Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3...Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1 @2020,...
Transcript of Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3...Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1 @2020,...
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 1
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 2
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI MATEMATIKA PEMINATAN
KELAS XII
PENYUSUN Yuyun Sri Yuniarti
SMA Negeri 1 Pedes
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 3
DAFTAR ISI
PENYUSUN ............................................................................................................................................. 2
DAFTAR ISI ............................................................................................................................................ 3
GLOSARIUM ........................................................................................................................................... 4
PETA KONSEP ....................................................................................................................................... 5
PENDAHULUAN ................................................................................................................................... 6
A. Identitas Modul ........................................................................................................... 6
B. Kompetensi Dasar ....................................................................................................... 6
C. Deskripsi Singkat Materi ............................................................................................ 6
D. Petunjuk Penggunaan Modul ...................................................................................... 7
E. Materi Pembelajaran ................................................................................................... 7
KEGIATAN PEMBELAJARAN 1 ....................................................................................................... 8
Limit Fungsi Trigonometri 1 ........................................................................................................... 8
A. Tujuan Pembelajaran .................................................................................................. 8
B. Uraian Materi .............................................................................................................. 8
1. Metode substitusi langsung......................................................................................... 8
2. Menggunakan rumus dasar limit fungsi trigonometri ............................................ 9
C. Rangkuman ............................................................................................................... 10
D. Latihan Soal .............................................................................................................. 10
E. Penilaian Diri ............................................................................................................ 13
KEGIATAN PEMBELAJARAN 2 ..................................................................................................... 14
Limit Fungsi Trigonometri 2 ......................................................................................................... 14
A. Tujuan Pembelajaran ................................................................................................ 14
B. Uraian Materi ............................................................................................................ 14
1) Menggunakan metode pemfaktoran ..................................................................... 14
2) Menyederhanakan Fungsi Trigonometrinya .............................................................. 15
C. Rangkuman ............................................................................................................... 16
D. Latihan Soal .............................................................................................................. 16
E. Penilaian Diri ............................................................................................................ 18
EVALUASI ............................................................................................................................................. 19
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................................ 27
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 4
GLOSARIUM
β’ Limit; nilai pendekatan di sekitar titik tertentu baik pendekatan dari kiri suatu titik maupun pendekatan dari kanan titik tersebut.
β’ Metode Substitusi; menentukan nilai limit dengan mensubstitusi langsung batas limit ke dalam limit fungsi untuk limit tidak bentuk tak tentu.
β’ Metode pemfaktoran; menentukan limit bentuk tidak tentu dengan memfaktorkan pembilang dan atau penyebut agar dapat dilakukan metode substitusi.
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 5
PETA KONSEP Ananda tercinta, berikut disajikan peta materi untuk konsep limit fungsi trigonometri. Konsep limit fungsi trigonometri tidak lepas dari materi limit fungsi aljabar dan rumus-rumus trigonometrinya. Oleh karena itu kedua materi tersebut merupakan materi prasyarat untuk Ananda dalam memahami, menentukan dan menyelesaikan masalah limit fungsi trigonometri.
Fungsi
Fungsi Aljabar
Limit Fungsi Aljabar
Sifat-sifat Limit Fungsi
Fungsi Trigonometri
Rumus-rumus trigonometri
Lim
it F
un
gsi T
rigo
no
met
ri
substitusi langsung
rumus dasar limit fungsi trigonometri
pemfaktoran
menyederhanakan rumus trigonometri
Materi
Prasyarat
di kelas XI
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 6
PENDAHULUAN Haloo... Ananda tercinta, salam jumpa kembali pada pembelajaran matematika. Kalian tentu tahu bahwa matematika merupakan ilmu yang dibutuhkan di semua bidang. Bahkan ada seloroh bahwa ketika kita berhenti bermatematik maka berhenti pulalah kehidupan ini. Nahh dalam kehidupan sehari-hari, berbagai permasalahan yang kita hadapi dapat melahirkan berbagai konsep matematika. Berdasarkan konsep umum matematika yang diperoleh dari permasalahan tersebut, kita mampu menyelesaikan kembali permasalahan yang serupa. Sebagai contoh, misalkan kita melakukan pengamatan terhadap respon tubuh yang sedang alergi terhadap suatu zat dengan tingkat dosis obat antibiotik. Dari data yang kita peroleh, kita dapat memodelkan batas dosis pemakaian antibiotik tersebut. Dengan demikian, masalah alergi yang serupa dapat diatasi bila kembali terjadi. Percobaan yang kita lakukan adalah sebuah konsep pendekatan terhadap solusi permasalahan tersebut. Jadi, konsep dapat kita peroleh dengan mengamati, menganalisis data dan menarik kesimpulan.
