MT Class of 2015 : Mr. Mohamad Esmandi

1234

68

1012

Set A Set B

Domain

Set A{1,2,3,4}

Kodomain

Set B{6,8,10,12}

Objek : 1, 2, 3 Imej : 6, 8, 10

4, Bukan Objek kerana tiada imej

12, Bukan imej kerana tiada objek Julat : {6, 8, 10}

Perhatikan perbezaancara penulisan

Rajah Anak Panah

1234

68

1012

Hubungan boleh diwakilidengan melukis(i) Rajah Anak Panah(ii) Pasangan Tertib(iii)Graf

{ (1,6) , (2,8) , (3,10) }

1 2 3 4

6

8

10

12

Pasangan Tertib

Graf

Raj

ah A

nak

Pan

ahPA

LIN

G

mu

dah

dif

aham

i

1 kepada 1

AB

ab T

oCK

2-2

4ABC

123

1 kepada banyak Banyak kepada 1 Banyak kepada banyak

Merupakan FUNGSI

Hubungan khas1 kepada 1

Banyak kepada 1

Objek MESTI hanyamempunyai SATU imejsahaja

Bukan FUNGSIHUBUNGAN

FUNGSI TUNGGAL

f (x) = 2x + 5

Objek ImejFungsi, f

Contoh :

f(3) =2(3) + 5= 6 + 5= 11

Objek 3mempunyaiimej 11 dibawah fungsi f.

Syarat FUNGSI

f :x 5x - 3

, x -3 0x 3

Contoh :

g :x 10x + 2

, x k

x + 2 = 0x = -2 k = -2

Penyebut tidak boleh SIFAR

Objek yang memetakan kepada dirinya sendiri

f (x) = 2x + 5f(x) = x

f (x) = x

Contoh : Diberi f (x) = 2x + 5, cari nilaix yang memetakan kepada dirinyasendiri.

2x + 5 = x2x - x = -5

x = -5

SEMAKf (x) = 2x + 5f(-5) = 2(-5) + 5

= -10 + 5= -5

f(-5) = -5

Fungsi songsang, f-1 Langkah :

(1) Tukar f(x) kepada y

(2) Ungkapkan x dalamsebutan y

(3) Tulis semula f-1

dalam sebutan x

Contoh :

Diberi f : x . Cari f-1x3 - x

(1) Tukar f(x) kepada y f(x)= yf(x)=

y =

x3 - x

x3 - x

(2) Ungkapkan x dalamsebutan y

y(3-x) = x3y - xy = xx + xy =3y

x(1 + y) = 3yx =

3y1 +y

(3) Tulis semula f-1

dalam sebutan x

f-1 (x) = 3x

1 + x

Fungsi Gubahan Gabungan 2 atau lebih fungsi

Contoh :Diberi f (x) = 3x - 4

g(x) = 2 -3x

(1) Cari fg(x)f[g(x)]

= 3[g(x)] - 4= 3(2 – 3x) - 4= 6 - 9x - 4= 2 - 9x

(2) Cari gf(x)g[f(x)]

= 2 - 3[f(x)]= 2 – 3(3x – 4)= 2 - 9x + 12= 14 - 9x

Fungsi f dengan objek g(x)

Ganti masuknilai g(x)

Fungsi g dengan objek f(x)

Ganti masuknilai f(x)

fg(x) = 2 – 9x gf(x) = 14 – 9x

Mencari fungsi tunggal daripada fungsi gubahan

Kes mudah (Bahagian dalam)

Contoh : Diberi f(x) = 2x + 8 dan fg(x) = 6x + 12, Cari fungsi g(x)

(1) Given (2) Do (3) Compare

(1)fg(x) = 6x + 12

(2)fg(x) = f[g(x)]

= 2g(x) +8

(3)Do = Given2g(x) +8 = 6x +122g(x) = 6x +12 – 82g(x) = 6x + 4

g(x) =

g(x) = 3x + 2

6x + 42

Mencari fungsi tunggal daripada fungsi gubahan

Kes sukar (Bahagian luar)

Contoh : Diberi f(x) = x – 5 dan gf(x) = 9x + 30, Cari g(x)

(1) Tukar f(x) kepada y(2) Ungkapkan x dalam sebutan y(3) Tulis semula gf(x) dalam sebutan y(4) Tukar g(y) kepada g(x)

