MODUL MATEMATIKA KELAS XI IPA SEMESTER II edit ANIN.docx
-
Upload
marcellinus-filronset -
Category
Documents
-
view
1.079 -
download
18
Transcript of MODUL MATEMATIKA KELAS XI IPA SEMESTER II edit ANIN.docx
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
0
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
BAB I.
SUKU BANYAK
1
Sumber : mathsolar (2012)
Mind Map
Materi yang akan kalian
pelajari
Bentuk Umum1
Akar- Akar Rasional Dari Persamaan Suku Banyak2
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
Bentuk Keteranganan xn,an−1 xn−1, ...,a2 x2 ,a1 x suku
an,an−1, ...,a2, a1 koefisien xn,xn−1, ...,x2,x
an xn suku utama
an koefisien utama
n (pangkat tertinggi x) derajat
a0 konstanta
Contoh:3x5 –x3 + 2x – 10 disebut
suku banyak dalam x berderajat 5. koefisien x5 adalah 3 koefisien x4 adalah 0 koefisien x3 adalah -1 koefisien x2 adalah 0 koefisien x adalah 2 dan suku tetapnya adalah – 10.
1. Suku banyak f(x) (x – k) faktor dari f(x) jika dan hanya jika k akar dari f(x) = 02. Cara menentukan akar-akar rasional persamaan suku banyak f(x)
a. Jumlah semua koefisiennya = 0 x=1 merupakan akar dari f(x) = 0b. Jumlah koefisien x pangkat genap = jumlah koefisien x pangkat ganjil, x=-1 merupakan
akar dari f(x) = 0c. Jika langkah a dan b tidak memenuhi, maka gunakan cara trial and error.
2
an xn+an−1 xn−1+…+a2 x2+a1 x+a0
Bentuk Khusus Akar Persamaan Kuadrat3
Nilai Suku Banyak4
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
a x2+bx+c=0
x1+ x2=−ba
x1 x2=ca
a x3+b x2+cx+d=0
x1+ x2+x3=−ba
x1 x2+x1 x3+x2 x3=ca
x1 x2 x3=−da
a x4+bx3+c x2+dx+e=0
x1+ x2+x3+x4=−ba
x1 x2+x2 x3+x3 x4+x1 x4=ca
x1 x2 x3+x1 x2 x4+x1 x3 x4+x2 x3 x4=−d
a
x1 x2 x3 x4=ea
1. Cara SubtitusiSuku banyak f ( x )=an xn+an−1 xn−1+…+a2 x2+a1 x+a0 untuk x=k adalah
Contoh:Diketahui f(x) = 3x4 –x2 + 1. Tentukan f(2)!Jawab:f(x) = 3x4 –x2 + 1f(2) = 3(2)4 –(2)2 + 1 = 48 – 4 + 1 = 45
3
f (x)=¿ ank n+an−1 kn−1+…+a2 k2+a1 k+a0
Kesamaan Suku Banyak5
Derajat Suku Banyak Hasil Bagi dan Sisa Pembagian6
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
2. Cara Horner atau Sintetik Apabila f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, maka f(k) diperoleh dengan skema berikut:
k a b c dak k(ak +b) = ak2 + bk k(ak2 + bk + c) = ak3 + bk2 +ck
a ak +b ak2 + bk + c ak3 + bk2 + ck + d = f(k)
Contoh: 1. Hitunglah f(3) jika f(x) = 2x3 + 4x2 – 6x – 1!
Jawab:3 2 4 -6 -1
3×2=6 3×10=30 3×24=722 6+4=10 30+(-6)=24 72+(-1)= 71
Jadi, f(3) = 71
2. Hitunglah f(-2) jika f(x) = 3x4 – 5x2 + 6x – 7!Jawab:
-23 0 -5 6 -7
+-6 12 -14 163 -6 7 -8 9
Jadi, f(-2) = 9
P(x ) = an kn + an-1 kn-1 + … + a1 k + ao
Q(x ) = bn kn + bn-1 kn-1 + … + b1 k + bo
P ( x ) = Q ( x ), jika :an=bn
an−1=bn−1
…a1=b1
a0=b0
Suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh suku banyak H(x) berderajat k, (k < n) :
Fungsi Keterangan derajat
F(x) Suku Banyak nP(x) Pembagi kH(x) Hasil Bagi n-kS(x) Sisa k-1
4
+
+
F(x) = P(x) . H(x) + S(x)
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
Metode pembagian ada dua yaitu cara bersusun dan cara Horner.
Metode pembagian dari Horner:1. Angka terakhir (paling kanan) dari hasil pembagian Horner merupakan sisa
pembagian tersebut.2. Angka-angka lainnya merupakan koefisien dari hasil bagi tersebut.3. Pangkat hasil bagi sama dengan pangkat suku banyak dikurangi satu.
Contoh:1. Tentukan hasil bagi dan sisanya apabila (x3 + 2 x2 – 5x – 10) dibagi (x – 1)!
Jawab:Cara I : dengan cara bersusun:
x2+3 x−2x−1¿
|x3+2 x2−5 x−10 ¿ x3−x2 ¿ 3 x2−5 x−10 ¿ 2 x2−3 x ¿¿ −2 x−10 ¿¿ −2 x+2 ¿¿ −12 ¿¿¿ ¿¿
Cara II : dengan cara Horner:
11 2 -5 -10 +
1 3 -2
1 3 -2 -12
2. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian jika 3x4 + 4x3 – 5x2 – 2x + 5 dibagi (x2 + 2x + 3)!Jawab:Karena x2 + 2x + 3 tidak dapat difaktorkan, maka dilakukan pembagian biasa.
Hasil bagi = 3x2 – 2x – 10Sisa pembagian = 24x + 35
5
Jadi, hasil bagi = x
2
Jadi, hasil bagi = x2
+ 3x – 2
TEOREMA SISA7
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
3. Tentukanlah hasil bagi dan sisanya jika 2x3 + x2 + 5x – 1 dibagi (x2 – 1)!Jawab:Karena (x2 – 1) dapat difaktorkan menjadi (x + 1)(x – 1), maka pembagian dapat dilakukan dengan 2 cara.a. Cara Susun
b. Cara Hornerx2 – 1 difaktorkan menjadi (x + 1)(x – 1)
Hasil bagi = 2x + 1Sisa pembagian = 7x
Jika suku banyak f(x) dibagi:1. (x – k) maka sisanya f(k).
2. (ax + b) maka sisanya f (−ba
)
3. (x – a) (x – b) maka sisanya px +q, dengan p dan q dicari dengan menyelesaikan sistem persamaan: f(a) = ap + q g(b) = bp + q
4. (x – k) sisanya f(k) = 0 maka dikatakan: f(x) habis dibagi oleh (x – k) (x – k) merupakan faktor dari f(k) x = k merupakan akar dari persamaan f(x) = 0
Contoh:1. Tentukan sisanya apabila (x3 – 2x2 – 8) dibagi oleh (x – 3)!
