Modul Matematik Tambahan t4

8/10/2019 Modul Matematik Tambahan t4

1/50

Modul Bimbingan Matematik Tambahan Tingkatan 4

Cikgu Hussen & Cikgu Noranidahhttp://www.hussenhmhuda.wordpress.com

1

FUNGSI

KERTAS 1

1. Berdasarkan maklumat di atas, hubungan P kepada Q ditakrifkan oleh set pasangan

bertertib {(1, 2), (1, 4), (2, 6), (2, 8)}. Nyatakan

(a) imej bagi 1,

(b) objek bagi 2. [2 markah]

2. Rajah 1 menunjukkan hubungan antara setPdan set Q.

d w

e x

f y

z

RAJAH 1

Nyatakan

(a) julat hubungan itu,

(b) jenis hubungan itu. [2 markah]

3.

Dalam Rajah 2, fungsi hmemetakanxkepada ydan fungsigmemetakan y kepada z.

RAJAH 2

Tentukan

(a) h1(5),

(b) gh(2). [2 markah]

P = {1, 2, 3}Q = {2, 4, 6, 8, 10}

x y z

h g

2

5

8


2/50



2

4. Diberi xxg 43: . Carikan nilaig(2) [3 markah]

5. Diberi 13: 2 xxf dan 4: xxg . Carikan fg. [3 markah]

6.

Diberi 34: xxf , carikan nilai f2(1). [3 markah]

7. Diberif(x) = 43xdan fg(x) = 105x. Carikan fungsig. [3 markah]

8. Diberig:x px+ q, p 0 dan g2:x 4x15. Carikan nilaipdan nilai q.

[4 markah]

9. Diberi f:x4x1 dan g:xx2+ 3, carikan

(a) fg(3),

(b) nilaixapabila f2(x) = 7. [4 markah]

10.

Fungsi wditakrifkan olehx

xw

2

5)( , x2.

Tentukan

(a)

w1(x),

(b) w1(4). [4 markah]

11. Maklumat berikut adalah berkaitan dengan fungsi hdan fungsig.

Carikan gh-1(x). [4 markah]

12.

Diberi 15: xxg dan 32: 2 xxxh , carikan

(a) g 1(3),

(b)

hg(x) [4 markah]

h:x 2x3

g:x 4x1


3/50



3

13. Diberi fungsi mxxh 4: dan8

52:1 kxxh , dengan keadaan mdan kadalah

pemalar, carikan nilai mdan nilai k. [4 markah]

14.

Diberi fungsi ,6)(x

xh x0 dan fungsi gubahan hg(x) = 3x, carikan

(a) g(x),

(b) nilaixapabila gh(x) = 5. [4 markah]

15.

Fungsi fdangditakrifkan seperti yang berikut :

2

10:

x

xxf ; x2

xxg 25: .

Ungkapkan gf1. [4 markah]


4/50



4

JAWAPAN

1. (a) 2, 4

(b) 1

2.

(a) Julat = {x,y}

(b) Hubungan banyak dengan satu

3. (a) 2

(b) 8

4.

5

5. 3x224x+ 49

6. 31

7.

3

65 x

8. p= 2 , q= 5

9. (a) 47

(b)4

3x

10.

(a)x

xxw

52)(1

(b)4

3)4(1 w

11. 2x+ 5

12.

(a)5

2

(b) 25x2+ 2

13.

8

1k ,

2

5m

14. (a)x

xg2

)(

(b) x= 15

15.1

251

x

xgf


5/50



5

PERSAMAAN KUADRATIK

KERTAS 1

1.

Ungkapkan x(3x2) =x

2

+ 5 dalam bentuk am persamaan kuadratik. [2 markah]

2. Bentukkan persamaan kuadratik yang mempunyai punca 2 dan 3. [2 markah]

3. Bentukkan persamaan kuadratik yang mempunyai punca-punca 3 dan2

1. Berikan

jawapan anda dalam bentuk 02 cbxax , dengan keadaan a, b dan c adalahpemalar. [2 markah]

4. Selesaikan persamaan kuadratik2x(3x1) + 9x= 5. [3 markah]

5. Selesaikan persamaan kuadratik h23h + 2 = 2(h1). [3 markah]

6. Dengan menggunakan kaedah penyempurnaan kuasa dua, selesaikan persamaan

kuadratik 2x2+ 6x+ 3 = 0. [3 markah]

7. Selesaikan persamaan kuadratik 2x(x4) = (1x)(x+ 2).

Tuliskan jawapan anda betul kepada empat angka bererti. [4 markah]

8. Selesaikan persamaan kuadratik 12)52( xxx .

Berikan jawapan anda betul kepada tiga tempat perpuluhan. [4 markah]

9. Diberi satu daripada punca persamaan kuadratikx2+ kx+1 = 0 adalah empat kali ganda

punca yang satu lagi, cari nilai k. [3 markah]

10. Satu daripada punca persamaan 2x2+ 8x = 2k+ 1 ialah tiga kali punca yang satu

lagi, dengan keadaan kadalah pemalar. Cari punca-punca tersebut dan nilai k.

[4 markah]

11. Diberi m dan n adalah punca bagi persamaan kuadratik x2 + 3x 9 = 0, bentukkan

persamaan kuadratik yang mempunyai punca2

mdan

2

n. [4 markah]

12. Diberi persamaan kuadratik 4x2 hx + 25 = 0 mempunyai dua punca yang sama.

Cari nilai h. [4 markah]


6/50



6

13.

Diberix2+ (p2)x+ 10p= 0 mempunyai dua punca yang sama, cari nilaip.

[4 markah]

14. Carikan julai nilai h jika persamaan x2 + 10x + h = 0 mempunyai dua punca yang

berbeza.

[4 markah]

15. Tunjukkan bahawa persamaan mx24mx+ x = 1 4m tidak mempunyai punca jika

m4

1. [4 markah]

JAWAPAN

1. 2x22x5 = 0

2. x2+x6 = 0

3. 2x2+ 5x3 = 0

4.3

5x ,

2

1x

5.

h= 1, h= 4

6.

x= 0.6340, x= 2.366

7. x= 2.591 , x= 0.2573

8. x= 3.351, x= 0.149

9.2

5k

10. Punca = 1, 3,

2

7k

11. 4x2+ 6x9 = 0

12.

h= 20

13. p= 6

14.

h 25


7/50



7

FUNGSI KUADRATIK

KERTAS 1

1.

