matematikkejuruteraan4kertaspenerangan-111007081402-phpapp01.pdf
Transcript of matematikkejuruteraan4kertaspenerangan-111007081402-phpapp01.pdf
Cetakan Kedua Mac 2011
Institusi Latihan Jabatan Tenaga Manusia
http ://www.jtm.gov.my/kurikulum
Hak Cipta Terpelihara. Dokumen ini diklasifikasikan sebagai TERHAD. Tidak dibenarkan
mengeluar mana-mana bahagian dalam kandungan Bahan Pembelajaran Bertulis (WIM)
dalam apa jua bentuk tanpa keizinan daripada Jabatan Tenaga Manusia (JTM).
Bahan Pembelajaran SEMESTER EMPAT ini dibangunkan bagi kursus sepenuh masa di
Institusi Latihan Jabatan Tenaga Manusia (ILJTM) oleh Ahli Jawatankuasa
Pembangunan WIM dan disemak serta diluluskan oleh Jawatankuasa Pemandu
Kurikulum untuk tujuan gunapakai bagi semua ILJTM yang terlibat.
Kod Pengesahan WIM : WIM/MK 4011/12011/S04/P1
Kod Pengesahan Silibus : SFB/MK 4011/12009/P1
Tarikh Pengesahan WIM : 11 Mac 2011
KANDUNGAN SENARAI AHLI JAWATANKUASA PEMBANGUNAN WIM ................................................ i SENARAI SINGKATAN ..................................................................................................... ii KERTAS PENERANGAN MODUL ....................................................................................1
MK 4011 MATEMATIK KEJURUTERAAN 4 ..............................................................1 GROUP CLUSTERING MODULE 1 ..............................................................................2
LE1 PEMBEZAAN 3 LE2 PENGAMIRAN 13 LE3 MATRIKS 30
i
SENARAI AHLI JAWATANKUASA PEMBANGUNAN WIM
SUBJEK UMUM – MATEMATIK KEJURUTERAAN 4
Ahli Jawatankuasa :
1. Pn Ainin Nisak bt Ahmad Asnawi (Pengerusi Kluster Subjek Umum)
ADTEC Shah Alam
2. En Ismail bin Sukeeman (Penolong Pengerusi Kluster Subjek Umum)
ADTEC Melaka
3. En Chong Kok Ming ILP Bukit Katil
4. En Mohd Zainol Ami Bin Rohibon ADTEC Batu Pahat
5. En Ahmad Fadli Bin Sulaiman ILP Kuantan
Urusetia :
1. Pn. Norpisah binti Jumin BKT, Ibu Pejabat
2. En. Ismail Bin Mat Taha BKT, Ibu Pejabat
Tarikh dibangunkan : 6 Julai – 9 Julai 2010 Tempat : ADTEC Taiping
ii
SENARAI SINGKATAN
IS INFORMATION SHEET
WS WORK SHEET
AS ASSIGNMENT SHEET
KOD KURSUS
SEMESTER
NO. MODUL
KREDIT
NO. LE
JENIS WIM
MK 4 01 1-LE1-IS
MK 4011-LE1-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 2
GROUP CLUSTERING MODULE 1 MK 4011-LE1 PEMBEZAAN
1.1 Asas Pembezaan.
1.2 Pembezaan Peringkat Pertama Bagi Hasil Tambah.
MK 4011-LE2 PENGAMIRAN
2.1 Pengamiran Tak Tentu.
2.2 Pengamiran Tentu.
MK 4011-LE3 MATRIKS
3.1 Pengenalan Matriks
3.2 Algebra Matriks
3.3 Songsangan Matriks
MK 4011-LE1-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 3
INSTITUSI LATIHAN JABATAN TENAGA MANUSIA
KEMENTERIAN SUMBER MANUSIA MALAYSIA
KERTAS PENERANGAN NAMA KLUSTER SUBJEK UMUM - MATEMATIK KEJURUTERAAN 4
KOD DAN NAMA MODUL MK 4011 MATEMATIK KEJURUTERAAN 4
PENGALAMAN PEMBELAJARAN LE1 PEMBEZAAN
NO. TUGASAN BERKAITAN
1.1 ASAS PEMBEZAAN 1.2 PEMBEZAAN PERINGKAT PERTAMA BAGI HASIL TAMBAH
OBJEKTIF PRESTASI AKHIRAN (TPO)
KENALPASTI PERMASALAHAN MATEMATIK KEJURUTERAAN DENGAN MENGGUNAKAN KAEDAH PEMBEZAAN SUPAYA PELAJAR BOLEH :
1. DAPAT MENYELESAIKAN MASALAH MATEMATIK YANG BERKAITAN DENGAN BETUL. 2. DAPAT MEMBANTU PELAJAR SEMASA KEGUNAAN DI BENGKEL UNTUK SUBJEK TERAS.