6
TEOREMA FAKTOR8
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
Jawab:f(x) = x3 – 2x2 – 8f(3) = 33 – 2.32 – 8 = 27 – 18 – 8 = 1Jadi, sisanya adalah 1.
2. Tentukan sisanya apabila (x2 – 6x + 10) dibagi oleh (x – 2)(x – 3)! Jawab:
f(x) = g(x) . h(x) + s(x)f(x) = x2 – 6x + 10 = (x – 2)(x – 3) . h(x) + (px + q) f(2) = 22 – 6.2 + 10 = 2p + q 2p + q = 2 . . . . . . (1)f(3) = 32 – 6.2 + 10 = 3p + q 3p + q = 1 . . . . . . (2)Eliminasi persamaan (1) dan (2): 2p + q = 2
3p + q = 1 -p = 1
p = - 1 Dari p = -1 dan persamaan (1):
2p + q = 22(-1) + q = 2 q= 4
Jadi, sisanya adalah –x + 4.
1. Jika (x – a) merupakan faktor dari f(x) maka f(a) = 0.2. Jika f(a) = 0 maka (x – a) merupakan faktor dari f(x)3. Jika pada suku banyak f(x) berlaku f(a) = 0, f(b) = 0 dan f(c) = 0, maka f(x)
habis dibagi (x – a) (x – b) (x – c) 4. Jika (x – a) adalah faktor dari f(x) maka x = a adalah akar dari f(x)5. Jika f(x) dibagi (x – a) (x – b) maka sisanya:
S = (x−a)(b−a)
f (b )+( x−b)(a−b)
f (a)
6. Jika f(x) dibagi oleh (x – a) (x – b) (x – c) maka sisanya:
S = ( x−a )(x−b)( c−a )(c−b)
f (c )+( x−a )(x−c )(b−a )(b−c)
f (b )+( x−b )(x−c )( a−b )(a−c)
f (a )
Contoh:Tentukan nilai a dan b apabila suku banyak x4 + 2ax2 – 10x – 3b habis dibagi x2 + 2x – 3! Jawab:Misalkan f(x) = x4 + 2ax2 – 10x – 3bKarena x2 + 2x – 3 = (x + 3)(x – 1) dan f(x) habis dibagi oleh x2 + 2x – 3, maka f(x) habis dibagi (x + 3)(x – 1).f(-3) = (-3)4 + 2a(-3)2 – 10(-3) – 3b = 0
= 81 + 18a + 30 – 3b = 0= 18a – 3b + 111 = 0 . . . . . . (1)
7
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
f(1) = (1)4 + 2a(1)2 – 10(1) – 3b = 0= 1 + 2a – 10 – 3b = 0= 2a – 3b – 9 = 0 . . . . . . . (2)
Dari persamaan (1) dan (2): 18a – 3b + 111 = 02a – 3b – 9 = 0 16a + 120 = 016a = - 120
a = - 12016
= - 7 ½
Subtitusikan a = -7 ½ pada persamaan(2):2a – 3b – 9 = 02(-7 ½ ) – 3b – 9 = 0-15 – 3b – 9 = 0- 3b = 24 b = - 8
Jadi, a = - 7 ½ dan b = - 8.
A.Pilih salah satu jawaban yang tepat !
1. Jika f(x) = 6x3 +7x2 +kx -24 dan f( 1 ) = 0 maka nilai f( -1) adalah . . . .a. -34 b. -15 c. -8 d. 15 e. 31
2. Suatu fungsi f(x) = 16x4 -4x3 +8x2 –x + 1 dibagi (2x + 1) maka sisanya adalah..a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 8
3. Bila x3-4x2 +5x + p dan x2 +3x -2 dibagi (x +1) diperoleh sisa yang sama, maka nilai p adalah . . . .a. 6 b. 4 c. -2 d. -4 e. -6
4. Suatu fungsi f(x) = 2x5 -6x3 + x – 1 dibagi oleh (x + 1) sisanya adalah . . . .a. -3 b. -2 c. -1 d. 1 e. 2
5. Nilai suku banyak f(x) = 10x3 -11x2 -7x +16 untuk x = -1 adalah . . . .a. 1 b. 2 c. 8 d. 10 e. 12
6. Bila f(x) = 3x3 +-11x + a habis dibagi oleh 3x -1 maka nilai a adalah . . . .a. 5 b. 3 c. 2 d. 1 e. -1
7. Bila f(x) = 3x4 -2x3 +4x2 + px -12 habis dibagi oleh (x – 1), maka nilai p adalah..a. 7 b. 5 c. 3 d. 1 e. -1
8. Bila 2x3 –x2 –ax + 7 dan x3 +3x2 -4x -1 dibagi ( x + 1) diperoleh sisa yang sama, maka nilai a = . . . . a. -10 b. -1 c. 1 d. 5 e. 10
8
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
9. Hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak x5 -3x4 +3x2 +x + 3 oleh x -3 berturut-turut adalah . . . .a. x4 +3x +10 sisa 21 c. x4 +3x +10 sisa 30 e. x4 +3x +10 sisa 33b. x4 +3x +10 sisa 28 d. x4 +3x +10 sisa 31
10. Suatu fungsi -x2 -15x +x4 +4x3 -11 dibagi oleh x2 +x -16, maka sisanya adalah . . .a. x – 2 b. x +1 c. x + 3 d. x – 4 e. x + 2
11. Salah satu faktor dari 4x3 +14x2 +4x -6 adalah . . .a. 2x +1 b. 2x +3 c. 2x -3 d. 2x -1 e. 2x -2
12. Suku banyak 4x4 -5x2 +7x - 9 dibagi (x + 2) maka Sisanya adalah . . .a. -25 b. -26 c. -27 d. -28 e. -30
13. Bila x5-2x3 +4x - 7 dibagi (3x -6) diperoleh sisa . . . .a. 15 b. 16 c. 17 d. 18 e. 19
14. Suatu fungsi f(x) = x3 -5x2 -8x + k habis dibagi oleh (x - 2), nilai k = . . . a. 22 b. 24 c. 26 d. 28 e. 30
15. Jika suku banyak f(x) = x4 +5x3 -2x2 +Ax +B habis dibagi x2 -1, maka A + B =...a. -5 b. -4 c. -3 d. -2 e. -1
16. Bila f(x) = 2x3 -6x2 +7x + a jika dibagi oleh x + 3 sisanya 11, maka nilai a adalah...a. 140 b. 141 c. 142 d. 143 e. 144
17. Bila f(x) dibagi (x +2) sisanya -1 dan dibagi (x -1) sisanya 2. Maka bila dibagi oleh x2 + x -2 sisanya adalah . . . .a. x -4 b. x +3 c. x +2 d. x -2 e. x + 1
18. Bila f(x) = 7x + 5x5 -12 –x3 +2x6 -14x4 jika dibagi dengan 1 + x + x2, maka sisanya adalah . . . .a. 14 -x b. 16 -12x c. 15 +8x d. -16-12x e. 7 -x
19. Suatu suku banyak f(x) dibagi oleh x -2 sisanya 8, dan jika dibagi x + 3 sisanya -7. Sisa pembagian f(x) jika dibagi oleh x2 +x -6 adalah . . . .
