+ y+ z= 183.Mekknray?13.2 1. x ." "5 0, es y aunyival to,bb x-nel, ame nn yiv el k ev es eb b zneL x . + Y + Z " " 183.Mekkoraz?1 3.2 2 . H ii:mm szam aranya 1 : .2 : 4 , negyzere ik os; s. z. ege, pedig 189. M e kko ra a legna-gyobb sztim'?13 .23 . t f ord it ot ta n a ra nyo s l.td, e s am ik or r=[2, akkor t"'2, M ekkora r , har=Z?

13.24.t fo rd ito uan a rii.n .yos r'l- te 1, . e s amikor 1 " = . 1 2 , alkol t=3 . M ellon r, ha t=12?13 .25 . n d arab O~ '1 61U J . o ] l b i J z o szam barm ely ike eg yenI 6 a to bb i szam o sszeg en ekfelev el. M e kko ra n ?

DFJ : .61 l1DAPES l A KETSllNiO leHErrS~GIAKADEMIA,T El.: 06 (1} 47:l016'9. info@dlthu, \WIW.dt t .nu 2 3


25/92

14.1.,n hiper.faktco:ria~isa! l'~ '2 2 .3 3, . n" , Mennyl 3 ;. h J ; p e t t ' a ' k . o o r i ' a J i s a 1 14~2~.Htmy jegyl1. a.: jz11l '5~lZa;m? c14~.HanYlegyia . 2'~5'~s 1 : < i m ?14.:4.Hany j egyua41~5 '11 s :z :f un?14,.5.Han)' jegyil a 2Joo SZMn~1 '4 ~6 .H@ny s~or k e ll a 1 2 8 -a t , e l O S Z t a R i . 2 ; . . : v , e l , !lo gy 4 - et k ap ju n k?14 .7 . .M ennyi 2 buszadik b.a~ittyanak negy,ed .iik~ke'! -14~8 ; M enny j t2 :ne~etgyo~ePl.ekbuszadik hatvmya{']14~9..M mnyi 3 es :2 ~ll~llbse;ge.neknegyedik ltatvanya?14.1i. ~;~ny:i: 3 es.2 negf,~tlik~a.:wbYainktunij.nooegt[?,1 4 .1 1 .Ketti) h a I i i y . a : d i l ; i ~ w a n y , a a k . e n o , e ' t s o l iz pooJ tJv eg~ hatvanyanaksz~rzata?14 .U . Menny~ a smmj egyek ti'S S ozege I . 0 0 1oo-7~,Z~mban?14 '013 . M ehnyi a sz;itinjegyeI-{(lsszege a t lOl00+ r070+ l o s e-t~iihn1Jan? '14 .14 . M e nnYE a t szam jegye1G 5ssze~e a .~O' I~+lO7ll '-1O~Q+I szamban? '1 4 .1 5 . M e nn y~ a s~m je gy e;k o s s z e g e a lO loo - I0 70+ 1 ( )3 + I - sz amhan?14.J~. Mennyi a S~je~k 91sze:g:~.~elOO_w70+1~_r ~zimbap?14 .1"7~Menny i a s~mje:gyek c i s s ~ g e : a 2 D O - :3 s~ba 'D? '14 .UJ .Mmn:y~raz x . " -~d:i tel 'J i~: a . ' C t ? 1 . ?14.t:9,.Mrvel e g , Y , e n l o 2 15!'5?:OO1 szo:rmt t tZ~S siAm:rmds.~e~be:U a ] , a k j a b : l f r t a Uiim

je~elfijs,s:1)~ge? ... _14 .Z 'Q..M ive J egyen l6 2lOOiS~I999'. szorzat ttzes szanueD du~:~eli alak:jiban a S lA m-j eg yek ( ji&S '~ eg e?

14.11 .,a~56 ..MekkoTa . 3 . 114~11. ~""s. I I! S 1 b~ 51 2 . M e kkQ ra a 1 '14.;13. ,a~81 e s b~64. M ekkora a+ b?14.14.lO tQo'-t han"sM r,kell el~mi:2"vel,ijo:gy l-ne.l MSiebb szmnot ka:pjlmk?t4~Z5.B g y mol 61'lO~3d :a ta ~t je ite nL Bgy a tQmooLkli ndh lv a~ mmd~ p~be ,~g::'d '~]Azv:a az .amya ,gm.~mryi s6ge :~~8ny perc 'm,alva lese k . - e t :hlpl a : t o m . J i l R . . k ?

,


26/92

MATEMAT fKA VUuAMTRENING

S.l, Mennyi 11122,22~gy~keQ1 5 .% . , M e nn y i a , s z o r ; z am , " a " 1 / 5 '+1fa a ~ 5 ~ 1 sz~m-~a1{?15.3" a= = > l I Z esil::: -i7S. M~nnyi J"b l'I :; AI Ii. : : " [ ' 1 " " 'I:. "J'.!, M '" .:2 L2?~ . . . . a '+ l l 1 " " " I I '" ~S " , l; ;- :v - "II:'. ',emyl a '""'v.tS.5. ( . . J S + It~+bNS'la ,b e,gesrek,.. Mekka~ a?1 5 . 6 : ( V S + l ) 3 ; ; ; ; a ,+ \ I r 4 S { ~ r t f e g 6 . s z e k } . Mekkata 'b ?IS.7,.(~.5+1t=a+b~o < i};,b e~eszek).Mefd


27/92

'MATEMAl I IKA V I'LLAM TA '~N ING EG YENES I,Ir A Z . EGYE IEMRE

16 . LOGARIT,M,US1 1 6 . 1 . Mennyllg1234567 egeszresze?16.2. Mennyi egy begegyu szam tizes alapu Iogantmusanak egeszresze?16 .. 3 . Mennyi egy t lzenhet jegyu . szam szazas alapu logaritmus~nak egeszresze?~M.4 .Menny. lo g >hI0 2 4 11 6.5 . M e nn yl 4iog.;V2?16.6..M el: ITl.yil .,o .g21000000 egeszresze?1'6.7. Mennyi 36'log21V3?16.:8. M ennyi I l o g . . r ; ; ] ! 4 1 ?16.9. Ha log,t(2a)""aJ3, akkor ( ' J " " ' ?16.10. H a Io gtl(3a}"'ail2.. akkor a=?u.n..Ha a>l eslo!fo:b'lo~a=3, akkor 1 : 1 " ' ?1 . , 6 . 1 2 . log~a,=24, I O l } : t 0 i ;; ; ;; 4 0 . M e l 1 n y i ]og.~)'a?1'':;''13' 100 , , = ' 2 A log a...40 l'o'1J'~


28/92

EGYENES O r AZ E G Y E . T E M R E : : MlAU:MATIKA Vl lLAMiRENING

17 . LO'Gl IKA~ IFELADATOKI. 7,1 , Sun]llJa:lnanak ( ; , S . sUrrpapanak 3 kis sU nl.lnya v an. A lanyok mindegyikenekvan 2 ntl~estve, 're.Htiny t a . g u . a . s{iincsah:j ,d?17.2. Legkevesebb hany gyermeke van a Kovacs csaMdook, ha mindegyik gyerek-uek vanlegalabb k . e : ~Hil' e s . egyleany testvere? ..1 7,3 . Me ly ik az a szam a __;,9,~8> ... , 9 . 10 ., szam ok k5.zU ]~ mely egye.n]O a t6bbi

t ' l s s z . e ge.vel?1.7A.. Egy bra 5"pereet kesik, Ha 10 p e . ' [ : C ; e ' l sietne, akkor 7 ora 28 percetmutetna,H a l l Y p erc c el m 'id t: " 7 ora? .11.5 ..12 g1' ora 5peix :et sier, H a 10 pereet kesne, akkor 7 fJW 2 8 pereet m utatna ..

Hi!lny perc V all meg 8 6r::Hg?1 7 .6 ..H a te gn ap elo tt J ett v o ln a am1.y~.a dik a,amenny i lto ln ap u ta n le8z,akk()[ holnap13 Ali. lenne, lU i ny ad ik a v an ?1 .7 .7 . A z 6jf6]tol ed dig e lte lt ld /jf e~ e ugyanannyi, m int a d.d i]g ul!e;g hatra. levo ida

negyede, Hany 6ta van?1 7 .8 ,. RM ,O t onMrmely kel f : 6 : r f i kozou van B ela ]levu. L eg feljebb htm y Jbz..')i :ruevyi,ihet?1 7 .9 . .N egy~.any eg y k on ce rte n rd 6lb an e ne ke ]te k Mind~nda] n. al e gy Umyl.e:mt, a

lltlblbi. enekelt, A le :g to bb e: t AHn~ enekelt, 7~et" a legkevesebbet MOl1]j 4-ietH any d alt ad tak el6 Q s:s.u sen?17.1.0. Harem testver egyike ov odas, ketl:e:n a][a]{tnQs isJtioh'lisGk Jovoreegyik6vod ris , ma sik ahal.anoiS, harmadik kozepis.kolilS lesz, K et f :V mu lv a k ettenk5zep- , e.gy t i1 t~ la nos i sko la s . .H .Anyad ikos a k~z6p s6?

17 .11. H a ket to jas 6 p erc alaH 1'0 m eg, akko r hih:ry ' pe te a la tt f o m !eg hiram to ] as?1 7 .1 2 . . B g y rsgi U ipU Sfl kenye :r pi ri h1 egy perc "iJau4\ szelet kenyer egyik oldalattudja megpiritaai. Minirmsm hiiny perc kell 11 szelet ke.ny~.r mindk.etQida]; !inak a InegpidUi :s :ahoz.?

1 "7 .1 3. E g y regi tipu:s.iJ kcnyerpklw egy perc alan 4 szeF!~kerryer egyik, o~da]6~tudja megpirltani, Minimum hany perc kell 9 szelet ken.yer mindketolda]


29/92

!MATEMATIKA VILLAMfREINING, EGYENES O r r AZ EGYETE :M :RE

17.16. Egy tenger mindket part] a n van egy-egy kikolo, Mindkettobol minden reg ~gel? M a kar ind ul egy-egy haj6 a m asik kikot6be:. A z I 1 : t 17 0 oraig tart. Egyhajol1 utazvahany haj oval talalkozunk szembe?

n,. 'I7. Bgy tenger m ind ket p art ja n van egy-egy kik6to" M i nd ketto bo l m ind en reg-gel es este '7 6rakor indul 'egy-egy haj 6 a masik kikoto be. Az (it 170 O - n l . i gtart, B gy h ,a jon u tazva hany hajevaltalalkozunk szembe?

17.1S. Egy unnepse gen kortancor tanco ltak, Az egyik tiincoseszrevette. hogyjobbrol is, es balrol is 1 ] - en t 'tH tak.mel le tt e ..Hanyan tanc oltak a k e , l r t , ' 1 u c o t ?

