Pengantar Dasar Matematika: Pengantar Logika Matematika
330
FMIPA-UNEJ Daftar Isi Judul JJ J I II 1 dari 330 Cari Halaman Kembali Layar Penuh Tutup Keluar Pengantar Dasar Matematika: Pengantar Logika Matematika Drs. I Made Tirta, M.Sc, Ph.D [email protected] November 8, 2011
Transcript of Pengantar Dasar Matematika: Pengantar Logika Matematika
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
1 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Pengantar Dasar Matematika:Pengantar Logika Matematika
Drs. I Made Tirta, M.Sc, [email protected]
November 8, 2011
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
2 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
3 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
DAFTAR ISI
1 PERNYATAAN 151.1 Pengertian Umum Logika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.1 Notasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.1.2 Definisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2 Pernyataan Tunggal dan Negasinya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.1 Pengertian Pernyataan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.2 Pernyataan Tunggal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2.3 Negasi Pernyataan Tunggal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3 Pernyataan majemuk dan negasinya . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.3.1 Perakit Konjungsi (dan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.3.2 Perakit Disjungsi (atau) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
4 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.4 Tautologi dan Kontradiksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.5 Aljabar pernyataan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.6 Bentuk Rangkap dan Prinsip Kerangkapan . . . . . . . . . . . . . . . 411.7 Perakit-perakit Lain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.7.1 Perakit Disjungsi eksklusif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.7.2 Fungsi / Operator Stroke dan Dagger . . . . . . . . . . . . . 47
1.8 Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.9 Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2 PERNYATAAN BERSYARAT/KONDISIONAL 572.1 Implikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.2 Implikasi dan variasinya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.3 Biimplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.4 Implikasi Logis dan Ekuivalensi Logis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.5 Negasi Pernyataan Bersyarat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.6 Hirarki perakit dan Notasi Lukasiewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.6.1 Hirarki perakit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.6.2 Notasi Lukasiewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.7 Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.8 Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3 KARAKTERISTIK, BENTUK NORMAL DAN APLIKASINYA 873.1 Karakteristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.2 Bentuk Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.2.1 Bentuk Normal Disjungtif (DNF) . . . . . . . . . . . . . . . . 933.2.2 Bentuk Normal Konjugtif (CNF) . . . . . . . . . . . . . . . . 96
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
5 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3.3 Komplemen Bentuk Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.4 Translasi Bentuk Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.5 Aplikasi Bentuk Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.6 Aplikasi Logika dalam Aljabar Himpunan dan Listrik . . . . . . . . . . 1063.7 Aljabar Jaringan Listrik atau Saklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.8 Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193.9 Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4 KUANTOR 1234.1 Tetapan dan Peubah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.2 Kalimat matematika, kalimat terbuka, kalimat tertutup . . . . . . . . 1294.3 Kuantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.3.1 Kuantor Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.3.2 Kuantor Eksistensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.4 Negasi Kuantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374.5 Notasi lain untuk ∀ dan ∃ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.6 Kuantor, Disjungsi, Konjungsi dan Implikasi . . . . . . . . . . . . . . 1424.7 Contoh Penyanggah/ Contoh Kontra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.8 Kuantor dan kalimat terbuka lebih dari satu peubah . . . . . . . . . . 1474.9 Beberapa Bentuk Khusus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1504.10 Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.11 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5 PENALARAN LOGIS 1615.1 Argumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1655.2 Bentuk-Bentuk Argumen Yang Valid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
6 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.3 Pembuktian Tidak Langsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765.3.1 Pembuktian dengan Negasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765.3.2 Pembuktian dengan Kontradiksi . . . . . . . . . . . . . . . . 1775.3.3 Pembuktian dengan Kontra Positif . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.4 Induksi Matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1805.5 Argumen berkuantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.5.1 Translasi kuantor universal dan eksistensial . . . . . . . . . . 1825.5.2 Spesifikasi Universal, Spesifikasi Eksistensial . . . . . . . . . . 1845.5.3 Generalisasi Universal dan Generalisasi Eksistensial . . . . . . 184
5.6 Sesat Pikir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875.7 Sistem Deduktif dalam Matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1895.8 Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1915.9 Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
6 HIMPUNAN 1976.1 Definisi dan Jenis Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016.2 Relasi Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2066.3 Operasi Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6.3.1 Operasi Dasar Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2116.3.2 Sifat-sifat Operasi Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . 2146.3.3 Operasi Jumlah dan Selisih Himpunan . . . . . . . . . . . . . 217
6.4 Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian . . . . . . . . . . . . . . . 2236.5 Penggunaan Himpunan dalam Silogisme . . . . . . . . . . . . . . . . 2296.6 Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2376.7 Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
7 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
7 HIMPUNAN BILANGAN 2417.1 Himpunan Bilangan Asli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2457.2 Himpuan Bilangan Cacah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2497.3 Himpuan Bilangan Bulat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2507.4 Himpuan Bilangan Rasional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2517.5 Himpunan Bilangan Irasional dan Himpunan Bilangan Riil . . . . . . . 2527.6 Perkembangan perhitungan π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2557.7 Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2587.8 Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
8 PERKALIAN KARTESIUS, RELASI DAN FUNGSI 2618.1 Perkalian Kartesius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2658.2 Relasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2678.3 Sifat-sifat Relasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2708.4 Penyajian Relasi dengan Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2768.5 Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2818.6 Jenis-Jenis Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2838.7 Bentuk, Skala dan Lokasi Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2868.8 Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2888.9 Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
9 PENGANTAR LOGIKA DAN HIMPUNAN SAMAR 2939.1 Konsep Dasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2979.2 Logika bernilai tiga atau lebih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3009.3 Himpunan Samar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
9.3.1 Himpunan dengan tiga atau lebih kategori keanggotaan . . . . 305
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
8 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
9.3.2 Memodelkan tingkat keanggotaan kontinu dari himpunan . . . 3069.4 Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
Glossary 317
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
9 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
DAFTAR GAMBAR
1.1 Diagram Pembagian kalimat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1 Diagram Venn mengilustrasikan A ∩B . . . . . . . . . . . . . 107
6.1 Diagram Venn mengilustrasikan himpunan dan himpunanba-giannya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.2 Diagram Venn mengilustrasikan relasi himpunan . . . . . . . . 208
6.3 Diagram Venn mengilustrasikan Ac . . . . . . . . . . . . . . . 212
6.4 Diagram Venn mengilustrasikan A ∩B . . . . . . . . . . . . . 220
6.5 Diagram Venn mengilustrasikan A ∪B . . . . . . . . . . . . . 221
6.6 Diagram Venn mengilustrasikan A/B dan A+B . . . . . . . 222
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
10 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.7 Diagram pohon mengilustrasikan subset himpunan . . . . . . 228
6.8 Diagram Venn untuk A ⊂ B atau A ∩Bc = ∅ . . . . . . . . . . . 230
6.9 Diagram Venn A|| atau A ∩B = ∅ . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
6.10 Diagram Venn untuk A ∩B 6= ∅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.11 Diagram Venn untuk A ∩Bc 6= ∅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.12 Diagram Venn untuk A||B dan B||C1;B||C2, namun A||C1, A G C1234
6.13 Diagram Venn untuk A||B, C ⊂ B, maka A||C . . . . . . . . . 235
6.14 Diagram Venn untuk A G B, B G C1 dan B G C2. Namun,A 6G C1 dan A G C2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
6.15 Diagram Venn untuk A G B dan B ⊆ C, maka A G C . . . . . . 236
7.1 Diagram Venn mengilustrasikan < . . . . . . . . . . . . . . . . 252
7.2 Diagram mengilustrasikan < . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
8.1 Diagram kartesius mengilustrasikan A×B . . . . . . . . . . . 266
8.2 Diagram panah mengilustrasikan relasi A ke B . . . . . . . . 269
8.3 Diagram panah mengilustrasikan relasi A ke A . . . . . . . . 274
8.4 Contoh Grafik Relasi dari suatu himpunan ke dirinya sendiridengan Software R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
8.5 Contoh Grafik Relasi dari {a, b, c, d, e} ke {u, v, w, x, y, z} den-gan Software R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
8.6 Diagram panah mengilustrasikan fungsi . . . . . . . . . . . . . 281
8.7 Fungsi kuadrat yang mempunyai persamaan berbeda walausebenarnya bentuk dan skalanya sama, tetapi lokasi berbeda . 287
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
11 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
9.1 Grafik keanggotaan M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3089.2 Grafik keanggotaan M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3099.3 Grafik fungsi keanggotaan K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3119.4 Grafik fungsi keanggotaan J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
12 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
13 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
DAFTAR TABEL
1.1 Tabel Kebenaran Stroke dan Dagger . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1 Notasi Lukasiewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.1 Tabel kebenaran konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi 913.2 Aljabar Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.1 Perhitungan π secara analitik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2567.2 Perhitungan π dengan mesin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
14 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
15 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
BAB 1
PERNYATAAN
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
16 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Umum
Setelah menyelesaikan materi pada bab ini diharapkan pembaca memahamipengertian umum logika, pengertian pernyataan tunggal maupun majemukdan negasinya serta mampu menilai kalimat.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
17 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Khusus
Setelah menyelesaikan materi pada bab ini diharapkan pembaca dapat:
1. menyebutkan definisi logika;
2. menyebutkan pengertian pernyataan tunggal;
3. menentukan negasi sebuah pernyataan tunggal;
4. membentuk kalimat majemuk dengan perakit “dan”, “atau”;
5. menentukan negasi kalimat mejemuk dengan perakit “dan”, “atau”;
6. menerapkan prinsip ganda pada kalimat majemuk;
7. menentukan apakah suatu pernyataan merupakan kontradiksi atau tau-tologi;
8. membuktikan ekuivalensi bentuk logika;
9. menyebutkan definisi perakit disjungsi eksklusif, dagger dan stroke.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
18 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Materi
1. Pengertian Umum Logika
2. Pengertian Pernyataan
3. Pernyataan Tunggal dan Negasinya
4. Pernyataan majemuk dan negasinya
5. Tautologi dan Kontradiksi
6. Aljabar pernyataan
7. Bentuk Ganda dan Prinsip Kegandaan
8. Perakit-perakit Lain
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
19 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.1. Pengertian Umum Logika
Definisi mengenai logika diberikan oleh para ahli dengan rumusan yang agakberbeda satu sama lain, tetapi artinya tidak jauh berbeda misalnya menurutSoekadijo [18] “Logika adalah suatu studi yang sistimatik tentang struk-tur proposisi dan syarat-syarat umum mengenai penalaran yang sahih den-gan menggunakan metode yang mengesampingkan isi atau bahan proposisidan hanya membahas bentuk logisnya saja”. Sejalan dengan pendapat diatas, menurut kamus matematika oleh Borowsky & Borwein [1], dijelaskanbahwa logika adalah prinsip dan metode khas yang dipergunakan dalam ar-gumentasi atau penalaran yang tidak memperhatikan isi atau konteks daribentuk penalaran. Logika yang mengesampingkan isi dari pernyataan danhanya melihat bentuknya saja (terutama pada saat mengadakan penalaran),lebih dikenal dengan istilah logika formal, logika simbolik, logika modernatau logika matematika. Ciri lain dari logika matematika adalah penalaran-nya berdasarkan penalaran deduktif, yang didasarkan atas sejumlah un-sur tak terdefinisi (undifine term), unsur terdefinisi, asumsi dasar/ aksiomaserta aturan-aturan tertentu yang daripadanya dapat diturunkan teorema-teorema. Keseluruhan ini membangun suatu sistem yang disebut sistemmatematika. Lebih lanjut, dalam menetapkan defininsi maupun aksiomaseorang matematisi sesungguhnya, tidak harus menghubungkannya dengankeadaan nyata (real world/ concrete situation), namun demikian yang ter-penting, aksioma atau definisi yang dirumuskan haruslah konsisten tidakbertentangan satu dengan yang lain. Beberapa buku teks tentang logikasimbolik atau logika matematika diantaranya adalah Copi [2], Gemignani
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
20 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
[6], Thomas [20], dan Polimeni & Straight [15].
1.1.1. Notasi
Notasi adalah alat bantu untuk menyatakan sesuatu. Notasi menyingkatkalimat verbal yang panjang dengan suatu simbol yang ringkas. Tanpamenggunakan simbol kita akan mengulang-ulang beberapa kalimat seperti: “Sembarang mahasiswa Universitas Jember” atau “Sembarang bilanganreal” dan lain-lain. Hal ini bukannya tidak mungkin dilakukan, tetapi tentusaja akan tidak efisien. Sementara, dengan menggunakan simbol, istilah itubisa dipersingkat menjadi “Si-X” atau X.
Beberapa hal yang harus diperhatikan dalam penggunaan notasi yangbaik, antara lain, seperti diuraikan berikut.
1. Beberapa simbol tertentu, secara tetap sudah digunakan untuk menun-jukkan hal-hal tertentu. Misalnya, notasi π biasa digunakan sebagailambang bilangan irasional 3,1415.... Demikian pula konsensus lain-nya yang telah disepakati oleh para ahli harus tetap diikuti. Sebagaicontoh dalam hubungannya dengan tetapan dan peubah, seperti paday = ax2 + bx+ c, disepakati bahwa hurup-hurup pertama abjad diper-gunakan untuk melambangkan tetapan, sedangkan hurup-hurup akhirdipergunakan sebagai lambang peubah.
2. Sekali simbol telah diperkenalkan sebagai wakil suatu objek, maka se-cara konsisten, simbol tersebut sebisanya digunakan untuk objek terse-but. Jika suatu objek dapat disimbolkan dengan lebih dari satu macam
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
21 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
simbol dan semua simbol itu akan digunakan tanpa suatu pengkhusu-san maka hal ini biasanya dijelaskan sejak awal. Sebaliknya jika suatunotasi terpaksa digunakan untuk objek lain, selain yang telah didefin-isikan, maka definisi baru harus diberikan. Hal ini mungkin terjadimengingat terbatasnya jumlah simbol yang bisa digunakan sebagai no-tasi sebaliknya sangat banyak objek yang harus dinotasikan.
1.1.2. Definisi
Supaya arti istilah-istilah yang dipergunakan jelas, perlu ditetapkan definisiyang benar. Sekali suatu istilah didefinisikan maka untuk selanjutnya istilahtersebut dipergunakan dalam arti yang sama. Jika suatu istilah tidak jelasdefinisinya maka tidak mustahil dia dipergunakan dalam arti yang berbeda-beda, hal ini dapat mengantarkan kita kepada hal yang salah.
Menurut Borowsky & Borwein [1] definisi adalah pernyataan yang tepattentang suatu istilah (disebut definiendum) dengan menggunakan istilah lainyang ekuivalen (disebut definien).
Untuk merumuskan suatu definisi ada beberapa aturan yang perlu diikutiantara lain (Copi [2]):
1. Definisi sebaiknya menyatakan konotasi yang konvensional (yang disep-akati) dari istilah yang didefinisikan. Yang dimaksud dengan konotasiadalah sifat, karakteristik atau kualitas dari suatu benda.
2. Definisi mestinya tidak berbelit-belit (tidak circular). Contoh definisi
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
22 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
yang kurang baik adalah : Manusia adalah orang. Binatang adalahhewan dan sebagainya.
3. Definisi haruslah tidak terlalu luas ataupun terlalu sempit. Contohdefinisi terlalu luas : Manusia adalah binatang berkaki dua. Defin-isi yang terlalu sempit misalnya : Mamalia adalah binatang berkakiempat.
4. Definisi tidak boleh menggunakan kata-kata yang samar-samar, haruslebih jelas dari yang didefinisikan. Definisi tidak boleh dinyatakandalam bahasa metaphora(kiasan /figurative) juga tidak boleh menggu-nakan kata-kata yang samar-samar (obscure). Salah satu tujuan peru-musan definisi adalah menghilangkan ketidakjelasan dari istilah bukansebaliknya membuat menjadi lebih samar/tidak jelas.
5. Definisi seharusnya tidak dinyatakan dalam kalimat negatif jika masihdapat dinyatakandengan kalimat positif. Definisi yang kurang baik mis-alnya, “bangku adalah mebel kayu tetapi bukan kursi dan bukan meja”.Akan tetapi memang ada istilah yang harus didefinisikan dalam ben-tuk kalimat negatif seperti“botak adalah kepala yang tidak mempunyairambut”.
Unsur yang didefinisikan disebut juga definiendum dan sejumlah symbol yangdipergunakan untuk menjelaskan definiendum tersebut dinamakan definien.Definisi yang menyatakan hubungan atara definiendum dengan definien de-gan tanda sama dengan (=) disebut definisi eksplisit.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
23 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 1.1.definisi︷ ︸︸ ︷
xn︸︷︷︸definiendum
= x× x× x× · · · × x︸ ︷︷ ︸definien
Mendefinisikan suatu istilah berarti menjelaskan istilah tersebut denganmenggunakan kata-kata (istilah) yang lain, maka ada tahapan kita harusmenerima suatu istilah tertentu tanpa suatu definisi (selanjutnya ini disebutistilah tak terdefinisi, undefined term atau premitive symbol). Sebagaimanadikatakan oleh Bertrand Russel berikut :
Since all terms that defined, are defined by means of other terms,it is clear that human knowledge must always be content to acceptsome terms as an intelligible definition, in order to have a starting-point for its definition.
Selain definisi, dalam matematika atau logika ada beberapa istilah lainyang sering dipergunakan diantaranya adalah:aksioma,teorema atau dalil,asumsi.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
24 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.2. Pernyataan Tunggal dan Negasinya
1.2.1. Pengertian Pernyataan
Pernyataan disebut juga : kalimat deklaratif, stetemen, proposisi, atau ver-bal assertion. Beberapa ahli ada yang membedakan istilah pernyataan danproposisi, ada pula yang menyamakan saja. Dalam buku ini istilah-istilahtersebut dipergunakan dengan arti yang sama dan dipakai secara acak. Se-belum kita membicarakan lebih lanjut tentang kalimat deklaratif ini, adabaiknya kita lihat pembagian kalimat yang umum dilakukan dalam matem-atika.
Definisi 1.2.1. Pernyataan adalah suatu kalimat yang bernilai benar atausalah tetapi tidak dua-duanya.
Istilah benar dan salah dapat dijadikan sebagai suatu istilah tak ter-definisikan karena bisa kita anggap jelas pernyataan yang bernilai benar danpernyataan yang bernilai salah. Dengan demikian, tidak perlu lagi didefin-isikan apa yang dimaksud pernyataan bernilai benar atau pernyataan bernilaisalah.
Contoh 1.2. Contoh pernyataan diantaranya:
1. Lima(5) adalah bilangan prima
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
25 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2. Jakarta adalah ibukota negara Republik Indonesia
3. Dua (2) adalah bilangan prima yang genap
4. Saat ini di ruang 1 Matematika MIPA sedang ada kuliah.
Benar tidaknya kalimat pertama sampai ketiga dapat segera ditentukan,sedangkan pada kalimat terakhir untuk menentukan benar atau tidaknyaperlu diadakan observasi. Pernyataan yang langsung dapat dinyatakan benaratau tidaknya disebut pernyataan absolut/mutlak. Sedangkan pernyataanyang tidak segera diketahui kebenaran atau tidaknya dinamakan pernyataanempirik. Untuk memudahkan pembahasan, kita lebih banyak membicarakanpernyataan yang absolut.