(1)fx) = ygf(x) = g(y)g(y) = 9x + 30

(2)y = x - 5x = y + 5

(3)g(y) = 9x + 30g(y) =9(y + 5) + 30g(y) = 9y + 45 + 30g(y) = 9y + 75

(4)g(y) = 9y + 75

g(x) = 9x +75

Persamaan Kuadratik Bentuk amax2 + bx + c = 0x2 - (HTP)x + HDP = 0

Puncaadalah nilai-nilai x

Jenis Puncab2 – 4ac

2 punca nyatayang sama

2 punca nyatayang berbeza

Tiada puncanyata

b2 – 4ac = 0 b2 – 4ac > 0 b2 – 4ac < 0

HTP = - ba

HDP = ca

Diberi dan 2 adalah punca-punca persamaankuadratik 2x2 = 3x + p . Carikan nilai bagi p, di manap adalah pemalar.

Contoh :

Langkah 1: Susun dalam bentuk am2x2 = 3x + p2x2 - 3x - p = 0

Langkah 2: Senaraikan nilai a, b dan c

2x2 - 3x - p = 0a= 2 , b = -3, c = -p

Langkah 3: Guna rumus HTP dan HDP

HTP = -b/a = -(-3/2) = 3/2HDP = c/a = -p/2

Langkah 4: Guna dan 2 untuk HTP dan HDP

HTP = + 2 = 3HDP = x 2 = 22

Langkah 5: Bandingkan HTP3 = 3/2 =1/2

Langkah 6: Bandingkan HdP22 = -p/22 x (1/2)2 = -p/22 x 1/4 = -p/21/2 = -p/2p = -1

Mencari Julat(1) Hanya simbol > atau <(2) Lakar lengkung

(3) Lorek bahagian > atau <(4) Tulis julat mengikut bahagian

yang dilorek.

Contoh : Graf y = nx2 + 4x +n - 3 tidakmenyentuh paksi-x. Cari julat nilai n

(1) Tidak menyentuh paksi-x = Tiadapunyab2 - 4ac < 0

(2) y = nx2 + 4x +n – 3a = n , b = 4 , c = n – 3

(4)2 – 4(n)(n – 3) < 016 – 4n2 + 12n < 04 – n2 +3n < 0

n2 – 3n – 4 >0(n – 4)(n + 1) > 0

Katakan (n – 4)(n + 1) = 0n = 4 , n = -1

-1 4

(3) (n – 4)(n + 1) > 0> 0 , Positif....lorek bahagian atas paksi

-1 4

n n

(4) Julat :n < -1 , n > 4

Lebih mudah n2 positif

Indeks dan Logaritma

Samakan asasPilih ASAS paling RENDAH

Contoh :

Selesaikan persamaan

5

5

412

142

)1(1)2(2

1010

10

1

10

1

10

1

100

1

1122

12

2

12

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

xx

3

3

9643

6493

22

2

22

2

22

6493

6

493

6

2233

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

Indeks dan Logaritma Jika TIDAK DAPAT Samakan asasLog10 persamaan kiri dan kanan

Selesaikan 2x+1 = 5x

7565.0

5log2log

2log

2log5log2log

2log5log2log

5log2log12log

5log2log)1(

5log2log

52

1010

10

101010

101010

101010

1010

10

1

10

1

x

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

Guna Hukum Logaritma

yxy

x

yxy

x

aaa

aaa

log2loglog

logloglog

2

2

2

2

1log

1log2

1log2

1log2log

log2loglog

log1log

2

2

hy

hy

yh

yx

yxy

x

hxdany

x

a

a

a

aa

aaa

aa

JANJANG

Aritmetrik Geometri

Beza sepunya, d Nisbah sepunya, r

T = SebutanS = Hasil tambah

Persamaan LinearKebiasaan diberi persamaan tidak linear dan graflinearMenguji kemahiran murid menghubungkanpersamaan tidak linear dengan graf linear

