1

PEMODELAN MATEMATIKA YANG MENJELASKAN GERAKAN MASSA PADA

PENDULUM SEDERHANA

Isa J2A 007 023

Dewi Yuliani J2A 008 086

Hardany Kurniawan J2A 008 088

Kiki Purwaningsih J2A 008 039

Khoirummuslimah J2A 008 037

Siti Kholifah J2A 008 070

Rukmono Budi Utomo J2A 009 004

Irvandi G Pasangka J2A 009 018

Yuli Nuha K J2A 009 022

Abdul R. Nurmansyah J2A 009 038

Dewi Sukmawati J2A 009 006

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS DIPONEGORO

2011

2

PEMODELAN MATEMATIKA YANG MENJELASKAN GERAKAN MASSA

PADA PENDULUM SEDERHANA

1. Tujuan

Mengkonstruksikan model matematika yang menjelaskan gerakan massa pada

pendulum sederhana

2. Latar Belakang

a. Identifikasi variable

- t : variable waktu

- Ѳ : sudut simpangan

b. Hukum yang berlaku

- Hukum Newton II

“ Besarnya gaya pada partikel massa sama dengan massa partikel kali

percepatan”

3. Aproximasi dan idealisasi

a. Massa benda hanya bergerak dalam dua dimensi ( dalam sumbu x dan y)

b. Massa partikel pada batang pendulum diabaikan karena massa m sangat besar

c. Massa benda konstan ( tidak berubah terhadap waktu)

d. Tidak ada gaya gesek yang bekerja pada benda

e. Diasumsikan sudut simpangan sangat kecil( sin Ѳ ≈ Ѳ)

f. Panjang pendulum (L), konstan terhadap waktu

g. Berlaku Gaya gravitasi

3

4. Pemodelan

Hukum Newton II

𝑚𝑑2𝑥

𝑑𝑡 2 = 𝐹 (1)

Vector Posisi

x= xi + yj. (2)

Vector Percepatan

𝑑2𝑥

𝑑𝑡 2 =𝑑2𝑥

𝑑𝑡 2 𝑖 +𝑑2𝑦

𝑑𝑡 2 𝑗 (3)

Vector Posisi yang ditunjukan dalam

Arah keluar dengan panjang L

x = L r (4)

Vector posisi yang ditunjukan dalam

arah keluar dengan panjang L yang konstan

𝑑2𝑥

𝑑𝑡 2 = L

𝑑2𝑟

𝑑𝑡 2 (5)

Hubungan antara Vector –vector satuan pada

Kordinat polar dengan kordinat kartesius

r = -cos Ѳ j + sin Ѳ i = sin Ѳ i – cos Ѳ j (6)

L

m

4

vector satuan Ѳ yang dinyatakan dalam kordinat

kartesius

Ѳ = cos Ѳ i + sin j (7)

Vector kecepatan dari pendulum

𝑑𝑥

𝑑𝑡 = L

𝑑𝑟

𝑑𝑡+

𝑑𝐿

𝑑𝑡𝑟 (8)

Karena L konstan 𝑑𝐿

𝑑𝑡= 0, sehingga

𝑑𝑥

𝑑𝑡= L

𝑑𝑟

𝑑𝑡 = 𝐿

𝑑Ѳ

𝑑𝑡 𝑑𝑟

𝑑Ѳ (9)

* persamaan (6) dapat ditulis

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝐿

𝑑Ѳ

𝑑𝑡Ѳ (10)

Dari persamaan (6) didapat pula

𝑑Ѳ

𝑑Ѳ = -

𝑑Ѳ

𝑑t𝑟 (11)

Dari persamaan (9) Jika dideferensialkan ke-t

maka akan diperoleh didapat persamaan

𝑑2𝑥

𝑑𝑡 2 = 𝐿 𝑑2𝑟

𝑑𝑡 2

𝑑2𝑟

𝑑𝑡 2 = 𝐿 𝑑Ѳ

dѲ

2 𝑑2𝑟

𝑑Ѳ2 + 𝐿 𝑑𝑟

𝑑Ѳ 𝑑2Ѳ

𝑑𝑡 2 (12)

Dari persamaan (12) didapat

𝑑2𝑥

𝑑𝑡 2 = 𝐿 𝑑Ѳ

dt

2 cosѲ j − sin Ѳ i + 𝐿 cosѲ j + sin Ѳ i

𝑑2Ѳ

𝑑𝑡 2

= 𝐿 − 𝑑Ѳ

dt

2

𝑟 + 𝑑2Ѳ

𝑑𝑡 2Ѳ (13)

*Gaya-gaya yang bekerja pada massa

- gaya berat yakni gaya gravitasi yang besarnya

m.g.j = m .g(cos Ѳ r − sin Ѳ Ѳ )

- gaya tegang batang pendulum, misalkan = -T. r

5

Dengan memperhatikan gaya-gaya ini,

maka diperoleh persamaan model gerakan pendulum

dalam koordinat polar sebagai berikut :

𝑚. 𝐿 − 𝑑Ѳ

𝑑𝑡

2

𝑟 +𝑑2Ѳ

𝑑𝑡2Ѳ = 𝑚.𝑔 (cosѲ r − sin Ѳ Ѳ) − T r

Atau dapat ditulis menjadi :

𝐿 − 𝑑Ѳ

𝑑𝑡

2

𝑟 +𝑑2Ѳ

𝑑𝑡2Ѳ = 𝑔 (cosѲ r − sin Ѳ Ѳ) − T r

= -g sin Ѳ Ѳ + (mg cosѲ − T/m) r (14)

Selanjutnya menyamakan komponen dari vector satuan r, Ѳ,

diperoleh persamaan :

L 𝑑2Ѳ

𝑑𝑡 2 = - g sin Ѳ

-L 𝑑Ѳ

𝑑𝑡

2

= -g cos Ѳ- T/m

Maka kesimpulannya gaya pendulum dapat dinyatakan oleh

𝑑2Ѳ

𝑑𝑡 2 = −𝑔 sin Ѳ

𝐿. Dengan hampiran sin Ѳ cukup kecil, maka dapat dituliskan

sin Ѳ ≈ Ѳ , maka model matematika pendulum sederhana adalah

L d2Ѳ

dt 2 = - g Ѳ

Atau 𝐝𝟐Ѳ

𝐝𝐭𝟐 =

−𝐠 Ѳ

𝐋 atau

𝐝𝟐Ѳ

𝐝𝐭𝟐+

𝐠 Ѳ

𝐋 = 0 (15)