1.0PERSAMAAN DAN KETAKSAMAAN LINEAR Persamaan linear merupakan persamaan dalam satu atau lebih pembolehubah, di mana kuasa pembolehubahnya ialah satu (darjah pertama). Manakala persamaan bukan linear pula merupakan persamaan dalam darjah kedua. Penyelesaian persamaan serentak linear ini merupakan penyelesaian sepunya dan dengan itu penyelesaiannya mesti memenuhi setiap persamaan yang diberikan.Apabila kita mempunyai satu persamaan dalam dua pembolehubah, kita boleh menjadikannya dan menulisnya dalam satu pembolehubah. Penukaran seperti ini dikenali sebagai perkara rumus dalam sebutan-sebutan yang satu lagi dan pemalar. Kebiasaannya, tajuk atau perkara rumus yang dipilih, diletakkan di sebelah kiri persamaan. Dan ia dikenali sebagai transposisi persamaan.Contoh:Persamaan linear yang diberikan ialah:

Jadikan y sebagai perkara rumus. Dengan itu kita perlu menulis y dalam sebutan-sebutan x dan pemalar.Penyelesaian:

Persamaan linear terdapat juga dalam 3 pembolehubah dan 4 pembolehubah. Persamaan linear ini juga melibatkan 4 kaedah penyelesaian iaitu:a) Kaedah Penghapusanb) Kaedah Penggantianc) Kaedah Gauss-Jordand) Sistem Persamaan Homogens1.1Kaedah PenghapusanKaedah penghapusan ini berlainan sedikit daripada kaedah penggantian di mana satupembolehubah perlu dihapuskan dari persamaan yang telah diberikan

Tips!Pembolehubah di kedua-dua persamaan harus sama supaya lebih mudah dihapuskan atau dilenyapkan.

Langkah 1 :Pilih pembolehubah yang hendak dihapuskan. Darabkan dengan nombor yang sesuai supaya pekali pembolehubah yang akan dihapuskan adalah sama tetapi operasinya perlu berlawanan. Bagi persamaan ini, pembolehubah bagi x dipilih untuk dihapuskan. Oleh itu, persamaan -

Langkah 2Masukkan nilai y yang diperoleh ke dalam mana-mana persamaan atau Contoh :Selesaikan persamaan serentak berikut

Penyelesaian: Persamaan -

Nilai y ke dalam persamaan

Kesimpulannya,

1.2Kaedah PenggantianKaedah penggantian ini merupakan satu kaedah di mana satu pembolehubah yang dipilih dijadikan sebagai tajuk rumus. Kemudian tajuk rumus tersebut digantikan semula dalam persamaan yang satu lagiKaedah penggantian ini merupakan satu kaedah di mana satu pembolehubah yang dipilih dijadikan sebagai tajuk rumus. Kemudian tajuk rumus tersebut digantikansemula dalam persamaan yang satu lagi.

Tips!Jikalau boleh jangan pilih tajuk rumus yang berbentuk pecahan.

Langkah 1 :Pilih persamaan atau . Katakan persamaan dipilih dan jadikan y sebagai tajuk

Langkah 2 :Gantikan tajuk rumus tadi iaitu y dalam persamaan yang satu dan dapatkan nilai untuk pembolehubah yang satu lagi.

Langkah 3 : Gantikan nilai x=4 yang didapati dalam langkah 2 ke persamaan (3) didalam langkah 1.Contoh :Selesaikan persamaan serentak berikut menggunakan kaedah penggantian

Penyelesaian: Persamaan

3

y dijadikan tajuk rumus untuk menjalankan kaedah penggantian

Kesimpulannya,

1.3Kaedah Gauss-Jordan

KAEDAH PENGHAPUSAN GAUSS Dinamakan sempena nama ahli matematik German, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Menggunakan matriks dalam mewakilkan sistem persamaan linear. Sebarang sistem dengan m persamaan linear dan n pembolehubah boleh ditulis seperti berikut:

. :

. :

Matriks A: matriks pekali/koefisienMatriks x: matriks pembolehubahMatriks b: matriks pemalar