.l7.19. 10 szeket egy n.egyzet a]ak6 terem 4 [ala mellen elbelyeztunkugy, hogy aszekek szarna m inden fal mellett azenos legyen, H any szek van egykivalasztott fa] mellen?11.2 0. 11 sz6ket egynegyzela]akii ' lerer'll4 fu b mellen e!fuelyeztfulk 1llGYhogy a s zekekszam a m in den fal m ellen azo no s leg yen. Hiiny sz6k vana szoba sarkaiban?

17.:2.1.Legalabb bioysuiy szUkseges ahhoz, hogy egy 'k;e:lkalil. merleggel 40 kg-igminden egesz ki logrammot rnemi ' tudjunk?

17.22. Legahibb hany saly szijkse'gecs ahhoz, hogy egyh~tka:rume,rieggeI [20 kg-igminden egesz kilogrammot me rn i tu d ju nk ?

17.2J. T U kJ6rbO l nezv e az 6rat, 31Z011 3 o ra . 1 5 l:! i:tsz ik Han y perc telt 'e l azotava16jabau?17 .2 4. T ukorbO l nezve az ornt.azoll 5 perc rnnlva lesz negy o r a . H any perc teh elv a h !* '. lb a n a z ,6 t ! : 1 . ?17.25. Mennyi (x-a)(x-b)(x-c) ', .. ' (x-i)?

.'

18 . S ZAMR EN D SZE RE K1 8.1 . M e ly ik az a ke:tjegyft S ~ I D , amelyik ugyanazekkal a szamjegyekkd i i . l l : 1 I 1 o le

a tizes, mint a kettes szamrendszerben?1:8..2.A 8-as szamrendszerben felirt 41 mityen a[ap(i szamrendszerben Irhatc 12alakban?

18.3. Melyik a legkisebb szarn, amelynek hanna::; szamrendszerbeli alak] tlban a,szaJI~j,e,gy'ek szorzata 4?


30/92

EGYENES ur A 1 EG YE TEM A.E

]8.4. AHl, 20 es 30 szamok 3~a.s sz arn re ad sz erb en elso s zam jeg yeit sorbanc gY lu as u tAn irv a, e gyha rma s s:utnlrend:szeibyU szamot kapunk, M ekkora eza szamt:i2es szamrendszerben?

I8.5 . Mennyi a 19 hal:mas szsmrendszerbeli aIakj anek fmditotl:Ja. t tz es s zamrend -szerben?18 . .6 .; Ort.os szamrendszerben . M . n y otjegyu szam van'?18 .7 . M etm yi a Mmw.s szamrendszerben ila:l'omjegyu s zamok ij ss ~g \e ?18.8. Egy egynel nagyobb egesz szam 2 -es, 3 -as;. 4 -es 5 -6s es 6-os szamrendsze r-- . .ben is egyes sz.a.m je'gyre v egzo dik L egalabb m ekko ra a szam '? '18. :9.Egy egynelnagyobb egesa szam 2-es; 3 - as, 4 - \e ;.ses 5 -o s szamrendszerben is- ,..., k d"d 'k L 1.'bb kk . ?egyes SZ4.11_lljeggye... eli Q _1... egaiab -.me -' om a szam:18.10. Egy egynel nagyobb egesz szam 2-es,. 3-:as; 4~es.,-{is es 6~os szamrend-

sz erb en is e gy es s za !1 (1 je gg ye l k'ezd.odik.legahibb mekkora a szam?I S . l l Egy n eg yes szamren dsze rb eli szam eg yesse l k ez do dik , e s egyes re v egz6d ik .L egalabb h6iny egyes v an a kettles szamreI1ds~.-erbeli ruakj


31/92

MA1EMAT IKA v IL LAMTREN !I NG EG'iENES U T AZ EGYETEMR~

18 .2 1. M elyik az a M 'tjegyfi szam , am elyik S-a, s ,es 2 -es szam rendszerben is esu paegyesbOlaU?

18 .2 4., M elyikaz a ketjegyii szalm ;am elyik 5 -os es 7 -'e:s szam rendszerben is ketazonos sz~tnljegyb61 all?18 . :2 :5 . M ely ik a [egkisebb szamrendszer, amelyben 4 7 palindrom (visszafele isu gy an azo ka s zilm j eg yei)?

" ,1 9. T ilE S SZAMRENIDSZER-1 9.1 . M d y ]k az a szam ) amelyik haromszorosa a s:dimjegyei 6iS.!S2egenek?19,2. Melyik a legnagyobb szam, amelyik negyszeresea szamjegye] osszegenek?19 .3 . Me ly ik a le gk is eb b 7 - te l oszthat6 csak paras sza:n~egyek.bol a n o poziriv egeszszam?19 , .4 . M e ly ik a le gk is eb b te rme sz ete s s zam .amel yre sem a szam, sem a nala eggyelnagyobb szam sem oszthat6 egyik sz.1mjegY'eveI sem?19.:5"Mdyik a..legkisebb olyan pozitfv egesz szam, amelybena s:ui.mjegye:k osz~

szege 2 5119 .6 , M e ly ik a legkisebb olyan pozitiv haromul.,a[ oszthato szam, amelyben a szam-jegy'ek o sszege ],eg:ah \bb 2 5 1

19 '.7 . M elyik a ]eg kisebb o lyan paws szem, amelyben a . szem iegyekc sszege 4 0?1 9.8 . Me l yik a legkisebb negyjegyll szam , am elyben m ind egyik szam jegy Jeg alabbakkora, m int a t6lebuka a U o szamj,egyek osszege?1 9.9 . Me l yik a t legkisebb m 'igyjegyu szam , am elyben m ind egyik sziim jegy leg alabba kk ora, m in t a tQ j'e jo bb ra a U a . szamjegyek osszege?1'9JO. Melyik a leg jki sebbneg-y jegyi l szam, amely ben m in deg yik szamjegy ua-

gyobb, mint a to le b alra tin6 sza.mJegyek&sszege?19..11. Melyik a legkisebh negyjegyii szam, amelyben rnin degy ik s ;z am je' g, y na-gyobb, m int a tole jobbra a1[6 s zam je gy ek o ss ze ge ?19.12. Melyik a legnagyobb Hegyjegym sum, amelyben m ind egy~ k sz am je gylegarabb akko ra, m int a tO le bah- a a l l o szamjegyekosszege?

30


32/92

EGY:EN:ES O r AZ EGYETEMRE MATEMAT I KA VILLAMTFlENING.

.1.9.13. Melyik a legnagyobb n6gyjegyi~ szam, amelyben mindegyik sztimJegylegalab b akk ora, m int a tole jobbra aIM szamjegye:k 6sszege?19'.14. Melyik a legnagyobb m'igyjegyu szam arnelyben mindegyik szamjegyu agyo bb.jnint a ro le bah-aaU6s.zr.:mjegyek osszege? .19.15;. M ely:ik a legnagyobb negyjegyu szam, amelyben mindegyik szfunjegy

na.gyobb,m int a tole jobbra aU 6 szinnje'gyek o S S Z l e g ' e ?.19 ' .16. M elyik a;1'egnagyobb negyjegyii szam, melyben a s z< 'im je gy ek sz orz ata 1 2719.,1.7..Melyjka legnagyobb szinn. amel yben m indegyi k szarnj,eg-y nagyobb, mint a,tole balta dU o s zam je gy ek o ss ze ge ?

19.18. Melyik a legnagyobb szam, amelyben mindegyik szam jegy nagyo lbb. m int ato le j ob bra an b .s .zamje gy ek osszege?19 .1 9 . M e ly ik az a legklsebb Slam, amely ik be n m i nd en sz:a.mjegy szerepel?

1 9.2 0 . M e ly ik a. l eg kisebb p ozitlv ege sz S zan tl, am elyik u em osztharc egyik szam -jeg yev el sem?

1 9 ,.2 '1 . Me l yi k a l eg kis eb bp o zitiv egesz, arnelyet m egszorozva a szamjegyeivelnegyj egyu szam ot kapunk?1 .9 .2 2 . Me l yi k 3 . legkisebb pozitlv egesz, am elyhez hozzaadva a szam jegyei ossze-get"mjegyf i . s zamot k ap u nk ?19.2 3., M elyik a legkisebb pozirlv egesz, m elyben a sz~hnjegyek szo rz ata 3 6?l ! l24 . Melyika I egk is ebb pozi ti v ege sz , me lyben a szam jegyek szc rzata 10 0719 '. 2 5 .,M e ly ik a l egki sebb pozitiv ege sz, melynek sziunjegyei szorzata !.egaUdbb l OO ?

" .,20, OS l THAT05 , AG I S Z , A B A L Y O ' K- - -2 0. I , M ilyen b szam j egyre lesz l l oszto ja az U b2 1 6tjegyti. sz~ru!nak?2 0.2 . E gy s:Z


33/92

iMATEMA:JIKA VILLAM TRE!NI,NG EG YENES 0T sa EG,YETEMRE

2 0.5 . M e ly:ik a le gk is'e bb 3 ..m at oszthato negyjegyu szarn, am elynek mindens :zamj:egye parat len?2 0.,6, . M elyik a legkisebb 3~m al oszthate negyjeg;ru szam , am elynek m indens:z;


34/92

.

EGY~NES L IT AZ EGYETIEMRE MAr~MAlIKA VIUJIMTHENIN(3

21.1 ..Melyikalegkisebb pozitiv szam, amelyik oszthato az 1> 2; 3, 4. 5, 6 szamokm ind egyikev el "1

21.2 .. Melyik a legkisebb pozitiv egesz szam, arnelyik oszthat6 mindenegyjegyi;szarnmal?

2 1 .,3 . 3 -n ak h al1 !y ad ik h atv an ya va l o sz th at6 999999"121.4. 3-nak hanyadik hatvanyaval osz,t:hat6 999999999121.5. Mi a legnagyobb n k it evo , melyre a 2R oszt6ja a 44444-nek?21.6. M i a legnagyobb n kitevd, melyre a 12n oszt6ja. V i 42444_nek?2 .1 ,7 . M i a legnagyobb n k]ttev o., m elyre a 2 ~ o szt6ja a 4 3444_ 1 -nek?21.S e. 2 : han ya dik h atv any av a] o szih ato 64 fa kto rialis?.2 :l.9 .2 , ha ny ad ik ha tv an ya val o sz thato [ 00 fak to rialis?2,1.10.2 biinyadik hatvany ltva l o sz th at o .w00 9 9 9 9 9 8 ,. ,. 50.2 '501721.11.. Hany 10 00 -1"161kisebb 9 ~c el oszthato p ozitiv egesz szsm v an, am elynek m in-den szam jegye par as ?21.12. Hany2000-nel kisebb pozittv haromma'l oszthato szam van, amelyik nem

oszthato 5-b~1?21.13. Hany 2{100-uiH kisebb pozjtiv szam van, amelyik nem osz'~haro sem 3~mal.sem 5~;rel?21.14. Hany olyan termeszetes szam van. amely osztja a . 60-at, de nem osztja 1 1

90-et?2 J...I5. M elyik a legkisebb termeszetes szam, amely osztja a 60-


35/92

. .

