Mochammad RAMELI

2

Mochammad RAMELI

Teknik Sistem Pengaturan

Jurusan Teknik Elektro FTI-ITS

Obyektif: state transition flow graph

� Mempelajari metoda “penentuan matrik transisi” dengan cara lebih mudah, dan secara naluri mampu menggambarkan dasar proses fisika dari persamaan vektor transisi.vektor transisi.

2

1. State transition flow graph� Penentuan state transition matrix untuk satu sistem

orde-tinggi memerlukan satu proses inversi matrikyang sangat melelahkan.

� Dikembangkan satu metoda penentuan matrik transisi� Dikembangkan satu metoda penentuan matrik transisidengan cara yang lebih mudah dan secara nalurimampu menggambarkan dasar fisika dari persamaanvektor transisi.

� Transition flow graph : Penentuan matrik transisi yang menggambarkan dasar fisika persamaan vektortransisi dengan cara yang lebih mudah.

3

∫ −+−=t

t

dttttt

0

)()()()()()( 00 ττττ rBφxφx

Persamaan transisi state fundamental untuk satu sistem linear-time-invariant :

Transformasi Laplace persamaan:

(2-1)

)(][)(][)(1

0

1 sstss BRAIxAIX −− −+−=

Transformasi Laplace persamaan:

Kunci utama penyelesaian adalah menentukan persamaan (2-2) secaralangsung dari signal flow graph, tanpa perlu melakukan inversi matrik.

(2-2)

4

Formula gain Mason’s signal flow graph

∑∆

∆==

k

kk

s

ssMsM

sX

sX

)(

)()()(

)(

)(

2

1(2-3)

dimana Mk = gain lintasan maju ke k

∆(s) = persamaan karakteristik atau determinan sistem,∆(s) = persamaan karakteristik atau determinan sistem,

∆k(s) = nilai dari ∆(s) untuk bagian graph yang tidak menyentuhlintasan maju ke k,

5

)(1010

2

1tf

MM

B

M

Kx

x

dt

d

+

−−=

x

[ ] [ ]TTdtdyyxx /21 ==x

)(1

0

32

10tf

dt

d

+

−−= x

x

K/M = 2, B/M = 3, dan 1/M = 1,

Contoh: sistem massa, pegas, dan peredam

(2-5)

(2-4)

Diagram aliran Sinyal untuk sistem massa dan pegas

-2

X2(s)-3

1 1/

s

1/

s

x1(t0)x2(t0)

s-1

X1(s)

f(s)

s-1

6

formula gain Mason:

0)2)(1(23)(

023

1)(

2

2

=++=++=∆

=

−−−=∆

sssss

sss

Evaluasi bagian pertama persamaan transisi Ф11(s), input x1(0),

txssX

)()(1)( 011

∆⋅= (2-7)

(2-6)

s

tx

s

ssX

)(

)(

)(1)( 011

1∆

∆⋅=

s

tx

ss

ssX

)(

)/2()/3(1

)/3(1)( 01

21++

+=

+=∆

ss

31)(

1

)()2)(1(

)3()( 011 tx

ss

ssX

++

+= (2-9)

(2-7)

(2-8)

7

Evaluasi bagian kedua dari baris pertama matrik Ф12(s), input x2(0),

s

tx

ss

s

s

tx

s

sssX

)(

)/2()/3(1

/1)(

)(

)()/1()( 02

2

022

1++

=∆

∆⋅=

)2)(1(

)()( 02

1++

=ss

txsX (2-10)

Evaluasi komponen Ф21(s), ditulis:

)()2)(1(

2)(

)/2()/3(1

/2)( 01

02

22 txsss

tx

ss

ssX

++

−=

++

−= (2-11)

8

Dengan mempertimbangkan pengaruh masukan R(s) pada X1(s), diperoleh

)2)(1(

)()(

)231()(

21

2

1++

=++

=−−

−

ss

sRsR

ss

ssX

Persamaan transisi total dalam variabel Laplace

2

)()2)(1(

1)(

)2)(1(

1)(

)2)(1(

3)( 02011

ss

sRss

txss

txss

ssX

−

+++

+++

++

+=

(2-12)

(2-13))()2)(1(

)()2)(1(

)()2)(1(

2)( 02012 sR

ss

stx

ss

stx

sssX

+++

+++

++

−= (2-13)

Persamaan transisi state (2-1), diperoleh dengan operasi transformasiinverse Laplace Persamaan (2-13), untukn t0 = 0:

( ) ( )

( ) ( )

++++−++−=

+++−+−=

−−−−−

−−−−−

)2)(1(

)()(2)(22)(

)2)(1(

)()()(2)(

1

02

2

01

2

2

1

02

2

01

2

1

ss

ssRLtxeetxeetx

ss

sRLtxeetxeetx

tttt

tttt

(2-14)

9

� Matrik transisi yang telah diperoleh adalah identik dengan Persamaan (1-50) yang diperoleh dengan proses inversi matrik.