A. Identitas Modul
Mata Pelajaran : Matematika Peminatan Kelas : XII Alokasi Waktu : 12 JP Judul Modul : Limit Fungsi Trigonometri
B. Kompetensi Dasar 3.1 Menjelaskan dan menentukan limit fungsi trigonometri 4.1 Menyelesaikan masalah berkaitan dengan limit fungsi trigonometri
C. Deskripsi Singkat Materi
Pada pendahuluan, Ananda telah diajak untuk memahami suatu konsep pendekatan pada nilai tertentu. Konsep tersebut merupakan contoh konsep dasar sederhana dari materi limit fungsi dalam kehidupan sehari-hari. Pada pertemuan kali ini kita akan membahas tentang limit fungsi trigonometri.
Di kelas XI Ananda telah belajar tentang limit fungsi aljabar, sedangkan materi yang akan kita bahas dalam modul ini yaitu tentang limit fungsi trigonometri. Ketika mendengar kata trigonometri pasti Ananda ingat bahasan tentang trigonometri di kelas X. Jadi benar apa yang Ananda pikirkan jika materi kali ini berkaitan dengan trigonometri di kelas X dan limit fungsi aljabar di kelas XI. Jika Ananda sedikit lupa tentang kedua hal tersebut, Ananda boleh membuka kembali buku matematika kelas X dan XI dan mengingat kedua konsep tersebut yang telah bapak/ibu guru matematika ajarkan di kelas X dan XI. Jika belum terlalu paham, jangan khawatir, dalam modul pembelajaran mengenai materi limit fungsi trigonometri kita akan belajar perlahan langkah demi langkah secara rinci agar Ananda dapat lebih mudah memahaminya.
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 7
D. Petunjuk Penggunaan Modul
Sebelum Ananda mempelajari e-modul ini, Ananda harus memperhatikan petunjuk sebagai berikut:
Petunjuk Umum β Bacalah modul ini secara berurutan dan pahami isinya. β Pelajari contoh-contoh penyelesaian permasalahan dengan seksama dengan
pemahaman bukan dihapalkan. β Kerjakan semua tugas-tugas yang ada dalam modul ini agar kompetensi Ananda
berkembang sesuai dengan kompetensi yang diharapkan. β Setiap mempelajari materi, Ananda harus mulai dari menguasai pengetahuan
pendukung (uraian materi) melaksanakan tugas-tugas, mengerjakan lembar latihan. β Dalam mengerjakan lembar latihan, Ananda jangan melihat kunci jawaban terlebih
dahulu sebelum Ananda menyelesaikan lembar latihan. β Kerjakan lembar kerja untuk pembentukan keterampilan sampai Ananda benar-
benar terampil sesuai kompetensi. β Sebelum konsultasi dengan guru ketika menghadapi kesulitan dalam memahami
salah satu atau beberapa materi dalam modul ini, cobalah Ananda buka atau browsing literatur atau buka buku-buku referensi lain yang relevan dengan materi dalam modul ini.
Petunjuk Khusus β Pada kegiatan pembelajaran kali ini Ananda akan mempelajari limit fungsi
trigonometri dan rumus dasarnya, serta bagaimana cara mengerjakan limit fungsi trigonometri ini secara praktis dengan menggunakan konsep aljabar yang telah Ananda peroleh sebelumnya sejak SMP dan di kelas XI, serta menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri
β Perhatikan dengan seksama setiap konsep dan pahamilah contoh-contoh soal yang diberikan, dengan demikian Ananda dapat mengerjakan soal latihan pada lembar kerja secara sistematis.
β Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat agar Ananda dapat: βͺ Menggunakan sifat-sifat limit fungsi dalam menyelesaikan soal-soal yang
berkaitan. βͺ Menyelesaikan masalah limit fungsi trigonometri.