a. 9x -7 b. x +6 c. 2x +3 d. x -4 e. 3x + 220. Salah satu akar persamaan 2x3 -7x2 -7x + 30 = 0 adalah 3, maka jumlah dua akar yang
lain adalah . . . .a. – ½ b. ½ c. 1 d. 3 e. 5
B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar !1. Tentukan Sisa pembagian berikut ini:
a. (7x6 +5x4 +x – 2) : (x + 1)b. (6x3 +2x2 -8x -11) : ( 2x – 1)c. (-15x4 -8x5 +12x –x3 +2 ) : (x -2)
2. Tentukan nilai dari fungsi suku banyak berikut ini:a. f(x) = 5 – 6x2 + x + 17x5 -14x3 -8x6 untuk x = -1b. f(x) = -x2 -15x +x4 +4x3 -11 untuk x = ½
3. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak berikut ini!a. x3 +4x2 +x – 6 dibagi oleh x2 + 5x +6
9
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
b. 2x4 -17x3 +2x2 +180x -90 dibagi oleh x – 2c. 7x2 -40 +2x + x3 dibagi oleh x2 +2x -8d. -8 -18x + x2 +2x3 dibagi oleh -12 +x + x2
4. Apabila x -2 merupakan faktor dari 2x3 +3x2 -8x -12, Tentukan faktor-faktor lainnya !5. Tentukan sisa pembagian dari f(x) = 4x4 -2x3 +6x2 +x + 8 oleh (2x -1)6. Tentukan faktor linier dari 2x3 +x2 -13x + 6 !7. Jika f(x) dibagi (x +2) bersisa 7 dan dibagi (x -3) bersisa 10. Tentukan sisanya jika dibagi x2
– x – 6 !8. Buktikan bahwa x = 2 merupakan akar persamaan x3 -6x2 +11x -6 = 0, kemudian
tentukanlah akar-akar yang lain !
ooo000O000ooo
BAB II. KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS
10
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
11
Sumber : mathsolar (2012)
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
1. Relasi dua himpunan adalah hubungan antar elemen-elemen pada kedua himpunan tersebut menurut aturan tertentu.
2. Fungsi/pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/memetakan setiap anggota himpunan A ke tepat satu anggota himpunan B.Penyajian :
a. Diagram panahb. Diagram kartesiusc. Himpunan pasangan berurutand. Menggunakan rumus
3. Notasi fungsi a. Himpunan A disebut daerah asal (domain)b. Himpunan B disebut daerah kawan (kodomain)c. Himpunan semua peta dari Himpunan A disebut range
(daerah hasil)d. Pemetaan dari A ke B yang memetakan setiap x ∈ A ke
f(x) ∈ B dinotasikan sbb : f(x) : A → B x → f(x) = y
Catatan : x disebut prapeta dari y, y disebut peta/ bayangan dari x x disebut variabel bebas (variabel yang nilainya tidak tergantung variabel lain). y disebut variabel terikat (variabel yang nilainya tergantung dengan variabel lain).
Bentuk Syarat
f ( x )= g(x )h(x)
h( x)≠ 0
f ( x )=√h (x) h( x)≥0
f ( x )= log h(x )❑f (x)
f (x)>0f ( x ) ≠1h( x)>0
12
FUNGSI KOMPOSISI APENGERTIAN
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
Fungsi Injektif(Fungsi Satu-Satu/
Into)
setiap unsur yang berbeda di A memiliki peta yang saling berbeda di B
Fungsi Surjektif(Fungsi Pada/ Onto)
Setiap unsur di B memiliki prapeta di A
Fungsi Bijektif(Korespondensi
Satu-Satu)
Gabungan sifat injektif dan surjektif
13
FUNGSI KOMPOSISI AJENIS-JENIS FUNGSI B
Pengertian 1
x y z
Sifat Fungsi Komposisi2
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
Fungsi komposisi adalah fungsi hasil kombinasi dua fungsi atau lebih
Fungsi f : A → B dengan f: x → y atau y = f (x)Fungsi g : B → C dengan g: y → z atau z = g(y) = g (f(x))Fungsi h : A → C dengan h: x → z atau z = h(x) = g (f(x))
h (x) = g (f(x))atau
h (x) = (g o f)(x) = g(f(x))
g o f dibaca g bundaran f (g komposisi f)h disebut fungsi komposisi
Komposisi dari tiga fungsi, yaitu ( f o g o h) (x) = f (g(h(x)))Sehingga,
( f o g o h) (x) = f (g(h(x))) ( h o g o f) (x) = h (g(f(x)))
Sifat Keterangan
Tidak komutatif f o g ¿ g o f
Berlaku Assosiatif ( f o g ) o h = f o ( g o h )
Terdapat fungsi Identitas i(x) = x (f o i)(x) = (i o f)(x)
14
FUNGSI KOMPOSISI AC
Syarat Agar Suatu Fungsi Memiliki Invers1
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
Fungsi invers berarti fungsi kebalikan. Simbol f-1(x) merupakan invers dari f(x), sehingga
f-1(x) = f(y).
1. Jika f adalah fungsi dari A ke B, f-1 adalah fungsi invers dari f dari B ke A jika dan hanya jika f fungsi bijektif
f-1 o f = IA dan f o f-1 = IB
2. Untuk menentukan fungsi invers dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan caraa. Buatlah permisalan f(x) = y pada persamaan.b. Persamaan tersebut disesuaikan dengan f(x) = y, sehingga ditemukan fungsi dalam y
dan nyatakanlah x = f(y).c. Gantilah y dengan x, sehingga f(y) = f –1(x).
Contoh:Diketahui fungsi f(x) = 2x + 5, x € Ra. Tentukan rumus f-1
b. Hitunglah f-1 (0), dan f-1 (2)Jawab:a. Misalkan y = f(x)
y = 2x + 52x = y – 5
x =
y−52
f-1 (y) =
y−25
Jadi, rumus untuk f-1 (x) adalah
x−52
15
FUNGSI INVERS BD
Fungsi Invers dan Fungsi Komposisi2
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
b. Dari f-1 (x) =
x−52 , diperoleh
f-1 (0) =
0−52 =
−52 ,
f-1 (2) =
2−52 =
−32
(f o g)-1 (x) = (g-1 o f-1)(x)(g o f)-1 (x) = (f-1 o g-1)(x)
Contoh:Fungsi f : R → R dinyatakan dengan f(x) = 2x – 6. Tentukan rumus fungsi inversnya.Jawab:Misalkan nilai fungsi f adalah f(x) = y, maka:
2x – 6 = y 2x = y + 6
x = y+6
2 x = ½ y + 3
Jadi, rumus fungsi invers f adalah f-1(x) = ½ x + 3
16
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
A. Pilih salah satu alternatif jawaban yang tepat !1. Jika f(x) = 2x + 7, g(x) = x2 -4x +6 dan (f + g)(x) = 28 maka nilai x yang memenuhi adalah . . .
