Modul Analisa Numerik

download Modul Analisa Numerik

of 66

Transcript of Modul Analisa Numerik

  • 1

    MODUL

    MATA KULIAH ANALISA NUMERIK

    Disusun Oleh:

    Candra Mecca Sufyana

  • 2

    Daftar Isi

    Kata Pengantar ............................................................................................................ 2 Daftar isi......................................................................................................... 3 Daftar Gambar.............................................................................................. 5 Daftar Tabel................................................................................................... 6 Deskripsi Mata Kuliah.... 7 Tujuan Mata Kuliah Umum....... 7 Tujuan Mata Kuliah Khusus..... 7

    BAB I PENDAHULUAN 1.1 Definisi analisa numerik..................................................... 8 1.2 Tahap penyelesaian secara numerik...................................... 10 1.3 Galat (Kesalahan).11

    BAB II SISTEM PERSAMAAN NON-LINEAR 2.1 Metode Tertutup

    2.1.1 Metode tabel.... 13 2.1.2 Metode grafik.. 15 2.1.3 Metode bisection..... 16 2.1.4 Metode regulasi falsi ...17

    2.2 Metode Terbuka 2.2.1 Metode iterasi.. 19 2.2.2 Metode Newton Rapshon... 20 2.2.3 Metode secant ..... 23

    BAB III INTERPOLASI 3.1 Interpolasi Linear .... 29 3.2 Interpolasi Kuadratik.. 30 3.3 Interpolasi Polinomial.. 31 3.4 Interpolasi Lagrange.. 32

    BAB IV INTEGRASI NUMERIK 4.1 Dasar pengintegralan numerik.... 35 4.2 Metode Reimann... 38 4.3 Metode Trapesium.. 39 4.4 Metode Simpson 1/3.. 40 4.5 Metode Simpson 3/8.... 42 4.6 Metode Integrasi Gauss.. 43 4.7 Penerapan Integrasi Numerik.... 44

  • 3

    BAB V PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN 5.1 Eliminasi Gauss .... 50 5.2 Eliminasi Gauss Jordan.. 56 5.3 Dekomposisi LU.. 58 5.4 Iterasi Gauss-Seidel.. 62

    DAFTAR PUSTAKA ................................................................................. 67

  • 4

    Daftar Gambar

    Gambar Nama gambar Halaman 1.1 Bagan Metode Analisa Numerik 8

    2.1 Grafik akar persamaan kuadrat 10 2.2 Metode Grafik 15 2.3 Bisection 16

    2.4 Daerah akar fungsi 17

    2.5 Regulasi Falsi 18

    2.6 Newton Rapshon 20

    2.7 Penyelesaian dengan Newton Rapshon 20

    2.8 Metode Secant 23

    2.9 Grafik fungsi metode secant 24

    2.10 Flowchart Metode Secant 25

    3.1 Grafik Interpolasi 28

    3.2 Interpolasi Linear 29

    3.3 Interpolasi kuadratik 30

    4.1 Dasar pengintegralan numeric 36

    4.2 Pendekatan solusi integrasi numeric 36

    4.3 Grafik Linear dan kuadratik 37

    4.4 Grafik kubik dan polinomial 37

    4.5 Grafik polynomial data 37

    4.6 Grafik luas dengan integral 38

    4.7 Metode Reimann 38

    4.8 Grafik Solusi reimann 39

    4.9 Metode Trapesium 40

    4.10 Metode Simpson 1/3 41

    4.11 Pembagian h metode simpson 1/3 42

    4.12 Metode Simpson 3/8 42

    5.1 Solusi sitem persamaan linear 48

    5.2 Flowchart system persamaan linear 55

  • 5

    Daftar Tabel

    Tabel Keterangan Halaman

    2.1 Metode tabel 14 2.2 Contoh metode tabel 15 2.3 Penentuan metode bisection 18 2.4 Iterasi 20 2.5 Iterasi Newton Rapshin 25 2.6 Perbandingan Metode system persamaan linear 26

  • 6

    A. Deskripsi Mata Kuliah

    Pada mata kuliah ini disajikan beberapa analisa numerik. Pertama-tama diberikan beberapa definisi, teorema yang berhubungan dengan analisa numerik, termasuk penyajian bilangan, galat dan beberapa konsep dasar yang terkait. Selanjutnya dibahas penyelesaian persamaaan non linear dengan menggunakan metode grafik, tabel, Bisection, Newton Raphson, Secant, dan Modifikasi metode Newton untuk Polinomial. Pembahasan Sistem Linear meliputi aljabar matriks, metode penyelesaian Sistem Linear dengan metode iterasi Jacobi, Gauss Seidel dan penyelesaian sistem linear tridiagonal. Sementara metode numerik untuk aljabar matriks dibahas mengenai menghitung determinan dan invers matriks. Untuk Interpolasi dibahas Interpolasi Polinomial yang meliputi Interpolasi Linear dan Kuadrat, Interpolasi Beda terbagi Newton, dan Interpolasi Lagrange, Integral numerik yang meliputi Konsep dasar Integral Numerik, Diantaranya Metode Reimann dan Trapezoid juga Metode Newton-Cotes termasuk Aturan Simpson 1/3 dan Aturan Simpson 3/8. Ditambah pengenalan tentang differensiasi numeric seperti konsep finite difference dan berbagai analisa numerik tersebut diaplikasikan dalam bahasa pemograman

    B. Tujuan Kompetensi Umum Setelah mengikuti mata kuliah ini, mahasiswa diharapkan dapat menggunakan dan menginterpretasikan beberapa analisa numerik beserta algoritmanya kepada berbagai masalah yang berhubungan dengan masalah numerik.

    C. Tujuan Kompetensi Khusus Menjelaskan penyajian bilangan, analisis kesalahan, pemilihan metode aritmetika

    dan konsep-konsep dasar yang berhubungan dengan metode numerik Menyelesaikan persamaan non linear dengan beberapa metode dan

    menginterpreasikan hasilnya beserta algoritmanya Menyelesaikan Sistem Linear dengan beberapa metode dan menginterpreasikan

    hasilnya beserta algoritmanya Menentukan determinan dan invers matriks dan menginterpretasikan hasilnya beserta

    algoritmanya Menentukan suatu interpolasi dari barisan data dengan beberapa metode dan

    menginterpreasikan hasilnya beserta algoritmanya Menghitung integral secara numerik dengan beberapa metode.

  • 7

    BAB I PENDAHULUAN

    A. Tujuan Kompetensi Khusus

    Mahasiswa dapat mengetahui dan memahami pengertian dan maksud pembelajaran analisa numerik dan mampu mengetahui perbedaanya dengan metode analitik dan metode empirik

    Menjelaskan penyajian bilangan, analisis kesalahan (galat), pemilihan metode aritmetika dan konsep-konsep dasar yang berhubungan dengan metode numeric

    B. Uraian Materi 1.1 Definisi Analisa Numerik Dalam metode penyelesaian permasalahan di berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, matematika atau ekonomi, atau pada persoalan di bidang rekayasa (engineering), seperti Teknik Sipil, Teknik Mesin, Elektro, dan sebagainya, diantaranya pada umumnya harus diformulasikan dalam notasi matematika sebelum dianalisa secara kualitatif baik secara analitik (secara eksakta) ataupun secara numerik, walaupun ada beberapa pula yang menggunakan metode penyelesaian secara empiris (melalui percobaan).

    Gambar 1.1. Bagan Metode Penyelesaian Metode analitik adalah metode sebenarnya yang dapat memberikan solusi sebenarnya (exact solution) atau solusi sejati artinya metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku (lazim) dan solusi yang dihasilkan memiliki galat atau error = 0. Namun metode analitik hanya unggul pada sejumlah persoalan matematika yang terbatas. Padahal persoalan yang muncul dalam dunia nyata seringkali melibatkan bentuk dan proses yang rumit. Akibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas. Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka solusi persoalan sebenarnya masih dapat dicari dengan menggunakan metode numerik. Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan/aritmetika biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi). Metode artinya cara, sedangkan numerik artinya angka. Jadi metode numerik secara harafiah berarti cara berhitung dengan menggunakan angka-angka. Dari penjelasan tersebut terdapat dua hal mendasar mengenai perbedaan antara metode numerik dengan metode analitik yaitu pertama, solusi dengan menggunakan metode numerik selalu berbentuk angka sedangkan metode analitik umumnya menghasilkan solusi dalam bentuk fungsi matematik yang selanjutnya fungsi matematik tersebut dapat dievaluasi untuk menghasilkan nilai dalam bentuk angka. Kedua, dengan metode numerik, kita hanya memperoleh solusi yang menghampiri atau mendekati solusi

    Metode Penyelesaian

    Analitik Numerik Empirik

  • 8

    sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi pendekatan (approxomation), namun solusi pendekatan dapat dibuat seteliti yang kita inginkan. Solusi hampiran jelas tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Selisih inilah yang disebut dengan galat (error). Sebagai contoh ilustrasi, tinjau sekumpulan persoalan matematik di bawah ini. (1) Tentukan akar-akar persamaan polinom:

    06662.14389924.177.7 23467 =+++ xxxxxx (2) Selesaikan sistem persamaaan lanjar (linear)

    (3) Tentukan nilai maksimum fungsi tiga matra (dimension):

    (4) Hitung nilai integral-tentu berikut

    (5) Diberikan persamaan differensial biasa (PDB) dengan nilai awal:

    Hitung nilai y pada t = 1.8! Untuk menyelesaikan soal-soal seperti di atas dengan metode analitik, sangatlah sulit. Soal (1) misalnya, biasanya untuk polinom derajat dua masih dapat mencari akar-akar polinom dengan rumus abc, grafik atau difaktorkan. Sedangkan untuk polinom berderajat banyak seperti diatas memerlukan bantuan numerik. Soal (2) pun sama, untuk menyelesaikan persamaan linear dengan banyak peubah juga sulit untuk diselesaikan secara analitik, begitupun dengan soal lainya. Dari Ilistrusi diatas dapat disimpulkan mengenai alasan menggunakan MetodeNumerik Tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat diselesaikan dengan

    mudah. Dibutuhkan metode yang menggunakan analisis-analisis pendekatan persoalan non

    linier untuk menghasilkan nilai yang diharapkan. Kesulitan menggunakan metode analitik untuk mencari solusi exact dengan jumlah

    data yang besar, diperlukan perhitungan komputer, metode numerik menjadi penting untuk menyelesaikan permasalahan ini

    Pemakaian metode analitik terkadang sulit diterjemahkan kedalam algoritma yang dapat dimengerti oleh komputer. Metode numeric yang memang berangkat dari pemakaian alat bantu hitung merupakan alternatif yang baik dalam menyelesaian persoalan-persoalan perhittungan yang rumit.

  • 9

    Beberapa kriteria penyelesaian perhitungan matematika Bila persoalan merupakan persoalan yang sederhana atau ada theorem analisa

    matematika yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan tersebut, maka penyelesaian matematis (metodeanalitik) adalah penyelesaian exact yang harus digunakan. Penyelesaian ini menjadi acuan bagi pemakaian metode pendekatan.

    Bila persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin diselesaiakan secara matematis (analitik) karena tidak ada theorem analisa matematik yang dapat digunakan, maka dapat digunakan metode numerik.

    Bila persoalan sudah merupakan persoalan yang mempunyai kompleksitas tinggi, sehingga metode numeric pun tidak dapat menyajikan penyelesaian dengan baik, maka dapat digunakan metode-metode simulasi.