OBJEKTIF MEMBOLEH (EO)
DIAKHIR PEMBELAJARAN PELAJAR MESTI BOLEH :- MENGETAHUI ISTILAH DAN KONSEP PEMBEZAAN SERTA BOLEH MENGAPLIKASIKANNYA DALAM SITUASI SEHARIAN.
MK 4011-LE1-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 4
1. PEMBEZAAN
TUJUAN:
Kertas penerangan ini adalah bertujuan untuk menerangkan mengenai konsep
pembezaan yang merangkumi asas pembezaan dan pembezaan peringkat
pertama bagi hasil tambah.
1.1 ASAS PEMBEZAAN
a) Jika ky , dan k ialah satu pemalar, maka 0dxdy .
Contoh 1
Bezakan yang berikut terhadap x :
i. 8y
ii. 32)( xf
iii. 19.0k
Penyelesaian
i. 8y
0dxdy
ii. 32)( xf
0)(' xf
iii. 19.0k
0dxdk
MK 4011-LE1-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 5
b) Jika nxy , maka 1 nnxdxdy .
Contoh 2
Bezakan yang berikut terhadap x :
i. 4xy
ii. 5 xy
iii. xy
iv. 2
1x
y
Penyelesaian
i. 4xy
144 xdxdy
34xdxdy
ii. 5 xy
155 xdxdy
65 xdxdy @ 6
5x
iii. xy
21
xy
1
21
21
xdxdy
21
21
xdxdy @
x21
MK 4011-LE1-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 6
iv. 2
1x
y
2 xy
122 xdxdy
32 xdxdy @ 3
2x
c) Jika naxy , maka 1 nanxdxdy .
Contoh 3
Bezakan yang berikut terhadap x :
i. 45xy
ii. 31
32
xy
iii. 252x
y
iv. 353
xy
Penyelesaian
i. 45xy
1445 xdxdy
320xdxdy
MK 4011-LE1-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 7
ii. 31
32
xy
1
31
31
32
x
dxdy
34
92
xdxdy
iii. 252x
y
2
52 xy
12252 x
dxdy
3
54 x
dxdy @ 35
4x
iv. 353
xy
31
5
3
xy
31
53
xy
1
31
31
53
x
dxdy
34
51
xdxdy
MK 4011-LE1-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 8
d) Jika maka , maka
Contoh 4
Bezakan yang berikut terhadap x :
i. 4523 xy
ii. 6345 xy
iii. 374
2
x
y
Penyelesaian
i. 4523 xy
25243 14 xdxdy
35224 xdxdy
ii. 6345 xy
33465 16 xdxdy
53490 xdxdy
iii. 374
2
x
y
3742 xy
47432 13 xdxdy
47424 xdxdy @
47424
x
MK 4011-LE1-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 9
1.2 PEMBEZAAN PERINGKAT PERTAMA BAGI HASIL TAMBAH
Pertimbangkan dua fungsi dalam x , iaitu xp dan xq , dan katakan
xqxpxf . Maka, )]([)]([)]([ xqdxdxp
dxdxf
dxd
.
Contoh 5
Bezakan yang berikut terhadap x :
i. 754 3 xxy
ii. 9131 4
2 xxx
y
iii.
iv.
v.
