Tugas Kelompok Dosen Pengampu

Pemodelan Matematika Mohammad Soleh M.sc

PEMODELAN MATEMATIKA DUA SPECIES

MODEL MANGSA - PEMANGSA

KELOMPOK IV

ILFADILAH (11154203228)

JUWITA SARI (1115420)

NURAFNI (11154201774)

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SULTAN SYARIF KASIM RIAU

2013/2014

KATA PENGANTAR

Assalamualaikum wr wb…

Puji dan syukur kehadirat Allah SWT yang mana dengan rahmat dan hidayah-Nya kami

kelompok IV bisa menyelesaikan makalah Pemodelan Matematika ini dengan judul

PEMODELAN MATEMATIKA DUA SPECIES MODEL MANGSA - PEMANGSA atas

izin-Nya tepat pada waktunya.

Dan tak lupa penulis mengucapkan terima kasih kepada dosen pengampu karena telah

memberi bimbingan dalam menyelesaikan makalah ini. Penulis berharap semoga makalah ini

bermanfaat bagi para pembaca dan dapat menambah wawasan kita terutama penulis dalam

materi ini. “TAK ADA GADING YANG TAK RETAK” demikian juga dengan makalah ini.

Oleh karena itu, penulis ,mengharapkan kritik dan saran yang membangun, agar makalah

selanjutnya yang penulis buat lebih baik dari yang sebelumnya. Atas kritik dan sarannya, penulis

ucapkan terima kasih.

Wassalamu’alaikum wr.wb…

Pekanbaru, 12 November 2013

PENULIS

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR .................................................................................... i

DAFTAR ISI................................................................................................... ii

BAB I. PENDAHULUAN ..............................................................................

1.1 Latarbelakang ................................................................................

BAB II. PEMBAHASAN ...............................................................................

2.1 Hasil Akhir .....................................................................................

BAB III. PENUTUP .......................................................................................

3.1 Kesimpulan ...................................................................................

DAFTAR ISI................................................................................................... iii

BAB I

PENDAHULUAN

A. JUDUL

Adapun judul nya adalah PEMODELAN MATEMATIKA UNTUK DUA SPECIES

MODEL MANGSA - PEMANGSA

B. LATAR BELAKANG

Ekologi merupakan cabang ilmu dalam biologi yang mempelajari tentang hubungan

makhluk hidup dengan habitatnya. Dalam ekologi, dikenal istilah rantai makanan. Rantai

makanan merupakan lintasan konsumsi makanan yang terdiri dari beberapa spesies. Bagian

paling sederhana dari rantai makanan berupa interaksi antara spesies mangsa (prey) dengan

pemangsa (predator)

Makhluk hidup dibumi ini sangat beraneka ragam, yang terdiri dari campuran populasi

dari berbagai species yang hidup bersama atau disebut komunitas. Hal ini menunjukkan pada

hakikatnya makhluk hidup dibumi ini tidak dapat hidup sendiri secara normal, tetapi akan saling

berinteraksi dengan berbagai species yang ada.

Pada umumnya terdapat dua atau lebih spesies yang saling berinteraksi, sehingga keadaan

suatu spesies dipengaruhi oleh keadaan spesies lain yang berinteraksi dengannya. Interaksi yang

terjadi dapat berupa predasi (makan dimakan), kompetisi (persaingan) maupun simbiosis

(persekutuan hidup).

Model mangsa pemangsa dapat dimanfaatkan pada Taman Nasional dimana mangsa dan

pemangsa dapat hidup bersama. Mangsa yang harus dilestarikan dapat dilindungi dari pemangsa

dengan menciptakan batasan atau tempat penampungan yang akan membagi habitat menjadi dua

wilayah yaitu wilayah yang dilindungi dan wilayah bebas. Adapun yang dimaksud dengan

wilayah yang dilindungi adalah dimana spesies pemangsa tidak diperbolehkan masuk kedalam

wilayah tersebut, kemudian yang dimaksud dengan wilayah bebas adalah dimana ada

percampuran dari spesies mangsa pemangsa pada wilayah tersebut.

Banyak faktor yang mempengaruhi jumlah populasi suatu spesies, selain kematian alami, yaitu

predasi, pemanenan, pencemaran, dsb. Predasi merupakan salah satu faktor yang sering dibahas

dalam interaksi antar spesies. Kehadiran predator memberikan pengaruh pada jumlah prey. Oleh

karena itu, pada interaksi tiga spesies, kehadiran predator kedua berpengaruh pada jumlah

predator pertama dan prey sehingga dalam rantai makanan tiap komponennya saling

memberikan pengaruh.