    1.2 Tahap-Tahap Memecahkan Persoalan Secara Numerik Ada enam tahap yang dilakukan dakam pemecahan persoalan dunia nyata dengan metode numerik, yaitu 1. Pemodelan Ini adalah tahap pertama. Persoalan dunia nyata dimodelkan ke dalam persamaan matematika (lihat contoh ilustrasi pada upabab 1.2) 2. Penyederhanaan model Model matematika yang dihasilkan dari tahap 1 mungkin saja terlalu kompleks, yaitu memasukkan banyak peubah (variable) atau parameter. Semakin kompleks model matematikanya, semakin rumit penyelesaiannya. Mungkin beberapa andaian dibuat sehingga beberapa parameter dapat diabaikan.Contohnya, faktor gesekan udara diabaikan sehingga koefisian gesekan di dalam model dapat dibuang. Model matematika yang diperoleh dari penyederhanaan menjadi lebih sederhana sehingga solusinya akan lebih mudah diperoleh. 3. Formulasi numerik Setelah model matematika yang sederhana diperoleh, tahap selanjutnya adalah memformulasikannya secara numerik, antara lain: a. menentukan metode numerik yang akan dipakai bersama-sama dengan analisis galat awal (yaitu taksiran galat, penentuan ukuran langkah, dan sebagainya). Pemilihan metode didasari pada pertimbangan: - apakah metode tersebut teliti? - apakah metode tersebut mudah diprogram dan waktu pelaksanaannya cepat? - apakah metode tersebut tidak peka terhadap perubahan data yang cukup kecil? b. menyusun algoritma dari metode numerik yang dipilih. 4. Pemrograman Tahap selanjutnya adalah menerjemahkan algoritma ke dalam program computer dengan menggunakan salah satu bahasa pemrograman yang dikuasai. 5. Operasional Pada tahap ini, program komputer dijalankan dengan data uji coba sebelum data yang sesungguhnya. 6. Evaluasi Bila program sudah selesai dijalankan dengan data yang sesungguhnya, maka hasil yang diperoleh diinterpretasi. Interpretasi meliputi analisis hasil run dan membandingkannya dengan prinsip dasar dan hasil-hasil empirik untuk menaksir kualitas solusi numerik, dan keputusan untuk menjalankan kembali program dengan untuk memperoleh hasil yang lebih baik.

  • 10

    1.3 Galat (Kesalahan) Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematis hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar) dari penyelesaian analitis. Ada 3 macam kesalahan dasar; 1. Galat bawaan 2. Galat pemotongan 3. Galat pembulatan Galat bawaan (Inheren) Yaitu Galat dalam nilai data dan terjadi akibat kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala atau kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hukum-hukum fisik dari data yang diukur. Contoh : Pengukuran selang waktu 2,3 detik : Terdapat beberapa galat karena hanya dg suatu kebetulan selang waktu akan diukur

    tepat 2,3 detik. Beberapa batas yg mungkin pada galat inheren diketahui : Berhub dg galat pd data yg dioperasikan oleh suatu komputer dg beberapa prosedur

    numerik. Galat Pemotongan (Truncation Error) Berhubungan dengan cara pelaksanaan prosedur numerik Contoh pada deret Taylor tak berhingga :

    ........

    !9!7!5!3sin

    9753

    ++=xxxx

    xx

    Dapat dipakai untuk menghitung sinus sebarang sudut x dalam radian Jelas kita tdk dapat memakai semua suku dalam deret, karena deretnya tak berhingga Kita berhenti pada suku tertentu misal x9 Suku yg dihilangkan menghasilkan suatu galat Dalam perhitungan numerik galat ini sangat penting Galat Pembulatan Akibat pembulatan angka Terjadi pada komputer yg disediakan beberapa angka tertentu misal; 5 angka : Penjumlahan 9,2654 + 7,1625

    hasilnya 16,4279 Ini terdiri 6 angka sehingga tidak dapat disimpan dalam komputer kita dan akan

    dibulatkan menjadi 16,428

    C. Rangkuman

    Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan/aritmetika biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi).

    metode numerik, kita hanya memperoleh solusi yang menghampiri atau mendekati solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi pendekatan (approxomation),

    Tahap-Tahap Memecahkan Persoalan Secara Numerik yaitu pemodelan, penyederhanaan model, pemograman, operasional, evaluasi

    Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematis hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar) dari penyelesaian analitis, yaitu Galat bawaan, Galat pemotongan, Galat pembulatan

  • 11

    D. Tugas Buatlah sebuah kajian literatur tentang manfaat analisa numeric di berbagai bidang baik sains, rekayasa, maupun informatika! E. Evaluasi

    1. Apa perbedaan dari metode analitik, metode empirik, dan metode numerik? 2. Apa yang dimaksud pemodelan dan model matematika? 3. Jelaskan tahapan-tahapan penyelesaian secara numerik dan dimanakah peran

    orang informatika dalam tahapan tersebut? 4. Mengapa dalam konsep analisa numerik ada yang dinamakan galat? 5. Jelaskan definisi dan berbagai jenis-jenis galat? 6. Apa yang dimaksud ketidakpastian dalam proses fisis dan pengukuran? 7. Sebutkan manfaat apa saja yang akan kalian dapat dalam mempelajari analisa

    numerik?

  • 12

    BAB II SISTEM PERSAMAAN NON-LINEAR

    A. Tujuan Kompetensi Khusus

    Menyelesaikan persamaan non linear dengan beberapa metode pengurung dan menginterpreasikan hasilnya beserta algoritmanya

    Menyelesaikan persamaan non linear dengan beberapa metode terbuka dan menginterpreasikan hasilnya beserta algoritmanya

    B. Uraian Materi Pada umumnya untuk mendapatkan penyelesaian matematika yang menjabarkan model persoalan nyata di berbagai bidang, sering solusi yang harus dicari berupa suatu nilai variabel x sehingga f(x) =0 artinya nilai-nilai x yang menyebabkan nilai f(x) sama dengan nol. Atau dalam arti lain kita menentukan akar-akar persamaan non linier tersebut. Beberapa metoda untuk mencari akar yang telah dikenal adalah: Dengan memfaktorkan atau dengan cara Horner. Sebagai contoh, untuk mencari akar

    dari persamaan x2 2x 8 = 0 ruas kiri difaktorkan menjadi (x4) (x+2) = 0 sehingga diperoleh akar persamaannya adalah x = 4 dan x = -2.

    Penyelesaian persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat dihitung dengan menggunakan rumus ABC.

    Akar persamaan f(x) adalah titik potong antara kurva f(x) dan sumbu X.

    Gambar 2.1 Grafik akar persamaan kuadrat

    Penyelesaian persamaan linier mx + c = 0 dimana m dan c adalah konstanta, dapat dihitung dengan : mx + c = 0 , sehingga, x = -

    m

    c

    a

    acbbx

    242

    12

    =

  • 13

    Akan tetapi, akar persamaan akan sulit dicari jika persamaan tersebut tidak dapat difaktorkan menjadi bilangan bulat yang bukan pecahan dan cara-cara analitik diatas. Sebagai contoh adalah akar dari persamaan polinom derajat tiga atau lebih. Sehingga terdapat metode-metode secara numerik untuk menyelesaikan kasus-kasus persamaan non-linear yang kompleks dan rumit yaitu metode tertutup dan terbuka..

    2.1. Metode Tertutup (Akolade atau Bracketing Methods) Mencari akar pada range [a,b] tertentu juga dibutuhkan dua tebakan awal. Dalam range [a,b] dipastikan terdapat satu akar Hasil selalu konvergen disebut juga metode konvergen

    Yang termasuk meode tertutup antara lain: Metode Tabel dan Grafik Metode Bisection Metode Regulasi Falsi

    2.1.1 Metode Tabel

    Dimana untuk x di antara a dan b dibagi sebanyak N bagian dan pada masing-masing bagian dihitung nilai f(x) sehingga diperoleh tabel : Tabel 2.1 Metode Tabel

    Algoritma Metode Tabel:

    X f(x) x0=a f(a) x1 f(x1) x2 f(x2) x3 f(x3)

    xn=b f(b)

  • Contoh: Selesaikan persamaan : x+eUntuk mendapatkan penyelesaian dari persamaan di atas range x = 10 bagian sehingga diperoleh :Tabel 2.2 Contoh metode tabel

    X f(x) -1,0 -0,63212

    -0,9 -0,49343

    -0,8 -0,35067

    -0,7 -0,20341

    -0,6 -0,05119

    -0,5 0,10653

    -0,4 0,27032

    -0,3 0,44082

    -0,2 0,61873

    -0,1 0,80484

    0,0 1,00000

    .2.1.2 Metode Grafik Selain metode table dapat pula melalui pendekatan grafik, dengan membuat grafik fungsi untuk memperoleh taksiran akar persamaan f(x) = 0 yaitu mengamati dimana letak dia memotong sumbu x. Titik ini untuk menyatakan f(x) = 0, memberikan suatu pendekatan kasar dari akar tersebut. Misalkan kita akan menyelesaikan persamaan

    14)( 23 += xxxxf

    Jadi terlihat bahwa f(x) = y = 0, terletak diantara sumbu x : 0.25

    -8

    -6

    -4

    -2

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    -1.5 -1 -0.5

    x+ex = 0 dengan range x = . , Untuk mendapatkan penyelesaian dari persamaan di atas range x = 10 bagian sehingga diperoleh : Tabel 2.2 Contoh metode tabel

    0,63212

    0,49343

    0,35067

    0,20341

    0,05119

    Dari table diperoleh penyelesaian berada di antara 0,6 dan 0,5 dengan nilai f(x) masingmasing -0,0512 dan 0,1065, sehingga dapat diambil keputusan penyelesaiannya di x=

    dibagi 10 maka diperoleh f(x) terdekat dengan nol pada x = -0,57 dengan F(x) = 0,00447

    Kelemahan Metode Tabel Metode table ini secara umum sulit mendapatkan penyelesaian dengan error yang kecil, karena itu metode ini tidak digunakan dalam penyelesaian persamaan non linier. Tetapi metode ini digunakan sebagai taksiran awal mengetahui area penyelesaian yang benar sebelum menggunakan metode yang lebih baik dalam menentukan penyelesaian

    Selain metode table dapat pula melalui pendekatan grafik, dengan membuat grafik fungsi untuk memperoleh taksiran akar persamaan f(x) = 0 yaitu mengamati dimana letak dia memotong sumbu x. Titik ini untuk menyatakan f(x) = 0, memberikan suatu pendekatan

    ar dari akar tersebut. Misalkan kita akan menyelesaikan persamaan maka grafik tersebut dilukiskan:

    Gambar 2.2 Metode grafik Jadi terlihat bahwa f(x) = y = 0, terletak diantara sumbu x : 0.25-0.5.

    y = 1x3 - 1x2 + 4x - 1

    8

    6

    4

    2

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    0 0.5 1 1.5 2 2.5

    [ ]0,1

    14

    Untuk mendapatkan penyelesaian dari persamaan di atas range x = dibagi menjadi

    Dari table diperoleh penyelesaian berada di 0,5 dengan nilai f(x) masing-

    0,0512 dan 0,1065, sehingga dapat diambil keputusan penyelesaiannya di x=-0,6. dibagi 10 maka diperoleh f(x) terdekat dengan

    dengan F(x) = 0,00447

    Metode table ini secara umum sulit mendapatkan penyelesaian dengan error yang kecil, karena itu metode ini tidak digunakan dalam penyelesaian persamaan non linier. Tetapi metode ini digunakan sebagai taksiran wal mengetahui area penyelesaian yang benar sebelum

    menggunakan metode yang lebih baik dalam

    Selain metode table dapat pula melalui pendekatan grafik, dengan membuat grafik fungsi untuk memperoleh taksiran akar persamaan f(x) = 0 yaitu mengamati dimana letak dia memotong sumbu x. Titik ini untuk menyatakan f(x) = 0, memberikan suatu pendekatan

    ar dari akar tersebut. Misalkan kita akan menyelesaikan persamaan

    x y -1 -7 -0.75 -4.9843 -0.5 -3.375 -0.25 -2.0781 0 -1 0.25 -0.0468 0.5 0.875 0.75 1.8593 1 3 1.25 4.3906 1.5 6.125 1.75 8.2968 2 11

    [ ]0,1

  • 15

    2.1.3 Bisection (METODE BAGI DUA)

    Prinsip: Ide awal metode ini adalah metode tabel, dimana area dibagi menjadi N bagian. Hanya saja metode bisection ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan. Langkah 1 : Pilih a sebagai batas bawah dan b sebagai batas atas untuk taksiran akar sehingga terjadi perubahan tanda fungsi dalam selang interval. Atau periksa apakah benar bahwa f(a) . f(b) < 0

    Gambar 2.3 Bisection

    Langkah 2 : Taksiran nilai akar baru, c diperoleh dari :

    2ba

    c+

    =

  • 16

    Langkah 3 : Menentukan daerah yang berisi akar fungsi: o Jika z merupakan akar fungsi, maka f(x < z) dan f(x > z) saling berbeda tanda. o f(a)*f(c) negatif, berarti di antara a & c ada akar fungsi. o f(b)*f(c) positif, berarti di antara b & c tidak ada akar fungsi

    Gambar 2.4 Daerah akar fungsi

    Langkah 4 : Menentukan kapan proses pencarian akar fungsi berhenti: Proses pencarian akar fungsi dihentikan setelah keakuratan yang diinginkan dicapai, yang dapat diketahui dari kesalahan relatif semu.