E. Materi Pembelajaran Modul ini terbagi menjadi 2 kegiatan pembelajaran dan di dalamnya terdapat uraian materi, contoh soal, soal latihan dan soal evaluasi. Pertama : Menyelesaikan Limit Fungsi Trigonometri dengan metode substitusi dan
rumus dasar limit fungsi trigonometri Kedua : Menyelesaikan Limit Fungsi Trigonometri dengan menggunakan rumus
trigonometri
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 8
KEGIATAN PEMBELAJARAN 1 Limit Fungsi Trigonometri 1
A. Tujuan Pembelajaran
Setelah kegiatan pembelajaran 1 ini diharapkan dapat Menjelaskan arti limit fungsi trigonometri di suatu titik; Menghitung limit fungsi trigonometri di suatu titik dan Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri
B. Uraian Materi
Pada pelajaran matematika wajib kelas XI, Ananda telah belajar mengenai definisi limit fungsi aljabar yaitu bahwa suatu limit fungsi f(x) dikatakan mendekati a {f(x), a} sebagai suatu limit. Bila x mendekati a, dinotasikan limit F(x) = L. Cara menyelesaikan limit fungsi aljabar, terdapat 3 cara untuk menyelesaikan limit fungsi aljabar yaitu dengan metode (1) substitusi langsung; (2) pemfaktoran; (3) merasionalkan penyebut. Nahhh semoga Ananda masih mengingat ini yaa...
Pada kegiatan pembelajaran ini Ananda akan belajar bagaimana menyelesaikan limit fungsi trigonometri. Cara menyelesaikan limit fungsi trigonometri dibagi menjadi 4 metode, yaitu (1) dengan metode substitusi langsung; (2) dengan menggunakan rumus dasar limit fungsi trigonometri; (3) dengan metode pemfaktoran; (4) dengan cara menyederhanakan fungsi trigonometrinya. Sebagai materi prasyarat pada bahasan limit fungsi trigonometri selain Ananda harus hapal nilai-nilai sudut istimewa untuk sin, cos, tan dan kebalikannya juga harus hapal rumus-rumus trigonometrinya ya. Jadi Ananda boleh sambil buka buku atau catatan kelas X tentang rumus-rumus trigonometri dan kelas XI tentang limit fungsi aljabar. Okay, sekarang kita lihat satu per satu cara menyelesaikan limit fungsi trigonometri..
1. Metode substitusi langsung
Penerapan metode substitusi langsung dalam menentukan atau menyelesaikan limit fungsi trigonometri sangat mudah, yakni dengan langsung mengganti x dengan angka yang tertera di soal atau
limπ₯βπ
π(π₯) = π(π)
Perhatikan contoh soal berikut: Gunakan metode substitusi untuk menentukan nilai Limit fungsi trigonometri berikut ini:
1. limπ₯β
π
4
sin 2π₯ = sin 2 (π
4) = sin
2π
4= sin 900 = 1
2. limπ₯β
3π
4
tan 3π₯ + 2 = tan 3 (3π
4) + 2 = tan(450) + 2 = 1 + 2 = 3
3. limπ₯β0
sin π₯
sin π₯+cos π₯=
sin 0
sin 0+cos 0=
0
0+1= 0
4. limπ₯β
π
2
1βcos 2π₯
2 cos 2π₯=
1βcos 2(π
2)
2 cos2(π
2)
=1βcos π
2 cos π=
1β(β1)
2 (β1)=
1+1
β2=
2
β2= β1
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 9
Berikut disajikan tabel sudut istimewa yaa biar Ananda gak ribet lagi nihhh.. tapi nanti harus dihapalkan.
2. Menggunakan rumus dasar limit fungsi trigonometri
Rumus dasar limit fungsi trigonometri tersebut adalah:
1. π₯π’π¦πβπ
π¬π’π§ ππ
ππ=
π
π 5. π₯π’π¦
πβπ
πππ§ ππ
πππ§ ππ=
π
π
2. ππππβπ
ππ
π¬π’π§ ππ=
π
π 6. πππ
πβπ
π¬π’π§ ππ
ππ=
π
π
3. ππππβπ
πππ ππ
ππ=
π
π 7. πππ
πβπ
πππ§ ππ
π¬π’π§ ππ=
π
π
4. ππππβπ
ππ
πππ§ ππ=
π
π 8. π₯π’π¦
πβπ
π¬π’π§ ππ
πππ§ ππ=
π
π
Perhatikan dengan seksama dan teliti rumus dasar di atas, jika Ananda jeli Ananda
akan menemukan pola jawaban rumus tersebut. Sebagai penguat kita simak contoh soal di bawah ini yaa.