Penyelesaian
i. 754 3 xxy
0534 13 xdxdy
512 2 xdxdy
ii. 9131 4
2 xxx
y
913 2
142 xxx
0)21(43)2(
121
1412 xxx
dxdy
21
33
21122
xxx
MK 4011-LE1-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 11
SOALAN : 1. Bezakan terhadap x :
a) -8
b) x74
c) x
4
d) 5x
e) 63x
f) 4
61 x
g) 52
5
x
h) 376x
i) 4435 xxy
j) 6
1419 xy
k) 1723
5
xx
xy
l) )5( 3 xxy
m) 232 xy
n) 3754 xy
MK 4011-LE1-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 12
o) 323
4 69
xxy
p) 2
54
38
xxxy
q) x
xxy )5)(4(
RUJUKAN :
1. Matematik STPM (Tulen), Sukatan S & T, Pelangi, 1995. 2. Matematik Tambahan KBSM , Yee Cheng Teik Federal Publication 3. Matematik Tambahan tingkatan 4 & 5, Pelangi , Khoo Cheng 4. Matematik Tambahan , Sukses Lengkap Pustaka Delta Pelajaran Sdn Bhd 5. Matematik Asas Jilid 1 , UTM 6. Nota Panduan Politeknik
MK 4011-LE2-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 13
INSTITUSI LATIHAN JABATAN TENAGA MANUSIA
KEMENTERIAN SUMBER MANUSIA MALAYSIA
KERTAS PENERANGAN NAMA KLUSTER SUBJEK UMUM - MATEMATIK KEJURUTERAAN 4
KOD DAN NAMA MODUL MK 4011 MATEMATIK KEJURUTERAAN 4
PENGALAMAN PEMBELAJARAN LE2 PENGAMIRAN
NO. TUGASAN BERKAITAN
2.1 PENGAMIRAN TAK TENTU 2.2 PENGAMIRAN TENTU
OBJEKTIF PRESTASI AKHIRAN (TPO)
KENALPASTI PERMASALAHAN MATEMATIK KEJURUTERAAN DENGAN MENGGUNAKAN KAEDAH PENGAMIRAN SUPAYA PELAJAR BOLEH :
1. DAPAT MENYELESAIKAN MASALAH MATEMATIK YANG BERKAITAN DENGAN BETUL. 2. DAPAT MEMBANTU PELAJAR SEMASA KEGUNAAN DI BENGKEL UNTUK SUBJEK TERAS.
OBJEKTIF MEMBOLEH (EO)
DIAKHIR PEMBELAJARAN PELAJAR MESTI BOLEH :- MENGETAHUI ISTILAH DAN KONSEP PENGAMIRAN SERTA BOLEH MENGAPLIKASIKANNYA DALAM SITUASI SEHARIAN.
MK 4011-LE2-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 14
2. PENGAMIRAN
TUJUAN:
Kertas penerangan ini adalah bertujuan untuk menerangkan mengenai konsep
pengamiran yang merangkumi pengamiran tak tentu dan pengamiran tentu.
2.1 PENGAMIRAN TAK TENTU
a) Pengamiran suatu pemalar k terhadap x ialah
Contoh 1 Kamirkan setiap yang berikut terhadap x :
i. 9
ii. 21
Penyelesaian
i. cxdx 99
ii. cxdx 221
MK 4011-LE2-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 15
b) Pengamiran nax , di mana 1n , maka
Contoh 2 Kamirkan setiap yang berikut terhadap x :
i. 6x
ii. 43x
iii. 5
1x
iv. 423x
Penyelesaian
i. cxcxdxx
716
7166
ii. cxcxdxx
53
1433
5144
iii. cx
cxcxdxxdxx
4
4155
5 41
4151
iv. cx
cxcxdxxdxx
3
3144
4 21
323
1423
23
23
MK 4011-LE2-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 16
c) Pengamiran dengan kaedah penggantian
Di beri dxbaxy n)( dengan a, b dan n sebagai pemalar dan
1n .
Maka, .)( nbaxdxdy
Gantikan .baxu
Maka, nu
dxdy
dan adxdu
Dengan menggunakan rumus rantai, dxdu
dudy
dxdy
audxdudxdy
dudy
n
Kamirkan dudy
terhadap u,
.dua
uyn
Jadi, ,)( dua
udxbaxn
n dengan baxu
cnau n
)1(
1
Maka, cna
baxdxbaxn
n
1
1
MK 4011-LE2-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 17
Contoh 3
i. dxx 3)35(
ii. dxx 5)76(3
iii. dx
x 4)42(1
Penyelesaian
i. dxx 3)35(
Gantikan 35 xu
cx
cu
cu
duudxx
20)35(
20
1351
535
4
4
13
33
ii. dxx 5)76(3
Gantikan 76 xu
cx
cu
cu
duu
duudxx
1276
12
621
2
63)76(3
6
6
5
5
55
Kaedah Lain,
cx
cxdxx
20)35()13(5
)35()35(
4
133
Kaedah Lain,
cx
cxdxx
12)76(
)15(6)76(3)35(
6
153
MK 4011-LE2-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 18
iii. dx
x 4)42(1
Gantikan 42 xu
cx
cu
cu
duu
dxxdxx
3
3
3
4
44
)42(61
61
321
2
)42()42(
1
2.2 PENGAMIRAN TENTU
a) Jika xfxg
dxd
, Maka ba
b
axgxf agbg
Contoh 5
i.
