UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DEHUAMANGA

DEPARTAMENTO ACADMICO DE MATEMTICA YFSICA

ESCUELA DE FORMACIN PROFESIONAL DEINGENIERA CIVIL

CURSO:DINMICA

(IC-244)Docente:

ING. CASTRO PEREZ, Cristian

Alumnos:CCENTA ANGULO, VictorPILLACA GARCIA, Miguel AngelONCEBAY CUYA, EdisonTENORIO PARIONA, Darwin N.

Fecha de entrega: 29/10/2014

Ayacucho -Per2014

ndice general

1. OBJETIVOS 2

2. INFORMACIN TERICA 32.1. OPERADORES VECTORIALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1. GRADIENTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.2. DIVERGENCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.3. ROTACIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2. TEOREMAS INTEGRABLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.1. TEOREMA DE GREEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.2. TEOREMA DE GAUSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.3. TEOREMA DE STOKES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3. OBSERVACIONES Y CONCLUSIONES 16

E.F.P. Ingeniera Civil. IC-244

white f

INTRODUCCION

El presente informe en un primer plano est centrado especficamente al desarrollo delos distintos operadores y teoremas vectoriales aplicados a la mecnica, para ser precisosa la dinmica; tales como: el gradiente, la divergencia, el rotacional o rotor, teoremasintegrales de Gauss, stookes y Green.

Pero no solo se trata de conocer y desarrollar correctamente dichos operadores, sino msbien para su mejor entendimiento y correcta interpretacin poder realizarlos conherramientas de clculo ya sean el Matlab, Excel, Matemticas, entre otros.Para nuestrocaso hemos utilizamos la herramienta de clculo denominada Matlab ya que creemos quees ms aplicativo para nuestros temas a tratar.

Sin ms que mencionar a continuacin presentamos un informe detallado en donde semuestra respectivamente el desarrollo de cada una de ellas, en donde ingresaremospseudocdigos para luego obtener respuestas con sus respectivos grficos.

El grupoESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERA CIVIL

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGAAyacucho, 29 de agosto del 2014

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Captulo 1

OBJETIVOS

1 Desarrollar y dominar los diferentes teoremas y operadores vectoriales, para asplasmarlos a la vida profesional.

2 Desarrollar y dominar los diferentes teoremas y operadores vectoriales, para asplasmarlos a la vida profesional.

3 Aprender a utilizar distintas herramientas de clculo.

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Captulo 2

INFORMACIN TERICA

2.1. OPERADORES VECTORIALES

2.1.1. GRADIENTEEl GRADIENTE es una representacin vectorial la cual nos indica en qu direccin o enque direcciones aumentan, en mayor grado, los valores del campo; y su mdulo nosindica cunto aumenta en dicha direccin.Se aplica a campos escalares (no vectoriales) como la distribucin de temperaturas en uncuerpo, y es siempre perpendicular a las lneas equipotenciales, como las isobaras o lasisotermas.El gradiente especficamente te da a conocer cuan brusco es el cambio de algunamagnitud como la temperatura, presin en el espacio, etc.

Matemticamente se define:

Sea la funcin (x,y,z) definida y derivable en cada uno de los puntos (x,y,z) de unacierta regin del espacio ( define un campo escalar derivable). El gradiente de ,representado por grad, viene dado por:

=(

xi+

yj+

zk

)=

(

xi+

yj+

zk

)

Obsrvese que define un campo vectorial.La componente de en la direccin de un vector unitario a es igual a .a y se llamaderivada de en la direccin de a, o bien, derivada de segn a.

Problema de aplicacin

Se tiene una casa bioclimtica cuya calefaccin depende de la radiacin solar recibida enel techo, se desea calcular y graficar las direcciones en que se propaga dicha temperaturaproducto de haber recibido radiacin durante el da.

Ecuacin de las planchas del techo z = sin(6x) + 3y.

