pendekatan model fuzzy goal programming dalam penetapan ...
Transcript of pendekatan model fuzzy goal programming dalam penetapan ...
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
PENDEKATAN MODEL FUZZY GOAL PROGRAMMING
DALAM PENETAPAN PEMBOBOTAN PRIORITAS DARI METODE ANALYTICAL HIERARCHY PROCESS (AHP)
SKRIPSI
RIDHA VERA HARTATI 060823024
PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2009
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
PENDEKATAN MODEL FUZZY GOAL PROGRAMMING
DALAM PENETAPAN PEMBOBOTAN PRIORITAS DARI METODE ANALYTICAL HIERARCHY PROCESS (AHP)
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
RIDHA VERA HARTATI 060823024
PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2009
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
PERSETUJUAN
Judul : PENDEKATAN MODEL FUZZY GOAL
PROGRAMMING DALAM PENETAPAN PEMBOBOTAN PRIORITAS DARI METODE ANALYTICAL HIERARCHY PROCESS (AHP)
Kategori : SKRIPSI Nama : RIDHA VERA HARTATI Nomor Induk Mahasiswa : 060823024 Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Diluluskan di Medan, Februari 2009 Komisi Pembimbing : Pembimbing 2 Pembimbing 1 Drs.Sawaluddin, M.IT Drs. Marwan Harahap, M.Eng NIP.132 206 398 NIP.130 422 437 Diketahui oleh : Departemen Matematika FMIPA USU Ketua, Dr. Saib Suwilo,M.Sc NIP. 131 796 149
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
PERNYATAAN
PENDEKATAN MODEL FUZZY GOAL PROGRAMMING DALAM PENETAPAN PEMBOBOTAN PRIORITAS DARI METODE ANALYTICAL
HIERARCHY PROCESS (AHP)
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya. Medan, Februari 2009 RIDHA VERA HARTATI 060823024
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT, dengan limpahan dan karunia-Nya kertas kajian ini berhasil diselesaikan dalam waktu yang telah ditetapkan.
Ucapan terima kasih saya sampaikan kepada Drs. Marwan Harahap, M.Eng dan Drs.Sawaluddin, M.IT selaku pembimbing pada penyelesaian skripsi ini yang telah memberikan panduan dan penuh kepercayaan kepada saya untuk menyempurnakan kajian ini. Panduan ringkas,padat dan professional telah diberikan kepada saya agar penulis dapat menyelesaikan tugas ini. Ucapan terima kasih juga ditujukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU Dr. Saib Suwilo, M.Sc. dan Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si, Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, semua dosen pada Departemen Matematika FMIPA USU, pegawai di FMIPA USU, dan rekan-rekan kuliah. Akhirnya, tidak terlupakan kepada kedua orang tua dan semua ahli keluarga dan rekan terdekat saya yang selama ini memberikan bantuan dan dorongan yang diperlukan. Semoga Allah SWT memberikan balasan yang layak.
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
Abstrak
Metode Proses Analisis Hirarkis (Analytical Hierarchy Process-AHP) adalah alat bantu sistem pendukung keputusan yang dikenal luas untuk penyelesaian problem pengambilan keputusan multikriteria. Metode ini pada prinsipnya mensintesa perbandingan “judgment” pengambil keputusan yang berpasangan pada setiap level hirarki keputusan. Sehingga masih diperlukan penetapan bobot prioritas relatif setiap elemen keputusan. Bobot ini merepresentasikan intensitas preferensi atas suatu elemen keputusan. Untuk mendapatkan estimasi pembobotannya,biasanya digunakan metode eigenvector dari Saaty. Telah banyak pendekatan lain dikembangkan dari metode “least-square”sampai linear programming. Tetapi pendekatan tersebut umumnya belum mempertimbangkan ketidakpastian yang bersifat fuzzy mengingat proses penetapan preferensi pada setiap elemen hirarki dari metode AHP ini pada hakekatnya selalu mengandung faktor “imprecise” dan “ambiguity” dari pengambil keputusan.
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
Abstract
The Analytical Hierarchy Process (AHP) is well known as one of the most powerful techniques for decision aid in modeling of multicriteria problems. The AHP is generally used to derive priorities based on judgment of the decision maker that is obtained by means of pairwise comparison. The most common technique for estimating relative priority weights is originally proposed by Saaty called the eigen vector method. Recently, a variety of alternative approaches ranging from the least square method to linear programming have been developed. However, the weights to be assigned to the decision elements on each hierarchy in the AHP method are imprecise in nature.
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
DAFTAR ISI
Halaman
Persetujuan ii Pernyataan iii Penghargaan iv Abstrak v Abstact vi Daftar Isi vii Daftar Tabel ix Daftar Gambar x Bab 1. Pendahuluan 1 1.1 Latar Belakang 1 1.2 Perumusan Masalah 3 1.3 Tujuan Penelitian 3 1.4 Kontribusi penelitian 3 1.5 Tinjauan Pustaka 3 1.6 Metode Penelitian 5 1.7 Jadwal Penelitian 6 Bab 2. Landasan Teori 7 2.1 Analytical Hirarchy Process (AHP) 7 2.1.1 Pengertian AHP 7 2.1.2 Prinsip Dasar AHP 8 2.1.3 Penghitungan Bobot Elemen dalam Metode AHP 11 2.2 Model Goal Programming 15 2.2.1 Konsep Dasar dan Unsur-unsur Goal Programming 16 2.2.2 Unsur-unsur Goal Programming 17 2.2.3 Model Keputusan Goal Programming 22 2.2.4 Formulasi Model Keputusan Goal Programming 23 2.3 Formulasi Model Keputusan Fuzzy Goal Programming 24 2.3.1 Model Fuzzy Goal Programming 24
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
2.3.2 Fungsi Keanggotaan Fuzzy 25 2.3.3 Model Fuzzy Goal Programming untuk estimasi
penetapan prioritas 26 2.4 Pengenalan Program QM for Windows 27
Bab 3. Pembahasan 31 3.1 Penggunaan Metode AHP dalam perhitungan matematis 31 3.1.1 Menentukan bobot pada tiap elemen 32 3.1.2 Mencari nilai bobot untuk masing-masing elemen 33 3.2 Penyelesaian Pembobotan dengan AHP 34 3.3 Penyelesaian Pembobotan dengan Goal Programming 36 3.4 Penyelesaian Pembobotan dengan Fuzzy Goal Programming 40 Bab 4. Kesimpulan dan Saran 47 4.1 Kesimpulan 47 4.2 Saran 48 Daftar Pustaka
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
DAFTAR TABEL
Halaman Tabel 2. 1 Skala Penilaian Perbandingan Berpasangan 10
Tabel 2 .2 Matriks Perbandingan Berpasangan 11
Tabel 2. 3 Matriks Perbandingan Berpasangan dengan nilai intensitas 12
Tabel 2. 4 Indeks Random (RI) 14
Tabel 2. 5 Jenis-jenis Kendala Tujuan 18
Tabel 2. 6 Tabel Awal Goal Programming 21
Tabel 3.1 Contoh Matriks Perbandingan Berkebalikan 32
Tabel 3. 2 Penyelesaian Matriks Perbandingan Berkebalikan 32
Tabel 3. 3 Matriks Perbandingan Berkebalikan 34
Tabel 3. 4 Penyelesaian Matrike Perbandingan Berkebalikan 34
Tabel 3. 5 Matriks Penetapan Bobot Pada Tiap Elemen 34
Tabel 3. 6 Tabel Awal Goal Programming 38
Tabel 3. 7 Penyelesaian Goal Programming 38
Tabel 3. 8 Hasil Akhir 38
Tabel 3. 9 Tabel Awal Fuzzy Goal Programming 44
Tabel 3.10 Penyelesaian Fuzzy Goal Programming 44
Tabel 3.11 Hasil Akhir 44
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1 Tampilan sementara (splash) dari program QM for Windows 28
Gambar 2.2 Tampilan Awal Program QM for Windows 28
Gambar 2.3 Pilihan modul yang tersedia pada program QM for Windows 29
Gambar 2.4 Baris menu (menu bar) sebelum dipilih modul tertentu 29
Gambar 2.5 Baris menu (menu bar) sesudah dipilih model tertentu 29
Gambar 2.6 Baris tool (toolbar) sebelum dipilih modul tertentu 29
Gambar 2.7 Baris tool (toolbar) sesudah dipilih modul tertentu 30
Gambar 2.8 Ruang Instruksi 30
Gambar 2.9 Baris utilitas (utility Bar – secara default
terletak dibagian bawah) 30
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Proses analisis kebijakan membutuhkan adanya kriteria sebelum memutuskan pilihan
dari berbagai alternatif yang ada. Kriteria menunjukkan definisi masalah dalam bentuk
yang konkret dan kadang-kadang dianggap sebagai sasaran yang akan dicapai. Setiap
orang, tidak harus pimpinan dapat membuat keputusan akan tetapi dampak keputusan
yang ditimbulkan berbeda-beda. Pada umumnya suatu keputusan dibuat dalam rangka
untuk memecahkan permasalahan atau persoalan ( problem solving), setiap keputusan
yang dibuat pasti ada tujuan yang akan dicapai. Adapun tujuan dari keputusan yang
dibuat adalah untuk memuaskan atau memenuhi target atau paling tidak mendekati
target yang telah ditentukan menurut skala prioritasnya masing-masing.
Dalam keadaan dimana seorang pengambil keputusan dihadapkan kepada
suatu persoalan yang mengandung beberapa tujuan di dalamnya, maka program linier
tidak dapat membantunya untuk memberikan pertimbangan yang rasional. Karena
program linier hanya terbatas pada analisis tujuan tunggal.Oleh karena itu, maka
diperlukan suatu bantuan program tujuan ganda yang dikenal sebagai goal
programming atau multiple objective programming yang merupakan modifikasi atau
variasi khusus dari program linier selain itu diperlukan metode analytical hierarchy
process(AHP) untuk menyelesaikan problem pengambilan keputusan multikriteria
(multicriteria decision making).
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
AHP dikembangkan oleh Saaty pada pertengahan tahun 1970 (Saaty 1977).