    Contoh : Carilah salah satu akar persamaan berikut: xe-x+1 = 0 disyaratkan bahwa batas kesalahan relatif (a) =0.001, dengan menggunakan range x=[1,0]

    Dengan memisalkan bahwa : (xl) = batas bawah = a (xu) = batas atas = b (xr) = nilai tengah = x

    maka diperoleh tabel biseksi sebagai berikut 2

    ba +

  • 17

    Tabel 2.3 Tabel Penentuan Metode Bisection

    Pada iterasi ke 10 diperoleh x = -0.56738 dan f(x) = -0.00066 Untuk menghentikan iterasi, dapat dilakukan dengan menggunakan toleransi error atau iterasi maksimum. Catatan :

    Dengan menggunakan metode biseksi dengan tolerasi error 0.001 dibutuhkan 10 iterasi, semakin teliti (kecil toleransi errornya) maka semakin bear jumlah iterasi yang dibutuhkan.

    2.1.4 Metode Regula Falsi o Metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih

    tinggi dari dua titik batas range. o Dua titik a dan b pada fungsi f(x) digunakan untuk mengestimasi posisi c dari akar

    interpolasi linier. o Dikenal dengan metode False Position

    Gambar 2.5. Grafik Regulasi Falsi

    100=awal

    awalakhira perkiraan

    perkiraanperkiraan

  • 18

    Algoritma Metode Regulasi Falsi:

    2.2 Metode Terbuka Diperlukan tebakan awal xn dipakai untuk menghitung xn+1 Hasil dapat konvergen atau divergen

    2.2.1 Metode Iterasi Sederhana Bentuk lain metode penentuan akar persamaan adalah dengan memulai suatu perkiraan harga akar persamaan yang kemudian dengan serangkaian nilai perkiraan ini, mulai x0 (perkiraan awal), x1, x2, ., xk, akhirnya konvergen pada , yaitu xn cukup dekat pada menurut tingkat kecermatan yang diinginkan, dapat ditulis sebagai berikut: f(x) = x g(x) = 0, sehingga = g(). Bentuk iterasi satu titik ini dapat dituliskan dalam bentuk: x(n+1)=g(xn), Dimana n=0,1,2,3,.... , Contoh:

    menyusun kembali persamaan tersebut dalam bentuk = g(). ( i )

    ( ii )

    ( iii )

    ( iv)

    Dari rumusan pertama dapat dinyatakan persamaan iterasinya sebagai dengan n = 1,2,3,....., Jika diambil dari nilai xo = 1, maka:

    xbbf

    abafbf

    =

    0)()()(

    )()())((

    afbfabbfbx

    = )()()()(

    afbfabfbaf

    x

    =

    02033 = xx

    3 )203( += xx

    3203

    =

    xx

    3202

    =

    xx

    )203(x

    x +=

    3)1( )203( +=+ nn xx

  • 19

    Dan seterusnya. Hasilnya dapat ditabelkan sebagai berikut Tabel 2.4. Tabel Iterasi

    iterasi x g(x) Ea 1 1 4.795832

    2 4.795832 2.677739 -79.1

    3 2.677739 3.235581 17.24086

    4 3.235581 3.030061 -6.78272

    5 3.030061 3.098472 2.207889

    6 3.098472 3.074865 -0.76773

    7 3.074865 3.082913 0.26104

    8 3.082913 3.080158 -0.08944

    9 3.080158 3.081099 0.030566

    10 3.081099 3.080777 -0.01045

    Algoritma program dengan metode Iterasi a). Tentukan X0, toleransi, dan jumlah iterasi maksimum. b). Hitung Xbaru= g(X0). c). Jika nilai mutlak (Xbaru - X0) < toleransi, diperoleh tulisan xbaru sebagai hasil perhitungan;jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya. d). Jika jumlah iterasi > iterasi maksimum, akhiri program. e). X0 = Xbaru, dan kembali ke langkah (b).

    2.2.2 Newton Rapshon Salah satu metode penyelesaian akar-akar persamaan non linier f(x), dengan menentukan satu nilai tebakan awal dari akar yaitu xi, dengan rumus: Grafik Pendekatan Metode Newton-Raphson

    Gambar 2.6. Grafik Newton Rapshon

    )(xf

    0 x

    1+ ii xx

    )( ixf

    )( ixf

    ix

    Kemiringan )(' 1+ixf1+ix

    )( 1+ixf

    Kemiringan )(' ixf

    1+ix

    )( 1+ixf

    2+ix

    055686.3)20843867.23(843867.2)2013(

    32

    31

    =+=

    =+=

    x

    x

    )(')(

    1i

    iii

    xfxf

    xx =+

  • Gambar 2.7 Penyelesaian metode newton

    Pernyataan Masalah: Gunakan Metode Newtonf(x) = e-x-x , menggunakan sebuah tebakan awal Langkah 1: Turunan pertama dan kedua dari fungsi

    Langkah 2: Lakukan uji syarat persamaan

    Gambar 2.7 Penyelesaian metode newton-rapshon

    Newton-Raphson untuk menaksir akar dari : menggunakan sebuah tebakan awal x0= 0.

    Turunan pertama dan kedua dari fungsi f(x) = e-x-x , dapat dievaluasikan sebagai :

    Lakukan uji syarat persamaan

    20

    rapshon

    dapat dievaluasikan sebagai :

  • Langkah 3: Lakukan Iterasi dengan :

    Akar x

    akan semakin akurat, jika nilai Tabel 2.5 Tabel Iterasi Newton Rapshon

    Contoh f(x) = x3 - 3x - 20, maka f1(x) = 3xDengan demikian x Perkiraan awal xo = 5Maka: f(5)=53-3.(5)-20 =90f'(5)=3(5)2-3 =72xbaru=5-(90/72)=3.75

    iterasi Xk

    1 5

    2 3.75

    3 3.201754

    4 3.085854

    5 3.080868

    Kelemahan Metode Newton1. Jika fungsi f(x) mempunyai beberapa akar (titik) penyelesaian, akar tersebut tidak dapat dicari2. Tidak dapat mencari 3. Tidak bisa mencari akar persamaan yang meskipun ada akar penyelesaiannya.4. Untuk persamaan non linier yang cukup kompleks, kedua f(x) akan menjadi

    Lakukan Iterasi dengan :

    akan semakin akurat, jika nilai f(x) semakin mendekati 0 Tabel 2.5 Tabel Iterasi Newton Rapshon

    20, maka f1(x) = 3x2- 3 Dengan demikian x k+1 = xk - (x3k - 3xk - 20) / (3x2k - 3). Perkiraan awal xo = 5

    20 =90 3 =72

    (90/72)=3.75 Xk+1 f(xk) f'(xk)

    3.75 90 72

    3.201754 21.48438 39.1875

    3.085854 3.216661 27.75369344

    3.080868 0.127469 25.5674865

    3.080859 0.00023 25.47525192

    Kelemahan Metode Newton-Raphson mempunyai beberapa akar (titik) penyelesaian, akar

    dicari secara bersamaan. 2. Tidak dapat mencari akar kompleks (imajiner). 3. Tidak bisa mencari akar persamaan yang tidak memenuhi persyaratan

    meskipun ada akar penyelesaiannya. 4. Untuk persamaan non linier yang cukup kompleks, pencarian turunan

    kedua f(x) akan menjadi sulit.

    )(')(

    1i

    iii

    xfxf

    xx =+

    21

    F(xk+1)

    21.484375

    3.216661132

    0.127469447

    0.000229985

    7.53268E-10

    mempunyai beberapa akar (titik) penyelesaian, akar-akar penyelesaian

    persyaratan persamaannya,

    turunan pertama dan

  • Algoritma Tentukan Xo, toleransi, dan jumlah iterasi maksimum. Hitung Xbaru = x Jika nilai mutlak (X

    perhitungan; jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya. Jika jumlah iterasi > iterasi maksimum, akhiri program. X = Xbaru, dan kembali ke langkah (b).

    2.2.3 Metode Secant Masalah yang didapat dalam metode Newtonturunan pertama, yakni f(x). evaluasi turunan f (xi), sehingga turunan dapat dihampiri oleh beda hingga terbagi. Sehingga dengan jalan pendekatan

    didapat:

    metode secant memerlukan dua taksiran awal untuk x.

    ((

    1i

    iii

    xfxf

    xx =+

    Tentukan Xo, toleransi, dan jumlah iterasi maksimum. Hitung Xbaru = x - f'(x0)/f(X0). Jika nilai mutlak (Xbaru - X0) < toleransi, diperoleh tulisan xbaru sebagai hasil

    jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya. Jika jumlah iterasi > iterasi maksimum, akhiri program.

    , dan kembali ke langkah (b).

    Masalah yang didapat dalam metode Newton-Raphson adalah terkadang sulit mendapatkan turunan pertama, yakni f(x). Masalah potensial dalam metode Newton

    ), sehingga turunan dapat dihampiri oleh beda hingga terbagi. Sehingga dengan jalan pendekatan ,

    metode secant memerlukan dua taksiran awal untuk x.

    Gambar 2.8 Metode Secant

    ii

    iii

    xx

    xfxfxf

    =

    1

    1' )()()(

    )()))(

    1

    1

    ii

    iii

    xfxx

    22

    ) < toleransi, diperoleh tulisan xbaru sebagai hasil

    Raphson adalah terkadang sulit mendapatkan Masalah potensial dalam metode Newton-Raphson adalah

    ), sehingga turunan dapat dihampiri oleh beda hingga terbagi.

  • 23

    Contoh: Selesaikan Persamaan:

    Berdasarkan gambar grafk didapatkan akar terletak pada range [0.8, 0.9], maka X0 = 0.8 dan x1 = 0.9, sehingga:y0 = F(x0) = -0.16879y1 = F(x1) = 0.037518 Iterasi Metode Secant adalah sbb:

    Gambar 2.9 Grafik fungsi untuk range [-1,1}

    Algoritma Metode Secant : 1. Definisikan fungsi F(x) 2. Ambil range nilai x =[a,b] dengan jumlah pembagi p 3. Masukkan torelansi error (e) dan masukkan iterasi n 4. Gunakan algoritma tabel diperoleh titik pendekatan awal x0 dan x1 untuk setiap range yang diperkirakan terdapat akar dari : F(xk) * F(xk+1)

  • 24

    5. Hitung F(x0) dan F(x1) sebagai y0 dan y1 6. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |F(xi)| e

    Hitung yi+1 = F(xi+1) 7. Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir

    Gambar 2.10. Flowchart Metode Secant

  • 25

    Perbandingan Berbagai Metode. Dari berbagai metode, baik metode tertutup maupun terbuka, maka dapat disimpulkan seperti disajikan dalam tabel berikut ini:

    Tabel 2.6 Perbandingan berbagai metode system persamaan non-linear

    Metode Tebakan awal

    Laju konversi relatif

    Stabilitas Akurasi Luas aplikasi

    Upaya program

    Komentar

    Langsung - - - - Sangat terbatas

    - -

    Grafik - - - Kurang Akar sesung-guhnya

    - Memakan waktu lebih banyak daripada metode numerik

    Bagidua 2 Perlahan Selalu konvergen

    Baik Akar sesung-guhnya

    Mudah -

    Regula Falsi

    2 Sedang Selalu konvergen

    Baik Akar sesung-guhnya

    Mudah -

    Iterasi satu titik

    1 Perlahan Bisa divergen

    Baik Umum Mudah -

    Newton-Raphson

    1 Cepat Bisa divergen

    Baik Umum, dibatasi jika f(x)=0

    Mudah Memerlukan evaluasi f(x)

    Modifikasi Newton-Raphson

    1 Cepat bagi akar berganda; sedang bagi akar tunggal

    Bisa divergen

    Baik Umum, didesain khusus bagi akar berganda

    Mudah Memerlukan evaluasi f(x) dan f(x)

    Secant 2 Sedang hingga cepat

    Bisa divergen

    Baik Umum Mudah Tebakan awal tak harus mengurung akar

    Modifikasi Secant

    1 Sedang hingga cepat

    Bisa divergen

    Baik Umum Mudah -

  • 26

    C. Rangkuman

    1. Metode-metode secara numerik untuk menyelesaikan kasus-kasus persamaan non-linear yang kompleks dan rumit yaitu metode tertutup dan terbuka..