MATEMATIKA VILLAMTRENING EGYENES U T AZ 'EGYETEMAE

21.23,. Men ny iv e . to bb olyan hatjegyu szam van, am elyik nem oszthato 4 ~gyel.}mint ,a.melyik nem oszthat6 3 -m a172 1.2 4 . Rakjuk sorba a 2 , 3 ,4 .5 , .... 11 sz3mok.at(os;s,zesen I O s zamot) ( tgy, hogy azelso szam oszthat6 legyeu I -gyel; a m aso dik 2 ~vel, .. , a tizedik W-zel .HalJyn:i,ego]da.s VE I : r . i ' ?U .2 5. R .akjuk s;Q rba a 2, 3 , 4 ' ~ 5 . " ... 12 szamobt (oss.zesen I I szamot) u , g y . , 'hogy azeJso szam oszthat-o legyen l-gyel, a m asodik 2 -ve[ , ".. a tizenegyedik1 I -gyel, Hany mego ld as van?

2 2 .1. M e nny i a bette l yah:' osztiis utani osszes maradek tkiszege?2.2 .2 . M ennyi a hettel vale osztas u ta ni OSS 2 : .e sma radek s zo rz at a?22.. .3. ,Mennyi az osseege azoknaka szamoknak, amelyek mamdekok lehetnekn.e.gyzetszamok $-tel v ~]6 osz1t~sa,ttlil?2 2.4 . M ennyi az ossz.ege azo kn ak a szam o kn ak, am ely ek m arad ek ok lehetnek kob -s zamek 4 - ~gyd v al e o sz ta sa na l?: 12 .5 . M ily en 'e g;rj eg yu sz ammal kell osztani a 67-et,. hogy a ma radek 2 legyen?.22. ,6.M ily en eg yjeg yfi szammal ken osztani a 7 O-et~hogy a maradek 2 legyen?2 2 . .7 . 99 81 szarnjegyeim tek osseege 2 7, 6 azonban nero. oszthat6 27~ td . Me:rmyi

m aradekot ad 27-tel. osztva?2,2.8. a es b is 5~be:loszrva 4 marade]lwt ad. Me:nl1lyim aradekot ad :5~t(dosztva a+b?22. '9 . a es b is 5-, teI osztva 3 m aradekot ad. Mennyi marad ek ot ad . 5 -tel o sztv a ab?2 2 .10 . M ily,en szam jegyre v egzO dikaz a szam , ame ly ik , (l tte l osztva 1 , neggyelosztva 2 mara de ko t ad ?2 2 .1 1.. L e gfe lie bb h an yp en re k B . -a le he t e gy e vb en ?22.12. Hany~s szamjegyre vegzM ik a 22 .006 szam?l'2 :.13 .lU nya.s,!> zam jeg yre v egz:6 dik a 3 10 (16 szam?2 2 - .14. M .elyik;;!; t u to ls 6 e 16 td . :szamjegye a 111006 szamn.a'k?22.1 s. Melyik a z u to lso cIa


36/92

EGYENES O r AZ EGYiITEMIRE MATEMATIKA ViIIJLAMTA,ENING

2 2 .11,6,.gyparos szam huszadik hatvanya nem oszthate tizzel. M i az u t G I . s 6 ke tszarniegye?22 . l7 . M ilyen szam j eggy,e:[ vegoodik az osszes pararlan haromj e g ) " l , l szam szo r-zata?

2,2.1:8.Milyen szarnjegyre vegzOdljk 1'2],4,6'7'8'9'1 .22.1.9 . ,Mennyi maradekot ad Ll-gyelosztva 10 ! (] 0 fa:kto:riaHs)?22: .2,0. .M ennyi m arad ekot ad ll-gyeJ osztva 2 1012 2 < I I ] ' L 3 2 1,0 "b ~.27 M 'I . d "k 'I.. r> . ' . . . .egyea a "". es ''''':l'.. .ennyl iesz a maraae , na az a szarnote lo sz tj uk b -v el?22.22. Legyen a :; 5'2w es b= 3'27 " M ennyi lesz a rnaradek, ha az a szamot

e lo sz tiu k b -v el ?2 2.2 3. M elyik a Iegkisebb pozittv egesz, am elyik harom mal osztva 2 " o ttel osztva 1maradekot ad?2 2 ,.2 4. M e lyik a legkisebb po zitiv egesz, amelyik haromma! osztva 1, otte] osztva

2. bette] osztva 3 maradekot ad?22.25. Egy SZ3m harommal osztva 2, ottel osztva 4, hettel osztva 6 maradekot ad . .Mellilyi a maradek, ha lOS - t e l osztjuk?

2 -1.1. M i az tu -o ls, 6 s:zf nn jegye ax : e lsQ 20 0 p run sz am szo rz at anak?23.2. Menn yi az elsa 3 paratlan primszam szorzatanak es {jsszeg6nek a hanyadosa?2 3.3 . M el'lnyi a legnagyobb paros prhnszam es a I:egkisebb pa:raUan prfmszam5sszege?13.4. Legyen p az els6 primszam, q a p-edik prhnszam, r a q-adik primszam,

Mennyi az r-edikprlmszam?2 3.5 . M i ] 0 0] legnagyo b b prim Qsztl6j a?23.6. Mi[ 024 legnagyobb pr imoszte ja?: 2 .3 .7 .M i H J 2 5le gil ag yobb p rimosz to ja ?2 3.8 . M i 9 99 legnag yo bb p rh no s:zto ja?23.9. M] 9999 legnagyobb pnmosztoja?


37/92

"

MATEMATlKA, VILLAMTRENING EGYENES (JT ,AZEGEIEMR,E

2 3.10 . H arem e~1ilu i-st IbJv ero nem negativ egesz szam 5 s8 zege primszarn. Melyik?23.U. Mekkora a legkisebb k enek; ameiyre az also 21 darab pd!:11szam o8szegenemprim?23.12. Melyik a legkisebb paratlan prnn, amelyik nesn ikerprlm (p-2 ' e s ,l l+2g,e:m

prim )? .2:3.13" , Me]yik a legkisebb pezitivegesz, amelyik oszthato egyjegyii, k:elj.egyG e shiromjoegyfl, pnm szam mal is?

2 3,.14 . K et p rim szam 6ss:zege is p rlrnszam , M e lyik a k is eb bik p nmsz am?23.15. Melyik a legkisebb olyaa prlm, melyneka 'Ie,gkis;e'bb primszammaJ valoo :s szege nem prlm,'?23.J,6t. Melyik a legkisesb pozirtv egesz prlrnszam, amelynek a ford~tottja tole

kOlonbo'zQ prirnszem?2 3 .1 7 . M e ly ik a legnagyobb primszam, amely ne k n in es 6-tal o sz th at o s zomszed ja ?23.18. Melyika I.egnagyobb prfmszam, amelyre a ' k e t szomszedjanak osszegeo sz th at 6 6 - ta l?2 3 .1 .9 . M enn yi a .M rom legk.isebb olyan pozitiv egesz szam osszege, am eiynekleg~Ja,bb k e , t ,kilWnbozQ pdmoszt6 ja van?

2 3 ,.2 0 .. M e ly il\ c a z a le gk ]se b:b p rlm sz ilm , ame ly re e gy i, de ju Ie gig ,a z, hogy 4 t5bb-:s.zoroserI!H I -gyelnagyobb, es 5 t5bbsz t' irC l ,sn61 l-gyelkisebb?,2 3.2 1, A d 'ou harem p ozid v egesz szam, arnelyek kozul bannelyik kdto ossaegep rim . M e kko ra a legkiseb b?23.22. Hiiny olyan b a, rom je gy u p rlm sz am van, melyeknek szamjegyeit osszeszo-rozva 1O-e t kapunk?

' 23.23" Hany olyen Mromje,g,Yll primszam van melyeknek szam jegyeit o ss ze szo~rozva 15- o t kapun,k?2 3 .2 4 . H arom prlmszam osszege 1'08 es szorzatuk osztharo ottel, Mennyi a. harom

s zam szo rzat a?2 .3 .2 5. H arom prim szem osszege 36" ~, szorzatuk os:ztilat61ui:rommal Melyik aIegnagyobb szam a b arom k oz tn ?

36


38/92

EGYEN'ES L IT AZ. EGYEJEM :RE MAl lEMAl i l K .A V II LI LAMTREN ING

24 . PR iMF EL BO N T A s24.1 ..Egy haromJegyfl. Sl;al:ll sz;!imJegy,einek szorzata 125 ..Mely ik ez aszam?24.2. Egy ha"mmj egyu s z a m visszafele o lv a s v a u g y an a z t a S z o l J . I D ! O ' 1dj~. , Szamje~gyeinek s ze rzat a W O . .Melyik ez 1 1 szam?24 .3 . Bgy h


39/92

r

MA1 iE !MAT IKA V ILLAMI IRENING .EGYENES O r A :Z EGYEr,EIMRE

2 4.2 2. Legyen p , q es r olyen pozitiv egeszek, m elyre 40~o=2r3q5w.M e kkora r'?2 4 . .2 3. M e kkora m , ha m !+ 3 negyzetszem ?2 4 ..2 4" M ennyi n'", ha m il " " n" es n, InklHonbozQ egeszeK?24~'25.Egy asztalon I00 penzerme van, mirl!degyik irassal f elf ele , M egfo nU t u nkminden ermet, m ajd m ind en 2 .-at, m ind en 3.~,atstb, vegill a tOO.,gat Hany

ernie lesz fejj el feUeIe az , e lj .i d .s v,egen?

25. OSZT I6K , LE ,GNAGYOBB I K C ) z 6 sO'SlT,62 5,.:1. A z 6tv enne] kisebb term eszetes szam oknak legfeljebb 10 osztoja v an. fH iny

szamnak v an . p ont 1 0?25.2 . A s,zw~] kisebb termeszetes s:z..~m()kj1;akegfelj ebb ] 2 oszt6Ja van, I-iany szamnak van pont 12 ?25 ..3. Ha a szam oszteiuak osszege (kiveve I)lagat a . szamot) nagyobb a szamnal,akkor az hoveUedo szam . M e lyik a legkisebb 3 -m aJ nem osztharo h5 velked oszam?2 5.4 . M e lyik a legkisebb term eszetes szam , amelynek 5~l1e: ]tobb oszt6ja van?25.5. Mdyik a legkisebb term 6szetes szam , am elynek 6~mi] t obb o szro ia v an?2 5.6. M d yik a le gkise bb term eszetes szam , amely nek he t o.s.zt,6ja v an?25.7. Melyik alegkisebbtermeszetes szam, amelynek tiz osz:t6ja. van?2 5.S . M e lyik a legkisebb p ozitiv pam t.ian szam .am elynek nyolc osztoja v an?

