Operasi himpunan
-
Upload
eman-mendrofa -
Category
Education
-
view
165 -
download
2
Transcript of Operasi himpunan
Oleh : Emanueli Mendrofa, S.PdMata Kuliah : Teori Himpunan dan Logika Matematika
Irisan Dua Himpunan
Irisan (interseksi) himpunan A dan B adalah suatu himpunan
yang anggota-anggotanya menjadi anggota A dan anggota B.
Ditulis A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B} dan dibaca A irisan B.
Contoh:
1. Diketahui:
S = {a, b, c, d, e, f, g}
A = {a, b, c}
B = {b, c, d, e}
C = {d, e, f}
Tunjukkan diagram Venn dari A ∩ B dan B ∩ C
Jawaban
Anggota S yang menjadi anggota A an B adalah b dan c maka A ∩ B = {b, c}
Anggota S yang menjadi anggota B dan C adalah d dan e maka B ∩ C = {d, e}
A ∩ B dan B ∩ C ditunjukkan dengan daerah terarsir.
a
A
b
e
d
c
S
g
f
B
b
B
d f
e
S
g
a
C
c
2. Misalkan E = {2, 3, 5, 7, 11} dan F = {3, 6, 9, 12}
Maka E ∩ F = {3}
3. Misalkan K adalah himpunan mahasiswa Prodi Matematika
Kelas B Semester I dan L adalah himpunan laki-laki dan
perempuan lanjut usia (50 tahun ke atas).
Maka K ∩ L = Ø
Hal ini berarti K dan L adalah saling lepas atau K // L.
Catatan:
A ∩ B dan B ∩ A merupakan dua himpunan yang sama
Kedua himpunan A dan B masing-masing memuat A ∩ B
Gabungan Dua Himpunan
Gabungan (union) dua himpunan A dan B berarti penyatuan anggota-
anggota himpunan A dan B. Gabungan dua himpunan A dan B ditulisA ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B} dan dibaca A gabungan B.
Apabila diketahui n(A) dan n(B) maka berlaku n(A ∪ B) = n(A) + n(B) –
n(A ∩ B)
Contoh:
1. Diketahui S = {x | x ≤ 10, x ∈ N}, A = {1, 2, 3, 6, 8} dan B = {4, 6, 8, 9}.
Tunjukkan A ∪ B dengan diagram Venn.
Jawaban:
S = {x | x ≤ 10, x ∈ N}
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(A ∩ B) = {6, 8}
Diagram Venn
A ∪ B ditunjukkan dengan daerah terarsir.
4
3
2
5
6
8
7
10
9
AS
B
1
2. Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d, e, f} maka P ∪ Q = {a,
b, c, d, e, f}
Catatan:
P ∪ Q dan Q ∪ P merupakan dua himpunan yang sama
Kedua himpunan P dan Q masing-masing merupakan
himpunan bagian pada P ∪ Q
3. Pada sebuah taman kanak-kanak diketahui 43 anak suka
melukis, 46 anak suka menyanyi, 20 anak suka keduanya,
dan 11 anak tidak suka keduanya. Tentukan jumlah anak
di taman kanak-kanak tersebut.
Jawaban:
Misal
P = banyak anak suka melukis
Q = banyak anak suka menyanyi
R = banyak anak tidak suka melukis dan menyanyi
n(P) = 43
n(Q) = 46
n(P ∩ Q) = 20
N(R) = 11
n(P ∪ Q) = n(P) + n(Q) – n(P ∩ Q) = 43 + 46 – 20 = 69
Jumlah anak = n(P ∪ Q) + n(R) = 69 + 11 = 80
Jadi, jumlah anak di taman kanak-kanak tersebut 80.
Komplemen Suatu Himpunan
Komplemen suatu himpunan P adalah himpunan yang terdiri atas
semua anggota semesta S tetapi bukan anggota himpunan P.
Ditulis P𝑐
= {x | x ∈ S dan x ∉ P}. Komplemen sering juga ditulis
dengan P.
Untuk komplemen suatu himpunan, berlaku n(S) = n(A ∪ B) +
n(A ∪ B)𝑐
Contoh:
1. Diketahui S = {x | -4 < x ≤ 3, x ∈ Z} dan A = {x | 0 ≤ x ≤ 2, x∈Z}. Tunjukkan A
𝑐dengan diagram Venn.
Jawaban:
S = {x | -4 < x ≤ 3, x ∈ Z}
S = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}
A = {x | 0 ≤ x ≤ 2, x ∈ Z}
A = {0, 1, 2}
A𝑐
= {-3, -2, -1, 3}
Diagram Venn
A𝑐ditunjukkan dengan daerah terarsir.
