Pengujian Hipotesa Page 1

PENAKSIRAN NILAI PARAMETER POPULASI

Setelah mengikuti perkuliahan minggu I, mahasiswa BOPR 5204 diharapkan mampu

untuk

(1) Menjelaskan penaksiran titik dan interval parameter populasi

(2) Mengetahui jenis penaksiran parameter populasi

(3) Menggunakan penaksiran nilai rata-rata dan proporsi yang sesuai dengan kasus

(4) Menghitung jumlah sampel yang dibutuhkan

A. PENAKSIRAN PARAMETER POPULASI

Keberadaan pedagang bensin jenis premium eceran sangat membantu

masyarakat yang membutuhkan pelayanan dengan cepat. Namun demikian,

karena tidak termasuk dalam jalur distribusi yang dikendalikan Pertamina

masyarakat juga mengeluhkan kualitas bensin yang dicampur atau volume

yang kurang. Menanggapi keluhan masyarakat tersebut, Lembaga Penelitian

Universitas bermaksud mengajukan konsep kepada pihak Pertamina dan

sebagai langkah awal perlu dilakukan penelitian tentang ketepatan

timbangan premium isi 1 liter yang dijual pedangang eceran di wilayah

Jakarta dengan menggunakan botol minuman.

Seorang mahasiswa ditugaskan mencari data telah berhasil melakukan

pengukuran ulang 10 botol isi 1 liter yang dibelinya dari 10 pedagang

berlainan seperti data pada tabel berikut,

Pedagang

Ke

Isi 1 botol (Liter)

Pedagang

Ke Isi 1 botol (Liter)

1 0.90 6 0.90

2 0.95 7 1.00

3 0.95 8 0.80

4 0.80 9 0.95

5 0.85 10 1.00

Mahasiswa yang baru lulus Business Statistics I menyampaikan hasil

temuannya sebagai berikut,

(1) Rata-rata Terukur (Mean) 0.82 liter

(2) Rata-Rata Lokasi (Median) 0.925 liter

Pengujian Hipotesa Page 2

(3) Jumlah frekeuensi terbanyak (Modus) 0,95 liter.

Statistik yang tepat untuk mengukur paramater rata-rata populasi adalah

nilai tengah/mean (akan dijelaskan kemudian) dan tentu saja jumlah sampel

10 pedagang sangat tidak mewakili populasi rata-rata isi premium eceran di

Wilayah Jakarta (akan dijelaskan kemudian).

Untuk memenuhi persyaratan jumlah sampel dilakukan pengambilan data

oleh 20 mahasiswa yang masing-masingnya mencari 10 pedagang berbeda

sehingga jumlah sampel menjadi 200 botol isi 1 liter. Keseluruhan data yang

berhasil disurvey mahasiswa menghasilkan nilai rata-rata yang tidak sama

(Tabel II)

Mahasiswa Isi rata-rata botol 1 liter

Mahasiswa Isi rata-rata botol 1 liter

1 0.90 11 0.90

2 0.95 12 0.85

3 0.95 13 0.82

4 0.80 14 0.85

5 0.85 15 0.80

6 0.82 16 0.90

7 0.90 17 0.85

8 0.85 18 0.83

9 0.90 19 0.84

10 0.82 20 0.80

Nilai rata-rata diatas akan membentuk distribusi sampel nilai rata-rata

seperti ditunjukkan pada Tabel III

Pertanyaan yang muncul kalau hanya temuan mahasiswa tersebut yang akan dijadikan kesimpulan adalah sebagai berikut, (1) Statistik apakah yang paling tepat digunakan untuk menentukan

rata-rata isi 1 liter yang dijual pedagang eceran (2) Apakah jumlah sampel 10 pedagang sudah cukup mewakili

populasi bensin premium 1 liter yang dijual pedangan eceran di wilayah Jakarta

Pengujian Hipotesa Page 3

Nilai Rata-rata Frekuensi

0.80 3

0.82 3

0.83 1

0.84 1

0.85 5

0.90 5

0.95 2

Jumlah 20

Dari distribusi sampel nilai rata-rata yang diambil dari 200 pedagang di

jakarta dapat diperkirakan taksiran nilai rata-rata isi premium botol 1 liter

yang dijual oleh pedagang di Jakarta (point estimation/ Penaksiran titik)

dengan menggunakan nilai rata-rata (mean) yaitu sebeser 0.86 liter.