2 :5 .9 . M ely ik iii le gk ise bb te rm esz ete s sz am , ame ly ik feH rh at6 le gala bb 2 . , de new . ezo ss z: es n al a k is ebb o i s . ; t t 6 j a osszegekent?2 5 ..10 . H anYQszt6ja van 6! -nak?25.H. Hany o sz to ja v all, 66 -nak?25.12.. a es b pezitlv egesz szamok legnagyobb kU ZQ S osztoja egynel nagyobb,L egalabb m ekkora a+ b?

'25 .13 . a e s b I egk ise bb k oz 6sWb bs,w rtlse no. iegnagyobb kazo\S osztoja 12.Me nnyi a+ b c is 12 0 iegnagyobb k6zo so szt6ja:?

36


40/92

f'

E.G'YENES u r AZ EGYETEMRE IM ATEMATll


41/92

MA TEMATI K A VILLflIMrrRiE N ~NIG EGYENES ur flZ EGYETEMRE

:16.5.. Egy nCID'jegyfl 8Z!Wl sz -lmj egye in ck o ss zege 3, Menny ia szt imjecgyeI< .szorzata?2 6 .6 .. H a ny keyegYl1 term eszetes szam v an,m e~yn !ek6.rl~:ke 9 -.od n ov ek&zik . h asz;amjiegyeit feksereijijk,,?2 : 6. 7 . H i iny ketj egyu. termeszetes szam v an, m elynek erteke 19-ce l .1'J..tIovekszik,asz.1mjeg;yeitCeksc-:rtHjUk.?2 6.8 . H any o lyan nel,l1negativ egesz : n s~r1J:'1van , (Llme:ly re n in es n emn eg a ttv egessx , y megp ld~ ls a a 2 .~+5 y=n egyenletnek?

2 6.9 . F laJ[Y o ly an u emn eg arl v -eg esz n sz am v an , amelyre n in es n emneg aa v egeszx, y megoldasa a 2]x+19y=n egyenletnek?

2;,6.1CII.Melyik a legnagynbbn nemnegatfv eg~s:z. szam, melyreaz 2lix + - l 9 y= negyenl,el]le~k nincsuetnnegativ egesz:eklb51 i lH6 x , y megoldasa?26 .11 . F , [ ii ny f6 ]e e!rteket vehet fel.3n utolso e l C i U i szam jeg ye? (n >2 egesz)2 6 :.1 2 . H A n y o lyan x eg esa SLam van, am elyre (x -I)i{ x+ 3 ) is egesz?.1-6.,13. Hanyolyan x egesz s:clm van, ~m.elyre (x?+2)J(x+.3) isegesz?2;11.14.Melyjk a legnagyobb egesz sz am , am ely ik nsm alhtba:t6 elo ket egynell la gyobb re la riv p r im 5s szegeken t?2 ;6 ,1 5. A ,(n) El;de{l;~fiig:gvenymintle:n pozitt v egesz 1 1 . szam ra m eg ad j a az n-nel

nem nagyobb, p o zi tiv , n -h ee relativ p rim 8 zamQ k szamat M:Blltlyi.cp(1.2)?26 .16. M ennY lq Il( 81 ) i?2 6 .1 7. M e n nyi ( fl( l0 00 )?2 6.18 . M e lyik az a legk iseb b ,egymH nagyo bb szam , amelyik 3 - ; 0 1 a 1 , 4~gye] j 54e1 es6 - t al e sz tva ]S 1 - e t a d rn ar ad ek ul?1:6.19.Melyik az alegkisebb termeszetes szam, amelyik 3 - 1 D @ J , 4,g;yei, 5 . , : t e 1 es64a] osztvarendre l~e't~2~tj 3,~a~J-et ild rnarad!ekuj'?

2 6 .2 0 . M e ]y ik az a oegyjegyu sztim 1 amelyik k ile nc sa ete se a ford]toujam~k?2 :6 .21 . lOO penze, rme t korben e lh el ye zn ink . M egf ord it om , 3 1 2 L . a 4 ., a 7 " stb er-meke t, a za z s orb .a nk !e nl iit Idh


42/92

EGYEN ES O T AZ EG YE.TEM R E MATEMAT IKA V ILU \MT :REN ING

2 7 . S K A T U L Y A . .E IL V27 .1 . . Legalabb hany em be rt k ell kiv iO asztau i ahho z, hogy biztosan legyen kozoUilk

ketto, akinek ugyananrryi foga vall? .2 7 . 2 " Nehanygyrn e lmen t moziba , Legalabb banyan vannek, ha tm :!j uk , h ogy b iz to san

'van k o z b U k : kett6~ aikinek.s : i i : H e t e s i b oo ap ja u gy an ar ra a b en ire v e g . w d i k . ?27.3" Bgy dobozban .: I fekete es 8 feher golyo van. H anyat kell kihU zni, hogy biz-

tnsan l egyen kozo tt li k ket feher?27 .410Egy dobozban 4 fekete es 8 fehe:r g:oly6 van, Hanyat ken kihuzn], hogy biz-

tosan J egyen 'ket e g Y l l l < J ' s , utani feller Mz~s ?27..5 . B gy dob ozb< l!l1 1 00 go'ly6 van, 42 piros, 300zok1.. 18 s~rga es 10 kek, Legalabh. -hany go:ly6I kell kivenni ahhoz, bogy biztosan legyen ko.z6ltHk 10 azonos~' r~')szmu . .

27 . ,6~Egy dobozban ]0 0 goly6 v an, 4 2 p iros, 30 zold, 1.8 s~}rga es 10 kek . Legalebbhany goly6t kel t k iv en ni a hh oz , hogy biztosan ]e,gyen kozijtWk 10 kek?

21.7.Egy debozhan 100 goly6 van, 42 piros, 30 wM, li8 sw:ga e s 10 kekLeg~labb Mnygolyot ken kivenni ahhoz,.bogy b i z t o s a n legyen k6z6T !:H:"ik2 < ! Z O n o s -sz]m1?

27 ..8. Bgy dobozhan 1 . 0 0 go ly6 van, 42 piros, 30 mid" 18 sm 'ga es IO kek, Legalabblni_nygoly6t kelt kivenni ahhoz , h o g y b iz tosan legyen k 0 2 1 o t 1 i 1 K 2 .k l fi l.onb iim $ Z I ] l U ?

:2 -7 .9 .Egy dobozban WO g oly6 v an , 42 piros, 30' zold, l8 sarg a es 10 kek, LegalabbW iny go lyo t ke1]kivenniahhcz, hogy biztosan legyen kOzOtitilk. 2 s arg a?2 7.10 . E gy d ob ozban 1 00 gply6 van, 4 2 piros, 300z{jld, 18 s erg a e s c 1 0 k6k. Legalabbhany gol ye t ken k ivenn i ahhoz, hogy b iz tosanlegyen kB.zoltii.k 2 wid es 2 p iro s?27.11. E . g y dobozban ] 00 goly6 van, 4 2 p iros, 3 ( J I zold, 18 s:.irga es to kekLegalabbhany g o ]y o t h I I k ivenni ahhoz , h ogy b inos an legyee k ( ) z o t b U L k 2 0 azonos s.zinli?2 -7 .n.E gy d obo rlJallWO gobr,6 v an, 4 2 piros, 30zi)' Jc l , 18 S ! l r g a ' ! ! s 10 k6k L ega]~ bb hany

go!y6t ket l kivenni :ilhh02~hogy biztosan : Iegyen k6z.ottOlc 3 kfi]oribO~o s z i n l Y ?27.13. Egy dobozban JOOgo.lyo van, 42 piros, 30 zold, [8 sarga es W k6kLegaUibbM n y g o 1 y 6 t kell k i v e n n i ahhoz , h ogy b i z t o s a n ]egyen k i j . z a t 1 J L i k k e k vagy piros?27.l4. Egy dobozban 100 golyo van, 42 piros, 300 zc)ld~ ]8 sarga es 10 kek

Legalabb hany golyot kell kivenni ahhoz, bogy biztosan legyenkeaouukmind a negy sztnbol legalabb egy?

27.15. Egy dobozben ] 00 goly6wJ1, 42piros~ 3 0 z old , 18 sLkga ,e s 10kek. 1egalabb hanyg nly6t ke ll k iv ea ai a hh oz , hogy b jz to sa n ne ake kb611egyen. a 1egtobh?

17 .16. E gy dO O OzlO O n.(:)0 goly6 van, 4 2 piros, 30 zold, 18 sarga es 10 I rek. i ega]1ibb hanygoly6t keU kiv enni ahhoz, hogy biztosaa ne a p irosb6] legyen a legkeveseblb?

2 7 .17 . Egy dobozban J O n g:Q:ly6van, 42 piros, 3 '0 2:6ld , 18 si\:rg.a e s , 1 0 k6 k. L eg ala bbhfiny goJyot ken kivenni ahll.oz,.hog)' biztosan ne a ~b611egyen a legtobb?


43/92

MATEMATIKA VH.JLAM1RENING '~G'Y1EN'ES O f AZ r E : G V I E T E M R ' E

2 7 .18 . E gy dobozOO n 10 0 go lyu van, 4 2 piros, 30 ~ald,.18sarga es 10 kek, Legalabb banygo]y6 t k d l k iveen i abho~ bogy b iz to san tobb legyen k om l r l i L k : . a WJga, m int a kek?2 7 .1'9 . 10 majom k:ozmt kiosztonu nk 10 k6ku szd.t6t. L egalabb harry m ajom Jesz,e kik u gy an anny i k ok u sz di ot kaptak?2 7 .2 0 . 10 msjorn kowtt kio szto ttu nk ] 9 k6kuszdi6t Legalsbb hany m ajo m lesz,ak ik u gy an an ny i k ok us zd in t k ap tak ?2 7.,2 1. 10 m ajom k5z5 tt kiosztotnm k 2 :0 k6kusziliot. Legalabb h


44/92

r

iEG Y EN ES Ul AZ IE G YIETEM AE MIA1~MlAl!IKA VllLAMTRI~NING

28.8 ..Hany olyan negyj egyu szam venamelyiknek nines p ara tla n s zilm j e gy e?2;ft '9. Hany olya:nlilegyj egyii szam van.a:melyiknek [IiI1CS paros szamjegye?2 RI0 . H any olya:n negyjeg;ru. szam van, amelynek jegye '~kU l6nbO z.6n:eg:yz:e tsza-Inok?2 .8.11 . Ha:ny olyan n eg yj e gy u. sz am v an , amelyne k j eg ye i k ijW libQz;o~)rin lSZ amok ?2 8 .1 2 . H< lJ nyo ly an n egyj eg yU sz em v an . amely nek m in deg yik jeg ye n eg yzetszem ?

