Operasi himpunan

30
Oleh : Emanueli Mendrofa, S.Pd Mata Kuliah : Teori Himpunan dan Logika Matematika

Transcript of Operasi himpunan

Page 1: Operasi himpunan

Oleh : Emanueli Mendrofa, S.PdMata Kuliah : Teori Himpunan dan Logika Matematika

Page 2: Operasi himpunan

Irisan Dua Himpunan

Irisan (interseksi) himpunan A dan B adalah suatu himpunan

yang anggota-anggotanya menjadi anggota A dan anggota B.

Ditulis A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B} dan dibaca A irisan B.

Contoh:

1. Diketahui:

S = {a, b, c, d, e, f, g}

A = {a, b, c}

B = {b, c, d, e}

C = {d, e, f}

Tunjukkan diagram Venn dari A ∩ B dan B ∩ C

Page 3: Operasi himpunan

Jawaban

Anggota S yang menjadi anggota A an B adalah b dan c maka A ∩ B = {b, c}

Anggota S yang menjadi anggota B dan C adalah d dan e maka B ∩ C = {d, e}

A ∩ B dan B ∩ C ditunjukkan dengan daerah terarsir.

a

A

b

e

d

c

S

g

f

B

b

B

d f

e

S

g

a

C

c

Page 4: Operasi himpunan

2. Misalkan E = {2, 3, 5, 7, 11} dan F = {3, 6, 9, 12}

Maka E ∩ F = {3}

3. Misalkan K adalah himpunan mahasiswa Prodi Matematika

Kelas B Semester I dan L adalah himpunan laki-laki dan

perempuan lanjut usia (50 tahun ke atas).

Maka K ∩ L = Ø

Hal ini berarti K dan L adalah saling lepas atau K // L.

Catatan:

A ∩ B dan B ∩ A merupakan dua himpunan yang sama

Kedua himpunan A dan B masing-masing memuat A ∩ B

Page 5: Operasi himpunan

Gabungan Dua Himpunan

Gabungan (union) dua himpunan A dan B berarti penyatuan anggota-

anggota himpunan A dan B. Gabungan dua himpunan A dan B ditulisA ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B} dan dibaca A gabungan B.

Apabila diketahui n(A) dan n(B) maka berlaku n(A ∪ B) = n(A) + n(B) –

n(A ∩ B)

Contoh:

1. Diketahui S = {x | x ≤ 10, x ∈ N}, A = {1, 2, 3, 6, 8} dan B = {4, 6, 8, 9}.

Tunjukkan A ∪ B dengan diagram Venn.

Jawaban:

S = {x | x ≤ 10, x ∈ N}

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

(A ∩ B) = {6, 8}

Page 6: Operasi himpunan

Diagram Venn

A ∪ B ditunjukkan dengan daerah terarsir.

4

3

2

5

6

8

7

10

9

AS

B

1

Page 7: Operasi himpunan

2. Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d, e, f} maka P ∪ Q = {a,

b, c, d, e, f}

Catatan:

P ∪ Q dan Q ∪ P merupakan dua himpunan yang sama

Kedua himpunan P dan Q masing-masing merupakan

himpunan bagian pada P ∪ Q

3. Pada sebuah taman kanak-kanak diketahui 43 anak suka

melukis, 46 anak suka menyanyi, 20 anak suka keduanya,

dan 11 anak tidak suka keduanya. Tentukan jumlah anak

di taman kanak-kanak tersebut.

Page 8: Operasi himpunan

Jawaban:

Misal

P = banyak anak suka melukis

Q = banyak anak suka menyanyi

R = banyak anak tidak suka melukis dan menyanyi

n(P) = 43

n(Q) = 46

n(P ∩ Q) = 20

N(R) = 11

n(P ∪ Q) = n(P) + n(Q) – n(P ∩ Q) = 43 + 46 – 20 = 69

Jumlah anak = n(P ∪ Q) + n(R) = 69 + 11 = 80

Jadi, jumlah anak di taman kanak-kanak tersebut 80.

Page 9: Operasi himpunan

Komplemen Suatu Himpunan

Komplemen suatu himpunan P adalah himpunan yang terdiri atas

semua anggota semesta S tetapi bukan anggota himpunan P.

Ditulis P𝑐

= {x | x ∈ S dan x ∉ P}. Komplemen sering juga ditulis

dengan P.

Untuk komplemen suatu himpunan, berlaku n(S) = n(A ∪ B) +

n(A ∪ B)𝑐

Contoh:

1. Diketahui S = {x | -4 < x ≤ 3, x ∈ Z} dan A = {x | 0 ≤ x ≤ 2, x∈Z}. Tunjukkan A

𝑐dengan diagram Venn.

Jawaban:

S = {x | -4 < x ≤ 3, x ∈ Z}

S = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}

Page 10: Operasi himpunan

A = {x | 0 ≤ x ≤ 2, x ∈ Z}

A = {0, 1, 2}

A𝑐

= {-3, -2, -1, 3}

Diagram Venn

A𝑐ditunjukkan dengan daerah terarsir.