a. -5 atau 2 c. 3 atau -5 e. -3 atau 5b. -2 atau -5 d. 3 atau 5
2. Diketahui f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x +2, Jika (f o g)(x) = 5, maka nilai x adalah . . . a. 3 atau ½ c. -3 atau – ½ e. -3 atau 3/2b. 3 atau – ½ d. 3 atau 3/2
3. Bila diketahui f(x) = x2 +x -2 dan g(x) = x2 –x -6, maka
g ( x )f ( x )
=
a.
x−1x+2 b.
x−1x+3 c.
x−3x−1 d.
x−3x+2 e.
x+2x−1
4. Suatu fungsi f(x) = 12x2 +3 dan g(x) = √ x+1 , maka (f –g)(3) = . . .a. 107 b. 108 c. 109 d. 110 e. 111
5. Jika p(x) = g(x) + f(x) dan f(x) = 2x +6, serta p(x) = 6x -12 maka g(x) adalah . . .a. 4x -6 b. 4x +6 c. 6 -4x d. 4x -18 e. 8x -18
6. Bila f(x) = x2 dan g(x) = 4x =1, maka (f o g)(x) adalah . . .a. 16x2+8x +1 c. 8x2+16x -1 e. 6x2-8x -1b. 16x2+8x -1 d. 8x2+16x +1
7. Bila f(x) = x + 2 dan (g o f)(x) = 6 -3x2 , maka g(x)= . . .a. -3x2 -8 c. -3x2 -12x -6 e. -3x2 –x +4b. -3x2 +12x -6 d. -3x2 +x + 8
8. Bila g(x -1) = 4x2 -8x + 4 dan (f o g)(x) = 8x2 + 3 . maka f(1)= . . .a. -2 b. 0 c. 3 d. 5 e. 11
9. Diketahui f(x) = x2 , g(x) = 2x +1 dan h(x) =
1x , maka (h o g o f)(x)= . . .
a.
1
2 x2+1 b.
2
x2+1
c.
1
4 x2+8 d.
4
x2+1
e.
1(2 x+1 )
10. Jika diketahui f(x) = 4x2 -1 , g(x) = 3x -2 dan akar-akar dari (f o g)(p) = 63 adalah p dan q, maka nilai p.q = . . .
a. -
34 b. -
13 c. -
14 d.
34 e.
73
11. Jika f(x) =53x dan f-1 (x) invers dari f(x), maka nilai f-1(5√5 ) adalah .............
17
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
a. -
12 b.
16 c.
12 d.1 e.
32
12. Fungsi f ditentukan oleh f(x) =
2x+1x−3 , x¿ 3 jika f-1 invers dari f, maka f-1 (x+1) =. . . .
a.
3 x−1x−2 , x¿ 2 c.
3 x+2x−1 , x¿ 2 e.
3x+4x−1 , x¿ 2
b.
3x+4x−2 , x¿ 2 d.
3x+1x+1 , x¿ -2
13. Bila fungsi f:R→R dan g: R→R di tentukan oleh rumus f(x) = x – 3 dan g (x) = 3 – 2x , maka (f o g )-1 adalah . . .
a. 2x b. 3 – ½ x c. – ½ d. -2x e. ½x-314. Jika f-1 adalah invers dari f(x) , g-1 (x) adalah invers dari g (x) . maka (f o g)(x) inversnya (f o
g )-1(x). Apabila f(x) = 7x – 1 dan g (x) =
12 x – 5 maka : (f o g) -1(x) untuk x = – 4 adalah . . .
a. 22 b. 18 c.50 d. 8
47 e. 11
37
15. Jika fungsi f(x) = x3 dan g (x) =3x -4 , maka (g-1 o f-1 ) (8) =. . .
a. 1 b. 2 c. 313
d. 423
e. 513
16. Jika diketahui f(x) = 2 dan g (x) = 3 – 5x maka (g∘ f)-1 (x) = . . .
a. 311
( 6+x) b. 1
10 (3- x) c.
611
(6 – x) d.611
(3+x) e.1
10 (6 - x )
17. Diberikan g(x) = 2x- 2dan h (x) = 2x maka (h-1 o g-1 ) (1) =. . .
a. 0 b.2 c. 2 log 3 d. -1 +2log 3 e. log
32
18. Fungsi f ditentukan oleh f(x) =
3x+42 x+1 , x¿ - ½, Jika f-1 invers dari f maka
f-1 (x+2 )=. . .
a. f-1 (x) =
2+ x2x−1 dimana x¿ - ½ d. f-1 (x) =
2−x2x+1 dimana x¿ - ½
b. f-1 (x) =
2 x+32x−1 dimana x ¿ ½ e. f-1 (x) =
x2 x dimana x ¿ ½
c. f-1 (x) =
x−22x+1 dimana x = 1
19. Diketahui f(x) = 3x+4. Nilai f -1 (x) dan f-1 (81) adalah .........................a. f-1 (x) = 3Log x- 4 , f-1 ( 81) =0 d. f-1 (x) = 3Log 3-x , f-1 (81) = 3b. f-1 (x) = 3Log 4-x , f-1 (81 ) =1 e. f-1 (x) = 2Log 3 –x , f-1 (81) = 2c. f-1 (x) = 4Log 3-x , f-1 (81) = 0
18
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
20. Diketahui fungsi f(x) =2x +1 ; g(x) = 2x-1 , mak nilai f-1 (4) ............a. f-1 (4) = 8 d. f-1 (4) = 2 ½ b. f-1(4) = 1 ½ e. f-1 (4) =2 c. f-1 (4) = 3
B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar !
1. Diketahui f(x) = 3x -1 dan (f o g)(x) = 8x + 10, Maka tentukan g(x) !2. Jika f(x) = x2 -5x dan g(x) = 2x -3 dan h(x) = 3 + x .Tentukan g(x) – 3 h(x) + 2 f(x) ! 3. Jika (f o g)(x) = x2 -4x +3 dan f(x) = x -1, Tentukan g(x) dan g(-3) !
4. Diketahui f(x) =
2x−1x+5 dan (f o g)(x) =
6 x−24 x+3 , Tentukan fungsi g(x) !
5. Diketahui f(x) =
4 x+1x−4 dengan x ∈R , Tentukan fungsi invers f-1(x) !
6. Diketahui f -1(x) = 2x +1 dan (f-1 o g-1)(x) =
6 x−78 x+3 , Tentukan nilai g(2) !
7. Diketahui f -1(x) =
x−15 dan g-1(x) =
3−x2 , Tentukan: (g o f)-1 dan (g o f)-1(2) !
Ooo000ooO
19
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
BAB III.
LIMIT FUNGSI
20
Pengertian Limit 1
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
Limit dalam kata sehari-hari :
21
Mind Map
Materi yang akan kalian
pelajari
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
Mendekati hampir, sedikit lagi, atau harga batas, sesuatu yang dekat tetapi tidak dapat dicapai.
Ilustrasi limit
Fungsi ini tak memiliki nilai, bila x = 1 ( mengapa ?? )Tapi jika x hanya mendekati 1 , maka f(x) mendekati nilai berapa …… ?