2 8.U . H itnyo lya.u negy je.gyt~ szam v an, am elyn ek m ind egyik je gy e p rlmsz am?28.141, Hmy Q ] y a J l n e g y j e < g y t ' i . s.~lim van, amely nekmind en szam jeg ye 3 . .m al o sZ l:li:lato ?28.15 ..Hany olyan liJ'bgyj'egy[. szam vau, amelynekminden sza.mjegye 5 , , : t d Qsrthat6?28.16. fUmy 6tjegyti palindrom szam vall (am i visszafele olvasva is ugyanaz a

szam)?2 8,.17 . fU my db neggyel oszthato nyolc jegyii szarn kepeiheK \ 3 db egyes es : 5 dbIU.dMs szamje,gy felha:sznala!.u'ival?

28.18. H~:ny db D ; e , g g y e l osz ;f rhat6nyo lc jeg -fu szam.kepez.he~o, 4 . db e g y . e - s !!ls4 dbrnil1as 8 Z Z l 1 1 1 j egy felhasenalasaval?2 8.19 . H allY db neggyel oszthato nyQ1cjegyu szam ke]Jeihdo :; db egyes e s 3 dbnullas szamJegy felhasznalasaval?2 8.2 ,0 . A 'l. 1~ 2 ; 5 es 8 szi tmjegye ;l (' bQ] az, U8szes lehe ts eges medon t H ! : g y j e g y G .szam okat kep ezu uk, e s ezeket ] 'e :! .r ju k egym&s a li i. : ruovekvo sorrendben .Hanyadik szam ebben a sorban a 258l ?'2 8 .2 1. A z I; .2 } S ,6$ 8 . S Z t ' i r n j egyekbol a z osszealeherseges modem n . e ; g _ y j e gy fi s za -mokat kepezunk, es ezeket leirjuk 'egym.as aUi no,v1ekvQ sorrendbenHanyadik SZ~1l1ebbena sorbau a 8521?2.8..22. Az I;2 ;. 5es 8 s:za:mjegyekbol az osszea Iehetsegesmedcn l1egyjegyij.SZiHll.ok~]tke,pt:{Znfil~~s ezeket leirjuk e;gym.asala novekvo sorrendben.Melyik szam aU a 215'8 fe~ett?

2 8 .2 3 . A 'l. 1~ 2 ; 5 es :3 s.zamjegyekib61 azcsszes lehetseges m edon negyjegyuszamo.ldtt k ep ezu nk, es ezeket I~et rj uk egymas aJa novekvo sorrendben.Melyik szam aH a 13 " sorban?28.24. Veszurrk az I, 2, 3. 4 szamok k.ijz;ijl [H inden lehe tseges medon ket:~ot~1. anagyobbol kivonjuk skisebbet. Mennyiaz jgy bpou. 6 kG]6ribs,eg OS ; $ c 7 ; e g ; e ' ?

2 8 1 . , 2 5 . V esztink. az 1,2 ,3 ; 4 ,. :5 ; 6, 7 s.zam ok . . k 6 z i H ml.n de nish et& eg es medon k ette t, e sa n ag :y obb61ld vonj uk a kisebbet, Mennyiaz fgy kapo tt 21 Jdi lt 'mbseg osszege?


45/92

MAiEMATI 'K! \ V~ULAM~RENING EGVIEN 'ES L i T A Z EG VB EM 'R E,

r ,.,.2 9. P'E RMU TAC IO " VAR1 IACIO ,'KO'MBINAcI62 9 .1. 9 tanu la. f61ykepetcserelt egymas ktJ,zl, (mindenki mindenkivel). Hmyfenykepet osztouak el?,2 9.2 . A d om inen 0 -t61 9 -ig lehetnek pontok, Egy domin6 lte. sz !l etben minden lehet-

seges paroo ,eiof(lrd.ul. Himy darabbol a U a te ]j es domin6ke,sz]et?2 9.3 . :th\ny lehetseges so rrend je lehel a HA TVAN szo betflinek?2 :9 '. 4 . I an y le he ts eges so rre nd je lehet a M A T EK szo beniinek?.29 .5 . , Az A , H , M , 0 ; .R , bet:ilkb51 kepezzU k az osszes 5-betus s ze to maj d e ze ke t a bc

so rre nd be s.z ed jU . k. I ian y, ad ik h ely en aU e kk o:r a . HAROM sw ?'2 9 .6 . A 'l. E , K , , 6 , T, T , beb:'ikb61 kepezzuk az 'QiSSZeS 5-betils szot, m ajd ezeket ab cs or rendbe s zed jI l. k. Ha nya dik he lye n ,a U ekkor a KEl 'T 'O sz6?29 .7_ A z osztalyban 1 I flues lLlany van .. A tanu lok azonos namu elntiKt'it es

a.l!elntikm: va laszt anak, ! .i .ny f6 Ie vaJasztas] lehetosegtik van?2 9 . .8 . A z o sz ta ly ba nl '1 fit] es II U my van. A tanu lok kll.l6uboz5, nemil ,elnoki:Hes

a le inokot val as zt anak . Hal1y.fe.le v


46/92

!:G YE M ES U T AZ E GY ET EM F ~,E MATEMAT IKA VILLAMTRENIN:G

2 9.17 . N YQ lc : ember k,c;zott sz et osz nmk l ui rn nl ktilollb6,zo nyeremenyt, egy embe-rmbbe l is k ap hat, H anyD 'e[ ekep pe n t'ehetjiik ezt meg?

29 . 18 ,. Nyo lc e'Il:lberkij;djtt szetosznmk harem ugyanqlyau nyereme.nyt, 'e gy embe rcsak e g y e t kaphat, I - U i n y t : i H e k e p p ' l ! l l t ehet _ juk e zt meg?2 :9 '.1 9. N y olc emb er kozijU szetasztunk harem ugyanolyan nye remenyt, e gy ember

tobbet lS kaphat , Hanryf'61ek ep pen teb etj( tk ezt m eg?2 9 .2 0 . H arom sz tn ne l (mmd eg yik szin t felh aszn ~.U v a) h an yfelek ep pe n sz[nezhett6 kiegy negyzetoldslal? (ket s zine ze s egy fo rma , ha stkon beIUl i ehnozgatassal

az egyj'k negyzet atvihetf a rnasikba).2 9'.2 1. E gy bolha u gr.il a szam egyenesen 1 egyseg n ag ysa gu u graso kk al. B a ny fele ~keppen juthat e1 6 ugrassal a - 'l- es p on tb 61 a +l-es pontba?29, .22. Hanyfelekeppen jutha t el 7 u grassa! a - J -es pou tbc l a + l -e s p ontb e?29.2.3..BimyfeJekeppen juthat el : s ugrassal a -l-e;s,pontb6l a +I-es pontba?29.24. Hany:f6lekeppenjuthat cIS ugrassal a -2-es pontib6] a. +2-es ponrba?29.25. Weores Sandor: Var:l~id6kdmu versenek eho at sora:"u h an go k illa ta / az ilialokiz e I az izek szine I a s :t inek. hangjla I a hao go klze ... ' ', Hanyscrosa vers?

3 0 , FIIBONACCI- ' I B E L L - E S C,ATALAN~S Z A M ' O K

3


47/92

MATEMAT IKA V IL LAMTRENING ,EGYENES UT A:l. EGYETEMRE

30..1. liany p arnyu l szarm az:ik egy evben egyetlen I Jar t61, ha minden p ar h av on taegyuj pfi.rt szU], es minden uj par kethonapos koratol kezdve valiktenyeszkepesse, 6 5 eg yetlen n yU J s em pusztul el ?

30 .8 .. I H.nyfelekelP pen lehet egy 6 f'O kb61 aU a ]etra tetejere feljntni, ha egyszerre1 vagy 2 fokot lephettmk?

30.9. Hanyfelekeppen lehet e:gy 12 fokb61 aU 6 letra tet,ejere fe liu tn i, h a ,egyszerre1 vagy 2 fo ko t M :p heti1nk?

3,0,,10.Hanyfelekeppen lehet egy 6 fokbol .iUOletra tetejere feljutni, ha egyszerreI vagy 3 f ok ot ], p be t'd u k?

30.11. Hanyfelekeppen lehet egy 10 fokbel aU6 ]etm tetejere feljumi, ha egyszerre] vagy 3 foko t l ephet iu l1k?

30.1'2. Hanyfelekeppen lehetegy 6 fokbol a B o tetra tetejere feljutni, haegyszerre 2vagy 3 fokIo't Iephemnk?30 .11 . Hany f6 ]ekeppen lehet egy 12 fokb61 6 1 1 6 l et ra tetej e re feljutni, I t a . egyszerre2 vagy 3 fokot lephetiink?3 0,.14 . H an yfelek ep pen lehet eg y 10 fokbol an 6 l et ra tetej e re fe]jutl1i~ ha egysz.errtil , 2 vag)' J fokot lephettmk?

3 00 .15 . K epezzu k azt a soroeator, am elyn ek elsa t < l g _ j ! l A . m inden tovabbinal pedig1 1 7 . : A-' t B g r e - , B -t C -r,e, C ~t A B -re csereljuk, (A z e]g,O tJt tag teM:t A . B , C ,AB, Be) Hitny b etf lbO ]:iU a 10 , tag?

30.16., Winy betubel a n az e]ozo sorozat 20. tagja?, 3 .0 , ,1 7 .Hanyfel ekeppen t ehet unk ne'gy labd at d obo zo kb a (a d ob ozo kat nem knlon-

boZbetj i .i .k meg)?30.18. Hanyfelekeppen tehetunk C I t labdat dobozokba (a dobozokat nern kUlon-buzletjok meg)?30 .1.9. Hanyfel ekeppen zA:r6jele:z.het[) egy 5 - laguC l ,s sz eg {banyfele sorrendben ve -

gezbet6 el az osszea:d.as)?30.20. Hanyfeiekeppen juthanmk el 3 L (0.,0) .n\cspontb61. az (5.5) n~'cspontba; ha

jobbra v agy felfele le:pheUlnk~ de nem m ehetunk az Y "'x egyenes f ' i j J . e : ?30.21. al


48/92

EGYENSS O T ,AZ E (3YETEMRE MATEMATI !KA Vi lLAMTRENI ING

3 0 .2 5 ., H a ny 'olyan permutacioja van az {I, 2 ... , 2 2 } szamoknak, amelyikkielegft!31. eIoz6fdadat felteteleit? Httfiyfele 20 h o s s z l l h : H i , g l l , Dyck-szo van? Hanyfe-le kep pe n b omh at6 haromszogekre egy k ou v ex 1 2 -s z{ j, g;? Hanyf61eke,ppenz ar oj 'e le z, he t5 eg y 1 1 tagiJ osszeg?