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Solucin utilizando herramientas de clculo (Matlab)

1 [x,y] =meshgrid(2 : ,1 : 2);z = sin(6 x) + 3 y; ecuacin planchas del techo2 subplot(1,2,1)3 surfl(x,y,z)4 meshc(z)5 xlabel(JE X),ylabel(JE Y),zlabel(JE Z)6 title(SUPERFICIE Y LINEAS DE CONTORNO)7 subplot(1,2,2)8 waterfall(x,y,z)9 [fx,fy] = gradient(z);10 contour(z),hold on, quiver(fx,fy)11 title(LINEAS DE CONTORNO Y VECTOR GRADIENTE)12 hold off, colormap([0.2 0.8 0.1]), axis square13 symsxy, z=sin(6*x)+3*y;14 grad=jacobian(z)15 pretty(grad)

Respuesta: grad= (6cos6x)i+ 3j

Figura 1.

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2.1.2. DIVERGENCIALa DIVERGENCIA es un campo vectorial que mide la diferencia entre el flujo saliente yel flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen decontrol, por ello, si el campo tiene FUENTES la divergencia ser positiva ySUMIDEROS si la divergencia es negativa. Su mdulo nos indica cunto disminuyedicha densidad o dicho volumen.Una divergencia tambin puede ser elevada, la cual indica que en esa zona el campo seest .abriendoomo los rayos de luz que emergen de una fuente puntual; o puede sernula, para ello indica que en esa zona los rayos son paralelos, como las velocidades de unfluido sin turbulencias dentro de un tubo, aunque el tubo sea curvo y todo el flujo estrotando uniformemente.Matemticamente se define:

Sea V (x,y,z) = V1i+V2j+V3k una funcin definida y derivable en cada uno de lospuntos (x,y,z) de una cierta regin del espacio (V define un campo vectorial derivable).La divergencia de V, representada por .V divV y viene dada por:

.V =(

xi+

yj+

zk

).(V1i+V2j+V3k)

= V1x

+ V2y

+ V3z

Obsrvese la analoga con el producto escalar A.B = A1B1 +A2B2 +A3B3. As mismo.V , V..

Problema de aplicacin

Si F es el campo de velocidades de un gas, determinar la razn de expansin ocompresin por unidad de volumen bajo el flujo del gas y analizar si se encuentra encompresin o expansin.

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Solucin utilizando herramientas de clculo (Matlab)

1 [x,y,z]=meshgrid(-1:0.5:1);2 u=4*x+1;3 v=y+2;4 w=z-1;5 quiver3(x,y,z,u,v,w,r)6 axis square7 xlabel(JE X),ylabel(JE Y),zlabel(JE Z); title(DIVERGENCIA DE UN CAMPOVECTORIAL)8 symsxyz;9 u=4*x+1;10 v=y+2;11 w=z-1;12 div = simplify(diff(4*x+1,x)+diff(y+2,y)+diff(z-1,z));13 div = 6 la divergencia indica la razn de expansin por unidad de volumen

Respuesta: div = 6m/s

Figura 2.

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2.1.3. ROTACIONALEn el clculo vectorial, el rotacional o llamado tambin rotor es un operador vectorialque nos indica la tendencia de un campo vectorial a inducir rotacin alrededor de unpunto. Tambin nos indica cun curvadas estn las lneas de campo o de fuerza en losalrededores de dicho. Se aplica exclusivamente a campos vectoriales.Si un rotacional nos indica cero en un punto dado, significa que en esa regin las lneasde campo son rectas (aunque no necesariamente paralelas, ya que pueden abrirsesimtricamente si existe divergencia en ese punto). Mientras que un rotacional no nuloindica que en los alrededores del punto, las lneas de campo son arcos, o sea que es unaregin donde el campo se est curvando. La direccin del vector rotacional esperpendicular al plano de curvatura, y su intensidad indica el grado de curvatura quesufre el campo.