    2. Metode Tertutup (Akolade atau Bracketing Methods) Mencari akar pada range [a,b] tertentu juga dibutuhkan dua tebakan awal. Dalam range [a,b] dipastikan terdapat satu akar Hasil selalu konvergen disebut juga metode konvergen

    3. Yang termasuk meode tertutup antara lain: Metode Tabel dan Grafik Metode Bisection Metode Regulasi Falsi

    4. Metode tabel ini secara umum sulit mendapatkan penyelesaian dengan error yang kecil, karena itu metode ini tidak digunakan dalam penyelesaian persamaan non linier.

    5. Metode bisection ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.

    6. Metode Regula Falsi yaitu metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range.

    7. Metode Terbuka Diperlukan tebakan awal xn dipakai untuk menghitung xn+1 Hasil dapat konvergen atau divergen

    8. Yang termasuk metode terbuka adalah: Metode Iterasi Sederhana Metode Newton-Raphson Metode Secant.

    9. metode iterasi adalah dengan memulai suatu perkiraan harga akar persamaan yang kemudian dengan serangkaian nilai perkiraan ini

    10. Newton-Rapshon menentukan satu nilai tebakan awal dari akar yaitu xi, dengan rumus:

    11. metode secant memerlukan dua taksiran awal untuk x D. Tugas Pilihlah satu metode untuk menyelesaikan persamaan non-linear diatas, kemudian cobalah membuat programnya dengan menggunakan bahasa MATLAB!

    E. Evaluasi Gunakan Metode Bisection dan Newton Rapshon untuk memperkirakan akar dari f(x) =0. Yang ada diantara titik a dan b berkut ini. 3)( 4 += xxxf , a = 1 dan b = 2.

    )(')(

    1i

    iii

    xfxf

    xx =+

  • 27

    BAB III INTERPOLASI

    A. Tujuan Kompetensi Khusus

    Menentukan suatu Interpolasi linear dan kuadratik dari barisan data dengan beberapa metode dan menginterpreasikan hasilnya beserta algoritmanya.

    Menentukan suatu polinomial dari barisan data dengan beberapa metode dan menginterpreasikan hasilnya beserta algoritmanya

    B. Uraian Materi Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu titik diantara 2 titik yang nilai fungsi pada ke-2 titik tersebut sudah diketahui. Kegunaan dari interpolasi itu sendiri sangat penting karena Data yang sering dijumpai di lapangan sering dalam bentuk data diskrit yang umumnya disajikan dalam bentuk tabel. Sebagai gambaran, sebuah eksperimen di laboratorium fisika dasar mengenai hubungan antara jarak tempuh benda yang jatuh bebas terhadap waktu tempuh menghasilkan data seperti disajikan dalam tabel berikut: Tabel 3.1 Tabel data interpolasi

    y (meter) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t (detik) 1.45 2.0 2.4 2.85 3.0 3.5 3.75 4.0 4.2 4.52

    Permasalahan yang sering ditemui pada data di atas adalah menentukan suatu nilai di antara titik-titik tersebut yang dapat diketahui tanpa melakukan pengukuran kembali. Misalkan kita ingin mengetahui berapa jarak tempuh benda ketika waktu tempuhnya 7,5 detik? Pertanyaan ini tidak secara langsung dapat dijawab, karena fungsi yang menghubungkan variabel t dan y tidak diketahui. Salah satu solusinya adalah mencari fungsi yang mencocokkan (fit) titiktitik dalam tabel di atas. Pendekatan semacam ini disebut pencocokan kurva (curve fitting) dan fungsi yang diperoleh dengan pendekatan ini merupakan fungsi hampiran. Tentu saja nilai fungsi yang diperoleh juga merupakan nilai hampiran (hasilnya tidak setepat nilai eksaknya), tetapi cara pendekatan ini dalam praktek sudah mencukupi karena formula yang menghubungkan dua variabel atau dua besaran fisika sulit ditemukan.

    Bila data yang diketahui mempunyai ketelitian yang sangat tinggi, maka kurva pencocokannya dibuat melalui titik-titik, persis sama apabila kurva fungsi yang sebenarnya diplot melalui setiap titik-titik yang bersangkutan. Di sini kita dikatakan melakukan interpolasi titik-titik data dengan sebuah fungsi (Gambar disamping)

    Gambar 3.1 Grafik interpolasi Interpolasi memegang peranan yang sangat penting dalam metode numerik. Fungsi yang tampak sangat rumit akan menjadi sederhana bila dinyatakan dalam polinom interpolasi. Sebagian besar metode integrasi numerik, metode persamaan difrensial biasa dan metode

  • 28

    turunan numerik didasarkan pada polinom interpolasi sehingga banyak yang menyatakan bahwa interpolasi merupakan pokok bahasan yang fundamental dalam metode numerik.

    Ada beberapa jenis interpolasi diantaranya: Interpolasi Linier Interpolasi Kuadratik Interpolasi Polinomial Interpolasi Lagrange

    3.1 Interpolasi Linear Interpolasi linear adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus. Misalkan dua buah titik, ( x1 , y1 ) dan (x2 , y2 ). Polinom yang menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus berbentuk:

    Gambar 3.2 Grafik Interpolasi Linear Persamaan garis lurus yang melalui 2 titik P1(x1,y1) dan P2(x2,y2) dapat dituliskan dengan:

    Sehingga diperoleh persamaan dari interpolasi linier sebagai berikut:

    Algoritma Interpolasi Linier : (1) Tentukan dua titik P1 dan P2 dengan koordinatnya masing-masing (x1,y1) dan (x2,y2) (2) Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari (3) Hitung nilai y dengan :

    (4) Tampilkan nilai titik yang baru Q(x,y)

  • 29

    Contoh: Diketahui data sebagai berikut :

    x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

    y 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49

    Tentukan harga y pada x = 6,5 ! Jawab : x = 6,5 terletak antara x=6 dan x=7, sehingga dengan menggunakan rumus:

    , didapat:

    Alternatif 2 : x = 6,5 terletak antara x=1 dan x=7, dengan rumus yang sama, didapat:

    Jika kita bandingkan kedua kedua hasil tersebut yakni: Karena hubungan. x dan y adalah y = x2 maka untuk harga x = 6,5 didapat y = (6,5)2 = 42,25 Kesalahan mutlak (E), untuk : y = 42.5 |42.5 42.25| = 0.25 = 25 % Sedangkan untuk y = 45 |45 42.25| = 3.25 = 325 %

    Terlihat bahwa y = 42.5 lebih akurat, jadi dapat disimpulkan bahwa Semakin kecil interval antara titik data, hasil perkiraan interpolasi akan semakin baik.

    3.2 Interpolasi Kuadratik Banyak kasus, penggunaan interpolasi linier tidak memuaskan karena fungsi yang diinterpolasi berbeda cukup besar dari fungsi linier. Untuk itu digunakan polinomial lain yang berderajat dua (interpolasi kuadrat) atau lebih mendekati fungsinya. Interpolasi Kuadratik digunakan untuk mencari titik-titik antara dari 3 buah titik P1(x1,y1), P2(x2,y2) dan P3(x3,y3) dengan menggunakan pendekatan fungsi kuadrat.

    Gambar 3.3 Grafik Interpolasi Kuadratik

    )( 11

    kk

    kk

    kk yy

    xx

    xxyy

    += ++

    5,42)3649()67()65,6(36 =

    +=y

    45)48()6()5,5(1)149()17(

    )15,6(1 =+=

    +=y

  • 30

    Untuk memperoleh titik Q(x,y) digunakan interpolasi kuadratik sebagai berikut:

    Algoritma Interpolasi Kuadratik: (1) Tentukan 3 titik input P1(x1,y1), P2(x2,y2) dan P3(x3,y3) (2) Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari (3) Hitung nilai y dari titik yang dicari menggunakan rumus dari interpolasi kuadratik:

    (4) Tampilkan nilai x dan y

    3.3 Interpolasi Polinomial Interpolasi polynomial digunakan untuk mencari titik-titik antara dari n buah titik P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), , PN(xN,yN) dengan menggunakan pendekatan fungsi polynomial pangkat n-1:

    Masukkan nilai dari setiap titik ke dalam persamaan polynomial di atas dan diperoleh persamaan simultan dengan n persamaan dan n variable bebas:

    Penyelesaian persamaan simultan di atas adalah nilai-nilai a0, a1, a2, a3, , an yang merupakan nilai-nilai koefisien dari fungsi pendekatan polynomial yang akan digunakan. Dengan memasukkan nilai x dari titik yang dicari pada fungsi polinomialnya, akan diperoleh nilai y dari titik tersebut.

    Algoritma Interpolasi Polynomial : (1) Menentukan jumlah titik N yang diketahui. (2) Memasukkan titik-titik yang diketahui Pi = xi yi untuk i=1,2,3,,N (3) Menyusun augmented matrik dari titik-titik yang diketahui sebagai berikut:

    (4) Menyelesaikan persamaan simultan dengan augmented matrik di atas dengan menggunakan metode eliminasi gauss/Jordan. (5) Menyusun koefisien fungsi polynomial berdasarkan penyelesaian persamaan

  • 31

    simultan di atas.

    (6) Memasukkan nilai x dari titik yang diketahui (7) Menghitung nilai y dari fungsi polynomial yang dihasilkan

    (8) Menampilkan titik (x,y)

    3.4 Interpolasi lagrange Interpolasi polynomial digunakan untuk mencari titik-titik antara dari n buah titik P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), , PN(xN,yN) dengan menggunakan pendekatan fungsi polynomial yang disusun dalam kombinasi deret dan didefinisikan dengan:

    Algoritma Interpolasi Lagrange : (1) Tentukan jumlah titik (N) yang diketahui (2) Tentukan titik-titik Pi(xi,yi) yang diketahui dengan i=1,2,3,,N (3) Tentukan x dari titik yang dicari (4) Hitung nilai y dari titik yang dicari dengan formulasi interpolasi lagrange

    (5) Tampilkan nilai (x,y)

    Contoh: Nilai yang berkorespondensi dengan y = 10log x adalah : X 300 304 305 307

    10log x 2,4771 2,4829 2,4843 2,4871

    Carilah 10log 301 ? Untuk menghitung y(x) = 10log 301 dimana x = 301, maka nilai diatas menjadi

    x0 = 300 x1 = 304 x2 = 305 x3 = 307

    y0 = 2,4771 y1 = 2,4829 y2 = 2,4843 y3 = 2,4871

    Dengan menggunakan interpolasi lagrange

    +

    = 4771,2)307300)(305300)(304300()307301)(305301)(304301()(xy +

    4829,2)307304)(305304)(300304()307301)(305301)(300301(

    +

    4843,2)307305)(304305)(300305()307301)(304301)(300301( 4871,2)305307)(304307)(301307(

    )305301)(304301)(300301(

    7106,04717,49658,42739,1 ++=

    4786,2)( =xy

  • 32

    Contoh 2 : Bila y1 = 4, y3 = 12, y4 = 19 dan yx = 7, carilah x ? Karena yang ditanyakan nilai x dengan nilai y diketahui, maka digunakan interpolasi invers atau kebalikan yang analog dengan interpolasi Lagrange.