KAEDAH PENYELESAIAN 1CARA PENYELESAIAN MENGGUNAKAN KAEDAH PENGHAPUSAN GAUSS Tukarkan sistem persamaan linear yang diberi kepada matriks imbuhan Gunakan operasi baris permulaan sehingga berbentuk Matriks Eselon Baris Contoh Matriks Eselon Baris Kemudian tukarkan kepada sistem linear yang berpadanan Selesaikan sistem ini dengan kaedah gantian ke belakangCARA PENYELESAIAN MENGGUNAKAN KAEDAH PENGHAPUSAN GAUSS Tukarkan sistem persamaan linear yang diberi kepada matriks imbuhan Gunakan operasi baris permulaan sehingga berbentuk Matriks Eselon Baris Contoh Matriks Eselon Baris Kemudian tukarkan kepada sistem linear yang berpadanan Selesaikan sistem ini dengan kaedah gantian ke belakang

CARA PENYELESAIAN MENGGUNAKAN KAEDAH PENGHAPUSAN GAUSS Tukarkan sistem persamaan linear yang diberi kepada matriks imbuhan Gunakan operasi baris permulaan sehingga berbentuk Matriks Eselon Baris Contoh Matriks Eselon Baris Kemudian tukarkan kepada sistem linear yang berpadanan Selesaikan sistem ini dengan kaedah gantian ke belakang

35

BENTUK-BENTUK OPERASI YANG TERLIBAT SEWAKTU PROSES PENYELESAIAN MASALAH DARI SISTEM PERSAMAAN LINEAR KEPADA MATRIKS

KAEDAH PENGHAPUSAN GAUSS-JORDAN Dinamakan sempena dua nama ahli matematik, Carl Gauss dan Wilhelm Jordan (1842-1899). Merupakan lanjutan daripada kaedah penghapusan Gauss. Caranya ialah : Sistem persamaan linear yang telah ditukar kepada matriks imbuhan akan diturunkan ke bentuk Matriks Eselon Baris Terturun semua unsur di sebelah atas dan bawah 1 terdahulu adalah sifar. Seterusnya, tukarkan matriks ini kepada sistem persamaan linear.- Contoh Matriks Eselon Baris Terturun

KAEDAH PENYELESAIAN 2

Operasi baris permulaan1. Saling tukar dua baris2. Mendarab satu baris dengan pemalar bukan sifar3. Menambah satu baris yang didarabkan dengan pemalar bukan sifar kepada satu baris lain.

Matriks Eselon BarisSifat-sifat matriks eselon baris:1. Satu baris yang unsurnya semua sifar diletakkan di baris paling bawah dalam matriks itu.2. Bagi satu baris yang mana bukan semua unsurnya sifar, unsur pertama bukan sifar ialah 1 (1 terdahulu)3. Untuk dua baris bukan sifar berturutan, 1 terdahulu dalam baris di atas adalah lebih ke kiri daripada 1 terdahulu dalam baris di bawah.

Matriks Eselon Baris TerturunSatu matriks adalah dalam bentuk eselon baris terturun jika matriks itu berbentuk eselon baris dan dalam setiap lajur yang mempunyai satu terdahulu, semua unsur di sebelah atas dan juga bawah 1 terdahulu adalah sifar.

Contoh GaussContoh Gauss-Jordan

Soalan :2x1+ x2+ 4x3= 163x1+ 2x2+ x3= 10x1+ 3x2+ 3x3= 16dalam bentuk matriks:

Penyelesaian (Eliminasi Gauss):langkah (1)langkah (2)langkah (3)langkah (4)langkah (5)langkah (6)langkah (7)Dengan demikian diperoleh:

Untuk memperoleh x1dan x2gantikan persamaan (3) ke persamaan (1) dan (2), x3= 3x2 10(3) = -28x2 30 = -28 x2= 2Untuk memperoleh x1:

Jadi diperoleh x1= 1, x2= 2 dan x3= 3

Soalan

Untuk eliminasi Gauss-Jordan langkah (1) langkah (3) adalah sama dengan langkah (1) (3) pada eliminasi Gauss,

Jadi, diperoleh x1= 1, x2= 2 dan x3= 3.