S

1

2

30

-1

-2

-3

A

Page 11: Operasi himpunan

2. Jika P = {a, b, c} dan S = {a, b, c, d, e, f, g, h} maka P𝑐

=

{d, e, f, g, h}

3. A ∪ A𝑐

= S dan A ∩ A𝑐

= Ø

4. Sc

= Ø dan Øc

= S

5. A𝑐 𝑐

= A

6. Dari 48 orang mahasiswa, 27 orang mahasiswa gemar

matematika, 20 orang mahasiswa gemar fisika, 7 orang

gemar matematika dan fisika. Tentukanlah banyaknya

mahasiswa tidak gemar matematika dan fisika, buatlah

diagram Venn-nya.

Page 12: Operasi himpunan

Jawaban:

Misalkan: A = gemar matematika

B = gemar fisika

n(S) = 48

n(A) = 27

n(B) = 20

n(A ∩ B) = 7

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

= 27 + 20 – 7 = 40

n(S) = n(A ∪ B) + n(A ∪ B)𝑐

48 = 40 + n(A ∪ B)𝑐

n(A ∪ B)𝑐

= 48 - 40 = 8

SA B

8 orang13 orang7 orang20 orang

Page 13: Operasi himpunan

Selisih (Difference) Dua Himpunan

Himpunan P selisih Q adalah himpunan yang anggotanya

himpunan P tetapi bukan anggota himpunan Q. Ditulis

P – Q = {x | x ∈ P dan x ∉ Q} atau P ∩ Q𝑐= {x | x ∈ P dan x ∈

Q𝑐}. P – Q dan P ∩ Q

𝑐merupakan dua himpunan yang sama.

Contoh:

1. Jika P = {a, b, c} dan Q = {1, 2} maka P – Q = P = {a, b, c}

2. Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d, e, f} maka P – Q = {a, b}

3. Diketahui S = {x | -4 < x ≤ 8, x ∈ Z} dan V = {x | -2 < x ≤ 5, x∈ Z}, dan W = {x | 2 < x, x ∈ Z}.

Tunjukkan dengan diagram Venn himpunan V – W.

Page 14: Operasi himpunan

S = {x | -4 < x ≤ 8, x ∈ Z} = { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

V = {x | -2 < x ≤ 5, x ∈ Z} = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

W = {x | 2 < x, x ∈ Z} = {3, 4, 5, 6, 7, 8}

W𝑐= {-3, -2, -1, 0, 1, 2}

V ∩ W = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} ∩ {3, 4, 5, 6, 7, 8} = {3, 4, 5}

V ∪ W = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

V - W𝑐= V ∩W

𝑐= {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} ∩ {-3, -2, -1, 0, 1, 2}

V - W𝑐= {-1, 0, 1, 2}

W𝑐ditunjukkan dengan daerah terarsir.

6

2

1

03

5

4 7

8

VS W

-1

-2 -3

Page 15: Operasi himpunan

Jumlah Dua Himpunan

Jumlah himpunan A dan B (dinotasikan A + B) adalah

himpunan semua elemen A atau semua elemen B tetapi

bukan elemen keduanya.

Secara notasi operasi jumlah dapat ditulis:

A + B = {x | x ∈ A atau x ∈ B, dan x ∉ A ∩ B}

Contoh:

1. Jika A = {x | x² - 8x + 12 = 0} dan B = {x | x² - 4 = 0}

maka A + B = {-2,6}

2. P = {x | x² - 8x + 12 = 0} dan Q = {1, 3, 5} maka

P + Q = {1, 2, 3, 5, 6}

Page 16: Operasi himpunan

3. Diketahui S = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u},

A = (a, b, c, d, e} dan B = {a, e, i, o, u}

Tunjukkan A + B dengan diagram Venn.

Jawaban:

A = (a, b, c, d, e}

B = {a, e, i, o, u}

A + B ditunjukkan dengan

daerah terarsir.

i

d

c

h

a

e

f

g

u

AS

B

bj

k

ol

mn p

q

r

s

t

Page 17: Operasi himpunan

Beda Setangkup / Selisih Simetris

Selisih simetris dua himpunan A dan B ditulis A ⨁ B. Beda

setangkup/selisih simetris adalah himpunan yang elemen-

elemen (unsur-unsur) dari P atau dari Q tetapi tidak kedua-

duanya.