Perhatikan tabel berikut ini :
Tabel di atas menunjukkan :
1. Nilai f(x) untuk x mendekati 1 dari kiri (dari bilangan yang lebih kecil ) maka f(x) mendekati
3. Dapat ditulis lim
x→ 1−¿ 2 x2− x−1x−1
=3¿
¿
2. Nilai f(x) untuk x mendekati 1 dari kanan (dari bilangan yang lebih besar) maka f(x)
mendekati 3. Dapat ditulis lim
x→ 1+¿ 2 x2−x−1x−1
=3¿
¿
3. Jadi limx →1
2 x2−x−1x−1
=3
Limit fungsi berarti pendekatan nilai fungsi. Bermanfaat untuk menentukan nilai fungsi yang memiliki nilai tak tentu. Misalkan fungsi f(x) didefinisikan disekitar x = a , maka:
lim x→a f ( x )=LJika dan hanya jika :
limx→a−
f ( x )=L limx →a+
f ( x )=L
22
Menentukan Limit Fungsi2
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
1. Bentuk limx→a
f ( x ) dapat diselesaikan dengan :
a. Subtitusi, nilai a ke fungsi jika hasilnya ada dan tertentu (contoh
ab ,
0b )
b. Faktorisasi Jika hasil tak tentu (
00
, ∞∞ ,0∞
). Caranya :o Memfaktorkan pembilang dan penyebuto Membagi faktor yang sama o Substitusikan nilai x = a
c. Perkalian sekawan. Jika pembilang atau penyebut memuat bentuk akar, maka sebelum difaktorkan dikalikan dulu dengan bentuk sekawannya.
d. Dalil L’hospital Cara cepat / khusus. Jika f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = . Caranya :o Menurunkan pembilang dan penyebut sampai dengan ada hasil, o jika belum ada turunkan lagi.
limx→a
f ( x )g ( x ) =
limx→a
f '( x )g ' ( x ) =
limx→a
f \( x \) } over {g ( x ), dst
2. Bentuk limx→∞
f ( x )
a. Limit bentuk , diselesaikan dengan cara :
o membagi pembilang dan penyebut dengan variabel berpangkat tertinggio Rumus Praktis :
limx→∞
axn+. ..bxm+. ..
jika n < m L = 0
n = m L = ab
n > m L = ~
23
TEOREMA LIMIT3
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
b. Limit bentuk ~ - ~ atau ~ + ~ , diselesaikan dengan cara :o Perkalian sekawan
o Rumus Praktis :
lim x→∞√ax+b−√ px+q=L
jika a < p L = - ~a = p L = 0
a > p L = ~
lim x→∞√ax2+bx+c−√ px2+qx+r=R
jika a < p R = - ~
a = p R = b−q
2√a
a > p L = ~
Berikut ini adalah teorema limit yang sering digunakan untuk menentukan limit fungsi:
1.lim x→c k=k
2.lim x→c ( f ( x )±g ( x )=lim f ( x )
x→c+ lim g( x )
x→ c
3.limx→ c
kf (x )=k limx→ c
f ( x )
4.limx→ c
( f ( x ) . g (x ))=limx→c
f ( x ) . limx→c
g( x ).
5.limx→ c
f ( x )g (g )
=limx→ c
f ( x )
limx→ c
g( x ) dengan g(x)≠0
6.limx→ c
( f ( x ))n=( limx→c
f (x ))n
7.limx→ c
p√ f ( x )= p√ limx→c
f (x ) dengan
limx→ c
f ( x )≥0
24
Limit Fungsi Trigonometri4
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
Contoh:limx→3
( x2+8 x−6 )=
limx→3
x2+ limx→3
8 x+limx→3
6
= limx→3
x2+8 limx→ 3
x+limx→3
6
= 32 + 8.3 -6 = 27
Limit fungsi trigonometri memiliki bentuk khusus. Bentuk ini dapat digunakan sebagai dasar dalam menentukan nilai limit fungsinya.
limx →0
sin xx
=1 limx →0
sin axbx
=ab
limx →0
tan xx
=1 limx →0
tan axbx
=ab
limx →0
sin xtan x
=1 limx →0
sin axtan bx
=ab
limx →0
cos x=1
Contoh:
1.lim x→0
sin2 xx
= limx→0sin 2 x
2 x×2 x
x=lim x→0
sin 2 x2 x
×2=1×2=2
2.lim x→∞ x sin
1x=lim y →∞
1y
sin y=lim y→∞sin y
y=1
25
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
A. Pilih salah satu alternatif jawaban yang tepat!
1.Limx→2
x2−4x3+1 sama dengan . . .
a. 0 b. 1 c. 19 d.
23 e. ∞
2. Nilai dari: Limx→4
4−x2−√x adalah . . .
a. 0 b. 1 c. 2 d. 4 e. 6
3. Nilai dari: Limx→1
2 x2−x−13 x2−x−2 = . . .
a.
35
b.
23
c. ½ d. 0 e. ∞
4.Limx→3
9−x2
4−√x2+7 adalah . . .
a. 8 b. 4 c.
94 d. 1 e. 0
5.Limx→3
x2−9
√ x2+16−5 adalah . . .a. 10 b. 8 c. 5 d. -3 e. -5
6. Nilai dari: Limx→a
x2−axx3−a3
adalah . . .
a. -
13
ab.
13
ac. -3a d. 3a e.
13a
7. Nilai untuk: Limx→∞
7 x2−7 x−102−x2
adalah . . .
a.
103 b. 0 c. -7 d. ∞ e. Tak tentu
26
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
8. Nilai dari: Limx→25
√ x−5x−25 adalah . . .
a. 0 b.1 c. 2 d. ∞ e.
110
9.Limx→2
4−x2
3−√ x2+5 adalah . . .a. 6 b. 8 c. 9 d. 10 e. 12
10.Limx→5
x2−25
√ x2−9−4 adalah . . .
a. 0 b. 1 c. 2 d. 8 e. ∞
11.Limx→0
x−x . cos x
x2 adalah . . .
a. 0 b. 1 c. 2 d.
12 e. -
12
12. xx
xxLimx tan.2
sin. 2.2
0 adalah . . .
a. 2 b. 1 c. 2
1
d. -
12 e. -1
13.
Limx→ π
2
( π−2 x ) . tan 5 x
adalah . . .
a.
45 b.
35 c. 5
2
d. 2
1
e.
14
14.Limx→0
x . tan x
x2+x2 . cos x adalah . . .
a.-3 b. - 5
2
c.
13 d.
23 e.
12
15. Nilai dari : 1sin
sin1 2
0
x
xLimx adalah . . .
a. -2 b. -√2 c. -1 d. √2 e. 2
16. Nilai Limx→0
(sin x )(cot an . 3 x ) adalah:
a. 0 b. 1/3 c. 1 d. 3 e. ∞
27
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
17.Limx→0
x .√1−cos23 x3−3 cos .3 x adalah . . .
a. -
29 b. -
17 c.
19 d.