� Keuntungan yang diperoleh dari penggunaan metoda graf aliran sinyaladalah tercakupnya pengaruh sinyal masukan.

� Satu keunggulan nyata disini adalah tidak perlu melakukan operasi integral

∫ −t

dt )()( τττ Brφ∫ −t

dt

0

)()( τττ Brφ

Dengan menggunakan metoda graf aliran sinyal, maka respon dapat diperolehlangsung akibat adanya sinyal masukan.

10

)(1

0

32

10

2

1

2

1tr

x

x

x

x

dt

d

+

−−=

Satu sistem dinamis dinyatakan dalam bentuk persamaan state:

dengan sinyal masukan satu unit step pada waktu t0 dan kondisi awal sama = 0.

Penyelesaian persoalan menggunakan Persamaan (2-14) langsung:

)(2)(1

100

0 11)/1()(

ttttst

eees

Ltx−−−−

−− +−=

++=

)(2)(1

2

1

00

0

)2)(1(

)/1()(

22)2)(1()(

ttttst

eess

essLtx

eess

Ltx

−−−−−

− −=

++

⋅=

+−=

++=

(2-15)

Bentuk penyelesaian (2-15) memiliki bentuk yang sama dengan penyelesaianbentuk integral.

Keunggulan utama metoda aliran sinyal adalah mendapatkan persamaantransisi state menjadi lebih mudah (tidak lebih sulit atau melelahkan) untukorde sistem yang makin tinggi.

11

Y(s)R(s)

)2)(1(

1

++ sss

Sistem orde-tiga untai-terbuka:

Persamaan diferensial sistem:

)(232

2

3

3

trdt

dy

dt

yd

dt

yd=++ (2-16)

Variabel state:[ ] [ ]yyyxxx

T&&&== 321x dt

dyy =&

�

Himpunan persamaan diferensial orde-satu model sistem:

rxxdt

dx

xdt

dx

xdt

dx

+−−=

=

=

32

3

3

2

2

1

32

(2-17)

12

Persamaan state dalam bentuk matrik:

)(

1

0

0

320

100

010

trdt

d

+

−−

= xx

Graf aliran sinyal sistem orde-tiga untai-terbuka.:

(2-18)

s

tx )( 03

s

tx )( 02

s

tx )( 01

1

– 3 – 2

111s-1 s-1s-1

x1(s)x2(s)x3(s)

R(s)

s s s

Persamaan karakteristik sistem:

0)2)(1(23231)(221 =++=++=++=∆ −−

sssssss

13

Persamaan X1(s) dengan formula gain Mason:

)(

)(

)(

)()(

)(

)()(

)(

)()()(

3

303

3

202

2

011

1

1s

sRs

s

stxs

s

stxs

s

txsssX

∆+

∆

∆+

∆

∆+

∆

∆=

−−−−

1)(

31)(

231)()(

1

1

2

21

1

=∆

+=∆

++=∆=∆−

−−

s

ss

ssssdengan

(2-19)

)23(

)(

)23(

)(

)23(

)()3()()(

22

03

2

0201

1++

+++

+++

++=

sss

sR

sss

tx

sss

txs

s

txsX (2-20)

14

Persamaan transisi state:

+

−

+

+

= −−

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)()(

20

)(

1

)(

30

)(

1

)(

31

)(11

sq

ssR

sq

sR

ssq

sR

Lt

sq

s

sq

s

sqsq

s

ssqssq

s

s

Lt xx (2-21)

23)(2 ++= sssq�

Transformasi Laplace invers untuk satu sinyal step dengan magnitude r(t ), Transformasi Laplace invers untuk satu sinyal step dengan magnitude r(t0),

)(

2420

202

1)(

2

1

2

12)(

2

3)(

)( 0

22

22

22

t

eeee

eeee

eeTueeTuTu

tTTTT

TTTT

TTTT

xx

+−−

−−

+−+−

=−−−−

−−−−

−−−−

)(2

1)(

2

1

22

1

2

1)(

4

3

0

2

2

2

tr

ee

eeTu

eeTTu

TT

TT

TT

−

+−

+−+−

+

−−

−−

−−

dimana T = t – t0 untuk mempermudah notasi.