Notasi: A ⨁ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) = (A – B) ∪ (B – A)

Contoh:

Jika A = {2, 4, 6} dan B = {2, 3, 5} maka:

(A ∪ B) = {2, 3, 4, 5, 6}

(A ∩ B) = {2}

A ⨁ B = {3, 4, 5, 6}

Page 18: Operasi himpunan

Atau

A – B = {4, 6}

B – A = {3, 5}

A ⨁ B = {3, 4, 5, 6}

Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:

a) A ⨁ B = B ⨁ A (sifat komutatif)

b) (A ⨁ B) ⨁ C = A ⨁ (B ⨁ C) (sifat asosiatif)

Page 19: Operasi himpunan

Hukum-hukum Himpunan

Hukum identitas

A ∪ Ø = A

A ∩ S = A

Hukum null atau dominasi

A ∩ Ø = Ø

A ∪ S = S

Hukum komplemen

A ∪ A𝑐

= S

A ∩ A𝑐

= Ø

Page 20: Operasi himpunan

Hukum-hukum Himpunan

Hukum idempotent

A ∪ A = A

A ∩ S = A

Hukum involusi

A𝑐 𝑐

= A

Hukum penyerapan (absorpsi)

A ∪ (A ∩ B) = A

A ∩ (A ∪ B) = A

Page 21: Operasi himpunan

Hukum-hukum Himpunan

Hukum komutatif

A ∪ B = B ∪ A

A ∩ B = B ∩ A

Hukum asosiatif

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

Hukum distributif

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Page 22: Operasi himpunan

Hukum-hukum Himpunan

Hukum De Morgan

(A ∩ B)𝑐

= A𝑐 ∪ B

𝑐

(A ∪ B)𝑐

= A𝑐 ∩ B

𝑐

Hukum 0/1

Øc

= S

Sc

= Ø

Page 23: Operasi himpunan

Contoh soal tentang Hukum/Dalil De

Morgan Diketahui : Himpunan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Himpunan A = {1, 2, 3}

Himpunan B = {3, 4}

Ditanya : Tunjukkan kedua dalil/hukum De Morgan melalui

himpunan di atas . . . ?

Jawaban :

A ∩ B = {3}

(A ∩ B)𝑐

= {1, 2, 4, 5, 6}

A𝑐

= {4, 5, 6}

B𝑐

= {1, 2, 5, 6}

A𝑐 ∪ B

𝑐= {4, 5, 6} ∪ {1, 2, 5, 6} = {1, 2, 4, 5, 6}

Jadi, (A ∩ B)𝒄

= A𝒄 ∪ B

𝒄

Page 24: Operasi himpunan

A ∪ B = {1, 2, 3, 4}

(A ∪ B)𝑐

= {5, 6}

A𝑐

= {4, 5, 6}

B𝑐

= {1, 2, 5, 6}

A ∩ B = {3}

A𝑐 ∩ B

𝑐= {4, 5, 6} ∩ {1, 2, 5, 6} = {5, 6}

Jadi, (A ∪ B)𝒄

= A𝒄 ∩ B

𝒄

Page 25: Operasi himpunan

Sifat-sifat yang Berlaku Pada Operasi Himpunan yaitu:

1. n(S) = n(A ∪ B) + n(A ∪ B)𝑐

2. n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

3. n(S) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) + n(A ∪ B)𝑐

4. n(A𝑐) = n(S) - n(A)

5. n(A ∩ B) = n(A) + n(B) – n(A ∪ B)

6. n(A + B) = n(A ∪ B) – n(A ∩ B)

7. n(A - B) = n(A) – n(A ∩ B)

8. n(A + A) = 0

9. n(A ∪ S) = n(S)

10. n(A ∩ S) = n(A)

11. n(A - S) = 0

12. n(A ∪ A𝑐) = n(S)

13. n(A ∩ A𝑐) = 0

Page 26: Operasi himpunan

Contoh Soal Sifat-sifat yang Berlaku Pada Operasi Himpunan

Contoh 1:

Tentukan nilai X dengan diagram venn berikut ini:

Jika n(S) = 16

5x3 6

BAS

Page 27: Operasi himpunan

Jawaban Diketahui : n(S) = 16

n(A) = 3 + x

n(B) = 5 + x

n(A ∪ B)𝑐

= 6

Ditanya : nilai x [n(A ∩ B)]...?

Penyelesaian:

n(S) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) + n(A ∪ B)𝑐

16 = (3 + x) + (5 + x) – x + 6

16 = 3 + x + 5 + x – x + 6

16 = 14 + x

Atau bisa ditulis:

14 + x = 16

14 + x – 14 = 16 – 14

x = 2

(kedua sisi dikurang 14)

Page 28: Operasi himpunan

Contoh 2:

Perhatikan gambar berikut:

Jika n(S) = 27, tentukan nilai x

dan n(A)!563x x

BAS

Page 29: Operasi himpunan

Jawaban Diketahui : n(S) = 27

n(A) = 3x + 6

n(B) = 11

n(A ∪ B)𝑐

= x

n(A ∩ B) = 6

Ditanya : nilai x dan n(A)...?

Penyelesaian:

n(S) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) + n(A ∪ B)𝑐

27 = (3x + 6) + 11 – 6 + x

27 = 3x + 6 + 11– 6 + x

27 = 4x + 11

Atau bisa ditulis:

4x + 11 = 27

4x + 11 – 11 = 27 – 11

4x = 16

(kedua sisi dikurang 11)

Page 30: Operasi himpunan

4x = 16

4x4

=164

x = 4

Jadi, nilai n(A) = 3x + 6

= 3 . 4 + 6

= 12 + 6

= 18

(kedua sisi dibagi 4)