Pengembangannya mendasarkan pada kemampuan judgment (pertimbangan)manusia
untuk mengkonstruksi persepsi secara hirarkis dari suatu persoalan keputusan
multikriteria, juga untuk membuat perbandingan baik yang bersifat tangible (terukur)
atau intangible(tak terukur) dari suatu kriteria, atribut atau sifat dari masing-masing
elemen keputusan. Untuk bisa memperoleh penetapan bobot prioritas relatif dari
setiap elemen keputusan, pendekatan AHP perlu mensintesis judgment pada setiap
level hirarki keputusan. Kemudian pada setiap level tersebut, keseluruhan elemen
keputusan dikonversikan menjadi keputusan tunggal dimana terjadi hubungan
ketergantungan antar elemennya. Karenanya penetapan estimasi bobot prioritas relatif
elemen keputusan pada setiap level hirarki menjadi langkah yang terpenting dan
menentukan dalam metode AHP.
Umumnya saat pengambil keputusan menetapkan pembobotan relatif antar
elemen keputusan dalam metode AHP dilakukan dalam evaluasi lingkungan
keputusan yang samar dan subyektif. Misalnya saat harus menetapkan intensitas
pembobotan kualitatif kriteria seperti ”sama” penting, ”cukup” penting, ”lebih”
penting dan ”sangat ” penting. Dalam kondisi seperti itu tampaknya diperlukan suatu
model keputusan yang mempertimbangkan fuzzyness (ketidakpastian) untuk
memungkinkan menampung faktor imprecise (tidak jelas) dalam proses penetapan
prioritas kriteria.
Penggunaan goal programming sendiri untuk menyelesaikan problem ini
memerlukan penetapan tingkat aspirasi subyektif untuk mencapai suatu goal.
Karenanya model dalam penelitian ini menggunakan konsep fuzzy hanya pada
penetapan tingkat pencapaian suatu goal yang menjadi aspirasi pengambil keputusan.
Penetapan preferensi berdasarkan judgment manusia untuk memberikan pembobotan,
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
level aspirasi dan prioritas goal pada suatu elemen keputusan sangat berkaitan dengan
konsep fuzzy.
Dalam situasi keputusan seperti itu, validitas pendekatan goal programming
untuk estimasi pembobotan relatif pada metode AHP dapat ditingkatkan kualitasnya
dengan mengembangkannya menjadi tingkat model fuzzy goal programming. Maka
penulis berkeinginan untuk menguraikan penyelesaian model fuzzy goal programming
dalam penetapan pembobotan prioritas dari metode AHP.
1.2 Perumusan Masalah
Dari latar belakang masalah di atas maka perumusan masalahnya yaitu : menguraikan
penyelesaian untuk model fuzzy goal programming dalam penetapan pembobotan
prioritas dari metode AHP dengan menggunakan software QM for Windows version
2.0.
1.3 Tujuan Penelitian
Bertujuan untuk menerapkan suatu konsep dalam penetapan bobot prioritas dari
metode AHP kemudian mengembangkannya menjadi model goal programming dan
fuzzy goal programming.
1.4 Kontribusi Penelitian
Mempermudah dalam penetapan bobot prioritas dengan model fuzzy goal
programming. Bermanfaat bagi pengambil keputusan (decision maker) dalam
pengambilan keputusan multikriteria (multicriteria decision making).
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
Tinjauan Pustaka
Metode AHP menjelaskan tentang pemodelan permasalahan secara bertingkat yang
terdiri dari kriteria dan alternatif. [5]
Penggunaan metode AHP untuk menyelesaikan masalah multiobjektif dan
multikriteria berdasarkan perbandingan preferensi dari setiap elemen dalam hirarki.[7]
Penggunaan metode AHP dalam menganalisa faktor-faktor yang
mempengaruhi pemilihan moda ke kampus.[8] Ditinjau dari berbagai faktor, alternatif
jalan kaki dari pondokan merupakan alternatif terbaik (33,2%). Sedangkan carpool
(16%) sedikit lebih rendah daripada penggunaan mobil pribadi (18%). Angkutan
kampus antar jemput justru lebih rendah daripada carpool (12,4%).
Analisis pemilihan mitra LSM dan optimasi budgeting dengan menggunakan
metode AHP dan goal programming. [1] Hasil analisa dengan menggunakan metode
AHP yang diintegrasikan dengan goal programming diperoleh suatu model keputusan
multikriteria. Digunakan untuk menyelesaikan problema dan optimasi dalam memilih
mitra yang paling baik untuk diajak bekerja sama.
Masalah keputusan multikriteria dengan tujuan-tujuan yang saling terbentur
dan tidak dapat dibandingkan diselesaikan dengan model Goal Programming. [3]
Gambaran umum dan pengetahuan dasar yang praktis tentang berbagai model
program linier dan variasinya. [4] Sebagai teknik-teknik riset operasi yang dapat
digunakan dalam penelitian, pengembangan, dan perumusan perencanaan program
serta proyek pembangunan yang dihadapi dalam proses pengambilan keputusan.
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
Teori himpunan fuzzy dan notasi fuzzy.[9] Misalkan suatu himpunan fuzzy F
didalam semesta wacana U dikarakteristikkan dengan fungsi keanggotaan Fµ yang
bernilai dalam interval [0,1] atau Fµ : U [0,1].
Himpunan fuzzy dan fuzzy mathematical programming. [2] Adapun model
fuzzy linier programming untuk kasus maksimisasi yaitu cTx ≥~ z, Ax≤~ b x≥0. Dan
untuk kasus minimisasi yaitu cTx≤~ z, Ax ≥~ b x≥0.
Pendekatan fuzzy AHP dan fuzzy MCDM untuk pengalokasian fasilitas. Fuzzy
AHP diterapkan untuk mendefinisikan bobot kriteria keputusan dari setiap evaluator.
Fuzzy MCDM diterapkan untuk mensintesa keputusan kolektif. [6]
Panduan Program Aplikasi dengan menggunakan Software QM for Windows
versi 2.0 dalam menyelesaikan persoalan model goal programming. [10]
1.5 Metode Penelitian
Secara umum, penelitian dilakukan dengan beberapa tahapan, yaitu:
1. Penetapan pembobotan prioritas dengan metode AHP.
2. Menguraikan masalah estimasi pembobotan relatif pada AHP untuk suatu level
hirarki yang dinyatakan dalam bentuk Goal Programming.
3. Pengembangan model Goal Programming untuk estimasi pembobotan prioritas
relatif dari metode AHP menjadi model Fuzzy Goal Programming.
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Analytical Hierarchy Process (AHP)
Metode Analytical Hierarchy Process (AHP) merupakan salah satu metode
pengambilan keputusan yang menggunakan faktor-faktor logika,instuisi,
pengalaman,pengetahuan,emosi dan rasa untuk dioptimalisasikan dalam suatu proses
yang sistematis. Metode AHP ini mulai dikembangkan oleh Thomas L. Saaty, seorang
ahli matematika yang bekerja pada Universitas of Pittsburg di Amerika Serikat, pada
awal tahun 1970-an.
Pada perkembangannya, AHP dapat memecahkan masalah kompleks atau
tidak berkerangka dengan aspek atau kriteria yang cukup banyak. Kompleksitas ini
disebabkan oleh struktur masalah yang belum jelas, ketidakpastian persepsi
pengambilan keputusan, serta ketidakpastian terjadinya atau bahkan tidak ada sama
sekali data statistik yang akurat. Adakalanya timbul masalah keputusan yang
dirasakan dan diamati perlu diambil secepatnya, tetapi variasinya rumit sehingga
datanya tidak mungkin dapat dicatat secara numerik, hanya secara kualitatif saja yang
dapat diukur, yaitu berdasarkan persepsi, pengalaman, dan intuisi. Namun tidak
menutup kemungkinan bahwa model-model lainnya ikut dipertimbangkan pada saat
proses pengambilan keputusan dengan pendekatan AHP, khususnya dalam memahami
para pengambil keputusan individual pada saat proses penerapan pendekatan ini.
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
AHP mempunyai landasan aksiomatik yang terdiri dari :
1. Resiprocal Comparison, yang mengandung arti bahwa matriks perbandingan
berpasangan yang terbentuk harus bersifat berkebalikan. Misalnya A adalah k kali
lebih penting daripada B maka B adalah 1/k kali lebih penting dari A.
2. Homogenity, yang mengandung arti kesamaan dalam melakukan perbandingan.
Misalnya, tidak dimungkinkan membandingkan jeruk dengan bola tenis dalam hal
rasa, akan tetapi lebih relevan jika membandingkan dalam hal berat.
3. Dependence, yang berarti setiap jenjang (level) mempunyai kaitan (complete
hierarchy) walaupun mungkin saja terjadi hubungan yang tidak sempurna
(incomplete hierarchy).
4. Expectation, yang artinya menonjolkan penilaian yang bersifat ekspektasi dan
preferensi dari pengambilan keputusan. Penilaian dapat merupakan data kuantitatif
maupun yang bersifat kualitatif.
2.1.1 Prinsip Dasar AHP
Dalam menyelesaikan persoalan dengan metode AHP ada beberapa prinsip dasar
yang harus dipahami antara lain :
1. Decomposition
Pengertian decomposition adalah memecahkan atau membagi problema yang utuh
menjadi unsur-unsurnya ke dalam bentuk hirarki proses pengambilan keputusan,
dimana setiap unsur atau elemen saling berhubungan. Untuk mendapatkan hasil
yang akurat, pemecahan dilakukan terhadap unsur-unsur sampai tidak mungkin
dilakukan pemecahan lebih lanjut, sehingga didapatkan beberapa tingkatan dari
persoalan yang hendak dipecahkan. Struktur hirarki keputusan tersebut dapat
dikategorikan sebagai complete dan incomplete. Suatu hirarki keputusan disebut
complete jika semua elemen pada suatu tingkat memiliki hubungan terhadap
semua elemen yang ada pada tingkat berikutnya,sementara hirarki keputusan
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
incomplete kebalikan dari hirarki yang complete.Bentuk struktur dekomposisi
yakni :
• Tingkat pertama : Tujuan keputusan (Goal)
• Tingkat kedua : Kriteria-kriteria
• Tingkat ketiga : Alternatif-alternatif
Gambar 2.1 Struktur Hirarki
2. Comparative Judgment
Comparative Judgment dilakukan dengan penilaian tentang kepentingan relatif dua
elemen pada suatu tingkat tertentu dalam kaitannya dengan tingkatan diatasnya.
Penilaian ini merupakan inti dari AHP karena akan berpengaruh terhadap urutan
prioritas dari elemen-elemennya. Hasil dari penilaian ini lebih mudah disajikan
dalam bentuk matriks pairwise comparisons yaitu matriks perbandingan
berpasangan memuat tingkat preferensi beberapa alternatif untuk tiap kriteria .