Matemticamente se define:

Si V (x,y,z) es un campo vectorial derivable. El rotacional de V , es representado porxV rotV y viene dado por.

xV =(

xi+

yj+

zk

)x(V1i+V2j+V3k)

=

i j kx y zV1 V2 V3

=(V3y V2

z

)i

(V3x V1

z

)j+

(V2x V1

y

)k

Obsrvese que en el desarrollo del determinante, los operadores x ,y ,

z deben

preceder a V1,V2,V3.

Problema de aplicacin

Una bomba hidrulica ubicada en el stano hace posible subir agua a los nivelessuperiores de un edificio, calcular el rotor que se genera al interactuar la presin de labomba con el campo vectorial cuya ecuaciones f(x,y) = [y coszi,x,0,2sinzk]

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Solucin utilizando herramientas de clculo (Matlab)

1 [x,y,z]=meshgrid(-4:4);2 u=-y.*cos(z);3 v=x.*cos(z);4 w=0.2*sin(z);5 scrsz=get(0,Screensize);%get screen size6 figure(Position,scrsz,Color,[0.8 1 0.8]); full screen7 hold on;8 quiver3(x,y,z,u,v,w,Marker,.,LineWidth,2,Color,[0.73 0.1 0.48],...9 AutoScaleFactor,2);10 xlabel(x,FontSize,14,FontWeight,bold);11 ylabel(y,FontSize,14,FontWeight,bold);12 zlabel(z,FontSize,14,FontWeight,bold);13 axis equal;view(110,10);14 set(gca,XTick,-3:0.5:7,YTick,-4:0.5:4);15 title(ROTACIONAL DE UN CAMPOVECTORI-AL,FontSize,18,FontWeight,bold)16 grid on;17 holdoff18 symsxyz, u=-y.*cos(z);v=x.*cos(z);w=0.2*sin(z);19 r1=diff(w,y)-diff(v,z) Primera componente del rotacional20 r2=diff(u,z)-diff(w,x) Segunda componente del rotacional21 r3=diff(v,x)-diff(u,y) Tercera componente del rotacional22 rot=[r1, r2, r3]23 pretty(rot)Respuesta: rot= (x)i+ (x)j+ (2)k

Figura 3.

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2.2. TEOREMAS INTEGRABLES

2.2.1. TEOREMA DE GREENEl teorema de Green en el plano es un caso particular del teorema del rotacional deStokes. Tambin es interesante observar que el teorema de la divergencia de Gauss esuna generalizacin del teorema de Green en el plano, sustituyendo la regin plana R y lacurva cerrada C que la limita, por la regin V del espacio y la superficie cerrada cerradaque la limita S, respectivamente. Por esta razn, el teorema de la divergencia de Gaussse conoce tambin con el nombre de TeoremadeGreenenelespacio.El teorema de Green en el plano se verifica asimismo, en el caso de regiones limitadaspor un nmero finito de curvas simples cerradas que no se cortan.Matemticamente se define:

Sea R una regin cerrada del plano xy limitada por una curva simple y cerrada C, M yN dos funciones continuas de x e y con derivadas continuas en R; entonces:

CMdx+Ndy =

"R

(Nx M

y)dxdy

Cuando C se recorre en el sentido positivo (contrario al de las agujas del reloj). Mientrasno se adviertan lo contrario supondremos que

significa que la integral se efecta en

una trayectoria cerrada que se recorre en sentido positivo.

Problema de aplicacin

Hallar el trabajo realizado por una partcula sometida al campo de fuerzaF = (ex y3)i+ (+x3)j, que recorre la circunferencia x2 + y2 = 1 en sentido contrario alas agujas del reloj.