1
1
2 )1( dxx
ii. 5
13 )1( dx
x
iii. 2
0
)46( dxx
iv. 4
1
)5)(1( dxxx
Kaedah Lain
cx
cx
cx
dxxdxx
3
3
14
44
)42(61
6)42(
)14(2)42(
)42()42(
1
MK 4011-LE2-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 19
Penyelesaian
i.
1
1
2 )1( dxx =1
1
12
12
xx
=
3)1()1(
3)1(1
33
= )34(
32
= 2
ii. 5
13 )1( dx
x=
5
1
3dxx
=5
1
13
13
x
= 5
1
2
2
x
=
2)1(
2)5( 22
=21
501
=
2512
iii. 2
0
)46( dxx =2
0
2
42
6
xx
= 202 43 xx
= )0(4)0(3)2(4)2(3 22
= 404
MK 4011-LE2-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 20
iv. 4
1
)5)(1( dxxx = 4
1
2 )56( dxxx
=4
1
23
533
xxx
=
)4(5)4(3
34 2
3
-
)1(5)1(3
31 2
3
=37
320
= 9
b) Halaju dan Pecutan
Halaju (v), ialah kadar perubahan jarak (s) dengan masa (t), iaitu
dtdsv
Pecutan (a) ialah kadar perubahan halaju (v) terhadap masa (t)
dtdva
Jika suatu zarah yang bergerak di sepanjang suatu garis lurus dari satu titik tetap O pada masa t saat ialah s meter dengan halaju dan pecutan zarah tersebut masing-masing ialah v 1ms dan a 2ms .
Maka hubungan antara halaju dan pecutan ialah:
dan
dan
MK 4011-LE2-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 21
Contoh 6
Satu objek dicampakkan ke bawah daripada sebuah helikopter pada masa sifar 0t . Objek itu mempunyai halaju tv 1013 1ms . Jika objek itu mencecah tanah selepas 10 saat, apakah jarak helikopter daripada tanah pada masa st 10 ?
Penyelesaian :
Selesaikan dengan menggunakan kaedah kamiran tentu. Had bagi t adalah daripada 0 hingga 10 saat. Oleh yang demikian, jarak helikopter daripada tanah
6300)10(5)10(13
51013
)1013(
2
10
0
2
10
0
tt
dtt
Dengan itu, ketinggian helikopter pada 10 saat ialah 630 meter.
c) LUAS DAN ISIPADU
Mencari luas rantau antara lengkung dengan paksi-x yang dibatasi oleh ax dan bx .
Catatan :
Maka Luas = dxxfb
a
a
b
y
xz0
xfy
0
y
x
Luas disebelah bawah paksi-x bernilai negatif
Luas disebelah atas paksi-x bernilai positif
MK 4011-LE2-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 22
Contoh 7
Cari luas rantau berlorek bagi setiap rajah berikut
Penyelesaian
i. Luas rantau berlorek = dxxxdxxx )4
0 24(
4
0 )4(
= 4
03
322
xx
= 3
6432
= 3
32 unit2
ii. Luas rantau berlorek = 5
1 )5)(1.( dxxx
= dxxx )56(5
1
2
= 5
1523
3
3
xxx
=
53
312575
3125
= 332
unit2
Maka, luas kawasan berlorek = = = unit²
i. y = x(4 – x) 0 4
y
x
ii. y y = (x-1)(x-5) 5 x 0 1 5
Nota : Luas yang bernilai negatif bermakna rantau itu terletak di bahagian bawah paksi-x. Nilainya perlu dijadikan positif dengan mengenakan modulas ke atas nilai yang diperolehi.
MK 4011-LE2-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 23
Mencari luas rantau antara lengkung dengan paksi-y yang dibatasi oleh ay dan by .