Dengan menggunakan rumus limit fungsi trigonometri di atas, tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut:
1. limπ₯β0
sin 2π₯
3π₯=
π
π
2. ππππ₯β0
2π₯
π ππ 3π₯=
π
π
3. ππππ₯β0
π‘ππ 5π₯
3π₯=
π
π
4. ππππ₯β0
2π₯
π‘ππ 6π₯=
π
π=
π
π
5. ππππ₯β0
π‘ππ2π₯
π‘ππ5π₯=
π
π
6. ππππ₯β0
π‘ππ5π₯βπ‘ππ 3π₯
3π₯= β― dengan menggunakan sifat dari limit fungsi aljabar
yang telah Ananda pelajari di kelas XI, maka soal ini dapat kita pecah menjadi
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 10
ππππ₯β0
π‘ππ5π₯
3π₯β lim
π₯β0
π‘ππ3π₯
3π₯=
π
πβ
π
π=
π
π
Dari keenam contoh soal yang diberikan, ternyata untuk menjawabnya Ananda
tinggal menuliskan angka yang tertera di soal aja yaa... Gimana mudah bukan...? Yakin deh 100% Ananda dapat mengikutinya sehingga kita lanjut ke tingkatan berikutnya. Yukk kita simak lagi contoh soal berikutnya. Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut ini:
limπ₯β0
π₯ sin 5π₯
3π₯ tan 2π₯= lim
π₯β0
π₯
3π₯ . lim
π₯β0
sin 5π₯
tan 2π₯=
1
3 .
5
2=
5
6
limπ₯β0
2 π ππ22π₯
3π₯2= lim
π₯β0
2 sin 2π₯. sin 2π₯
3. π₯. π₯
= 2
3 limπ₯β0
sin 2π₯
π₯ . lim
π₯β0
sin 2π₯
π₯=
2
3 .
2
1 .
2
1=
8
3
C. Rangkuman
Cara menyelesaikan limit fungsi trigonometri pada pembelajaran pertama ini dilakukan dengan dua cara yaitu cara substitusi dan pemfaktoran. 1. lim
π₯βππ(π₯) = π(π)
2. limπ₯βπ
π(π₯)
π(π₯)=
(π₯βπ)π(π)
(π₯βπ )π(π)
D. Latihan Soal Isilah soal dibawah ini dengan benar
1. Nilai dari limπ₯β0
sin 2π₯
sin 6π₯ = β―
2. Nilai dari limπ₯β0
tan 7π₯+tan 3π₯βsin 5π₯
tan 9π₯βtan 3π₯βsin π₯= β―
3. Nilai dari limπ₯β
π
2
cos π₯
π₯ β π
2
adalah ...
4. limπ₯β0
π ππ32π₯
π‘ππ31
2π₯
= β―
5. Nilai dari limπ₯β0
2π₯2+π₯
sin π₯= β―
6. limπ₯β0
sin 2π₯ sin 3π₯
sin 2π₯ tan 3π₯= β―
7. limπ₯β0
sinπ
ππ₯
tan ππ₯= β―
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 11
Pembahasan
No Pembahasan Skoring
1 Penyelesaian
Substitusi langsung x = 0 akan menghasilkan bentuk tak tentu 0
0.
Berdasarkan rumus limit fungsi trigonometri limπ₯β0
sin ππ₯
sin ππ₯ =
π
π maka
dari soal tersebut
diketahui a = 2 dan b = 3 jadi nilai dari limπ₯β0
sin 2π₯
sin 3π₯ =
2
3
10
2 Penyelesaian
Substitusi langsung x = 0 akan menghasilkan bentuk tak tentu 0
0.
Munculkan bentuk yang sesuai dengan rumus limit fungsi
trigonometri yang ada dnegan cara mengalikannya dengan 1
π₯.