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Solucin utilizando herramientas de clculo (Matlab)

1 W= intint(diff(cos(y) + x.3,x) + diff(exp(x) y.3,y))dxdy2[x,y,z] =meshgrid(1 : 0,35 : 1);3U = exp(x) y.3;4V = cos(y) +x.3;5W = zeros(size(x));6quiver3(x,y,z,U,V,W )7holdon8x=1 : 0,01 : 1;9y1 = sqrt(1 (x.2));10y2 =sqrt(1 (x.2));11plot(x,y1)12holdon13plot(x,y2)14axisequal15holdoff16xlabel(EJEX ),ylabel(EJEY ), zlabel(EJEZ )17title(CAMPOV ECTORIAL)18symsxy19u= exp(x) y.3;20v = cos(y) +x.3;21diff(v,x) diff(u,y)%calculamoselintegrado22f = 3 x.2 + 3 y.2 %cambiodecoordenadaspolarespararesolverlaintegral23symsrt24subs[f,(x,y),(r cos(t), r sin(t))]25W = int(int(3 r2 r,r,0,1), t,0,2 pi)%dondeWeseltrabajoRespuesta: W = 3?/2J

Figura 4.

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2.2.2. TEOREMA DE GAUSS

Este importante teorema, lo relacionaremos en los espacios R3 Y R2, respectivamente.En R3; el teorema relaciona el volumen de una regin slida V R3 con la superficie Sque lo encierra.Matemticamente se define:

Sean, V el volumen limitado por una superficie cerrado S y A una funcin vectorial deposicin con derivadas continuas; entonces:$

V

.AdV ="

S

A.ndS =

SA.dS

Siendo n la normal exterior a S (positiva).El teorema de Gauss tiene significado fsico: si V es un campo de vectores describiendoel movimiento de un fluido, entonces la integral de superficie es la cantidad de fluido queentra o sale por la superficie (segn el signo).La integral en D mide cuando se comprime o expande el fluido en el interior.Obviamente coinciden.

Problema de aplicacin

La corriente de un fluido tiene como vector densidad de flujo en cada punto a la funcinF = (y z)i+ (x z)j+ (x y)k. sea S la superficie del plano x+ y+ z = 1 situada en elprimer octante y n el vector normal a S. Calcular la masa del fluido que atraviesa lasuperficie S en la unidad de tiempo en la direccin de n.

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Solucin utilizando herramientas de clculo (Matlab)

1 symsxyz2 Z=1-x-y;3 F=[y*z,x*z,x*y];4 calculamos el vector normal5 normN=sqrt(diff(z,x)2 + diff(z,y)2 + diff(z,z)2)normadeN6normN7N = [diff(z,x),diff(z,y),1] 1/normN8N9G= simplify(F N )%calculamoselproductoescalardeFyN10G11hacemosz = 1x yymultiplicamospornormN12simplify(subs(G,x,y,z,x,y,1x y) normN)13SepuededescribirTcomoelconjuntodepuntos(x,y)perteneceR2tales14que,paracadaxfijoentre0y1yvariaentrey = 0y = 1x.portanto,15symsxy;16G17a= 018b= 1x192a1 = 020b1 = 121I = int(int(G,y,a,b),x,a1, b1)22I23parahacerelcampodeflujoseguiremoslossiguientespasos24paralaecuacintenemoslassiguientesacotacionespara25lasvariablesx,y,z26x=2 : 0,4 : 2;27y =1 : 0,4 : 3;28z =2 : 0,4 : 2;29[x,y,z] =meshgrid(x,y,z);30ahoranombramoslascomponentesdelcampovectorial31conlasvariablesu,v,w32sabemosquelafuncinesF = (y z,x z,x y)33u= y. z;34v = x. z;35w = x. y;36quiver3(x,y,z,u,v,w);37axissquare38title(CAMPODEFLUJO);39xlabel(EJEOX );40ylabel(EJEOY );41zlabel(EJEOZ );Respuesta: I = 124Kg

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Figura 5.

