Operasi pada himpunan

21
OPERASI HIMPUNAN Oleh : 1.Elisa Desi Asriani 2.Siti Ma’unah 3.Syahrudin 4.Tias safitri PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG PENGANTAR DASAR MATEMATIKA

Transcript of Operasi pada himpunan

Page 1: Operasi pada himpunan

OPERASI HIMPUNAN

Oleh :1.Elisa Desi Asriani2.Siti Ma’unah3.Syahrudin4.Tias safitri

PROGRAM STUDI MATEMATIKAJURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

PENGANTAR DASAR MATEMATIKA

Page 2: Operasi pada himpunan

OPERASI HIMPUNAN

Dalam pelajaran aljabar yang pernah kita kenal operasi hitung seperti penjumlahan perkalian, pengurangan pembagian, operasi itu membentuk bilangan baru dari bilangan yang diketahui. Demikian juga dengan operasi himpunan, pengertian operasi pada himpunan tidak berbeda dengan operasi pada bilangan.

Operasi pada himpunan adalah cara membentuk himpunan baru dari himpunan-himpunan yang diketahui. Operasinya ada yang berbentuk uner dan ada yang berbentuk biner. Operasi uner, bila himpunan baru tersebut dari satu himpunan yang diketahui dan operasi biner bila himpunan baru diperoleh dari dua himpunan.

Ada empat operasi dasar dalam himpunan yaitu:• Operasi biner gabungan ( ),∪• Operasi biner irisan (∩),• Operas biner komplemen (), dan• Operasi biner beda setangkup/beda simetri ( ).⊕

Page 3: Operasi pada himpunan

1. Dari pengertian di atas dapat ditarik konklusi bahwa A B dan B A ∪ ∪adalah himpunan yang sama, ditulis A B = B A.∪ ∪

2. Kedua himpunan A dan B selalu merupakan himpunan bagian dari A B, ∪ditulis A ( A B ) dan B ( A B ) .⊂ ∪ ⊂ ∪

Gabungan (Union)

Definisi:Misal A dan B merupakan himpunan, gabungan dari himpunan A dan B

(ditulis : A B) adalah himpunan semua anggota A atau B atau kedua-duanya ∪(dibaca A gabungan B).

A gabungan B dapat juga didefinisikan sebagai:A B = { A atau B}.∪ ∈ ∈ A B∪

Page 4: Operasi pada himpunan

Contoh: 1. Jika P = {1,2,3} dan Q = {a,b,c,d} maka P Q = {1,2,3,a,b,c,d}.∪2. Ditentukan C = {0} dan D = himpunan bilangan bulat positif, maka

C D = himpunan bilangan cacah.∪

Page 5: Operasi pada himpunan

IRISAN

Definisi:Misal A dan B merupakan himpunan, irisan dari himpunan A dan

himpunan B (ditulis: A ∩ B ) adalah himpunan dari anggota persekutuan himpunan A dan himpunan B (dengan kata lain, himpunan yang anggota-anggotanya adalah anggota A dan anggota B), dibaca A irisan B.

A irisan B dapat juga didefinisikan sebagai:A ∩ B = { A dan B}.∈ ∈

1. Berdasarkan definisi irisan dari himpunan A dan B diatas maka berlaku A ∩ B = B ∩ A.

2. A ∩ B dimuat oleh baik himpunan A maupun himpunan B, yaitu (A ∩ B) ⊂A dan (A ∩ B) B.⊂

A ∩ B

Page 6: Operasi pada himpunan

Contoh:1. Ditentukan A = {2,4,5,7,8,9} dan B={3,4,6,7,10}. Maka A ∩ B = {4,7}.2. Jika M = himpunan bilangan asli kelipatan 2. dan N = himpunan bilangan asli

kelipatan 3. maka M ∩ N = {6,12,18,24, . . . }.3. Jika P = himpunan bilangan cacah. Dan Qmaka P ∩ Q = .∅

Page 7: Operasi pada himpunan

KOMPLEMEN

Definisi: Misal A dan S merupakan himpunan, komplemen dari suatu himpunan A

(ditulis A’ atau) adalah himpunan yang anggota-anggotanya di dalam himpunan semesta (S) dan bukan anggota dari himpunan A.