    Nilai sebenarnya dari x adalah 2, karena nilai-nilai atau data diatas adalah hasil dari polinom y(x) = x2 + 3. Adapun untuk membentuk polinom derajat 2 dengan diketahui 3 titik, dapat menggunakan cara yang sebelumnya pernah dibahas dalam hal mencari persamaan umum polinomial kuadrat.

    C. Rangkuman 1. Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu titik diantara 2 titik yang nilai fungsi

    pada ke-2 titik tersebut sudah diketahui 2. Interpolasi linear adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus.

    Misalkan dua buah titik, ( x1 , y1 ) dan (x2 , y2 ). Polinom yang menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus

    3. Interpolasi Kuadratik digunakan untuk mencari titik-titik antara dari 3 buah titik

    P1(x1,y1), P2(x2,y2) dan P3(x3,y3) dengan menggunakan pendekatan fungsi kuadrat.

    4. Interpolasi polynomial digunakan untuk mencari titik-titik antara dari n buah titik

    P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), , PN(xN,yN) dengan menggunakan pendekatan fungsi polynomial pangkat n-1:

    5. P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), , PN(xN,yN) dengan menggunakan pendekatan

    fungsi polynomial yang disusun dalam kombinasi deret dan didefinisikan dengan:

    D. Tugas Carilah sebuah data di lapangan (x,y) dan kemudian lakukan interpolasi pada saat x tertentu!

    +

    = )1()194)(124()197)(127(

    x +

    )3()1912)(412()197)(47( )4()1219)(419(

    )127)(47(

    86,174

    1427

    21

    =+=x

  • 33

    E. Soal

    1. Cari nilai y untuk titik x =2.5 yang berada diantara titik (1,5), (2,2) dan (3,3) dengan menggunakan interpolasi kuadratik !

    2. Diketahui data berikut:

    x 100 110 120 130 10log x

    2 2.0413

    2.0791

    2.1139

    Carilah 10log 115 dengan menggunakan Interpolasi Lagrange dari data diatas..

    =

    =

    11 )()(

    j ji

    jN

    ii

    xx

    xxyy

    3. Hitunglah interpolasi dari data yang diketahui berikut ini: a) Jika dari data-data diketahui bahwa n (9,0) = 2,1972 dan n (9,5) = 2,2513

    maka tentukanlah nilai n (9,2) dengan interpolasi linear sampai 5 angka dibelakang koma.

    b) Diberikan data n (8,0) = 2,0794, n (9,0) = 2,1972 dan n (9,5) = 2,2513. Tentukanlah nilai n (9,2) dengan interpolasi kuadratik

  • 34

    BAB IV INTEGRASI NUMERIK

    A. Tujuan Kompetensi Khusus

    Menghitung integral secara numerik dengan beberapa metode persegi panjang dan trapezium

    Menghitung integral secara numerik dengan aturan simpson 1/3 dan aturan simpson 3/8

    B. Uraian Materi Di dalam kalkulus, terdapat dua hal metode penting untuk menyelesaikan permasalahan matematis yaitu integral dan turunan (derivative). Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Kita lihat contoh berikut: Fungsi yang dapat dihitung integralnya secara analitik :

    Fungsi yang rumit misalnya :

    Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan. digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x. Penerapan integral semisal menghitung luas dan volume-volume benda putar dan juga yang lainya.

    4.1 Dasar Pengintegralan Numerik Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi

    Cxxxdxx

    Cxdxx

    Cbaa

    dxbax

    Cbaa

    dxbax

    Ca

    edxe

    Cn

    axdxax

    axax

    nn

    +=

    +=

    ++=+

    ++=+

    +=

    ++

    =

    +

    ||ln||ln||ln1

    )sin(1)cos()cos(1)sin(

    1

    1

    dxex

    x x5.02

    0

    23

    sin5.01)1cos(2

    +++

    )(...)()(

    )()(

    1100

    0

    nn

    i

    n

    ii

    b

    a

    xfcxfcxfc

    xfcdxxf

    +++=

    =

  • Gambar 4.1 Dasar Pengintegralan Numerik

    Melakukan penginteralan pada bagianintegral yaitu penjumlahan bagian

    Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat eksak.

    Perhitungan integral menggunakan Formula Newton

    f n dapat berupa fungsi linear, kuadrat, kubik, ataupun polynomial yang lebih tinggi. Dan

    juga polinomial dapat didasarkan pada data.

    xfdxxfI ba

    n

    b

    a = )()(

    n xaaxf ++= 10)( L

    Gambar 4.1 Dasar Pengintegralan Numerik

    Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti saat awal belajar integral yaitu penjumlahan bagian-bagian. Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih mendekati jawaban

    Gambar 4.2 Pendekatan solusi

    Perhitungan integral menggunakan Formula Newton-Cotes yaitu berdasarkan pada

    Nilai hampiran f(x) dengan polynomial:

    dapat berupa fungsi linear, kuadrat, kubik, ataupun polynomial yang lebih tinggi. Dan juga polinomial dapat didasarkan pada data.

    dx)n

    n

    n

    n xaxa ++

    11

    35

    bagian kecil, seperti saat awal belajar

    dan lebih mendekati jawaban

    Cotes yaitu berdasarkan pada

    dengan polynomial:

    dapat berupa fungsi linear, kuadrat, kubik, ataupun polynomial yang lebih tinggi. Dan

  • 36

    Gambar 4.3 Linear dan kuadartik

    Gambar 4.4 Kubik dan polynomial yang lebih tinggi

    Gambar 4.5 Polinomial dapat didasarkan pada data

  • Integrasi secara numeric merupakan proses menghitung integral berdasarkan sejumlah nilai numerik integran (fungsi yang diintegrasi). Jika fungsi yang diintegrasikasatu variabel, proses disebut QUADRATUR MECHANIC, dan bila fungsi mempunyai dua variabel bebas, proses disebut CUBATURE MECHANIC. Menyelesaikan numeric dapat dilakukan dengan menyatakan f(x) dalam rumusan interpolasi dalam fungsi perbedaan yang diintgrasikan antara [ a,b]. Luas (L) =

    Gambar 4.6 Grafik Luas IntegrasiContoh : Hitung luas daerah di atas sumbu dan x = 4. Solusi:

    4.2 Metode Pendekatan Persegi Panjang ( Integral Reimann ) Bagi interval a

    Hitung nilai fungsi pada ujung Hitung luas tiap Jumlahkan semua luas

    Selain mengambil tinggi persegi panjang keujung kanan sub-interval keyaitu nilai fungsi pada ujung kiri subContoh: Cari luas daerah di bawah kurva

    ( )b

    a

    dxxf

    dx )( = L 24

    0

    = x

    f(x . h = Lh

    1k

    =

    Integrasi secara numeric merupakan proses menghitung integral berdasarkan sejumlah nilai numerik integran (fungsi yang diintegrasi). Jika fungsi yang diintegrasikasatu variabel, proses disebut QUADRATUR MECHANIC, dan bila fungsi mempunyai dua variabel bebas, proses disebut CUBATURE MECHANIC. Menyelesaikan

    dapat dilakukan dengan menyatakan f(x) dalam rumusan interpolasi dalam fungsi daan yang diintgrasikan antara [ a,b].

    Gambar 4.6 Grafik Luas Integrasi Hitung luas daerah di atas sumbu x yang dibatasi oleh kurva

    Metode Pendekatan Persegi Panjang ( Integral Reimann ) a sampai b atas n sub-interval

    Hitung nilai fungsi pada ujung-ujung sub-interval tersebut Hitung luas tiap-tiap persegi panjang tersebut Pk = h * f (xJumlahkan semua luas persegi panjang tersebut

    Gambar 4.7 Metode Reimann

    Selain mengambil tinggi persegi panjang ke-k, sama dengan f (xk ) yaitu nilai fungsi pada interval ke-k tersebut, juga dapat mengambil tinggi sama dengan

    yaitu nilai fungsi pada ujung kiri sub-interval, ataupun juga pada :

    Cari luas daerah di bawah kurva f(x) = x2, antara x = 0 sampai x = 4

    satuan 1.332 364 )0( - )4( x 333 3131

    4

    031

    ====

    ( ) =

    na - bh

    )f(xk

    f((x

    37

    Integrasi secara numeric merupakan proses menghitung integral berdasarkan sejumlah nilai numerik integran (fungsi yang diintegrasi). Jika fungsi yang diintegrasikan mempunyai satu variabel, proses disebut QUADRATUR MECHANIC, dan bila fungsi mempunyai dua variabel bebas, proses disebut CUBATURE MECHANIC. Menyelesaikan secara

    dapat dilakukan dengan menyatakan f(x) dalam rumusan interpolasi dalam fungsi

    yang dibatasi oleh kurva y = x2, antara x = 0

    interval tersebut f (xk ) = h * f (xk )

    Gambar 4.7 Metode Reimann

    yaitu nilai fungsi pada k tersebut, juga dapat mengambil tinggi sama dengan f (xk-1 )

    luassatuan

    2) / )x+ f((x k1-k

  • Gambar 4.8 Grafik Solusi Metode ReimannDengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel : Tabel 4.1. Perhitungan integral dengan metode Reimann

    Secara kalkulus :

    Terdapat kesalahan e = 0,385 Algoritma Metode Integral Reimann:

    Definisikan fungsi f(x) Tentukan batas bawah dan batas atas integrasi Tentukan jumlah pembagi area N Hitung h=(b-a)/N Hitung

    4.3 Metode Trapesium Bagi interval (a, b) menjadi Hitung nilai fungsi pada ujungHitung luas trapesium Luas trapesium ke-1 = t1

    Luas Total = t1 + t2 + . + t = h/2 ( f(x0) + f(x

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.1

    += 2 )f(x

    2 0h

    (( )( ) 385,085,31.0

    .004.001.001.0

    )(.10

    0

    ==

    +++=

    = =i

    ixfhL

    =L

    =

    =

    N

    ihL .

    Gambar 4.8 Grafik Solusi Metode Reimann Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :

    Perhitungan integral dengan metode Reimann

    e = 0,385 - 0,333 = 0,052 Algoritma Metode Integral Reimann:

    Definisikan fungsi f(x) Tentukan batas bawah dan batas atas integrasi Tentukan jumlah pembagi area N

    a)/N

    Metode Trapesium ) menjadi n sub-interval yang sama

    Hitung nilai fungsi pada ujung-ujung sub-interval tersebut f (xk ) Pk = h * f (xk )

    1 = ( f(x0) + f(x1) ) * h = h/2 ( f(x0) + f(x1) ) ke-2 = t2 = ( f(x1) + f(x2) ) * h = h/2 ( f(x .

    ke-n = tn = ( f(xn-1) + f(xn) ) * h = h/2 (f(x+ . + tn

    ) + f(x1) ) + h/2 ( f(x1) + f(x2) ) + . + h/2 (f(x

    0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

    +

    =

    )f(x )f(x 21

    1nk

    n

    k

    ( ) =

    na - bh

    181.064.049.036.025.016.009. +++++++

    .....3333,0|31 1

    03

    1

    0

    2=== xdxx

    N

    ixf0

    )(

    38

    ) ) ) ) * h = h/2 ( f(x1) + f(x2) )

    ) ) * h = h/2 (f(xn-1) + f(xn) )

    ) ) + . + h/2 (f(xn-1) + f(xn) )

    0.8 0.9 1

    x**2

    )00.1

  • Hitung luas daerah di bawah kurva Solusi: Interval (0, 4) dibagi menjadi 4 sub

    xk 0

    f(xk) 0

    Luas total:

    Algoritma Metode Integrasi Trapezoida Definisikan y=f(x) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b) Tentukan jumlah pembagi n Hitung h=(b-a)/n Hitung

    4.4 Aturan Simpson 1/3Perumusan Aturan Simpson 1/3 diaproksimasi dengan fungsi parabola:

    += )f(x

    2 0h

    ( (1 2 0 21

    +=

    = fhL 02

    [ 4)(3

    )()(

    0

    2

    0

    fxfh

    xfcdxxf ii

    i

    b

    a

    +=

    = =

    Gambar 4.9 Grafik Metode Trapesium

    Hitung luas daerah di bawah kurva f(x) = x2, antara x = 0 sampai x =

    Interval (0, 4) dibagi menjadi 4 sub-interval, n = 4 h = (4 - 0)/4 = 10 1 2 3

    0 1 4 9

    Algoritma Metode Integrasi Trapezoida Definisikan y=f(x) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b) Tentukan jumlah pembagi n