S
1
2
30
-1
-2
-3
A
2. Jika P = {a, b, c} dan S = {a, b, c, d, e, f, g, h} maka P𝑐
=
{d, e, f, g, h}
3. A ∪ A𝑐
= S dan A ∩ A𝑐
= Ø
4. Sc
= Ø dan Øc
= S
5. A𝑐 𝑐
= A
6. Dari 48 orang mahasiswa, 27 orang mahasiswa gemar
matematika, 20 orang mahasiswa gemar fisika, 7 orang
gemar matematika dan fisika. Tentukanlah banyaknya
mahasiswa tidak gemar matematika dan fisika, buatlah
diagram Venn-nya.
Jawaban:
Misalkan: A = gemar matematika
B = gemar fisika
n(S) = 48
n(A) = 27
n(B) = 20
n(A ∩ B) = 7
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
= 27 + 20 – 7 = 40
n(S) = n(A ∪ B) + n(A ∪ B)𝑐
48 = 40 + n(A ∪ B)𝑐
n(A ∪ B)𝑐
= 48 - 40 = 8
SA B
8 orang13 orang7 orang20 orang
Selisih (Difference) Dua Himpunan
Himpunan P selisih Q adalah himpunan yang anggotanya
himpunan P tetapi bukan anggota himpunan Q. Ditulis
P – Q = {x | x ∈ P dan x ∉ Q} atau P ∩ Q𝑐= {x | x ∈ P dan x ∈
Q𝑐}. P – Q dan P ∩ Q
𝑐merupakan dua himpunan yang sama.
Contoh:
1. Jika P = {a, b, c} dan Q = {1, 2} maka P – Q = P = {a, b, c}
2. Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d, e, f} maka P – Q = {a, b}
3. Diketahui S = {x | -4 < x ≤ 8, x ∈ Z} dan V = {x | -2 < x ≤ 5, x∈ Z}, dan W = {x | 2 < x, x ∈ Z}.
Tunjukkan dengan diagram Venn himpunan V – W.
S = {x | -4 < x ≤ 8, x ∈ Z} = { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
V = {x | -2 < x ≤ 5, x ∈ Z} = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
W = {x | 2 < x, x ∈ Z} = {3, 4, 5, 6, 7, 8}
W𝑐= {-3, -2, -1, 0, 1, 2}
V ∩ W = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} ∩ {3, 4, 5, 6, 7, 8} = {3, 4, 5}
V ∪ W = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
V - W𝑐= V ∩W
𝑐= {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} ∩ {-3, -2, -1, 0, 1, 2}
V - W𝑐= {-1, 0, 1, 2}
W𝑐ditunjukkan dengan daerah terarsir.
6
2
1
03
5
4 7
8
VS W
-1
-2 -3
Jumlah Dua Himpunan
Jumlah himpunan A dan B (dinotasikan A + B) adalah
himpunan semua elemen A atau semua elemen B tetapi
bukan elemen keduanya.
Secara notasi operasi jumlah dapat ditulis:
A + B = {x | x ∈ A atau x ∈ B, dan x ∉ A ∩ B}
Contoh:
1. Jika A = {x | x² - 8x + 12 = 0} dan B = {x | x² - 4 = 0}
maka A + B = {-2,6}
2. P = {x | x² - 8x + 12 = 0} dan Q = {1, 3, 5} maka
P + Q = {1, 2, 3, 5, 6}
3. Diketahui S = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u},
A = (a, b, c, d, e} dan B = {a, e, i, o, u}
Tunjukkan A + B dengan diagram Venn.
Jawaban:
A = (a, b, c, d, e}
B = {a, e, i, o, u}
A + B ditunjukkan dengan
daerah terarsir.
i
d
c
h
a
e
f
g
u
AS
B
bj
k
ol
mn p
q
r
s
t
Beda Setangkup / Selisih Simetris
Selisih simetris dua himpunan A dan B ditulis A ⨁ B. Beda
setangkup/selisih simetris adalah himpunan yang elemen-
elemen (unsur-unsur) dari P atau dari Q tetapi tidak kedua-
duanya.