Maka, luas rantau yang berlorek adalah =
Contoh 8
Cari luas rantau yang berlorek bagi setiap rajah berikut
i)
Penyelesaian :
Luas rantau berlorek = dyydyx 2
1
22
1 4 =
2
1
3
12
y
=121
128
= 127 unit2
y
x 0
b
a
x = f(y)
y
x 0
2
1
MK 4011-LE2-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 24
ii)
Penyelesaian :
Luas rantau berlorek = 3
1
2 )54( dyyy
= 3
1
23
523
yyy
=
52
3115189
= 38
Maka, luas rantau berlorek = = unit²
33
1
0
y
x
Nota : Luas yang bernilai negatif bermakna rantau itu terletak di bahagian kiri paksi-y. Nilainya perlu dijadikan positif dengan mengenakan modulas ke atas nilai yang diperolehi
MK 4011-LE2-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 25
Mencari isipadu yang dijanakan apabila suatu rantau diputarkan 360 sekitar paksi x.
Maka isipadu janaan = a
0
2dxy
Contoh 9
Cari isipadu yang dijanakan apabila rantau berlorek berikut diputarkan
melalui 360 sekitar paksi-x.
Penyelesaian
Isipadu janaan = 2
0
2dxy
= 2
0 dx )x2(
= dx x 22
0
= 2
0
2
2x2
= )04(
= 4 unit3
y
0 x a
y
x 2 0
y2=2x
MK 4011-LE2-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 26
Mencari isipadu yang dijanakan apabila suatu rantau diputarkan 360 sekitar paksi y.
Maka isipadu janaan= a
dyx
0
2
Contoh 10
Cari isipadu yang dijanakan apabila rantau berlorek berikut diputarkan
360 sekitar paksi y.
Penyelesaian
Isipadu janaan =
2
0
2
0
2 dy4ydyx
= 2
0ydy
4
= 2
0
2
2y
4
=
02
24
2
= 2
unit3
.
y
x
y=4x2
0
2
y
a
x
X2
MK 4011-LE2-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 27
SOALAN :
2 3dt
3 x dx9
4 x dx 2
5 4 3x dx
6 52
4x
7 dx
x 2)74(1
8 dxx
x )2(
9 3
2
2 )12( dxxx
10
2
1
2 )4( dxxx
11 2
1
)46( dxxx
12
4
12)2(
1 dxx
13 Satu zarah, P, bergerak di sepanjang suatu lurus supaya sesarannya, s meter, dari satu titik tetap O atas garis ini diberi oleh 23 tts dengan t ialah masa dalam saat selepas melalui O . Cari
a) halaju P apabila t = 2,
b) nilai-nilai t apabila P berhenti untuk seketika,
c) pecutan P apabila t = 4.
MK 4011-LE2-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 28
14 Cari luas rantau berikut:
15 Cari isipadu yang terjana
.
x
y
2 0
y=2x(x-2)
y
x
y=6x2
0
3
MK 4011-LE2-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 29
RUJUKAN :
7. Matematik STPM (Tulen), Sukatan S & T, Pelangi, 1995. 8. Matematik Tambahan KBSM , Yee Cheng Teik Federal Publication 9. Matematik Tambahan tingkatan 4 & 5, Pelangi , Khoo Cheng 10. Matematik Tambahan , Sukses Lengkap Pustaka Delta Pelajaran Sdn Bhd 11. Matematik Asas Jilid 1 , UTM 12. Nota Panduan Politeknik
MK 4011-LE3-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 30
INSTITUSI LATIHAN JABATAN TENAGA MANUSIA
KEMENTERIAN SUMBER MANUSIA MALAYSIA
KERTAS PENERANGAN NAMA KLUSTER SUBJEK UMUM - MATEMATIK KEJURUTERAAN 4
KOD DAN NAMA MODUL MK 4011 MATEMATIK KEJURUTERAAN 4
PENGALAMAN PEMBELAJARAN LE3 MATRIKS
NO. TUGASAN BERKAITAN
3.1 PENGENALAN MATRIKS 3.2 ALGEBRA MATRIKS 3.3 SONGSANGAN MATRIKS
OBJEKTIF PRESTASI AKHIRAN (TPO)
KENALPASTI PERMASALAHAN MATEMATIK KEJURUTERAAN DENGAN MENGGUNAKAN KAEDAH MATRIKS SUPAYA PELAJAR BOLEH :
1. DAPAT MENYELESAIKAN MASALAH MATEMATIK YANG BERKAITAN DENGAN BETUL. 2. DAPAT MEMBANTU PELAJAR SEMASA KEGUNAAN DI BENGKEL UNTUK SUBJEK TERAS.