1.4Sistem Persamaan Homogen Semua pemalar di sebelah kanan persamaan adalah sifar. Contoh:

Setiap sistem persamaan linear homogen sentiasa konsisten. Satu sistem yang ada bilangan persamaan yang kurang daripada pembolehubah akan mempunyai penyelesaian tak terhingga.Persamaan Linear Homogen Homogen

Semua pemalar di sebelah kanan persamaan adalah sifar. Contoh:

Setiap sistem persamaan linear homogen sentiasa konsisten. Satu sistem yang ada bilangan persamaan yang kurang daripada pembolehubah akan mempunyai penyelesaian tak terhingga.Persamaan Linear Homogen Homogen

Semua pemalar di sebelah kanan persamaan adalah sifar. Contoh:

Setiap sistem persamaan linear homogen sentiasa konsisten. Satu sistem yang ada bilangan persamaan yang kurang daripada pembolehubah akan mempunyai penyelesaian tak terhingga.Persamaan Linear Homogen Homogen Semua pemalar di sebelah kanan persamaan adalah sifar. Contoh:

Setiap sistem persamaan linear homogen sentiasa konsisten. Satu sistem yang ada bilangan persamaan yang kurang daripada pembolehubah akan mempunyai penyelesaian tak terhingga.Persamaan Linear Homogen Homogen Semua pemalar di sebelah kanan persamaan adalah sifar. Contoh:

Setiap sistem persamaan linear homogen sentiasa konsisten. Satu sistem yang ada bilangan persamaan yang kurang daripada pembolehubah akan mempunyai penyelesaian tak terhingga.Persamaan Linear Homogen Homogen

Semua pemalar di sebelah kanan persamaan adalah sifar. Contoh:

Setiap sistem persamaan linear homogen sentiasa konsisten. Satu sistem yang ada bilangan persamaan yang kurang daripada pembolehubah akan mempunyai penyelesaian tak terhingga.Persamaan Linear Homogen Homogen

2.0PENGATURCARAAN LINEAR Satu Penyelesaian

Banyak penyelesaian

Tidak mempunyai penyelesaian

Terjadi apabila:- kedua garis lurus bersilang pada satu titik

Terjadi apabila:- dua garis itu tidak bersilang, berkemungkinan ianya selari.

Terjadi apabila:- dua garis lurus bertindan menjadikan ia sentiasa bersilang.

2.1Perbezaan antara ketaksamaan linear dan ketaksamaan linearPERSAMAAN LINEARKETAKSAMAAN LINEAR

SIMBOL

Ada symbol = > (lebih besar) < (lebih kecil) (lebih besar atau sama dengan) (lebih kecil atau sama dengan)

Asas ketaksamaan linear

Lain-lain ketaksamaan linear

Rantau yang memuaskan ketaksamaan ketaksamaan linear.1. Sesuatu rantau dikatakan memuaskan ketaksamaan linear jika setiap titik dalam rantau itu memuaskan ketaksamaan linear tersebut. 2. Seterusnya, sesuatu rantau itu dikatakan memuaskan ketaksamaan linear jika setiap titik di dalam rantau memuaskan semua ketaksamaan linear tersebut. 3. Langkah-langkah dalam pembinaan :a) Tukarkan ketaksamaan kepada bentuk persamaan amb) Lakarkan graf linearc) Lorekkan rantau yang memuaskan ketaksamaan yang diberi.

Contoh 1Bina rantau yang memuaskan ketaksamaan i) Tukarkan ketaksamaan kepada bentuk persamaan am

ii) Lakarkan graf linear

iii) Lorekkan ketaksamaan yang diberi

Penentuan ketaksamaan yang mentakrifkan sesuatu rantau1. Untuk menentukan ketaksamaan yang mentakrifkan sesuatu rantau, kita memilih sebarang titik dalam rantau itu dan menggantikan koordinat bagi titik yang terpilih iaitu dalam persamaan garis-garis sempadan rantau itu. Ketaksamaan yang berkenaan kemudiannya boleh diperoleh. 2. Langkah-langlah pentakrifan:I)Tukarkan bentuk persamaan am kepada ketaksamaana) Lihat garisan lurus

b) Lihat lorekkan rantau

Contoh

3.0ALGEBRA MATRIKS3.1PengenalanMatriks merupakan suatu susunan angka atau bilangan bebentuk persegi empat yang ditulis di dalam kurungan seperti yang dinyatakan di bawah.