Dari segi matematika atau logika, kalimat-kalimat seperti: “lima (5)mencintai 3”; “ayah habis dibagi anak”; tidak dikatakan sebagai pernyataansalah, tetapi disebut kalimat yang tidak bermakna (tidak benar, tidak salah).Hal ini akan menjadi lebih jelas setelah kita membicarakan nilai kebenaransuatu pernyataan.
1.2.2. Pernyataan Tunggal
Secara tata bahasa, sebuah kalimat atau pernyataan harus memiliki pokokkalimat atau pokok persoalan dan kata kerja yang menggambarkan apa yangdilakukan atau terjadi pada pokok persoalan tadi. Pernyataan yang hanyamemuat satu pokok persoalan disebut pernyataan tunggal.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
26 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Definisi 1.2.2. Pernyataan tunggal adalah pernyataan yang hanya memuatsatu pokok persoalan atau satu ide.
Notasi 1.2.1. Pernyataan tunggal pada umumnya dinyatakan dengan huruf-huruf kecil seperti p, q, dan r.
Contoh 1.3. Berikut ini adalah beberapa contoh kalimat tunggalp : Lima (5) adalah bilangan primaq : Sembilan (9) adalah bilangan sempurnar : Sepuluh (10) adalah bilangan berlebih/abundan abundan
Kebenaran atau ketidakbenaran suatu pernyataan dinamakan nilai kebe-naran atau nilai logik (truth value) dari pernyataan tersebut dan diotasikandengan τ(p). Sebagai simbol dari benar biasa di pakai B (benar), R (right),T (true) atau 1 sedangkan simbol salah digunakan S (salah), W (wrong),F (false) atau 0. Penggunaan notasi nilai kebenaran ini harus berpasangan(B-S, R-W,T-F, l-0). Jadi, pada contoh di atas
(i) nilai kebenaran p adalah benar,τ(p) = 1;
(ii) nilai kebenaran q adalah salah, τ(q) = 0 dan
(iii) nilai kebenaran r adalah salah, τ(r) = 0.
Nilai kebenaran pernyataan dapat pula disusun dalam suatu tabel yang dise-but tabel kebenaran (truth table).
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
27 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
p ¬p1 00 1
1.2.3. Negasi Pernyataan Tunggal
Definisi 1.2.3. Negasi dari pernyataan p adalah suatu pernyataan yangbernilai salah jika p benar dan bernilai benar jika p salah.
τ(¬p) = 1 jika τ(p) = 0 dan τ(¬p) = 0 jika τ(p) = 1. (1.1)
Notasi 1.2.2. Negasi dari p dinotasikan dengan p′ atau ∼ p atau ¬p. (dibaca“negasi p” ,“tidak p ” , “ bukan p” atau “ingkaran p”).
Jika pernyataan p dan negasinya di buat tabel kebenarannya maka kitaperoleh tabel kebenaran dari ¬p seperti tabel di sebelah kiri.
Contoh 1.4. Buatlah negasi dari kalimat/ pernyataan-pernyataan berikut :
p : Lima (5) adalah bilangan prima;
q : sepuluh (10) adalah bilangan abundan.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
28 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Jawab :
Untuk mencari negasi yang tepat dari pernyataan-pernyataan tersebutpertama kita buat pernyataan berikut :¬p : tidak benar 5 adalah bilangan prima;
: lima (5) adalah bukan bilangan prima;¬q : tidak benar 10 adalah bilangan abundan/ berlebih;
: sepuluh (10) adalah bukan bilangan abundan/berlebih.Babarapa hal yang harus diperhatikan terkait definisi dan negasi.
1. Kata sifat tidak bisa dijadikan sebagai unsur tak terdefinisi (undefinedterm). Jika kata-kata seperti ini dibuat untuk membuat pernyataan,maka harus didefinisikan terlebih dahulu. Misalnya pada kalimat “Anianak yang pandai”, selain butuh observasi juga harus didefinisikan ter-lebih dahulu tentang kriteria “pandai”, sehingga tidak menimbulkanpenafsiran berbeda1.
2. Jika suatu pernyataan bernilai benar, maka negasinya bernilai salah.Jika pernyataan dan negasinya tidak bisa dinilai benar atau salah makakalimat tersebut dikatakan kalimat tak bermakna (lihat pembangiankalimat pada Gambar 1.1). Misalnya, kalimat-kalimat berikut
p : kakak habis dibagi adik, dan¬p : kakak tidak habis dibagi adik,
1Logika yang berkaitan dengan kata sifat dibahas pada bagian logika samar (fuzzylogics)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
29 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
keduanya tidak bisa dinilai benar atau salah sehingga keduanya bukanmerupakan pernyataan.
3. Dilihat dari jumlah faktor-faktor sejatinya (termasuk 1) bilangan dibedakanmenjadi bilangan abundan, bilangan sempurna, dan bilangan defisienberkurang
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
30 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
� � � � � � �
� � � � � � �� � � � � � �
� � � � � � � � � �� � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � �
Gambar 1.1: Diagram pembagian kalimat dilihat dari nilai logikanya
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
31 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.3. Pernyataan majemuk dan negasinya
Beberapa kalimat tunggal, p, q, dapat digabung dengan menggunakan katapenghubung sehingga membentuk pernyataan baru seperti: p dan q, p atauq, p yang q dan sebagainya. Pernyataan baru ini disebut pernyataan maje-muk. Kata-kata penghubung kedua pernyataan biasa disebut konektor atauperakit. Berikut dibahas beberapa perakit dasar beserta tabel kebenarannya.
1.3.1. Perakit Konjungsi (dan)
Salah satu cara menggabungkan pernyataan adalah dengan menggunakankata hubung dan. Dalam logika penghubung ini disebut konjungsi.
Definisi 1.3.1. Konjungsi dari p dan q (ditulis :p ∧ q, dibaca “p danq”) adalah pernyataan majemuk yang bernilai benar hanya apabila masing-masing p, maupun q bernilai benar. Sedangkan untuk keadaan lain maka diabernilai salah.
Notasi 1.3.1. Beberapa simbol yang sering digunakan untuk perakit dan iniadalah : p ∧ q, p× q, p& q atau pq.
Dari definisi di atas dapat dibuat tabel kebenaran untuk p ∧ q sepertipada tabel di sebelah. Dalam membuat tabel kebenaran, banyaknya pasan-gan yang bisa dibuat dari n pernyataan/ kalimat penyusun adalah 2n, ini
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
32 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
p q p ∧ q1 1 11 0 00 1 00 0 0
disebabkan karena untuk setiap pernyataan hanya ada 2 nilai yang mungkin(0 atau 1). Perakit konjungsi disebut juga perakit penyertaan, karena harusmenyertakan semua komponen-komponennya dan bernilai benar hanya jikasemua komponennya benar. Dalam kehidupan sehari -hari banyak katahubung lain yang mempunyai arti yang sama dengan “dan” yaitu : yang,tetapi, meskipun, maupun.
Contoh 1.5. Diketahui:p : dua (2) adalah bilangan genapq : dua (2) adalah bilangan prima.
Konjungsi p ∧ q dapat dinyatakan sebagai:p ∧ q : dua (2) adalah bilangan genap dan prima;p ∧ q : dua (2) adalah bilangan genap yang prima.
Contoh 1.6. Diketahui :r : Ani adalah anak yang rendah hati;s : Ani adalah anak yang pandai.
Maka konjungsi r dan s adalah
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
33 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
r ∧ s : Ani adalah anak yang rendah hati meskipun pandai.
Dalam matematika ada beberapa konsep yang harus dihubungkan dengankonjungsi.
Contoh 1.7.
Jika xy < 0 maka x > 0 dan y < 0, ataux < 0 dan y > 0.
Jika xy ≥ 0 maka x ≥ 0 dan y ≥ 0, ataux ≤ 0 dan y ≤ 0.
1.3.2. Perakit Disjungsi (atau)
Selain dengan kata hubung dan pernyataan-pernyataan dapat juga digabungdengan menggunakan kata hubung atau. Kata hubung ini dalam logika dise-but perakit disjungsi.
Definisi 1.3.2. Disjungsi dari pernyataan p dan q adalah pernyataanyang dibaca “p atau q”. Pernyataan ini bernilai salah hanya apabila masing-masing p dan q salah. Sedangkan untuk keadaan lain ia bernilai benar.
Notasi 1.3.2. Notasi : notasi yang umum digunakan untuk perakit disjungsiadalah : p ∨ q; p+ q.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
34 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
p q p ∨ q1 1 11 0 10 1 10 0 0
τ(p ∨ q) = 1 jika[τ(p) = 1 atau τ(q) = 1 atau τ(p) = τ(q) = 1
](1.2)
Sesuai dengan definisinya, maka tabel kebenaran disjungsi ini adalah sepertipada tabel di sebelah.
Disjungsi disebut juga alternatif, karena cukup salah satu saja kompo-nennya benar maka disjungsinya benar. Disjungsi yang didefinisikan sepertidi atas disebut disjungsi inklusif (lemah/ weak). Disjungsi ini yang banyakdibicarakan dalam matematika dan jika dikatakan p atau q maka yang di-maksud adalah disjungsi inklusif ini.
Contoh 1.8. Diketahui:
(i) . Jakarta ada dipulau Jawa atau 2 + 3 = 5;
(ii) . sin 90o = 1 atau 2× 3 = 9;
(iii) . akar sembilan (√
9) adalah irasional atau 3 + 7 = 9;
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
35 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(iv) . tujuh (7) adalah bilangan komposit atau 8 adalah bilangan prima.
Tentukan nilai kebenaran pernyataan di atas.
Jawab:Dengan mudah dapat dipahami bahwa nilai kebenaran kalimat-kalimat
di atas adalah :(i) . B , (ii) . B (iii) . B dan (iv). S
Contoh 1.9. Diketahui :p : 2 adalah bilangan genapq : cos 60o = 1, 5r : matahari terbit dari barats : jumlah sudut-sudut segitiga adalah 180o
Tentukan
p ∨ r dan q ∨ s.Jawab :
(i) p ∨ r : 2 adalah bilangan genap atau matahari terbit dari barat;
(ii) q ∨ s : cos 60o = 1, 5 atau jumlah sudut-sudut segitiga adalah 180o.
Dalam matematika ada kalimat yang harus dihubungkan dengan disjungsiseperti pada contoh berikut.
Contoh 1.10. 1. Jika xy = 0, maka x = 0 atau y = 0.
2. x2 = 4, maka x = 2 atau x = −2.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
36 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Setelah kita mengetahui tiga perakit dasar dalam logika (¬,∧,∨), kita tin-jau kembali definisi pernyataan dalam matematika yaitu bahwa pernyataanitu harus bernilai benar atau salah tetapi tidak mungkin sekaligus benardan salah, prinsip ini merupakan prinsip dasar logika yang dapat dinyatakandalam suatu persamaan berikut ini.
τ(p) =(0 ∨ 1
)∧[¬(0 ∧ 1)
](1.3)
Prinsip di atas dapat dinyatakan secara lebih luas dan dikenal dengan prinsipexcluded middle yang dinyatakan seperti berikut ini.
Definisi 1.3.3 (Prinsip Excluded Middle). Salah satu dari pernyataan patau q benar tetapi tidak dua-duanya.[
p ∨ q]∧[¬(p ∧ q
)](1.4)
Contoh yang paling jelas adalah ketika q = ¬p, yaitu[p ∨ (¬p)
]∧[¬(p ∧ (¬q)
)]
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
37 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.4. Tautologi dan Kontradiksi
Sebagaimana telah disampaikan sebelumnya, bahwa beberapa pernyataandapat digabung untuk membentuk pernyataan majemuk.
Notasi 1.4.1. Pernyataan-pernyataan tunggal p1, p2, · · · , pn dapat mem-bentuk suatu pernyatan majemuk yang dihubungkan oleh berbagai perakit dandinotasikan dengan P (p1, p2, · · · , pn).
Dilihat dari nilai kebenarannya, ada dua jenis kalimat majemuk yangistimewa, yaitu kalimat majemuk yang selalu bernilai benar dan kalimatmajemuk yang selalu bernilai salah, terlepas dari nilai kebenaran masing-masing komponennya.
Definisi 1.4.1. Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu berni-lai benar (dalam segala hal) tanpa memandang nilai kebenaran komponen-komponennya.
P (p1, p2, · · · , pn) = T, jika τ[P (p1, p2, · · · , pn)
]= 1 (1.5)
untuk semua kemungkinan τ(pi).
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
38 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Definisi 1.4.2. Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu berni-lai salah (dalam segala hal) tanpa bergantung nilai kebenaran dari komponen-nya.
P (p1, p2, · · · , pn) = F, jika τ[P (p1, p2, · · · , pn)
]= 0 (1.6)
untuk semua kemungkinan τ(pi).
Kita menggunakan notasi T dan F untuk menunjukkan bahwa nilai perny-ataan majemuk tersebut selalu benar atau selalu salah untuk semua kombi-nasi nilai p1, p2, · · · , pn.
Contoh 1.11.
(i) . p ∨ (¬p) adalah suatu tautologi.
(ii) . p ∧ (¬p) adalah suatu kontradiksi.
Tabel kebenaran untuk tautologi dan kontradiksi di atas dapat ditun-jukkan dalam dua tabel berikut.
Tabel kebenaran p ∨ (¬p) dan p ∧ qp ¬p p ∨ (¬p) p ∧ q1 0 1 00 1 1 0
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
39 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.5. Aljabar pernyataan
Susunan pernyataan majemuk dapat juga dianggap sebagai hasil operasi daribeberapa pernyataan dengan perakit-perakit pernyataan sebagai operasi hi-tung. Sedangkan sebagai pengganti kesamaan dalam logika kita mengenalekuivalensi, (≡). Operasi beserta pernyataannya ini dikenal dengan istilahaljabar pernyataan atau kalkulus pernyataan.
Definisi 1.5.1. Dua pernyataan dikatakan ekuivalen jika pernyataan-pernyataan tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk setiap keadaankomponennya
Jika τ[P (pl, p2, ..., pn)
]= τ[Q(ql, q2, ..., qn)
]maka
P (pl, p2, ..., pn) ≡ Q(ql, q2, ..., qn) (1.7)
Definisi yang lain tentang ekuivalensi juga disampaikan pada Definisi 2.4.2persamaan (2.4) halaman 70 setelah membicarakan ekuivalensi logis.
Jadi dalam aljabar pernyataan kita memiliki:
1. objek: pernyataan-pernyataan, p1, p2, · · · , pn;
2. operator: ¬,∧,∨;
3. kesamaan: ≡.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
40 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Pada bagian ke dua buku ini, akan ditunjukkan bahwa ≡ merupakanrelasi ekuivalensi.
Teorema 1.5.1. Relasi ≡ ini adalah relasi ekuivalensi yaitu :
(i) . p ≡ p (refleksif)
(ii) . Jika p ≡ q maka q ≡ p (simetris)
(iii) . Jika p ≡ q dan q ≡ r maka p ≡ r (transitif)
Contoh 1.12. Buatlah tabel kebenaran dari ¬(p ∨ q) serta (¬p) ∧ (¬q). Tun-jukkan/ selidiki bahwa ¬(p ∨ q) ≡ (¬p) ∧ (¬q).
Jawab :
Tabel kebenaran ¬(p ∨ q) dan (¬p) ∧ (¬q)p q (p ∨ q) ¬(p ∨ q) ¬p ¬q (¬p) ∧ (¬q)1 1 1 0 0 0 01 0 1 0 0 1 00 1 1 0 1 0 00 0 0 1 1 1 1
Karena nilai kebenaran ¬(p∨q) dan (¬p)∧(¬q) sama untuk setiap pasangannilai komponennya, maka ¬(p ∨ q) ≡ (¬p) ∧ (¬q)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
41 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.6. Bentuk Rangkap dan Prinsip Kerangkapan
Salah satu sifat yang sangat menarik dalam aljabar logika adalah sifat rangkapatau dual dari suatu pernyataan majemuk.
Definisi 1.6.1. Bentuk rangkap (dual) dari kalimat majemuk P (p1, p2, · · · , pn)adalah bentuk yang diperoleh dengan menggantikan tanda ∨ dengan ∧ dansebaliknya, demikian juga F dengan T dan sebaliknya secara serempak.
Contoh 1.13.
(i) bentuk rangkap dari p ∧ (q ∨ r) adalah p ∨ (q ∧ r);
(ii) bentuk rangkap dari p ∨ (¬p) ≡ T adalah p ∧ (¬p) ≡ F
Teorema 1.6.1 (Prinsip kerangkapan/dualitas). Jika suatu pernyataan(teorema) sudah terbukti kebeharannya maka bentuk rangkapnya juga valid.
Contoh 1.14.
(i) Bentuk p∨ (¬p) ≡ T adalah valid (merupakan tautologi), maka bentukp ∧ (¬p) ≡ F juga valid (merupakan kontradiksi);
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
42 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(ii) Bentuk p ∧ p ≡ p adalah valid, maka bentuk p ∨ p ≡ p juga valid.
Berikut disampaikan beberapa sifat dasar aljabar kalimat yang dapatdibuktikan dengan membuat tabel kebenaran dari bentuk aljabar yang bersangku-tan.
Teorema 1.6.2 (Negasi ganda).
¬(¬p)) ≡ p (1.8)
Teorema 1.6.3 (Hukum Komutatif/ pertukaran).
(p ∧ q) ≡ (q ∧ p) (1.9a)
(p ∨ q) ≡ (q ∨ p) (1.9b)
Teorema 1.6.4 (Hukum Assosiatif/ pengelompokan).
p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r (1.10a)
p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r (1.10b)
Teorema 1.6.5 (Hukum Identitas).
p ∧ F ≡ F dan p ∧ T ≡ p (1.11a)
p ∨ T ≡ T dan p ∨ F ≡ p (1.11b)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
43 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Teorema 1.6.6 (Hukum Komplemen/invers).
p ∧ (¬p) ≡ F dan (¬F ) ≡ T (1.12a)
p ∨ (¬p) ≡ T dan (¬T ) ≡ F (1.12b)
Teorema 1.6.7 (Hukum De Morgan).
¬(p ∧ q) ≡ ¬(p) ∨ (¬q) (1.13a)
¬(p ∨ q) ≡ (¬p) ∧ (¬q) (1.13b)
Teorema 1.6.8 (Hukum Distributif).