31.1. LegaM bb h~J1 vesznek [,em a csa lfu 'MBsszejov.e.te]en, ha m lndenk i 8 J . h iW l S t i l l: ' sa , v a lj e 1 e l i t m a g e s o tt f i u - es l ii 1 y t e s tv e r e v e l i st a l< i : l k o z o b t ? ( f es tverek l1emJehe lnekhw.Dwk)

31.2 . A z 5" 6. 7 , 8 , 9 szamok kozill barmely ke4rot i jsszea.djuk. HSin.yfele kU]6nb5zoo ss zege t k ap ll at unk fgy?3),.3. A'l. 5 ; 10, 20, 40,. 8 0 sz~m.o k kozU] b arm ely k eU o t osszeadjuk Hiu.yf61e kii-lonMzo i js' s~eget kapbatunk ig)'?31.4 . A 4 ,. 5 , 6, 7 , 8 , 9 szarnok k6zii] barm ely k:ett6t osszead juk. H anyfele ku -iQ n bu .zo ossz eg et ka ph atu nk igy ?31.S . A z 1.2" 3 , ".. , 10 szarnokbc l hany 3 e lem il sz am ten i sorozat valeszthsto ki?

31 .. .6 . .Az . ~e 2 . 3 ... 200 szamokb61 hany 3 e].euJ iu szamtani sorozat valasztha t o k1'731.7. Hanyfele erteket kaphamnk, ha egy ke~,egyu szamot e s . a fordltonjatessze-adjuk? (ab forditottjaa ba szam)

3:1.8 . . HanyftHe e rte ke t k apha tu nk , ha eg y bal'orujegyu szamol es a . forditottjatoss.z:eadj'uk? (abe forditcttjaa cba szam)

31.9. Egy oszl:alybau 20 fiu. es lO U i n y van, m indegyiknek 2 00 Ft-ja..Minden fin adminden lanynak Sft-ot. Hany .forinYa lesz eg y lanynak?

3 1.10 0. E g y osztalyban 2 0 f i u , e :. > 1 0 l a n y v all. m ind egyiknek .2 .0 0 F t- ja. M i nd en f l uad minden lanyuak :5 Ft-ot. Hany forintja lesz a firl.'iknak os:s:zesel1?

, 3 1 . 1 1 . Adott e gy 1 0- sz er l O - e s csokomde U i b ] a . L e g a ]a b b I 'l i i n y t e r e s s z t l k se g e s a h h o z ; bogyl-szer l - -es:csokoLade oobollrotkapjlllnk? ( E gy s:zme egy szelete; lehet e:ltomt)3 1.1 2 .. E g y c sokiert I erm et adtam , es 2 -t kap tsm v issza, m ind egyik . k O I 6 n b O Z ! o vokHf inyfe]e a ra leheta csom_k? 0; 2 , S : , 10,20,50 ts 1 00 F t- os e m l e k vannak)3 L 1 3 . Egy csokiert 3 errnet adram, ' e s 3,a'l kap tam vi ssza, mind egyi k kG ]( in hti zovolt. Uinyfe],eara l ehe t acsok iuak?

ID HB UD A;P!;S l A KE"l i $2 INTU ~ F lE TIS 'E G ! A KA D EM IA ., U l,: 0 6; { 1 } 473-0769. info@dtt .hu. www_dft "hul 41
mailto:[email protected]:[email protected].


49/92

IMATE.MA 'li II KA V ltlA'M i fR !E :'N ING EGYENiES O T sz EGYETEMR'E

3 1 .1 4 .5 g y:tl ng yb 61 , m indegyik pirosvagy feher, hanyi1ele nYflikhincOitlehet f iizni?11,15.~ielyikaza c supa kU]ol1b5zo szamjegyibO]aH66tjegyu szam , am ely ikegyenlo a sUll1jegyeih61 alko:111at6,osszes bt~romjegyr~.szam ossz: e-geve l?

3 1.1 .6 . H a ny fe le ke pp en j uth atu nk el a koordlnarerendszer , rO~O)pontjiib61 a (0 ,4 )pontbaugy, hogy csak jobbra haladhatunk (jobbraJe, jobbra vagy jobbrafel), es nem m ehetunk az y tengely 0 1 1 . 1 : , 7

3 1.1 7 " H a ny poziriv 'eg eszm ego ld asa v an az ::


50/92

MATEMATIKA VILLAMTRENING

_ 32 .3 . A do tt 6 pont a s ikon . Leg fe .i jebb hilly olyan kO l van; am elyik az adott ponto.Il.5gnek?32.15.l.eg.teljebb hany metsze spent ja Iehe t egy kornek es egy negyzetnek?32 .161. Legfe1je:bb hany metszespolltja tenet ,egy kornek, egy negyzetnek esegyharomsz{)gnek?32 .17 . Leg fe lj ebb hany metszesjJ'Ontj.t'tlehet ' e . g ) " negysz6gnek e s e gy Mroms.wgnek?:U.18, . Legfe lj ebb hany metszespontot hataroz meg 5 kor a sikon?32 .19 . Legfe1je:bb 11'\ny mets ..espontot hatarez m eg 8 kiJ,f a . sikon?3 2 .2 0 .L ,e ;g fe lje bb h an y p on tb an m etsz i e gym ast ket egyenes es ket k.ora sikon?32 .21 . Legfeljebb hany pontban m etszi egym ast egy egyeneses harom kor a sikon?3 2 .1 2 .. L eg fe lje bb h an y p on tb an m e ts zi 'egymast h arem e gy en es e s ,egy ko r a siko n?3 2 . 2 3. L egf el jebb hany p ontban m etszi egym ast harem egyenes es ket k:.ora slkon?.3 .2 , .2 4 .Leg fe lj ebb M .ny p on tb an metszi egymast ket egyenes es M.rOIJI kO r a . sikon?32.2$ . Negy knW nbozoegyeuesne'k pontosan m metszespout ja van, Eh\nyfe.tc e r t e -

ke lehet m-nek?

.


51/92

MAJ 'EMATIKA V'ILLAMTFl:ENING. - EGYENES (.IT A Z EGYE TI:.M RE

.33 .1. M a xim um hiiny pizzaszelethez ju tunk, ha a kor alaki. pizz3t 3 egyenes v agas-sa l vagjllk fel?33 .2 . M ax im llm M ny pizzaszelethez ju runk.ha a kor alaku p j . z z a 1 t 4 e gy en e~ s v a g a s -sal vagjlllki1el?33 .3 . E gy harem szcg belsejeben felvettiink 3 pontot, majd ezeket a pontokat es ah


52/92

,.

MATEMAT IKA V~L lAM1iREINING

33.2;3. HillY reszre osz.1~aa teret 6 sik, l 1 i . e . l . y h O l 2 -2 -2 p : f u : ' h u z a : m o s ?.33 .24 . Hany reszre Q sztja a teret 6 sik, m el,yM I 3 -3 p arh uzamo s?33.25. miny r es zr e osz ,t ja k. a 4 -d .ime:l1Z i6 ste :ret a 4-dhnenzi6s locka lapjai?

34 ,. KOM B~NATOR IKU 'S G , E O M E T ' R I I A34.t. Adiunk (neg hat pontot a slkon, Legalabb hany hHonb6z;Q ' tiwo]$ago't hata-

roznak m eg ezek a pontok?34.2. Egy negyzet mind a negyoIdabln kijeUHtink 2~2puntot, Hany olyan harom-sztlg van, amelynek minden csucspontja ezen 8 pont valsmelyike?3 .4 .3 . E gy negyzettninda negy old alaa kijelij.R itlk 2 -2 ponrot, H any olyen negy-5 Z 0 g v an, am elynek m ind en 'C S U C S P ( ) u t j a : e z e n 8 p ont valamelyike?

34.4. Egy negyze! oldalait 4 egyen105, reszre osztottuk. Hany olyan hffiomszilg van,amelynek csucsai 3.negyzet oldalain megjelolt (csucsoktel kliHinbt\zo)osztopontok koznt kerillnek l e i ?

34.5. Egy szabalyos haromszog csucsait osszekotjiik a sze:mkBzti oldalak hanna-dolo pontjaival, ez a h a r o r n s l Z Q g e t sokszogekre osztja. Hany oldala van as nly po nto t ta rra lm a z s ok sz og nek?

3 4 .6 . E g y sz ab aly os h (i;sZ $~ .tigh ar om k i l l o : u b O z Q tsi1csat: l ) . s ; s z e k o r o haromsmg egyikszogec, Hanyfele erteket vehet fel 0.1

34;7. Egy 44~est6bkizatban n mezot k i i e W 1 1 : t i n . k \!.gy. bogya hiblazat m i n d e n me-zo j e pontosan egy kij eM I t r ne zo ve ] h ata ro s, Mellor! n?

34.S , Adott a sikon egy szab{dyos I2-szog cS ( I( ;s pont ja i. Hany olyan negyzetvan}melynek esucsai a 12 adott pont kozul kerulnek ki?

34.9. Adott a sikon egy szabalyos 12-szo.g csucsponqa]. Hany olyan szabalyos ha-romszogvan, melynek csncsai a 12adott pontkoznl kerulnek ki?34 ..10..Adott a slkon eg y szab


53/92

EGYENES l I T AL ~GYETEMIRE

3 4.12 . K et p . ~ h 1 1 w _ . . a m Q S g y e n e s e n 6~6 panto l k l i je l o i U l 1 k . M e n n y i v e i W bb n e g y S 7 1 1 < g vall ,mint haromszog, u le ly e 'k n e k m . in d e n c s - l i . c sp o n t , j a , e tlz p o n t wlamelyike?3 4 .U t K e t parhnzamos sik nn eg y-eg y negyzet csllcspon.tjai vannak U I D ' , hogynines tobb olyan sik, amelyik negy pontot tartalmaz. Hally olyan tetraedervan , me lynekc suc s ai ,~:kijeWh pontok?

3 4 .'1 4 . K e , t parhuzaracs slkon egy-egy szabalyos ( j . t S 2 i o g csucspontjai vannakugy,hogy nines W bb olyan sik, am elyik leg~.I .abb n egy ponto t tartalm az. H anyolyan tetraeder van, melynek csucsai a kijeJolt pontok?