Model yang mendiskripsikan interaksi dua spesies yang terdiri dari prey dan predator

adalah model rantai makanan dua spesies, sedangkan model yang mendiskripsikan interaksi tiga

spesies yang terdiri dari prey, predator pertama, dan predator kedua adalah model rantai

makanan tiga spesies. Model ini terdiri dari model laju perubahan populasi predator dan model

laju perubahan populasi prey.

Menurut Holling (1959), model perubahan populasi predator dikelompokkan menjadi

tiga tipe renspon fungsional, yaitu tipe linear, hiperbolik, dan sigmoidal. Model linear dianggap

tidak akurat karena tidak mungkin laju pertumbuhan dianggap konstan (linear) untuk waktu tak

terbatas sedangkan pada model hiperbolik, predator tidak memiliki sumber makanan alternatif

lain, sehingga cocok untuk model rantai makanan tiga spesies, dan pada model sigmoidal,

predator memiliki sumber makanan alternatif lain, sehingga kurang cocok untuk model rantai

makanan tiga spesies karena akan melibatkan lebih dari tiga spesies.

Model perubahan populasi prey didapat dari model pertumbuhan logistik yang kemudian

dikombinasikan dengan tipe hiperbolik (Holling Tipe II) selanjutnya dari model rantai makanan

dua spesies dan tiga spesies ini akan dicari 3 solusi kesetimbangan dan dianalisis perilaku dari

sistem yang dapat ditentukan dengan menganalisis kestabilan dari solusi kesetimbangan.

C. MANFAAT

Adapun manfaat nya sebagai berikut:

1. Menambah wawasan dan kemampuan dalam mengaplikasikan ilmu-ilmu matematika,

dalam bidang biologi yaitu tentang keseimbangan interaksi antar makhluk hidup

khususnya model predator-prey.

2. Memberikan informasi tentang keseimbangan suatu ekosistem khususnya model

predator-prey.

3. Dapat digunakan untuk memprediksi seberapa besar populasi predator dan populasi prey

agar terjadi keseimbangan ekosistem.

BAB II

PEMBAHASAN

Model mangsa-pemangsa yang banyak dikenal adalah model Lotka-Voltera. Model ini

disusun berdasarkan asumsi-asumsi berikut:

1. Dalam keadaan tanpa pemangsa, lingkungan hidup populasi mangsa sangat ideal

sehingga perkembangannya tak terbatas.

2. Pertumbuhan pemangsa juga ideal, kecuali terdapat kendala makanan.

3. Laju pemangsaan proporsional dengan laju pertemuan antara mangsa dan pemangsa.

4. Laju kematian pemangsa adalah konstan, tidak terpengaruh terhadap kepadatan dan umur

pemangsa.

5. Efisiensi pemangsaan tidak tergantung umur pemangsa dan mangsa.

6. Efisiensi penggunaan mangsa sebagai makanan pemangsa untuk bereproduksi adalah

konstan dan tidak tergantung umur dan kepadatan pemangsa.

7. Gerakan dan kontak mangsa dan pemangsa berlangsung secara acak. Setiap individu

mangsa memiliki peluang yang sama untuk dimangsa.

8. Waktu yang digunakan pemangsa untuk memangsa diabaikan.

9. Kepadatan mangsa tidak mempengaruhi peluang pemangsaan.

10. Kepadatan pemangsa tidak mempengaruhi peluang pemangsa untuk memangsa.

11. Keadaan lingkungan adalah homogen.

Diberikan 2 (dua) spesies, sebutlah pemangsa (predator) dan mangsa (prey), hidup dalam

suatu habitat yang sama dan bersifat tertutup. Selama perjalanan hidupnya, kedua spesies

tersebut saling berinteraksi. Hubungan interaksinya adalah sebagai berikut :

1. Pemangsa

Dalam hal ini pemangsa memakan mangsa, tetapi mangsa memakan makanan lain. Tanpa

adanya mangsa, populasi menurun dan lama kelamaan akan musnah.

2. Mangsa

Dalam hal ini mangsa dimakan oleh pemangsa. Mangsa memakan makanan lain yang ada

di alam dalam habitat tempat hidupnya. Tanpa adanya pemangsa, populasinya tumbuh

terus secara tak terbatas. Dalam hal ini dianggap bahwa sumberdaya pendukung

pertumbuhan (makanan) tersedia secara takterbatas.