(2-22)

15

1

– 1 – 3 – 2

111s-1 s-1s-1

x1(s)x2(s)x3(s)

R(s)

s

tx )( 03

s

tx )( 02

s

tx )( 01

Graf aliran sinyal sistem orde-tiga untai tertutup:

Persamaan diferensial matrik sistem:

0010

Determinan /persamaan-karakteristik sistem:

0)34,2)(55,034,0)(55,034,0()(

123231)(23321

=+−+++=∆

+++=+++=∆ −−−

sjsjss

sssssss

memiliki orde-tiga dibanding persamaan karakteristik sistem untai-terbukayang memiliki orde-dua.

(2-24)

)(

1

0

0

321

100

010

trdt

d

+

−−−

= xx

(2-23)

16

)(

)(

123

)(

)(

)()( 01

23

0101

3

21sp

tx

sss

tx

s

txss

−=

+++

−=

∆

−=

−

φ

)(

)(

)(

)()( 0101

2

31sp

tsx

s

txss

−=

∆

−=

−

φ

Elemen transisi:

Persamaan transisi state:

+ )(131 sRs

+

−−

+−= −−

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)()(

2

)(

)()(

)3(

)(

1

)()(

)(

2

1

0

2

1

sp

sRs

sp

ssR

sp

Lt

sp

s

sp

s

sp

s

sp

s

sp

ss

sp

spsps

Lt xx

Penentuan persamaan transisi state adalah tidak lebih sulit untuk satusistem untai-tertutup dibanding untuk satu sistem untai-terbuka. Evaluasi transformasi Laplace invers dari Persamaan (2-25) dapatdilakukan secara langsung mengikuti Persamaan (2-22) untuk sistemuntai-terbuka.

(2-25)

17

Satu sistem untai-terbuka dengan fungsi penghantar:

∏∏

+

+=

j j

N

i i

pss

zsKsG

)(

)()(

)2)(1(

)3()(

)(

)(

++

+==

sss

ssG

sR

sY�

Zero pada numerator memerlukan satu tambahan node pada graf aliran sinyal .

Persamaan (2-26) dapat ditulis kembali sebagai:

(2-26)

)()3()( sXssY +=

)()2)(1(

)()3(

)(

)(

sXsss

sXs

sR

sY

++

+=

Menyusun satu fungsi penghantar baru dengan mengambil komponen denominator,

)2)(1(

1

)(

)(

++=

ssssR

sX

Bagian numerator ditulis:

)(3)()(3)()()3()( 12 sXsXsXssXsXssY +=+=+= (2-29)

(2-27)

(2-28)

18

Keluaran Y(s) tidak sama dengan variabel state X1(s), tetapi merupakanperjumlahan dari dua variabel state.Keluaran y(t) dalam bentuk matrik:

[ ] )()(3)(13)(21

txtxtty +== x

Persamaan matrik keluaran: )()( tt Cxy =

dimana C adalah satu matrik m x n, dan c adalah satu vektor kolom m elemen.dimana C adalah satu matrik m x n, dan c adalah satu vektor kolom m elemen.

s-1s-1s-1

– 31– 2

1 3

s-1 s-1 s-1

x3(s) x2(s) x1(s)

Y(s)

x2(t0) x1(t0)x3(t0)

Graf aliran sinyal satu sistem untai-terbuka dengan satu zero:

19

2. Linierisasi Sistem NonlinierPers. diferensial vektor sistem linier:

BrAxx

+=dt

d

Pers. diferensial sistem nonlinier:

BrxFx

+= ),( tdt

d

menunjukkan fungsi x dan t. ),( txF

(2-33)(2-32)

20

menunjukkan fungsi x dan t.

Kasus nonlinier yang lebih umum,

),,( tdt

drxF

x=

),( txF

Pendekatan linierisasi persamaan sistem dengan sinyal kecil sering dipakai, dengan meninjau disekitar titik keseimbangan operasi.

(2-34)

Pada kasus persoalan servomekanika, regulasi, dan pengaturan, diinginkanbahwa satu titik keseimbangan xe adalah sama dengan posisi referensi ataubesaran yang dikehendaki; sehingga ditulis xe = r.

Bila r = 0, maka diperoleh:

0xFrxF =− )0,(),(

dimana 0 adalah vektor nol yang memiliki elemen semuanya bernilai nol.