Diberi 5)1(3)( 2 xxf . Cari nilai minimum atau maksimum bagif(x). [2 markah]

2. Rajah 1 menunjukkan graf bagi fungsi y = (x k)2 2, dengan keadaan k adalahpemalar.

RAJAH 1

Carikan

(a) nilai k,

(b)

persamaan paksi simetri,

(c) koordinat titik maksimum. [3 markah]

3.

Rajah 2 menunjukkan graf kuadratik 2)(3)( 2 pxxf , dengan keadaan p ialahpemalar.

RAJAH 2

Lengkung y= f(x) mempunyai titik minimum (1, q), dengan keadaan qialah pemalar.

Nyatakan

(a) nilai p,

(b)

nilai q,(c) persamaan paksi simetri. [3 markah]

3

y

x0

(2, 3)

x

y

0

y = f(x)

(1, q)


8/50



8

4. Diberi graf fungsi kuadratik kxxxf 8)( 2 menyentuh paksi-x pada satu titik

sahaja. Cari nilai k. [3 markah]

5.

Diberi graf fungsi kuadratik pxxxf 42)( 2 tidak bersilang dengan paksi-x.

Carikan julat nilai p. [3 markah]

6. Cari julat nilai p jika 12522)( 2 ppxxxf menyilang paksi-x pada dua titik

yang berlainan. [4 markah]

7.

Garis lurus y= 5x1 tidak bersilang dengan lengkung y= 2x2+x+p.


8. Persamaan kuadratikx(x+ 1) = px4 mempunyai dua punca berbeza.


9. Cari julat nilaixjikax24x5 0. [3 markah]

10.

Cari julat nilaixbagix(x4) 12. [3 markah]

11. Cari julat nilaix dengan keadaan (x+ 3)(x4) 6. [3 markah]

12.

Cari julat nilaixjika (x3)(2x+ 4) (x3)(x+ 3) [3 markah]

13. Diberi 3x+ 4y= 12, cari julat nilaixapabila y6. [3 markah]

14.

Cari julat nilaixjika 6y1 = 4xdan 3y2 +x. [3 markah]

KERTAS 2

15. Fungsi 154)( 22 kkxxxf mempunyai nilai minimum r2+ 2k, dengan keadaan r

dan kadalah pemalar.

(a)

Dengan menggunakan kaedah menyempurnakan kuasa dua , tunjukkan bahawa

r = k1. [4 markah]

(b) Seterusnya, atau dengan cara lain, carikan nilai kdan nilai r jika graf bagi fungsi

itu bersimetri padax= r21. [4 markah]


9/50



9

JAWAPAN

1.

Nilai minimum = 5

2.

(a) k= 1(b) x= 1

(c) Titik maksimum (1, 2)

3. (a) p= 1

(b) q= 2

(c) paksi simetri,x= 1

4. k= 16

5.

p

26. p4, p6

7. p1

8. p3, p5

9.

x1, x 5

10. 2 x 6

11. 2 x 3

12.

x1, x 3

13. x 4

14.

x 2

3

15.

r= 3, k = 4

r= 1, k= 0


10/50



10

PERSAMAAN SERENTAK

KERTAS 2

1. Selesaikan persamaan serentak x+ 2y= x23y+y2 = 4. [5 markah]

2. Selesaikan persamaan serentak x+2

y = 1 dan 2 10 2y x [5 markah]

3. Selesaikan persamaan serentak 2yx= 1 dan4 3

7x y

[6 markah]

4. Selesaikan persamaan serentak 2x+ 3y+ 1 = 0 dan y2+ 6xy+ 6 = 0. Berikan jawapan

anda betul hingga dua tempat perpuluhan. [5 markah]

5. Selesaikan persamaan serentak 4x+y+ 8 = x2+xy= 2 [5 markah]

6. Selesaikan persamaan serentak2

43

x

y dan x+ 6y= 3. [6 markah]

7. Selesaikan persamaan serentak 2x+ 3y= 9 dan 6 1y x

x y [6 markah]

8. Selesaikan persamaan serentak 3x2y= 5 danx2y

2y 3 = 0 [5 markah]

9. Selesaikan persamaan serentak 2y2= 3(1x) dan 3y

x [5 markah]

10. Selesaikan persamaan serentak 2x+y= 9 danx(1y) = 23 1x . Berikan jawapan andabetul sehingga dua tempat perpuluhan. [5 markah ]

JAWAPAN

1. x=5

12,y=

5

4; x= -2,y= 3

2. x= 3, y= -4 ;x=1

2 , y = 3

3. x= 1, y= 1 ; x= 4

7 , y=

14

3

4. x= 1.105, y= 1.07 ;x= 1.55 , y= 0.70

5. x= 1, y= 2 ; x= 4,y= 10

6. x= 0, y=2

1; x= 15, y= 2

7. x= 3 , y=1; x= 18 ,y= 9

8. x=5

9, y =

5

1; x= 3,y= 2

9. x=3

1, y= 1;x =

1

2 , y =

3

2

10. x= 7.87, y= 24.75 ; x = 0.13 , y= 9.25


11/50



11

INDEKS DAN LOGARITMA

KERTAS 1

1. Selesaikan 8x+1 = 15 [3 markah]

2. Selesaikan 4x= 32. [3 markah]

3. Selesaikan persamaan 274x= 812x-1 [3 markah]

4. Selesaikan2 46 36 0x x [4 markah]

5. Selesaikan2 64 64x x =0 [4 markah]

6. Selesaikan persamaan (5x+1)2 =1

125 [3 markah]

7. Selesaikan 4x+1 = 0.3x [3 markah]

8. Ringkaskan log63 + log63 + log624 [3 markah]

9. Selesaikan log102x+ log10 (4 1)x = 1 [3 markah]

10. Diberi persamaan log10 (2x+y) = 1 + log10(y5), ungkapkanydalam sebutanx.

[4 markah]

11. Diberi log4T+ log2V=2

1, ungkapkan Tdalam sebutan V. [4 markah]

12. Selesaikan log y34 = 6 [3 markah]

13. Ringkaskan 12 log525 + 3 log5125 [3 markah]

14. Selesaikan persamaan log10( 2x+ 6 ) = 1 + log10(x5) [3 markah]

15. Selesaikan persamaan 4 logx5 + 2 log x3log x 375 = 4 dengan memberi jawapan

betul sehingga empat angka bererti. [3 markah]