Huruf a di atas mewakili eleman bagi sesuatu matriks. Huruf m dan n di atas pula mewakili dimensi atau kedudukan lajur dan baris bagi elemen. Huruf m mewakili baris manakala huruf n mewakili lajur. Kedudukan elemen iaitu baris dan lajur biasanya tidak ditulis. Terdapat beberapa jenis matriks antaranya adalah: (rujuk jadual 3.1.1).Jenis matriksCiri-ciri matriksContoh

Square matrix atau matrik bujur sangkarBilangan baris = bilangan lajur

Row matrix1 baris sahaja

Column matrix1 lajur sahaja

Matriks m x nm baris, n lajur( matrik 2 x 3)

Matriks identitiElemen pada kedudukan di mana nilai m dan n adalah sama bersamaan dengan 1, manakala elemen lain adalah sifar.

Matriks segi tiga bawahKedudukan elemen di mana a0 pada sudut sebelah kiri bawah membentuk segitiga.

Matriks segi tiga atasKedudukan elemen-elemen di mana a0 pada sudut sebelah kanan atas membentuk segitiga.

Zero matriks / matrik sifarSemua elemen adalah sifar

Jadual 3.1.1 : Jenis-jenis matriks.

3.2Penambahan Dan Penolakkan MatriksPenambahan dan penolakkan matriks hanya boleh dilakukan jika set-set matriks yang ingin ditambah mempunyai susunan atau corak yang sama. Penambahan atau penolakkan dilakukan di antara nombor yang mempunyai kedudukan yang sama di dalam set matriks masing masing (rujuk jadual 3.2.1).Set 1OperasiSet 2Jawapan

+

+ / - Tiada penyelesaian

Jadual 3.2.1: Penambahan dan penolakkan matriks.

3.3Pendaraban3.3.1Pendaraban matrik dengan pemalar (Pendaraban Skalar).Hasil darab nombor k dengan matriks m ditulis sebagai km, iaitu di mana setiap elemen di dalam matriks didarabkan dengan k (rujuk rajah 3.3.1). Rajah 3.3.1: Pendaraban matriks dengan satu nombor (pemalar).

3.3.2Pendaraban MatriksJika matriks A adalah matriks a x b dan matriks b adalah matrik c x d maka hasil darab bagi kedua-dua matriks ditulis sebagai AB. Walau bagaimanapun bilangan elemen di dalam baris matrik A hendaklah sama dengan bilangan elemen dalam lajur matirks B. Jika tidak maka matriks tersebut tidak dapat diselesaikan. Matriks Ab = c

a x bSusunan matriks bagi hasil darab

Matriks B

c x d

Contoh: SoalanJawapan

Tiada penyelesaian

3.4TRANPOSISI MATRIKSTranposisi bagi matriks A , m x n di mana matriks ditulis sebagai. Matriks tranposisi terbentuk dengan pertukaran di antara elemen dalam baris dan lajur dimana elemen baris ditukar menjadi elemen lajur dan elemen lajur ditukar menjadi elemen baris. A=Selepas ditansposkan:=

Sifat Matriks TransposContohDiberi dan

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

3.5Penentu Matriks3.5.1Matriks Singular dan Matriks Tidak SingularMatriks tak-singular merupakan matriks yang mempunyai songsangan. Manakala matriks singular adalah matriks yang tidak mempunyai sonsangan atau inverse. Misalnya, matriks A dikatakan matriks singular jika matrik A tidak mempunyai songsangan. Contoh:, singular jika Penyelesaian:AB = I

Daripada

Masukkan ke dalam

Matriks A adalah singular

3.5.2Penentu bagi matriks 2 x 2, 3 x 3 dan 4 x 4i) Penentu Matriks 2 x 2Jika set A adalah Square matrix maka penentu bagi A dikenali atau ditulis sebagai det A atau .