Apabila distribusi sampel tersebut menghasilkan standar variansi 0.03, maka

dapat dilakukan penaksiran interval kepercayaan (confidence level) nilai

rata rata isi premiun botol 1 liter dengan memperhitungkan tingkat

kepercayaan (level of confidence) yang ditetapkan.

Dengan tingkat kepercayaan 90%, maka interval kepercayaan nilai rata-nilai

rata adalah 0.86 + 1.645 (0.03) atau antara 0.81 liter sampai dengan 0.91

liter. Dengan tingkat kepercayaan 95%, maka interval kepercayaan nilai

rata-rata adalah 0.86 + 1.960 (0.03) atau antara 0.80 liter sampai dengan

0.92 liter.

Penaksiran Titik (Point Estimation) adalah sebuah nilai yang

diperoleh dari sampel (statistik sampel) yang digunakan untuk

menduga nilai parameter populasi yang sesuai

Dari data nilai rata-rata yang diperoleh dari sampel, berapa taksiran nilai rata-rata volume botol 1 liter yang dijual pedagang eceran di Jakarta

Pengujian Hipotesa Page 4

Penaksiran interval kepercayaan (Confidence Interval) adalah

dugaan lebar interval parameter populasi yang diperoleh dari

sampel pada tingkat kepercayaan yang ditetapkan

Tingkat Kepercayaan (level oi Confidence) adalah persentase

dugaan selang yang memenuhi parameter yang diduga.

B. JENIS PENAKSIRAN PARAMETER

Penaksiran parameter populasi yang sering digunakan digunakan untuk

mendukung penelitian deskriptif terdiri dari,

1. Penaksiran nilai rata-rata ( µ ) populasi

• Penaksiran Nilai rata-rata populasi � � � �� � ∑���� � ∑���∑��

• Interval Kepercayaan dari nilai rata-rata populasi tergantung dari

besar sampel dan standar deviasi dari populasi, yaitu

a. Bila standar deviasi populasi ( σ ) diketahui berdasarkan

pengalaman atau penelitian terdahulu dengan tingkat

kepercayaan �1 � �� maka

�� � ��/� �√� � � � �� � ��/� �√�

b. Bila standar deviasi populasi tidak diketahui dan jumlah sampel

sama dengan atau lebih besar dari 30 ( n ≥ 30) dengan tingkat

kepercayaan �1 � �� maka

�� � ��/� �√� � � � �� � ��/� �√�

c. Bila standar deviasi populasi tidak diketahui dan jumlah sampel

sama dengan atau lebih besar dari 30 ( n < 30) dengan tingkat

kepercayaan �1 � �� maka

Pengujian Hipotesa Page 5

�� � ��/� �√� � � � �� � ��/� �√�

Untuk jumlah populasi yang terbatas (tertentu), maka interval

kepercayaan harus dikoreksi dengan besaran faktor FPC (Finite

Population Factor) yaitu ����� , sehingga menjadi

�� � ��� �√� � ! � �! � 1� � � � �� � ��� �√� � ! � �! � 1�

2. Penaksiran nilai proporsi ( p ) populasi

• Penaksiran proporsi populasi "# � $� • Penaksiran proporsi populasi untuk N besar atau p kecil

"# � ��/� "#�1 � "����� � " � "# � ��/� "#�1 � "#�

C. PENAKSIRAN RATA-RATA POPULASI JIKA STANDAR DEVIASI (σ) POPULASI

DIKETAHUI

1. Lihat exercises no 1 hal 297 (Lind/ Marchal/ Wathern)

Diketahui :