12/50



12

JAWAPAN

1. x= 0.302

2. x=5

2

3. x= 1 4. x= 2, 4 5. x=6, 3

6. x=5

2

7. x=0.5352

8. 3

9. x=4

5,1

10 y=9

2(x+ 25)

11. T =2

2

V

12. y= 1.8

13. 6

14. x= 7

15. x= 1.968


13/50



13

GEOMETRI KOORDINAT

KERTAS 1

1. DiberiEFialah garis lurus denganE(1, 4 ) danF( 5, 12 ). Cari persamaan lokus bagi

suatu titik yang bergerak supaya jaraknya sentiasa sama dari titik Edan titikF.[4 markah]

2. Carikan persamaan lokus bagi titik bergerak Q(x,y) yang sentiasa berjarak sama dari

titik A( 1, 2 ) dan titikB( 0, 3 ) [4 markah]

3. Carikan persamaan garis lurus yang melalui titik P( 4, 1) dan selari dengan garis

2 5 3 0x y [3 markah]

4. DiberikanP(h,3) ,Q(2,1) danR (8, 1) adalah segaris. Carikan nilai h.[3 markah]

5. Diberikan titik P bergerak supaya jaraknya dari A(2,3) ialah 4 unit. Carikan

persamaan lokus titikA. [3 markah]

6. Diberikan PQR ialah satu garis lurus. Diberi koordinat bagi titik P dan Q masing-

masing ialahP(1, 2 ) dan Q(3,1 ). JikaPQ: QR= 1: 3 , carikan koordinat titikR.

[4 markah]

7. C ialah satu titik pada garis yang menyambungkan A(3,6) dan B(7,1) supaya

3AC= 2CB, carikan koordinat titik C. [4 markah]

8. Koordinat bagi tiga bucu suatu segitiga ialah ( 1,5 ) ,( 2b, a) dan (2a ,b).Diberi

a+ b=0 dan luas segitiga ialah 18 unit2.Cari nilai-nilai a dan b. [4 markah]

9. Cari persamaan garis lurus yang melalui titik (1, 5) dan serenjang dengan garis yang

menyambungkan titik ( 2,6) dan titik ( 3, 8 ). [4 markah]

10. Titik-titikA( 2h,h ) ,B(p, t) dan C( 2p, 3t) terletak pada suatu garis lurus .

Bmembahagi dalamACdengan nisbah 2 : 3 . Ungkapkan p dalam sebutan t.[4 markah]


14/50



14

KERTAS 2

11. Dalam Rajah 1, sudutABC=90odan persamaan garis lurusBCialah 2y+x+ 6 = 0.

(a) Carikan

(i) persamaan garis lurusAB.

(ii) koordinatB. [5 markah]

(b) Garis lurusAB dipanjangkan ke suatu titikDdengan keadaanAB:BD= 2 : 3.

Carikan koordinatD. [2 markah]

(c) Suatu titikPbergerak dengan keadaan jaraknya dari titikAadalah sentiasa 5 unit.

Carikan persamaan lokus bagiP. [3 markah]

y

A(4,9)

B

C

x0

2y+x+6 =0

RAJAH 1


15/50



15

12. Penyelesaian secara lukisan jitu tidak dibenarkan untuk soalan ini.

Rajah 2 menunjukkan sebuah segiempat selari ABCD. Koordinat bagi titik A ,Bdan C

masing-masing ialah(4, 4 ) ,( 2, 9 ) dan ( 4, 1 ) .

Carikan

(a) koodinat titik persilangan antara pepenjuruACdanBD. [2 markah]

(b) koordinat bagi titikD. [2 markah]

(c) luas segiempat selariABCD. [3 markah]

(d) persamaan lokus bagi suatu titik bergerakP, supaya 3AP= 2CP. [3 markah]

y

A

B

C

D

x

RAJAH 2

0


16/50



16

JAWAPAN

1. 4y + 3x= 38

2. y=x+ 2

3. 5y = 2x + 13

4. h=4

5. x2+y2+ 4x6y3 = 0

6. R (9,10 )

7. C( 1, 4 )

8 a= 2 , b=2; a=2 , b= 2

9. 14y+x= 69

10. p=2 t

11. (a) (i) y= 2x+ 17

(ii) B (8, 1)

(b) D(14,11)

(c) x2+y2+ 8x18y+ 72 = 0

12. (a) (0,2

5)

(b) D(2,4 )

(c) 58 unit2

(d) 5x2+5y2+104x64y+ 220 = 0


17/50



17

STATISTIK

KERTAS 1

1. Bagi set nombor 20, 19, 17, 19, 15, 16, 16, dan 19, carikan

(a) min,(b) mod,

(c) median. [4 markah]

2 Tiga integery ,xdanx+ 6 mempunyai min 9 dan median 8. Diberix>y, carikannilaixdany. [3 markah]

3 Min dan varians bagi satu set nombor yang mengandungi enam nombor adalah 6 dan 8

masing-masing. Satu nombor, a, ditambah ke dalam set nombor itu dan minnya tidak

berubah. Carikan

(a) nilai a

(b) sisihan piawai baru. [4 markah]

4 Min bagi empat nombor ialah m . Hasil tambah kuasa dua nombor-nombor itu ialah

100 dan sisihan piawainya ialah 3k. Ungkapkan mdalam bentuk k. [3 markah]

5 Markah sembilan orang pelajar dalam suatu ujian matematik tambahan ialah 30, 25, 33,

42, 27, 51, 65, 45, 57. Carikan

(a) julat,

(b) julat antara kuartil markah ujian itu. [3 markah]

6 Jadual 1 menunjukkan bilangan gol yang dijaringkan dalam satu pertandingan bola

sepak.