Nilai penentu bagi matriks di atas () adalah bersamaan dengan . Jika hasil adalah bersamaan dengan 0, maka matrik tersebut tidak mempunyai penentu.ii) Penentu Matrik 3 x 3 dan 4 x 4a) Kaedah SarrusPenentu bagi matriks 3 x 3 dapat dicari dengan menambahkan 2 lajur di mana elemen lajur pertama dan kedua ditambah sebelah kiri lajur ketiga. Penambahan lajur ini dikenali sebagai diagonal expansion. Matriks asal Selepas Diagonal expansion

Setelah melakukan diagonal expansion, darabkan secara menyerong (rujuk rajah di bawah).

Penentu bagi matriks 4 x 4 dapat dicari dengan menambahkan 3 lajur di mana elemen lajur pertama, kedua dan ketiga ditambah sebelah kiri lajur ketiga.Matriks asal Selepas Diagonal expansion

b) Kaedah Pengambangan BarisMatrik asalTatatanda yang perlu diambil kira

Pilih 1 lajur di dalam matriks asal. Misalnya, lajur 1 dipilih:Kemudian kembangkan lajur tersebut di mana:+

Contoh: KaedahContoh

Saurrus

Pengembangan Baris

3.5.3Sifat-sifat penentu matriksSifat penentuPenerangan

Pendaraban baris atau lajur dengan pemalar / keluarkan gandaan sepunya bagi lajur.

Semua elemen dalam 1 baris atau lajur mempunyai nilai 0.

Pertukaran antara baris dan lajurMatrik asalPertukaran lajur 2 dan 3

Katakan penentu = Jadi penentu =

Baris atau lajur mempunyai nilai yang sama maka penentu = 0

Penambahan dalam lajur atau baris

3.6Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Menggunakan 3.6.1Petua CramerPetua Cramer digunakan untuk menyelesaikan masalah linear.Langkah 1:Awalnya, gunakan kaedah sarrus atau pengembangan baris bagi mencari penentu matriks ini,.

Langkah 2:Kemudian tukarkan elemen pada lajur pertama dengan elemen , di mana: .Oleh itu,

Langkah 3:Kemudian tukarkan elemen pada lajur kedua dengan elemen , di mana: .Oleh itu,

Langkah 4:Kemudian tukarkan elemen pada lajur ketiga dengan elemen , di mana: .Oleh itu,

Jawapan: x = -22, y = 3 dan z = 4

3.6.2Matriks Songsang

Langkah 1:Cari penentu bagi matriks A.= 1

Langkah 2:Dapatkan nilai bagi Adjoin A.

Jawapan: x = -22, y = 3 dan z = 4

3.7Sonsangan MatriksSonsangan Matriks dapat dicari menggunakan Matriks Imbuhan ataupun Kaedah Adjoin. Contoh: Matriks ImbuhanCari sonsangan bagi matriks berikut:

Penyelesaian:

Dengan menggunakan teknik Gauss-Jordan tukarkan semua bahagian berwara kuning kepada bentuk imbuhan dengan mengambil kira bahagian sebelah kanan iaitu bahagian imbuhan.

Oleh itu, sonsangan bagi A, iaitu

3.7.1Sifat-sifat matriks yang mempunyai sonsanganMatriks sonsangan mempunyai 4 ciri-ciri utama iaitu:No.Ciri-ciri

1.

2.

3.

4.

3.7.2Kaedah Gauss-JordanKaedah Gauss-Jordan digunakan dalam menyelesaikan masalah linear. Terdapst 3 operasi dalam penggunaan kaedah ini:OperasiContoh

2 baris matrik boleh ditukar ganti

Unsur sesuatu baris boleh didarabkan dengan pemalar

Sesuatu baris boleh ditambah atau ditolak dengan baris lain

Kaedah Gauss-Jordan ini digunakan dengan menukar semua elemen kecuali elemen yang berada pada kedudukan nn seperti , , dan sebagainya kepada nilai 1. Pertukaran nilai ini dapat dibuat dengan berdasarkan operasi yang dinyatakan di atas sahaja. Contoh:

Proses menukar elemen kepada 0 atau 1 hendaklah mengikut urutanpada rajah diatas.