21

Linierisasi persamaan sistem dilakukan dengan ekspansi deret Taylor disekitar titik keseimbangan (xe, re).Posisi keseimbangan ditentukan dari hubungan persamaan:

0rxrxF == ),(),( eeiee f

Variasi kecil disekitar titik keseimbangan didefinisikan:

exxx −=*errr −=*

masing-masing sama dengan variasi dari vektor state dan vektor masukan.

Persamaanan deret Taylor:

),(),(**

*

rxgrxFBrAxx

+++= eedt

d

dimana A adalah satu matrik n x n dengan elemen-elemen,

ee rrxxj

i

ijx

fa

==∂

∂=

,

),( rx

(2-37)

22

ee

dan B adalah satu matrik n x m yang memiliki elemen-elemen,

ee rrxxk

i

ikr

fb

==∂

∂=

,

),( rx

Komponen g(x, r) berisi turunan kedua dan lebih tinggi dari x dan r.

disebut matrik Jacobian F terhadap x.

disebut matrik Jacobian F terhadap r.

ji xf ∂∂ /Elemen-elemen

Elemen-elemen ki rf ∂∂ /

Bila variasi dari keseimbangan adalah cukup kecil, maka komponen orde-tinggi dari g(x, r) dapat diabaikan, dan diperoleh persamaan matrik:

***

BrAxx

+=dt

d

Satu bentuk persamaan yang identik dengan Persamaan (2-32) menyajikansatu sistem linier.

(2-38)

Akurasi dari penyelesaian respon sistem yang diperoleh denganmenggunakan Persamaan (2-38) adalah satu fungsi dengan akurasi yang

23

menggunakan Persamaan (2-38) adalah satu fungsi dengan akurasi yang diasumsikan adanya variasi kecil x dan r, dan efek nolinieritas kecil.

Metoda linierisasi demikian dengan menggunakan matrik Jacobian adalahsangat bermanfaat untuk sistem yang memiliki nonlinieritas, seperti gain saturation dan backlash roda-gigi. Bila elemen nonlinier menghasilkan efeksinyal nonlinier besar, seperti relai kontrol on-off, maka untuk linierisasiharus menggunakan metoda analisa yang lain.

3. Transformasi Linier Vektor State

Penyelesaian persamaan diferensial akan lebih efektif bila variabel yang diinginkan dirubah ke dalam bentuk sistem koordinat lain.Perubahan variabel ini sering memperjelas penyelesaian sistem.Persamaan diferensial vektor sistem berikut:

)(tdx

24

)()()(

ttdt

tdBrAx

x+=

Satu perubahan sistem koordinat dari variabel fasa x ke satu himpunan variabelstate yang baru y, dapat membantu dan mempermudah penyelesaian.

(2-39)

Transformasi invers untuk mendapatkan y

)()(1

tt xTy −=

yang menunjukkan fakta bahwa variabel baru y adalah kombinasi linier dari

Satu transformasi matrik linier: )()( tt Tyx =

dimana matrik transformasi T merubah variabel state x menjadi variabel state y.

(2-40)

(2-41)

25

yang menunjukkan fakta bahwa variabel baru y adalah kombinasi linier darivariabel state asal x.

Contoh, secara umum y1 ditulis nn xtxtxty1

12

1

121

1

111

−−− +⋅⋅⋅++=

1−ijt adalah sama dengan elemen ke ij dari matrik T invers.

(2-42)

Turunan dari Persamaan (2-40),

dt

td

dt

td )()( yT

x=

Substitusi Persamaan (2-42) dan (2-40) ke dalam persamaan diferensial vektorsemula (2-39), diperoleh

)()()(

ttdt

tdBrATy

yT +=

Premultiplikasi dengan T-1, diperoleh

)()()( 11

ttdt

tdBrTATyT

y −− +=

(2-43)

(2-44)

26

dt

Karena persamaan diferensial ini menyatakan sistem yang sama seperti padaPersamaan (2-39), maka persamaan karakteristik-nya juga harus sama.

Determinan Persamaan (2-44) berikut:

TIATTIATIATT λλλ −=−=− −−− 111det)(detdet

0IAIATT =−=−− λλ detdet1

Terbukti, bahwa akar-akar persamaan karakteristik dan vektor-vektorkarakteristik persamaan diferensial asal adalah identik dengan persamaandiferensial transformasi.