Skala prefrensi yang digunakan yaitu skala 1 yang menunjukkan tingkat yang
Goal
Kriteria I Kriteria II Kriteria III Kriteria N
2
1 2
1 1 2 1 2 M M M M
Alternatif
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
paling rendah (equal importance) sampai dengan skala 9 yang menunjukkan
tingkatan yang paling tinggi (extreme importance).
3. Synthesis of Priority
Synthesis of Priority dilakukan dengan menggunakan eigen vector method untuk
mendapatkan bobot relatif bagi unsur-unsur pengambilan keputusan.
4. Logical Consitency
Logical Consitency merupakan karakteristik penting AHP. Hal ini dicapai
dengan mengagresikan seluruh eigen vektor yang diperoleh dari berbagai tingkatan
hirarki dan selanjutnya diperoleh suatu vektor composite tertimbang yang
menghasilkan urutan pengambilan keputusan.
Secara naluriah, manusia dapat mengestimasi besaran sederhana melalui
inderanya. Proses yang paling mudah adalah membandingkan dua hal dengan
keakuratan perbandingan tersebut dapat dipertanggungjawabkan. Penetapan skala
kuantitatif 1 sampai 9 untuk menilai secara perbandingan tingkat kepentingan suatu
elemen dengan elemen lain.( Saaty,Thomas L. ,and Luis G.Vargas, 1994, The Analytical
Hierarchy Process vol.VII).
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
Tabel 2.1 Skala Penilaian Perbandingan Berpasangan
Identitas
Kepentingan
Keterangan Penjelasan
1 Kedua elemen sama
pentingnya
Dua elemen mempunyai pengaruh
yang sama besar terhadap tujuan
3 Elemen baris sedikit lebih
penting daripada elemen
kolom
Pengalaman dan penilaian sedikit
menyokong suatu elemen dibanding
elemen lainnya.
5 Elemen baris lebih penting
daripada elemen kolom
Pengalaman dan penilaian sangat kuat
menyokong suatu elemen dibanding
elemen lainnya.
7 Elemen baris sangat lebih
penting daripada elemen
kolom
Satu elemen yang kuat disokong dan
dominannya telah terlihat dalam
praktek.
9 Elemen baris mutlak lebih
penting daripada elemen
kolom
Bukti yang mendukung elemen yang
satu terhadap elemen lain memiliki
tingkat penegasan tertinggi ysng
mungkin menguatkan.
Jika suatu aktivitas aij mendapat suatu angka bila dibandingkan
dengan aktivitas aij maka aij mempunyai nilai kebalikannya bila
dibandingkan dengan aij (aij = 1/ aij )
2.1.2 Penghitungan Bobot Elemen Dalam Metode AHP
Pada dasarnya formulasi pada model AHP dilakukan dengan menggunakan suatu
matriks. Misalnya dalam suatu subsistem operasi terdapat n elemen operasi
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
A1,A2,...,An maka hasil perbandingan secara berpasangan elemen-elemen operasi
tersebut akan membentuk matriks perbandingan. Perbandingan berpasangan dimulai
dari hirarki yang paling tinggi, dengan suatu kriteria digunakan sebagai dasar
pembuatan perbandingan. Selanjutnya perhatikan elemen-elemen yang akan
dibandingkan pada tabel 2.2 berikut ini :
Tabel 2.2 Matriks Perbandingan Berpasangan
A1 A2 ... An
A1 11 / ww 21 / ww ... nww /1
A2 12 / ww 22 / ww ... nww /2
. . . . .
. . . . .
. . . . .
An 1/ wwn 2/ wwn ... nn ww /
Contoh matriks yang diperlihatkan dalam tabel 2.2 adalah sebuah matriks A berukuran
(nxn) merupakan matriks perbandingan berpasangan. Dan diasumsikan terdapat n
elemen yaitu nwww ,...,, 21 yang akan dinilai secara perbandingan. Nilai (judgment)
perbandingan secara berpasangan antara ( ji ww , ) dapat direpresentasikan seperti
matriks pada tabel 2.2.
njiuntukaww
ijj
i ,...,2,1, == (1)
maka akan diperoleh hubungan persamaan berikut :
0. =− ijij wwa (2)
dimana :
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
iw dan jw = variabel keputusan untuk pembobotan relatif dari setiap elemen
keputusan 1 dan j yang terkait pada suatu level hirarki tertentu.
ija = elemen-elemen yang terdapat dalam matriks dengan i,j = 1,2...,n
indeks Ω=(1,2),(1,3),...,(1,n),(2,3),...(2,n),...,(n-1,n)sebagai himpunan perbandingan
judgment yang ditetapkan secara berpasangan oleh pengambil keputusan.
(1,j) =Setiap pasangan elemen keputusan yang menyatakan perbandingan
preferensi elemen keputusan Ai dengan elemen keputusan Aj.
Dari persamaan (1) bisa diperoleh hubungan berikut ini :
1. =
i
jij w
wa (3)
atau untuk keseluruhan elemen keputusan ,...,2,1 n=ϕ akan didapat :
nww
an
i i
jij =
∑=1
. (4)
dituliskan dalam bentuk persamaan lain sebagai :
ijij wnwa .. =∑ (5)
Dalam hal ini matriks perbandingan adalah matriks A dengan unsur-unsurnya adalah
aij dengan i,j = 1,2,...,n.Unsur-unsur matriks tersebut diperoleh dengan
membandingkan satu elemen operasi terhadap elemen operasi lainnya untuk tingkat
hirarki yang sama. Matriks ini dikenal dengan sebutan Pairwise Comparison Judgment
Matrix (PCJM).
Bila vektor pembobotan elemen-elemen operasi dinyatakan sebagai vektor W
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
→
W , dengan →
W = ( nwww ,...,, 21 ),maka intensitas kepentingan elemen operasi A1
terhadap A2 yakni ji ww / yang sama dengan a12 sehingga matriks perbandingan
dapat dinyatakan sebagai berikut :
Tabel 2.3 Matriks Perbandingan Berpasangan dengan Nilai Intensitas
A1 A2 ... An
A1 11 / ww 21 / ww ... nww /1
A2 12 / ww 22 / ww ... nww /2
. . . . .
. . . . .
. . . . .
An 1/ wwn 2/ wwn ... nn ww /
Bila matriks ini dikalikan dengan vektor kolom →
W = ( nwww ,..., 21 ) maka diperoleh
hubungan :
A→
W = n→
W (6)
Dalam teori matriks, formula tersebut menyatakan bahwa : →
W = eigen vektor dari matriks A
n = eigen value
Bila ditulis secara lengkap maka persamaan tersebut akan terlihat seperti rumus
berikut ini :
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
=
nn
n
nnn
n
n
w
ww
n
w
ww
ww
ww
ww
ww
ww
ww
ww
ww
ww
2
1
2
1
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
.. (7)
Variabel n pada persamaan diatas dapat digantikan secara umum dengan sebuah
vektor λ sebagai berikut :
A→
W = λ→
W (8)
dimana :
λ i = eigen value dengan λ = ( nλλλ ,..., 21 )
vektor →
W = eigen vektor
Karena matriks A adalah suatu matriks yang resiprokal dengan nilai aij = jia
1 untuk
semua i maka :
∑=
=n
ii n
1λ (9)
dimana:
λ i = eigen value dengan λ = ( nλλλ ,..., 21 ) untuk i = 1,2...,n
Apabila matriks A adalah matriks yang konsisten maka semua eigen value bernilai nol
kecuali satu yang bernilai sama dengan n. Bila matriks A adalah matriks yang tidak
konsisten, variasi kecil atas aij akan membuat nilai eigen value terbesar, λ maks dapat
dicari dengan persamaan berikut :
A→
W = λ maks →
W atau [ A -λ maks I ] = 0 (10)
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
dimana :
I = matriks identitas
λ maks = nilai eigen value terbesar
Nilai vektor bobot →
W dapat dicari dengan mensubsitusikan nilai λ maks ke dalam
persamaan tersebut.Dalam prakteknya, konsistensi tidak mungkin didapat. Nilai aij
akan menyimpang dari rasio ji ww / dan dengan demikian persamaan diatas tidak
dapat dipenuhi. Deviasi maksimum dari n merupakan suatu parameter Consistency
Index (CI) sebagai berikut :
1−−
=n
nCI maksλ
(11)
dimana :
CI = Consistency Index (Indeks Konsistensi)
λ maks = nilai eigen value terbesar
n = ordo matriks
Nilai CI tidak akan berarti bila tidak terdapat acuan untuk menyatakan apakah
CI menunjukkan suatu matriks yang konsisten. Thomas L. Saaty memberikan acuan
dengan melakukan perbandingan acak terhadap 500 buah sampel.
Thomas L.Saaty berpendapat bahwa suatu matriks yang dihasilkan dari perbandingan
yang dilakukan secara acak merupakan suatu matriks yang mutlak tak konsisten. Dari
matriks acak tersebut didapat pula nilai Consistensy Index, yang disebut dengan
Random Index (RI).
Indeks konsistensi matriks random dengan skala (1-9) beserta kebalikannya
disebut sebagai indeks random (Random Index) RI. Berdasarkan perhitungan Thomas
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
L. Saaty dengan menggunakan 500 sampel diperoleh nilai rata-rata indeks random
(RI) untuk setiap ordo matriks tertentu sebagai berikut :
Tabel 2.4 Indeks Random (RI)
Ordo
Matriks
RI Ordo
Matriks
RI Ordo
Matriks
RI
1
2
3
4
5
0
0
0,58
0,9
1,12
6
7
8
9
10
1,24
1,32
1,41
1,45
1,49
11
12
13
14
15
1,51
1,48
1,56
1,57
1,59
(Sumber : Saaty,Thomas L. ,and Luis G.Vargas, 1994, The Analyitcal Hierarchy Process vol.VII : “Decision Naking in Economic, Political, Social, Technological Environments, 1st Edition,RWS Publication, Pittsburgh,p.9)
2.2. Model Goal Programming
Program tujuan ganda yang dalam bahasa asingnya dikenal sebagai Goal
Programming atau multiple objective programming merupakan modifikasi atau variasi
khusus dari program linier yang sudah kita kenal. Analisis Goal Programming
bertujuan untuk meminimumkan jarak antara atau deviasi terhadap tujuan, target atau
sasaran yang telah ditetapkan dengan usaha yang dapat ditempuh untuk mencapai
target atau tujuan tersebut secara memuaskan sesuai dengan syarat ikatan yang ada,
yang membatasinya berupa sumber daya yang tersedia, teknologi yang ada, kendala
tujuan, dan sebagainya.