• Populasi normal • n = 49 • σ = 10 • ��= 55

Ditanyakan : Interval kepercayaan 99 % dari nilai rata-rata populasi

(� � 1 � 0.99 � 0.01 atau α/2 = 0.005) Jawab :

�� � ��/� �√� � � � �� � ��/� �√�

55 � 2.58 10√49 � � � 55 � 2.58 10√49

Pengujian Hipotesa Page 6

55 � 2.58 �1.428571� � � � 55 � 2.58 �1.428571� 55 � 3.68 � � � 55 � 3.68� 51.314 � � � 58.686

2. Lihat exercises no 5 hal 297 (lind/Marchal/Wathen)

Diketahui :

• Belanja perokok setiap minggu berdistribusi normal • n = 49 • σ = $ 5 • ��= $ 20

Ditanyakan :

a. Penaksiran rata-rata dari populasi belanja perokok setiap minggu ? Alasannya ?

b. Gunakan 95 % tingkat kepercayaan untuk menaksir interval kepercayaan belanja perokok setiap minggu ? (� � 1 � 0.95 � 0.05 atau α/2 = 0.025)

Jawab :

a. µ = $ 20 . NIlai rata-rata sampel merupakan pekasiran terbaik

untuk nilai rata-rata populasi

b. �� � ��/� 0√� � � � �� � ��/� 0√� 20 � 1.96 5√49 � � � 20 � 1.96 5√49

20 � 1.4 � � � 20 � 1.4 18.60 � � � 21.4

D. PENAKSIRAN RATA-RATA POPULASI JIKA STANDAR DEVIASI (σ) POPULASI

TIDAK DIKETAHUI

Lihat exercises no 9 hal 304 (Lind/ Marchal/ Wathern)

Diketahui :

• ��= 20 • n = 20 • S = 2

Pengujian Hipotesa Page 7

Ditanyakan :

a. Berapa rata-rata populasi ? Apa penaksiran terbaik untuk nilai rata-rata populasi

b. Mengapa harus menggunakan distribusi t ? Asumsi yang digunakan ? c. Untuk Tingkat kepercayaan 95%, berapa nilai t d. Hitung interval kepercayaan dari nilai rata-rata populasi e. Apakah cukup beralasan untuk menyimpulkan nilai rata rata populasi

21 telur ? 25 telur

Jawab :

a. Nilai rata-rata populasi belum diketahui. Penaksiran terbaik adalah 20

telur setiap bulan setiap ekor

b. Jumlah sampel yang digunakan lebih kecil dari 30 dengan sumsi

distribusi populasi normal atau mendekati normal

c. t = 2.093

d. �� � ��/� 1√� � � � �� � ��/� 1√� 20 � 2.093 2 2√203 � � � 20 � 2.093� 2√20� 20 � 2.093�0.4472� � � � 20 � 2.093�0.4472� 20 � 0.94 � � � 20 � 0.94 19.06 � � � 20.94

e. Nilai rata-rata 21 atau 25 berada diluat interval kepercayaan

E. PENAKSIRAN PROPORSI POPULASI

Lihat exercises no 15 hal 308 (Lind/ Marchal/ Wathern)

Diketahui :

• N = 100 • n = 80

Ditanyakan :

a. Berapa proporsi populasi ? b. Interval kepercayaan proporsi untuk tingkat kepercayaan 95% � � 1 � 0.95 � 0.05 c. Interpretasikan hasil yang diperoleh pada jawaban b