OBJEKTIF MEMBOLEH (EO)
DIAKHIR PEMBELAJARAN PELAJAR MESTI BOLEH :- MENGETAHUI DAN MEMAHAMI KONSEP MATRIKS SERTA BOLEH MENGAPLIKASIKANNYA DALAM SITUASI SEHARIAN.
MK 4011-LE3-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 31
3.0 MATRIKS
TUJUAN:
1) Takrifkan dan mengenal matriks, tatatanda matriks, peringkat matriks,
jenis-jenis matriks : matriks baris, matriks lajur, matriks sifar, matriks
segiempat sama, matriks pepenjuru, matriks identiti, matriks simetri,
matriks sama dan matriks transposisi .
2) Selesaikan masalah algebra matriks yang melibatkan operasi tambah,
tolak dan darab.
3) Selesaikan masalah songsangan matriks.
3.1 PENGENALAN MATRIKS
Matriks adalah nombor-nombor yang diatur dalam baris dan lajur untuk
membentuk susunan segiempat tepat. Biasanya dilambangkan dengan
huruf besar tebal atau huruf besar yang digariskan di bawah, misalnya A
atau A.
Peringkat Matriks
Suatu matriks A yang mempunyai m baris dan n lajur dikenal sebagai
matriks berperingkat m x n, contohnya matriks berikut :
Matriks diatas mempunyai 2 baris dan 3 lajur. Maka peringkat matriks ini
ialah 2 x 3.
Contoh:
Baris 1
Baris 2
Lajur 1 Lajur 2 Lajur 3
MK 4011-LE3-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 32
Berikan peringkat matriks di bawah:
047933663194
Penyelesaian: Matriks di atas mempunyai empat baris dan tiga lajur. Oleh itu peringkat matriks
adalah matriks 4 x 3.
Unsur Matriks Setiap nombor di dalam matriks itu dikenali sebagi unsur. Secara amnya, unsur-
unsur pada baris ke-i dan lajur ke-j bagi matriks A diwakili oleh aij.
A =
3.2 JENIS-JENIS MATRIKS
Matriks Baris - Matriks baris ialah matriks yang berperingkat 1 x n.
Berikut ialah beberapa contoh matriks baris bagi n yang berlainan:
Matriks Lajur - Matriks lajur ialah matriks yang berperingkat n × 1.
Unsur a i j Baris Lajur
MK 4011-LE3-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 33
Berikut ialah beberapa contoh matriks lajur bagi n yang berlainan:
Matriks Sifar, Om x n , adalah satu matriks yang semua unsurnya sifar.
Berikut ialah contoh-contoh matriks sifar bagi peringkat yang berlainan.
000000
32 xO ,
000000000
33 xO
Matriks Segiempat Sama ialah matriks yang berperingkat m x n dan m =
n, iaitu bilangan baris dan lajur yang sama
229450
x
33503471092
x
Matriks Identiti In, ialah matriks segiempat sama, yang mempunyai
unsur pepenjuru utamanya bersamaan dengan 1 manakala semua unsur
lainnya sifar, iaitu
,100010001
,1001
32
II
Matriks pepenjuru ialah matriks segiempat sama yang mempunyai
semua unsur di atas dan di bawah pepenjuru utamanya adalah sifar.
4433
22
1000030000200002
100010005
1002
xx
x
MK 4011-LE3-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 34
Matriks segitiga atas merupakan suatu matriks segiempat sama yang mempunyai unsur di bawah pepenjuru utamanya adalah sifar.
nn
n
n
n
xx
aaaaaaaaaa
0333
22322
1131211
3322 300
410213
1032
Matriks segitiga bawah merupakan suatu matriks segiempat sama yang mempunyai unsur di atas pepenjuru utamanya adalah sifar.
nnnnx
x
aaa
aaa
21
2221
11
3322 342
011003
1302
0
3.3 MATRIKS SAMA
Dua matriks A dan B ialah matriks sama jika kedua-dua matriks tersebut
mempunyai peringkat yang sama dan setiap unsur yang sepadan juga
adalah sama.