Dari sifat hubungannya dan keadaan populasi kedua spesies tersebut, maka kita akan

memperkirakan bagaimana populasi kedua spesies diwaktu yang akan datang. Apabila populasi

pemangsanya lebih sedikit dibanding dengan populasi mangsa, maka populasi mangsanya

berkembang lebih cepat. Hal ini akan mengakibatkan sumber daya alam yang dimakan oleh

mangsa akan lebih cepat berkurang daripada kecepatan pertumbuhannya. Sebaliknya apabila

populasi pemangsanya jauh lebih besar dibanding dengan populasi mangsa, maka populasi

mangsanya semakin cepat berkurang (dibanding pertumbuhannya), bahkan lama-kelamaan

akan menunju kepunahan. Ini akan berakibat pula populasi pemangsanya akan berkurang juga

dan juga lama kelamaan akan punah. Sebagai masalah lebih lanjut adalah bagaimanakah kita

harus menjaga (mengurangi atau menambah) populasi kedua jenis spesies tersebut agar

keduanya tidak punah dengan tetap menjaga kelestarian alam sekitarnya. Hal ini merupakan

salah satu kajian dalam ekologi.

Sebagai contoh 2, (dua) spesies yang interaksi kehidupannya dipandang sebagai

pemangsa dan mangsa adalah serigala dan kelinci, ular dan tikus sawah, cicak dan nyamuk, ikan

dan plankton (lumut), dan sebagainya.

Pada Gambar diatas diberikan serigala dan kelinci yang hidup dalam suatu habitat

tertutup. Untuk kelangsungan hidupnya serigala memakan mangsa, sedangkan kelinci memakan

makanan lain yang ada di alam sekitarnya (misal rumput-rumputan)

MENENTUKAN PARAMETER

Misalkan:

1. : populasi mangsa pada saat t

2. : populasi pemangsa pada saat t

a. Dari sisi mangsa:

Asumsi :

- Tanpa adanya pemangsa:

Tanpa adanya pemangsa, populasinya tumbuh cepat tak terbatas. Dalam hal ini, laju

pertumbuhan populasinya sebanding populasi pada saat yang sama. Secara matematis :

Dalam hal ini, a = tetapan kesebandingan atau tetapan pertumbuhan mangsa

- Dengan adanya pemangsa

Dengan adanya pemangsa maka akan terjadi interaksi antara mangsa dan pemangsa, yaitu

mangsa dimakan pemangsa. Dengan demikian populasi mangsa akan berkurang

(meluruh). Dalam hal ini, laju peluruhan populasi mangsa sebanding dengan interaksi

antara keduanya. Secara matematis,

Dalam hal ini, b = tetapan interaksi antara mangsa dan pemangsa

Gabungan antara kedua hal di atas memberikan laju pertumbuhan populasi mangsa.

Secara matematis dapat dinyatakan sebagai : dihambat

Hal ini menyatakan bahwa walaupun populasi mangsa tumbuh tetapi laju pertumbuhan

populasi nya dihambat oleh interaksinya dengan pemangsa.

menyatakan laju pertumbuhan mangsa

menyatakan populasi mangsa

menyatakan interaksi populasi mangsa dan pemangsa

Tanda ‘-‘ menyatakan bahwa laju pertumbuhan mangsa dihambat (berkurang) karena

adanya interaksi mangsa dan pemangsa

Selanjutnya perhatikan, Dalam hal y = 0 (tidak ada pemangsa), maka diperoleh

persamaan diferensial (1), yang berarti bahwa populasi mangsa tumbuh secara tak terbatas.

b. Dari sisi pemangsa

- Tanpa adanya mangsa :

Tanpa adanya mangsa, populasinya akan meluruh menuju kepunahan. Dalam hal ini, laju

peluruhan populasinya sebanding populasi pada saat yang sama. Secara matematis :

c = tetapan keseimbangan atau tetapan peluruhan pemangsa

- Dengan adanya mangsa

Dengan adanya mangsa maka akan terjadi interaksi antara pemangsa dan mangsa, yaitu

pemangsa akan makan mangsa. Dengan demikian akan menyebabkan bertumbuhnya

populasi populasi pemangsa. Dalam hal ini, Laju pertumbuhan populasi pemangsa

sebanding dengan interaksi antara pemangsa dan mangsa. Secara matematis :

Gabungan antara kedua hal diatas memberikan laju pertumbuhan populasi pemangsa.