    Aturan Simpson 1/3 Perumusan Aturan Simpson 1/3 diaproksimasi dengan fungsi parabola:

    ++

    =

    )f(x )f(x 2 3

    14k

    k

    ) 22 16 9)4(1 =+++

    ++

    =

    n

    n

    ii ff

    1

    12

    ])()(

    )()()(

    21

    221100

    xfxf

    xfcxfcxfc

    +

    ++

    39

    = 4

    0)/4 = 1 4

    16

    Perumusan Aturan Simpson 1/3 diaproksimasi dengan fungsi parabola:

  • Perumusan tersebut didapat dari penurunan berikut ini:

    ==

    ==

    ==

    =

    =

    ===

    +

    =

    1 0

    1

    d , ,2

    x, x, x

    )(())((

    ))(())(()(

    2

    1

    0

    1

    120

    1202

    10

    2010

    21

    xx

    xx

    xx

    hxxabh

    balet

    xxxx

    xxxx

    xxxx

    xxxxxL

    )(2

    )1()( 0xfL +=

    3

    2

    3

    0

    1

    01

    1

    1

    3(

    2)(

    3(

    2)(

    1)(

    )()(

    ++

    =

    +

    =

    hxf

    hxf

    (hxf

    dLhdxxfba

    [ (3hdx)x(fb

    axf=

    Gambar 4.10 Grafik Metode Simpson 1/3

    Perumusan tersebut didapat dari penurunan berikut ini:

    =

    +=

    +

    hdx

    2ba

    )()

    )())(())((

    )()

    2

    12101

    200

    xf

    xfxxxx

    xxxxxf

    )(2

    )1()()1( 212 xfxf ++

    1

    1

    2

    1

    1

    3

    1

    1

    1

    2

    1

    122

    1

    10

    )2

    )3

    ()()2

    )1(2

    )()

    )1(2

    )(

    +

    +

    ++

    =

    hxf

    dhxfd

    dhxf

    ])()(4) 210 xfxfx ++

    40

  • Gambar 4.11

    Atau penurunan perumusan tersebut dapat pila didapat dari Polinom interpolasi NewtonGregory derajat 2 yang melalui ketiga titik tersebut.Algoritma:

    a) Definisikan fungsi integran b) Tentukan batas pengintegralan a dan b dan jumlah segmen n (harus genap)c) Hitung : h = (b-a)/nd) Inisialisasi sum = F (a) + 4 x F (a+h)e) Hitung untuk i = 2 sampai i = n

    = sum + 2 x F (a+ixh) + 4 x F (a+(i+1)h)f) Hitung nilai integral I = h/3 x (sum + F(b))g) Tulis hasil perhitungan

    4.5 Aturan Simpson 3/8Aturan Simpson 3/8 diaaproksimasi dengan fungsi

    [ 3)(8

    3

    )()(

    0

    3

    0

    xfh

    xfcdxxf ii

    i

    b

    a

    +=

    = =

    Gambar 4.11. Grafik pembagian h pada metode simpson 1/3

    Atau penurunan perumusan tersebut dapat pila didapat dari Polinom interpolasi Newtonderajat 2 yang melalui ketiga titik tersebut.

    Definisikan fungsi integran Tentukan batas pengintegralan a dan b dan jumlah segmen n (harus genap)

    a)/n Inisialisasi sum = F (a) + 4 x F (a+h) Hitung untuk i = 2 sampai i = n-1 dengan indeks pertambahan sama dengan 2 sum = sum + 2 x F (a+ixh) + 4 x F (a+(i+1)h) Hitung nilai integral I = h/3 x (sum + F(b)) Tulis hasil perhitungan

    Aturan Simpson 3/8 Aturan Simpson 3/8 diaaproksimasi dengan fungsi kubik

    Gambar 4.12 Grafik Metode Simpson 3/8

    ])()(3)(3

    )x(fc)x(fc)x(fc)x(fc

    321

    33221100

    xfxfxf ++

    +++

    41

    . Grafik pembagian h pada metode simpson 1/3

    Atau penurunan perumusan tersebut dapat pila didapat dari Polinom interpolasi Newton-

    Tentukan batas pengintegralan a dan b dan jumlah segmen n (harus genap)

    gan indeks pertambahan sama dengan 2 sum

  • 42

    Error Pemenggalan

    Algoritma: a) Definisikan fungsi integran b) Tentukan batas pengintegralan a dan b dan jumlah segmen n (harus kelipatan 3) c) Hitung : h = (b-a)/n d) Inisialisasi sum = F (a) + 3 x F (a+h) + 3 x F (a+2h) e) Hitung untuk i = 3 sampai i = n-1 dengan indeks pertambahan sama dengan 3 sum

    = sum + 2 x F (a+ih) + 3 x F (a+(i+1)h) + 3 x F (a+(i+2)h) f) Hitung nilai integral I = 3h/8 x (sum + F(b))

    Tulis hasil perhitungan

    4.6 Metode Integrasi Gauss Metode Newton Code (Trapezoida, Simpson) berdasarkan titik 2 data diskrit, dengan batasan h sama dan Luas dihitung dari a sampai b, mengakibatkan error yang dihasilkan cukup besar. Oleh karena itu, diperlukan metode Integrasi Gauss. Persamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss Legendre 2 titik:

    Algoritma Integrasi Kuadratur Gauss dengan Pendekatan 2 titik: Definisikan fungsi f(x) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b) Hitung nilai konversi variabel :

    Tentukan fungsi g(u) dengan:

    Hitung

    3h ; )(

    6480)()(

    803 )4(5)4(5 abfabfhEt ===

    )31()

    31()(

    1

    1

    +=

    ffdxxf

    ( ) )(21

    21

    abuabx ++=

    ( ))()()(21)( 2121 abuabfabug ++=

    +

    =

    31

    31 ggL

  • 4.7 Beberapa Penerapan Integrasi NumerikMenghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar

    Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang menandai atau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnya adalah 100.000 mm atau 100 m.

    Pada gambar di atas, mulai sihal ini n=22). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:

    Dari tabel di atas, luas area dapat dihitung dengan menggunakan 3 macam metode:Dengan menggunakan metode integrasi Reimann

    Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida

    Dengan menggunakan metode integrasi Simpson

    Menghitung Luas dan Volume Benda Putar

    Luas benda putar:

    Volume benda putar:

    Contoh :

    5.7316

    0==

    =iiyhL

    22

    15

    1160

    ++=

    =iiyyy

    hL

    43 160

    ++=

    =ganjiliiyyy

    hL

    =pL

    V

    Beberapa Penerapan Integrasi Numerik Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar

    Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandai atau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnya adalah 100.000 mm atau 100 m. Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam hal ini n=22). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:

    Dari tabel di atas, luas area dapat dihitung dengan menggunakan 3 macam metode:Dengan menggunakan metode integrasi Reimann

    Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida

    Dengan menggunakan metode integrasi Simpson

    Menghitung Luas dan Volume Benda Putar

    5.73=

    742 =

    +

    =genapiii y

    =b

    a

    dxxf )(2pi

    [ ]=b

    a

    p dxxfV 2)(pi

    43

    perlu dilakukan adalah menandai atau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti

    si kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam

    Dari tabel di atas, luas area dapat dihitung dengan menggunakan 3 macam metode:

  • Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4 bagian bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perlu dihitung dengan

    membagi-bagi kembali ruangnya, bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali.

    Bagian I:

    Bagian II: Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan pembagian area , misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:

    Pada bagian II dan IV: dan Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh:

    Luas permukaan dari botol adalah:

    Luas = 1758.4 cm2 Volume botol adalah:

    Volume = 18924.78 cm3

    Rangkuman 1. Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan untuk memperoleh

    jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik.

    2. Metode Pendekatan Persegi Panjang ( Integral Reimann )

    3. Metode Trapesium

    f(x . h = Lh

    1k

    =

    +=

    =

    2 )f(x 2

    1

    10

    n

    k

    hL

    pi )7)(4(2=IL

    ( )pi 12(122=IIL

    pi2

    2)( 50

    +=IVII yy

    hLL

    ( ) pi2

    25

    20

    +== IVII yy

    hVV

    4.1758560

    28810856

    =

    =

    +++=

    +++=

    pi

    pipipiIVIIIIII LLLLL

    pi

    pipi

    602434565.1187196

    =

    ++=

    +++= IVIIIIII VVVVV

    Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4 bagian bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perlu dihitung dengan

    bagi kembali ruangnya, bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali.

    dan

    dan Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan pembagian area , misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:

    Pada bagian II dan IV: dan Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh:

    Luas permukaan dari botol adalah:

    3

    Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan

    Metode Pendekatan Persegi Panjang ( Integral Reimann )

    Metode Trapesium

    )f(xk

    + )f(x )f(x

    1

    1nk

    pi56) = pipi 196)7)(4( 2 ==IV

    pi288)12 = ( )( ) pipi 345612122 2 ==IIV

    IVII LL = IVII VV =

    pi10824

    15 =

    +

    =iiy

    pi5.118724

    1

    225 =

    +

    =iiy

    108+ pi

    pipi 5.11873456 +

    44

    bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perlu dihitung dengan

    Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan pembagian area , misalkan

    Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan

  • 45

    4. Perumusan Aturan Simpson 1/3 diaproksimasi dengan fungsi parabola:

    5. Aturan Simpson 3/8 diaaproksimasi dengan fungsi kubik

    C. Tugas Pilihlah satu metode untuk menyelesaikan integral secara numerik diatas, kemudian coba aplikasikan algoritmanya dalam sebuah bahasa pemograman menggunakan bahasa pemograman MATLAB!

    D. Evaluasi

    Perbandingkan berbagai metode dengan metode Reimann, Trapezoid, dan aturan simpson untuk menghitung integral di bawah ini!

    dxx2

    04, n = 4

    [ ])()(4)(3

    )()()()()(

    210

    221100

    2

    0

    xfxfxfh

    xfcxfcxfcxfcdxxf ii

    i

    b

    a

    ++=

    ++= =

    [ ])()(3)(3)(8

    3

    )x(fc)x(fc)x(fc)x(fc)()(

    3210

    33221100

    3

    0

    xfxfxfxfh

    xfcdxxf ii

    i

    b

    a

    +++=

    +++= =

  • 46

    BAB V PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN

    A. Tujuan Kompetensi Khusus

    Menyelesaikan Sistem Linear dengan beberapa metode dan menginterpreasikan hasilnya beserta algoritmanya.