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) (1.14a)
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) (1.14b)
Teorema 1.6.9 (Hukum Idempoten).
p ∧ p ≡ p (1.15a)
p ∨ p ≡ p (1.15b)
Teorema 1.6.10 (Hukum Absorpsi /Penyerapan).
p ∧ (p ∨ q) ≡ p dan p ∨ (p ∧ (¬q)) ≡ p (1.16a)
p ∨ (p ∧ q) ≡ p dan p ∧ (p ∨ (¬q) ≡ p (1.16b)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
44 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Teorema 1.6.11 (Komplementasi Gabungan).
p ∧ ((¬p) ∨ q) ≡ p ∧ q (1.17a)
p ∨ ((¬p) ∧ q) ≡ p ∨ q (1.17b)
Hukum-hukum di atas dapat dibuktikan dengan membuat tabel kebe-narannya. Selanjutnya hukum-hukum di atas dapat digunakan untuk mem-buktikan ekuivalensi yang lain. Jika diminta, maka pembuktian harus di-turunkan dari kesepuluh hukum diatas (bukan dengan tabel kebenaran).Bahkan dalam sistem deduksi yang akan kita pelajari pada bab berikut-nya asumsi dasar (aksioma) yang kita pakai sebagai dasar lebih terbataslagi dan yang lainnya harus kita turunkan dengan menggunakan aksioma-aksioma atau definisi yang diketahui. Sebenarnya hukum absorpsi dapatdibuktikan secara deduktif (bukan menggunakan tabel kebenaran) denganmenggunakan sifat-sifat sebelumnya. Dalam logika sangat penting sekalimenunjukkan alasan yang dipergunakan pada setiap langkah. Bukti hukumabsorpsi/ penyerapan adalah sebagai berikut ini (lihat Sulistyaningsih [19]).
p ∧ (p ∨ q) ≡ (p ∨ F ) ∧ (p ∨ q) identittas
≡ p ∨ (F ∧ q) distributif
≡ p ∨ F identitas
≡ p identitas
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
45 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.7. Perakit-perakit Lain
Selain perakit-perakit yang telah disampaikan di depan, ada lagi perakitlain yang memang tidak banyak dipakai atau dibicarakan yaitu: perakit dis-jungsi eksklusif, perakit Stroke dan perakit Dagger (lihat Copi [2]). Perakit-perakit ini pada prinsipnya dapat didefinisikan sebagai fungsi dari perakitdasar (¬,∧,∨).
1.7.1. Perakit Disjungsi eksklusif
Selain disjungsi yang telah dibicarakan sebelumnya, yang dikenal dengan isti-lah disjungsi inklusif, dalam logika ada juga disjungsi yang lain yang disebutdisjungsi eksklusif, seperti didefinisikan berikut ini.
Definisi 1.7.1. Disjungsi eksklusif dari p dengan q (dibaca “atau p....atau q”) adalah pernyataan yang berarti p atau q tetapi tidak keduanya.
Notasi 1.7.1. Disjungsi eksklusif p dengan q dinotasikan dengan p∨ q
Secara simbolis dapat dituliskan :
p∨ q = (p ∨ q) ∧[¬(p ∧ q)
](1.18a)
= (p ∨ q) ∧(p ∧ q
)(1.18b)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
46 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Dari definisi di atas, dapat ditentukankan tabel kebenaran dari disjungsieksklusif ini, seperti pada tabel berikut.
Tabel Kebenaran Disjungsi Eksklusif
p q r = s = t = r ∧ t = p∨ q(p ∨ q) (p ∧ q) ¬(s)
1 1 1 1 0 01 0 1 0 1 10 1 1 0 1 10 0 0 0 1 0
Dengan demikian, jika seseorang mengajukan alternatif dengan maksudhanya dipilih salah satu tidak boleh keduanya, maka sebaiknya dan seharus-nya dinyatakan dengan disjungsi eksklusif ini. Misalnya, secara matematis,gadis-gadis, kepada pacarnya, sebaiknya mengatakan : “Silahkan pilih ataudia atau aku !”, jika dia ingin pacarnya hanya memilih salah satu dari mereka.Sebab, jika mereka mengatakan : “Pilih dia atau aku !” maka sang lelaki tidaksalah kalau memilih keduanya. Namun, secara alami memang ada kejadianyang sifatnya eksklusif (saling asing), misalnya seperti contoh berikut ini.
1. Pak Amir saat ini sedang memberi kuliah atau rapat.
2. Tiga (3) adalah bilangan ganjil atau genap.
3. Sembilan (9) adalah bilangan prima atau komposit.
4. Adik sedang bersiul atau gosok gigi.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
47 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.7.2. Fungsi / Operator Stroke dan Dagger
Operator Stroke (/)
Operator Stroke dinotasikan dengan “/ ”. Fungsi atau operator Stroke inidisebut juga pengingkaran alternatif (The alternative denial). Dalam bentuknotasi dasar yang telah kita pelajari operasi Stroke ini dapat dinyatakansebagai
Definisi 1.7.2 (Operator Stroke).
p/q = (¬p) ∨ (¬(q)) (alternatif) (1.19)
Operator Dagger (↓)Operator Dagger dinotasikan dengan “↓” atau “†”. p ↓ q dibaca “bukan pdan bukan pula q”, neither p nor q. Operator Dagger disebut juga the jointdenial atau pengingkaran bersama atau konjungsi ingkaran. Dalam bentuknotasi dasar yang telah kita pelajari operasi dagger ini dapat dinyatakansebagai
Definisi 1.7.3 (Operator Dagger).
p ↓ q = ¬p ∧ ¬q (bersama-sama) (1.20)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
48 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tabel 1.1: Tabel Kebenaran Operator Stroke dan Daggerp q ¬p ¬q p/q p ↓ q1 1 0 0 0 01 0 0 1 1 00 1 1 0 1 00 0 1 1 1 1
Dari Definisi 1.7.2 dan Definisi 1.7.3, kita dapat turunkan sifat atau ak-sioma berikut.
Teorema 1.7.1.
p/q = ¬(p ∧ q) (1.21)
p ↓ q = ¬(p ∨ q) (1.22)
Dari definisi sebelumnya maupun dari teorema di atas, kita dapat menen-tukan nilai kebenaran dari operator Stroke dan Dagger seperti Tabel Kebe-naran 1.1.
Catatan: Untuk menghindarkan penggunaan kurung yang terlalu banyak,maka diadakan kesepakatan bahwa dalam aljabar pernyataan, urutan/hirarkioperasi ¬,∧,∨ adalah yang pertama ¬, lalu diikuti ∧ dan ∨.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
49 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 1.15.
¬p ∧ ¬q ∨ p ∧ q ≡[(¬p) ∧ (¬q)
]∨ (p ∧ q)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
50 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.8. Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini selai beberapa sumberyang telah dikutip sebelumnya, dapat juga dibaca beberapa sumber laindiantaranya Enderton [4], Thomas [20], Gemignani [6]. Definisi umum be-berapa istilah dalam buku ini selain diambil dari kamus matematika olehBorowsky & Borwein [1]. juga diambil dari eksiklopedia matematika olehNegoro & Harahap [12].
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
51 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.9. Soal-soal Latihan
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut kemudian ten-tukan negasinya.
1. 7 + 3 =10.
2. 7 + 5 > 10− 4.
3. Sembilan (9) adalah bilangan ganjil.
4. Bujur sangkar adalah persegi panjang.
5. Jumlah sudut-sudut segitiga adalah 180.
6. Seratus dua puluh satu (121) adalah bilangan prima.
7. Gajah adalah binatang berkaki dua.
8. Jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap.
9. Tujuh (7) adalah bilangan komposit (bukan prima).
10. Matahari terbit dari sebelah timur.
11. Diketahui :
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
52 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
p : Jakarta adalah ibu kota negara RIq : 3 + 4 =10r : persegi panjang adalah suatu bujur sangkars : 7 adalah bilangan ganjilt : 8 adalah bilangan genap
Tentukan :
(i) . p ∧ q(ii) . q ∧ r
(iii) . r ∧ s(iv) . s ∧ t
12. Buktikan bahwa :
(a) ¬p ≡ p/p
(b) p ∧ q ≡ (p/q)/(p/q)
(c) ¬p ∨ q ≡ (p/p)/(q/q)
(d) p/q ≡[(p ↓ p) ↓ (q ↓ q) ↓ (p ↓ p) ↓ (q ↓ q)
](e) p ↓ q ≡
[(p/p)/(q/q)/(q/q)/(p/p)/(q/q)
]13. Buatlah tabel kebenaran dari :
(a) p ∨ ¬q
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
53 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(b) p ∧ ¬q(c) (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q)(d) ¬(¬p ∨ ¬q)
14. Buktikan dengan hukum-hukum aljabar proposisi
(a) ¬(p ∨ q) ∨ p ≡ T
(b) p ∧ ¬(p ∨ q) ≡ F
(c) (p ∧ q) ≡ ¬(¬p ∨ ¬q)(d) (p ∧ q) ∨ ¬p ≡ ¬p ∨ q(e) Hukum komplementasi gabungan dan hukum absorpsi yang belum
dibuktikan.
15. Buktikan bahwa (p ∨ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) = T
16. Buktikan bahwa :
(a) ¬p ≡ p ↓ p(b) p ∧ q ≡ (p ↓ p) ↓ (q ↓ q)(c) p ∨ q ≡ (p ↓ q) ↓ (p ↓ q)(d) p ≡ (p ↓ p) ↓ (p ↓ p(e) p ↓ (p ↓ p) ≡ F
(f) p/(p/p) ≡ T
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
54 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
17. Misalkan
p : Angin bertiup
q : Cuaca cerah
Tulis kalimat yang disimbolkan seperti berikut ini :
(a) ¬p(b) ¬p ∧ ¬q(c) p ∧ q(d) ¬(p ∧ q)(e) ¬(p ∨ q)(f) ¬p ∨ q(g) p ∨ q(h) ¬p ∨ ¬q
18. Diketahui
p : Ani anak yang cantik
q : Ani anak yang pandai
r : Ani anak yang disiplin
Tulis notasi dari pernyataan-pernyataan berikut :
(a) Ani adalah anak yang cantik dan pandai.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
55 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(b) Meskipun tidak pandai, Ani disiplin
(c) Ani adalah anak yang pandai dan disiplin tetapi tidak cantik.
(d) Ani adalah anak yang cantik atau sekaligus pandai dan disiplin.
(e) Mustahil Ani sekaligus pandai dan cantik
(f) Ani tidaklah cantik dan tidak pula pandai.
19. Selidikilah pasangan-pasangan kalimat berikut, tentukan apakah kali-mat yang kedua merupakan ingkaran dari kalimat pertama.
(a) Saya haus. Saya tidak haus.
(b) Siti berbaju merah. Siti berbaju putih.
(c) 7 adalah bilangan ganjil dan prima. 7 bukan bilangan ganjil danbukan bilangan prima.
(d) Ayah atau Ibu menjemput adik. Ayah menjemput adik tetapi ibutidak menjemput adik.
(e) Hari ini cuaca cerah. Hari ini hujan deras.
(f) 2 + 3 > 7− 6. 2 + 3 < 7− 6.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
56 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
57 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
BAB 2
PERNYATAAN BERSYARAT/KONDISIONAL
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
58 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Umum
Setelah menyelesaikan materi pada bab ini pembaca diharapkan memahamibentuk-bentuk, penilaian serta negasi pernyataan bersyarat, hierarki perakit-perakit termasuk perakit bersyarat.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
59 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Khusus
Setelah menyelesaikan materi pada bab ini pembaca diharapkan dapat
1. menyebutkan definisi implikasi dan variasinya
2. menyebutkan definisi biimplikasi
3. menentukan apakah suatu implikasi merupakan implikasi logis
4. menentukan apakah suatu biimplikasi merupakan biimplikasi logis
5. menentukan hubungan implikasi dengan perakit dasar (dan, atau, ne-gasi)
6. menentukan negasi kalimat bersyarat
7. menerapkan hierarki perakit
8. menerapkan notasi Lukasiewicz
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
60 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Materi
1. Implikasi dan variasinya
2. Biimplikasi
3. Implikasi Logis dan Ekuivalensi Logis
4. Ekuivalensi dengan perakit dasar
5. Negasi pernyataan bersyarat
6. Hirarki perakit dan Notasi Lukasiewicz
Banyak pernyataan-pernyataan dalam matematika berbentuk “jika ... maka...”.Kalimat atau pernyataan seperti ini disebut kalimat bersyarat atau kondi-sional. Pernyataan berbentuk “jika ... maka ... ” ini disebut implikasi.Sedangkan pernyataan berbentuk “jika ... maka dan jika ... maka ...” dise-but pernyataan berbentuk implikasi dua arah atau biimplikasi. Biimplikasiini lebih umum dinyatakan dengan “... jika dan hanya jika ...” .
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
61 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2.1. Implikasi
Secara matematis kalimat dalam bentuk “jika p maka q” dinotasikan dengan“p→ q” disebut implikasi. Selanjutya “p→ q” dapat dibaca:
1. jika p maka q;
2. setiap kali p, (maka) q;
3. p hanya jika q;
4. p syarat cukup (sufficient) untuk q;
5. q syarat perlu (necessary) untuk p.
Selanjutnya, pada pernyataan p→ q:
1. p disebut anteseden/ hipotesis,
2. q disebut konsekuen/ konklusi/ kesimpulan.
Nilai kebenaran implikasi diberikan pada definisi berikut.
Definisi 2.1.1. Implikasi adalah pernyataan yang bernilai salah hanyaapabila hipotesisnya benar tetapi diikuti oleh konklusi yang salah. Untukkeadaan lain implikasinya benar.
τ(p→ q) =
{0 jika τ(p) = 1 ∧ τ(q) = 0, dan
1 untuk yang lain.(2.1)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
62 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tabel kebenaran implikasip q p→ q1 1 11 0 00 1 10 0 1
Dari definisi diatas dapat kita buat tabel kebenaran untuk implikasi iniseperti tabel sebelah.
Sebagaimana telah disinggung dalam bab pendahuluan bahwa seorangmatematisi sebenarnya dapat secara bebas mendefinisikan istilah-istilahnyasecara abstrak (tanpa terikat situasi konkrit), yang penting dia konsisten dankosekuen dengan definisi yang dibuat. Sepintas penetapan nilai kebenaranuntuk keadaan ketiga (yaitu : anteseden salah, konklusi benar implikasi ke-dengarannya agak janggal dan tidak sesuai dengan kondisi riil, akan tetapijika kita pikirkan lebih dalam sebenarnya tidak terjadi pertentangan an-tara nilai kebenaran yang didefinisikan dengan tabel implikasi dengan logikaumum (common sense) dan penetapan nilai kebenaran ini masuk akal.
Contoh 2.1. Seseorang berjanji kepada orang lain : “Jika hari tidak hujan,(maka) saya akan datang.” Yang kita pertanyakan sekarang adalah : kapan orangyang bicara tadi dikatakan ingkar janji (menyalahi yang diucapkan)? Jawabankita adalah jika hari tidak hujan (p benar) tetapi ia tidak datang (q salah).
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
63 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Hanya dalam keadaan ini saja. Itu berarti untuk tindakannya yang lain ia tidakdapat dipersalahkan, yaitu jika hari hujan dan ia tetap datang ia tidak dapatdipersalahkan.
Kita menetapkan nilai kebenaran dari suatu implikasi selanjutnya adalahberdasarkan definisi diatas tanpa memperhatikan hubungan antara p danq. (tidak harus sebab akibat atau janji). Karena penetapan nilai kebenaranimplikasi maka implikasi ini disebut implikasi material atau implikasi formal.
Contoh 2.2. Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataann berikut:
(i) jika 2 + 3 = 5, maka 5 + 3 = 8
(ii) jika ika 2 adalah bilangan prima, maka matahari terbit dari barat.
(iii) jika saya lahir di Amerika Serikat, maka sayalah presiden negara tersebut.
(iv) jika matahari terbit dari barat, maka manusia tidak akan pernah mati.
Nilai kebenaran implikasi-implikasi diatas adalah
(i) B, �(ii) S �(iii) B dan (iv) B.
Perhatikan bahwa dalam implikasi, jika antesedennya salah maka imp-likasinya selalu benar tanpa memperhatikan konklusinya. Ini berarti darianteseden yang salah kita dapat bebas menentukan konklusi.
Contoh 2.3. “Jika matahari terbit dari barat” (salah), kita dapat membuatkesimpulan misalnya:
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
64 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1. maka manusia bisa terbang;
2. maka manusia tidak pernah mati;
3. maka manusia tidak perlu makan;
dan implikasi yang dibentuk bernilai benar.
Untuk memahami pengertian syarat perlu dan syarat cukup ada baiknyakita perhatikan definisi berikut :
Definisi 2.1.2. Pernyataan p dikatakan syarat cukup bagi q, apabila qselalu muncul setiap kali p muncul. Pernyataan q dikatakan sebagai syaratperlu untuk p apabila p muncul hanya jika q muncul, jika q tidak munculmaka p juga tidak bisa muncul.
Contoh 2.4. Jika suatu bilangan prima maka bilangan itu bulat. Bilangan primaadalah syarat cukup untuk bilangan bulat. Pernyataan bahwa bilangan itu primasudah cukup untuk menyatakan bilangan tersebut bulat. Artinya juga, jika kitaingin bilangan bulat cukup kita mengambil bilangan prima, karena bilangan primapasti bulat. Sebaliknya, jika kita mengambil bilangan yang tidak bulat makatidak mungkin kita memperoleh bilangan prima. Akan tetapi untuk memperolehbilangan bulat tidak perlu (tidak harus) mengambil bilangan prima (4;1 jugabulat). Supaya suatu bilangan itu prima tidak cukup hanya dikatakan bulat (4,
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
65 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
8, bulat tetapi tidak prima). Jadi, kita juga peroleh kenyataan bahwa syaratcukup belum tentu perlu dan syarat perlu belum tentu cukup.
Perhatikan bahwa pernyataan-pernyataan berikut mempunyai arti yangsama.
1. Jika matahari bersinar maka udara hangat.
2. Udara hangat, jika matahari bersinar
3. Setiap kali matahari bersinar, udara hangat
4. Matahari bersinar hanya jika udara hangat.
5. Matahari bersinar adalah syarat cukup untuk udara hangat.
6. Udara hangat adalah syarat perlu untuk matahari bersinar.
7. Matahari bersinar secara implisit berarti udara hangat.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
66 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2.2. Implikasi dan variasinya
Dari implikasi p→ q, kita dapat membentuk berbagai pernyataan-pernyataanyaitu:
(i) ¬p→ ¬q yang disebut invers(ii) q → p disebut konvers
(iii) ¬q → ¬p disebut kontra posisi/ kontra positifdari implikasi tadi. Dari definisi di atas dapat dibuat tabel kebenaran untukinvers, konvers dan kontra positif sebagai berikut:
Tabel kebenaran invers, konvers dan kontra positif.p q ¬p ¬q p→ q ¬p→ ¬q q → p ¬q → ¬p1 1 0 0 1 1 1 11 0 0 1 0 1 1 00 1 1 0 1 0 0 10 0 1 1 1 1 1 1
Dari tabel di atas terlihat bahwa :
1. p→ q ≡ ¬q → ¬p dan
2. ¬p→ ¬q ≡ q → p.
Sebenarnya dari definisi syarat cukup dan syarat perlu, sudah jelas bahwa“jika p maka q” artinya sama dengan “jika tidak ada q maka tidak adap” (artinya implikasi ekuivalen dengan kontra positif). Hubungan antaraimplikasi, invers, konvers dan kontra positifnya ditunjukkan dengan gambarberikut.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
67 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
p → q ¬p →¬ q invers
konvers konvers
invers
Kontra positif
q → p ¬q → ¬p
Diagram Venn mengilustrasikan variasi implikasi, invers, konvers dankontrapositip
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
68 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tabel kebenaran biimplikasip q p↔ q1 1 11 0 00 1 00 0 1
2.3. Biimplikasi
Pada implikasi p dengan q, pernyataan p maupun q dua-duanya sekaligusmerupakan syarat cukup dan perlu dari yang lainnya.