Bilangan Gol 1 2 3 4 5

Bilangan Pasukan 16 8 p 4 2

JADUAL 1Carikan

(a) nilai maksimum bagip , jika mod ialah 1,

(b) nilai minimum bagip , jika min gol lebih daripada 2. [3 markah]


18/50



18

KERTAS 2

7 Min bagi set enam nombor 7, 2, 8, 3, 6 danyialah 6.

(a) Carikan nilaiy. [2 markah]

(b) Seterusnya, carikan sisihan piawai set nombor itu. [4 markah]

8 Jadual 2 menunjukkan markah 80 orang pelajar dalam suatu ujian matematik.

Markah Bilangan Pelajar

3039 9

4049 11

5059 22

6069 25

7079 88089 5

JADUAL 2

Carikan

(a) kelas mod,

(b) min,

(c) median markah matematik itu. [7 markah]

9 Hasil tambah satu set data yang mengandungi sepuluh nombor ialah 62 dan hasil

tambah bagi kuasa dua nombor-nombor itu ialah 438.

(a) Carikan min dan sisihan piawai bagi sepuluh nombor itu. [3 markah]

(b) Satu nombor 5, dikeluarkan dari set data itu, carikan min dan sisihan piawai bagi

sembilan nombor itu. [3 markah]

10 Satu set data mengandungi 10 nombor. Hasil tambah nombor-nombor itu ialah 150 dan

hasil tambah bagi kuasa dua nombor-nombor itu ialah 2472.

(a) Carikan min dan varians bagi 10 nombor itu. [3 markah](b) Satu nombor lain ditambah kepada set data itu dan min bertambah sebanyak 1.

Carikan

(i) nilai nombor itu,

(ii) sisihan piawai bagi set 11 nombor itu. [4 markah]


19/50



19

11 Rajah 1 ialah histogram yang mewakili taburan markah bagi 40 orang murid dalam

suatu ujian.

RAJAH 1

(a) Tanpa menggunakan ogif, hitungkan markah median. [3 markah]

(b) Hitungkan sisihan piawai bagi taburan markah itu. [4 markah]

12 Jadual 3 menunjukkan taburan jisim 100 orang murid di sebuah sekolah rendah.

Jisim (kg) Kekerapan

2024 12

2529 14

3034 30

3539 27

4044 17

JADUAL 3

(a) Lukiskan satu ogif untuk mewakili taburan jisim murid itu. [4 markah]

(b) Daripada ogif yang dilukis, carikan

(i) median,

(ii) julat antara kuartil. [3markah]

0.5 10.5 20.5 30.5 0.5

40.5 50.5 Markah

Bilangan Murid

0

2

4

6

8

10

14

12


20/50



20

Jawapan

1. (a) 17.625

(b) 19

(c) 18

2 x= 8, y= 5

3 (a) 6

(b) 2.619

4 m= 259k2

5 (a) 40

(b) 25.5

6 (a) 15

(b) 3

7 (a) 10

(b) 2.769

8 (a) 6069

(b) 57.875

(c) 58.59

9 (a) 6.2, 2.315(b) 6.333, 2.404

10 (a) 15, 22.2

(b) (i) 26

(ii) 5.494

11 (a) 24.07

(b) 11.74

12 (b) (i) 34.0

(ii) 9.0


21/50



21

SUKATAN MEMBULAT

KERTAS 1

1. Rajah 1 menunjukkan sektorROSberpusat O. Panjang lengkokRSialah 7.24 cm dan

perimeter sektorROSialah 25 cm. Carikan nilai , dalam radian. [3 markah]

S

R

O

RAJAH 1

2. Rajah 2 menunjukkan sebuah bulatan berpusat O. Diberi panjang lengkok majorAB

ialah 45.51 cm, carikan panjang, dalam cm, jejari bulatan itu. (Gunakan = 3.142)

[3 markah]

B

A

0.354 radO

RAJAH 2

3. Rajah 3 menunjukkan sebuah bulatan berpusat O. Panjang lengkok majorABialah

16 cm dan sudut sektor majorAOBialah 290.

Dengan menggunakan = 3.142, carikan

(a) nilai , dalam radian, (Berikan jawapan anda betul kepada empat angka bererti.)

(b) panjang, dalam cm, jejari bulatan itu.

[3 markah]

B

A

O

RAJAH 3


22/50



22

4. Rajah 4 menunjukkan sektorPOQberpusat O. Panjang lengkokPQialah 4 cm dan

perimeter sektorPOQialah 14 cm. Carikan nilai , dalam radian. [3 markah]

Q

O

P

RAJAH 4

5. Rajah 5 menunjukkan seutas dawai berbentuk sektor bulatan OAB, yang berpusat di O.

Luas sektor OAByang terbentuk ialah 1200 cm 2 . Diberi nisbah panjang lengkokAB

kepada jejari ialah 2 : 3. Cari sudut , dalam darjah dan minit dan panjang jejari sektorOAB.

[4 markah]

B

A

O

RAJAH 5

6. Rajah 6 di bawah menunjukkan sebuah sektor OABberpusat Odan berjejari 4 cm.

Diberi panjang lengkokABialah 5.16 cm, carikan AOBdalam radian. [2 markah]

B

A

O

RAJAH 6


23/50



23

7. Rajah 7 menunjukkan suatu sektor bulatan berpusat O. Carikan luas sektor bulatan

OPQ. [3 markah]

7 cm

P

Q

75O

RAJAH 7

8. Rajah 8 menunjukkan suatu sektor bulatan OPQberpusat Odan berjejari 5 cm. Diberi

luas sektor OPQialah 9.75 cm 2 , carikan nilai dalam radian. [3 markah]

5 cm

P

Q

O

RAJAH 8

9. Rajah 9 menunjukkan suatu bulatan OPQ. Jika panjang lengkokPQialah 13.96 cm.

Carikan panjang OQ. [3 markah]

P

Q

80

O

RAJAH 9

10. Rajah 10 menunjukkan sektor bulatanLMNberpusatM. Diberi panjang lengkokLN

ialah 5.5 cm dan perimeter sektorLMNialah 22 cm. Cari nilai dalam darjah danminit. [3 markah]

M

N

L


24/50



24

RAJAH 10

KERTAS 2

11. Rajah 11 menunjukkan sebuah sektorPOQ, pusat Odan berjejari 10 cm. TitikRterletak

pada OPdengan keadaan OR: OP= 3 : 5.

