MATRIKS

Widita Kurniasari, SE, ME

Universitas Trunojoyo

Pengertian Matriks & Vektor

Matriks : kumpulan bilangan yang tersusun dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi panjang dan dibatasi oleh tanda kurung

Vektor : bentuk matriks khusus yang hanya mempunyai satu baris atau satu kolom

Penulisan Matriks

Penulisan Vektor

A =

a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

. . . . . . . . .am1 am2 … amn

Matriks ini terdiri atas m baris dan n kolom atau berorde m x n

Matriks yang jumlah baris = kolom disebut matriks bujur sangkar

a =

2 4 -5 Vektor baris

Vektor kolom

b =

2 4-5

JENIS-JENIS MATRIKS Matriks baris disebut juga vektor baris Matriks kolom disebut juga vektor kolom Matriks nol = semua elemennya adalah nol Transpose matriks : matriks yang diubah dengan

cara menukarkan elemen baris menjadi elemen kolom (AT)

Negatif suatu matriks = matriks yang semua elemennya dikalikan -1

A3x3 = 5 2 1-2 3 4 6 0 7

-5 -2 -1 2 -3 -4-6 0 -7

X -1 =

A3x3 = 5 2 1-2 3 4 6 0 7

5 -2 6 2 3 0 1 4 7

→ AT =

Matriks diagonal : matriks bujur sangkar yang semua elemennya nol, kecuali elemen diagonal

Matriks skalar : matriks diagonal yang semua elemen diagonalnya sama

Matriks satuan (identity matrix) : matriks diagonal yang semua elemen diagonalnya sama = 1.

A3x3 =3 0 00 5 00 0 7

A3x3 =7 0 00 7 00 0 7

1 0 00 1 00 0 1

I3x3 =

Matriks simetris : matriks bujur sangkar yang mempunyai sifat bahwa transpose-nya = matriks semula.

Matriks silang : matriks bujur sangkar yang mempunyai sifat bahwa transpose-nya = negatif matriks semula, yaitu AT = - A , sehingga elemen diagonalnya = 0

5 2 1 2 3 4 1 4 7

A 3x3 = → AT = A

A 3x3 = 0 2 -3 -2 0 6 3 -6 0

→ AT = - A

Matriks balikan (inverse matrix) : matriks yang apabila dikalikan dengan suatu matriks bujur sangkar menghasilkan sebuah matriks satuan.

A. A-1 = A-1.A = I

contoh :

-1/9 2/9 4/27 1/27

-1 6 4 3

A = A-1 =

A. A-1 = 1 0 0 1

= I

Tidak setiap matriks bujur sangkar mempunyai balikan (inverse)

Matriks ortogonal adalah matriks yang apabila dikalikan dengan matriks ubahannya menghasilkan matriks satuan, A.A’ = I

Matriks singular adalah matriks bujur sangkar yang determinannya sama dengan nol. Matriks singular tidak mempunyai balikan.

Matriks non singular adalah matriks bujur sangkar yang determinannya tidak nol. Matriks non singular mempunyai balikan (inverse)

OPERASI MATRIKS Operasi jumlah dan selisih dua matriks dapat

dilakukan kalau dua matriks itu berdimensi sama.

Perkalian dua matriks A dan B dapat dilakukan kalau banyaknya kolom matriks A = banyaknya baris matriks B. contoh: Amxn . Bnxp = Cmxp

A 3x3 = B = 8 3 4 2 6 5 1 9 0

5 2 1-2 3 4 1 -4 7

5 2 1-2 3 4 1 -4 7

13 5 5 0 9 9 2 5 7

8 3 4 2 6 5 1 9 0

A + B

=+ =

2 1 4 3 1 4

Diketahui :

A3x3 = 5 7 6-2 3 4 1 -4 7

B3x2 =

A3x3 x B3x2= 5 7 6-2 3 4 1 -4 7

2 1 4 5 1 3

x

= 5x2 + 7x4 + 6x1 5x1 + 7x5 + 6x3 -2x2 + 3x4 + 4x1 -2x1 + 3x5 + 4x3 1x2 + -4x4 + 7x1 1x1 + -4x5 +7x3

= 44 58 12 25 -7 2

Hasil kali adalah matriks berdimensi 3x2

Perkalian matriks tidak komutatif yaitu A x B ≠ B x A

Perkalian antara matriks A dengan inversnya berlaku komutatif A x A-1 = A-1 x A = I (matriks satuan)

Perpangkatan matriks An dimana n = 2, 3, 4, dst hanya dapat dilakukan kalau A adalah matriks bujur sangkar. Hasil dari perpangkatan ini tidak dapat dilakukan dengan memangkatkan tiap-tiap elemennya. Contoh :

A2 = A x A =

2 3 45 2 -16 1 3

2 3 45 2 -16 1 3

x =43 16

1714 18

1535 23

32

Keistimewaan operasi matriks : Kalau A adalah matriks bujur sangkar dan A’ adalah

transpose A maka :

A + A’ = matriks SIMETRIS

A – A’ = matriks SILANG Kalau A adalah sembarang matriks (tidak perlu

bujur sangkar) dan A’ adalah transpose A, maka :

A x A’ = matriks SIMETRIS Dalam perkalian matriks A x B bisa jadi hasilnya

adalah matriks NOL. Misalnya :

5 210 4

8 -6 4-20 15 -10

x = 0 0 0 0 0 0

Latihan

Dumairy hal. 305-309