Sehingga diperoleh:
limπ₯β0
tan 7π₯ + tan 3π₯ β sin 5π₯
tan 9π₯ β tan 3π₯ β sin π₯.π
π= lim
π₯β0
tan 7π₯
π₯+
tan 3π₯
π₯β
sin 5π₯
π₯tan 9π₯
π₯β
tan 3π₯
π₯β
sin π₯
π₯
=7 + 3 β 5
9 β 3 β 1=
5
5= 1
10
3 Penyelesaian Gunakan rumus trigonometri berikut:
cos π₯ = sin(π
2β π₯)
Dengan demikian akan diperoleh:
limπ₯β
π
2
cos π₯
π₯ β π
2
= limπ₯β
π
2
sin(π
2βπ₯)
π₯ β π
2
= limπ₯β
π
2
sin(π
2β π₯)
β( π
2β π₯)
= β limπ₯β
π
2
sin (π
2β π₯)
( π
2β π₯)
= β1
10
4 Penyelesaian
Substitusi langsung akan menghasilkan bentuk tak tentu 0
0.
Berdasarkan rumus limit fungsi trigonometri untuk limπ₯β0
sin ππ₯
tan ππ₯=
π
π
maka dari soal diketahui a = 2 dan b = Β½ sehingga diperoleh:
limπ₯β0
π ππ32π₯
π‘ππ3 1
2π₯
= limπ₯β0
(sin 2π₯
tan1
2π₯
)
3
= (21
2
)
3
= 43 = 64
10
5 Penyelesaian
Substitusi langsung akan menghasilkan bentuk tak tentu 0
0
Langkah selanjutnya adalah dengan emlakukan pemisahan pecahan menjadi dua suku. Lalu munculkan bentuk yang sesuai dengan rumus trigonometri yang ada.
10
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 12
No Pembahasan Skoring
limπ₯β0
2π₯2 + π₯
sin π₯= lim
π₯β0
2π₯2
sin π₯
+ limπ₯β0
π₯
sin π₯
= limπ₯β0
2π₯π₯
sin π₯
+ limπ₯β0
π₯
sin π₯
= limπ₯β0
2π₯ . limπ₯β0
π₯
sin π₯
+ limπ₯β0
π₯
sin π₯= 2(0)(1) + 1 = 0 + 1 = 1
6 limπ₯β0
sin 2π₯ sin 3π₯
sin 2π₯ tan 3π₯=
2
2.3
3= 1
10
7
limπ₯β0
sinπ
ππ₯
tan ππ₯=
π
π
π=
π
π .
1
π=
π
ππ
10
TOTAL SKOR 70
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 13
E. Penilaian Diri
No. Pertanyaan Jawaban
Ya Tidak
1. Apakah Ananda mampu memahami cara menentukan limit fungsi trigonometri? ?
2. Apakah Ananda telah mampu menyelesaikan limit fungsi trigonometri dengan substitusi?
3. Apakah Ananda mampu menyelesaikan limit fungsi trigonometri dengan menggunakan rumus dasar trigonometri?
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 14
Sifat-sifat limit
KEGIATAN PEMBELAJARAN 2 Limit Fungsi Trigonometri 2
A. Tujuan Pembelajaran
Setelah kegiatan pembelajaran 1 ini diharapkan dapat menghitung limit fungsi trigonometri di suatu titik dengan menggunakan rumus dasar trigonometri dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri
B. Uraian Materi
Pada pembelajaran kali ini, Ananda akan belajar bagaimana cara menghitung limit fungsi trigonometri. Cara menghitungnya kita akan gunakan rumus dasar trigonometri dan penyederhanaan rumus-rumusnya.
1) Menggunakan metode pemfaktoran
Untuk metode pemfaktoran konsepnya sama persis dengan metode
pemfaktoran dalam limit fungsi aljabar yang telah Ananda pelajari di kelas XI. Metode pemfaktoran dilakukan ketika Ananda menemukan jawaban dengan bentuk tak tentu
atau 0
0, nahh artinya di sini Ananda harus melakukan pemfaktoran. Trik metode
pemfaktoran adalah Ananda harus membuang si pembuat nol dalam fungsi tersebut. Sebagai contoh, perhatikan soal di bawah ini.
Tentukan nilai limit berikut:
1. limπ₯β0
tan π₯
π₯2+2π₯= lim
π₯β0
tan π₯
π₯(π₯+2)= lim
π₯β0
tan π₯
π₯ . lim
π₯β0
1
(π₯+2)=
1
1 .
1
0+2= 1.