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
Dalam keadaan dimana seseorang pengambil keputusan dihadapkan kepada
suatu persoalan yang mengandung beberapa tujuan didalamnya, maka program linier
tidak dapat membantunya untuk memberikan pertimbangan yang rasional. Karena
program linier hanya terbatas pada analisis tujuan tunggal (single objective function).
Oleh karena itu, maka persoalan tersebut memerlukan bantuan program tujuan ganda.
Dunia nyata yang kita hadapi ini adalah dunia yang penuh dengan berbagai tujuan
sebagai target dan sasaran. Oleh karena itu maka Goal Programming merupakan alat
analisis yang tepat untuk itu. Goal Programming berusaha untuk meminimumkan
deviasi berbagai tujuan, sasaran, atau target yang telah ditetapkan.
Dengan analisis Goal Programming maka kita mencoba untuk memuaskan
atau memenuhi target paling tidak mendekati target yang telah kita tentukan menurut
skala prioritasnya masing-masing.
Charnes dan Cooper yang mengembangkan Goal Programming sebagai
pendekatan untuk menyelesaikan masalah yang infeasibility (tidak layak) pada
program linier yang disebabkan oleh tujuan yang bertentangan. Ijiri dan Jaaskelainen
kemudian melanjutkan dan melengkapinya sehingga dapat dipakai secara operasional.
Lee mengkontribusikan menjadi ke tingkat yang lebih baik cara kerjanya,prestasi dari
Goal Programming. Pada bagian P1 selalu lebih besar dari bagian prioritas ranking
yang lebih rendah P2. Ignizio membentuk dan mengaplikasikan bilangan bulat yang
tepat pada algoritma Goal Programming dan juga mampu bekerja dalam Program Non
Linier.
Goal Programming berusaha untuk meminimumkan deviasi atau simpangan
diantara berbagai tujuan atau sasaran yang telah ditetapkan sebagai targetnya, artinya
nilai ruas kiri suatu persamaan kendala sebisa mungkin mendekati nilai ruas
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
kanannya.Dalam Goal Programming terdapat dua tipe kendala yaitu kendala teknologi
(technological constraint) yang merupakan permasalahan kapasitas sumber dan
kendala lainnya yang bukan terhadap tujuan, kendala tujuan (goal constraint) yang
mewakili atau menggambarkan target dari objek-objek dalam urutan prioritas.
2.2.1 Konsep Dasar dan Unsur-unsur Goal Programming
Agar memahami dengan baik bidang yang dipelajari, pembaca selalu harus mengerti
istilah-istilah dan lambang-lambang khusus yang digunakan dalam bidang studi itu.
Berikut ini adalah definisi dari beberapa istilah dan lambang yang biasa digunakan
dalam Goal Programming.
Decision variables (Variable keputusan ) merupakan seperangkat variable yang tidak
diketahui (dalam model Linier Goal Programming dilambangkan dengan xj, dimana j
=1,2,...,n) yang akan dicari nilainya.
Right hand side values atau RHS (Nilai sisi kanan ) merupakan nilai-nilai yang
biasanya menunjukkan ketersediaan sumber daya (dilambangkan dengan bi) yang
akan ditentukan kekurangan atau kelebihan penggunaannya.
Goal (tujuan) merupakan keinginan untuk meminimumkan angka penyimpangan dari
suatu nilai RHS pada suatu goal constraint tertentu .
Goal Constraint (kendala tujuan) merupakan sinonim dari istilah goal equation, yakni
suatu tujuan yang diekspresikan dalam persamaan matematika yang memasukkan
variabel simpangan.
Preemtive priority factor merupakan suatu sistem urutan yang dilambangkan dengan
Pk, dimana k = 1,2,...,k dan k menunjukkan banyaknya tujuan dalam model) yang
memungkinkan tujuan-tujuan disusun secara ordinal dalam model Linier Goal
Programming.
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
Sistem urutan itu menempatkan tujuan-tujuan dalam susunan dengan hubungan
sebagai berikut :
P1> P2 >>>Pk
P1 merupakan tujuan yang paling penting
P2 merupakan tujuan yang kurang penting dan seterusnya
Deviational variables (variabel simpangan) merupakan variabel-variabel yang
menunjukkan kemungkinan penyimpangan negatif dari suatu nilai RHS kendala
tujuan (dalam model Linier Goal Programming dilambangkan dengan −id , dimana i =
1,2,...,m dan m adalah banyaknya kendala tujuan dalam model) atau penyimpangan
positif dari suatu nilai RHS (dilambangkan dengan +id ). Variabel-variabel ini serupa
dengan slack variable dalam Linier Programming.
Differential weight (bobot) merupakan timbangan matematika yang diekspresikan
dengan angka kardinal (dilambangkan dengan wki dimana k = 1,2,...,k; i = 1,2,...,m)
dan digunakan untuk membedakan variabel simpangan i didalam suatu tingkat
prioritas k.
Technological coefficient (koefisien teknologi) merupakan nilai-nilai numerik
(dilambangkan dengan aij) yang menunjukkan penggunaan nilai bi per unit untuk
menciptakan xj.
2.2.2 Unsur-unsur Goal Programming
Setiap model Linier Goal Programming paling sedikit terdiri dari tiga komponen,
yaitu : sebuah fungsi tujuan, kendala-kendala tujuan, dan kendala non negatif.
1. Fungsi Tujuan
Ada tiga jenis fungsi tujuan dalam Linier Goal Programming yaitu:
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
1. Minimumkan ∑=
+− +=m
iii ddZ
1
Fungsi tujuan yang pertama digunakan jika variabel simpangan dalam suatu masalah
tidak dibedakan menurut prioritas atau bobot.
2. Minimumkan ( ) KkuntukddPZ ii
m
ik ...,2,1
1=+= +−
=∑
Fungsi tujuan yang kedua digunakan dalam suatu masalah dimana urutan tujuan
diperlukan, tetapi variabel simapangan di dalam setiap tingkat prioritas memiliki
kepentingan yang sama.
3. Minimumkan ( ) KkuntukddPwZ ii
m
ikki ...,2,1
1=+= +−
=∑
Dalam fungsi tujuan ketiga, tujuan-tujuan diurutkan dan variabel simpangan pada
setiap tingkat prioritas dibedakan dengan menggunakan bobot yang berlainan wki.
Jadi, fungsi tujuan yang digunakan akan tergantung pada situasi masalahnya.Perlu
diperhatikan bahwa dalam model Linier Goal Programming tidak ditemukan variabel
keputusan pada fungsi tujuan.
Penulis masih mencari, seperti yang dilakukan model Linier Programming, nilai
xj yang tidak diketahui, tetapi akan melakukannya secara tidak langsung melalui
minimisasi simpangan negatif dan positif dari nilai RHS kendala tujuan. Linier
Programming mencari nilai solusi xj secara langsung melalui minimisasi
penyimpangan-penyimpangan dari nilai RHSnya.
2. Kendala Tujuan
Ada enam jenis kendala tujuan yang berlainan. Maksud setiap jenis kendala itu
ditentukan oleh hubungannya dengan fungsi tujuan.
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
Tabel 2.5 Jenis-jenis Kendala Tujuan
Kendala Tujuan Variabel
Simpangan
Dalam
Fungsi
Tujuan
Kemungkinan
Simpangan
Penggunaan Nilai
RHS yang
diinginkan
iijij bdxa =+ − −id Negatif = bi
iijij bdxa =− + +id Positif = bi
iiijij bddxa =−+ +−
−id Negatif dan positif bi atau lebih
iiijij bddxa =−+ +− −id Negatif dan positif bi atau kurang
iiijij bddxa =−+ +− −id dan +
id Negatif dan positif = bi
iijij bdxa =− + +id (artf.) Tidak ada Pas = bi
Terlihat bahwa setiap jenis kendala tujuan harus punya satu atau dua variabel
simpangan yang ditempatkan pada fungsi tujuan. Dimungkinkan adanya kendala-
kendala yang tidak memiliki variabel simpangan. Kendala-kendala ini sama seperti
kendala-kendala persamaan linier. Persamaan pertama pada tabel 2.5 maknanya
serupa dengan kendala pertidaksamaan ≤ dalam masalah program linier maksimisasi.
Persamaan kedua maknanya serupa dengan kendala pertidaksamaan ≥ pada masalah
program linier minimisasi.
Persamaan ketiga, keempat dan kelima semuanya memperbolehkan
penyimpangan dua arah, tetapi persamaan kelima mencari penggunaan sumber daya
yang diinginkan sama dengan bi.
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
Ini serupa dengan kendala persamaan dalam Linier Programming, tetapi tidak
menempel pada solusi karena dimungkinkan adanya penyimpangan negatif dan
positif. Jika kendala persamaan dianggap perlu dalam perumusan model Linier Goal
Programming, ia dapat dimasukkan dengan menempatkan sebuah artificial variabel +id , seperti pada persamaan keenam. Persamaan ketiga dan keempat memperbolehkan
adanya penyimpangan positif dan negatif dari nilai RHSnya. Dalam kendala Linier
Programming tak ada pembanding untuk persamaan ketiga dan keempat.
3. Kendala Non Negatif
Seperti dalam Linier Programming, variabel-variabel model Linier Programming
biasanya bernilai lebih besar atau sama dengan nol. Semua model Linier Goal
Programming terdiri dari variabel simpangan dan variabel keputusan, sehingga
pernyataan non negatif dilambangkan sebagai xj, −id , +
id ≥ 0
2.2.3 Kendala Struktural
Disamping ketiga komponen yang telah disebutkan itu, dalam model Linier Goal
Programming kadang-kadang terdapat komponen yang lain, yaitu, kendala struktural
artinya kendala-kendala lingkungan yang tidak berhubungan langsung dengan tujuan-
tujuan masalah yang dipelajari. Variabel simpangan tidak dimasukkan dalam kendala
ini, karena itu, kendala ini tidak diikut sertakan dalam fungsi tujuan.