Definisi 2.3.1. Biimplikasi dari pernyataan p dan q (dinotasikan denganp↔ q dan dibaca “p jika dan hanya jika (jhj) q” atau “p bila dan hanya bila(bhb) q”) adalah pernyataan yang bernilai benar jika komponen-komponennyabernilai sama, serta bernilai salah jika komponen-komponennya bernilai tidaksama, yaitu
τ(p↔ q) =
{1 jika τ(p) = τ(q) dan
0 jika τ(p) 6= τ(q).(2.2)
Tabel kebenaran biimplikasi adalah seperti tabel sebelah.
Contoh 2.5. (i) 2 + 3 = 5↔ 3× 5 = 15 (Benar)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
69 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(ii) 2 adalah prima ↔ 4 adalah ganjil (Salah)
(iii) Matahari terbit dari barat ↔ 2 + 3 = 5 (Salah)
(iv) 2× 5 = 6↔ 33 = 9 (Benar).
Contoh 2.6.
Biimplikasi banyak dipergunakan dalam mendefinisikan sesuatu, misal-nya: “Persegi panjang disebut bujur sangkar jika dan hanya jika masing-masing sudutnya 90o dan keempat sisinya sama panjang”. Disini terkandugpengertian bahwa jika suatu persegi panjang adalah bujur sangkar, makakeempat sudutnya masing-masing 90o dan keempat sisinya sama panjang.Sebaliknya jika suatu persegi panjang masing-masing sudutnya 90o dan keem-pat sisinya sama panjang, maka persegi panjang itu disebut bujur sangkar.
“Suatu bilangan asli (yang tidak sama dengan 1) dikatakan bilanganprima jika dan hanya jika bilangan itu hanya bisa dibagi oleh 1 dan bilanganitu sendiri”. Definisi ini mengandung pengertian bahwa, jika bilangan asliselain 1, hanya bisa dibagi oleh 1 dan bilangan itu sendiri, maka bilanganitu disebut bilangan prima. Sebaliknya, jika suatu bilangan adalah prima,maka bilangan itu (tidak sama dengan 1) dan hanya bisa dibagi oleh 1 danbilangan itu sendiri.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
70 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2.4. Implikasi Logis dan Ekuivalensi Logis
Sejauh ini kita memahami bahwa nilai kebenaran suatu implikasi bergan-tung pada nilai kebenaran hipotesis dan konklusinya. Ada bentuk khususdari suatu implikasi yang nilainya selalu benar tanpa bergantung pada nilaikebenaran dari hipotesis dan konklusinya. Implikasi semacam ini disebutimplikasi logis.
Definisi 2.4.1. Suatu implikasi dikatakan implikasi logis (dinotasikandengan p ⇒ q), jika implikasinya merupakan tautologi tanpa memandangnilai kebenaran komponen-komponennya. Dengan kata lain
P (pl, p2, ...)⇒ Q(ql, q2, ...) jika P (pl, p2, ...)→ Q(ql, q2, ...) ≡ T. (2.3)
Seperti halnya nilai kebenaran implikasi, nilai kebenaran biimplikasi jugaditentukan oleh nilai kebenaran masing-masing komponennya. Jika suatubiimplikasi selalu bernilai benar maka dia disebut ekuivalensi logis, yangdinotasikan dengan ⇔.
Definisi 2.4.2. Suatu biimplikasi dikatakan ekuivalensi logis, jika biimp-likasinya merupakan tautologi, yaitu :
P (pl, p2, ...)⇔ Q(ql, q2, ...) jika P (pl, p2, ...)↔ Q(ql, q2, ...) ≡ T. (2.4)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
71 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Bandingkan definisi di atas dengan Definisi 1.5.1 persamaan (1.7) padahalaman 39. Perhatikan bahwa kedua definisi tersebut meskipun perumusan-nya agak berbeda namun keduanya konsisten dan sesungguhnya ekuivalensatu dengan lainnya.
Selanjutnya untuk membuktikan bahwa suatu implikasi atau biimplikasiadalah logis atau tidak, perlu dibuktikan bahwa implikasi atau biimplikasinyaadalah suatu tautologi. Untuk memudahkan pembuktian ini diperlukanekuivalensi antara implikasi atau biimplikasi dengan perakit-perakit dasar.Penurunan secara lebih sistimatis diberikan pada Bab 3.
Teorema 2.4.1 (Ekuivakensi disjungsi dan implikasi (EDI)).
p→ q ≡ ¬p ∨ q (2.5)
Teorema 2.4.2 (Ekuivalensi biimplikasi dengan disjungsi, konjungsi).
p↔ q ≡ (¬p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q) (2.6)
Contoh 2.7.
Buktikan bahwa :
1. p⇒ (p ∨ q)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
72 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2. (p ∧ q)⇒ p
3. (p ∨ q)⇔ (q ∨ p)
4. (p ∧ q)⇔ (q ∧ p)
5. (p↔ q)⇔[(p→ q) ∧ (q → p)
]6.[(p→ q) ∧ ¬q
]⇒ (¬p)
7.[(p→ q) ∧ (p→ r)
]⇒[p→ (q ∧ r)
]Bukti:
Salah satu cara untuk membuktikan adanya implikasi logis adalah denganmembuktikan bahwa implikasinya adalah suatu tautologi.
p→ (p ∨ q) ≡ ¬p ∨ (p ∨ q) persamaan (2.5)
≡ (¬p ∨ p) ∨ q hukum asosiatif
≡ T ∨ q hukum komplemen
≡ T hukum identitas
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
73 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Maka p⇒ (p ∨ q).
(p ∧ q)→ q ≡ ¬(p ∧ q) ∨ q persamaan (2.5)
≡ (¬p ∨ ¬q) ∨ q hukum De Morgan
≡ ¬p ∨ (¬q ∨ q) hukum Asosiatif
≡ ¬p ∨ T hukum komplemen
≡ T hukum identitas.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
74 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2.5. Negasi Pernyataan Bersyarat
Negasi kalimat bersyarat dicari melalui negasi dari ekuivalensinya yang ter-diri atas perakit-perakit dasar. Ingat bahwa negasi tidak sama baik denganinvers maupun konvers.
Teorema 2.5.1 (Negasi Implikasi). Negasi implikasi adalah
¬(p→ q) ≡ p ∧ ¬q. (2.7)
Bukti:
¬(p→ q) ≡ ¬(¬p ∨ q) persamaan (2.5)
≡ ¬(¬p)) ∧ ¬q De Morgan
≡ p ∧ ¬q negasi ganda
Contoh 2.8. Negasi dari pernyataan: “Jika matahari bersinar maka udarahangat.” adalah “Matahari bersinar tetapi udara tidak hangat.”
Ada beberapa variasi bentuk negasi biimplikasi seperti dinyatakan dalamteorema berikut.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
75 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Teorema 2.5.2 (Negasi biimplikasi). Negasi bimplikasi adalah
¬(p↔ q) ≡ ¬(p→ q) ∨ ¬(p→ q) (2.8a)
≡ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) (2.8b)
≡ ¬p↔ q (2.8c)
≡ p↔ ¬q (2.8d)
Bukti:
¬(p↔ q) ≡ ¬[(p→ q) ∧ (q → p)
≡ ¬(p→ q) ∨ ¬(p→ q) De Morgan
≡ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) Teorema 2.7
≡[(p ∧ ¬q) ∨ ¬p
]∧[(p ∧ ¬q) ∨ q
]distributif
≡[T ∧ (¬q ∨ ¬p)
]∧[(p ∨ q) ∧ T
]distributif
≡[(¬q ∨ ¬p)
]∧[(p ∨ q)
]identitas
≡[(¬q ∨ ¬p)
]∧[(p ∨ q)
]identitas
≡[(¬q ∨ ¬p)
]∧[(¬¬p ∨ q)
]negasi dobel
≡ ¬p↔ q atau,
≡[(¬q ∨ ¬p)
]∧[(p ∨ ¬¬q)
]negasi dobel
≡ p↔ ¬q.
Dengan demikian pernyataan “Saya datang jika dan hanya jika cuacacerah” mempunyai negasi : “Saya datang jika dan hanya jika cuaca tidak
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
76 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
cerah” atau “Saya tidak datang jika dan hanya jika cuaca cerah”. Untukmeyakinkan ekuivalensi variasi bentuk-bentuk negasi biimplikasi, kita dapatmembuat tabel kebenarannya.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
77 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2.6. Hirarki perakit dan Notasi Lukasiewicz
2.6.1. Hirarki perakit
Untuk menghindari penggunaan tanda kurung yang terlalu banyak makadalam pembicaraan logika diadakan konsensus tentang hirarki pengerjaanoperasi logika (perakit). Urutan yang harus dikerjakan dalam operasi logikajika tidak menggunakan tanda kurung adalah :
1. Negasi: ¬
2. Konjungsi: ∧
3. Disjungsi: ∨
4. Implikasi: →
5. Biimplikasi: ↔
6. Implikasi logis: ⇒
7. Ekuivalensi logis: ⇔ atau ≡
Contoh 2.9. Jika ditulis:
r ∧ ¬p ∨ q → p↔ q ∧ ¬r
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
78 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
maka diartikan sebagai:(((r ∧ (¬p)
)∨ q)→ p
)↔(q ∧ (¬r)
).
Sedangkanp ∧ q ⇒ r ≡ p ∧ q → r
diartikan sebagai ((p ∧ q)⇒ r
)≡((p ∧ q)→ r
).
2.6.2. Notasi Lukasiewicz
J. Lukasiewicz adalah seorang logisi Polandia yang memperkenalkan suatucara penulisan pernyataaan-pernyataan logika, yang juga menghindarkanpenggunaan kurung yang banyak. Notasinya juga sering disebut notasi Polan-dia (Polish Notation) atau notasi Lukasiewicz seperti pada Copi [2]. Notasiperakit menurut Lukasiewicz diberikan pada Tabel 2.1
Contoh 2.10. Tentukan Notasi Lukasiewicz dari :
(i) ¬p ∨ (q → ¬r)
(ii) p→ ¬(q ∨ ¬r) ≡ (¬q ∧ r) ∨ (¬s ∧ t)
Jawab :
(i) (a) implikasi q dengan negasi r : CqNr
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
79 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tabel 2.1: Notasi Lukasiewicz untuk perakit logika
Perakit Notasi Lukasiewicz Notasi biasa Notasi LukasiewiczNegasi N ¬p Np
Konjungsi K p ∧ q KpqDisjungsi A (=Alternasi) p ∨ q ApqImplikasi C p→ q Cpq
Biimplikasi E p↔ q Epq(Ekuivalensi)
(b) selanjutnya dialternasikan dengan negasi p : ANpCqNr
(ii) a. Alternasi q dengan negasi r : AqNr
b. Negasi a. : NAqNr
c. Implikasi dp dengan a. : CpNAqNr
d. Konjungsi, Negasi q dengan r : KNqr
e. Konjungsi Negasi s dengan t : KNst
f. Alternasi d. dengan e. : AKNqrKNst
g. Equivalensi c. dengan f. : ECpNAqNrAKNqrKNst
Jadi notasi terakhir yang porelah : ECpNAqNrAKNqrKNst. Untuk memu-dahkan mengingat notasi Polandia ini kita ingatN (untuk uner) dan C,A,K,E
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
80 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
untuk binernya sehingga sering disebut sebagai huruf roti (CAKE Letters)
Contoh 2.11. Tulis Notasi berikut dalam bentuk standar ! CCNqqq danApKrEsCtu
Jawab :
1. (a) Nq = ¬q(b) CNqq = ¬q → q
(c) CCNqqq = ¬q → q → q
2. (a) Ctu = t→ u
(b) EsCtu = s↔ (t→ u)
(c) KrEsCtu = r ∧(s↔ (t→ u)
)(d) ApKrEsCtu = p ∨
[r ∧(s↔ (t→ u)
)]
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
81 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2.7. Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini selain beberapa sumberyang telah dikutip sebelumnya, dapat juga dibaca beberapa sumber laindiantaranya Enderton [4], Thomas [20], Gemignani [6], Copi [2].‘
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
82 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2.8. Soal-soal Latihan
1. Nyatakan penyataan-pernyataan berikut dalam bentuk jika . . . maka. . .
(a) Saya akan pergi hanya jika kamu menyuruh.
(b) Setiap kali saya memikirkan pelajaran, saya ingin bermain.
(c) Kamu akan menemukan jika mencari.
(d) Tidak ada manusia yang bisa terbang.
(e) Setiap bilangan asli adalah bulat.
(f) Adalah perlu bagi kita makan, untuk hidup.
(g) Untuk membuat segitiga sama kaki adalah cukup dengan mem-buat segitiga sama sisi.
2. Buatlah pernyataan-pernyataan konversi, inversi dan kontra positif daripernyataan-pernyataan berikut :
(a) Jika n bilangan asli maka 2n adalah bilangan asli
(b) Jika turun hujan maka tanah basah.
(c) Jika 12 adalah bilangan prima, maka 9 adalah bilangan sempurna.
3. Jika syarat cukupnya sekaligus merupakan syarat perlu dan sebaliknyamaka dikatakan implikasi tersebut dapat diganti dengan biimplikasi
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
83 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(dua-duanya benar) misalnya “Jika x < 0 maka 2x dapat dikatakansebagai: x < 0 jhj 2x < 0. Nyatakan apakah implikasi-implikasi berikutdapat diubah dengan biimplikasi :
(a) Jika n genap maka 2n genap
(b) Jika x2 positif maka x adalah positif.
(c) Jika ketiga sisi segitiga sama, maka ketiga sudutnya sama besar.
(d) Jika x = 3 maka x2 = 9.
(e) Untuk sembarang himpunan A,B, jika A//B maka A ⊂ B = ∅.(f) Jika x1 adalah jawab dari persamaan ax+b = 0 maka ax1 +b = 0.
4. Buatlah negasi dan invers dari pernyataan-pernyataan berikut :
(a) Jika 6 adalah bilangan sempurna, maka 7 adalah bilangan ganjil.
(b) Jika n adalah bilangan genap maka 2n adalah genap.
(c) 2x+ 3 = 4x− 5 jhj 2= 8.
(d) Saya akan datang jhj kamu menyuruh.
5. Diketahui :
p : segitiga ABC sama kaki
q : segitiga ABC sama sisi
r : 5 adalah bilangan prima
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
84 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
s : sudut-sudut segitiga ABC masing-masing 600.
Tulis kalimat yang disimbolkan oleh notasi berikut :
(a) ¬p→ q
(b) q ↔ s
(c) ¬(p→ r)
(d) p ∨ q ↔ r ∧ s(e) ¬q → ¬r(f) p ∧ q → q ∧ s
6. Selidikilah valid tidaknya pernyataan berikut:
(a) p⇒ p ∨ q(b) (p→ q) ∧ (p→ r)⇒ (p→ (q ∧ r)(c) (p→ q) ≡ (q → p)
(d) (p ∧ q)→ r ≡ (p→ r) ∧ (q → r)
(e) (p ∨ q)→ r ≡ (p→ r) ∨ (q → r)
(f) (p→ q)→ r ≡ p→ (q → r)
(g) p⇒ p
(h) (p→ q) ∧ p⇒ q
(i) (p ∨ q) ∧ p⇒ ¬q
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
85 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(j)[¬(p ∧ q) ∧ p]⇒ ¬q
7. Ubah dari notasi Lukasiewicz ke notasi biasa.
(a) KcpNqNApq
(b) ECpNNpNANqNq
(c) CCCKpNqKNrsKANpNrsq
(d) ENCpNKNprANpKpNq
8. Ubah dari notasi standart ke notasi Lukasiewicz
(a) ¬p ∧ q → q ∧ ¬p(b) ¬(p ∧ q)→ ¬p↔ ¬(p ∧ q)→ ¬q(c) p→ q”(p→ q)
(d) ¬p→ ¬q ∨ r
9. Diketahui :
p : udara segar
q : cuaca cerah
r : matahari bersinar
Nyatakan kalimat-kalimat berikut dengan simbol-simbol yang tepat.
(a) Mustahil, jika udara segar cuaca tidak cerah.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
86 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(b) Jika cuaca tidak cerah udara tidak segar.
(c) Matahari bersinar hanya jika cuaca cerah.
(d) Cuaca cerah jhj matahari bersinar dan udara segar.
(e) Mustahil jika cuaca cerah, udara tidak segar.
10. Diketahui:
r : 2 adalah bilangan genap
t : 3 adalah bilangan ganjil
s : 6 adalah bilangan sempurna
Nyatakan kalimat-kalimat yang dinotasikan seperti berikut ini.
(a) ¬(r → s)
(b) r → s
(c) r → ¬s(d) s→ r ∧ t(e) s ∨ t→ r
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
87 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
BAB 3
KARAKTERISTIK, BENTUK NORMAL DAN
APLIKASINYA
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
88 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Umum
Setelah menyelesaikan materi pada bab ini pembaca diharapkan mampumemahami konsep karakteristik dan bentuk normal serta mengaplikasikan-nya dalam aljabar logika, himpunan maupun aljabar jaringan listrik.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
89 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Khusus
Setelah menyelesaikan materi pada bab ini pembaca diharapkan dapat
1. menentukan karakteristik suatu bentuk logika
2. mengubah bentuk logika ke bentuk Normal
3. mencari komplemen bentuk Normal
4. mengubah bentuk normal disjungtif ke bentuk normal konjungtif dansebaliknya
5. mengaplikasikan bentuk Normal baik dalam aljabar logika, himpunanmaupun aljabar jaringan listrik
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
90 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Materi
1. Karakteristik
2. Bentuk Normal
3. Komplemen Bentuk Normal
4. Translasi diantara bentuk normal
5. Aplikasi bentuk Normal
6. Aplikasi Logika dalam aljabar himpunan dan listrik
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
91 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tabel 3.1: Tabel kebenaran konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi
p q p ∧ q p ∨ q p→ q p↔ q1 1 1 1 1 11 0 0 1 0 00 1 0 1 1 00 0 0 0 1 1
3.1. Karakteristik
Dalam keadaan tertentu kita membutuhkan cara penulisan yang lebih ringkasuntuk menunjukkan nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk. Perhatikantabel kebenaran konjungsi, disjungsi, implikasi maupun biimplikasi padaTabel 3.1
Dari Tabel 3.1, dikatakan bahwa:
1. karakteristik dari p ∧ q adalah 1000;
2. karakteristik dari p ∨ q adalah 1110;
3. karakteristik dari p→ q adalah 1011, dan
4. karakteristik dari p↔ q adalah 1001.
Untuk menentukan karakteristik suatu perakit, perlu diadakan kesepa-katan atau konvensi bagaimana kita mengurut nilai logika dalam tabel kebe-
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
92 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
naran. Dalam diktat ini, kita sepakat bahwa nilai kebenaran pernyataandisusun berdasarkan urutan yang sistematis yaitu dari benar (1) ke salah(0).
Definisi 3.1.1. Karakteristik suatu pernyataan majemuk adalah nilai logikadari pernyataan tersebut dalam tabel kebenaran dengan urutan kemungkinannilai yang disepakati.
Contoh 3.1. Dari definisi di atas, kita dapat mencari karakteristik dari bentukyang lain misalnya karakteristik dari p∨ q adalah 0110 karakteristik dari p ↓ qadalah 0001 dan seterusnya.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
93 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3.2. Bentuk Normal
Sejauh ini yang telah kita lakukan adalah membuat tabel kebenaran darisuatu pernyataan yang diberikan. Dengan kata lain, kita mencari karakter-istik dari suatu pernyataan. Kita akan mencoba mengerjakan hal yang se-baliknya yaitu bagaimana mencari bentuk suatu pernyataan yang diketahuikarakteristiknya. Misalnya bagaimana bentuk persamaan yang mempunyaikarakteristik 1101 ?