1
2=
1
2
2. limπ₯β1
sin(π₯β1)(2π₯+3)
π₯2+4π₯β5= lim
π₯β1
sin( π₯β1)(2π₯+3)
(π₯β1)(π₯+5)= lim
π₯β1
sin(π₯β1)
(π₯β1) . lim
π₯β1
(2π₯+3)
(π₯+5)=
1 .2(1)+3
(1+5)=
5
6
limπ₯β1
tan(π₯ β 1) sin( 1 β βπ₯)
π₯2 β 2π₯ + 1
= limπ₯β1
tan( π₯ β 1) sin(1 β βπ₯)
(π₯ β 1)(π₯ β 1)
= limπ₯β1
tan(π₯ β 1)
(π₯ β 1). lim
π₯β1
sin(1 β βπ₯)
(π₯ β 1)
= 1. limπ₯β1
sin(1 β βπ₯)
β (1 β βπ₯)(1 + βπ₯)
= β1. limπ₯β1
sin(1 β βπ₯)
(1 β βπ₯) . lim
π₯β1
1
(1 + βπ₯)= β1 . 1.
1
1 + β1= β1.1.
1
2= β
1
2
faktorkan
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 15
2) Menyederhanakan Fungsi Trigonometrinya Untuk dapat mengerjakan soal limit fungsi trigonometri seperti ini, mengharuskan
Ananda buka kembali rumus-rumus trigonometrinya. Agar lebih efektif yuk simak contoh soalnya.
Tentukan nilai limit fungsi berikut ini:
1. limπ₯β0
1βcos π₯
2π₯ sin π₯=
Jika Ananda mensubstitusi x dengan 0 maka akan didapat bentuk tak tentu atau 0
0.
Dalam hal ini Ananda harus merubah cos x menjadi fungsi lain.
limπ₯β0
1 β cos π₯
2π₯ sin π₯ = lim
π₯β0
1 β (πππ 2 1
2π₯ β π ππ2 1
2π₯)
2π₯ sin π₯
= limπ₯β0
(1 β πππ 2 1
2π₯) + π ππ2 1
2π₯
2π₯ sin π₯= lim
π₯β0
π ππ2 1
2π₯ + π ππ2 1
2π₯
2π₯ sin π₯
= limπ₯β0
2π ππ2 1
2π₯
2π₯ sin π₯
= limπ₯β0
2π ππ1
2π₯. π ππ
1
2π₯
2π₯ sin π₯
= limπ₯β0
2 π ππ1
2π₯
2π₯ . lim
π₯β0
π ππ1
2π₯
π πππ₯ =
2.1
2
2.
1
2
1=
1
4
2. limπ₯β
π
4
cos 2π₯
cos π₯βsin π₯= lim
π₯βπ
4
πππ 2 π₯β π ππ2π₯
cos π₯βsin π₯= lim
π₯βπ
4
(cos π₯βsin π₯) (cos π₯+sin π₯)
(cos π₯βsin π₯)=
limπ₯β
π
4
cos π₯ + sin π₯ = πππ π
4+ sin
π
4=
1
2β2 +
1
2β2 = β2
Bagaimana dengan contoh soal tersebut? Ananda sudah mulai paham kan cara mengerjakannya? Agar lebih matang, Ananda kembali ingat rumus-rumus trigonometrinya yaa... nihhh di bawah ini disajikan beberapa rumus trigonometri untuk Ananda.
Berikut ini merupakan kumpulan rumus dasar trigonometri. Ananda tinggal menyesuaikan sudut yang diminta dari soal yang diberikan seperti contoh soal di atas.
πΌππππ‘ πΎππππππ ππ’ππ’π : cos 2π₯ = πππ 2π₯ β π ππ2π₯
cos π₯ = πππ 21
2π₯ β π ππ2
1
2π₯
πΌππππ‘ πΎππππππ ππ’ππ’π : πππ 2π₯ + π ππ2π₯ = 1
Maka π ππ2π₯ = 1 β πππ 2π₯
π ππ21
2π₯ = 1 β πππ 2 1
2π₯
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 16
C. Rangkuman Pada pembelajaran ini Ananda diharapkan dapat mengingat rumus-rumus trigonometri di bawah ini agar ketika menyelesaikan limit fungsi trigonometri yang mengharuskan mengganti, atau menyederhanakan dengan rumus trigonometri, Ananda dapat lancar mengerjakannya.