29 e. 1
18.Limx→0
sin 2 x . tan 3 x
cos x . tan2 2x adalah . . .
a. 6 b. 5 c.
72 d. 2 e. -2
19.Limx→0
x .(cos2 6 x−1)sin 3x . tan2 2 x adalah . . .
a. 3 b. 2 c. -1 d. -2 e. -3
20.Limx→0
sin 2 x−tan 2 x
x3 adalah . . .
a. 0 b. -1 c. -2 d. -3 e. -4
B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar !
Tentukan nilai Limit fungsi-fungsi berikut ini:
1. Limx→1 [ 1
x−1−
2
x2−1 ] 5. Limx→∞
(√x+1−√x )
2. Limx→−2
x2−3 x+10x+2 6.
Limx→0
x
√1+x−√1−x
3.
Limx→0
1−cos3 xx .sin 2 x 7.
Limx→0
sin 2 x+sin 6 x+sin 10 x−sin 18 x3 . sin x−sin 3x
4. Limx→0
cos3 x−1x . tan 2x
28
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
Ooo000ooO
BAB IV.
TURUNAN FUNGSI
29
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
30
Pengertian Turunan1
RUMUS-RUMUS TURUNAN2
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
Laju perubahan nilai f terhadap variabelnya adalah :
f ′(x) disebut turunan fungsi f. Bagian kalkulus yang berhubungan dengan itu disebut kalkulus differensial.
Fungsi Aljabar
y=xn → y '=n . xn−1
y=|x| → y '= x|x|
→ tanda ±dari x
Fungsi Trigonometriy=sin x → y '=cos x
y=cos x → y '=−sin x
y=tan x → y '=sec2 x
y=sec x → y '=tan x . sec x
y=cosec x → y '=−cot x . cosec x
y=cot x → y '=−cosec2 x
Fungsi Invers Trigonometri
y=sin−1 x → y '= 1
√1−x2
y=cos−1 x → y '= −1
√1−x2
y=tan−1 x → y '= 1
1+x2
y=sec−1 x → y '= 1
|x|√1−x2
y=cosec−1 x → y '= −1
|x|√1−x2
31
PENGGUNAAN KONSEP DAN ATURAN A
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
y=cot−1 x → y '= 1
1+x2
Fungsi Hiperbolik
y=sinh x → y '=cosh x= ex+e−x
2
y=cosh x → y '=sinh x= ex+e− x
2
y=tanh x → y '=sech2 x
y=sech x → y '=tanh x . sech x
y=cosech x → y '=−coth x . cosech x
y=coth x → y '=−cosech2 x
Fungsi Logaritma
y= log x❑a → y '= 1
x . ln a
y= log f (x )❑a → y '=
f '(x )f ( x) . ln a
y=ln x → y '=1x
y=ln f (x ) → y '=f ' (x )f (x)
Fungsi Eksponen
y=ex → y=ex
y=ax → y=ax . ln a
y=x x → y=x x¿
32
Sifat-Sifat Turunan3
Persamaan Garis Singgung pada Kurva
1
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
Contoh:1. Carilah f (x) jika: f(x) = 3x2 + 7x
u = 3x2 →u' = 3 × 2 × x2–1 = 6x1 = 6xv = 7x →v' = 7 × 1 × x1 – 1 = 7x0 = 7 × 1 = 7Jadi jika f(x) = u + v, maka f ‘(x) = u' + v' = 6x + 7
2. Carilah
dydx jika y = (2x + 1)(x – 5)
Suatu titik (x,y) : x adalah absis dan y adalah ordinat Persamaan garis lurus jika diketahui melalui dua titik, yaitu (x1,y1) dan (x2,y2) adalah
y− y 1y2− y1 =
x−x1x2−x 1
Persamaan garis lurus jika diketahui gradiennya (m) dan melalui (x1,y1) adalah : y – y1 = m ( x-x1)
Diketahui persamaan garis k ; y = m1x + p dan persamaan garis l : y = m2x+p
33
PENGGUNAAN TURUNAN UNTUK
MENENTUKAN KARAKTERISTIK SUATU
FUNGSI
B
Fungsi Naik dan Turun2
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
a. Jika garis k // l ( saling sejajar ) maka m1 = m2
b. Jika garis k l ( saling tegak lurus ) maka m1.m2 = -1Gradien garis singgung pada kurva y = f(x) di titik (x1,y1) adalah m = f ’(x).
Persamaan garis singgung pada kurva di titik (x1, y1) dengan gradien m di mana m = f ‘(x) adalah:
Contoh:Jika diketahui f(x) = 5 – x , tentukan gradien garis singgung kurva tersebut di titik yang ordinatnya 3.
Jawab :
A. Pengertian Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Fungsi Naik :Suatu fungsi f disebut naik dalam suatu interval jika untuk setiap nilai x1 dan x2 pada interval itu, berlaku :jika x1 < x2 maka f(x1) < f(x2)
Fungsi Turun : Suatu fungsi f disebut turun dalam suatu interval jika untuk setiap nilai x1 dan x2 pada interval itu, berlaku :jika x1 < x2 maka f(x1) > f(x2)
34
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
Fungsi Naik, Fungsi Turun & Turunan Pertama
Dari gambar terlihat :Jika fungsi naik, gradien garis singgung positif turunan pertama positifJika fungsi turun, gradien garis singgung negatif turunan pertama negatif
Jadi turunan pertama dapat dipakai untuk melihat apakah sebuah fungsi (sedang) naik atau turun.