Notasi: A ⨁ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) = (A – B) ∪ (B – A)
Contoh:
Jika A = {2, 4, 6} dan B = {2, 3, 5} maka:
(A ∪ B) = {2, 3, 4, 5, 6}
(A ∩ B) = {2}
A ⨁ B = {3, 4, 5, 6}
Atau
A – B = {4, 6}
B – A = {3, 5}
A ⨁ B = {3, 4, 5, 6}
Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:
a) A ⨁ B = B ⨁ A (sifat komutatif)
b) (A ⨁ B) ⨁ C = A ⨁ (B ⨁ C) (sifat asosiatif)
Hukum-hukum Himpunan
Hukum identitas
A ∪ Ø = A
A ∩ S = A
Hukum null atau dominasi
A ∩ Ø = Ø
A ∪ S = S
Hukum komplemen
A ∪ A𝑐
= S
A ∩ A𝑐
= Ø
Hukum-hukum Himpunan
Hukum idempotent
A ∪ A = A
A ∩ S = A
Hukum involusi
A𝑐 𝑐
= A
Hukum penyerapan (absorpsi)
A ∪ (A ∩ B) = A
A ∩ (A ∪ B) = A
Hukum-hukum Himpunan
Hukum komutatif
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
Hukum asosiatif
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
Hukum distributif
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Hukum-hukum Himpunan
Hukum De Morgan
(A ∩ B)𝑐
= A𝑐 ∪ B
𝑐
(A ∪ B)𝑐
= A𝑐 ∩ B
𝑐
Hukum 0/1
Øc
= S
Sc
= Ø
Contoh soal tentang Hukum/Dalil De
Morgan Diketahui : Himpunan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Himpunan A = {1, 2, 3}
Himpunan B = {3, 4}
Ditanya : Tunjukkan kedua dalil/hukum De Morgan melalui
himpunan di atas . . . ?
Jawaban :
A ∩ B = {3}
(A ∩ B)𝑐
= {1, 2, 4, 5, 6}
A𝑐
= {4, 5, 6}
B𝑐
= {1, 2, 5, 6}
A𝑐 ∪ B
𝑐= {4, 5, 6} ∪ {1, 2, 5, 6} = {1, 2, 4, 5, 6}
Jadi, (A ∩ B)𝒄
= A𝒄 ∪ B
𝒄
A ∪ B = {1, 2, 3, 4}
(A ∪ B)𝑐
= {5, 6}
A𝑐
= {4, 5, 6}
B𝑐
= {1, 2, 5, 6}
A ∩ B = {3}
A𝑐 ∩ B
𝑐= {4, 5, 6} ∩ {1, 2, 5, 6} = {5, 6}
Jadi, (A ∪ B)𝒄
= A𝒄 ∩ B
𝒄
Sifat-sifat yang Berlaku Pada Operasi Himpunan yaitu:
1. n(S) = n(A ∪ B) + n(A ∪ B)𝑐
2. n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
3. n(S) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) + n(A ∪ B)𝑐
4. n(A𝑐) = n(S) - n(A)
5. n(A ∩ B) = n(A) + n(B) – n(A ∪ B)
6. n(A + B) = n(A ∪ B) – n(A ∩ B)
7. n(A - B) = n(A) – n(A ∩ B)
8. n(A + A) = 0
9. n(A ∪ S) = n(S)
10. n(A ∩ S) = n(A)
11. n(A - S) = 0
12. n(A ∪ A𝑐) = n(S)
13. n(A ∩ A𝑐) = 0
Contoh Soal Sifat-sifat yang Berlaku Pada Operasi Himpunan
Contoh 1:
Tentukan nilai X dengan diagram venn berikut ini:
Jika n(S) = 16
5x3 6
BAS
Jawaban Diketahui : n(S) = 16
n(A) = 3 + x
n(B) = 5 + x
n(A ∪ B)𝑐
= 6
Ditanya : nilai x [n(A ∩ B)]...?
Penyelesaian:
n(S) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) + n(A ∪ B)𝑐
16 = (3 + x) + (5 + x) – x + 6
16 = 3 + x + 5 + x – x + 6
16 = 14 + x
Atau bisa ditulis:
14 + x = 16
14 + x – 14 = 16 – 14
x = 2
(kedua sisi dikurang 14)
Contoh 2:
Perhatikan gambar berikut:
Jika n(S) = 27, tentukan nilai x
dan n(A)!563x x
BAS
Jawaban Diketahui : n(S) = 27
n(A) = 3x + 6
n(B) = 11
n(A ∪ B)𝑐
= x
n(A ∩ B) = 6
Ditanya : nilai x dan n(A)...?
Penyelesaian:
n(S) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) + n(A ∪ B)𝑐
27 = (3x + 6) + 11 – 6 + x
27 = 3x + 6 + 11– 6 + x
27 = 4x + 11
Atau bisa ditulis:
4x + 11 = 27
4x + 11 – 11 = 27 – 11
4x = 16
(kedua sisi dikurang 11)
4x = 16
4x4
=164
x = 4
Jadi, nilai n(A) = 3x + 6
= 3 . 4 + 6
= 12 + 6
= 18
(kedua sisi dibagi 4)