D. Latihan Soal
Kerjakan soal untuk mengukur kemampuan pemahaman konsep Ananda terhadap materi limit fungsi trigonometri berikut ini:
1. limπ₯β2
sin(π₯β2)
π₯2β4= β―
2. Nilai dari limπ₯β
π
4
cos 2π₯
cos π₯βsin π₯= β―
3. limπ₯β0
1βcos 2π₯
π₯ tan1
2 π₯
= β―
4. limπ₯β0
tan(3π₯β π) cos 2π₯
sin(3π₯β π)= β―
5. Nilai dari limπ₯ β1
tan( π₯β1) sin( 1β βπ₯)
π₯2β2π₯+1= β―
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 17
Pembahasan
No
Pembahasan
Skoring
1
Penyelesaian
limπ₯β2
sin(π₯ β 2)
π₯2 β 4= lim
π₯β2
sin(π₯ β 2)
(π₯ β 2)(π₯ + 2)
= limπ₯β2
sin(π₯ β 2 )
(π₯ β 2 )
. limπ₯β2
1
( π₯ + 2)
= 1 .1
1 + 2=
1
3
10
2
Penyelesaian
limπ₯β
π
4
cos π₯ β sin π₯
cos 2π₯
= limπ₯β
π
4
cos π₯ β sin π₯
πππ 2π₯ β π ππ2π₯
= limπ₯β
π
4
(cos π₯ β sin π₯)
(cos π₯ β sin π₯) (cos π₯ + sin π₯)
= limπ₯β
π
4
cos π₯ β sin π₯
cos π₯ β sin π₯ . lim
π₯βπ
4
1
cos π₯ + sin π₯= 1 .
1
πππ π
4+ π ππ
π
4
=1
1
2β2 +
1
2β2
=1
β2 .
β2
β2=
β2
β4=
β2
2=
1
2β2
10
3
Penyelesaian
limπ₯β
π
3
tan(3π₯ β π) cos 2π₯
sin(3π₯ β π)
= limπ₯β
π
3
tan(3π₯ β π)
sin(3π₯ β π). lim
π₯βπ
3
cos 2π₯
= 1. limπ₯β
π
3
cos 2π₯ = 1. cos 2(π
3)
= cos 120 = β 1
2
10
4
Penyelesaian
limπ₯β0
1 β cos 2π₯
π₯ tan1
2 π₯
= limπ₯β0
2π ππ2π₯
π₯ tan1
2 π₯
= limπ₯β0
2 sin π₯. sin π₯
π₯ tan1
2 π₯
= limπ₯β0
2 sin π₯
π₯ . lim
π₯β0
sin π₯
tan1
2π₯
= 2 . limπ₯β0
sin π₯
π₯ . lim
π₯β0
sin π₯
tan1
2π₯
= 2 . 1 .11
2
= 2. 1. 2 = 4
10
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 18
5
limπ₯ β1
tan( π₯ β 1) sin( 1 β βπ₯)
π₯2 β 2π₯ + 1
= limπ₯ β1
tan( π₯ β 1) sin( 1 β βπ₯)
(π₯ β 1)(π₯ β 1)
= limπ₯ β1
tan( π₯ β 1)
(π₯ β 1) . lim
π₯β1
sin( 1 β βπ₯)
(π₯ β 1)
= 1 . limπ₯β1
β sin( βπ₯ β 1)
(βπ₯ β 1)(βπ₯ + 1)
= β1 . 1.1
β1 + 1= β
1
2
10
TOTAL SKOR 50
E. Penilaian Diri
No. Pertanyaan Jawaban
Ya Tidak
1. Apakah Ananda mampu memahami cara menentukan limit fungsi trigonometri dengan menggunakan rumus trigonometri?
2. Apakah Ananda telah mampu menyelesaikan limit fungsi trigonometri dengan pemfaktoran?
3. Apakah Ananda mampu menyelesaikan limit fungsi trigonometri dengan menggunakan penyederhanaan rumus trigonometri?
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 19
EVALUASI
Pilih satu jawaban yang paling tepat!