(2-45)

Salah satu ruang vektor yang sangat berguna dan memiliki bentuk sederhanaadalah matrik yang hanya berisi elemen-elemen diagonal.Ruang demikian dikenal sebagai ruang koordinat normal, dan T disebut sebagaitransformasi normal atau transformasi diagonal.Matrik diagonal disebut sebagai matrik Jordan dan ditulis sebagai:

ATT 1−

ATTΛ1−=

Persamaan diferensial sistem dinyatakan dalam y:

(2-46)

27

Persamaan diferensial sistem dinyatakan dalam y:

)()()( 1

ttdt

tdBrTΛy

y −+=

Formulasi matrik Jordan memiliki keunggulan karena menunjukkan sifattidak adanya kopling, atau terpisahnya respon dari masing-masing vektorkarakteristik.

(2-47)

Untuk kasus: sistem memiliki akar-akar riel berbeda, maka matrik Jordan memiliki bentuk:

⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

=

nλ

λ

λ

λ

0000

000

000

000

3

2

1

Λ

28

dimana λ1, λ2, ..., λn adalah akar-akar persamaan sistem orde-n.

Contoh untuk mengggambarkan konsep transformasi diagonal - uncouplingdari satu Sistem orde-dua dengan diagram blok dan graf aliran sinyal:

–

2

–

3

1 s-1 s-1

x2(s)

R(s)Y(s)R(s)

x1(s)

)2)(1(

1

++ ss

29

Persamaan diferensial yang menggambarkan satu dinamika sistem:

)(23 1

1

2

1

2

trxdt

dx

dt

xd=++

Persamaan (2-48) adalah identik dengan sistem yang dibentuk dari pegas, massa, dan peredam

(2-48)

Vektor state sistem semula: { }Txxt 21 ,)( =x

dan dikehendaki men-transformasi kedalam bentuk vektor yang lain,

)()(1

tt xTy −=

Metoda sederhana untuk melakukan transformasi matrik adalah menggunakansatu ekspansi pecahan parsial.

(2-49)

30

Untuk X1(s), diperoleh)2(

)(

)1(

)(

)2)(1(

)()(1

+

−+

+=

++=

s

sR

s

sR

ss

sRsX (2-50)

Untuk X2(s), diperoleh)2(

)(2

)1(

)(

)2)(1(

)()(2

++

+

−=

++=

s

sR

s

sR

ss

ssRsX (2-51)

111 1

+2

1 –

1

–

y1(s)

x2(s)

y1(s)

x1(s) R(s)R(s)

)2(

)(

)1(

)(

)2)(1(

)()(1

+

−+

+=

++=

s

sR

s

sR

ss

sRsX

)2(

)(2

)1(

)(

)2)(1(

)()(2

++

+

−=

++=

s

sR

s

sR

ss

ssRsX

Graf aliran sinyal dari ekspansi pecahan parsial.

31

+2–

1y2(s) y2(s)

a) b)

Hubungan Y2(s) hanya tergantung pada akar s = -2; sehingga definisi Y(s) adalah

1

)()(1

+=

s

sRsY

2

)()(2

+=

s

sRsYdan (2-52)

Persamaan (2-52) memiliki bentuk persamaan diferensial:

)(1

1 trydt

dy=+ )(2

2

2 trydt

dy=+

ditulis dalam bentuk persamaan diferensial matrik,

)(1

1)(

20

01)(trt

dt

td

+

−

−= y

y

(2-53)

(2-54)

32

120dt −

BrTΛyy 1

)()( −+= t

dt

td

Elemen-elemen diagonal utama matrik Λ merupakan akar-akar karakteristiksistem.

Catatan: penyelesaian T pada Persamaan (2-46) diperoleh bila A dan Λ diketahui.

(2-55)

Penentuan T dari graf aliran sinyal,

111 1

+2

1 –

1

–

1

y1(s)

y2(s)

x2(s)

y2(s)

y1(s)

x1(s) R(s)R(s)

a) b)211 yyx −= 212 2yyx +−=

33

a) b)211 yyx −= 212 2yyx +−=

)(21

11)( tt yx

−

−=

−

−=

21

11T

=−

11

121

T

Matrik Jordan:

−

−=

−

−

−−

== −

20

01

21

11

32

10

11

121ATTΛ

yang identik dengan penyelesaian Persamaan (2-54).

(2-58)

(2-56) (2-57)

Transformasi diagonal untuk sistem yang memiliki akar riel berulang (kembar).