Hal ini menyatakan bahwa Laju pertumbuhan populasi pemangsa didorong karena

adanya interaksi dengan mangsa tetapi dihambat oleh kelangkaan mangsa. Oleh karena mangsa

dan pemangsa hidup dalam habitat yang sama, maka model matematis dari masalah pemangsa

dan mangsa, yaitu :

… (5)

Sesuai dengan observasi yang dilakukan, pada awal observasi ditentukan populasi

mangsa dan pemangsa : Populasi awal dari hasil observasi ini merupakan syarat awal dari (5),

yaitu

…(5*)

Dilihat dari bentuknya, (5) merupakan suatu sistem persamaan diferensial (atau secara

lengkap disebut dengan sistem persamaan diferensial) non linear orde satu (dengan koefisien

tetapan) Di sini dikatakan non linear karena adanya suku non linear, yaitu dan . Dan

pers. (5*) disebut dengan persamaan differensial dengan syarat awal.

Sistem persamaan diferensial (5) di atas disebut juga dengan Model Matematis Masalah

Pemangsa dan Mangsa (Predator and Prey) atau singkatnya Model Pemangsa – Mangsa atau

dapat juga disebut Model Mangsa – Pemangsa. Sistem persamaan diferensial (5) tersebut sering

disebut juga dengan persamaan Lotka- Volterra.

MODEL MATEMATIS PENYELESAIAN MASALAH

Penyelesaian dari (5) merupakan 2 fungsi terhadap t, yaitu x(t) dan y(t). Jadi apabila

diberikan (5) kita harus mencari x(t) dan y(t) yang keduanya memenuhi (5). Dalam memeriksa

hubungan perilaku pertumbuhan populasi mangsa dan pemangsa, kita cari dahulu titik kritis dari

sistem persamaan (5).

(1)Titik kritis Nyatakan sistem persamaan (5) sebagai :

Yang dalam hal ini memberikan :

Dari (i) dan (ii) diperoleh titik kritisnya yaitu

Jenis Titik Kritis :

Kita ketahui bahwa matriks Jacobian dari (6) adalah :

Nilai eigen matriks tersebut adalah a dan –c, yaitu dua bilangan real berbeda tanda.

Dalam hal ini titik kritis (0,0) berjenis titik pelana, bersifat tak stabil.

Nilai eigen matriks tersebut adalah dan , yaitu berupa dua bilangan

kompleks (dengan bagian real yang sama) berbeda tanda. Dalam hal ini titik kritis (c/d, a/b)

berjenis pusat, bersifat stabil Yang dipertimbangkan selanjutnya adalah titik kritis kedua yaitu

yang memberikan kestabilan sistem.

Untuk memeriksa secara visual perilaku pertumbuhan populasi mangsa dan pemangsa

dapat digunakan trayektori pada bidang fase.

(2) Trayektori pada bidang fase Dari sistem persamaan (5) kita nyatakan dalam hal ini,

Selanjutnya, kita nyatakan sebagai kedua ruas di integralkan,

Memberikan, tetapan pengintegralan.

Persamaan terakhir memberikan penyelesaian (implisit) yaitu :

…(7)

Persamaan (7) di atas disebut dengan trayektori (atau disebut juga potret) dari x(t) dan

y(t) pada bidang fase xy. Trayektori pada bidang fase tersebut menggambarkan hubungan

pertumbuhan x(t) dan y(t) untuk setiap t.

Contoh . Dengan x(t) : populasi kelinci (sebagai mangsa) y(t) : populasi serigala (sebagai

pemangsa) dan pada awalnya terdapat 80 ekor kelinci dan 100 ekor serigala.

Dengan melihat kembali (5), maka dalam contoh ini kita ketahui bahwa a = 0,5 ; b =

0,01 ; c = 0,5 ; d = 0,01 Kita ketahui dari contoh 1, titik kritis pertama adalah (0,0) sedangkan

titik kritis kedua adalah (50, 50).

(1) Fungsi pertumbuhan Pertumbuhan serigala dan kelinci untuk setiap saat t, diberikan dalam

bentuk kurva pertumbuhan seperti yang diberikan pada gambar 3 di bawah ini.

Gambar 3 . kurva pertumbuhan populasi kelinci dan serigala, padaawalnya terdapat 80

ekor kelinci dan 100 ekor serigala. Pada Gambar 3 di atas terlihat bahwa pertumbuhan x(t) (yaitu

kelinci) dan y(t) (yaitu serigala) mengikuti pertumbuhan sinusoidal secara periodik. Hal ini

karena matriksnya adalah mempunyai nilai eigen bilangan kompleks.