1. Nilai dari limπ₯β0
sin π₯+sin 5π₯
6π₯= β―
A. 2 D. 1
3
B. 1 E. β1
C. 1
2
2. Nilai dari limπ₯β2
sin(π₯β2)
π₯2 β3π₯+2= β―
A. β1
2 D.
1
2
B. β 1
3 E. 1
C. 0
3. Nilai dari limπ₯β0
sin 12π₯
2π₯ (π₯2+2π₯β3 )= β―
A. β 4 D. 2 B. β3 E. 6 C. β2
4. Nilai dari limπ₯β0
cos 4π₯ sin 3π₯
5π₯= β―
A. 5
3 D.
1
5
B. 1 E. 0
C. 5
2
5. Nilai dari limπ₯β0
1βcos 4π₯
π₯2 = β―
A. β 8 D. 4 B. β 4 E. 8 C. 2 D. 4
6. Nilai dari limπ₯β0
(π₯2β1 ) sin 6π₯
π₯3+ 3π₯2 +2π₯= β―
A. β 3 D. 3 B. β 2 E. 5 C. 2
7. Nilai dari limπ₯β1
sin( 1β 1
π₯) cos( 1β
1
π₯ )
π₯β1= β―
A. β 1 D. 1
2
B. β1
2 E. 1
C. 0
8. Nilai dari limπ₯ β2
( π₯2β5π₯+6) sin(π₯β2)
( π₯2 βπ₯β2 )2= β―
A. 1
3 D. β
1
9
B. 1
5 E. β
1
3
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 20
C. 0
9. Nilai dari limπ₯β
π
4
cos 2π₯
cos π₯βsin π₯ = β―
A. 1
4β2 D. 2β2
B. 1
2β2 E. 3β2
C. β2
10. Nilai dari limπ₯ β0
π₯ tan π₯
1βcos 2π₯= β―
A. β 1
2 D. 1
B. 0 E. 2
C. 1
2
12. limπ₯ β0
tan π₯
π₯2+2π₯= β―
A. 2 B. 1 C. 0
D. 1
2
E. β 1
2
13. limπ₯β0
π ππ3 2π₯
π‘ππ31
2π₯
= β―
A. 23 B. 24 C. 25
D. 26 E. 27
14. limπ₯β0
2 π ππ 2 2π₯
3π₯ tan 3π₯= β―
A. 2
3
B. 4
3
C. 8
3
D. 8
9
E. 8
6
15. limπ₯β β3
π₯2+6π₯+9
2β2 π0π (2π₯+6)= β―
A. 3 B. 1
C. 1
2
D. 1
3
E. 1
4
16. limπ₯ β0
cos π₯βcos 5π₯
π₯ tan 2π₯= β―
A. β 4 B. β 2 C. 4 D. 6 E. 8
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 25
17. limπ₯ β
π
3
cos π₯βsinπ
6π
6β
π₯
2
= β―
A. β 1
2β3
B. β 1
3β3
C. β3
D. β 2β3
E. β 3β3
18. limπ₯ β0
6π₯ tan 2π₯
1βcos 6π₯= β―
A. 1
3
B. 2
3
C. 1 D. 2 E. 3
19. limπ₯ β2
(π₯β2) πππ (ππ₯β2π)
tan(2ππ₯β4π)= β―
A. 2π B. π C. 0
D. 1
π
E. 1
2π
20. limπ₯ β
1
4π
1
sin π₯β
1
cos π₯
π₯β 1
4π
= β―
A. β2β2
B. ββ2 C. 0
D. β2
E. 2β2
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 26
KUNCI JAWABAN 1. B 2. E 3. C 4. C 5. E 6. A 7. E 8. D 9. C 10. C 11. D 12. D 13. D 14. D 15. E 16. D 17. C 18. B 19. E 20. A
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 27
DAFTAR PUSTAKA Erlangga Fokus UN SMA/MA 2013 Program IPA. (2012). Jakarta: Erlangga. Erlangga X-Press UN 2015 SMA/MA Program IPA. (2014). Jakarta: Erlangga. Matematika Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan (2014). Jakarta: Kementerian
Pendidikan dan Kebudayaan. Siswanto. (2005). Matematika Inovatif: Konsep dan Aplikasinya. Solo: Tiga Serangkai
Pustaka Mandiri. Willa Adrian. (2008). 1700 Bank Soal Bimbingan Pemantapan Matematika Dasar. Bandung:
Yrama Widya.