Permasalahan yang dikemukakan diatas dapat diselesaikan dengan meng-gunakan bentuk normal. Bentuk normal dibedakan menjadi dua yaitu normalkonjungtif dan normal disjungtif. Untuk memudahkan pembicaraan bentuknormal ini kita memilih penggunaan simbol dan atau sebagai notasi dis-jungsi. Sedangkan negasi (¬) dinotasikan dengan ′. Selanjutnya bentukyang dipisahkan oleh + disebut sebagai suku sedangkan bentuk yang dip-isahkan oleh × atau . kita sebut sebagai faktor. Misalkan jika pernyataan-nya hanya 2, p dan q maka bentuk suku-sukunya adalah : pq, pq′, p′q dan p′q′
jadi bentuk faktornya adalah (p+ q), (p+ q′), (p′ + q) dan (p′ + q′). Dengandemikian pernyataan majemuk dapat dianggap sebagai kumpulan suku-sukuatau faktor-faktor.
3.2.1. Bentuk Normal Disjungtif (DNF)
Bentuk pernyataan majemuk ada yang dapat dianggap sebagai sepenuhnyajumlah dari suku-suku yang setiap sukunya memuat secara lengkap unsur-unsur penyusunnya.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
94 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Definisi 3.2.1. Bentuk normal disjungtif ( DNF = Disjunctive Normal Form) ditandai dengan ciri-ciri berikut :
1. disusun dalam bentuk jumlah suku-suku.
2. tiap-tiap suku memuat secara lengkap semua unsur atau pernyataanyang dibicarakan dalam bentuk konjungsi.
Contoh 3.2. Berikut ini adalah contoh pernyataan dalam bentuk DNF
(i) pqr + p′qr + pqr′;
(ii) p′q + pq + pq′;
(iii) p;
(iv) p+ q;
(v) pqr.
Tetapi, bentuk-bentuk seperti : p+ qr dan p+ pq bukan berbentuk nor-mal sebab suku-sukunya tidak memuat semua pernyataan (pernyataan yangdibicarakan tidak ada pada setiap sukunya), yaitu ada suku yang hanya men-gandung p tanpa mengandung q. Selanjutnya perlu diingat bahwa pq sendirimerupakan bentuk normal dengan hanya satu suku.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
95 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Definisi 3.2.2. Apabila semua kemungkinan/ semua bentuk suku-suku ter-muat dalam bentuk normal tersebut dikatakan bentuk normal tersebut adalahlengkap, dalam hal ini disebut Bentuk Normal Disjungtif Lengkap (CDNF= Complete Disjunctive Normal Form).
Contoh 3.3. Berikut adalah pernyataan-pernyataan yang berbentuk CDNF
(i) pq + pq′ + p′q + p′q′ dan
(ii) pqr + pqr′ + pq′r + pq′r′ + p′qr + p′qr′ + p′q′r + p′q′r′
Dapat ditunjukkan bahwa bentuk Normal Disjungsi Lengkap (CDNF) iniadalah suatu tautologi. Kita mungkin juga mengubah bentuk tidak normalmenjadi suatu bentuk normal atau sebaliknya menyederhanakan suatu ben-tuk normal sehingga diperoleh bentuk yang meskipun tidak normal tetapilebih sederhana.
Contoh 3.4.
(i) Ubahlah p+ pq′ ke bentuk normal
(ii) Sederhanakan bentuk p′q + pq′ + pq
Jawab:
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
96 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Untuk mengerjakan hal-hal diatas kita harus menggunakan hukum-hukumaljabar kalimat / proposisi yang telah diberikan, hanya saja harus diin-gat dengan baik bahwa untuk menyederhanakan notasi kita menggunakanp.q = pq untuk p ∧ q, p+ q untuk p ∨ q, 1 untuk T dan 0 untuk F .
p+ pq′ ≡ p.1 + pq′ identitas
≡ p(q + q′) + pq′ komplemen
≡ pq + pq′ + pq′ distributif
≡ pq + pq′ (DNF) idempoten
pq + pq′ + p′q ≡ p(q + q′) + p′q distributif
≡ p.1 + p′q komplemen
≡ p+ p′q identitas
≡ (p+ p′).(p+ q) distributif
≡ 1.(p+ q) ≡ (p+ q) komplemen, identitas
3.2.2. Bentuk Normal Konjugtif (CNF)
Bentuk pernyataan majemuk ada yang dapat dianggap sebagai sepenuhnyahasikali faktor-faktor yang setiap faktornya memuat secara lengkap unsur-unsur penyusunnya dalam bentuk jumlah.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
97 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Definisi 3.2.3. Bentuk Normal Konjungtif (CNF = ConjunctiveNormal Form) adalah bentuk yang ditandai oleh ciri-ciri berikut :
1. disusun dalam bentuk perkalian faktor-faktor.
2. tiap-tiap faktor memuat secara lengkap semua unsur atau pernyataanyang dibicarakan.
Contoh 3.5. Beberapa pernyataan yang berbentuk CNF
(i) (x+ y)(x+ y′)
(ii) (p+ q + r)(p+ q′ + r)(p+ q + r)
(iii) (p+ q)
Tetapi, p(p+ q); p(p+ r) bukan dalam bentuk normal.
Definisi 3.2.4. Bentuk Normal Konjungsi dikatakan Lengkap ( CCNF= Complete Conjunctive Normal Form) jika memuat secara lengkap se-mua bentuk faktor-faktornya.
Contoh 3.6. Bentuk CCNF untuk dua unsur p dan q adalah
(x+ y)(x+ y′)(x′ + y)(x′ + y′)
Dapat ditunjukkan bahwa betuk CCNF adalah suatu kontradiksi.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
98 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3.3. Komplemen Bentuk Normal
Definisi 3.3.1. Komplemen dari suatu bentuk normal adalah suku-suku ataufaktor-faktor dari bentuk lengkap yang tidak dimuat dalam bentuk normaltersebut.
Contoh 3.7. Tentukan komplemen dari:
(i) pq′ + p′q
(ii) xyz + xyz′ + xy′z + xy′z′
Jawab:Suku-suku yang tidak termuat dari dua bentuk di atas adalah masing-
masing:
(i) pq + p′q′
(iii) x′yz + x′yz′ + x′y′z + x′y′z′
Contoh 3.8. Tentukan komplemen dari :
(i) (x+ y′)(x′ + y)(x′ + y′)
(ii) (x+ y)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
99 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Jawab :Faktor- faktor dari bentuk lengkap yang tidak termuat masing- masing
adalah:
(i) (x+ y)
(ii) (x+ y′)(x′ + y)(x′ + y′)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
100 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3.4. Translasi Bentuk Normal
Suatu bentuk CNF dapat diubah atau ditranslasikan ke bentuk DNF atausebaliknya baik dengan menggunakan sifat- sifat perakit maupun denganmembuat negasi dari komplemennya.
Contoh 3.9. Translasikan bentuk CNF ke DNF atau sebaliknya.
(i) (x+ y)(x′ + y′), CNF;
(ii) xy + x′y′, DNF.
Jawab:
(x+ y)(x′ + y′) ≡ (x+ y)x′ + (x+ y)y′ distributif
≡ xx′ + yx′ + xy′ + yy′ distributif
≡ 0 + yx′ + xy′ + 0 komplemen
≡ yx′ + xy′ DNF identitas
xy + x′y′ ≡ (xy + x′)(xy + y′) distributif
≡ (x+ x′)(y + x′)(x+ y′)(y + y′) distributif
≡ 1.(y + x′)(x+ y′).1 komplemen
≡ (y + x′)(x+ y′) CNF identitas
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
101 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Dapat dibayangkan bahwa semakin kompleks bentuknya, operasi yang dili-batkan juga semakin kompleks sehingga tidak semua bentuk dapat disele-saikan dengan mudah dengan cara di atas. Untuk itu dapat dipergunakancara negasi komplemen.
Aturan 3.4.1. Langkah langkah untuk mengubah dari bentuk CNF ke DNFdan sebaliknya
1. Tentukan komplemen dari bentuk yang dimiliki, yaitu suku atau faktordari CDNF atau CCNF yang tidak ada dalam pernyataan yang dimiliki;
2. Tentukan negasi dari komplemen yang diperoleh
Maka bentuk yang diperoleh sudah berubah dari CNF ke DNF atau seba-liknya, tetapi masih ekuivalen dalam artian nilai kebenarannya masih sama.
Contoh 3.10. Ubah bentuknya dengan aturan di atas.
1. Bentuk CNF (x+ y)(x′ + y′),
(a) komplemen:(x′ + y)(x+ y′)
(b) negasi komplemen:[(x′ + y)(x+ y′)
]′.
(c) Selanjutnya dengan menerapkan hukum De Morgan, diperolehxy′ + x′y yang merupakan bentuk DNF.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
102 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2. Diketahui bentuk DNF xyz + xyz′ + xy′z + xy′z′ + x′yz
(a) komplemennya x′yz′ + x′y′z + x′y′z′
(b) negasinya:[x′yz′ + x′y′z + x′y′z′
]′.
(c) Hukum De Morgan menghasilkan bentuk CNF (x + y′ + z)(x +y + z′)(x+ y + z).
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
103 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3.5. Aplikasi Bentuk Normal
Sebagaimana telah disampaikan di depan, manfaat utama bentuk Normalini adalah dalam menentukan bentuk persamaan yang diketahui karakter-istiknya. Sebagimana telah dipelajari sebelumnya nilai karakteristik terdiriatas 0 dan 1.
Aturan 3.5.1. Jika kita perhatikan nilai 1 dari karakteristiknya maka atu-rannya adalah sebagai berikut :
1. bentuk yang diperoleh adalah DNF;
2. tiap baris yang bernilai 1 merupakan satu suku dengan nilai 1 berartibentuk adalah positif dan nilai 0 berarti negasi (′ ).
Aturan 3.5.2. Jika yang kita perhatikan adalah nilai 0 dari karakteristiknyamaka aturannya adalah:
1. bentuk yang diperoleh adalah bentuk CNF;
2. tiap baris yang bernilai 0 berbentuk positif dan yang bernilai 1 berben-tuk negasi (′ ).
Untuk mengerjakan yang lebih sederhana kita memilih bentuk CNF atauDNF sesuai dengan jumlah yang lebih sedikit dari yang lain yaitu :
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
104 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1. jika 1 lebih sedikit, gunakan DNF
2. jika 0 lebih sedikit gunakan CNF
Contoh 3.11. Tentukan persamaaan yang mempunyai karakteristik 10001001
Karena 1 lebih sedikit, maka kita menggunakan bentuk DNF.
p q r yp 1 1 1 1 pqr
1 0 1 01 0 0 01 0 0 0
p′ 0 1 1 1 p′qr0 1 0 00 0 0 0
p′ 0 0 0 1 p′q′r′ y = pqr + p′qr + p′q′r′
q′ r′
Kita peroleh bentuk DNF dengan 3 suku ( ada tiga karakteristik 1 ) yaitu
y = pqr + p′qr + p′q′r′.
Tugas kita selanjutnya adalah menyederhanakan bentuk normal ini denganhukum-hukum yang telah dipelajari. Kita bisa periksa ( cek ) kebenarannyadengan membuat tabel kebenarannya.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
105 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 3.12. Tentukan persamaan dengan karakteristik 01111110
Karena 0 lebih sedikit kita menggunakan bentuk CNF
p q r yp′ 1 1 1 0 p′ + q′ + r′
1 0 1 11 0 0 11 0 0 10 1 1 10 1 0 10 0 0 1
p 0 0 0 0 p+ q + r y = (p+ q + r)(p′ + q′ + r′)q r
Maka bentuk yang kita peroleh adalah CNF dengan dua faktor yaitu
y = (p+ q + r)(p′ + q′ + r′).
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
106 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tabel 3.2: Hubungan antara aljabar Boole, Aljabar Himpunan, AljabarProposisi dan aljabar jaringan listrik
No Aspek Aljb. Proposisi Aljb. Himpunan Aljb. Listrik1 Unsur pernyataan himpunan saklar
p, q, r A,B,C A,B,C2 Negasi ¬p ()c saklar balik3 Konjugsi ∧ ∩ seri4 Disjungsi ∨ ∪ paralel5 Implikasi logis ⇒ ⊆6 Ekuivalensi ekuivalensi kesamaan ekuivalensi7 Nilai global T S tertutup8 Nilai global F ∅ terbuka9 nilai lokal 1 ∈ tertutup9 nilai lokal 0 6 in terbuka
3.6. Aplikasi Logika dalam Aljabar Himpunan dan Listrik
Hukum-hukum logika dapat diterapkan dalam aljabar jaringan listrik (elec-trical network atau electrical switching). Pada dasarnya semua pembahasanini didasari oleh aljabar Boole. Keharmonisan aljabar Boole, logika him-punan dan aljabar jaringan listrik dapat ditunjukkan dengan tabel berikut:
Dalam himpunan didefinisikan bahwa A∩B adalah himpunan yang hanya
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
107 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
A
B
Gambar 3.1: Diagram Venn mengilustrasikanA ∩B
beranggotakan unsur-unsur yang yang sekaligus ∈ A dan ∈ B. Tabel keang-gotaan untuk A ∩ B dilihat pada tabel berikut. Perhatikan bahwa tabelkebenaran A ∩B ini ekuivalen dengan tabel kebenaran konjungsi p ∧ q.
Tabel Keanggotaan A ∧B dan tabel kebenaran A ∩B
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
108 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
A B A ∧B1 1 11 0 00 1 00 0 0
dan
A B A ∩B∈ ∈ ∈∈ /∈ /∈/∈ ∈ /∈/∈ /∈ /∈
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
109 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3.7. Aljabar Jaringan Listrik atau Saklar
Rangkaian seri
Dalam aljabar jaringan listrik rangkaian seri identik dengan konjungsi sepertidiilustrasikan pada gambar berikut
Jaringan/ rangkaian listrik mengilustrasikan AB
A B
L
Keterangan :
1. Jika suatu jaringan dirangkai seri dan salah satu saja saklarnya dibuka(off) maka arus listrik tidak dapat lewat dan lampu padam (off).
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
110 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2. Dalam pembicaraan jaringan listrik ini kita hanya memperhatikan susunan.rangkaian saklarnya, sumber listrik dan lampu biasanya diabaikan.
Kondisi aliran listrik berdasarkan terbuka dan tertutupnya saklar A danB ditunjukkan dalam tabel berikut. Bandingkan tabel tersebut dengan tabelkebenaran A ∧B dan tabel keanggotaan A ∩B.
Tabel aliran listrik (kondisi menyala/tidaknya lampu Ldilihat dari kondisi tertutup/terbukanya saklar Adan B
A B Ltertutup (1) tertutup(1) menyala (1)tertutup (1) terbuka(0) padam (0)terbuka (0) tertutup(1) padam (0)terbuka (0) terbuka(0) padam (0)
Rangkaian paralel
Rangkaian paralel seperti pada Gambar identik dengan aljabar perakit dis-jungsi
Keterangan :
1. Pada rangkaian paralel arus listrik bisa lewat jika salah satu saklarnyadi on/ ditutup.
2. Jika salah satu/semua dibuka/on arus listrik dapat lewat dan lampumenyala.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
111 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
p q A+Bon on onon off onoff on onoff off off
Rangkaian negasi
Rangkaian A dan A′ dipasang sedemikian sehingga jika p on maka otomatisp′ off dan sebaliknya.
Ketiga rangkaian di atas (negasi, seri , paralel ) yang merupakan rangka-ian dari bentuk dasar (negasi, konjungsi, dan disjungsi) disebut rangkaiandasar. Rangkaian-rangkaian lain seperti implikasi, biimplikasi, Nor (NotOr), Nand (Not And) dan lain-lainnya, dapat diturunkan dari rangkaian-rangkaian dasar diatas. Sebagai aplikasi dari bentuk normal, kita juga dapatmerangkai jaringan listrik dengan bermacam-macam hasil (out put/karakteristik) yang kita inginkan.
Contoh 3.13. Tiga buah saklar dirangkai dan dihubungkan pada sebuah bel.Ternyata bel tersebut hanya berbunyi apabila tepat satu saja dari ketiga saklardiatas di tekan (on). Jika sekaligus dua saklar atau lebih di-on-kan bel tidak mauberbunyi. Tentukan bagaimana saklar-saklar tadi dirangkai.
Jawab:
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
112 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Misalkan ketiga saklar itu adalah x, y, z (kita juga bisa menggunakanhuruf besar A,B,C) hasil yang terjadi adalah sebagai berikut:
x y z keluaran1 1 1 01 1 0 01 0 1 01 0 0 1*)0 1 1 00 1 0 1 *)0 0 1 1*)0 0 0 0
Tanda *) menunjukkan bahwa dalam keadaan ini bel berbunyi (output = 1),yang lain padam, tidak berbunyi (output= 0). Karena banyaknya berbunyi( 1 ) lebih sedikit kita gunakan bentuk DNF dan persamaan rangkaiannyaadalah:
xy′z′ + x′yz′ + x′y′z
atau(x(¬y(¬z)((¬x(y(¬z)((¬x(¬y(z).
Contoh 3.14.
Ubah ekspresi berikut ke bentuk DNF
(i) (x+ y′)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
113 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(ii) (pqr′) + (pr) + (pq)
Jawab :
(i) Bentuk (x + y′) adalah berbentuk CNF , maka cara merubah ke ben-tuk DNF nya kita lakukan dengan mencari negasi dari komplemennya.Komplemen bentuk ini adalah: (x+ y)(x′+ y)(x′+ y′). Negasi komple-mennya adalah:
= ((x+ y)(x′ + y)(x′ + y′)′)′
= (x+ y)′ + (x′ + y)′ + (x′ + y′)
= x′y′ + xy′ + xy(DNF)
(ii) Bentuk pqr′ + pr + pq, suku pertamanya sudah lengkap, tinggal sukukedua dan ketiga yang tidak lengkap. Suku kedua tidak mengandungq. Kita bisa menganggap pr = pr.1
pr = pr(q + q′) identitas
= pqr + pq′r distributif
Suku ketiga tidak mengandung r, maka
pq = pq.1
= pq(r + r′) ident. & komp.
= pqr + pqr′ distributif
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
114 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Jadi kita peroleh :
pqr + pq′r + pqr′
Contoh 3.15. Ubah ekspresi berikut ke bentuk CNF.
1. p′q + pq
2. p(q + r)
Jawab:
1. Bentuk p′q + pq adalah DNF , karenanya kita translasikan denganmenggunakan negasi komplemennya. Komplemennya adalah : (pq′ +p′q′). Negasinya:
(pq′ + p′q′)′ = (pq′)(p′q′)′
= (p′ + q)(p+ q).
Jadi bentuk CNF nya adalah :
(p′ + q)(p+ q)
2. p(q+ r) ; terdiri atas dua faktor, yaitu faktor pertama p tidak lengkap,
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
115 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
dan faktor kedua (q + r) juga tidak lengkap
p = p+ 0 identitas
= p+ (q.q′) komplemen
= (p+ q)(p+ q′) distributif
= ((p+ q) + 0)((p+ q)′ + 0) identitas
= ((p+ q) + (rr′))((p+ q′) + (rr′)) komplemen
= (p+ q + r)(p+ q + r′)(p+ q′ + r)(p+ q′ + r′) distributif.