O

R

P

Q

RAJAH 11

Hitungkan

(a) nilai , dalam radian, [3 markah]

(b) luas kawasan berlorek, dalam cm 2 [4 markah]

12. Rajah 12 menunjukkan sektorPOQbagi bulatan berpusat O. Titik A terletak pada OP,

titikBterletak pada OQdanABberserenjang dengan OQ. Panjang OA= 8 cm dan

POQ=

6

radian. Diberi bahawa OA: OP= 4 : 7 (Gunakan = 3.142)

Hitungkan

(a) panjang, dalam cm,AP, [1 markah]

(b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek [5 markah]

(c) luas, dalam cm 2 , kawasan berlorek. [4 markah]

8 cm

P

QB

A

O

RAJAH 12

6rad


25/50



25

13. Dalam Rajah 13,AOBialah diameter bagi sebuah bulatan berpusat Odengan jejari

12 cm. OBdipanjangkan kePsupayaBP= 3 cm.PTialah tangen kepada bulatan di T.

Hitungkan

(a) TOP, dalam radian [3 markah]

(b) luas sektor majorBOT [3 markah](c) perimeter rantau berlorek. [Ambil = 3.142] [4 markah]

3 cm12 cm OP

T

B

A

RAJAH 13

JAWAPAN

1.

= 0.8153 rad2. j = 7.675 cm

3. = 1.222 rad, j = 3.161 cm

4. = 0.8 rad

5 = '1238 , j = 60 cm

6. = 1.29 rad

7. luas = 32.07 cm 2

8. = 0.78 rad

9. OQ = 10 cm

10. = 38 12'

11. (a) = 0.9273 rad,

(b) luas = 22.365 cm 2

12. (a) AP = 6 cm

(b) perimeter = 24.403 cm

(c) luas = 37.46 cm 2

13. (a) 0.644 rad

(b) 406.08 cm 2

(c) 19.728 cm


26/50



26

PEMBEZAAN

KERTAS 1

1.

Diberi lengkung 38)(

2 xxxf . Cari titik maksimum lengkung itu. [3 markah]

2. Jejari sebuah sfera ialah r cm. Cari nilai hampir dalam perubahan isipadu sfera itu

apabila jejarinya berubah daripada 8 cm kepada 8.002 cm. [4 markah]

3. Cari

35

1

xdx

d. [2 markah]

4. Diberi 3)2(4)( xxf . Cari nilai bagi f(4). [2 markah]

5. Diberi lengkung3

52

x

xy , Cari

(a)

titik persilangan lengkung itu dengan paksi-y,

(b) kecerunan tangen pada titik (1, 1 ). [4 markah]

6. Diberi 245 xy . Cari perubahan hampir dalam y apabila x berkurang daripada 3

kepada 2.98. [4 markah]

7. Diberi 5)13()( xxf , Cari nilai f(-1). [3 markah]

8. Luas permukaan sebiji bebola yang berbentuk sfera bertambah dengan kadar 4.2

cm2s-1setelah dipanaskan. Cari

(a) kadar perubahan jejari sfera apabila jejarinya 3 cm,

(b) kadar perubahan isipadu yang sepadan. [4 markah]

9. Diberi2

42

x

xy dan

2)2(

x

k

dx

dy . Cari nilai k. [3 markah]

10. Diberi 354 2 xxy , gunakan kaedah pembezaan untuk mencari perubahan hampir

bagiyapabilaxmenyusut daripada 2 kepada 1.98. [3 markah]


27/50


28/50



28

12.

(a) Rajah 2 menunjukkan sebuah poligon yang dibentuk dengan menggunakan dawai

yang panjang 150 cm.

(i) Tunjukkan bahawa luas poligon, 2144900 xxL .

(ii) Cari luas maksimum bagi poligon ini. [5 markah]

(b) Diberi 54 23 xxy , cari nilaidx

dypada titik

1 1, 5

2 4

. Seterusnya, cari

(i) perubahan kecil dalam x, yang menyebabkan y menokok daripada 5.25

kepada 5.28.

(ii) kadar perubahan dalam y, pada ketika2

1x jika kadar perubahan dalam x

ialah 0.8 unit sesaat. [5 markah]

10xcm

ycm

12xcm

RAJAH 2


29/50



29

13.

(a)

Rajah 3 menunjukkan sebahagian daripada lengkung 223

5

x

y yang

melalui P(1, 5). Cari persamaan normal kepada lengkung itu pada titikP. [5

markah]

(b)

Rajah 4 menunjukkan sebuah kuboid yang tapaknya berbentuk segiempat sama.

Diberi jumlah luas permukaan kuboid itu ialah 100 cm2.

(i) Tunjukkan bahawa isipadu kuboid itu ialah 3

502

1xx cm3.

(ii) Seterusnya, cari panjang kuboid itu apabila isipadunya adalah maksimum.

[5 markah]

P(1, 5)

0x

2235

xy

RAJAH 3

y cm

xcm

xcm

y

RAJAH 4


30/50



30

Jawapan

1.

( 4 , 19)

2.

1.608 cm

3

3.

2

5

5 3x

4. 48

5. (a)5

0, -3

,

(b)4

3

6.

0.48

7. 240

8. (a) 0.175 cm s-1

(b) 6.3cm3s -1

9.

k= 8

10.

0.22

11. (b) x= 11.202 cm, L= 448.1 cm2

(c) kadar perubahan luas = 4.29 cm2s-1

12.

(a) (ii) 1406.25 cm2

(b) 2

dy

dx

(i) 0.015

(ii) 1.6 unit sesaat

13. (a)30

294

30

1 xy

(b) (ii) x = 4.082 cm, y= 4.083 cm


31/50



31

PENYELESAIAN SEGI TIGA

KERTAS 2 (Bahagian C)

1. Rajah 1 menunjukkan sebuah sisi empatABCDdengan keadaan ABCadalah tirus.

40.5

9.5 cm

12.3 cm

5.2 cm

9.8 cm

D

C

B

A

RAJAH 1

(a) Hitungkan

(i) ABC(ii) ADC

(iii) luas, dalam cm 2 , sisi empatABCD .

[8 markah]

(b) Sebuah segi tiga ''' CBA mempunyai ukuran-ukuran yang sama seperti diberi untuk

segi tigaABC, iaitu ''CA =12.3 cm, ''BC = 9.5 cm, dan ''' CAB = 40.5 , tetapi

mempunyai bentuk yang berbeza daripada segi tiga ABC itu.

(i) Lakarkan segi tiga ''' CBA ,

(ii) Nyatakan saiz ''' CBA [2 markah]

2. Rajah 2 menunjukkan sebuah segitigaABC.

15 cm

65

20 cm

C

B

A

RAJAH 2


32/50



32

(a) Hitungkan panjang, dalam cm,AC.