Jawab :

a. "# � 45�55 � 0.80

Pengujian Hipotesa Page 8

b. 0.80 – 1.96�5,45�5,�5��55 � " � 0.80 � 1.96�5.45 �5.�5��55

0.80 – 1.96�0.04� � " � 0.80 � 1.96�0,04� 0.80 – 1.96�0.04� � " � 0.80 � 1.96�0,04� 0.80 – 0.08 � " � 0.80 � 0.08 0.72 � " � 0.88 c. Proporsi konsumen yang menggunakan kartu kredit atau kartu debut

diperkirakan antara 72% sampai dengan 88%

F. FAKTOR KOREKSI UNTUK PENAKSIRAN PARAMETER POPULASI TERBATAS

Lihat exercises no 19 hal 310 (Lind/ Marchal/ Wathern)

Diketahui :

• N = 300 • n = 36

• �� � 35 • S = 5

Ditanyakan : Interval kepercayaan dari nilai rata-rata populasi untuk

tingkat kepercayaan 95% sehingga � � 1 � 0.95 � 0.05 Jawab :

35 � 1.96 5√36 300 � 36300 � 1 � � � 35 � 1.96 5√36 300 � 36300 � 1

35 � 2.032 �0.8333��0.939651� � � � 35 � 2.032 �0,8333��0.939651� 35 � 1.59 � � � 35 � 1.59 33.41 � � � 36.59

G. MENETAPKAN JUMLAH SAMPEL

Untuk melakukan penaksiran yang lebih teliti maka kesalahan penaksiran

dari parameter populasi sebenarnya akan semakin kecil. Hal tersbut

hanya dimungkinkan apabila jumlah sampel semakin besar. Dengan

demikian maka jumlah sampel yang harus diambil dipengaruhi oleh tiga

factor, yaitu

1. Interval kepercayaan yang diinginkan

2. Batas maksimum kesalahan yang dibolehkan (E)

3. Variansi populasi

Pengujian Hipotesa Page 9

1. JUMLAH SAMPEL UNTUK MENDUGA NILAI RATA-RATA APABILA DEVIASI

STANDAR POPULASI DIKETAHUI

Apabila E adalah batas maksimum kesalahan perkiraan nilai rata-rata,

maka Interval kepercayaan �� � ��/� 0√� � � � �� � ��/� 0√� dapat

dinyatakan dengan rumusan sebagai berikut �� � 8 � � � �� � 8 yang mana

8 � ��/� �√�

√� � �9:;0< � � � �9:/;< ��

Lihat Exercises no 23 hal 313.

Diketahui :

• � � 10 • E = 2

• 1 � � � 0.95 atau � � 0.05 Ditanyakan jumlah sampel yang dibutuhkan

Jawab :

� � �1.96�10�2 �� � � �9.8�� � 96.04 � 97

2. JUMLAH SAMPEL UNTUK MENDUGA PROPORSI

Apabila E adalah batas maksimum kesalahan yang diperkenankan bagi

pendugaan Interval kepercayaan proporsi, maka

"# � ��/� "#�1 � "����� � " � "# � ��/� "#�1 � "#�

Dapat diubah menjadi "# � 8 � " � "# � 8 yang mana

8 � =�/� "#�1 � "#��

Pengujian Hipotesa Page 10

8=�/� � "#�1 � "�����

� 8=�/��� � "#�1 � "#��

� � "#�1 � "#��=�/�8 �� Lihat Exercises no 26 hal 313.

Diketahui :

• " � 0.45 • E = 0.10

• 1 � � � 0.99 atau � � 0.005 Ditanyakan jumlah sampel yang dibutuhkan

Jawab :

� � 0.45 �1 � 0.45��2.580.10�� � � 0.45 �0.55��665.64� � � 164,75 � 165

REFERENSI

1. Lind, Douglas, William marchal and Samuel Wathern., Statistical

Techniques in Business and Economics, 14th Edition., Mc Graw Hill 2010

2. David C Howell., Statistical Methods for Psychology., Duxbury Press.,

Third Edition., 1992

3. Ronald E. Walpole., Pengantar Statistika., PT Gramedia., Edisi ketiga.,

Jakarta., 1988

4. Sugiarto.,dkk., Teknik Sampling., Penerbit PT Gramedia Pustaka Utama.,

Jakarta 2003