(q + r) tidak mengandung p
(q + r) = (q + r) + 0 identitas
= (q + r) + pp′ komplemen
= (q + r + p)(q + r + p′) distributif
Jadi bentuk keseluruhannya adalah :
(p+ q + r)(p+ q + r′)(p+ q′ + r)(p+ q′ + r′)(q + r + p)(q + r + p′)
atau
(p+ q + r)(p′ + q + r)(p+ q′ + r)(p+ q + r′)(p+ q′ + r′)
( dengan menerapkan hukum distributuf dan idempoten )
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
116 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
p q keluaran1 1 11 0 00 1 00 1 1
Contoh 3.16. Tentukan persamaan yang mempunyai karakteristik 1001.
Jawab :Misalkan unsur-unsurnya adalah p dan q, makaBanyaknya 1 dan 0 sama jadi bisa memakai DNF maupun CNF. Mis-
alkan 0 kita jadikan pedoman maka kita peroleh :
y = (p′ + q)(p+ q′) (CNF).
Contoh 3.17. Suatu alat peraga logika terdiri atas tiga saklar dan sebuahlampu. Ternyata lampu tersebut menyala hanya apabila ketiga saklar tersebutdi-on-kan atau jika ketiga saklar di-off-kan. Tentukan persamaan rangkaiannya.
Jawab:Lampu menyala (1 ) hanya pada dua keadaan A = B = C = 1atau A =
B = C = 0 (A,B,C menunjukkan saklar-saklarnya ). Dengan menggunakannilai 1 berarti kita menuju bentuk DNF dan unsur-unsur bernilai 1 adalah
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
117 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
positif, yang bernilai 0 adalah beerbentuk negasi. Dengan demikian kitaperoleh persamaannya :
y = ABC + A′B′C ′.
Contoh 3.18. Empat orang anak masing-masing Ali , Budi , Citra dan Di-diek menghadapi saklar yang dihubungkan pada sebuah lampu. Ternyata lamputersebut dalam keadaan:
(i) Jika Ali dan Citra meng-on-kan saklarnya sedangkan Budi dan Didiektidak, lampu menyala.
(ii) Jika Citra sendiri meng-onkan saklarnya sedang yang lainnya tidak,lampu menyala.
(iii) Jika keempat-empatnya serempak meng-on-kan saklarnya lampu menyala.Untuk keadaan yang lain-lainnya lampu padam. Tentukan persamaanrangkaiannya.
Jawab:Misalkan saklar yang mereka hadapi adalah A,B,C,D. Untuk menye-
lesaikan ini kita bisa membuat semacam tabel kebenarannya atau langsungdengan hanya memperhatikan keadaan-keadaan pada saat lampunya menyalayaitu :
(i) hanya Ali dan Citra yang meng-onkan lampu
AB′CD′ (B dan D dalam bentuk negasi)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
118 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(ii) hanya Citra sendiri yang meng-onkan saklar
A′B′CD′ ( hanya C yang tidak negasi )
(iii) Keempat-empatnya serempak meng-onkan saklar
ABCD
Jadi persamaannya y = ABCD+AB′CD′+A′B′CD′. Langkah berikut-nya tinggal menyederhanakan bentuk tadi jika memang diangggap perlu.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
119 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3.8. Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh aplikasi logika atau aljabar Boole dalam aljabarjaringan listrik selain beberapa sumber yang telah dikutip sebelumnya. Se-lain itu dapat juga dibaca beberapa sumber lain diantaranya Lipschutz [9],Nissanke [14], Sulistyaningsih [19] dan Siang [17].
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
120 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3.9. Soal-soal Latihan
1. Tentukan persamaan yang paling sederhana dari bentuk yang mem-punyai karakteristik berikut:
(a) 01010001
(b) 01101111
(c) 00110011
(d) 00111011
2. Pikirkan persamaan rangkaian listrik dengan tiga saklar A,B,C denganketentuan:
(a) Arus mengalir setiap kali A on dan C off kecuali jika sekaligus Adan B on (arus tidak mengalir).
(b) Jika B on dan A dan C off arus mengalir.
3. Empat peserta cerdas cermat masing-masing menghadapi sebuah sak-lar yang dihubungkan pada sebuah bel. Juri ingin agar bel tersebutberbunyi hanya apabila salah satu saja dari keempat kelompok tersebutyang meng-onkan saklarnya. Sedangkan jika lebih dari satu kelompokmengonkan saklarnya bersama-sama bel tidak boleh berbunyi. Cobalahanda bantu juri merangkaikan bel dan saklarnya tersebut.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
121 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4. Seorang bapak berhasrat agar lampu kebunnya dapat dimatikan maupundihidupkan masing-masing dari tiga tempat (ruang tamu (T) , garasi(G) , ruang tengah (H)). Jadi jika ia ingin menghidupkan atau mematikanlampu kebunnya ia harus dapat melakukannya melalui saklar T , saklarG maupun H. Bantulah bapak ini membuat persamaan rangkaiannya.
5. Buatlah rangkaian dari persamaan berikut :
(a) (A+B)(A′((B′ + (A′B′)
(b)[((A+B)C)
]+ (A′B′C ′)
(c)[((A+B)↔ C)
](A+ C)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
122 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
123 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
BAB 4
KUANTOR
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
124 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Umum
Setelah menyelesaikan materi ada bab ini diharapkan memahami kuantorserta mampu menggunakannya dalam menyelesikan soal-soal logika yangmengandung kuantor.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
125 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Khusus
Setelah menyelesaikan materi ada bab ini diharapkan dapat
1. memberi contoh tetapan dan peubah
2. memberi contoh kalimat matematika terbuka maupun tertutup
3. memberi kuantor universal maupun eksistensial yang sesuai untuk su-atu kalimat
4. mencari negasi suatu pernyataan berkuantor
5. mencari contoh penyanggah suatu pernyataan berkuantor
6. menentukan kuantor untuk pernyataan yang mengandung perakit
7. menentukan kuantor untuk pernyataan dengan lebih dari 1 peubah
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
126 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Materi
1. Tetapan dan peubah
2. Kalimat matematika, kalimat terbuka, kalimat tertutup
3. Kuator universal dan Kuantor eksistensial
4. Negasi kuantor
5. Contoh penyanggah
6. Kuantor dengan disjungsi, konjungsi dan implikasi
7. Kuantor lebih dari satu peubah
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
127 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.1. Tetapan dan Peubah
Dalam matematika, notasi yang melambangkan unsur dibedakan atas duamacam yaitu yang mewakili unsur yang bersifat tetap dan unsur yang berubah.
Definisi 4.1.1. Tetapan atau konstanta adalah lambang yang mewakilisuatu elemen tertentu yang bersifat khusus atau bersifat tetap dalam suatusemesta pembicaraan.
Definisi 4.1.2. Semesta pembicaraan adalah kumpulan yang menjadisumber atau asal unsur-unsur yang dibicarakan.
Dalam matematika, terutama dalam bentuk umum fungsi maupun per-samaan, tetapan biasanya disimbolkan dengan huruf-huruf pertama dari ab-jad seperti : a, b, c, ...
Contoh 4.1. Dalam pernyataan-pernyataan berikut, simbol yang digaris bawahiadalah suatu tetapan.
((i) 2 adalah bilangan asli.
(ii) Ani berbaju merah.
(iii) Betuk umum pungsi linier adalah y = ax+ b.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
128 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Pada contoh di atas, Ani meskipun kita tidak tahu persis siapa orangnya,namun Ani tidak dikatakan sebagai peubah karena jelas Ani menunjukkannama seseorang tertentu tidak semua orang dapat disebut Ani. Pada contoh(iii) a, b meskipun tidak diketahui dengan persis, tetapi keduanya adalahsuatu tetapan yang tidak berubah sebagaimana halnya x dan y.
Definisi 4.1.3. Peubah atau variabel adalah lambang yang masih mewak-ili suatu elemen umum yang belum dikhususkan atau yang nilainya berubah-ubah pada semesta pembicarannya.
Contoh 4.2. Bagian-bagian yang digarisbawahi pada contoh kalimat berikutadalah peubah. Pada umumnya peubah dilambangkan dengan huruf-huruf ter-ahkir dari abjad seperti : x, y, z.
(i) x adalah bilangan asli
(ii) Manusia berbaju merah
(iii) Bentuk umum fungsi linier adalah y = ax+ b
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
129 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.2. Kalimat matematika, kalimat terbuka, kalimat ter-
tutup
Dalam pembahasan matematika, banyak dilibatkan kalimat-kalimat ataupunpernyataan-pernyataan yang memuat simbol-simbol matematika. Kalimat-kalimat tersebut ada yang berbentuk pernyataan ada yang tidak.
Definisi 4.2.1. Kalimat matematika adalah kalimat yang memuat simbol-simbol matematika seperti peubah, tetapan dan operator lainnya.
Definisi 4.2.2. Kalimat matematika terbuka adalah kalimat matem-atika yang belum bisa dinilai benar atau salah.
Definisi 4.2.3. Kalimat matematika tertutup (disebut juga pernyataanmatematis) adalah kalimat matematika yang sudah bisa dinilai benar atausalah.
Contoh 4.3. Kalimat p(x) : x + 2 ≥ 7, adalah suatu kalimat matematikaterbuka, karena belum bisa dinilai bear atau salah. Misalkan semesta pem-bicaraannya adalah himpunan semua bilangan real. Berarti x adalah anggotadari himpunan bilangan real. Jika kita gantikan x dengan sembarang bilanganreal x ≥ 5 maka terbentuklah pernyataan yang bernilai benar. Sebaliknya jikakita gantikan x dengan bilangan-bilangan x < 5 , maka terbentuk pernyataanyang bernilai salah.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
130 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Pada kalimat terbuka p(x) dengan semesta U , setiap kali kita mengambilelemen u dari U , maka p(x) = p(u) bernilai tepat salah satu benar atausalah . Semua elemen x ∈ U yang menyebabkan p(x) bernilai benar disebuthimpunan penyelesaian/ himpunan kebenaran (truth set/ solution set) darip dan dinotasika dengan Tp.
Teorema 4.2.1. Untuk p, kalimat terbuka pada U , maka untuk setiap u ∈ Uatau τ(p(u)) = 1, atau τ(p(u)) = 0.
Definisi 4.2.4. Himpunan kebenaran atau himpunan penyelesaianadalah himpunan semua unsur dari semesta pembicaraan yang menyebabkanterjadinya kalimat/ pernyataan yang bernilai benar.
Tp = {u ∈ U, τ(p(u)
)= 1}
Contoh 4.4.
(i) Perhatikan kalimat terbuka : x + 2 ≥ 10, x bilangan asli, maka Tp ={x ≥ 8, x bilagan asli }.
(ii) Misalkan p(x);x2 < 0 ; x bilangan real, maka Tp = ∅
(iii) Misalkan p(y); y2 ≥ 0; y bilangan real, maka Tp = U = <. Semuabilangan real jika dikuadratkan akan lebih atau sama dengan nol.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
131 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Teorema 4.2.2. Suatu kalimat terbuka dapat dinyatakan kalimat tertutupdengan menggantikan peubahnya dengan tetapan dari semesta pembicaraan-nya.
Contoh 4.5.
(i) Misalkan p(n) : n + 2 > 8 adalah kalimat terbuka, misalnya padasemesta N (himpunan semua bilangan asli), maka
(a) p(2) : 2 + 2 > 8 adalah pernyataan salah.
(b) p(8) : 8 + 2 > 8 adalah pernyataan benar.
(ii) q(x) : x2 − 2x+ 1 = 0 adalah kalimat terbuka pada <, maka:
(a) q(2) : 22 − 2.2 + 1 = 0 adalah pernyataan salah dan
(b) q(1) : 12 − 2.1 + 1 = 0 adalah pernyataan benar
Telah disampaikan diatas bahwa jika p(x) kalimat terbuka pada semestaU maka p(x) bisa benar untuk semua x ∈ U , yaitu Tp = U . Benar un-tuk beberapa atau tak satu pun x ∈ U . Secara implisit ini berarti denganmemberikan kata -kata : Setiap, beberapa atau tak satupun , di depan kali-mat terbuka tasi maka kalimat terbuka tadi maka kalimat terbuka tadi akanmenjadi pernyataan yang bernilai benar atau salah.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
132 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 4.6.
1. p(x) : x+ 2 ≥ 8 adalah kalimat terbuka pada N , maka :
(a) untuk semua x ∈ N berlaku x+ 2 ≥ 8, adalah pernyataan salah,
(b) ada x bilangan asli yang bersifat x+ 2 ≥ 8 adalah benar.
2. p(x) : x2 < 0; x bilangan asli adalah kalimat terbuka, maka:
(a) ada x bilangan asli yang bersifat x2 < 0 adalah salah;
(b) tidak satupun x bersifat x2 < 0 adalah benar.
Jadi istilah-istilah terdapat, semua, taksatupun dapat megubah kalimat ter-buka menjadi peryataan.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
133 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.3. Kuantor
Istilah-istilah : terdapat , semua/ setiap, dengan demikian, dan sejenis-nya, dapat digunakan untuk mengukur keberadaan himpunan penyelesa-ian (unsur-unsur yang menyebabkan p(x) bernilai benar). Kata-kata inidalam logika disebut kuantor/ quantifier (to quantify = mengukur). Kuantordibedakan menjadi kuantor universal dan kuantor eksistensial.
4.3.1. Kuantor Universal
Misalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka pada semesta U maka
∀x ∈ U, p(x) atau ∀x, p(x) atau ∀x, τ(p(x)) = 1
adalah pernyataan yang dibaca : “untuk semua/ setiap x ∈ U x bersifatp” atau “semua x bersifat p”, atau “untuk semua x pernyataan p(x) adalahbenar”. Notasi ∀ yang dibaca “setiap” atau “semua” disebut kuantoruniversal. Perlu kita catat bahwa p(x) sendiri adalah suatu kalimat terbuka,akan tetapi akan tetapi ∀x, p(x) adalah suatu pernyataan.
Definisi 4.3.1. Nilai kebenaran pernyataan yang mengandung kuantor uni-versal adalah
τ(∀x, p(x)
)= 1 jika dan hanya jika Tp = U.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
134 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 4.7. Misalkan(i) p(x) : x + 2 ≥ 3 dengan semesta N , maka Tp = N . sehingga ∀x ∈
N, x+ 2 ≥ 3 adalah benar. Demikian juga dengan(ii) p(x) : x + 2 = 10 dengan semesta N maka Tp = {8}, sehingga ∀x ∈
N, x+ 2 = 10 adalah salah.Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa(iii) ∀x ∈ <, x2 < 0 adalah salah dan(iv) ∀x ∈ <, x2 + 2x+ 8 > 0 adalah benar.
4.3.2. Kuantor Eksistensial
Misalkan p adalah suatu kalimat terbuka pada semesta U , maka:
∃x ∈ U, p(x) atau ∃x,3 p(x) atau ∃x,3 τ(p(x)) = 1
adalah pernyataan yang dibaca : “terdapat x yang bersifat p”, atau “be-berapa x bersifat p”, atau “paling sedikit satu x bersifat p. Notasi ∃ yangdibaca : “beberapa” , “terdapat”, “paling sedikit satu ” disebut kuantoreksistensial.
Definisi 4.3.2. Nilai kebenaran kuantor eksistensial adalah
τ(∃x, p(x)
)= 1, jika dan hanya jika Tp 6= ∅.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
135 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 4.8.
(i) p(x) : x2 − 4x + 4 = 0 untuk semesta <, dengan Tp = {2}, maka∃x, x2 − 4x+ 4 = 0 untuk semesta < adalah benar.
(ii) p(x) : x2− 2x+ 4 = 0 untuk semesta <, dengan Tp = ∅, maka ∃x, x2−4x+ 4 = 0 adalah salah.
Dalam menggunakan kata-kata “terdapat x”, biasanya ditambahkan jugaistilah “sedemikian sehingga” yang dalam logika dinotasikan dengan “3 ”
Contoh 4.9. Notasi logika dari pernyataan “terdapat bilangan asli sedemikiansehingga kuadratnya lebih dari 26 tetapi tidak lebih dari 100” adalah ∃x ∈ N,326 < x2 ≤ 100.
Kuantor Universal dan eksistensial masing-masing dapat digunakan un-tuk mendefinisikan Irisan dan gabungan dari keluarga himpunan {Ai, i =1, 2, 3, · · · };
(i) Irisan (Interseksi) keluarga himpunan. adalah himpunan yang berang-gotakan unsur-unsur yang muncul pada setiap himpunan, yaitu:⋂
i∈I
Ai = {x|x ∈ Ai,∀i ∈ I}
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
136 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(ii) Gabungan (Union) dari keluarga himpunan adalah himpunan yangberanggotakan unsur-unsur yang cukup muncul pada salah satu him-punan Ai tadi ⋃
i∈I
Ai = {x|∃i ∈ I 3 x ∈ Ai}
Pembahasan yang lebih rinci akan disampaikan pada Bab Pada Bab 6.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
137 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.4. Negasi Kuantor
Seperti halnya pada pernyataan tanpa kuantor, pada dasarnya negasi diper-oleh dengan melakukan penyangkalan terhadap kalimat bersangkutan. Mis-alnya penyangkalan terhadap pernyataan : “Semua manusia berhati dengki”,mengandung pengertian bahwa tidak semua manusia berhati dengki, atau,“setidak-tidaknya ada satu manusia yang tidak berhati dengki”. Secara sim-bolis dapat dituliskan:
(∀x ∈M)(x berhati dengki )) ≡ ∀x ∈M,d(x)
¬(∀x ∈M)(x berhati dengki )
)≡ ¬
(∀x ∈M,d(x)
)∃(x ∈M)(x tidak berhati dengki) ≡
(∃x ∈M 3 d(x)
)Kita peroleh kesimpulan bahwa :
¬[(∀x)
(p(x))
)]= ∃x,3 p(x). (4.1)
Hasil di atas dapat diangap sebagai penerapan hukum De Morgan padapernyataan yang mengandung kuantor. Pernyataan/ kalimat x tidak bersifatp biasa dinotasikan dengan“¬p(x)” atau “p(x)” atau “6 p(x)”.
Contoh 4.10. Tuliskan Kalimat / pernyataan berikut dengan tanda kuan-tor yang tepat dan tentukan negasinya. Demikian pula tulis secara lengkapbagaimana pengucapan negasinya.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
138 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(i) “Semua bilangan asli n bersifat n+ 2 ≥ 10.”
Jawab
Notasi p : ∀n ∈ N, n+ 2 ≥ 10.Negasi ¬p : ∃n ∈ N,3 n+ 2 � 10
≡ ∃n ∈ N,3 n+ 2 < 10
Pernyataan di atas dapat diucapkan sebagai “beberapa bilangan aslijika ditambah 2 hasilnya kurang dari 10”, atau “beberapa bilangan aslin bersifat n+ 2 < 10”.
(ii) “Setiap manusia dapat mati”
Jawab:
Notasi : p ≡ (∀x ∈M)(x dapat mati)≡ (∀x ∈M)m(x)
Negasi : ¬p ≡ (∃x ∈M),3 (xtidak dapat mati)
≡ (∃x ∈M),3 (m(x))
Ada manusia yang tidak dapat mati.