[2 markah]

(b) Suatu sisi empatABCDdibentuk dengan keadaanACialah pepenjuru,

ACD= 40 danAD= 16 cm.

Hitungkan dua nilai yang mungkin bagi ADC.[2 markah]

(c) Dengan menggunakan ADCyang tirus dari (b), hitungkan(i) panjang, dalam cm, CD

(ii) luas, dalam cm 2 , sisi empatABCDitu.

[6 markah]

3.

4850

7.0 cm

5.5 cm

S

R

QP

RAJAH 3

Rajah 3 menunjukkan 2 buah segi tiga SPRdan QPRdenganPR= 5.5 cm, SP= 7.0 cm,

RPQ = 50

dan RQP = 48

. Jika luas PQR adalah 2 kali luas PSR,hitungkan

(a) panjangPQ [3 markah]

(b) luas PSR [3 markah]

(c) panjang SR [4 markah]


33/50



33

4. Pada Rajah 4,AD= 8 cm,BD= 4 cm,BC= 7 cm dan ABD= 45 . Hitungkan

(a) panjangDC [3 markah]

(b) DAB [3 markah]

(c) luas segi tigaACD.

[4 markah]

45

7 cm

4 cm8 cm

D

CBA

RAJAH 4

5. Rajah 5 menunjukkan titik-titikA,Bdan Cpada suatu satah mengufuk, denganAB= 50

cm,AC= 30 m dan .120oCAB Pembahagi dua sama CABbertemuBCpada titikP.

60

60

50 cm

30 cm

P

C

BA

RAJAH 5

(a) Carikan

(i) luas segitigaABC,

(ii) panjangBC.

(iii) sudutAPC [7 markah]

(b) Sebatang tiang mencancang CVdiletakkan pada titik C. Sudut dongakan VdariA

ialah 30o

. Carikan sudut dongakan VdariB. [3 markah]


34/50



34

JAWAPAN

1. (a) (i) 57.23 atau 57 '14

(ii) 106 7 '

(iii) 82.38 cm 2

(b) (i)

BA' B'

C'

(ii) 122.77 atau 122 '46

2. (a) 19.27 cm

(b) 50 '73 atau '50 44 , 129.27 atau 129 16 '

(c) (i) 24.89 cm

(ii) 290.1 cm 2

3. (a) 7.329 cm

(b) 7.7197 cm 2

(c) 2.952 cm

4. (a) 10.227 cm

(b) 20 '42

(c) 24.48 cm 2

5. (a) (i) 649.5 m 2

(ii) 70 cm

(iii) '4781 atau 81.8

(b) 13 '54 atau 13.9


35/50



35

PENGGUNAAN NOMBOR INDEKS

KERTAS 2 (Bahagian C)

1. Rajah 1 menunjukkan carta palang bagi perbelanjaan mingguan untuk barangan P, Q,

R, S dan Tpada tahun 1990. Jadual 1 menunjukkan harga dan indeks harga barangantersebut.

15

30

24

33

12

0

5

10

15

20

25

30

35

P Q R S T

Barangan

PerbelanjaanMingguan(RM)

RAJAH 1

BaranganHarga Pada

1990

Harga Pada

1995

Indeks Harga 1995 Dengan

1990 Sebagai Tahun Asas

P x RM0.70 175Q RM2.00 RM2.50 125

R RM4.00 RM5.50 y

S RM6.00 RM9.00 150

T RM2.50 z 120

JADUAL 1

(a) Cari nilai

(i) x,

(ii) y,

(iii) z. [3 markah]

(b) Kirakan nombor indeks gubahan bagi harga barangan itu pada tahun 1995 dengantahun 1990 sebagai tahun asas. [2 markah]

(c) Jumlah perbelanjaan bulanan bagi barangan itu pada tahun 1990 ialah RM456.

Hitungkan jumlah perbelanjaan bulanan yang sepadan pada tahun 1995.

[2 markah]

(d) Kos barangan itu meningkat 20% dari tahun 1995 ke tahun 2000. Carikan nombor

indeks gubahan tahun 2000 dengan tahun 1990 sebagai tahun asas. [3 markah]


36/50



36

2 Jadual 2 menunjukkan indeks dan peratus penggunaan empat barangan,P, Q,Rdan S,

yang menjadi bahan utama dalam penghasilan sejenis biskut.

BaranganIndeks Harga Tahun 1995

Berasaskan Tahun 1993

Peratus Penggunaan

(%)

P 135 40Q x 30

R 105 10

S 130 20

JADUAL 2(a) Hitungkan

(i) harga S pada tahun 1993 jika harganya pada tahun 1995 ialah RM37.70.

(ii) indeks harga P pada tahun 1995 berasaskan tahun 1991 jika indeks

harganya pada tahun 1993 berasaskan tahun 1991 ialah 120.

[5 markah]

(b) Nombor indeks gubahan kos penghasilan biskut itu pada tahun 1995 berasaskan

tahun 1993 ialah 128.

Hitungkan

(i) nilaix,

(ii) harga sekotak biskut itu pada tahun 1993 jika harga yang sepadan pada

tahun 1995 ialah RM32.

[5 markah]

3 Jadual 3 menunjukkan harga empat jenis barangan pada tahun 2004 dan 2005 bersama

dengan indeks harga tahun 2005 berasaskan tahun 2004 dan pemberatnya.

BaranganHarga (RM) Indeks Harga Tahun 2005

Berasaskan Tahun 2004Pemberat

Tahun 2004 Tahun 2005

A 45 54 120 4

B x 21 150 3

C 110 121 y 1

D 70 z 90 2

JADUAL 3

(a) Hitungkan

(i) nilaix,ydanz.(ii) indeks gubahan barangan itu pada tahun 2005 berasaskan tahun 2004.

[6 markah]

(b) Harga barangan itu dijangka meningkat sebanyak 10% dari tahun 2005 ke tahun

2006.

(i) Hitungkan indeks gubahan tahun 2006 berasaskan tahun 2004.

(ii) Perbelanjaan untuk barangan tersebut pada tahun 2005 adalah RM1350,

anggarkan perbelanjaan pada tahun 2006.