Komplemen himpunan A dapat juga didefinisikan sebagai:={S, A}.∧ ∉

1. Gabungan dari sebarang himpunan A dan merupakan himpunan semesta (S) : A = S. Himpunan A dan merupakan dua himpunan yang saling lepas ∪(disjoint sets) : A ∩ = .∅

2. Komplemen dari S adalah himpunan kosong, dan sebaliknya: S = dan = S.∅

3. Komplemen dari komplemen himpunan A adalah himpunan A sendiri : () = A.

A𝑐

Page 8: Operasi pada himpunan

Contoh:1. Misal S = {1,2,3,4, . . . 9},

Jika A = {1,3,5,7} maka A = {2,4,6,8,9}. Jika B = { himpunan bilangan genap, < 9} maka B = {1,3,5,7,9}.∈

Page 9: Operasi pada himpunan

Beda Setangkup/Beda Simetrik (Symmetric Difference).

Definisi:Misal A dan B merupakan himpunan, beda setangkup dari himpunan A dan B

adalah suatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi bukan anggota persekutuan dari himpunan A dan B/tidak pada keduanya.

Definisi A beda setangkup dengan B dapat juga ditulis sebagai:A ⊕ B= (A ∪ B) –(A ∩ B) = (A–B) ∪ (B–A) atauA B = {⊕ (∈ A ∪ B), (A ∩ B) }.

A ⊕ B

Page 10: Operasi pada himpunan

Contoh:1. A = {1,3,5,6,8,11} dan B = {1,2,4,5,7,8}, maka A B = {2,3,4,7,11}.⊕2. Ditentukan Pdan Q = {=2} maka P Q = {=1}.⊕

Page 11: Operasi pada himpunan

Selain operasi diatas, dalam operasi himpunan dikenal juga, operasi selisih, perkalian kartesian, dan kardinalitas himpunan.

Page 12: Operasi pada himpunan

Selisih dua himpunan (Difference).

Definisi:Misal A dan B merupakan himpunan,

• Selisih dua himpunan A dan B (di tulis A-B) adalah himpunan yang semua anggotanya himpunan A dan bukan anggota B.

• Selisih dua himpunan A dan B sama dengan A irisan BA – B = A ∩ B.

• A – B adalah Himpunan yang beranggotakan unsur-unsur yang menjadi unsur himpunan pertama (A) dan tidak ada pada unsur himpunan pengurang(B).

Selisih dua himpunan A dan B dapat juga didefinisikan sebagai:A-B = { A , ∈ B}= {∉ A ,∈ B = A∈ ∩ B.

Contoh:1. Diketahui A = himupnan abjad latin, dan B = himpunan huruf vokal, maka

A – B = {b,d,f,g, . . .}.2. Jika A = {1,3,4,6,7,8} dan B = {2,4,5,6,7,11}, maka A – B = {1,3,8}.3. X = himpunan bilangan real positif, dan Y = himpunan bilangan real negatif,

maka X – Y = himpunan bilangan real positif.

Page 13: Operasi pada himpunan

• Teorema 1Untuk sembarang himpunanA,B

A + B = (A ∪ B) - (A ∩ B).

• Teorema 2Untuk sembarang himpunanA,B

A + B = (A - B) (B - A).∪

• Teorema 3(Komutatif jumlah). UntuksembaranghimpunanA,B

A + B = B + A.

• Teorema 4(Distributif Selisih). Untuk sebarang himpunanA,B,C.

(A ∪ B) - C = (A - C) ∪ (B - C).(A ∩ B) - C = (A - C) ∩ (B - C).

Page 14: Operasi pada himpunan

Perkalian Kartesian

Misal A dan B himpunan, perkalian kartesian dari dua himpunan didefinisikan sebagai:AxB = {(a, b) | a A b B}.∈ ∧ ∈

Contoh: A = {x, y}, B = {a, b, c}.AxB = {(x, a), (x, b), (x, c), (y, a), (y, b), (y, c)}.

Perhatikan bahwa:• Ax = .∅ ∅• ∅ xA = .∅• Untuk himpunan A dan B yang tidak kosong:

A≠B AxB ≠ BxA.⇔

Contoh:P = {1,2}, Q = {a,b,c},• PxQ = {(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}.• QxP = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)}.

Page 15: Operasi pada himpunan

Kardinalitas Himpunan

Misal A suatu himpunan, kardinalitas dari A adalah jumlah semua elemen (yang berbeda) pada himpunan A.Notasi: |A|

Contoh:a. A = {aku, kamu, dia}, maka |A| = 3.b. B = {1,{2,3},4,{5,6},7}, maka |B|= 5.c. P = , maka |P| = 0.∅d. Q = {}, maka |Q|= 7001.e. R = {}, maka |R|= .

Page 16: Operasi pada himpunan

Sifat-sifat operasi pada himpunan

Berdasarkan definisi dari operasi himpunan-operasi himpunan di atas, makn berlaku sifat-sifat berikut:

1. Sifat Komutatif/Pertukaran,Untuk sebarang himpunan A dan B, berlaku:

A B = B A,∪ ∪ A ∩ B = B ∩ A.