Pada pertumbuhannya, baik populasi kelinci maupun populasi serigala mencapai populasi

maksimal dan minimal yang sama. Dalam hal ini populasi maksimalnya adalah 112 ekor dan

populasi minimalnya adalah 16 ekor. Dapat dilihat pada gambar tersebut, (i) populasi kelinci

pada awalnya 80 ekor menurun menuju populasi minimal, yaitu 16 ekor. Pada saat yang sama

populasi serigala adalah 49 ekor. Kemudian populasi kelinci naik mencapai populasi maksimal

yaitu 112 ekor (pada saat yang sama, populasi serigala adalah 51 ekor).

Demikian seterusnya populasinya menurun dan naik secara periodik. (ii) Sedangkan

populasi serigala pada awalnya 100 ekor, naik mencapai populasi maksimal 112 ekor (pada saat

yg sama populasi kelinci adalah 48 ekor). Selanjutnya turun sampai mencapai 16 ekor (pada saat

yang sama populasi kelinci adalah 51 ekor). Kemudian naik lagi sampai mencapai populasi

maksimal 112 ekor. Demikian seterusnya populasinya menurun dan naik secara periodik.

(2). Perilaku pertumbuhan populasi Selanjutnya, dari gambar 3 di atas dapat dilihat bahwa

pada waktu setelah saat awal :

(I) Populasi kelinci menurun, populasi serigala naik. Kemudian,

(II) Populasi kelinci menurun, populasi serigala menurun Selanjutnya

(III) populasi kelinci naik, populasi serigala turun Selanjutnya,

(IV) Populasi kelinci naik, populasi serigala naik Demikian seterusnya perilaku

pertumbuhan kedua populasi tersebut. Secara lebih jelas perilaku pertumbuhan

tersebut dapat dilihat dalam diagram bidang fase sebagai berikut:

Lengkungan (di sini disebut dengan trayektori) tertutup dalam gambar 4 di atas

merupakan potret hubungan pertumbuhan populasi kelinci dan populasi serigala yang disajikan

dalam bidang fase. Pada bidang fase tsb, sumbu mendatar menyatakan populasi kelinci,

sedangkan sumbu tegak menyatakan populasi serigala.

Berdasarkan titik kritis yang diperoleh yaitu (50,50), bidang fase tersebut terbagi menjadi

4 daerah atau kuadran, yaitu kuadran I, II, III, dan IV. Terlihat pada Gambar 4 di atas, dengan

melihat arah panah dan kurvanya dapat diperiksa bahwa pada, Kuadran I : populasi kelinci

menurun, populasi serigala naik, Kuadran II : populasi kelinci dan populasi serigala menurun

Kuadran III : populasi kelinci naik, populasi serigala menurun Kuadran IV : populasi kelinci dan

populasi serigala naik.

BAB III

PENUTUP

3.1 KESIMPULAN

Makhluk hidup pada hakekatnya tidak dapat hidup sendirian, sehingga diperlukan adanya

suatu interaksi antar berbagai populasi dan berbagai spesies yang hidup secara bersamaan. Pada

populasi tersebut akan terjadi suatu interaksi antar spesies, di mana kedua spesies berinteraksi

dalam suatu rantai makanan.

Dari sifat hubungannya dan keadaan populasi kedua spesies tersebut, maka kita akan

memperkirakan bagaimana populasi kedua spesies diwaktu yang akan datang. Apabila populasi

pemangsanya lebih sedikit dibanding dengan populasi mangsa, maka populasi mangsanya

berkembang lebih cepat. Hal ini akan mengakibatkan sumber daya alam yang dimakan oleh

mangsa akan lebih cepat berkurang daripada kecepatan pertumbuhannya. Sebaliknya apabila

populasi pemangsanya jauh lebih besar dibanding dengan populasi mangsa, maka populasi

mangsanya semakin cepat berkurang (dibanding pertumbuhannya), bahkan lama-kelamaan

akan menunju kepunahan. Ini akan berakibat pula populasi pemangsanya akan berkurang juga

dan juga lama kelamaan akan punah. Sebagai masalah lebih lanjut adalah bagaimanakah kita

harus menjaga (mengurangi atau menambah) populasi kedua jenis spesies tersebut agar

keduanya tidak punah dengan tetap menjaga kelestarian alam sekitarnya. Hal ini merupakan

salah satu kajian dalam ekologi.