Catatan :Jika f ’ (x) > 0 disemua interval : fungsi monoton naik ( selalu naik )
f ’ (x) < 0 disemua interval : fungsi monoton turun ( selalu turun )f ’ (x) ≥ 0 disemua interval : fungsi tidak pernah turunf ’ (x) ≤ 0 disemua interval : fungsi tidak pernah naikf ’ (x) = 0 : fungsi tidak naik dan tidak turun ( fungsi stasioner )
Contoh:Tentukan interval-interval dari fungsi f(x) = x2 – 4x agar fungsi:
a. naik,
35
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
b. turun.f(x) = x2 – 4x → f ‘(x) = 2x – 4a. Syarat supaya fungsi naik adalah:
f ‘(x) > 02x – 4 > 02x > 4
b. Syarat supaya fungsi turun adalah: f ‘(x) < 02x – 4 < 02x < 4x < 2
Kecekungan Kurva dan Turunan Kedua
Hubungan Kecekungan Kurva dan Turunan Kedua
Kurva Cekung ke Atas jika x < a ; f ’ (x) < 0 x = a ; f ’ (x) = 0 f ’ (x) naik f ” (x) > 0 x > a ; f ’ (x) > 0
36
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
Kurva Cekung ke Bawah jika x < a ; f ’ (x) > 0 x = a ; f ’ (x) = 0 f ’ (x) turun f ” (x) < 0
x > a ; f ’ (x) < 0
Kesimpulan : Jika kurva cekung ke atas, maka f ”(x) > 0 Jika kurva cekung ke bawah, maka f ”(x) < 0
B. Nilai Stasioner dan JenisnyaPerhatikan grafik y = f (x) berikut :
di x = a, grafik tidak sedang naik dan tidak sedang turun, fungsi mencapai keadaan kritis,nilai fungsi di x = a disebut nilai stasioner (critical value/ stasionery value)di x= b dan di x=c terjadi hal yang sama
Jenis Nilai Stasioner Jadi jika f ‘(x) = 0 terdapat nilai stasioner, nilai stasioner tersebut ada 4 jenis :
1. Nilai ( Balik ) Maksimum Pada x < a ; f ‘ (x) > 0
x = a ; f ‘ (x) = 0 x > a ; f ‘ (x) < 0
37
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
di x = a mengalami perubahan dari naik menjadi turunf (a) : nilai ( balik ) maksimum( a, f(a) ) : titik balik maksimum
2. Nilai ( Balik ) MinimumPada x < a ; f ‘ (x) < 0 x = a ; f ‘ (x) = 0 x > a ; f ‘ (x) > 0di x = a mengalami perubahan dari turun menjadi naikf (a) : nilai ( balik ) minimum( a, f(a) ) : titik balik minimum
3. Ordinat titik belok horizontal ( nilai belok positif ) Titik belok adalah titik dimana terjadi perubahan dari
konkaf/cekung ke bawah jadi ke atas atau sebaliknyaPada x < a ; f ‘ (x) > 0 x = a ; f ‘ (x) = 0 x > a ; f ‘ (x) > 0f (a) : ordinat titik belok horisontal( a, f(a) ) : titik belok horizontal
4. Ordinat titik belok horizontal ( nilai belok negatif ) Pada x < a ; f ‘ (x) < 0
x = a ; f ‘ (x) = 0 x > a ; f ‘ (x) < 0f (a) : ordinat titik belok horisontal( a, f(a) ) : titik belok horizontal
Menentukan Jenis Nilai Stasioner dengan “Uji Turunan Kedua”
Jika f ‘ (a) : 0 f “(a) > 0 f (a) : nilai balik minimum
38
Menggambar Grafik Fungsi Aljabar3
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
Jika f ‘ (a) = 0f ”(a) < 0 f (a) : nilai baik maksimum
Jika f “(a) = 0 mungkin ( a,f(a) ); berupa titik belok horizontal ( apabila tanda f “(x) di kiri dan kanan-nya berbeda tanda )
Contoh:Tentukan nilai stasioner dan jenisnya dari fungsi f(x) = x3 + 9x2 + 24x + 8!
Langkah-langkah dalam menggambar grafik suatu fungsi aljabar/suatu kurva : 1. Menentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat (sumbu x dan y)
a. Titik potong dengan sumbu x, yaitu saat y = 0b. Titik potong dengan sumbu y, yaitu saat x = 0
2. Menentukan titik-titik stasioner dan jenisnya (titik balik minimum, titik balik maksimum, dan titik belok)
3. Menentukan beberapa titik bantu ( jika diperlukan ) Pilihlah beberapa nilai x kemudian carilah nilai y-nya dengan mensubstitusikan nilai x pada fungsi f(x)
39
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
4. Gambarkan titik-titik pada bidang koordinat5. Hubungkan titik-titik ini dengan kurva yang mulus
Contoh:Gambarlah grafik kurva y = 3x2 – x3.a. Titik potong kurva dengan sumbu X, dipenuhi bila y = 0, maka diperoleh:
3x2 – x3 = 0x2 (3 – x) = 0x1 = x2 = 0 atau 3 – x = 0x3 = 3Jadi, titik potong dengan sumbu X adalah (0, 0) dan (3, 0).Titik potong kurva dengan sumbu Y, dipenuhi bila x = 0, maka diperoleh:y = 3x2 – x2
= 3 × 0 – 0= 0Jadi, titik potong dengan sumbu Y adalah (0, 0).
b. Mencari titik-titik stasioner, syarat f (′ x) = 0y = 3x2 – x3
y' = 06x – 3x2 = 03x (2 – x) = 0x = 0 atau x = 2Untuk x = 0→y = 0 dan untuk x = 2→y = 4.
Jadi, titik (0, 0) merupakan titik balik minimum dan (2, 4) merupakan titik balik maksimum.c. Untuk x besar positif, maka y = besar negatif. Untuk x besar negatif, maka y = besar positif.
40
Nilai Maksimum & Minimum di Interval Tertutup1
Penggunaan Nilai Maksimum dan Minimum2
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
Langkah-langkah menentukan nilai maksimum dan minimum di interval tertutup sebagai berikut :
a. Menentukan nilai fungsi pada ujung-ujung interval yang diberikanb. Menentukan nilai stasioner fungsi tersebutc. Menentukan nilai minimum dan maksimum dari hasil (a) dan (b) yang masuk dalam
interval
Contoh:Tentukan nilai maksimum dan minimum untuk fungsi f(x) = 6x2 – x3 pada interval –1 < x < 3.Fungsi f(x) = 6x2 – x3 pada interval –1 < x < 3.Nilai fungsi pada batas interval:f(–1) = 6 (–1)2 – (–1)3 = 6 + 1 = 7f(3) = 6 (3)2 – (3)3 = 54 – 27 = 27Nilai stasioner fungsi:f ‘(x) = 12x – 3x2→12x – 3x2= 03x (4 – x) = 0x = 0 atau x = 4x = 0 di dalam interval (dicari nilai fungsinya)x = 4 di luar interval (tidak dicari nilai fungsinya)f(0) = 6 (0)2 – (0)3 = 0Diperoleh f(–1) = 7, f(2) = 16, f(3) = 27.
Jadi, nilai maksimum adalah 27 dan nilai minimum adalah 0.
Soal cerita atau persoalan yang sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari dapat diselesaikan dengan menggunakan stasioner yaitu nilai maksimum dan minimum.
Contoh:Sebuah bola dilempar vertikal ke atas. Dalam waktu t detik ketinggian yang dicapaioleh bola dengan persamaan h(t) = 36t – 9t2.a. Tentukan waktu (t) yang diperlukan sehingga tinggi bola maksimum.b. Tentukan tinggi maksimum yang dicapai bola itu.
41
MERANCANG MODEL MATEMATIKA DARI MASALAH YANG BERKAITAN DENGAN
EKSTRIM FUNGSIC
Turunan Kedua Suatu Fungsi1
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
Jawab:a. h(t) = 72t – 9t2
h'(t) = 72 – 18tAgar mencapai maksimum maka h'(t) = 0h'(t) = 72 – 18t0 = 72 – 18t18t = 72
t =
1872 = 4 detik
b. Tinggi maksimum yang dicapai bola itu adalah:h(t) = 72t – 9t2
= (72 × 4) – (9 × 42)= (72 × 4) – (9 × 16)= 288 – 144 = 144 meter
Fungsi y=f (x )
Turunan Pertama y '=f ' (x)=dydx
Turunan Kedua y ' '=f ' ' (x)=d2 yd x2
Turunan Ketiga y ' ' '= f ' ' ' (x )=d3 yd x3
Contoh:
Tentukan d2 yd x2 dari fungsi f(x) = x3 – 5x2 + 7.