3.7.3 Kaedah Adjoin

Contoh:

Semua pemalar di sebelah kanan persamaan adalah sifar. Contoh:

Setiap sistem persamaan linear homogen sentiasa konsisten. Satu sistem yang ada bilangan persamaan yang kurang daripada pembolehubah akan mempunyai penyelesaian tak terhingga.Persamaan Linear Homogen Homogen

4.0TUTORIAL ALGEBRA LINEAR4.1TUTORIAL FRADA ANAK GARAMAN

4.2TUTORIAL NUR FATIN BITI MOHD MAZLAN

5.0BIBILIOGRAFI5.1Buku & JurnalAlda Abdullah. (1994). Talking Mathematics : A Language In Learning. Jurnal Pendidikan Bahasa, 6(4), 36-41.Boaler, J. (1998). Open and closed mathematics : Student experiences and understandings. Journal for Research in Mathematics Education, 29(1), 41-62.Che Rohani Yaacob. (2001). Pengaturcaraan Linear dan Integer. Pulau Pinang: Universiti Sains Malaysia.David C. Lay. (2000). Linear Algebra and Its Applications. United States of America : Addison Wesley Longman, Inc.Fadilah Yusof. (1998). Linera Algebra. Skudai : Universiti Teknologi Malaysia. Fraleigh Beauregard. (1995). Linear Algebra. United States of America : Addison Wesley Publishing Company, Inc.Gene H. Golub & Charles F. Loan. (1996). Matrix Computations. United Kingdom: JHU PressIsmail bin Mohd. (1991). Teori dan Penggunaan Pengaturcaraan Linear. Kuala Lumpur: Dewan Bahasa dan PustakaJimmie Gilbert & Linda Gilbert. (1995). Linear Algebra and Matrix Theory. United of States: Academic PressKarim M. Abadir & Jan R. Magnus. (2005). Matrix Algebra. United Kingdom: Cambridge University PressKenneth Shiskowski & Karl Frinkle. (2011). Principles of Linear Algebra with Mathematica. New Jersey : John Wiley & Sons, Inc.Pease. (1964). Methods of of Matrix Algebra. United of States: Academic PressRichard Bronson & Gabriel B. Costa. (2008). Matrix Methods: Applied Linear Algebra. United of States: Academic PressSeymour Lipschutz & Marc Lipson. (2001). Linear Algebra Third Edition. Singapore : McGraw Hill Book Co.Shaharir Mohamad Zain & Mokhtar Bidin. (1980). Pengaturcaraan Linear Permulaan. Kuala Lumpur: Dewan Bahasa dan Pustaka.Shaharir Mohamad Zain. (1985). Unsur-unsur Pengaturcaraan Linear Lanjutan. Kuala Lumpur: Dewan Bahasa dan Pustaka.Ward Cheney & David Kincaid. (2009). Linear Algebra : Theory and Applications. London : Jones and Bartlett Publishers International.

5.2Laman WebErik Erik. (2011). Persamaan Linear. Diakses daripada http://eyig1.blogspot.com/2011/02/persamaan-linier.html pada 25 Februari 2014Stat Trek. (2001). Matrix Algebra Tutorial. Diakses daripada http://stattrek.com/tutorials/matrix-algebra-tutorial.aspx pada 25 Februari 2014