[4 markah]


37/50



37

4 Jadual 4 menunjukkan harga dan indeks harga empat bahan, P, Q, R, dan S, yang

digunakan untuk membuat sejenis biksut. Rajah 2 ialah carta pai yang mewakili kuantiti

relatif bagi penggunaan bahan-bahanP, Q,R, dan Situ.

Bahan

Harga se kg (RM) Indeks Harga Tahun 2004

Berasaskan Tahun 2001Tahun 2001 Tahun 2004P 0.80 1.00 x

Q 2.00 y 140

R 0.40 0.60 150

S z 0.40 80

JADUAL 4

RAJAH 2

(a) Carikan nilaix,ydanz. [3 markah]

(b) (i) Hitungkan nombor indeks gubahan bagi kos membuat biskut itu pada tahun

2004 berasaskan tahun 2001.

(ii) Seterusnya, hitungkan kos membuat biskut itu yang sepadan bagi tahun 2001

jika kos membuatnya pada tahun 2004 ialah RM2985.

[5 markah]

(c) Kos membuat biskut itu dijangka meningkat sebanyak 50% dari tahun 2004 ke

tahun 2007. Carikan nombor indeks gubahan kos membuat biskut itu yang

dijangkakan pada tahun 2007 berasaskan tahun 2001.[2 markah]

PS

60o

Q

R

120o

100o


38/50



38

5 Jadual 5 menunjukkan harga tiga jenis komponen yang digunakan untuk menghasilkan

sesuatu alat elektronik dan indeks harganya.

KomponenHarga (sen) Indeks Harga

(Tahun asas 2001)Tahun 2001 Tahun 2005

P 55 66 xQ 40 y 150

R z 100 125

JADUAL 5

(a) Hitungkan nilaix,ydanz. [3 markah]

Jadual 6 menunjukkan bilangan komponen yang diperlukan untuk menghasilkan 1 alat

elektronik itu.

JADUAL 6

(b) Jika indeks gubahan bagi tiga komponen itu pada tahun 2005 dengan tahun 2001

sebagai tahun asas ialah 136.5, carikan nilai n.

[3 markah]

(c) Kos penghasilan dijangka akan meningkat sebanyak 5% dari tahun 2005 ke tahun2006. hitungkan kos penghasilan 1 alat elektronik pada tahun 2006.

[4 markah]

Komponen Bilangan Untuk Mengahasilkan1 Alat Elektronik

P 20

Q 50

R n


39/50



39

Jawapan

1 (a) (i) x= RM0.40,

(ii) y= 137.5

(iii) z= RM3.00

(b) 140.9

(c) RM642.50

(d) 169.1

2 (a) (i) RM29.00

(ii) 162

(b) (i) 125

(ii) RM25.00

3 (a) (i) x= 14, y= 110, z= 63

(ii) 122

(b) (i) 134.2

(ii) RM1485

4 (a) x= 125, y= 2.80, z= 0.50

(b) (i) 129.4

(ii) RM2306.80

(c) 194.1

5 (a) x= 120, y= 60, z= 80

(b) 30

(c) RM143.325


40/50



40

JANJANG

KERTAS 1

1. Jika , 2 5, dan 8k k k ialah sebutan ketujuh, kelapan, dan kesembilan bagi suatu

janjang aritmetik, carikan sebutan pertama janjang aritmetik ini [3 markah]

2. Carikan hasil tambah bagi janjang aritmetik1 1

1 , 1 , 1 ,......2 4

hingga sebutan ke-11 .

[3 markah]

3. Sebutan kelapan dan sebutan ke-53 suatu janjang aritmetik masing-masing ialah 118

dan 62 . Carikan(a) sebutan pertama ,

(b) beza sepunya [3 markah]

4. Carikan bilangan sebutan bagi janjang aritmetik 20, 17, 14, ............, 223 .

[3 markah]

5. Dalam suatu janjang geometri, sebutan pertamanya adalah1

16 daripada sebutan

kelima.

Hitungkan nisbah sepunya bagi janjang geometri itu jika r> 0. [3 markah]

6. Ungkapkan perpuluhan jadi semula 0.213213213213...dalam bentuk pecahan yang

termudah . [4 markah]

7. Diberi sebutan pertama dan sebutan kelima bagi suatu janjang geometri ialah 10 dan5

8

dengan nisbah sepunya adalah positif . Carikan hasil tambah empat sebutan pertama .

[3 markah]

8. Carikan hasil tambah semua gandaan 12 daripada 100 hingga 400. [3 markah]

9. Carikan hasil tambah janjang geometri 4, 8, 16,........ hingga sebutan kedua belas.[3 markah]

10. Sebutan keempat dan ketujuh satu janjang geometri masing-masing 12 dan 96.Carikan nisbah sepunya janjang tersebut. [3 markah]

11. Hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik 23 5n n . Carikan(a) sebutan pertama

(b) beza sepunya [3 markah]


41/50



41

12. Maklumat berikut merupakan jujukan bagi satu janjang geometri .

Diberi p q , ungkapkan q dalam sebutan p. [3 markah]

13 Carikan hasil tambah bagi janjang geometri 108 , 72 , 48, dengan n yang cukup

besar sehingga ketakterhinggaan . [3 markah]

KERTAS 2

14. Seutas dawai dipotong menjadi n bahagian. Setiap bahagian dibengkok menjadi satu

sektor bulatan yang sudutnya

4

rad .

Panjang lengkok sektor-sektor yang terbentuk dalam cmialah3 9

, ,3 ,.......,62 4

.

(a) Tunjukkan bahawa panjang lengkok sektor-sektor tersebut membentuk suatu

janjang aritmetik dan nyatakan beza sepunya . [3 markah]

(b) Carikan

(i) panjang jejari sektor bulatan ke-n

(ii) nilai n

(iii) hasil tambah panjang lengkok nsektor bulatan yang pertama . [5 markah]

15. Dalam satu janjang geometri , hasil tambah bagi 3 sebutan pertama adalah 8 kali hasiltambah bagi 3 sebutan yang berikutnya.