Minimumkan ( )∑=
−+ +=m
iiii ddWZ
1
= ∑=
−−++ +m
iiiii dWdW
1
Syarat ikatan :
(Kendala Tujuan) iiij
m
iij bddxa =−+ +−
=∑
1
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
Untuk i = 1,2,...,m
Kendala Technologi ∑=
≥≤n
jkjkj catauxg
1
Untuk k = 1,2,...,p
j = 1,2,...,n
Dan xj, −id , +
id ≥ 0
−id + +
id = 0
dimana : +id dan −
id : jumlah unit deviasi yang kekurangan (-) atau kelebihan (+)
terhadap tujuan ( bi) −+
ii WdanW : timbangan atau bobot yang diberikan terhadap suatu unit
deviasi yang kekurangan atau kelebihan terhadap tujuan ( bi)
aij : koefisien technologi fungsi kendala tujuan, yaitu yang
berhubungan dengan tujuan peubah pengambilan keputusan
(xj)
xj : peubah pengambilan keputusan
bi : tujuan atau target yang ingin dicapai
gkj : koefisien teknologi fungsi kendala biasa
ck : jumlah sumber daya k yang tersedia
Model tersebut merupakan persoalan pengoptimuman untuk meminimumkan
jumlah agregat dari semua deviasi positif dan negatif yang individual dari tujuan yang
telah ditetapkan.Dalam perumusan Goal Programming dapat dimasukkan satu tujuan
atau lebih yang langsung berhubungan dengan fungsi objektif dalam bentuk variabel
deviasi. Algoritma simpleks menjamin persyaratan non negatifitas.
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
Berhubung tidak dapat mencapai deviasi plus dan deviasi minus dari tujuan
atau target yang ditetapkan secara sekaligus atau simultan, maka salah satu dari
variabel atau kedua-duanya akan menjadi nol (0),yang berarti target terpenuhi dengan
sangat memuaskan dan tepat.
Tabel 2.6 Tabel Awal Goal Programming
1 2 3 4 5
1
2
3
Baris 1 : Variabel keputusan Xj dan variabel deviasi −1d
Kolom 5 : Nilai sebelah kanan
Kolom 3 : Koefisien variabel keputusan aij
Kolom 4 : Matriks identitas menunjukkan pemasukan variabel deviasi
negatif −1d
x X1 X2 . . . Xk … Xn d1 … d1 … dn Value
WiPi Cb 0 0 ... 0 … 0 w1 … w1 … wn iibw∑
W1P1 +1d a11 a12 … a1k … a1n 1 … 0 … 0 b1
W2P2 +2d a21 a22 …. a2k … a2n 0 … 0 … 0 b2
... ... …………………………………………………… …
W1P1 +1d al1 al2 … alk … aln 0 … 1 … 0 b1
... ... …………………………………………….. …
WnPn +nd an1 an2 … ank … an 0 … 0 … 1 bn
Zj - Cj
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
Kolom 1 : Faktor prioritas Pi dan bobot Wi untuk setiap variabel deviasi
positif (yakni variabel basis) dan memasukkan variabel deviasi
artificial seperti ditampilkan dalam kolom 2.
Kolom 2 : Nilai total deviasi absolut, yang mewakili jumlah total deviasi
dari semua tujuan untuk tiap tabel sebagai iterasi proses
pendapatan.
Baris 2 : Vektor baris dari penunjuk nol pada proses perhitungan.
Baris 3 : Bobot Wi untuk setiap variabel deviasi yang dimasukkan dalam
fungsi objektif.
2.2.4 Model Keputusan Goal Programming
Oleh karenanya persamaan (2) dapat dinyatakan sebagai fungsi kendala goal dalam
term model Goal Programming yaitu :
Ω∈=−+− jiuntukpnwwa ijijijij ,(0. ) (12)
Variabel nij dan pij sebagai variabel deviasi baru dalam fungsi kendala goal. Kendala
persamaan (12) merepresentasikan penyimpangan, over atau underachievement dari
suatu tingkat aspirasi goal yang ditetapkan. Tujuan pemodelannya adalah menemukan
jawab pengambil keputusan yang mendekati konsisten. Artinya melakukan
minimalisasi penyimpangan dari deviasi nilai pencapaian aspirasi subyektifnya. Oleh
sebab itu, sebagai kriteria optimasi dari fungsi obyektif model ini adalah
meminimumkan penjumlahan variabel deviasi nij dan pij.
Misal untuk suatu problem diperoleh solusi nij dan pij = 0, maka persamaan (2)
dapat terpenuhi. Hal ini berarti diperoleh jawab konsisten sempurna, inkonsistensinya
=0. Sebaliknya, bila terjadi deviasi dari tingkat aspirasi yang ditetapkan, diperoleh
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
nilai nij dan pij ≥ 0, penetapan judgment pengambil keputusan kurang konsisten.
Kendala lain yang perlu ditambahkan dalam model :
1. Kendala untuk normalisasi pembobotan wi, penjumlahan keseluruhan bobot
prioritas 1=∑ iw .
2. Kendala ekivalensi penjumlahan variabel deviasi pada setiap kendala yang
relevan, untuk menghindari munculnya dual degeneration.
2.2.5 Formulasi Model Keputusan Goal Programming
Secara umum estimasi pembobotan relatif pada AHP untuk suatu level hirarki dapat
dinyatakan dalam problem Goal Programming sebagai berikut :
Minimize ∑ ∑Ω∈ Ω∈
+=),( ),(ji ji
ijij npZ (13)
s.t
),,(
0.
ϕ∈Ω∈
=−+−
jidanjiuntukpnwwa ijijijij (14)
1=∑ iw untuk i ∈ϕ (15)
wi ≥ 0 untuk i ∈ϕ (16)
nij,pij ≥ 0 untuk (i,j) Ω∈ (17)
dimana:
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
wi dan wj = variabel keputusan untuk pembobotan relatif dari setiap elemen
keputusan 1 dan j yang terkait pada suatu level hirarki tertentu.
nij,pij = variabel deviasi baru dalam fungsi kendala goal.
Ai = prioritas judgment relatif dari pengmabil keputusan yang
berkaitan dengan perbandingan preferensi antar elemen
keputusan 1 dan elemen keputusan j pada suatu level hirarki
relevan.
Z = fungsi obyektif yang mengukur inkonsistensi judgment dari
pengambil keputusan.
ϕ = elemen keputusan ϕ = 1,2,...n
Ω = sebagai himpunan perbandingan judgment yang ditetapkan
secara berpasangan oleh pengambil keputusan untuk
Ω=(1,2),(1,3),...,(1,n),(2,3),...(2,n),...,(n-1,n).
2.3 Model Fuzzy Goal Programming
Pemaparan teori himpunan fuzzy untuk masalah Goal Programming pertama kali
dikemukakan oleh Hannan (1981) juga Ignizio (1982). Secara komprehensif berbagai
aspek teori keputusan dengan menggunakan pendekatan fuzzy goal programming
didiskusikan oleh Rubin dan Narasimhan (1984) juga Tiwari dkk (1986). Aplikasinya
untuk pemodelan keputusan untuk berbagai aspek yang luas, misalnya untuk
persoalan manajemen lingkungan diungkapkan oleh Tiwari dkk (1985).
Model fuzzy goal programming yang dikemukakan dalam tulisan ini
menggunakan konsep Tiwari dkk (1987) berupa model simple additive method.
Pendekatan itu diadopsi dikarenakan kesamaan struktur keputusan dan
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
kesederhanaannya dibandingkan model yang lain. Tiwari dkk (1987) merumuskan
persoalan fuzzy goal programming sebagai berikut :
Cari nilai X
Agar memenuhi Gs(X) ~< gs atau Gs(X)
~> gs
untuk s = 1,2,...,m (18)
s.t.
AX ≥ b (19)
X≥ 0 (20)
dimana:
X = vektor variabel keputusan
AX ≥ b sebagai kendala sistem
simbol ~< dan
~> menyatakan ketidaksamaan fuzzy kendala goal Gs(X)
~< gs atau
Gs(X) ~> gs.
Gs(X) merupakan fungsi goal
gs adalah goal yang menjadi aspirasi pengambil keputusan.
Persamaan fuzzy kendala goal mewujudkan aspirasi yang bersifat imprecise. Model
fuzzy ini perlu diubah ke dalam persamaan crips dengan mensubstitusikan fungsi
tersebut pada fungsi keanggotaan fuzzy liniernya yang relevan.
2.3.1 Fungsi Keanggotaan Fuzzy
Fungsi keanggotaan fuzzy linier untuk fungsi kendala goal yang diformulasikan
Tiwari dkk (1987) adalah sebagai berikut :
1. Untuk problem fungsi kendala fuzzy goal Gs (X) ~> gs :
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
≤
≤≤−−
≥
=
ss
sssss
ss
ss
i
LXGjika
gXGLjikaLgLXG
gXGjika
)(0
)()()(1
µ (21)
dimana:
Ls adalah batas toleransi aspirasi terendah yang ditetapkan subyektif oleh pengambil
keputusan untuk fungsi kendala fuzzy goal Gs (X).
2. Untuk problem kendala fuzzy goal Gs (X) ~< gs :
≤
≤≤−
−≤
=
ss
sssss
ss
ss
i
UXGjika
UXGgjikagUXGU
gXGjika
)(0
)()()(1
µ (22)
dimana :
Us adalah batas tingkat aspirasi toleransi tertinggi yang ditetapkan subyektif oleh
pengambil keputusan.
Model keputusan ini adalah problem optimasi dalam bentuk linier
programming yang dapat diselesaikan dengan algoritma standar. Model memiliki
fungsi obyektif dengan kriteria tunggal yaitu maksimasi derajat keanggotaan sµ untuk
keseluruhan aspirasi goal. Fungsi kendalanya bisa dalam bentuk crisp atau fuzzy.
Misalkan untuk aspirasi goal : Gs(X) ~> gs diperoleh model keputusan sebagai berikut
:
Maximize ∑=
=1
)(s
sV µµ (23)
s.t.
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
( )ss
ssi Lg
LXG−−
=µ (24)
AX ≤ b (25)
1≤sµ (26)
msX s ,...,2,1,0, =≥µ
dimana :
V = fungsi obyektif yang mengukur inkonsistensi judgment dari pengambil
keputusan.
AX ≤ b sebagai kendala sistem.
µ = derajat keanggotaan fuzzy.
Gs(X) = fungsi goal.
gs = goal yang menjadi aspirasi pengambil keputusan.
X = vektor variabel keputusan.
Ls = batas toleransi aspirasi terendah yang ditetapkan subyektif oleh pengambil
keputusan.
Us = batas tingkat aspirasi toleransi tertinggi yang ditetapkan subyektif oleh
pengambil keputusan.