6.0REFLEKSI6.1Refleksi Oleh Frada anak GaramanLinear algebra merupakan satu bidang matematik yang amat menyeronokkan. Hal ini demikian kerana bidang ini melibatkan banyak pengiraan serta pengenalan konsep matematik yang sangat abstrak. Hal ini menjadikan bidang ini lebih menyeronokkan kerana bidang ini memerlukan daya pemikiran yang tinggi untuk menguasai bidang ini.Walau bagaimanapun, jujur saya akui, saya masih belum dapat menguasai bidang linear algebra ini terutamanya topik yang melibatkan penyelesaian linear mengunakan teknik Gauss dan Gauss Jordan. Hal ini demikian kerana saya dapati bahawa teknik penyelesaian ini amat fleksible di mana apabila berbincang dengan rakan teknik atau operasi yang digunakan pada setiap baris adalah berbeza yang kadang-kala mempengaruhi jawapan. Tambahan lagi, syarat yang digunakan dalam penyelesaian yag melibatkan Operasi Baris Permulaan (OBP) kadang-kala tidak membawa kepada pencarian jawapan. Misalnya penggunaan kaedah baris darab baris dapat membantu mendapatkan jawapan namun, kaedah ini tidak dinyatakan di dalam syarat penggunaan kaedah OBP. Oleh hal yang demikian, saya dapati cara yang terbaik untuk saya menguasai penyelesaian menggunakan kaedah OBP iaitu Kaedah Gauss dan Kaedah Gauss-Jordan ini adalah menerusi latihan yang banyak. Oleh itu, saya perlu membuat ulangkaji berkenaan dengan konsep asas serta tujuan pengenalan serta penekanan dalam topik ini. Perkara-perkara ini akan membantu saya lebih memahami bagaimana terbinanya kaedah penyelesaian ini. Di samping itu, saya juga harus mengulangkaji lebih banyak berkenaan dengan topik ini terutamanya bahagian penyelesaian masalah yang melibatkan penyelesaian tidak terhingga dan sesetengah situasi yang boleh mengelirukan sehingga saya seringkali membuat kesimpulan bahawa soalan tersebut tidak mempunyai penyelesaian. Meskipun banyak pendapat menyatakan bahawa pembelajaran matematik adalah lebih berkesan jika kita membuat banyak latihan. Namun saya tidak setuju dengan penyataan ini. Hal ini demikian kerana saya sendiri pernah mengalami maslah ini. Buktinya saya terpaksa merangkak semula belajar kursus Linear Algebra ini meskipun saya pernah belajar topik ini sebelum ini. Hal ini demikian kerana pembelajaran saya hanya bertumpu pada ujian dan saya tidak mementingkan pemahaman saya terhadap konsep tetapi sebaliknya lebih kepada menghafal corak soalan dan menghafal langkah-langkah penyelesaian. Saya juga mendapati bahawa saya menghadapi masalah dalam penyelesaian menggunakan kaedah Cramer. Hal ini demikian kerana saya seringkali menyalah tafsirkan penyelesaian ini dengan kaedah adjoin. Walau bagaimanapun, menerusi tutorial yang diberikan barulah saya melihat serta mengalami sendiri perbezaan di antara kaedah Cramer dan Kaedah Adjoin ini. Sehubungan dengan itu, saya mendapati amat penting bagi saya untuk menguasai semua kaedah penyelesaian. Misalnya di dalam menyelesaikan masalah yang memerlukan saya untuk mencari penentu, saya lebih gemar menggunakan kaedah Sarrus dan mengabaikan kaedah pengembanggan baris di mana saya menghadapi kesukaran untuk menjawab soalan yang meminta saya mencari penentu menggunakan kaedah pengembangan baris. Namun, menerusi tugasan ini saya mula menitikberatkan kedua-dua kaedah.Di samping itu, saya juga menghadapi masalah dalam menyelesaikan masalah matriks songsangan. Hal ini demikian kerana kecuaian dan kekeliruan berkenan dengan persamaan yang dibina bagi menukar nilai sesuatu elemen seringkali terjadi. Walau bagaimanapun, menerusi tugasan ini, saya menyedari cara terbaik yang perlu saya gunakan selain berhati-hati dalam pengiraan adalah menggunakan kaedah lain bagi menyemak jawapan. Masalah ini sering terjadi apabila saya menggunakan kaedah matriks imbuhan untuk mendapatkan songsangan sesuatu matriks.Di dalam tugasan menyediakan nota ringkas berkenaan dengan kursus ini pula banyak membantu saya memahami sendiri kandungan utama bagi kursus Linear Algebra. Misalnya, saya mendapati bahawa kaedah penyelesaian berpaksikan matriks ini amat membantu dalam menyeleasikan masalah linear. Hal ini demikian kaedah ini kadang-kala lebih cepat