Jika matriks
dcba
A dan matriks
nmlk
B , maka matriks A
dan B adalah sama jika unsur mclbka ,, dan nd
Contoh : Tentukan samada matriks di bawah adalah sama:
i)
ii)
iii)
MK 4011-LE3-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 35
Penyelesaian:
i) Matriks A dan matriks B adalah sama kerana mempunyai peringkat
yang sama dan pasangan unsur yang sepadan juga adalah sama.
ii) Matriks C dan matriks D adalah sama kerana mempunyai peringkat
yang sama dan pasangan unsur yang sepadan juga adalah sama.
iii) Matriks E dan matriks F adalah BUKAN merupakan matriks sama
kerana peringkat kedua-dua matriks tidak sama.
3.4 MATRIKS TRANSPOSISI
Jika ditukar ganti baris dengan lajur matriks A yang berperingkat
m x n, kita mendapat satu matriks yang baru berperingkat n x m. Matriks
ini dinamakan matriks transposisi atau transposisi matriks asal dan ia
dilambangkan sebagai AT.
Jika A =
3231
2221
1211
aaaaaa
maka AT =
232221
131211
aaaaaa
Oleh itu, jika A =
106612
002 maka matriks tranposisi untuk A,
AT =
160010622
Perhatikan bahawa baris pertama menjadi lajur pertama, baris kedua menjadi
lajur kedua dan seterusnya.
MK 4011-LE3-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 36
Tranposisi bagi matriks transposisi memberi matriks asal A iaitu,
(AT)T = A
Sifat-sifat Matriks Transposisi
( AT )T = A
(kA)T = k ( AT)
( A + B )T = AT + BT
(AB)T = BTAT
3.5 ALGEBRA MATRIKS
3.5.1 Penambahan Matriks
Dua matriks, A dan B, hanya boleh ditambah jika kedua-dua matriks itu
mempunyai peringkat yang sama. Penambahan matriks akan
menghasilkan matriks lain yang juga berperingkat yang sama.
Katakan A = (aij) dan B = (bij) berperingkat sama, iaitu m x n.
Maka, A + B = (aij) + (bij) = (bij + aij), dan A + B juga berperingkat
m x n.
Contoh:
Katakan,
21122222
32,1
1,
1020
,10
21
DCBA
Dapatkan
i) A + B,
ii) B + C
iii) C + D
MK 4011-LE3-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 37
Penyelesaian :
i)
10
2010
21BA
1100
)2(201
0001
ii) Peringkat B ialah 2 X 2 dan peringkat C ialah 2 X 1. Kedua-dua
matriks tidak boleh ditambah kerana peringkat matriks tidak sama.
iii) Peringkat C ialah 2 X 1 dan peringkat D ialah 1 X 2. Kedua-dua
matriks tidak boleh ditambah kerana peringkat matriks tidak sama.
Nota : Dua matriks A = (aij)mxn dan B = (bij)mxn dikatakan sama jika aij = bij
bagi semua i =1, …, m, j =1, …, n
Sifat-sifat Penambahan Matriks Katakan A, B, C, O berperingkat sama. Maka,
A + B = B + A
A + (B + C ) = (A + B) + C
A + O = O + A = A
MK 4011-LE3-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 38
3.5.2 Penolakan Matriks
Dua matriks, A dan B, hanya boleh ditolak jika kedua-dua matriks itu
mempunyai peringkat yang sama. Penolakan matriks akan menghasilkan
matriks lain yang juga berperingkat yang sama.
Katakan A = (aij) dan B = (bij) berperingkat sama, iaitu m x n.
Maka, A-B = (aij) - (bij) = (bij - aij), dan A - B juga berperingkat m x n
Contoh: Diberi,
21122222
32,1
1,
1020
,10
21
DCBA
Dapatkan
i) A – B
ii) B – A
iii) C – D
Penyelesaian:
i)
10
2010
21BA
1100
)2(201
20
41
ii)
1021
1020
AB
)1(100
2210
2041
iii) Kedua-dua matriks tidak boleh ditolak kerana peringkat matriks
tidak sama.
MK 4011-LE3-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 39
Sifat-sifat Penolakan Matriks
A – B = B – A tetapi A – B = – (B – A)
A – (B + C) = A – B – C tetapi A – (B – C) = A – B +C
3.5.3 Pendaraban Matriks dengan Skalar
Pendaraban matrks dengan suatu skalar ialah pendaraban setiap unsur
dalam matriks dengan skalar tersebut.