2.3.2 Model Fuzzy Goal Programming Untuk Estimasi Penetapan Prioritas
Telah dipaparkan dari persamaan (13) sampai (17) pengembangan model goal
programming untuk estimasi pembobotan prioritas relatif dari metode AHP.
Kesulitan utama dari pendekatan ini adalah adanya faktor inkonsistensi penetapan
judgment pembobotan elemen keputusan. Karenanya ratio perbandingan judgment
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
yang disusun tidak selalu bisa memenuhi sifat resiprokalitas dan transitivity dari
matriks. Ketidakpastian ini akan berkaitan dengan konsep fuzzy.
Misalkan pengambil keputusan telah menetapkan batas level tertinggi toleransi
intensitas jawab konsistensi tertinggi (Us) dan batas level toleransi nilai terendah (gs).
Nilai-nilai ini mencerminkan tingkat aspirasi subyektif. Keduanya diasumsikan
berkorespodensi dengan intensitas jawab inkonsistensi yang masih bisa ditoleransi
oleh pengambil keputusan. Saaty (1977,1980,1990,1994) merekomendasikan nilai
rasio konsistensi (CR) sekitar < 10%.
Berdasarkan alasan itu, fungsi obyektif dari model goal dalam persamaan (13)
dapat dipandang sebagai fungsi aspirasi goal (fungsi Gs) yang bersifat fuzzy. Fungsi
keanggotaan fuzzy linier didapat dengan melakukan substitusi pada setiap fungsi
kendala goal (persamaan 13) ke dalam fungsi keanggotaan fuzzy yang relevan
(persamaan 21).
Fungsi pencapaiannya berbentuk “additive goal programming” dengan criteria
berupa maksimasi nilai keanggotaan fuzzy dengan tambahan pada kendala batas nilai
maksimumnya ( 1≤sµ ).
Pada setiap level hirarki dan untuk sejumlah s fungsi kendala goal diperoleh
model fuzzy dalam bentuk cara linier programming biasa seperti berikut :
Maximize V ∑=s
sµµ)( (27)
s.t
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
ss
jiij
jiijs
s gU
npU
−
+−=
∑∑Ω∈Ω∈ ),(),(µ (28)
untuk s = 1,2,…m
0. =−+− ijijijij pnwwa (29)
untuk (i,j) ϕ∈Ω∈ jidan ,
)33(),(0.)32()(0)31(,...,2,11
)30(1
Ω∈≥∈≥=≤
∈=∑
jiuntukpniuntukw
msuntuk
iuntukw
ijij
i
s
ii
ϕµ
ϕ
dimana :
V = fungsi obyektif yang mengukur inkonsistensi judgment dari
pengambil keputusan.
wi dan wj = variabel keputusan untuk pembobotan relatif dari setiap elemen
keputusan 1 dan j yang terkait pada suatu level hirarki tertentu.
nij,pij = variabel deviasi baru dalam fungsi kendala goal.
ija = elemen-elemen yang terdapat dalam matriks dengan i,j = 1,2...,n
µ = derajat keanggotaan fuzzy.
gs = batas toleransi aspirasi terendah yang ditetapkan subyektif oleh
pengambil keputusan.
Us = batas tingkat aspirasi toleransi tertinggi yang ditetapkan subyektif
oleh pengambil keputusan.
ϕ = elemen keputusan ϕ = 1,2,...n
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
Ω = sebagai himpunan perbandingan judgment yang ditetapkan secara
berpasangan oleh pengambil keputusan untuk
Ω=(1,2),(1,3),...,(1,n),(2,3),...(2,n),...,(n-1,n).
2.4 Pengenalan Program QM for Windows
Program QM for Windows merupakan paket program komputer untuk menyelesaikan
persoalan-persoalan metode kuantitatif, manajemen sains atau riset operasi. QM for
Windows merupakan gabungan dari program terdahulu DS dan POM for Windows,
jadi jika dibandingkan dengan program POM for Windows modul-modul yang
tersedia di QM for Windows lebih banyak. Namun ada modul-modul yang hanya
tersedia di program POM for Windows, atau hanya tersedia di program DS for
Windows dan tidak tersedia di QM for Windows.
Program-program QM for Windows, DS dan POM for Windows, disediakan
oleh penerbit Prentice Hall (www.prentice-hall.com), dan sebagian program
merupakan bawaan dari beberapa buku terbitan Prentice Hall.Tampilan sementara
(splash) setelah program QM for Windows dijalankan tampak pada Gambar 2.1
(bagian yang di blok hitam sebenarnya berisi tulisan License to........)
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
Gambar 2.2 Tampilan sementara (splash) dari program QM for Windows
Setelah tampilan sementara (splash) berakhir, akan muncul tampilan awal
seperti Gambar 2.2, yang berarti program sudah siap untuk menjalankan modul-modul
yang akan dipilih.Pilihan modul ada pada menu Module yang dapat diaktifkan dengan
meng-klik (pakai mouse) tulisan Module di baris menu atau dengan menekan tombol
Alt+M. Modul-modul dari Assignment (metode penugasan) hingga Waiting Lines
(antrian) dapat dipilih,disesuaikan dengan persoalan yang hendak diselesaikan
(Gambar 2.3)
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
Gambar 2.3 Tampilan Awal program QM for Windows
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
Gambar 2.4 Pilihan modul yang tersedia pada program QM for Windows
Gambar 2.5 Baris Menu (menu bar) sebelum dipilih Modul tertentu
Gambar 2.6Baris Menu (menu bar) sesudah dipilih Modul tertentu
Gambar 1.6 Baris Tool (toolbar) sebelum dipilih Modul tertentu Gambar 2.7 Baris Tool (toolbar) sebelum dipilih Modul tertentu
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
Gambar 2.8 Baris Tool (toolbar) sesudah dipilih Modul tertentu
Gambar 2.9 Ruang instruksi (tampilan ruang instruksi ini dapat diatur melalui menu View – Instruction - ........)
Gambar 2.10 Baris Utilitas (utility bar) – secara default terletak di bagian bawah
Baris tool (toolbar) dan baris utilitas (utility bar) dapat diatur sesuai dengan
selera/kebutuhan dengan cara meng-klik kanan mouse, ketika kursor mouse berada
pada toolbar. Toolbar dan utility bar dapat juga dipindahkan tempatnya dengan cara
men-drag & drop bagian paling kiri dari toolbar atau utility bar tersebut; atau dengan
menu View –Toolbar – Customize.
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
BAB 3
PEMBAHASAN
3.1 Penggunaan Metode AHP dalam Perhitungan Matematis
Kaidah pembobotan menyatakan bahwa :
1. Nilai bobot setiap kolom antara 0-1 atau 0% - 100% jika kita menggunakan
presentase.
2. Jumlah total bobot harus bernilai 1 (100%)
3. Tidak ada bobot yang bernilai negatif (-)
Berikut ini adalah langkah-langkah yang digunakan dalam menentukan bobot dengan
menggunakan AHP:
1. Menentukan Prioritas
Biasanya orang lebih mudah mengatakan bahwa elemen A lebih penting daripada
elemen B, elemen B kurang penting dibanding dengan elemen C dan sebagainya,
namun mengalami kesulitan menyebutkan seberapa penting elemen A dibandingkan
elemen B atau seberapa kurang pentingnya elemen B dibandingkan dengan elemen
C. Untuk itu kita perlu membuat tabel konversi dari pernyataan prioritas ke dlam
angka-angka.
2. Membuat Tabel Perbandingan Prioritas
Tabel perbandingan prioritas setiap elemen dibentuk dengan membandingkan
masing-masing elemen. Sebagai contoh : Jika kita mempunyai 4 elemen, maka kita
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
membuat matriks perbandingan ke-4 elemen tersebut. Misalkan dari proses
membandingkan antar elemen diperoleh nilai prioritas elemen sebagai berikut :
Tabel 3.1 Contoh Matriks Perbandingan Berkebalikan
ELEMEN A ELEMEN B ELEMEN C ELEMEN D ELEMEN A 1 ½ 1/5 1/3 ELEMEN B 2 1 1/3 1 ELEMEN C 5 3 1 ½ ELEMEN D 3 1 2 1
Cara mengisinya adalah dengan menganalisa prioritas antara elemen baris
dibandingkan dengan elemen kolom. Sesuai dengan persamaan matematika yang
menyebutkan jika A:B = X, maka B:A =1/X. Contoh : jika prioritas elemen B (baris) :
elemen A (kolom) = 2, maka prioritas elemen A (baris) : elemen B (kolom) = ½.
Sehingga prioritas setiap elemen antara elemen A : elemen A = 1, elemen C : elemen
A = 5, elemen C : elemen B = 3,elemen D : elemen A = 3, elemen D : elemen B =1,
elemen D : elemen C = 2.
3.1.1 Menentukan Bobot Pada Tiap Elemen
Selanjutnya adalah menentukan bobot pada tiap elemen, nilai bobot ini berkisar antara
0-1, dan total bobot untuk setiap kolom adalah 1. Cara menghitung bobot adalah
angka pada setiap kotak dibagi dengan menjumlahkan semua angka dalam kolom
yang sama. Contoh bobot dari (elemen A,elemen A) = 1/ (1+2+5+3) = 0.090, elemen
B,elemen A) = 2/(1+2+5+3) = 0.181. Dengan perhitungan yang sama bobot prioritas
tabel ELEMEN diatas menjadi :
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
Tabel 3.2 Penyelesaian Matriks Perbandingan Berkebalikan
ELEMEN A ELEMEN B ELEMEN C ELEMEN D ELEMEN A 0.091 0.091 0.057 0.118 ELEMEN B 0.182 0.182 0.094 0.353 ELEMEN C 0.455 0.545 0.283 0.176 ELEMEN D 0.273 0.182 0.566 0.353
Mencari Nilai Bobot Untuk Masing-masing Elemen
Selanjutnya adalah mencari nilai bobot untuk masing-masing elemen. Caranya adalah
dengan melakukan penjumlahan setiap nilai bobot prioritas pada setiap baris tabel
dibagi dengan jumlah elemen. Sehingga diperoleh bobot masing-masing elemen
adalah :
ELEMEN A = (0.091 + 0.091 + 0.057 + 0.118)/ 4 = 0.089 (8.9%)
ELEMEN B = (0.182 + 0.182 + 0.094 + 0.353)/ 4 = 0.203 (20.3%)
ELEMEN C = (0.455 + 0.545 +0.283 + 0.176 )/ 4 = 0.365 (36.5%)
ELEMEN B = (0.273 + 0.182 + 0.566 + 0.353 )/ 4 = 0.343 (34.3%)
3.1.2 Perancangan Flowchart
Gambaran secara umum proses yang terjadi dalam model fuzzy goal programming
dalam penetapan pembobotan prioritas dari metode AHP yaitu:
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
Gambar 3.1 Flowchart yang terjadi dalam penetapan bobot prioritas
Tampilkan Hasil
Perhitungan pembobotan dengan software QM for Windows
Perumusan fungsi dan kendala dalam suatu hirarki
Penambahan variable deviasi positif (di+)
dan deviasi negatif (di-)
Pengembangan dalam model fuzzy goal programming
Table Perbandingan Prioritas
Perhitungan CI dan CR
Mulai
Data Dasar
Penetapan Bobot
Pembobotan dengan AHP Pembobotan dengan Goal
Programming
Penentuan Prioritas
Selesai
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
Pada bab ini akan dibahas pendekatan model fuzzy goal programming dalam
penetapan pembobotan prioritas dari metode analytical hierarchy process (AHP).
