mempelajari menentukan terdiri dari .172 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA • komposisi...

download mempelajari menentukan terdiri dari .172 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA • komposisi fungsi • domain fungsi • kodomain fungsi • range fungsi • fungsi injektif

of 25

  • date post

    03-Feb-2018
  • Category

    Documents

  • view

    230
  • download

    3

Embed Size (px)

Transcript of mempelajari menentukan terdiri dari .172 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA • komposisi...

  • Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA172

    komposisi fungsi domain fungsi kodomain fungsi range fungsi fungsi injektif fungsi surjektif fungsi bijektif fungsi genap fungsi ganjil fungsi invers

    Komposisi fungsidan invers fungsi

    Fungsikomposisi Fungsi invers

    Syarat danaturan fungsiyang dapat

    dikomposisikan

    Nilai fungsikomposisi danpembentuknya

    Syarat agarsuatu fungsimempunyai

    invers

    Sifat-sifatfungsi invers

    mempelajari

    menentukan terdiri dari

    Fungsi komposisidari beberapa

    fungsi

    Sifat-sifatkomposisi

    fungsi

    Grafik fungsiinvers

    Fungsi inversdari suatu

    fungsi

  • 173Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi

    A Relasi dan Fungsi

    1. Relasi

    Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunanlain. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawananatau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B.

    Jika diketahui himpunan A = {0, 1, 2, 5}; B = {1, 2, 3, 4, 6}, maka relasi satukurangnya dari himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam diagram panah,diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan rumus.a. Diagram panah

    b. Diagram Cartesius

    c. Himpunan pasangan berurutanR = {(0, 1), (1, 2), (2, 3), (5, 6)}

    d. Dengan rumusf(x) = x + 1, di mana x {0, 1, 2, 5} dan f(x) {1, 2, 3, 4, 6}

    2. Fungsi

    a. Pengertian Fungsi

    0 1 2 5

    1 2 3 4 6

    A B

    (0, 1)

    2

    3

    6

    0 1 2 3 4 5 A

    B (5, 6)

    (2, 3)

    (1, 2)

    Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan Bdisebut fungsi dari A ke B jika setiap anggotaA dipasangkan dengan tepat satu anggota B.

    A B f

    f(x) X

    C >x

  • Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA174

    Jika f adalah suatu fungsi dari A ke B, maka:- himpunan A disebut domain (daerah asal),- himpunan B disebut kodomain (daerah kawan) dan himpunan anggota B yang

    pasangan (himpunan C) disebut range (hasil) fungsi f.Aturan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggotahimpunan B disebut aturan fungsi f.Misal diketahui fungsi-fungsi:f : A B ditentukan dengan notasi f(x)g : C D ditentukan dengan notasi g(x)Untuk lebih memahami tentang fungsi, pelajarilah contoh soal berikut.

    Contoh soalDiketahui A = {1, 2, 3, 4} dan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Suatu fungsi f : A B ditentukanoleh f(x) = 2x 1.1. Gambarlah fungsi f dengan diagram panah.2. Tentukan range fungsi f.3. Gambarlah grafik fungsi f.Penyelesaiana.

    b. Dari diagram di atas, terlihat bahwa:f(x) = 2x 1 f(3) = 2 3 1 = 5f(1) = 2 1 1 = 1 f(4) = 2 4 1 = 7f(2) = 2 2 1 = 3Jadi, range fungsi f adalah {1, 3, 5, 7}.

    c. Grafik fungsi

    1 2 3 4 5 6 7 8

    A

    B f

    1 2 3 4

    1

    2

    3

    4

    0 1 2 3 4 x

    f(x)

    5

    6

    7

    8

  • 175Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi

    b. Macam-Macam Fungsi

    1) Fungsi konstan (fungsi tetap)

    Suatu fungsi f : A B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstanapabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, di mana Cbilangan konstan. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini.

    Contoh soalDiketahui f : R R dengan rumus f(x) = 3 dengan daerah domain: {x | 3 x < 2}.Tentukan gambar grafiknya.Penyelesaian

    x 3 2 1 0 1 f(x) 3 3 3 3 3

    Grafik:

    2) Fungsi linear

    Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan olehf(x) = ax + b, di mana a 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupagaris lurus.Pelajarilah contoh soal berikut ini agar kamu lebih jelas memahami fungsi linear.Contoh soalJika diketahui f(x) = 2x + 3, gambarlah grafiknya.Penyelesaian

    Grafik:

    3) Fungsi kuadrat

    Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan olehf(x) = ax2 + bx + c, di mana a 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dangrafiknya berupa parabola.

    3

    3 2 1 0 1

    f(x) = 3 Y

    X

    321

    2x + 3 x 0 1 2

    1

    f(x) 3 0

    3

    1 21 0

    f(x) = 2x + 3 Y

    X

  • Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA176

    Perhatikan contoh soal berikut ini untuk lebih memahami tentang fungsikuadrat.

    Contoh soalPerhatikan gambar di bawah ini, fungsi f ditentukan oleh f(x) = x2 + 2x 3.

    Tentukanlah:a. Domain fungsi f.b. Nilai minimum fungsi f.c. Nilai maksimum fungsi f.d. Range fungsi f.e. Pembuat nol fungsi f.f. Koordinat titik balik minimum.

    Penyelesaiana. Domain fungsi f adalah {x | 4 x < 2}.b. Nilai minimum fungsi f adalah 4.c. Nilai maksimum fungsi f adalah 5.d. Range fungsi f adalah {y | 4 y 5}.e. Pembuat nol fungsi f adalah 3 dan 1.f. Koordinat titik balik minimum grafik fungsi f adalah (1, 4).