berbanding dengan menggunakan kaedah penghapusan atau penggantian. Tambahan lagi, saya turut mendapati kursus ini amat berguna dalam bidang ekonomi terutamanya dari aspek memaksimumkan keuntungan dan meminimakan kerugian. Kesimpulannya, tugasan ini amat menarik kerana cabaran tugasan ini mambantu saya menguasai kursus Linera Algebara ini dengan lebih mendalam. Walau bagaimanapun saya masih perlu mendalam atau membuat latihan yang banyak berkenaan dengan kursus ini bagi meningkatkan penguasaan saya. 6.2Refleksi Oleh Nur Fatin binti Mohd MazlanMenerusi Tugasan Projek Linear Algebra ini, saya telah memperoleh pelbagai kelebihan dan mengenalpasti kekurangan dan secara tidak langsung saya perlu mengatasi kekurangan ini. Bagi bahagian pertama tugasan ini, saya dan pasangan saya Frada perlu membuat nota mengenai ketaksamaan dan pengaturcaraan linear serta algebra matriks.Tugasan ini banyak memberi faedah kepada saya. Walaupun subjek ini tidak akan diajar di sekolah rendah, namun sedikit sebanyak sebagai seorang guru matematik yang baik, saya perlu mengetahui konsep-konsep matematik ini. Walaupun kesemua topik dalam linear algebra ini bukanlah satu topik yang baru bagi saya, namun disebabkan setelah sekian lama saya tidak mempelajarinya selama beberapa tahun, saya telah pun lupa konsep-konsepnya. Oleh hal yang demikian, menerusi tugasan ini saya perlu membuat pelbagai rujukan terlebih dahulu dan menganalisis konsep serta formula asas terlebih dahulu sebelum dapat diterjemahkan ke dalam bentuk nota yang mudah difahami.Bukan itu sahaja, menerusi tugasan pertama ini juga saya dapat mengingat dan memperkukuhkan konsep yang telah diajar oleh pensyarah saya semasa di kelas. Misalnya bagi konsep penyelesaian Gauss-Jordan, saya pada mulanya mengalami sedikit kekeliruan kerana adanya konsep pendaraban baris dengan baris dalam matriks Gauss. Hal ini demikian kerana, terdapat rakan saya yang mengatakan bahawa konsep pendaraban baris dengan baris dalam Gauss-Jordan dibolehkan walhal apa yang saya analisis dan rujuk nota-nota berkaitan persamaan dan ketaksamaan linear ini tidak ada pun contoh yang boleh mendarabkan baris dengan baris dalam sesebuah matriks. Walaubagaimanpun, masalah ini dapat diatasi dengan saya bersama Frada terus merujuk masalah ini kepada pensyarah pembimbing iaitu Encik Khiril. Beliau telah membantu menyelesaikan masalah kami dan menyatakan bahawa kaedah pendaraban baris dengan baris tersebut boleh digunakan. Secara tidak langsung, menerusi tugasan ini saya dapat belajar cara untuk berkomunikasi dengan betul bersama rakan-rakan dan pensyarah bagi mendapatkan jawapan dan kepastian yang betul untuk masalah yang kami hadapi ini. Disamping itu, dengan adanya tugasan membuat nota ini, saya dapat mengetahui dengan lebih lanjut lagi aplikasi persamaan dan pengaturcaraan linear seperti bilangan keuntungan maksimum, minimum dan aplikasi bilangan masuk dan keluar kereta di beberapa persimpangan jalan. Seterusnya, bagi tugasan bahagian kedua iaitu saya perlu membuat tiga set tutorial iaitu tutorial 1 yang melibatkan sistem persamaan linear, tutorial 2 melibatkan ketaksamaan dan pengaturcaraan linear dan tutorial 3 adalah melibatkan algebra matriks. Tugasan tutorial ini sangat-sangatlah membantu saya kerana saya dapat mengukuhkan lagi konsep dan apa yang telah saya pelajari di dalam kelas. Bukan itu sahaja, menerusi tutorial ini saya dapat mengenal pasti topik-topik mana yang saya lemah dan kurang kuasai misalnya topik Gauss-Jordan dan Petua Cramer. Tugasan tutorial ini saya telah buat terlebih dahulu tanpa bantuan sesiapa. Dengan hanya merujuk nota-nota yang telah saya sediakan, saya berjaya membuat lebih daripada separuh tutorial yang diberikan tersebut. Setelah itu barulah saya mula menyemak jawapan-jawapan tersebut dengan rakan-rakan saya yang lain. Semasa membuat penyemakkan inilah saya dapat mengenal pasti di mana kesilapan atau kecuaian saya semasa menjawab tutorial ini. Oleh yang demikian, tutorial-tutorial yang diberikan ini sedikit sebanyak dapat memberi saya persediaan untuk menjawab kuiz dan menghadapi peperiksaan pada akhir semester kelak.