2. Sifat Asosiatif/Pengelompokan,Untuk sebarang himpunan A,B, dan C, berlaku:

A B C = A ∪ ∪ ∪ (B C),∪A ∩ B ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

3. Sifat Idempoten,Untuk sebarang himpunan A berlaku:

A A = A,∪A ∩ A = A.

4. Hukum Distributif,Untuk sebarang himpunan A,B, dan C

A ∩(B ∪ C) = (A ∩ B) ∪(A ∩ C)A ∪(B ∩ C) = (A ∪ B) ∩(A ∪ C).

Bagaimana membuktikan A (B ∩ C) = (A B) ∩ (A C)?∪ ∪ ∪

Cara: ∈ A (B ∩ C)∪ ∈ A x (B ∩ C)∨ ∈ ∈ A (x B x C)∨ ∈ ∧ ∈( A x B) ( A x C)∈ ∨ ∈ ∧ ∈ ∨ ∈(hukum distributif untuk logika matematika) ∈ (A B) (A C)∪ ∧ ∈ ∪ ∈ (A B) ∩ (A C)∪ ∪

Page 17: Operasi pada himpunan

5. KomplemenMisal A suatu himpunan, untuk setiap A terdapat dengan tunggal sehingga

(A ∩) = .∅6. Komplemen ganda

Untuk sebarang himpunan A berlaku: A.

7. Sifat IdentitasTerdapat identitas untuk interseksi ( ) dan identitas untuk gabungan (U) dan ∅untuk setiap himpunan A berlaku:

A ∩ S = A dan A ∩ = ∅ ∅A S = S dan A = A.∪ ∪ ∅

8. Komplemen IdentitasUntuk S himpunan semesta.

= S = .∅

9. Hukum De MorganUntuk sebarang himpunan A dan B berlaku

(A ∩ ∪(A ∩ .∪

Page 18: Operasi pada himpunan

Soal1. Diketahui P = {a,b,c,d}, Q = {c,d,e,f}, dan R = {b,c,d,e}.

Tentukan:a. P Q∪b. Q R∪c. P (Q R)∪ ∪d. (P Q) R∪ ∪e. Gambarlah diagram Vennnya dan arsirlah daerah yang memenuhi soal

c dan d. Apa kesimpulanmu?2. Diketahui: S = himpunan semesta = { I < 10, himpunan bilangan ∈

cacah}, A = { 2, 5, 7. 8. 9 }, B = { 1, 2, 4, 6, 8 }, C = { 1, 3, 5, 7, 9 }.

Tentukan:a. f. A + B k. A + B b. g. B + A l. B –C c. h. A –C m. A - d. A B ∪ i. B –A e. ∩ j. A x

Page 19: Operasi pada himpunan

3. Dalam suatu kelas terdapat 32 siswa, diantaranya 15 siswa senang IPA dan 29 siswa senang IPS. Tentukan banyaknya siswa yang senang keduanya?

Page 20: Operasi pada himpunan

2. a. = {1,3,4,6}.b. = {3,5,7,9}.c. = {2,4,6,8}.d. A = {3}.∪e. ∩ = {3}.f. A + B = {1,4,5,6,7,9}.g. A – C = {{5,8}.h. B – A = {1,4,6}.

i. Ax= {(2,3),(2,5),(2,7),(2,9),(5,3),(5,5),(5,7),(5,9),(7,3),(7,5),(7,7),(7,9),(8,3),(8,5),(8,7),(8,9),(9,3),(9,5),(9,7),(9,9)}.

j. A + B = {2,3}.k. B –C = {1,3,5,7,9}.l. A - = 2,8}.

Penyelesaian:1. a. P Q = {a,b,c,d,e,f}.∪

b. Q R = {b,c,d,e,f}.∪c. P (Q R) = {a,b,c,d,e,f}.∪ ∪d. (P Q) R = {a,b,c,d,e,f}.∪ ∪

e. Untuk diagam venn dari soal c dan d sama,

Page 21: Operasi pada himpunan

3. S = Jumlah Siswa n(S) = 32 A = Siswa yang senang IPA n(A) = 15 B = Siswa yang senang IPS n(B) = 29

n(A ∩ B) = ?n(S) = n (A ∪ B) + n A ∪ B 32 = n (A ∪ B) + 0 n (A ∪ B) = n (A) + n(B) – n(A ∩ B) n (A ∩ B) = n (A) + n(B) – n(A ∪ B) = 15 + 29 – 32 = 12 Jadi yang senang keduanya adalah 12.