Selanjutnya negasi dari pernyataan yang mengandung kuantor eksisten-sial dicari dengan cara yang sama. Misalnya sanggahan terhadap perny-ataan:“Ada manusia yang bisa terbang” adalah: “Tidak benar (mustahil)ada manusia yang dapat terbang”. Pernyataan ini mengandung arti bahwasemua manusia tidak dapat terbang. Secara simbolis kita dapat ditulis:
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
139 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
∃x ∈M 3 x dapat terbang ≡ ∃x ∈M, t(x)
¬[∃x ∈M(xdapat terbang)
]≡ ¬
[x ∈M, t(x)
]∀x ∈M(x tidak dapat terbang) ≡ ∀x ∈M, t(x)
Jadi, secara umum kita peroleh
¬[(∃x) 3
(q(x))
)]= ∀x, q(x). (4.2)
Perhatikan bahwa nilai kebenaran p dengan ¬p untuk p yang mengandungkuantor adalah saling berlawanan, sebagaimana p yang tidak mengandungkuantor.
Contoh 4.11. Tuliskan notasi pernyataan berikut dengan tepat. Selanjutnyatentukan negasi dan pengucapannya.
i Ada bilangan prima yang genap
Jawab :
misalkan P adalah bilangan prima, dan g : bersifat genap.
Notasi : ∃x ∈ P, g(x)
Negasi : ∀x ∈ P, g(x): semua bilangan prima, tidak genap.
ii Semua bujur sangkar adalah persegi panjang
Jawab :
misalkan B : bujur sangkar p : persegi panjang.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
140 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Notasi : ∀x ∈ B, p(x)
Negasi : ∃x ∈ B,3 p(x)
Ada bujur sangkar yang bukan persegi panjang.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
141 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.5. Notasi lain untuk ∀ dan ∃Misalkan U = {2, 3, 5} dan p(x): x adalah bilangan prima, maka pernyataan: “2 adalah bilangan prima dan 3 adalah bilangan prima dan 5 adalah bi-langan prima” dapat dinotasikan dengan : p(8)∧ p(3)∧ p(5) = ∀u ∈ U, p(u).Pernyataan ini berarti: “setiap u ∈ U bersifat p(u). Jadi kita peroleh :
∀u ∈ U, p(u) ≡∧u∈U
p(u) (4.3)
Demikian pula kalimat : “2 adalah bilangan prima atau 3 adalah bilanganprima atau 5 adalah bilangan prima” dapat dinotasikan :p(2)∨ p(3)∨ p(5) ≡∨
u∈U p(u). Pernyataan di atas sama artinya dengan setidaknya (paling tidak)ada satu elemen U yang bersifat p yaitu : ∃u ∈ Up(u). Jadi
∃u ∈ U, p(u) ≡∨u∈U
p(u) (4.4)
Jadi notasi∧ dan ∨ juga dapat dipergunakan selain notasi ∀ dan ∃.Catatan : Jika U adalah himpunan yang berhingga maka pernyataan
(4.3) dan (4.4) dapat dibuat. Tetapi untuk U yang takberhingga hanya (4.4)yang dibuat.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
142 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.6. Kuantor, Disjungsi, Konjungsi dan Implikasi
Penggunaan kuantor dapat bersama-sama dengan konektif atau perakit -perakit pernyataan seperti dijungsi, konjungsi maupun implikasi.
Contoh 4.12. Berikut ini adalah beberapa contoh kuantor yang bergabungdengan beberapa perakit logika yang telah dipelajari.
1. Untuk semua bilangan asli, jika dia prima (P), maka dia ganjil (G)
∀x ∈ <, P (x)→ G(x)
2. Semua segitiga sama sisi (S) adalah sama kaki(K). Pernyataan iniekuivalen dengan “untuk semua segitiga, jika dia sama sisi maka diasama kaki”.
∀x ∈ G, S(x)→ K(x)
3. Ada bilangan prima (P) yang genap (A). Pernyataan ini ekuivalen den-gan “ada bilangan asli (N) yang sekaligus prima (P) dan genap (A)”.
∃x ∈ N 3[P (x) ∧ A(x)
]4. Untuk semua bilangan bulat, jika tidak ganjil, pastilah dia genap dan
tidak mungkin dua-duanya.
∀x ∈ B, G(x)∨A(x)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
143 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Apabila P (x) adalah kalimat majemuk yang mengandung perakit, makanegasinya adalah
¬[(∀x)
(P (x))
)]= ∃x,3 p(x). (4.5)
demikian juga
¬[(∃x) 3
(q(x))
)]= ∀x, q(x). (4.6)
dengan P (x) maupun Q(x) mengikuti aturan negasi perakit seperti hukumDe Morgan.
Berikut adalah negasi dari pernyataan berkuantor yang bergabung den-gan beberapa perakit logika seperti pada contoh-contoh berikut
Contoh 4.13. Ada bilangan asli yang prima(P) tetapi tidak ganjil(G)
∃x ∈ N,3[P (x) ∧ ¬G(x)
]Contoh 4.14. Ada segitiga sama sisi (S) yang tidak sama kaki(K).
∃x ∈ G, S(x) ∧ ¬K(x)
Contoh 4.15. Semua bilangan prima (P) tidak genap (A). Pernyataan ini ekuiv-alen dengan “untuk semua bilangan asli (N) jika dia prima (P) maka dia tidakgenap (A)”.
∀x ∈ N,(P (x)→ ¬A(x)
)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
144 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 4.16. Ada bilangan bulat yang tidak ganjil dan tidak genap atau adabilangan bulat yang sekaligus ganjil dan genap.
∃x ∈ B,
[(¬G(x) ∧ ¬A(x)
)∨(G(x) ∧ A(x)
)]
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
145 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.7. Contoh Penyanggah/ Contoh Kontra
Perhatikan bahwa ¬∀x, P (x) ≡ ∃x, P (x) yang dapat diartikan bahwa perny-ataan “tidak benar bahwa semua x bersifat P , ekuivalen dengan perny-ataan“ada x tidak bersifat P”. Jadi untuk mengatakan bahwa kalimat∀x, P (x) salah, ekuivalen dengan menunjukkan bahwa ¬∀x, P (x) benar.Pernyataan terakhir ini ekuivalen dengan menunjukkan bahwa paling tidakada satu x yang tidak bersifat P . x yang tidak bersifat P disebut contohpenyanggah/ kontra (counter example) dari pernyataan ∀x, P (x).
Teorema 4.7.1. Pernyataan ∀x, p(x) bernilai salah jika ada contoh penyang-gahnya dan bernilai benar jika tidak ada contoh penyanggahnya.
∃x, 6 p(x)⇒ τ(∀x, p(x)
)= 0
6 ∃x, 6 p(x)⇒ τ(∀x, p(x)
)= 1
Pada contoh-contoh berikut kita dapat menentukan nilai kebenaran perny-ataannya dengan menentukan contoh penyanggahnya.
Contoh 4.17. Pernyataan ∀x, |x| > 0 bernilai salah karena ada x = 0 dengan|x| ≯ 0.
Contoh 4.18. Pernyataan ∀x, x2 > x bernilai salah karena ada x = 12
dengan(x2 = 1
4
)≯(x = 1
2
)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
146 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 4.19. Semua bilangan prima (P) adalah ganjil (G) atau untuk setiapbilangan riil, jika dia prima pastilah ganjil.
∀x, x ∈ P →∈ G
Pernyataan ini adalah salah karena ada contoh penyanggahnya, yaitu
∃x = 2 3(x ∈ P ∧ x /∈ G
)Contoh 4.20. Pernyataan berikut adalah benar, karena tidak ada contoh penyang-gahnya.
∀x, x ∈ P →∈ G
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
147 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.8. Kuantor dan kalimat terbuka lebih dari satu peubah
Untuk kalimat terbuka dengan lebih dari satu peubah, pada prinsipnya tiap-tiap peubah disajikan dengan kuantor masing-masing. Misalkan ada beber-apa himpuan A1, A2, · · · , An. Suatu kalimat terbuka pada A1×A2×· · ·×An
dinotasikan dengan p(x1, x2, · · · , xn) dengan sifat bahwa p(x1, x2, · · · , xn)bernilai benar atau salah (tetapi tidak keduanya) untuk suatu (x1, x2, · · · , xn) ∈A1 × A2 × · · · × An
Contoh 4.21. Misalkan M adalah himpunan laki-laki dan W adalah himpunanperempuan, maka: “x suami dari y” adalah kalimat terbuka pada M ×W dankalimat : “x istri dari y” adalah kalimat terbuka pada W ×M .
Contoh 4.22. Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan berikut untuksemesta U = {1, 2, 3}.
i ∀x, ∃y, x2 + y2 < 14
ii ∃x, ∀y, x2 + y2 < 14
iii ∀x, ∀y, x2 + y2 < 14
Jawab:
i Pernyataan ini mengandung pengertian bahwa setiap kali kita mengam-bil x ∈ U , kita dapat mengambil beberapa y ∈ U , sedemikian sehinggax2 + y2 < 14.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
148 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Jika kita ambil x = 1 maka kita bisa ambil y = 1, 2, 3x = 2 y = 1, 2, 3x = 3 y = 1, 2
Jadi pernyataan [i] bernilai:benar.
ii Pernyataan ini mengandung pengertian bahwa ada x ∈ U yang berlakuuntuk semua y ∈ U sedemikian sehingga x2 +y2 < 14. Dari pernyataan[i] di atas terlihat bahwa jika kita ambil x = 1, 2, maka nilai x iniberlaku untuk semua y ∈ U sedemikian sehingga x2 + y2 < 14. Jadipernyataan [ii] bernilai benar.
iii Pernyataan ini mengandung pengertian bahwa untuk semua x ∈ U dansemua y ∈ U berlaku x2 + y2 < 14. Dari pernyataan [i] di atas terlihatbahwa jika kita ambil x = 3 dan y = 3 tidak berlaku x2 +y2 < 14. Jadipernyataan [iii] bernilai salah.
Contoh 4.23. Untuk semesta U = {1, 2, 3} selidiki apakah pernyataan berikutbenar atau salah
∀x, ∀y, ∃z,3 x2 + y2 ≤ 2z2
Jawab:Untuk sembarang atau semua x, y ∈ U terdapat atau dapat diambil z ∈ U
sedemikian sehingga x2 + y2 ≤ 2z2. Pernyataan ini benar karena tidak adacontoh penyanggahnya. Namun untuk lebih jelasnya kita dapat memeriksasemua pasangan x dan y seperti berikut ini:
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
149 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
x y z x2 + y2 ≤ 2z2 Nilai(B/S)1 1 3 2 18 B1 2 3 5 18 B1 3 3 10 18 B2 1 3 5 18 B2 2 3 8 18 B2 3 3 13 18 B3 1 3 10 18 B3 2 3 13 18 B3 3 3 18 18 B
Teorema 4.8.1. Jika x dan y berasal dari semesta yang sama, maka berlaku
1. ∀x, ∀y p(x, y) ≡ ∀x, y p(x, y) ≡ ∀y,∀x p(x, y)
2. ∃x,∃y p(x, y) ≡ ∃x, y p(x, y) ≡ ∃y,∃x p(x, y)
3. ∀x,∃y p(x, y)⇒ ∃y, forallx p(x, y)
4. ∀x p(x)⇔ ¬[∃x 3 p(x)
]5.[∀x p(x)
]∧[∀x q(x)
]⇔ ∀x
[p(x) ∧ q(x)
]6.[∃x p(x)
]∨[∃x q(x)
]⇔ ∃x
[p(x) ∨ q(x)
]7.[∀x p(x)
]∨[∀x q(x)
]⇒ ∀x
[p(x) ∨ q(x)
]
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
150 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.9. Beberapa Bentuk Khusus
Selain kuantor dalam bentuk umum ∀ dan ∃ ada bentuk kuantor khususseperti pada berikut ini, yang berlaku apabila peubahnya berasal dari semestayang sama. Apabila semestanya tidak sama, maka sifat-sifat tersebut belumtentu berlaku.
1. Terdapat dengan tunggal x yang bersifat p.
∃!x p(x)
2. Ada sebanyak-banyaknya satu objek bersifat p. Ini berarti jika ada xdan y masing-masing bersifat p, maka x = y.
(∀x, y)(p(x) ∧ p(y)
)⇔ x = y
3. Setidaknya ada dua objek bersifat p. Berarti ada dua objek yang tidaksama masing-masing bersifat p.
∃x, y (x 6= y) ∧(p(x) ∧ p(y)
)4. Tepat ada dua objek bersifat p. Berarti ada dua objek yang tidak sama
masing-masing bersifat p dan setiap objek ketiga yang bersifat p, makaobjek ketiga ini pasti sama dengan salah satu dua objek pertama.
∃x, y (x 6= y) ∧(p(x) ∧ p(y)
)∧ (∀z)
[p(z)⇒ (z = x ∨ z = y)
]
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
151 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5. Sebanyak-banyaknya ada dua objek bersifat p. Berarti bisa ada dua,satu atau tidak ada objek yang bersifat p.
∀x, y, z(p(x) ∧ p(y) ∧ p(z)
)⇒[(x = y) ∨ (x = z) ∨ (y = z)
6. Setidaknya ada satu objek bersifat p
∃x p(x)
Contoh 4.24.
Misalkan M = { Pak Ali, Pak Amir,Pak Budi } merupakanhimpunan suami
W = { Ny. Budi, Ny. Amir, Ny. Ali, Ny. Ton, Ny. Hasan }merupakan himpunan istri.
s(x, y) : x suami yt(x, y) : x istri y
Us = M×W dan Ut = W×M. Selanjutnya selidiki nilai kebenaran pernyataan-pernyataan
i ∀x ∈M, ∃y ∈ W, s(x, y).
ii ∃y ∈ W,∀x ∈M, s(x, y).
iii ∃x ∈ W,∃y ∈M, s(x, y).
iv ∃x ∈ W,∃y ∈M, t(x, y).
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
152 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
v ∀x ∈ W,∃y ∈M, t(x, y).
Jawab:
i Pernyataan ∀x ∈M, ∃y ∈ W, s(x, y) berarti bahwa untuk setiap oranganggota M terdapat perempuan anggota W sedemikian sehingga xsuami y. Dengan kata lain setiap suami di M ada istrinya di W . Perny-ataan ini benar.
ii Pernyataan ∃y ∈ W,∀x ∈ M, s(x, y) berarti ada perempuan anggotaW yangberlaku untuk semua laki-laki angggota M sehingga laki-lakitersebut suami perempuan tadi. Dengan kata lain ada beberapa perem-puan yang menjadi istri semua laki-laki di M . Pernyataan ini salah.
iii Pernyataan ∃x ∈ W,∃y ∈ M, s(x, y) berarti dari anggota M dan Wdapat dibuat pasangan suami-istri. Pernyataan ini benar.
iv Pernyataan ∃x ∈ W,∃y ∈ M, t(x, y) identik dengan pernyataan (iii)jadi bernilai benar.
v Pernyataan ∀x ∈ W,∃y ∈ M, t(x, y) berarti bahwa untuk semuaperempuan anggota W dapat ditentukan laki-laki anggota M sehinggadia menjadi istri laki-laki ini. Pernyataan ini salah karena ada contohpenyanggah yaitu untuk Ny. Hasan tidak dapat ditentukan laki-lakianggota M sehigga Ny. Hasan istri laki-laki tersebut.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
153 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.10. Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini dapat dibaca beberapasumber yang telah dikutip sebelumnya. Slain itu dapat juga dibaca beberapasumber lain di antaranya Enderton [4], Thomas [20], Gemignani [6], Polimeni& Straight [15], Fletcher et al. [5].
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
154 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.11. Latihan
1. Bubuhkan tanda kuantor yang paling tepat (6 ∃,∃!,∃,∀) sehingga pernyataan-pernyataan berikut menjadi benar untuk semesta pembicaraan <. Se-lanjutnya berikan himpunan penyelesaiannya.
(a) (. . . x) x2 = 0
(b) (. . . x) cos xo = 3
(c) (. . . x) x2 + 2x+ 1 = 0
(d) (. . . x) x2 + 5x+ 6 = 0
(e) (. . . x) x2 + 2x+ 4 = 0
(f) (. . . x) (. . . y) x > y
(g) (. . . x (. . . y) xy = y
(h) (. . . x (. . . y) (. . . z) x = y = z
(i) (. . . x (. . . y) (. . . z) x+ y = z
2. Bubuhkan tanda kuantor yang paling tepat (6 ∃,∃!, ∃, ∀) sehingga pernyataan-pernyataan berikut menjadi benar untuk semesta pembicaraan him-punan manusia. Selanjutnya tentukan negasinya.
(a) (. . . x) (x ada yang melahirkan).
(b) (. . . x) (x berkaki lima).
(c) (. . . x) (. . . y) (x adalah saudara kandung y).
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
155 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(d) (. . . x) (. . . y) (x tepat sama dengan y).
(e) (. . . x) (. . . y) (x adalah suami y).
(f) (. . . x) (. . . y) (. . . y) (x, y, z saling mengenal).
3. Misalkan
M(x) : x adalah manusiaP (x) : x adalah priaW (x) : x adalah wanitar(x) : x suka merokok
q(x, y) : x dan y saling mencintait(x, y) : x lebih cerdas dari y
Untuk masing-masing soal berikut tentukan simbol logikanya, simbol negasinyadan pengucapan negasinya. Selanjutnya dengan menggunakan duniariil sebagai semesta tentukan yang mana dari pernyataan (atau ne-gasinya) yang bernilai benar.
(a) Setiap pria lebih cerdas dari setiap wanita.
(b) Ada wanita yang lebih cerdas dari beberapa pria.
(c) Setiap manusia adalah pria atau wanita tetapi tidak dua-duanya.
(d) Setidaknya ada satu wanita yang suka merokok.
(e) Ada beberapa pria dan wanita yang saling menciantai.
(f) Setiap pria tidak lebih cerdas dari setiap wanita.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
156 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(g) Paling tidak ada 3 laki-laki yang suka merokok.
(h) Paling banyak hanya ada 2 wanita yang suka merokok.
4. Buatlah negasi dari pernyataan-pernyataan berikut:
(a) ∀x, |x| > 0
(b) ∃x 3 x2 = x
(c) ∀x∃y 3 xy
= 1
(d) ∀x∃y 3 xy = x
(e) ∃x∀y 3 xy = y
(f) ∀(x, y)[p(x) ∨ q(x)
](g) ∀(x, y)
[p(x, y)→ q(x, y)
]5. Diketahui:
N(x) : x adalah bilangan asli.P (x) : x adalah bilangan prima.G(x) : x adalah bilangan genap.I(x) : x adalah bilangan ganjil.C(x) : x adalah bilangan cacah.S(x) : x adalah bujur sangkar.J(x) : x adalah persegi panjang.
Tentukan notasi pernyataan-pernyataan berikut:
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
157 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(a) Setiap bilangan asli adalah ganjil atau genap, tetapi tidak kedu-anya.
(b) Setiap bilangan asli aalah bilangan cacah.
(c) Terdapat bilangan yang sekaligus prima dan genap.
(d) Tidak ada bilangan asli yang ganjil.
(e) Semua bujur sangkar adalah persegi panjang.