(a) Carikan nisbah sepunya bagi janjang geometri itu. [3 markah]

(b) Carikan sebutan pertama janjang geometri itu serta hasil tambah sehingga

ketakterhinggaan jika diberi bahawa hasil tambah bagi 3 sebutan pertama itu

melebihi hasil tambah bagi 3 sebutan yang berikutnya sebanyak 98. [4 markah]

16. Seutas dawai yang panjangnya 262.5 cm dipotong kepada 30 keratan dengan beza

panjang antara satu sama lain secara berturutan adalah tetap. Jika beza antara keratan

terpanjang dengan keratan terpendek ialah 14.5 cm, hitungkan

(a) ukuran bagi keratan terpendek , [4 markah]

(b) beza panjang antara keratan kelima dengan keratan kesepuluh. [4 markah]

3 , , ,.........p q q p q


42/50



42

Jawapan

1. 15a

2.

11 3

atau 24 4

3. (a) 146

(b) 4

4. 82

5. 2

6.71

333

7.75 3

atau 184 4

8. 6300

9. 5460

10. 2

11. (a) 2

(b) 6

12.3

4

q p

13. 324

14. (a)3

4d

(b) (i) 24

(ii) n= 7

(iii)105

4

15. (a) 12

(b) a= 64, Sn

= 128

16. (a)3

2

(b)5

2


43/50



43

HUKUM LINEAR

KERTAS 1

1. Pembolehubahx dany dihubungkan oleh persamaan bxaxy 2 dengan keadaan a dan

b ialah pemalar.

(a) Tukarkan persamaan tersebut kepada bentuk linear.

(b) Nyatakan kecerunan dan pintasan-ybagi persamaan linear itu dalam sebutan a

dan b . [4 markah]

2. Pembolehubahx dany dihubungkan oleh persamaan kxy 3)1(24 2 dengan keadaan

kialah pemalar.

(a)

Apabila diplotkan graf y melawan 2)1( x , satu garis lurus diperoleh, yang

memotong paksi-ypada titik (0, 6 ). Carikan nilai k.

[2 markah]

(b) Seterusnya carikan kecerunan dan pintasan paksi-ybagi garis lurus yang

diperoleh dengan memplotkan graf 2melawan)( xxy . [2 markah]

3. Dua kuantiti,x dany , dihubungkan oleh persamaan1

qx

pxy , p dan q ialah pemalar.

Jika grafy melawanx dilukiskan, satu lengkung melalui1

, 12

diperoleh. Jika grafy

1

melawan x

1

dilukiskan, satu garis lurus berkecerunan4

1

diperoleh. Carikan nilai p dan

nilai q . [4 markah]

4. Pembolehubahx dany dihubungkan oleh persamaan qpxyx 22 , dengan keadaan

p dan q ialah pemalar. Apabila graf y melawan2

1

xdilukis, satu garis lurus diperoleh.

Diberi garis lurus itu melalui titik (4, 0) dan (2, 6), cari nilai p dan nilai q .

[3 markah]

5. yx dan dihubungkan oleh persamaan

qxpxy 2 , dengan keadaan p dan q ialah

pemalar. Graf garis lurus diperoleh dengan

memplot xx

ymelawan , seperti yang

ditunjukkan dalam Rajah 1. Hitungkan nilai

p dan nilai q . [4 markah]

RAJAH 1

(2, 9)

(6, 1)

O

x

y

x


44/50



44

6. Rajah 2 menunjukkan graf garis lurus

xx

ymelawan . Diberi 26 xxy ,

hitungkan nilai kdan nilai h .

[3 markah]

RAJAH 2

7. Pembolehubah yx dan dihubungkan

oleh persamaan

4

kxy , dengankeadaan kialah pemalar.

(a) Tukarkan persamaan 4kxy kepada

bentuk linear.

(b) Rajah 3 menunjukkan graf garis

lurus yang diperoleh dengan

memplot y10log melawan x10log .

Carikan nilai

(i) k10log

(ii) h .

[4 markah]RAJAH 3

8.Rajah 4 menunjukkan graf

x

y melawan

x

1.

Carikan hubungan antara y dan x .

[2 markah]

RAJAH 4

(2, k)

(h , 1)

O

x

y

x

(4, 13)

x

y

x

1

( 1 , 3)

O

(2, h)

(0 , 3)

O

y10log

x10log


45/50


46/50



46

11. Jadual 3 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pembolehubah, yx dan , yang diperoleh

daripada satu ujikaji. Diketahui yx dan dihubungkan oleh persamaan

2x

pky

, dengankeadaan p dan kadalah pemalar.

x 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0y 1.59 1.86 2.40 3.17 4.36 6.76

JADUAL 3

(a)Plotkan graf ylog melawan 2x .

Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik. [5 markah]

(b)

Gunakan graf di (a) untuk mencari nilai

(i) p

(ii) k.

[5 markah]

12. Jadual 4 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pembolehubah yx dan , yang diperoleh

daripada satu ujikaji. Pembolehubah yx dan dihubungkan oleh persamaanpx

rpxy ,

dengan keadaan p dan radalah pemalar.

x 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 5.5y 5.5 4.7 5.0 6.5 7.7 8.4

JADUAL 4

(a) Plotkan xy melawan 2x , dengan menggunakan skala 2 cm kepada 5 unit pada

kedua-dua paksi.

Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik. [5 markah]

(b) Gunakan graf anda dari (a) untuk mencari nilai

(i) p

(ii) r.

[5 markah]


47/50



47

Jawapan

1

(a) baxx

y

(b) Kecerunan = a

Pintasan- by

2 (a) 8k

(b) Kecerunan =2

1

Pintasan-2

11y

3 2,4 qp

4 3,12 qp

5 13,2 qp

6 4,5 kh

7 (a) kxy 101010 loglog4log

(b) (i) 3

(ii) 11

8 25 xy

9 (a)

x -1 2 3 4 5 7Log10y 1.08 0.81 0.54 0.28 -0.28


48/50



48

(b) (i) y= 1

(ii) a= 42.66

(iii) b= 0.5337

10 (a)

t 30 60 90 120 150 180

t

s 0.35 0.51 0.65 0.79 0.86 1.10


49/50



49

(b) (ii) 005.0a 2.0u

11 (a)

2

x 2.25 4.0 6.25 9.0 12.25 16.0y10log 0.20 0.27 0.38 0.50 0.64 0.83


50/50


(b) (i) 259.1p

(ii) 109.1k

12 (a)

2x 1 4 9 16 25 30.25xy 5.5 9.4 15 26 38.5 46.2

(b) (i) 1.37p (ii) 5.48r

Modul Matematik Tambahan t4

Documents

Transcript of Modul Matematik Tambahan t4