. 34 , .1 5. Hany kU].bnbOz6 alakzat rakhato ki 4 e:gybevag6 negyzetb51' ugy, hcgyazokat csak teljes eluk menren i .Ues.z thet jUk essze (a tukrozessel esf or ga tl ts sa i e gymasba v ih et o alakzatokat azonosnak t.ekintjUk)?3 4.1,6. H any !d U onb5 z(} alakzat rakhatc ki 5 egybev ag6 negyzetM l ugy, hogyazokat c sak teljes 6lU k menten ille sz th etiu k o ssz e (a tOk1.-i jze:sse~ esf o rgar as sa l e gymasba v'ibeto a la kz at ok at a zono sn ak te kin tj ru k )?

34, .11 . .~H;!inyfe,~.e lakzat r ,akh.at6 ki : 3 egybeva.go szab"Uyos hii ;rum.s ,z6gM I ugy, hogyazokat csak teljes, eluk menten illesztheti uk ossze (a. tukr6zessel esf o rga ea ssal kapha to a la kz at okat azonosnak tekintjtlk)?

34 .18.I !auyf61e alakzat rakharo ki 6 e gy be va go s za baly os ha~"OnlszijgbOl ugy. hogyazokat c sak teljes eli\k r nent en i 1l es zt ll et juk ossze (a ttikroziSSJel e 'sf o rga ta ss al kaphat o alakzarokat azono sn ak te ldnt j:C i k)?34 .19. N egy egybevago kockabol b ii ny kU lon1bQzU alaku , os sze. fl iggo res te t lehet

OSS2Jeragasztan]j ha ket kockat esak ugy r ag as zth at ju k 5 ss ze , hogy egy-egylapjuk fedje egymast?3,4,.:2'(11. tm y f6 le . ( nem egybev~g6) haromszeget hatsroinak a szabalyos otszogo ld al ,a .i e s < iU6 i?3 4.2 .1. H an y o lyan d.erekszogii. haromszog van, m e ly nek c su c sa i egy szabaly os H l-

SLOg c su csai ko zu l kierO Jnek ki?34,.22, . Hany olyan derekszogu l1,iroIi1szog van. m elynek c su esai egy s:z;aMlyos 9-: s : z ; 5 g csuesai k 6 . z 1 1 1 k e r u l n e k ki?

34.13. Legfeljebbhany pontot Iehetaz egysegsngarukorben elhelyezni ugy, hogyb arm e ly k ett5 tii.volsaga egynel n ag yo bb leg ye u?34 , .2 4 . LegaJabbMny sz inne l kel l k isz in ezni eg y egysegsugani kG r keriiietene'k pontjait;hogy ne legyen o ly aa I hosszu szekasz, melynek v ,egponga i azono s s zmuek ?

34 . 25 ,. Lega lsbb l w . . : . n y szinnel ken k!szfnezrJ.i e g y ~gysegSlilgm:u kB r kern letenek pontj~ :i t,hogy ne legyen o ly sn . . J 3 hos szus zaka sz , me lynek vegpontj ai MAnos mnl1ek?

52 EGESZ E . . . .ss E S IN TI EN :zfV m ffiS EG I \ lI IZ SG A -E LO IK E8 ZiT O EVFOLlfAMOK


54/92

EGE~ES U T A Z E G YE TEM RE . M ATEMATIKA V IU . AM TFU ~N ING

.3 :5 .L Ma x imum hany oldala es :at l6ja rajz ,o 'I 'hH. to be egy szabalyoaotszognek ac eru za felemelese n elk ul?35.,2. Maximum hany oldala es litl6ja r,ajzolharo be egy szabalyns barszognek ac eru za felem elese n elk ul?3 5.3 .. B g y szabalyos c ' )tszogneklegfe liebb hany oIda].aes ad6jil hu zhate m eg ugy,

bogy ne legyen l u i n : n T I S z O g ( harem o ly an csucspont, am ely ek kO zo tt m ind eni~itmeghriztnnk)?3 5:.4 . E gy szab . .Uyos hat sz ognek I eg fe lj ebb hti]'lY oldala e s i j, t16j ahnzhato megugy,

hogy ne legyen h{i.romszBg [ harom o lyan csucspont, arnelyek ko.2l6tt mindenell meghnztunk)?3 5 .5 .E , gy konne nr es grafban van e]. Lega labb b ii rlYe l s 'Mbk (i pontja van?

35.6. Egy npontu grafban n el van es ossz~fU ggo,M axim lU tl hany kor lehet benne?.3 5.7 . E gy graf atmerojellek a graf pontjai kozon fe ,Uepo legnagyobb h\vo]sagotnevezzuk, Egy mnak a gy5 k,ere:n k[ vO I S em elete v an, Legfeljebb mekkorale he t a z { hme ro je ?35 .8 . M ennyi a teljes grM atmeroje?3 5.9 ., M e nnyi az '7 hosszu k'or !ilm.e.roje?3 5.10 ., M e nnyi a koc ka ,61gnli.fjanuka.tmeruje:?ss.u, Me nny i az o kraed er elgn ' it janak atmeroje?3 ,5 .,12 . E gy 4 p ontu grifnak nines H arnilton-kore (olyan kiit, am elyik m inden pen-ton athalad), L egfeljebb M n )' file.van a grafnak? .35.13. Egy 6 pontn grafnak nines H aI.l1iU otl-kore. Legfeljebh hany tH e van agrMnak?35.14. Egy 6pontu grafban n ines p a ra tl an kor, Legfeljebb !:urny ele lehet?35:.1.5.[nay Ham ilton-kore v an a koc ka g :r.M Jia :nak?3 5.1 6. H a ny Hamilton-kore van az oktaeder gt~:fjlanak?3 5.17 . H iiny kU]ijniJozu 6 p onm fa v an (a fa k orm en tes osszeft lggo graO'?3 5.1 8 ..Maximum hany e} e leh et c .g y n em osszefiiggo 6 pontt ([ g rs fnak?3 5 .1 9. Ma x imum him y ele lehet ' e :gy11 pont ri g ra fn ak , h a nmc sen b enne : k6r?3,5~.:1:0.egahibb h t ) . n y p on tja v an snnak a g r a m ; J ] . ; : , am elyben pontosan 2 kU r van?35 .21 . Lega la bb harry poatja van annak a grafnak, arnely ben p onto san 3 kor van?3 5.2 1. H a m inden c su csra legfe1j e bb egyszer IepbetU nk, hanyfele u t vall a . kOCK


55/92

MATEMATIKA VILLJ.\MTRiE!NING EGYENES U T A Z E G YE TEM RE

3 5,.2 4 .. E g y koc ka m ind en c su csara egy-tgy szamot Irtunk, M inden c suc son a velesz om sz ed os c su cso ko n aB o szamok at]aga all. H any kj,Honbo.zo szarnszerepelhet a . csucsokon?,3 5.2 5. H a egy nyokp onm gnifban minden csues fob n, akkor osszefUggQ. Lega-labb mekkora n, hogy igaz legyen az alW\\Is'?

36,. S A K K3 6 .1 . H a:nyf~He sz


56/92

EGYENIES U T A i. EGYElEMRE: M ATE :MAT IKA V l lLAM iR I ~N ING

36.17. Htmyfel.ekeppen helyezhetek el 5 vezert egy 5'5~os tahlan u gy , ho gy egyik se Gssea masikat? .36.JR Legalflbh hany M styat kellelhelyezni a sakktablan hogy minden mezo,t

en~n5j' i :esUk aMt tartsanak?36.19. Legalabb hany vezert ken elhelyezni a s!lkktablim~ hogy minden mezoteU enQ rz es uk a la n ta rr sa na k?36.20. Legfeljebb hany bastya helyezhetd e] a sakktablan,bogy egyik se usse aImisibt?36.21. , Legfeljebb hany hnszar helyezheto el il sakktablan, hogy egyik se Iisse amasikat?36.21. Legfeljebb han)' vezer helyezheto el a 8akktab~ hogy egyik se usse a

masikat?36.23. Mln] IDUm bany lepessel tuda hus za r amell et te Ievo mezdre lepni?36.24" Egy 8 'S - as sa kk t< ib hlJ l h usz :m ez ot fe ke te re festettek, a tobbit feherre. Ha atilblat Kliz;e.p'L':metteha] tjuk, 8~8 fekete mezo keru l egym sssal fed esbe, Winyp a r feher m e : Z ; Q fedi egymast? .

36.,25. Egy sakktablan e'gy babszemet letehenlnk egy Ures meztire, de hot a mezovalamelyikelszomszedjan mill!van, bebszern.akker azok kozlH egyet le kenvenni.Legfeljebb Mny babszemet rakharunklea.tablara?

3 7 . . . . J I A ' T ' E ' K : E L M . . . E ~ L E T ,. . . . . 1 - I . _ . . _ . ,37.1. 6 milliard ember 6 1 ,a , Foldon, Gabriel es M i h , a ,l . y mindegyiket ismeri,

Minimum hany kerdessel tudja mindig kitalalni Gabriel barchobaban, hogyM i haJy kire go nd olt?

37.2. 6 millierd ember el a Po]dQn. M indegyik h(tz-eg y 32lapos csomagbol nehanyl(arty!iL Mennyi az a maximalis m szam, amire biztosan tudiuk, hogy rnk ti1~ l' Ib ijzo ember ugy anazokat fl. k tl rtyakat huzta?37 .3 -. , Andras e s B6]a jatszik, lOO ~ r6 1ind ulna k es felvaltva vesznek el beloleleg


57/92

M A T E M A l l l K A VIIlLAMTAENHNG EGYEINES U T ,At:. EG ' fE fEMRE

31 ,, 4 . And ra s e . g Bela jatszik, lO O -r6I indulnak es felvaltva veszuek el bel,Ole lega-h~bb ] -et legfeljebb l l-et, A z nyer, tiki titan 0 marad az f iru6k Mennyi tv egyen el a k,ezd 6 jatekos?37.5. Andras es B ela ja,l:szJk, 150-folin.(],u]nak, e s felvi!]tvaveszuek el belcle Iega-

li1,bb l-et, iegfelje:bb lO -et. A z nyer, ak i utan l) rnarad az , e ; t t e k Mennyitv egy en el a ke2 d6 jateko s?37.6. Andras e~Bela: ja,tszik,] 50-1'01 indulnak es felvaltva v es zn ek e ] b elij]e lega-labb ] -et, legfdjebbU-eL Az nyer, aki utan 0 marad az ert,ek. Mennyi t

vegyen e la kezd,(\ ' j atekos?37 .7 . E gy 5 4 k is n eg yz etb dl aU 6 csokibol k6t f6 felvaltva to r eg y sort v aKY osz -lopot, A z veszlt, aki tllaf nem tud tonu (egy negyzet m arad t neki}H flnyu egyzetet tO rj on az e]so, aa nyerni akar?37 ..8. E gy 9'4 kis negYl.:etbol allocsokibol ketfl5 felvaltva tOil egy sort v3Igy osz-

lopot, Az veszit, a u min: uemmd tOt11] (egy negyzet maradt neki) .Hanynegyzetet ~ijtjon az elsa, ha nyerni akar?