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2.2.3. TEOREMA DE STOKES

Este importante teorema, lo enunciaremos para los espacios R3 Y R2, respectivamente:EN R3: El teorema relaciona la integral de lnea de un campo vectorial alrededor de unacurva cerrada simple C en R3, con la integral sobre una superficie S sobre la cual C essu frontera.EN R2: El teorema de STOKES es el teorema de Green.

Matemticamente se define:

Sean S una superficie abierta de dos caras, C una curva cerrada simple situada sobre lasuperficie anterior y A una funcin vectorial con derivadas continuas:

CA.dr =

"S

(xA).ndS ="

S

(xA)dS

En donde C se recorre en el sentido positivo. El sentido de circulacin de C es positivocuando un observador que recorra la periferia de S en dicho sentido y con su cabezaapuntando hacia la normal exterior a S, deja la superficie en cuestin a su izquierda.

Problema de aplicacin

Un lquido est girando en un deposito cilndrico de radio 3, y su movimiento vienedescrito por el campo de velocidades F (x,y,z) = [ysqrt(x2 +y2)]i+[xsqrt(x2 +y2)]jcalcular la circulacin de F, a travs del borde superior del depsito cilndricorecorriendo en el sentido contrario a las agujas del reloj.

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Solucin utilizando herramientas de clculo (Matlab)

1 cylinder(3)2 colormap ([0.8,0.8,0.8])3 holdon4 [x,y]=meshgrid(-1:0.6:1);35 z=ones(size(x));6 U=y.*sqrt(x.2 + y.2);7V =x sqrt(x2 + y2);8W = zeros(size(x));9quiver3(x,y,z,U,V,W )10holdoff11symsxyz12F = [y sqrt(x2 + y2),x sqrt(x2 + y2),0];13u= y sqrt(x2 + y2);14v =x sqrt(x2 + y2);15w = 0;16r1 = diff(w,y) diff(v,z)primeracomponentedelrotacional17r2 = diff(u,z) diff(w,x)segundacomponentedelrotacional18r3 = diff(v,x) diff(u,y)terceracomponentedelrotacional19rot= [r1, r2, r3]20simplify(rot)21symsrt22pasamosacoordenadaspolares23subs(rot(3),x,y,r cos(t), r sin(t))24simplify(ans)25int(int(3 (r2), r,0,3), t,0,2 pi)26ans=128 piRespuesta: F =128

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Captulo 3

OBSERVACIONES Y CONCLUSIONES

1 Es indispensable para todo profesional en ingeniera el manejo de una herramientade calculo (matlab), para as poder facilitar y o perfeccionar tanto su metodologacomo las aplicaciones de muchas investigaciones.

2 El matlab es una herramienta muy potente para el desarrollo del calculo vectorial,facilita el desarrollo en los clculos necesarios para el gradiente divergencia yrotacional de un campo escalar y vectorial.

3 Con los cdigos de la programacin realizada en esta investigacin, cualquierinvestigador estar en la capacidad de resolver y/o graficar toda funcin escalar yvectorial as como sus respectivos rotacional gradiente y divergencia.

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Bibliografa

[1] Etter, Delores M Solucin de problemas de ingeniera con MATLAB . PearsonEducacin, 1998.

[2] Nakamura, Shoichiro Anlisis numrico y visualizacin grfica con MATLAB.),Pearson Educacin, 1997.

[3] Prez, Csar Matlab y sus Aplicaciones en las Ciencias y la Ingeniera. Pearson ?Prentice Hall, 2002.

[4] Moore, Holly Matlab Para Ingenieros.

[5] Bez, David Matlab y sus Aplicaciones en las Ciencias y la Ingeniera.

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OBJETIVOSINFORMACIN TERICAOPERADORES VECTORIALESGRADIENTEDIVERGENCIAROTACIONALTEOREMAS INTEGRABLESTEOREMA DE GREENTEOREMA DE GAUSSTEOREMA DE STOKES OBSERVACIONES Y CONCLUSIONES