Jika A =
dcba
dan k ialah skalar,
maka hasil darab kA = k
dcba
=
kdkckbka
Contoh :
Katakan, 432110
21
BdanA . Dapatkan
i) 3A
ii) B41
Penyelesaian :
i)
10
2133A
1303
2313
30
63
MK 4011-LE3-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 40
ii) 432141
41
B
4
413
412
411
41
1
43
21
41
Sifat-sifat Pendaraban Matriks dengan Skalar
Katalah A, B, O berperingkat m x n dan k, k1, k2 skalar.
k(A+B ) = kA + kB
(k1 + k2)A = k1A+ k2A
(k1k2)A = k1(k2 A)
1.A = A
0.A = O
MK 4011-LE3-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 41
3.5.4 Pendaraban Matriks dengan Matriks
Dua matriks hanya boleh didarabkan jika bilangan lajur matriks pertama
sama dengan bilangan baris matriks kedua.
Jika A ialah matriks m x n dan B adalah matriks p x q, maka hasil darab
AB hanya boleh dilakukan jika n = p dan peringkat matriks yang terhasil
adalah m x q.
Contoh :
A =
987654321
dan B =
321
,
Maka A x B = C
Peringkat matriks :
Kaedah mendarab 2 matriks
Jika A =
mnm
n
n
aa
aaaaaa
..........::::
::
1
22221
11211
dan B =
jkj
k
k
bb
bbbbbb
........::::
....
....
1
22221
11211
matriks m x n matriks j x k
3 x 3 3 x 1 3 x 1
=
MK 4011-LE3-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 42
dimana c11 = a11 x b11 + a12 x b21 + a13 x b31+ ……… + a1n x bj1
c12 = a11 x b12 + a12 x b22 + a13 x b32 + ……… + a1n x bj2
c21 = a21 x b11 + a22 x b21 + a23 x b31 + ……… + a2n x bj1
dan seterusnya sehingga
cmk = am1 x b1k + am2 x b2k + am3 x b3k + ……… + amn x bjk
Contoh : Dapatkan hasildarab matriks berikut:
i)
1002
2311
02
ii)
201
231612
iii)
121
312
iv)
213
1002
v)
02
3211
23
MK 4011-LE3-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 43
Penyelesaian :
i)
2612
04
)1(2)0(3)0(2)2(3)1)(1()0(1)0)(1()2(1
)1(0)0(2)0(0)2(2
1002
2311
02
ii)
3
14)2(2)0)(3()1(1)2)(6()0(1)1(2
201
231612
iii) 7)1)(3()2(1)1(21
21
312
iv)
213
1002
tidak boleh didarabkan kerana bilangan lajur matriks matriks pertama
berbeza dengan bilangan baris matriks kedua.
v)
426
)0)(3()2(2)0)(1()2(1
)0(2)2(3
02
3211
23
Sifat-sifat Pendaraban Matriks dengan Matriks
AB≠BA A(BC) = (AB)C
A(B+C) = AB + AC
(A + B)C = AC + BC
A × I = I × A, dengan A dan I berperingkat n × n
MK 4011-LE3-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 44
3.6 SONGSANGAN MATRIKS
Jika A, B adalah matriks segiempat sama dan I adalah matriks identiti
dengan keadaan AB = BA = I, maka A adalah songsangan kepada B dan
boleh ditulis sebagai B-1.
Walaubagaimanapun tidak semua matriks segiempat sama mempunyai
songsangan. Matriks yang nilai penentunya sifar tidak mempunyai
songsangan. Ia disebut Matriks Singular.
Songsangan matriks boleh diperolehi dengan rumus berikut :
Jika matriks
dcba
A maka
acbd
bcadA 11
Contoh :
Dapatkan songsangan bagi matriks
8521
Penyelesaian :
1528
)5)(2()8(11
8521 1
1528
1081
= 21
1528
MK 4011-LE3-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 45
SOALAN
1. Nyatakan peringkat setiap matriks yang berikut
i)
302
ii)
1028
973 iii)
181
21
41
iv)
134121
v) 5
2. Berikan definisi beserta contoh bagi setiap matriks yang berikut
i. Matriks sifar
ii. Matriks identiti
iii. Matriks pepenjuru
3. Selesaikan soalan dibawah
a) 424201
b)
2104
302
543
a) 112317
b)
7353
397915
2
e)
0204
3120
f)
0219
3122
4. Diberi matriks A
6543
dan B
64
yx
, dan matriks A = B dapatkan nilai bagi x
dan y.
MK 4011-LE3-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 46
5. Diberi
35
42A dan 383 B , dapatkan TA dan TB
6. Cari songsangan bagi matriks
9632