Berikut ini diberikan suatu matriks pairwise comparison (matriks perbandingan
berkebalikan) yaitu :
aij =
13/11313/1131
3.2 Penyelesaian Pembobotan Dengan AHP
Dalam menyelesaikan pembobotan dengan AHP maka yang pertama kali dilakukan
adalah menentukan bobot pada tiap elemen dari matriks pairwise comparison (matriks
perbandingan berkebalikan ).
Tabel 3.3 Matriks Perbandingan Berkebalikan
W1 W2 W3
W1 1 3 1
W2 1/3 1 3
W3 1 1/3 1
∑ 7/3 13/3 5
Maka bobot pada tiap elemen dari matriks perbandingan berkebalikan tersebut
sebagai berikut :
Tabel 3.4 Penyelesaian Matriks Perbandingan Berkebalikan
W1 W2 W3
W1 0.429 0.692 0.2
W2 0.143 0.231 0.6
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
W3 0.429 0.077 0.2
∑ 1 1 1
Selanjutnya adalah mencari nilai bobot untuk masing-masing elemen dengan
melakukan penjumlahan setiap nilai bobot prioritas pada setiap baris tabel dibagi
dengan jumlah elemen. Sehingga diperoleh hasilnya sebagai berikut :
Tabel 3.5 Matriks Penetapan Bobot pada tiap elemen
W1 W2 W3 Eigenvector utama
W1 0.429 0.692 0.2 0.440
W2 0.143 0.231 0.6 0.325
W3 0.429 0.077 0.2 0.235
∑ 1 1 1 1
dimana :
W1 = bobot relatif kriteria ke-1
W2 = bobot relatif kriteria ke-2
W3 = bobot relatif kriteria ke-3
Perhitungan secara manual lebih mudah jika jumlah elemen matriks yang
dimiliki hanya sedikit,namun jika jumlah elemen matriks dalam jumlah besar maka
perhitungan bobot akan lebih mudah dengan menggunakan software.Ada beberapa
software yang bisa digunakan antara lain Expert Choice,Decision Lens,TESS,Web-
HIPPRE.
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
Selanjutnya nilai eigen maksimum ( maksλ ) didapat dengan menjumlahkan hasil
perkalian jumlah kolom dengan vektor eigen. Nilai eigen maksimum yang diperoleh
adalah sebagai berikut :
λ maks = 235.05325.0
313440.0
37 xxx ++
= 1.027 + 1.408 + 1.175
= 3.61
Karena matriks berordo 3 (yakni terdiri dari 3 kriteria), maka nilai indeks
konsistensi yang diperoleh adalah :
1−−
=n
nCI maksλ
2361.3 −
=CI = 0.305
Selanjutnya mencari nilai Rasio Konsistensi (CR) :
RICICR =
Untuk n = 3, dengan menggunakan tabel Saaty diperoleh nilai RI = 0.58 maka :
RICICR =
58.0305.0
=CR = 0.525
dimana :
CI = Consistency Index (Indeks Konsistensi)
CR = Consistency Ratio (Rasio Konsistensi)
RI = Random Index
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
λ maks = nilai eigen value terbesar
n = ordo matriks
3.3 Penyelesaian Pembobotan Dengan Goal Programming
Secara umum estimasi pembobotan relatif pada AHP untuk suatu level hirarki dapat
dinyatakan dalam problem Goal Programming sebagai berikut :
Minimize ∑ ∑Ω∈ Ω∈
+=),( ),(ji ji
ijij npZ
s.t
),,(
0.
ϕ∈Ω∈
=−+−
jidanjiuntukpnwwa ijijijij
1=∑ iw untuk i ∈ϕ
wi ≥ 0 untuk i ∈ϕ
nij,pij ≥ 0 untuk (i,j) Ω∈
dimana :
wi dan wj = variabel keputusan untuk pembobotan relatif dari setiap elemen
keputusan 1 dan j yang terkait pada suatu level hirarki tertentu.
Z = fungsi obyektif yang mengukur inkonsistensi judgment dari
pengambil keputusan.
ija = elemen-elemen yang terdapat dalam matriks dengan i,j = 1,2...,n
nij,pij = variabel deviasi baru dalam fungsi kendala goal.
ϕ = elemen keputusan ϕ = 1,2,...n
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
Ω = sebagai himpunan perbandingan judgment yang ditetapkan
secara berpasangan oleh pengambil keputusan untuk
Ω=(1,2),(1,3),...,(1,n),(2,3),...(2,n),...,(n-1,n).
Adapun penyelesaian untuk estimasi pembobotan relatif pada AHP untuk suatu level
hirarki dalam problem Goal Programming yaitu :
aij =
13/11313/1131
)()()()( 44332211−+−+−+−+ +++++++= ddddddddZMin
s.t
1. 0. =−+− ijijijij pnwwa
13/11313/1131
.
3
2
1
WWW
-
3
2
1
WWW
+ 0
33
22
11
=
−
−
−
+−
+−
+−
dddddd
51
3/133/1
3/71
53
3/131
3/73/1
51
3/133
3/71
.
3
2
1
WWW
-
3
2
1
WWW
+ 0
33
22
11
=
−
−
−
+−
+−
+−
dddddd
2.0077.0429.06.0231.0143.02.0692.0429.0
.
3
2
1
WWW
-
3
2
1
WWW
+ 0
33
22
11
=
−
−
−
+−
+−
+−
dddddd
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
0.429 W1 + 0.692 W2 + 0.2 W3 –W1 + )( 11
+− − dd = 0 0.143 W1 + 0.231W2 + 0.6 W3 – W2 + )( 22
+− − dd = 0 0.429 W1 + 0.077 W2 + 0.2 W3 – W3 + )( 33
+− − dd = 0 2. 1=∑
siW
W1 + W2 + W3 + )( 44+− − dd = 1
untuk Wi dan dj ≥ 0 untuk s = 1,2,3 Maka menjadi :
)()()()( 44332211−+−+−+−+ +++++++= ddddddddZMin
s.t 1) – 0.571 W1 + 0.692 W2 + 0.2 W3 + )( 11
+− − dd = 0 2) 0.143 W1 – 0.769 W2 + 0.6 W3 + )( 22
+− − dd = 0 3) 0.429 W1 + 0.077 W2 - 0.8 W3 + )( 33
+− − dd = 0 4) W1 + W2 + W3 + )( 44
+− − dd = 1 untuk Wi dan dj ≥ 0 dimana :
W1 = bobot relatif kriteria ke-1
W2 = bobot relatif kriteria ke-2
W3 = bobot relatif kriteria ke-3
++41 ...,dd = variabel-variabel yang menunjukkan kemungkinan penyimpangan positif
dari suatu fungsi tujuan.
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
−−41 ...,dd = variabel-variabel yang menunjukkan kemungkinan penyimpangan negatif
dari suatu fungsi tujuan.
Selanjutnya penyelesaian estimasi pembobotan relatif pada AHP untuk suatu
level hirarki dalam problem Goal Programming diselesaikan dengan software QM for
Windows version 2.0 (Copyright 1996-2000 Howard J.Weiss) untuk memudahkan
dalam perhitungan . Program QM for Windows merupakan paket program komputer
untuk menyelesaikan persoalan-persoalan metode kuantitatif, manajemen sains atau
riset operasi.
Adapun hasil dari penyelesaian penetapan pembobotan prioritas pada AHP
dalam problem Goal programming yang diselesaikan dengan software Windows QM
sebagai berikut :
Tabel 3.6 Tabel Awal Goal Programming
Tabel 3.7 Penyelesaian Goal Programming
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
Tabel 3.8 Hasil Akhir
Selanjutnya nilai eigen maksimum ( maksλ ) didapat dengan menjumlahkan hasil
perkalian jumlah kolom dengan vektor eigen. Nilai eigen maksimum yang diperoleh
adalah sebagai berikut :
λ maks = 266.052901.0
3134439.0
37 xxx ++
λ maks = 1.036 + 1.2571 + 1.33
λ maks = 3.6231
Karena matriks berordo 3 (yakni terdiri dari 3 kriteria), maka nilai indeks
konsistensi yang diperoleh adalah :
1−−
=n
nCI maksλ
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
236231.3 −
=CI = 0.312
Selanjutnya mencari nilai Rasio Konsistensi (CR) :
RICICR =
Untuk n = 3, dengan menggunakan tabel Saaty diperoleh nilai RI = 0.58 maka :
RICICR =
58.0312.0
=CR = 0.537
dimana :
CI = Consistency Index (Indeks Konsistensi)
CR = Consistency Ratio (Rasio Konsistensi)
RI = Random Index
λ maks = nilai eigen value terbesar
n = ordo matriks
3.4 Penyelesaian Pembobotan Dengan Fuzzy Goal Programming
Pada setiap level hirarki dan untuk sejumlah s fungsi kendala goal diperoleh model
fuzzy dalam bentuk cara linier programming biasa seperti berikut :
Maximize V ∑=s
sµµ)(
s.t
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
ss
jiij
jiijs
s gU
npU
−
+−=
∑∑Ω∈Ω∈ ),(),(µ
untuk s = 1,2,…m
0. =−+− ijijijij pnwwa
untuk (i,j) ϕ∈Ω∈ jidan ,
Ω∈≥∈≥=≤
∈=∑
),(0.)(0,...,2,11
1
jiuntukpniuntukw
msuntuk
iuntukw
ijij
i
s
ii
ϕµ
ϕ
dimana :
V = fungsi obyektif yang mengukur inkonsistensi judgment dari
pengambil keputusan.
wi dan wj = variabel keputusan untuk pembobotan relatif dari setiap elemen
keputusan 1 dan j yang terkait pada suatu level hirarki tertentu.
nij,pij = variabel deviasi baru dalam fungsi kendala goal.
ija = elemen-elemen yang terdapat dalam matriks dengan i,j = 1,2...,n
µ = derajat keanggotaan fuzzy.
gs = batas toleransi aspirasi terendah yang ditetapkan subyektif oleh
pengambil keputusan.