X1(s)R(s)

)2()1(

12 ++ ss

Sistem orde-tiga dengan akar riel kembar:

Persamaan keluaran X1(s)

)2()1(

)()(

21++

=ss

sRsX

34

)2()1()(

21++

=ss

sX

Penyajian bentuk satu pecahan parsial,

2

1

)1(

1

)1(

1

)(

)(2

1

++

+

−+

+=

ssssR

sX

2

2

)1(

2

)1(

1

)2()1()(

)(22

2

2

+

−+

++

+

−=

++=

sssss

s

sR

sX

2

4

)1(

3

)1(

1

)2()1()(

)(22

2

3

++

+

−+

+=

++=

sssss

s

sR

sX

Diagram aliran sinyal untuk state transformasi,

y2(s)

y1(s)

x2(s)

x1(s)

1

–

–

2

–

1

–

1

1

2

1

1

R(s)

1

)()( 2

1+

=s

sYsY

1

)()(2

+=

s

sRsY

2

)()(3

+=

s

sRsY

)(1

0

)(010

011)(

trttd

+

−

−

= yy

Persamaan diferensial vektor y:

35

y3(s)

x3(s)

–

3

4

1 )(

1

1)(

200

010 trtdt

+

−

−= y

Akar riel beerulang pada -1 memiliki efek pada matrik diagonal denganpenambahan satu nilai satu pada elemen posisi diatas akar berulang pada barispertama, dan menghapus nilai satu pada matrik fungsi pemicu pada baris yang sama dimana nilai satu ditambahkan pada matrik Λ.

=Λ

3

2

2

2

1

1

00000

00000

01000

00100

00000

00001

λ

λ

λ

λ

λ

λ

Matrik Λ memiliki bentuk:

maka dapat diketahui bila sistem memiliki dua akar riel berulang λ , dan

36

maka dapat diketahui bila sistem memiliki dua akar riel berulang λ1, dantiga akar riel berulang λ2.

+

–

x1(s)R(s)

Sistem dengan sepasang state yang memiliki akar-akar komplek berpasangan,dimana damping ratio ξ bernilai kurang dari satu.

( )n

n

ss ξω

ω

2

2

+

Persamaan diferensial vektor sistem:

37

Persamaan diferensial vektor sistem:

)(0

)(2

10)(22

trtdt

td

nnn

+

−−=

ωξωωx

x

Untuk sistem yang sederhana, dimana dan , 1=nω 0=ξ

)(1

0)(

01

10)(trt

dt

td

+

−= x

x

js

sRsY

+=

)()(1

js

sRsY

−=

)()(2

Persamaan diferensial transformasi

)(1

1)(

0

0)(trt

j

j

dt

td

+

+

−= y

y

38

Transformasi uncoupling untuk akar-akar komplek menghasilkan satumatrik diagonal dengan koefisien imajiner.

Pada kondisi normal, akar-akar komplek tidak terpisah secara lengkap, tetapi hanya terpisah sebagian, sehingga diperoleh hanya matrik denganelemen-elemen riel.

Pada kasus akar-akar komplek, dengan menggunakan satu transformasi akandiperoleh hanya sebagian state yang terpisah.Transformasi variabel state y adalah himpunan yang sama dengan satukombinasi linier dari variabel state asal x.

Persamaan (2-66) dapat ditulis X1(s) sebagai

))((

1

2

1

)(

)(222

1

βωξωβωξωωξωω nnnnnnnjsjssssR

sX

−+++=

++=

39

2/12)1( ξβ −=

Penguraian X1(s)/R(s) kedalam pecahan parsial,

11

11

2

1 ˆˆ

)(

)(VV

js

K

js

K

sR

sX

nnnnn

+=−+

+++

=βωξωβωξωω

βωnjK2

11 = =1K̂ konjugate K1

211 xxynω

ξ+= 22 xy

nω

β=

)(/0

/1)()(

1ttt

n

nxxTy

== −

ωβ

ωξ

−=

βω

ωξ

/0

/1

n

nT

211 yyxβ

ξ−=

22yx n

β

ω=

11 −− +=

40

)()()(11

trtt BTATyTy−− +=&

)(/

/)()( trtt

n

n

nn

nn

+

−−

−=

ωβ

ωξ

ξωβω

βωξωyy&

Pada kasus disini, variabel x dan y disamakan dengan kombinasi linier darimasing-masing yang lain seperti diperlihatkan pada Persamaan (2-72) dan (2-75) untuk y.Hal demikian dapat dideduksi dari fakta bahwa matrik T dan T-1 adalah matrikkoefisien konstan.