    Menentukan Determinan dan invers matriks dan menginterpretasikan hasilnya beserta algoritmanya

    B. Uraian Materi Kasus-kasus persamaan linier akan banyak ditemui dalam masalah rekayasa atau science baik dari cara analisis maupun hitungan rumusan model matematika permasalahan. Kasus yang terpenting adalah jika jumlah besaran atau variabel yang dicari sama jumlahnya dengan jumlah persamaan atau lazim disebut persamaan linear simultan. Terdapat beberapa metode yang akan dipelajari guna menyelesaikan persamaan linear simultan ini. Persamaan linier simultan adalah suatu bentuk persamaan-persamaan yang secara bersama-sama menyajikan banyak variabel bebas. Bentuk persamaan linier simultan dengan m persamaan dan n variabel bebas dapat dituliskan sebagai berikut:

    dimana: aij untuk i=1 s/d m dan j=1 s/d n adalah koefisien atau persamaan simultan xi untuk i=1 s/d n adalah variabel bebas pada persamaan simultan Penyelesaian persamaan linier simultan adalah penentuan nilai xi untuk semua i=1 s/d n yang memenuhi semua persamaan yang diberikan. Permasalahan persamaan linier simultan merupakan permasalahan yang banyak muncul ketika berhubungan dengan permasalahan multi-variabel dimana setiap persamaan merupakan bentuk persamaan linier atau dengan kata lain setiap variabel berpangkat paling besar satu. Persamaan linier simultan di atas dapat dinyatakan sebagai bentuk matrik yaitu :

    atau dapat dituliskan:

  • 47

    Matrik A dinamakan dengan Matrik Koefisien dari persamaan linier simultan, atau ada yang menamakan dengan matrik Jacobian. Vektor x dinamakan dengan vektor variabel (atau vektor keadaan) dan vektor B dinamakan dengan vektor konstanta. Augmented Matrix ( matrik perluasan ) dari persamaan linier simultan adalah matriks yang merupakan perluasan matrik A dengan menambahkan vector B pada kolom terakhirnya, dan dituliskan: Augmented (A) = [A B] Sehingga secara detail, augmented matrik dari persamaan linier simultan dapat dituliskan:

    Persamaan Linier Simultan atau Sistem Persamaan Linier mempunyai kemungkinan solusi: Tidak mempunyai solusi Tepat satu solusi Banyak solusi

    Gambar 5.1 Grafik solusi persamaan linear

    Contoh permasalahan 1: Seorang pembuat boneka ingin membuat dua macam boneka yaitu boneka A dan boneka B. Kedua boneka tersebut dibuat dengan menggunakan dua macam bahan yaitu potongan kain dan kancing. Boneka A membutuhkan 10 potongan kain dan 6 kancing, sedangkan boneka B membutuhkan 8 potongan kain dan 8 kancing. Permasalahannya adalah berapa buah boneka A dan boneka B yang dapat dibuat dari 82 potongan kain dan 62 kancing ? Permasalahan ini dapat dimodelkan dengan menyatakan : x = jumlah boneka A dan y = jumlah boneka B. Untuk setiap bahan dapat dinyatakan bahwa: Potongan kain 10 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 82 Kancing 6 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 62

  • 48

    Atau dapat dituliskan dengan : 10 x + 8 y = 82 6 x + 8 y = 62 Penyelesaian dari permasalahan di atas adalah penentuan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan di atas. Contoh permasalahan 2 : Diketahui panas beberapa titik pada plat baja yaitu pada sisi luar. Bila ditentukan bahwa aliran panas bergerak secara laminar dan panas pada sebuah titik adalah rata-rata panans dari 4 titik tetangganya, maka dapat dihitung panas pada titik T1 dan T2 sebagai berikut:

    Persamaan panas pada titik T1 dan T2 dapat dihitung dengan:

    Persamaan linier simultan dari permasalahan di atas adalah:

    Penyelesaian permasalahan di atas adalah nilai T1 dan T2 yang memenuhi kedua persamaan . Theorema 4.1. Suatu persamaan linier simultan mempunyai penyelesaian tunggal bila memenuhi syarat-syarat sebagai berikut. 1) Ukuran persamaan linier simultan bujursangkar, dimana jumlah persamaan sama

    dengan jumlah variable bebas. 2) Persamaan linier simultan non-homogen dimana minimal ada satu nilai vector

    konstanta B tidak nol atau ada bn 0. 3) Determinan dari matrik koefisien persamaan linier simultan tidak sama dengan nol. Untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan persamaan linier simultan dapat dilakukan dengan menggunakan metode-metode analitik seperti pemakaian metode grafis, aturan Crammer, atau invers matrik. Metode-metode tersebut dapat dilakukan dengan mudah bila jumlah variabel dan jumlah persamaannya di bawah 4, tetapi bila ukurannya besar maka metode-metode di atsa menjadi sulit dilakukan, sehingga pemakaian metode numerik menjadi suatu alternatif yang banyak digunakan. Metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan persamaan linier simultan antara lain: (1) Metode Eliminasi Gauss (2) Metode Eliminasi Gauss-Jordan (3) Metode Iterasi Gauss-Seidel

  • 49

    5.1 Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss merupakan metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variabel sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas. Untuk menggunakan metode eliminasi Gauss ini, terlebih dahulu bentuk matrik diubah menjadi augmented matrik sebagai berikut :

    Metode eliminasi gauss, adalah suatu metode dimana bentuk matrik di atas, pada biagan kiri diubah menjadi matrik segitiga atas atau segitiga bawah dengan menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer).

    Metode dasar untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linier adalah mengganti sistem yang ada dengan sistem yang baru yang mempunyai himpunan solusi yang sama dan lebih mudah untuk diselesaikan. Sistem yang baru diperoleh dengan serangkaian step yang menerapkan 3 tipe operasi. Operasi ini disebut Operasi Baris Elementer 1. Mengalikan persamaan dengan konstanta kecuali nol 2. Mempertukarkan dua baris 3. Menambahkan perkalian suatu baris pada baris lainya. Gauss menyelesaikan persamaan linear simultan melalui proses menghilangkan atau mengganti secara beruntun beberapa besaran yang dicari sampai sistem menjadi satu persamaan dengan satu besaran. Persamaan yang menyatakan satu variabel yang tidak diketahui disebut persamaan PIVOTAL atau persamaan POROS. Jika telah diketahui nilai satu variabel, maka variabel lainnya diperoleh melalui proses substitusi ke belakang dengan menggunakan persamaan pivotal. Dalam penyelesaian numerik cara Gauss selalu ditentukan terlebih dahulu persamaan pivotal atau persamaan poros bagi variabel, yaitu persamaan yang mempunyai koefisien terbesar dari besaran yang akan dieliminasi. Apabila besaran yang akan dieliminasi secara berturut-turut adalah x

    1,x

    2, maka persamaan pivotal pertama diperoleh dari koefisien x

    1 mutlak yang terbesar. P Persamaan ini dipindahkan posisinya pada susunan baris pertama, sehingga koefisien yang terbesar berada pada lokasi diagonal a

    11. Persamaan pivotal kedua x

    2 dari hasil susunan

    persamaan pivotal pertama dipilih dari koefisien besaran x2

    yang terbesar. Demikian seterusnya sehingga tersusun persamaan linear simultan dengan koefisien diagonal dapat ditulis sebagai berikut:

    nnnnnn

    n

    n

    n

    baaaa

    baaaabaaaabaaaa

    ...

    ..................

    ...

    ...

    ...

    321

    33333231

    22232221

    11131211

    nnn

    n

    n

    n

    dc

    dccdcccdcccc

    ...000..................

    ...00

    ...0

    ...

    3333

    222322

    11131211

    nnnn

    n

    n

    b

    bb

    aaa

    aaa

    aaa

    ...

    ...

    ............

    ...

    ...

    2

    1

    2n1

    22221

    11211

  • 50

    Tinjaulah contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan cara Gauss sebagai berikut. Persamaan linear dengan 4 besaran yang tidak diketahui disusun pada empat persamaan:

    Besaran yang akan dihilangkan berturut-turut adalah x1, x

    2, dan x3. Karena koefisien x1

    terbesar pada persamaan (3), ini merupakan persamaan pivotal pertama. Nyatakan x1

    dari persamaan ini:

    Masukkan nilai x1

    ini pada persamaan (1), (2), dan (4):

    Dari persamaan (6), (7), dan (8) terlihat koefisien terbesar x2

    pada persamaan (6), sehingga ini merupakan persamaan pivotal kedua. Nyatakan x

    2 dari persamaan ini:

    Persamaan (10) adalah persamaan pivotal ketiga, sehingga:

    Isikan (12) ke (11) sehingga diperoleh:

  • 51

    Dengan cara subsitusi ke belakang, besaran x3, x2 dan x1 diperoleh dari persamaan (12), (9) dan (5). Dengan mengisikan nilai x

    4 ke persamaan (12) diperoleh x3 = 0.22636 dan dengan

    mengisikan nilai x3 dan x4 ke persamaan (9) didapat x2 = 0.208898, sehingga nilai x1 dapat diperoleh dari persamaan (5) dari x

    2, x3, da x4 yang telah diketahui, yaitu x1 = 1.038335.

    Hasil penyelesaian sistem :

    Untuk memeriksa kebenaran keempat nilai di atas, masukkan nilai x1, x

    2, x3, dan x4 pada

    persamaan (1), (2), (3) dan (4). Terlihat bahwa cara Gauss menyelesaikan sistem persamaan linear adalah dengan mengubah sistem persamaan yang diketahui menjadi persamaan pivotal sistem triangulasi. Dalam penyajian matriks, susunan akhir menjadi :

    Dengan mudah dari matriks ini dihitung determinan, berupa perkalian nilai koefisien diagonal utama : D = 5.36 x 4.287538 x 1.47564 x (-3.117463) = -105.720. Dengan penjelasan dalam contoh di atas, Algoritma Program mengubah bentuk umum persamaan simultan :

  • 52

    Hal ini dilakukan melalui proses me-nol-kan kolom 1 sampai kolom n-1 di bawah posisi diagonal. Untuk tujuan ini dibutuhkan (n-1) tahapan proses. Setiap tahap k, k = 1, 2, ..., n-1 akan menghasilkan nilai 0 pada kolom k tanpa mengubah nilai 0 yang sudah ada pada kolom sebelumnya. Ini berarti bahwa pada setiap tahap dicari suatu pengali m

    ik, dan

    kemudian dilakukan pengurangan hasil pengali dari baris persamaan pivoting yang ditinjau dengan persamaan dari baris lainnya sedemikian rupa sehingga diperoleh nilai nol. Untuk mendapatkan nilai nol pada kolom pertama di bawah diagonal elemen a

    11 pada contoh

    berikut:

    Secara umum :

    Pada proses perhitungan besaran ini sesungguhnya hanya ditinjau nilai j = k+1, k+2, .., n, karena besaran nol di bawah posisi diagonal tidak memerlukan perhitungan lanjut. Dengan substitusi ke belakang

  • 53

    dengan i = n-1, n-2, ..., 2, 1, akan diperoleh besaran variabel yang dicari. Elemen a

    kk yang digunakan menghitung m

    ik disebut elemen PIVOT. Pada tahap akhir

    penghitungan, determinan dunyatakan sebagai :

    Sehingga jika ada pivot bernilai nol, berarti determinan |A| = 0. Ini menunjukkan invers [A]-1 tidak ada, dan tidak ada penyelesaian unik persamaan sebab solusi vektor x dicari dari {x} = [A]-1 {b}. Jika pada proses eliminasi nilai a

    kk bernilai 0, tetapi elemen di bawahnya bukan 0, maka

    perlu modifikasi susunan baris, dengan pertukaran baris dalam matriks untuk mendapatkan pivot yang bukan bernilai 0. Proses ini disebut proses PIVOTING. Suatu pivot bernilai kecil sekali, dan sistem persamaan mempunyai nilai determinan yang kecil; sistem disebut berkondisi ill (ill conditioned); yang berarti solusi yang akan diperoleh tidak memberikan hasil yang besar. Penjelasan uraian ini dapat dilihat pada solusi dua persamaan berikut

    yang dalam penyajiannya secara grafik hampir paralel. Solusi persamaan ini tidak stabil dan hasilnya dengan cara apa pun tidak akan memberikan nilai yang benar. Algoritma yang memberikan sifat tidak stabil harus dicegah dengan menetapkan syarat perlu :

    Dengan ketentuan ini, prosedur pivoting perlu dimodifikasi pada tahap ke-k, sebelum dibentuk pengali m

    ik dengan penyusunan baris baru sedemikian rupa untuk memperoleh

    nilai mutlak terbesar elemen dalam kolom k di posisi diagonal utama.

    Algoritma Program Algoritma penyelesaian persamaan simultan cara eliminasi Gauss : a). Masukkan nilai matriks [A] dan {b} yang membentuk persamaan simultan linear. b). Bentuk matriks gabungan [G] yang merupakan gabungan matriks [A] dan {b}. c). Lakukan eliminasi untuk me-nol-kan bagian segitiga bawah matriks. d). Lakukan substitusi mundur untuk mendapatkan hasil perhitungan. e). Tulis keluaran dan akhiri program.

  • 54

    Gambar 5.2 Flowchart Penyelesaian Numerik SistemPersamaan Linear

  • 55

    5.2 Metode Eliminasi Gauss Jordan Metode ini merupakan pengembangan metode eliminasi Gauss, hanya saja augmented matrik, pada sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal.

    Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai d1,d2,d3,,dn dan atau:

    Teknik yang digunakan dalam metode eliminasi Gauss-Jordan ini sama seperti metode eliminasi Gauss yaitu menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer). Hanya perhitungan penyelesaian secara langsung diperoleh dari nilai pada kolom terakhir dari setiap baris. Contoh 1: Selesaikan persamaan linier simultan:

    Penyelesaian dengan operasi baris elementer:

    Penyelesaian persamaan linier simultan : x1 = 2 dan x2 = 1 Contoh 2:

    B2-2B1 B3-3B1

    B2 B3-3B2

    nnnnnn

    n

    n

    n

    baaaa

    baaaabaaaabaaaa

    ...

    ..................

    ...

    ...

    ...

    321

    33333231

    22232221

    11131211

    nd

    ddd

    1...000..................

    0...1000...0100...001

    3

    2

    1

    nn dxdxdxdx ==== ,....,,, 332211

    8423

    21

    21

    =+

    =+

    xx

    xx

    842311

    110201

    110311

    2/2

    220311

    2

    21

    12

    BB

    B

    bB

    0563 134292

    =+

    =+

    =++

    zyxzyxzyx

    056313429211

    0563177209211

    271130177209211

    27113010

    9211

    217

    27

  • 56

    -2 B3 B1- B2

    B2 + 7/2 B3

    B1 - 11/2 B3

    Solusi x = 1, y=2 dan z=3

    Secara umum prosedur me-nol-kan unsur pada posisi atas dan bawah diagonal dilakukan dengan pengali.

    bagi unsur di bawah pivotal dan bagi unsur di atas pivotal, dengan i = 2,3, ..., n dan l = k-1, k-2, ....., 1, dan

    Dengan hanya unsur diagonal matriks 0 dapat dilakukan normalisasi pada matriks. Hasil perhitungan langsung didapatkan pada kolom terakhir matriks. Bentuk matriks gabungan setelah normalisasi adalah sebagai berikut :

    Algoritma Metode Eliminasi Gauss-Jordan adalah sebagai berikut:

    (1) Masukkan matrik A, dan vektor B beserta ukurannya n (2) Buat augmented matrik [A|B] namakan dengan A (4) Untuk baris ke i dimana i=1 s/d n (a) Perhatikan apakah nilai ai,i sama dengan nol : Bila ya :

    pertukarkan baris ke i dan baris ke i+kn, dimana ai+k,i tidak sama dengan nol, bila tidak ada berarti perhitungan tidak bisa dilanjutkan dan proses

    dihentikan dengan tanpa penyelesaian. Bila tidak : lanjutkan

    23

    21

    217

    27

    0010

    9211

    310010

    9211 2

    1727

    31001001

    217

    27

    235

    211

    310020101001

  • 57

    (b) Jadikan nilai diagonalnya menjadi satu, dengan cara untuk setiap kolom k dimana k=1 s/d n+1, hitung

    (5) Untuk baris ke j, dimana j = i+1 s/d n Lakukan operasi baris elementer: untuk kolom k dimana k=1 s/d n Hitung c = aj,i Hitung a j,k = a j,k c.ai,k (6) Penyelesaian, untuk i = n s/d 1 (bergerak dari baris ke n sampai baris pertama) xi = ai,n+1

    5.3 METODE DEKOMPOSISI LU

    Dari pembuktian matematika, jika suatu matriks [A] bukanlah singular sifatnya (ada penyelesaian yang unik :

    triangular [L] dan [U]. [L] disebut matriks triangular bawah yang elemen matriksnya mempunyai nilai satu pada diagonal dan nilai 0 di atas diagonal, seperti :

    [U] disebut matriks triangulasi atas dengan nilai elemen di bawah diagonal sama dengan 0. Dengan demikian : [A] = [L] [U] Bila persamaan linear yang simultan dinyatakan dalam matriks [A]{x} ={b}, maka mengisikan matriks [A] dengan [L] [U] menghasilkan [L][U]{x} ={b} (5.21)

  • 58

    Berarti terdapat dua sistem : [L] {z} = {b} untuk mencari {z}, dan [U] {x} = {z} untuk memperoleh {x}. Matriks [U] sama dengan matriks triangulasi yang diperoleh dari metode Gauss. Penyelesaian [U] {x} = {z} dilakukan dengan cara substitusi ke belakang, setelah diketahui nilai {z}, yang diselesaikan dari [L] {z} = {b}. Unsur elemen matriks [L] merupakan pengali dalam proses eleminasi Gauss, sehingga menyimpan pengali ini selama proses eliminasi menjadi dasar pembentukan matriks [L] dan [U]. Metode penyelesaian seperti ini disebut metode dekomposisi LU. Algoritma proses dekomposisi LU: a). Mendapatkan matriks [L] dan [U]. b). Menyelesaikan [L]{z} = {b}. c). Menyelesaikan [U]{x} = {z} Proses ini mempunyai syarat telah memasukkan prosedur pivotal. Selanjutnya, cara dekomposisi ini mempunyai keunggulan dari cara Gauss, yaitu untuk nilai {b} yang berbeda-beda cukup dilakukan satu kali penguraian matriks [A] ke [L][U].

    Sebagai contoh, ditinjau proses dekomposisi LU untuk menyelesaikan persamaan 3x

    1 + 2x

    2 - 5x3 = 8

    5x1

    - 2x2

    + 3x3 = 5 x

    1 + 4x

    2 - 2x3 = 9

    Dalam bentuk matriks :

    Dari persamaan awal terlihat perlu dilakukan proses pivotal untuk koefisien x1

    yang diubah susunannya menjadi

    Karena proses dekomposisi LU pada matriks A, cukup ditulis

    Proses pertama ialah menghilangkan elemen di bawah a11

    menjadi nol. Secara umum:

  • 59

    Susunan baru [A] :

    Dari susunan unsur tidak ada perubahan pivotal untuk meneruskan proses triangulasi.

  • 60

    sedangkan [L] ialah

    Dekomposisi [A] = [L][U]

    Penyelesaian dari persamaan menjadi :

    Dari langkah (a), vektor {b} dapat mempunyai nilai yang berbeda, sehingga vektor {z} sebagai vektor antara mendapatkan nilai vektor {x} menjadi fasilitator penyelesaian persamaan bagi berbagai nilai vektor {b}. []{}{}bxA= Metode dekomposisi LU banyak dipakai dalam pemrograman solusi analisis sistem yang baku, yang unsur matriks [A] tetap, tetapi unsur vektor {b} yang terkait dengan pengaruh luar terhadap sistem mempunyai beberapa variasi.

    Algoritma Program Algoritma penyelesaian persamaan simultan linear dengan metode dekomposisi LU: a). Masukkan nilai matriks [A] dan {b}. b).Lakukan dekomposisi matriks [A] (algoritma diberikan selengkapnya pada Bagan Alir

    Program program). c). Lakukan substitusi ke depan. d). Lakukan substitusi ke belakang untuk mendapatkan penyelesaian persamaan. e). Tulis keluaran dan akhiri program.

  • 61

    5.4 Metode Iterasi Gauss-Seidel Metode interasi Gauss-Seidel adalah metode yang menggunakan proses iterasi hingga diperoleh nilai-nilai yang berubah. Bila diketahui persamaan linier simultan:

    Berikan nilai awal dari setiap xi (i=1 s/d n) kemudian persamaan linier simultan diatas dituliskan menjadi:

    Dengan menghitung nilai-nilai xi (i=1 s/d n) menggunakan persamaan-persamaan di atas secara terus-menerus hingga nilai untuk setiap xi

    (i=1 s/d n) sudah sama dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya maka diperoleh penyelesaian dari persamaan linier simultan tersebut. Atau dengan kata lain proses iterasi dihentikan bila selisih nilai xi (i=1 s/d n) dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya kurang dari nilai tolerasi error yang ditentukan. Untuk mengecek kekonvergenan :

    Hati-hati dalam menyusun sistem persamaan linier ketika menggunakan metode iterasi Gauss-Seidel ini. Perhatikan setiap koefisien dari masing-masing xi pada semua persamaan di diagonal utama (aii).Letakkan nilai-nilai terbesar dari koefisien untuk setiap xi pada diagonal utama. Masalah ini adalah masalah pivoting yang harus benar-benar diperhatikan, karena penyusun yang salah akan menyebabkan iterasi menjadi divergen dan tidak diperoleh hasil yang benar.

    Berikan nilai awal : x1 = 0 dan x2 = 0. Susun persamaan menjadi:

    nnnnnnn

    nn

    nn

    nn

    bxaxaxaxa

    bxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxa

    =++++

    =++++

    =++++

    =++++

    ...

    .............................................

    ...

    ...

    ...

    332211

    33333232131

    22323222121

    11313212111

    ( )

    ( )

    ( )112211

    232312122

    2

    1313212111

    1

    ....

    1...............................................................

    ....

    1

    ....

    1

    2

    =

    =

    =

    nnnnnn

    nn

    n

    nn

    nn

    xaxaxaba

    x

    xaxaxaba

    x

    xaxaxaba

    x

    14425

    21

    21

    =+

    =+

    xx

    xx

  • 62

    Nilai interasi ke-7 sudah tidak berbeda jauh dengan nilai interasi ke-6 maka proses dihentikan dan diperoleh penyelesaian:

    Algoritma Metode Iterasi Gauss-Seidel adalah sebagai berikut: (1) Masukkan matrik A, dan vektor B beserta ukurannya n (2) Tentukan batas maksimum iterasi max_iter (3) Tentukan toleransi error (4) Tentukan nilai awal dari xi, untuk i=1 s/d n (5) Simpan xi dalam si, untuk i=1 s/d n (6) Untuk i=1 s/d n hitung :

    (7) iterasi iterasi+1

  • (8) Bila iterasi lebih dari max_iter atau tidak terdapat dihentikan dari penyelesaiannya adalah (5)

    5.5 Contoh Penyelesaian Permasalahan Persamaan Linier SimultanContoh 1. Mr.X membuat 2 macam boneka A dan B. Boneka A memerlukan bahan 10 blok B1 dan 2 blok B2, sedangkan boneka B memerlukan bahan 5 blok B1 dan 6 blok B2. Berapa boneka yang dapat dihasilkan bila tersedia 80 blok bahan B1 dan 36 blok bahan B2.Model Sistem Persamaan Linier :Variabel yang dicari adalah jumlah boneka, anggap: x1 adalah jumlah boneka A x2 adalah jumlah boneka BPerhatikan dari pemakaian B1: 10 bahan untuk boneka A + 5 bahan untuk boneka B = 80 B2: 2 bahan untuk boneka A + 6 bahan untuk boneka B = 36Diperoleh model sistem persamaan linier 10 x1 + 5 x2 = 80 2 x1 + 6 x2 = 36 metode eliminasi Gauss

    Diperoleh x1 = 6 dan x2 = 4, artinya bahan yang tersedia dapat dibuat 6 boneka A dan 4 boneka B.

    Contoh Kasus 2: Permasalahan aliran panas pada plat bajaDiketahui panas beberapa titik pada plat baja yaitu pada sisi luar. Bila ditentukan bahwa aliran panas bergerak secara laminar dan panas pada sebuah titik adalah ratadari 4 titik tetangganya, maka dapat dihitung panas pada titik

    (8) Bila iterasi lebih dari max_iter atau tidak terdapat ei

  • 64

    Persamaan panas pada titik T1 dan T2 dapat dihitung dengan:

    Sistem persamaan linier dari permasalahan di atas adalah:

    Penyelesaian dengan menggunakan iterasi Gauss-Seidel, terlebih dahulu ditentukan nilai pendekatan awal T1=0 dan T2=0 dan fungsi pengubahnya adalah :

    Diperoleh hasil perhitungan untuk toleransi error 0.0001 sebagai berikut:

    Jadi temperatur pada T1=23,3333 dan T2=43,3333

    C. Rangkuman 1. Persamaan linier simultan adalah suatu bentuk persamaan-persamaan yang secara

    bersama-sama menyajikan banyak variabel bebas. Bentuk pers