    Y

    X1 21

    34

    34

    5

    4) Fungsi identitas

    Suatu fungsi f(x) disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsiberlaku f(x) = x atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri.Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titikabsis maupun ordinatnya sama. Fungsi identitas ditentukan oleh f(x) = x. Agarkamu lebih memahami tentang fungsi identitas, pelajarilah contoh soal berikut ini.Contoh soalFungsi pada R didefinisikan sebagai f(x) = x untuk setiap x.a. Carilah f(2), f(0), f(1), f(3).b. Gambarlah grafiknya.

    Di kelas X kamu sudah mempelajari cara membuat grafik fungsi kuadraty = ax2 + bx + c, a 0. Caranya adalah sebagai berikut.a. Menentukan titik potong dengan sumbu X y = 0.b. Menentukan titik potong dengan sumbu Y x = 0.c. Menentukan persamaan sumbu simetri x = 2

    ba .

    d. Menentukan titik puncak ( ),2 4b Da a .

    Ingat!!

  • 177Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi

    Penyelesaiana. f(x) = x b. Grafiknya:

    f(2) = 2f(0) = 0f(1) = 1f(3) = 3

    5) Fungsi tangga (bertingkat)

    Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentukinterval-interval yang sejajar.Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.Contoh soal

    Diketahui fungsi:

    Tentukan interval dari:a. f(2) d. f(5)b. f(0) e. gambar grafiknya.c. f(3)Penyelesaiana. f(2) = 1 e. grafiknya:b. f(0) = 0c. f(3) = 2d. f(5) = 3

    6) Fungsi modulus

    Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakansetiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.f : x | x | atau f : x | ax + b |f(x) = | x | artinya:

    x, jika x 0| x |

    x, jika x < 0

    f(x) =

    1, jika x 1 0, jika 1 < x 2 2, jika 2 < x 4 3, jika x > 4

    Y

    X

    3

    12

    2

    1 3

    y = x

    1

    1

    3

    1 0 1

    Y

    X 1

    2 4

    2

    Y

    X

    y = xy = x

    0

  • Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA178

    7) Fungsi ganjil dan fungsi genap

    Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(x) = f(x) dan disebutfungsi genap apabila berlaku f(x) = f(x). Jika f(x) f(x) maka fungsi initidak genap dan tidak ganjil. Untuk memahami fungsi ganjil dan fungsi genap,perhatikan contoh soal berikut ini.Contoh soalTentukan fungsi f di bawah ini termasuk fungsi genap, fungsi ganjil, atau tidakgenap dan tidak ganjil.1. f(x) = 2x3 + x2. f(x) = 3 cos x 53. f(x) = x2 8xPenyelesaian1. f(x) = 2x3 + x

    f(x) = 2(x)3 + (x)= 2x3 x= (2x3 + x)= f(x)

    Jadi, fungsi f(x) merupakan fungsi ganjil.2. f(x) = 3 cos x 5

    f(x) = 3 cos (x) 5= 3 cos x 5

    Jadi, fungsi f(x) merupakan fungsi genap.3. f(x) = x2 8x

    f(x) = (x)2 8 (x) = x2 + 8x

    Fungsi f(x) f(x) dan f(x) f(x).Jadi, fungsi f(x) adalah tidak genap dan tidak ganjil.

    c. Sifat Fungsi

    1) Fungsi injektif (satu-satu)

    Jika fungsi f : A B, setiap b B hanya mempunyai satu kawan saja di A,maka fungsi itu disebut fungsi satu-satu atau injektif.

    a b

    c

    p

    q

    r

    A B

    >

    >

    >

    a b

    c

    p q r s

    A B

    >

    >> a

    b

    c

    p

    q

    A B

    >

    >

    >

    fungsi injektif fungsi injektif bukan fungsi injektif

  • 179Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi

    6.1

    2) Fungsi surjektif (onto)

    Pada fungsi f : A B, setiap b B mempunyai kawan di A, maka f disebutfungsi surjektif atau onto.

    3) Fungsi bijektif (korespondensi satu-satu)

    Suatu fungsi yang bersifat injektif sekaligus surjektif disebut fungsi bijektifatau korespondensi satu-satu.

    a b c d

    p

    q

    r

    A B

    a b c

    p q r s

    A B fungsi surjektif bukan fungsi surjektif

    a b c d

    p q r s

    A B

    a b c d

    p

    q

    r

    A B

    fungsi bijektif bukan fungsi bijektif

    Kerjakan soal-soal di bawah ini.

    1. Dari himpunan A dan B berikut, manakah yang merupakan fungsi? Sebutkanpula domain, kodomain, dan rumusnya.a. b. c.

    2. Gambarlah grafik dari: 0, jika 0 < x 1

    a. f(x) = 2, jika 1 < x 2 4, jika 2 < x 3

    0 1 2 3

    1 2 3 4

    A B

    1 0 1 2

    3

    A B

    >

    >

    2 1 0 1

    0 1 4 9

    A B

    >>>

  • Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA180

    Bila f dan g suatu fungsi, maka pada operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian,dan pembagian dapat dinyatakan sebagai berikut.

    1. Penjumlahan f dan g berlaku (f + g)(x) = f(x) + g(x)

    Perhatikan contoh soal berikut ini.Contoh soalDiketahui f(x) = x + 2 dan g(x) = x2 4. Tentukan (f + g)(x).Penyelesaian

    (f + g)(x) = f(x) + g(x)= x + 2 + x2 4= x2 + x 2

    2. Penguranga