Us = batas tingkat aspirasi toleransi tertinggi yang ditetapkan subyektif
oleh pengambil keputusan.
ϕ = elemen keputusan ϕ = 1,2,...n
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
Ω = sebagai himpunan perbandingan judgment yang ditetapkan secara
berpasangan oleh pengambil keputusan untuk
Ω=(1,2),(1,3),...,(1,n),(2,3),...(2,n),...,(n-1,n).
Adapun penyelesaian untuk estimasi pembobotan relatif pada setiap level
hirarki dan untuk sejumlah s fungsi kendala goal untuk model fuzzy dalam bentuk
cara linier programming yaitu sebagai berikut :
aij =
13/11313/1131
Maximize ∑=s
sV µµ)(
s.t
ss
jiij
jiijs
s gU
npU
−
+−=
∑∑Ω∈Ω∈ ),(),(µ
0. =−+− ijijijij pnwwa
Ω∈≥∈≥=≤
∈=∑
),(0.)(0,...,2,11
1
jiuntukpniuntukw
msuntuk
iuntukw
ijij
i
s
ii
ϕµ
ϕ
untuk s = 1,2,3
untuk Us = 2.0 dan gs = 0.1
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
untuk pij = di+ dan nij = di
-
Maka menjadi :
Max 321)( µµµµ ++=V
s.t
11
1111 gU
ddU−+−
=−+
µ 22
2222 gU
ddU−+−
=−+
µ 33
3333 gU
ddU−+−
=−+
µ
W1 + W2 + W3 = 1
11 ≤µ ; 12 ≤µ ; 13 ≤µ Untuk mencari nilai 321 ,, µµµ yaitu sebagai berikut :
Diketahui bahwa nilai Us = 2.0 dan gs = 0.1 dan nilai )( 11−+ + dd , )( 22
−+ + dd ,
)( 33−+ + dd diperoleh dari hasil perhitungan Goal Programming yang telah diselesaikan
sebelumnya maka untuk :
11
1111 gU
ddU−+−
=−+
µ = 912.09.1
734.11.00.2
266.00.2==
−−
22
2222 gU
ddU−+−
=−+
µ = 819.09.1
556.11.00.2
4439.00.2==
−−
33
3333 gU
ddU−+−
=−+
µ = 899.09.1
709.11.00.2
2901.00.2==
−−
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
Misalkan 332211 , WdanWW === µµµ untuk Wi 1≤ Maka diperoleh : Max 321)( WWWWV ++=
s.t
0. =−+− ijijijij pnwwa
13/11313/1131
.
3
2
1
WWW
-
3
2
1
WWW
+ 0
33
22
11
=
−
−
−
+−
+−
+−
dddddd
51
3/133/1
3/71
53
3/131
3/73/1
51
3/133
3/71
.
3
2
1
WWW
-
3
2
1
899.0819.0912.0
WWW
+ 0
33
22
11
=
−
−
−
+−
+−
+−
dddddd
2.0077.0429.06.0231.0143.02.0692.0429.0
.
3
2
1
WWW
-
3
2
1
899.0819.0912.0
WWW
+ 0
33
22
11
=
−
−
−
+−
+−
+−
dddddd
0.429 W1 + 0.692 W2 + 0.2 W3 –0.912W1 + )( 11
+− − dd = 0 0.143 W1 + 0.231W2 + 0.6 W3 – 0.819W2 + )( 22
+− − dd = 0 0.429 W1 + 0.077 W2 + 0.2 W3 – 0.899W3 + )( 33
+− − dd = 0 diperoleh : -0.483 W1 + 0.692 W2 + 0.2 W3 + )( 11
+− − dd = 0 0.143 W1 - 0.588 W2 + 0.6 W3 + )( 22
+− − dd = 0 0.429 W1 + 0.077 W2 - 0.699 W3 + )( 33
+− − dd = 0
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
W1 + W2 + W3 + )( 44
+− − dd = 1 untuk Wi 1≤ dan Wj 0≥ Dengan demikian perumusannya menjadi sbb :
Max 321)( WWWWV ++=
s.t
1) -0.483 W1 + 0.692 W2 + 0.2 W3 + )( 11+− − dd = 0
2) 0.143 W1 - 0.588 W2 + 0.6 W3 + )( 22+− − dd = 0
3) 0.429 W1 + 0.077 W2 - 0.699 W3 + )( 33+− − dd = 0
4) W1 + W2 + W3 + )( 44+− − dd = 1
5) W1 + 0W2 + 0W3 + )( 55+− − dd 1≤
6) 0W1 + W2 + 0W3 + )( 66+− − dd 1≤
7) 0W1 + 0W2 + W3 + )( 77+− − dd 1≤
dimana :
W1 = bobot relatif kriteria ke-1
W2 = bobot relatif kriteria ke-2
W3 = bobot relatif kriteria ke-3
++71 ...,dd = variabel-variabel yang menunjukkan kemungkinan penyimpangan positif
dari suatu fungsi tujuan.
−−71 ...,dd = variabel-variabel yang menunjukkan kemungkinan penyimpangan negatif
dari suatu fungsi tujuan.
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
Selanjutnya penyelesaian estimasi pembobotan relatif pada setiap level hirarki
dan untuk sejumlah s fungsi kendala goal untuk model fuzzy dalam bentuk cara linier
programming diselesaikan dengan software QM for Windows version 2.0 (Copyright
1996-2000 Howard J.Weiss) untuk memudahkan dalam perhitungan .
Adapun hasil dari penyelesaian penetapan pembobotan relatif pada setiap level
hirarki dan untuk sejumlah s fungsi kendala goal untuk model fuzzy dalam bentuk
cara linier programming yang diselesaikan dengan software Windows QM sebagai
berikut :
Tabel 3.9 Tabel Awal Fuzzy Goal Programming
Tabel 3.10 Penyelesaian Fuzzy Goal Programming
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
Tabel 3.11 Hasil Akhir
Selanjutnya nilai eigen maksimum ( maksλ ) didapat dengan menjumlahkan hasil
perkalian jumlah kolom dengan vektor eigen. Nilai eigen maksimum yang diperoleh
adalah sebagai berikut :
λ maks = 3079.052321.0
31346.0
37 xxx ++
λ maks = 1.0733 + 1.0057 + 1.5395
λ maks = 3.6185
Karena matriks berordo 3 (yakni terdiri dari 3 kriteria), maka nilai indeks
konsistensi yang diperoleh adalah :
1−−
=n
nCI maksλ
236185.3 −
=CI = 0.30925
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
Selanjutnya mencari nilai Rasio Konsistensi (CR) :
RICICR =
Untuk n = 3, dengan menggunakan tabel Saaty diperoleh nilai RI = 0.58 maka :
RICICR =
58.0
30925.0=CR = 0.533
dimana:
CI = Consistency Index (Indeks Konsistensi)
CR = Consistency Ratio (Rasio Konsistensi)
RI = Random Index
λ maks = nilai eigen value terbesar
n = ordo matriks
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
Dari penelitian ini dapat disimpulkan beberapa hal mengenai pendekatan model fuzzy
goal programming dalam penetapan pembobotan prioritas dari metode analytical
hierarchy process (AHP) yaitu :
1. Model goal programming dan fuzzy goal programming yang dikembangkan dari
konsep penetapan bobot prioritas dengan metode AHP mengambil asumsi dan
memperhatikan aspek fuzzy hanya pada penetapan level aspirasi toleransi
pencapaian goal, bukan pada penentuan prioritas fungsi goal-nya.
2. Model fuzzy goal programming menggunakan batas level toleransi tertinggi yang
ditetapkan sebesar 2.0 dan level toleransi terendah pada 0.1,keduanya diasumsikan
sebagai kwantifikasi tingkat aspirasi subyektif yang diinginkan pengambil
keputusan.
3. Secara umum penggunaan metode fuzzy goal programming memberikan
pencapaian nilai bobot prioritas yang relatif tidak berbeda jauh dengan pendekatan
metode AHP dan goal programming.
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
4.2 Saran
Sebagai saran yang ditujukan kepada pembaca yaitu :
1. Untuk jumlah elemen matriks yang lebih besar maka perhitungan bobot
menggunakan software akan lebih mudah,beberapa software yang dapat
digunakan seperti Expert Choice,Decision Lens,TESS,Web-HIPPRE.
2. Kajian perlu dikembangkan lebih lanjut untuk menetapkan metode mana yang
mempunyai validitas lebih baik dalam kondisi keputusan, hirarki keputusan yang
tidak lengkap dan kesamaran informasi parameter juga masalah keputusan
multikriteria yang berhirarki lebih dari 2 level.
Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009
DAFTAR PUSTAKA
1. Daihani,D.Umar.2004.” Komputerisasi Pengambilan Keputusan”. Jakarta:PT.Elex Media Komputindo.
2. Gunes,M. Dan Umarosman,N.2005,”Fuzzy Goal Programming Approach on
Computation of The Fuzzy Arithmetic Mean”,Mathematical and Computational Application,Vol.10,No.2,pp 211-220.
3. Nasendi,B.D. dan Anwar,Affendi. 1985. “Program Linear dan Variasinya”.
Jakarta:PT Gramedia. 4. Nurmianto,Eko.”Perumusan Strategi Kemitraan Menggunakan metode AHP dan
SWOT”. Jurnal Teknik Industri,Vol.6,No.1, Juni 2004 : 47-60. 5. Saaty,T.Lorie.1980.”Decision Making With Dependence and fee back, The
Analitic Network Process”.MCGraw-Hill,Inc,USA. 6. Supranto,Johannes. 1998. ”Teknik Pengambilan Keputusan “. Jakarta : PT.Rineka
Cipta. 7. Widodo,T.S.2005.” Sistem Neuro Fuzzy”. Yogyakarta: Graha Ilmu.
8. Wijayanto,P. 2007. ”Panduan Program Aplikasi”.Jurnal Kuliah Fakultas Ekonomi
Universitas Kristen Satya Wacana,Salatiga.