37 .9 . E gy 34 kis negyzetbo'l iln6 c sokibQ ] kiH . :f8 felvaltva W r egy sort vagy OS.l~lopot. Az nyer,akie az utois6 negyzet. Hany . negyze te :t N)!jon az els(), hany em i ak ar?

37.10. Egy 32 lapoakartyacsoreagbol hUzo!.egy lapot, Minimum h


58/92

~GYENESO r AZ EGYETEMR:E MA1EMAT iKA VILLAMfRENING

31.17. J ancsi 2 szamra gondol, P en egyenkent rakerde:zhet a szamokra, Han.y kerdesselt ud ja b iz tosan k[ta~a]niPeri a szamokat, ha Ja ne si m ax inn nn 2 - sz et h az udha t?37.18. J O O C S l 2 szalnro. gondol, Peti egyenkent l i l ' < , 6 r o e z h e l . a szamokra, Hiny kerdessel

tudja bizt( )$an 10ialt ilni Peti lsz , ;im.o.kat, ha Jancsi maxin'limll 3~sz.o.rhazudhat?3' .1'9 .. B ela. 3 szamra gendol, Geza egyen ken .' t nlkerdezh.et a sz~'nru)kra. Winy kef'd ess el tu dj a bjztosan kitalaihli Geza a szamokat, ha Bela m ax im um ] - szer

hazudhat?37.20. Bela 3 szamra gondol, Geza e,gyenkentrakeroezhet a Sz


59/92

MATEMATIKA. VI I. .t .AMTRENI 'NG EGYENES ur A X E G YE TE M RE

38.6.Mennyi 4'cQl(600)?3 8.1 ..M ea ny ] 4 c os2 ( 9 { } o ) ' ?3 8 .S . M en ny i 4 'C ' os 2 (1 80 ), l'3 8,.9 . M e nny i 4 'CO S ,2 (2 2 5 )13 ,8 ,10 . M e unyi 4 '''c os1(330,o)?3 8 . 1. M e nny i 8'cos(22,5,O)"sin(22,5"}cQs(45r73 , 8. 12 " M enny i j . t : g , 1 ( 1 f . / 6 ) ?) :8 .1 3 . Mennyi 3+ t i ( ID3)? '38.14., Menny i 3tg2 (n;)?3,8.15. Egy ha,rom.szOg ke.t oldala $2 es I, a kozbezart szog 45. M ekkora a

h armad ik o ld al?38 .16" Egy hiirO.IDS 11)gbeo a1""1~b~8, a kozbezart sz6g 6 0 . M e k ko ra t,z?38.:1i7~,Bgy harom szogben a2 = 4 - " $2=3" a k6:zi :;evlrt swg 30. M ekkora ,c L?3 8..l,8 .E gyharom sw gben a= 4, b : : : ; 3 , a k fi zbez ii rt s zQg 6 1 ) . Mekkoraa legnagyobb o ldal?. 3. 8.19 . coS t 4x )


60/92

E :GV IENES UTAZ EGYEIEMIAE MATEMAT IKA V IL lAMTRIEN ING

3 9.:t H fu 1Yem az egyenlf sza:ru haromszog kernlete.ha ket old ala 2 0 em e s 50 emhosszu?3 9.4 . L egfeljebb m ekkora lehet ~ Ml 'Q IDSWg leghosszabb o"ldahkmk hoss.zu.saga, hao ld al ai e ge sz sz amok 68 k eru le te 4 ~ )i?

39.5. Mekkora a hfuomszngl.egh.osszahb oldalanak hosszusaga, ha oldalaiegeszszamok es k eru lete 10'?39',6. Egy haromszc g m agassagainak ho ssza 12 , ] 5 es 2 0 . M ekknra a terulete?

3 9'.7 . M ekknraateru lete a 13 , 14 es ]5 oldahi harornszognek?39 .S . A z A B C hiirom szQ g oldalai 5 , 12 as B eg yseg . A h arom szo g b elsejeb en M voD pont o ld al ak to l vaJ6 tivols.ig~ie, f es g. Mennyi az 5e- , -12f+ I3g kifejezeserteke?3 9.9 . E gy derekszogu harom szc g ket legnagyobb magassaga 2 4 es 2 5 . M ekkora a

terulete?3 9 ..H t E ~y ,egy,~uloszara de reks( :;ogo . h irolUSZQ g oldalairakifele negyzetetrajzo-l unk , Hanys zo ro sa a negyz et ekko ze p po nt je i altaI meghatarozott luimms:z;ijgteru lete az ered eti M l fN : tlszu g teruletenek?3 :9 .1 1. E g y d ere ksz og u heromszog minden oldalanak hossza egesz S M f i " I , melyekszorzata 60. M ekkora a.haromszog kerillete?39.n. Egy nem d:en:!kszogi:i harornszog minden oldalanak hossza egesz szam,m elyek szorzata 60 . Mekkora ah .i romsz 6g ke rn le te ?

39.11.Egy haromszo g k eru lete 4 8,. a beirhate kat sugars 4. Mekkora a terulete?3 9.:14 . E gy Mroms.z5g oldalainak aranya 5 : 12 :13 , bebt kij~inek sug:ara 12. Mek-kora


61/92

MATEMAl 'U


62/92

EGYENES ur A Z EGY IE iEMRE MATEMATI,KA VILLAMTRENING

IIIII

4 0.11. E gy konve x sok sz ognek pon to sa n h~lrom szoge tompaszdg Legfeljebbhanyo lda la l eh et ?40.12. Az obl ,ZOg szogei .nagysaganak az aranya; 4;5:6:7:8 .fI


63/92

MAJEM lAnKA V IU .. AMTREN ING EGYENES O r AZ EGYE rEMRE

4 .1 .1 . H a eg y 2 0 em M m . e l " o j u . pizza 4 em ber ooa.gja1 ~kk.oI eg y 1 :5 e m su garn p izzah.any embernek eleg?4 1 . '2 . H a t T y s z : a z S J . L 6 k k a : lv a l t o . z ]k e g y k o r t e r u le te , ha oldalait 2(J%~kal . e s : o k k e n t j i l i i k ?4 1 . .3 . H any szazal6k ka] v alto zik eg yld jtr termde~ .ha oldalait 2 0% -bl m egnovel-

j U k ?4 l.,4 . H anyszQ r nagyob'b a teruletea negyzet kl\re irt klimek. mint a beirt :kOmek?41.5. Hanyszor nagyobb a terulete aszabelyos haromsz cg kO l' ei rt kQ ' 111ek, mint abeirt k(:)mek?41.6. Harem k ! o t sug~lr


64/92

EGENES U 'T AZ EGYETEM 'RE . MATEMATIKA V I L L A M 1 1 R E N m N G

41.2:1.. Egy 4 egyse,_g oldalit n~gY,Zie!'behany darab 1 egyseg sugaru kort tudunkberaizolni ugy. hogy kozns natfirpolltju.k s e l egyen?41.22..Legfeljebbhany egysegsugaru kor fer lei egy 3 sugaru. kckbenugy, hogy akis ko roknek nem lehet kozi'is be ]s 6 pontjuk?4 1 .2 3 . L eg fe he bb lWny egysegsugaru kO T fer el egy :; oldelu negyzetben agy , ho gya k ij r6 lirn .ek n em lehe t k ij z:ij s. be ls d pon.tj'llk?4 1.2 4 . L egfeljebb hany egysegsugatu. kor fe r el e.gy 5 sugaru korbenugy, hogy akis korol:ne-k new . l ehet kijzfis h els a p ontiu k ?4 1.2 5 . L eg fe lje bb h an y e!gysegs.uganl kior fer el egy 6 o]da'lu negyzetben llgy, hogya korOImek nem lehet kozos bel:so pontjuk?

4 2 . .1 . 1 0 g en gs zte r egyszerre 10. Mindegyik a huzza legkozelebbi masik banditatcelozza meg (illetveaz egyik legkezelebbit), e s le is 10'111.L egfeljebb hany anmara dh atn ak ek :tb en ?

42 .:2 " 5 '0 gengszter e g y s z e r r e Hi Mindegyi k a hozza legkozelebbi n . 1 J a s 1 k banditatc eloz;za m eg ( illetv e az egyik legko zelebbit), es le is lo vi, Legfe~jebbhanyanmaradhatuak eletben?4 2 ,.3 . A 10 em oldalu A BC D negyzet A S oldalsra befele ulHwttuk. az A BE szaba-lyos hammszoget H6ny em a. CDE haromsz,C lg keru lirt korenek su gar a?

4 2.4 . A nagy nyom tsto tr abece I.tiny beuije k5zepP0'fiwsan szimm etriku s, de ten-gelyesen nem?4 2 ,.5 ., H :an y' em o ld alu u eg yze t fe r bele egy 1 meter oldalu sZ(lb


65/92

MAT!EMlAT lKA Vlu .AMTREN[ ING EGYENES ur A Z . EGYETEMIRE

42.10. E;gy egyenlo szan'i, trapez m agassaga ] O. Mekkora a terulete, haa,d6imer ti leges ek egymas ra ?42.1I. Egy negyzet "laku biliardasztal .A csucsabol ellekuuk egy bilierdgolyotaB e oldalt 2':3 aranyban 05zlo P p on t fe le , H a ny sz or v er od ik v is sz a a g olyomIg; e le r e.gy ma sik e su c so t?4 2 .1 2. E gy uegyzet t er u le tenek es keruletenek me.roszamaugyana.z. Mekkora ;]Z

oldala?U .JJ ..Egy szab alyo s h a~Q g terilJe.t.e 6. M e k ko ra :liZ u gy an ak ko ra k eru le til sz ab a-ly os h arom sz og te ru le te ?42 .1 .4 . E gy szimm etrik us trap ez ad6i merolegesek egymas.ra es I : 2 arany bano sztja k eg ym1 is t. A trap ez ro vid eb bik alapja 4 . Me kko ra a ho~sszabba lap ' ?42.15. Hany fokos szoget z a : r be egymassal egy paralelogramma hegyesszogenekes t omp as zoge ne k s 2 Jb gf elew je ?

42,.16. Hany olyan - nem haaonlo - rombuszletezik, amelynek 5z6gei fokokbanmerve ] ( ) t ij bb szo ri js ei ?41.17 . Hany olyan P pont van az A BC s Z ( J J b a J y o s har oms zo g s ik ja ba n, amelyekre a

P A B ~ PBC~ P C A harom szogek egyenlo szarua:k?4 2.18 ;, H

Matematika villamtrening

Documents

Transcript of Matematika villamtrening