Jawab :
42
PENYELESAIAN MODEL MATEMATIKA MASALAH YANG BERKAITAN DENGAN
EKSTRIM FUNGSI DAN PENAFSIRANNYA
D
Menentukan Nilai Kecepatan dan Percepatan2
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
Apabila S = f(t) adalah perubahan jarak dalam fungsi waktu t, maka
v =
dsdt
a =
dvdt =
d2 sdt2
s = jarak / perpindahanv = kecepatana = percepatant = waktu
Contoh:Jika suatu benda yang bergerak ditunjukkan oleh rumus s = 10t + 5t2, dengan menggunakan
limh→0
f ( t +h )−f ( t )h , tentukan:
a. kecepatan pada setiap saat,b. percepatan pada setiap saat.
Jawab:
43
Teorema L’Hospital3
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
Contoh:
Hitunglah limx→0
sin 5 xx menggunakan teorema L'Hopital!
Jawab :
A. Pilih salah satu alternatif jawaban yang tepat !
1. Diketahui g(x) =
2 x+1x , maka
Limh→0
f (3+h )−g(3 )h
=.. . .. .. .. .
a. -
13 b. -
19 c.
19 d.
13 e.
112
44
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
2. Jika f(x) =
23
x6
maka Nilai dari: f’(1) = adalah . . ..a. 4 b. 6 c. 8 d. 12 e. 16
3. Jika y = 2x2 + √ x maka y ’ = . . .
a. 2x + √ x c. 4x -√ x e. 2x -
1
√x
b. 4x +
12√x d. x +
1
√x
4. Jika f(x) = 3x2 -4x + 5 dan f ’(a) = 5, maka nilai a adalah . . .
a.
13 b.
12 c. 1 d.
32 e. 2
5. Jika f(x) = x3 -2x2 dan g(x) = 2x2 + 4x serta h(x) = f(x) – g(x) , maka h’(x) = . . . a. 3x2 +8x -4 c. 3x2 -8x -4 e. 3x2 -8x +4b. 3x2 -4 d. 3x2 + 4
6. Jika y = x2 [ x+ 1
√ x ] , maka
dydx adalah . . .
a. x3 + x√ x c. 3x2 +√ x e. 3x2 +
1
√2
b. 3x2 +
32 √ x d. 3x2 +
12 √ x
7. Jika f(x) =
3 x−2
x2+2 maka Nilai dari f ’(0) adalah . . ..
a.
32 b. 1 c. ½ d. ¼ e. 0
8. Jika f(x) =
sin x+cos xsin x maka nilai dari f ’ [
π2 ] adalah . . . .
a. 1 b. ½ c. 0 d. -½ e. -19. Jika f(x) = 2x . tan x , maka f ’(x) = . . .
a. 2 sin2x c. 2 tan x + sec2x e.tan x + 2x sec2xb. 2x sec2x d. 2(tanx +x sec2x)
10. Jika f(x) = cos5 (4x -2) maka f ’ (x) adalah . . . . a. -5 cos4(4x -2) . sin (4x -2) d. 10 cos3(4x -2).sin (8x -4)b. 5 cos4(4x -2). sin (4x-2) e. - 10 cos3(4x -2).sin (8x -4)c. 20 cos4(4x -2) . sin (2x -1)
11. Persamaan garis singgung kurva y = 2x3+ 1 di titik (1,3) adalah.............a. y = 6x – 9 c. y = 6x – 6 e. y = 6x – 3 b. y = 3x + 3 d. y = 3x+ 6
45
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
12. Persamaan garis singgung kurva y = x2 + 2 yang tegak lurus garis 2y +x = 0 adalah......... a. y – 2x + 5 c. y = -2x – 5 e. y = 2x +5 b. y = 2x – 5 d. y = 2x + 1
13. Nilai stasioner dari f(x) x2 – 10 x dicapai untuk . . . a. a. x = 6 b. x = 5 c. x = 4 d. x = -2 e. x = -4
14. Nilai stasioner dari f(x) = x3 – 3x2 - 45x +2 dicapai untuk . . . .a. x = -3 atau x = - 6 c. x = -5 atau x = 3 e. x=-3 ataux=5b. x = -6 atau x = 5 d. x = -6 atau x = -5
15. Nilai balik minimum dari fungsi f(x) =4x3 – 21x2 - 24x +96 adalah . . . .a. 256 b. 32 c. – 16 d. -80 e. -196
16. Nilai maksimum dari f(x) = -2x2 +4x – 5 pada interval 2¿ x≤6 adalah ........a.-3 b. -5 c. -11 d.-24 e. -53
17. Grafik fungsi y = x3 – 9x2 +15x +2 turun pada interval . . . . .a. 2 < x < 3 c. 1 < x < 5 e. -1 < x < 6 b. x < 2 ataux>3 d. x<1 atau x>5
18. Fungsi f(x) = x3 – 6x2 +9x +2 turun pada interval . . . .a. x <1atau x > 3 c. x < -3 atau x > -1 e. -1<x<3b. -3 < x < -1 d. 1<x<3
19. Untuk 0 < x < 2, maka grafik fungsi f(x) = x3 - 2x2 + 1 adalah . . . .a. selalu naik c. Selalu turun e.naik kemudian turun b. Turun kemudian naik d. Berulang kali naik turun
20. Fungsi y = x3 -6x2 +9x – 2 naik pada interval . . . .
a. x¿1 ataux≥3 c.x <-3 atau x>1 e. x <1 atau x>3
b. b. 0 <x<3 d. 1≤x≤4
B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar !
1. Tentukan turunan pertama dari : y = [2x √x−
1
√ x ]2
!
2. Jika f(x) =
x2−12 x−2 maka tentukan nilai dari f’(2) = !
3. Tentukan turunan pertama dari : f(x) = sin 3x tan x + 2x !
4. Diketahui f(x) = a + b sin x dan f [π6 ] = 4 serta f ’ [
π3 ] = 1. Tentukan nilai dari a2 + b!
5. Tentukan Turunan pertama dari : y = (2x -1)2 sin (2x -1)!6. Diketahui kurva y = x3 +2ax2 +6. Jika garis singgung kurva tersebut di x= -1 adalah y = -5x -1,
maka tentukan nilai a!7. Tentukan interval agar fungsi berikut naik !
a. f(x) = 3x4 + 4x3 - 12x2 +5
46
Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA
b. f(x) =
13
x3+x2−24 x+2
8. Tentukan batas – batas nilai a agar fungsi f(x) =
13
x3+ 13
ax2+ax+3 selalu naik untuk
semua x bilangan real !9. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi – fungsi berikut !
a. f(x) = 2x2 – 16x +14, 0≤x≤6
b. f(x) = x3 – 9x2 +15x, 2≤x≤6
10. Panjang sebuah balok adalah dua kali lebarnya dengan luas permukaan 300cm2. Jika lebar balok x, maka :a. Nyatakan fungsi Volume dalam x.b. Tentukan Volume maksimum.
Ooo000ooO
47