Langkah 1 : Bandingkan persamaan yang diberi dengan graf

Graf ada log, persamaan tidak ada log

Wujudkan log pada persamaan

pxn

y

xn

py

xnpy

xnpy

xpy

xpy

pxy

ypx

n

n

n

n

101010

101010

101010

101010

2

101010

2

10

2

10

22

22

log2

1log

2

2log

log2

2log

2

1log

2

log2

2

loglog

log2loglog2

logloglog2

loglog

Wujudkan log pada persamaan Daripada graf

Guna Y = mX + C

Hitungkan kecerunan mm = 3

Nyatakan pintasan-y, CC = 1

Maka

1log3)(log 1010 xy

Langkah akhir : Bandingkan

4

26

2

23

n

n

n

10010

2log

21log

1log2

1

2

10

10

10

p

p

p

p

Penyempurnaan Kuasa Dua f(x) =a(x+p)2 + q

Mencari nilai maks/min yq

Persamaan paksi (x+p)=0 simetri X=-p

Mencari titik maks/min (X,Y) (-p,q)

f(x) =a(x+p)2 + q f(x) =a(x+p)2 + q f(x) =a(x+p)2 + q

CONTOHf(x) =2(x+5)2 - 7

a = 2 (minimum) sebab +veNilai minimum = -7

a = 2 (minimum) sebab +veTitik minimum = (-5 , -7)

Paksi simetrix =-5

q = nilai minimum Yq = 4

p = nilai X

nilai X

Guna titik (0,5) untuk mencarinilai p

g(x) =(x + p)2 + qg(x) =(x + p)2 + 4 ...............(0,5)5 =(0 + p)2 + 45 = p2 + 4p2 = 5 - 4p2 = 1p = 1

Soalan nilai maksimum atau minimum atau titik maksimum atau titik minimum

GUNA

0dx

dy

Pembezaan

qpxay

duaKuasaaanPenyempurn

2)(

MUDAH SUSAH

xdx

dp

xxP

2

145

4

145 2

90

245

02

145

0

x

x

x

dx

dp

2025

)90(4

1)90(45

4

145

2

2

P

P

xxP

90 Kotak lilinKeutungan = RM2025

Soalan nilai maksimum atau minimum atau titik maksimum atau titik minimum

620

1610

)169(

)13(

2

22

22

xdx

dy

xxy

xxxy

xxy

3.010

3

0620

0

x

x

dx

dy

1.010

1

110

36

10

310

10

3......1610

2

2

y

y

xxxy

Nota tambahan : Maka titik minimum = (0.3 , 0.1)

Sukatan Membulat (Bulatan)

Oj

j

A

B

s

2jbulatanLuasj2bulatanLilitan

jsLengkok,Panjang

sin2

1 2jSegitigaLuas

2

2

1jSektorLuas

= sudut dalam radianPantikan kalkulator dalam mode radian

Penukaran unit darjah ke radian atau sebaliknya

180o = radian180o = 3.142 radian

Maka 1o = 3.142 180 radian= 0.01746 radian

Contoh ; 50o = 0.8728 radian

radian

SektorLuas

4

3

68

6)4(2

1

2

1

2

2

j

86BerlorekKawasanLuas

40

OUVsektorluasOSTsektorluasBerlorekKawasanLuas

64

3)(

2

1 2

OS

08.11

67.122

67.122)(

4064

3)(

2

1

2

2

OS

OS

OS

Maka SU = 11.08 - 4=7.08 cm

VEKTOR (xi + yj)

Hukum SegitigaAC = AB + BCAB = AC + CBBA = BC + CABC = BA + ACCA = CB + BACB = CA + AB

A

B

CP

Q

6i + 8j

PQ = 6i + 8j

Magnitud, | r | Vektor unit, ř

10

8622

r

r

jir

jir

5

4

5

3ˆ

10

86ˆ

NOTAHati-hati dengan arah

vektor (+ atau -)

y

xjyix

11

5115 ji

Taburan Kebarangkalian

Z = skor piawai

Contoh ; Z = 0.473

= 3192 – 11= 3181Maka kebarangkalian untuk

Z = 0.473 ialah 0.3181

Taburan Kebarangkalian

Boleh juga menggunakan fungsi kalkulator

Contoh ; Z = 0.473

Langkah 1 : Cari mode SDLangkah 2 : Tekan Shift 3Langkah 3 : Pilih R (iaitu tekan 3)Langkah 4 : Masukkan nilai Z

: R(0.473): = 0.31811

SENTIASA PILIH R SAHAJA

R bermaksud lorekan sebelah kanan(RIGHT)

0.473

= 0.31811

KananKiri