(f) setiap bilagan prima adalah bilangan asli.
6. Nyatakan pernyataan-pernyataan berikut dengan notasi yang ditunjuk:
(a) Orang yang bangun pagi memperoleh udara segar. O(x) : xadalah orang, S(x) : x adalah udara segar, p(x, y) : x memperolehy.
(b) Setiap mawar memiliki duri. M(x) : x adalah mawar, D(x) : xadalah duri, p(x, y) : x memiliki y.
(c) Singa yang mati lebih berbahaya dari anjing hidup. S(x) : xadalah singa, M(x) : x adalah mati, A(x) : x adalah anjing, H(x) :x adalah hidup, B(x, y) : X lebih berbahaya dari y.
(d) Semua manusia tidak mengetahui sesuatu, sebelum dia mempela-jarinya. M(x) : x adalah manusia,T (x, y) : x tidak mengetahui y,B(x, y) : x mempelajari y.
7. Nyatakan apakah kalimat-kalimat berikut merupakan suatu kalimatterbuka (bermakna) pada himpunan yang diberikan.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
158 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(a) x+ 2 < 1 untuk semesta himpunan bilangan asli.
(b) x2 + 2x+ 1 = 0 untuk semesta bilangan riil.
(c) x+ 3 > 5 untuk semesta bilangan kompleks.
(d) sin2 xo + cos2 xo = 1 untuk semesta bilangan riil.
(e) x mencintai y untuk semesta bilangan kompleks.
(f) tanxo =sinxo
cosxountuk semesta bilangan riil.
8. Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut:
(a) ∀x ∈ <, x+ 3 > 3
(b) ∃x ∈ < 3 x− 5 < 4
(c)[∃x, p(x)
]∨[∀y, q(y)
](d) ∀x, y
[p(x, y)→ q(x, y)
](e) ∃x, y
[p(x, y) ∧ q(x, y)
](f) ∀ε > 0, ∃N0,3 ∀N,
[N > N0 → |aN | < ε
]9. Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5, }. Tentukan himpunan penyelaian dari
kalimat-kalimat terbuka berikut.
(a) ∃x 3 2x+ 3 < 7.
(b) ∃x 3 x adalah genap.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
159 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(c) ∃x 3 x bukan prima.
(d) ∃x 3 xx = x
10. Untuk semesta U = {2, 3, 4, . . . , 8, 9} tentukan contoh penyanggahpernyataan-pernyataan berikut.
(a) ∀x, x+ 5 < 12.
(b) ∀x, x adalah prima.
(c) ∀x, x2 > 1.
(d) ∀x, x+ 5 > 7.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
160 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
161 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
BAB 5
PENALARAN LOGIS
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
162 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Umum
Setelah meyelesaikan materi pada bab ini pembaca diharapkan memahamitehnik-tehnik penarikan kesimpulan yang valid baik secara langsung (deduk-tif), tak langsung, maupun secara induktif. Nantinya diharapkan mampumenerapkannya dalam pembuktian teorema-teorema di berbagai bidang matem-atika.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
163 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Khusus
Setelah meyelesaikan materi pada bab ini pembaca diharapkan dapat
1. menyebutkan definisi argumen
2. mengguakan berbagai bentuk argumen yang valid dalam menrik kes-impulan
3. menggunakan pembuktian tidak langsung
4. menggunakan Induksi Matematika
5. menggunakan tehnik Argumen yang mengandung kuantor
6. menghindarkan sesat Pikir
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
164 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Materi
1. Argumen
2. Bentuk-Bentuk argumen yang valid
3. Pembuktian tidak langsung
4. Induksi Matematika
5. Argumen berkuantor
6. Sesat Pikir
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
165 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.1. Argumen
Definisi 5.1.1. Argumen adalah suatu proposisi/ pernyataan majemuk yangmemuat sekumpulan pernyataan-pernyataan P1, P2, ...Pn (disebut premis) dandiikuti suatu pernyataan lain Q yang disebut disebut konklusi /kesimpulan.
Notasi : Argumen secara umum dinotasikan dengan:
P1, P2, . . . Pn ` Q
Karena argumen itu adalah suatu proporsi/ pernyataan maka ia dapat berni-lai benar atau salah. Argumen yang benar disebut argumen valid /sah /sahih.Sedangkan argumen yang tidak benar disebut argumen yang invalid /sesat/fallacy.
Definisi 5.1.2. Suatu argumen dikatakan valid jika kesimpulannya meru-pakan implikasi logis dari premis-premisnya, yaitu:
P1, P2, . . . Pn ` Q jhj P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ · · · ∧ Pn⇒ Q atau
P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ · · · ∧ Pn→ Q ≡ T
Karena suatu tautologi akan tetap benar tanpa bergantung pada isi pernyataan-pernyataannya maka vadilitas argumen juga tidak bergantung pada isi pernyataan-pernyataan baik pada premis maupun konklusinya. Ia hanya bergantung
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
166 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
pada bentuknya, apakah suatu tautologi atau tidak. Ini adalah ciri khasdari logika matematika yang bersifat formal. Untuk lebih jelasnya berikutdikutipkan pendapat Lipschutz (1974:27) berikut :
We emphasize that the validity of an argument does not dependupon the truth values nor the content of the statement appearingin the argument, but upon the particular form of the argument.
Contoh 5.1.
P1 : Jika orang hidup membujang maka ia akan tidak bahagiaP2 : Jika orang tidak bahagia maka ia akan mati mudaQ : Jadi (∴)orang yang hidup membujang akan mati muda.Untuk menyelidiki valid tidaknya argumen di atas kita buat bentuk/ sim-
bol, misalkan:p : hidup membujang (orang hidup membujang)q : orang hidup bahagiar : orang mati mudaKita peroleh :
(p→ q, q → r)→ (p→ r)
Kita bisa membuktikan/ menunjukkan bahwa:
(p→ q, q → r)⇒ (p→ r)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
167 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Jadi penalaran diatas adalah benar/ logis/ valid, terlepas dari keadaanyang sebenarnya (the concrete situation).
kata-kata jadi, oleh karena itu, kesimpulan, dalam matematika seringdinotasikan dengan ∴.
Contoh 5.2.
P1 : Jika dua sisi segitiga sama panjang maka sudut-sudutdihadapannya sama besar
P2 : Sudut dihadapannya sama besarQ : Jadi sisi (dua sisi) segitiga sama panjang.
Sepintas kesimpulan di atas nampak valid, karena pernyataan kesimpulansesuai dengan kenyataan sifat-sifat dalam geometri. Tetapi dilihat dari carapenarikan kesimpulannya, penalaran diatas tidak sah /sesat. Kita dapatmenyelidiki bahwa bentuk: (
(p→ q) ∧ q)→ r
bukan tautologi.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
168 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.2. Bentuk-Bentuk Argumen Yang Valid
Telah diuraikan di depan bahwa validitas suatu argumen bergantung padabentuknya apakah merupakan implikasi logis atau tidak. Dengan demikiansembarang implikasi logis dapat dijadikan argumen yang valid. Berikut inidiberikan beberapa bentuk implikasi logis yang umum dipakai dalam pe-narikan kesimpulan.
1. Simplifikasi
Bentuk umump ∧ q ` p
p ∧ q ` q
Simplifikasi ini merupakan penalaran yang paling sederhana dan den-gan mudah dapat dipahami bahwa jika p∧q benar maka baik p maupunq adalah benar.
Contoh 5.3.
2 dan 5 adalah bilangan prima2 adalah bilangan prima
2. Konjungsi
Bentuk umum :p, q ` p ∧ q
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
169 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 5.4.
2 adalah bilangan prima2 adalah bilangan genap2 adalah bilangan prima dan genap
3. Adisi
Bentuk umum :
p ` p ∨ q
q ` p ∨ q
Contoh 5.5.
2 adalah bilangan prima2 atau 8 adalah bilangan prima
4. Silogisme disjungtif
Bentuk umum :
p ∨ q,¬p ` q
Pernyataan p ∨ q benar jika salah satu atau keduanya benar, karenaitu, jika p tidak benar maka logis kita simpulkan q benar.
Contoh 5.6.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
170 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2 atau 8 adalah bilangan prima8 bukan bilangan prima2 adalah bilangan prima
Contoh 5.7.
Ayah atau ibu menjemput adikAyah tidak menjemput adikIbu menjemput adik
5. Silogisme Disjungsi Eksklusif
Bentuk umum :p∨q, p ` ¬q
Pada disjungsi eksklusif kebenaran komponennya tidak terjadi bersama-sama. Jadi jika p benar haruslah q salah (tidak terjadi).
Contoh 5.8.
Ayah sedang di pasar atau di kantorAyah sedang di kantorAyah tidak sedang di pasar
6. Modus Ponens/ Hukum Detasemen
Bentuk umum :p→ q, p ` q
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
171 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Bukti validitasnya dapat ditunjukkan berikut :
(p→ q) ∧ p ≡ (¬p ∨ q) ∧ p ekuivalensi
≡ (¬p ∧ p) ∨ (q ∧ p) distributif
≡ 0 ∨ (q ∧ p) komplemen
≡ q ∧ p identitas
⇒ q simplifikasi
Jadi (p→ q) ∧ p⇒ q dan p→ q, p ` q.Contoh 5.9.
Jika matahari terbit dari barat maka manusia tidak pernah matiMatahari terbit dari baratManusia tidak pernah mati
7. Modus Tolens
Bentuk umum :p→ q,¬q ` ¬p
Bukti :
(p→ q) ∧ ¬q ≡ (¬p ∨ q) ∧ ¬q EDI
≡ (¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬q) distributif
≡ (¬p ∧ ¬q) ∨ 0 komplemen
≡ (6= p ∧ ¬q) identitas
⇒ ¬p simplifikasi
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
172 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Pada penerapan hukum simplifikasi di atas ¬p∧¬q karena ¬q diketahui,maka tidak perlu digunakan sebagai kesimpulan dan kesimpulan kitaadalah ¬p.
8. Silogisme Hipotetik
Bentuk umum :p→ q, q → r ` p→ r
Salah satu cara untuk membuktikannya adalah sebagai berikut ini.Misalkan:
P1 : p→ r
P2 : q → r
Di lain pihak secara keseluruhan implikasinya dapat diubah
Andaikan p
⇒q berdasar P1 dan Modes Ponen
⇒r berdasar P2 dan Modes Ponen
⇒p→ r
Dengan kata lain pengandaian p akan menghasilkan kesimpulan r.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
173 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
9. Dilema Kontruktif
Bentuk umum :p→ q, r → s, p ∨ r ` q ∨ s
Dilema kontruktif ini adalah merupakan bentuk Modus Ponens yanglengkap (gabungan dua modus ponen). Ini dapat dipahami sebagaiberikut : p syarat cukup untuk q dan r syarat cukup untuk s, jika salahsatu dari p atau r muncul pastilah salah satu q atau s muncul.(Bisajuga dilakukan dengan membuktikan tautologinya)
Contoh 5.10.
Jika hari hujan maka tanah basahJika kamu datang maka saya senangHari ini hujan atau kamu datangTanah basah atau saya senang
Bentuk lain, yang lebih sederhana dari Dilema konstruktif ini adalah:
(p→ q), (r → q), (p ∨ r) ` q
Yang merupakan bentuk modus ponen. Untuk membuktikan validitas-nya kita harus membuktikan implikasi logisnya kita harus membuktikanbahwa :
(p→ q) ∧ (r → q) ∧ (p ∨ r)⇒ q
Contoh 5.11.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
174 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Jika hari hujan maka tanah basahJika tanah disiram maka tanah basahHari hujan atau tanah disiramMaka tanah basah
10. Dilema Destruktif
Bentuk umum :
(p→ q), (r → s), (¬q ∨ ¬s) ` (¬p ∨ ¬r)
Karena q adalah syarat perlu untuk p dan s syarat perlu untuk r maka,jika q atau s tidak terjadi maka p atau r juga tidak terjadi.
Contoh 5.12.
Jika hari hujan maka tanah basahJika kamu datang maka saya senangTanah tidak basah atau saya tidak senangHari tidak hujan atau kamu tidak datang
Bentuk lain yang termasuk dilema destruktif adalah :
(p→ q), (p→ r),¬(q ∧ r) ` ¬p
Contoh 5.13.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
175 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Jika suatu bilangan asli maka bilangan itu bulatJika suatu bilangan asli maka bilangan itu rasional√
2 tidak sekaligus bulat dan rasional√2 bukan bilangan asli
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
176 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.3. Pembuktian Tidak Langsung
Kadang-kadang dalam membuktikan suatu pernyataan matematis kita tidakdapat/ tidak praktis membuktikan langsung dari premis-premisnya. Beber-apa cara pembuktian yang umum dikelompokkan ke dalam bukti tidak lang-sung ini adalah :
1. Bukti negasi atau bukti dengan contoh kontra/ penyanggah
2. Bukti kotradiksi (Absurditas/ Reduksio ad Absurdum/ Argument bycotradiction)
3. Bukti kontra positif
4. Bukti pemilihan dan pencoretan.
5.3.1. Pembuktian dengan Negasi
Kita telah mengetahui bahwa p dan ¬p mempunyai nilai kebenaran yangbertentangan. Jika p benar maka ¬p salah. Dengan demikian jika kita da-pat membuktikan ¬p salah sama halnya membuktikan ¬p benar, sebaliknyajika kita dapat menunjukkan ¬p benar berarti kita telah membuktikan psalah. Dalam argumen berkuantor universal kita dapat menunjukkan valid/tidaknya dengan menunjukkan contoh-contohnya.
∃xo ∈ U, p(xo) ` ¬(∀(x ∈ U, p(x)
)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
177 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
@xo ∈ U, p(x) ` ∀x ∈ U, p(x)
Di sini xo dikatakan sebagai contoh penyanggah dan pembuktian dengancara menunjukkan contoh penyanggah disebut pembuktian dengan negasi.
Contoh 5.14.
p: setiap bilangan prima adalah ganjil.Jika kita ingin menunjukkan bahwa p adalah salah, maka kita dapat
melakukannya dengan menunjukkan bahwa ¬p adalah benar, dengan ¬padalah “ada bilangan prima yang tidak ganjil”. Pernyataan ini (¬p) adalahpernyataan yang bernilai benar, yaitu ada xo = 2 yang merupakan bilanganprima tidak ganjil. 2 disebut contoh penyanggah dari pernyataan p.
Contoh 5.15. p: setiap bilangan asli adalah bulat.
Negasi pernyataan tersebut, ¬p adalah: “terdapat bilangan asli yangtidak bulat”. Penyataan ¬p tidak benar, karena tidak ada bilangan asliyang tidak bulat (contoh kontranya tidak ada, ∅). Jadi pernyataan p benar.
5.3.2. Pembuktian dengan Kontradiksi
Untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan kita dapat juga mengandaikanbahwa pernyataan itu salah, dari pengandaian ini akan ditemukan suatu kon-tradiksi. Dari kontradiksi yang terjadi disimpulkan bahwa pengandaian inisalah. Bukti ini sering juga disebut bukti pengandaian .
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
178 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Bentuk pembuktian ini adalah :(¬p→ F
)` p
Pengambilan ¬p disini adalah suatu pengandaian.
Contoh 5.16.
Buktikan bahwa “himpunan kosong adalah subset sembarang himpunanH”, ∅ ⊆ H.
Bukti :Misalkan pernyataan “himpunan kosong adalah subset sembarang him-
punan H” adalah p. Andaikan yang benar adalah ¬p, “∅ bukan subset dariH”. Ini berarti (dari definisi tentang subset):
∃x ∈ ∅, tetapi x ∈ H.
Pernyataan x ∈ ∅ adalah suatu kontradiksi, sebab ∅ tidak pernah memilikisuatu elemen. Ini berarti pengandaian harus diingkar, yaitu yang bear adalah¬(¬p) ≡ p. Kesimpulannya, yang benar adalah p : ∅ ⊆ H
5.3.3. Pembuktian dengan Kontra Positif
Membuktikan bahwa p adalah syarat cukup untuk q sama halnya membuk-tikan q adalah syarat perlu untuk p. Ini berarti jika q tidak muncul, maka ptidak muncul. Jadi:
¬q → ¬p⇒ p→ q
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
179 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh : Jika Abang tidak punya uang maka adik tidak sayang Kesim-pulannya : Jika adik sayang abang berarti (maka) Abang lagi punya uang.Kita menganggap ruas kanan adalah kesimpulan/ konsekuensinya logis dariruas kiri. Meskipun kenyataan berlaku ≡, tetapi dalam hal ini kita hanyamemperhatikan → saja.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
180 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.4. Induksi Matematika
Dalam matematika khususnya yang menyangkut himpunan bilangan aslidikenal juga pembuktian lain yang disebut Induksi Matematika/ InduksiLengkap. Sebenarnya pembuktian ini bukanlah induksi tetapi suatu deduksiyang di dasarkan atas aksioma/ postulat Peano tentang bilangan asli. Pos-tulat dari Peano menyatakan bahwa
Sembarang subset K dari N dengan sifat
1. 1 ∈ K.
2. jika untuk sembarang k ∈, maka k∗ = k + 1 ∈ K,
3. maka K = N Postulat ini dapat dipakai sebagai suatu pembuktian
P (1), (p(k)→ p(k + 1) ` p(n),∀n ∈ N
Secara rinci langkah-langkah induksi matematika untuk membuktikan bahwaP (n) berlaku untuk semua n ∈ N adalah sebagai berikut:
Langkah 1 (awal) buktikan P (1)
Langkah 2 (hipotesis induktif) andaikan P (k)
Langkah 3 (kesimpulan induktif) buktikan P (k + 1)
Contoh 5.17.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
181 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Buktikan, bahwa untuk semua n ∈ N berlaku
1 + 2 + 3 + · · ·+ n = 1/2n(n+ 1)
Bukti :
i Periksa untuk n = 1
1 = 1/2(1 + 1) (Benar)
ii Misalkan untuk sembarang k berlaku :
1 + 2 + ...+ k = 1/2k(k + 1)
iii Maka untuk k∗ = k + 1
1 + 2 + ...+ k + k + 1 =1
2k(k + 1) + (k + 1)
= (k + 1)(1
2k + 1)
=1
2(k + 1)(k + 2)
=1
2(k + 1)(k + 1 + 1)
=1
2k∗(k∗ + 1) untuk k∗ = k + 1
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
182 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.5. Argumen berkuantor
5.5.1. Translasi kuantor universal dan eksistensial
Perhatikan empat pernyataan berikut :
(i) Setiap/ semua P bersifat Q
(ii) Taksatupun P bersifat Q
(iii) Sebagian P bersifat Q
(iv) Sebagian P tidak bersifat Q
Pernyataan-pernyataan tersebut dapat dinyatakan baik dengan kuantor uni-versal maupun eksistensial.
Dengan kuantor universal
(i) ∀x, P (x)→ Q(x)
(ii) ∀x, P (x)→ Q(x)
(iii) ¬(∀x)(P (x)→ Q(x)
(iv) ¬[(∀x)(P (x)→ Q(x))]
Pernyataan sebagian P bersifat Q sama artinya bahwa tidak benar bahwauntuk semua x jika x bersifat P maka x tidak bersifat Q. Ingat bahwa¬(p→ q) ≡ (p ∧ ¬q) dan ¬(p ∧ ¬q) ≡ (p→ q).
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
183 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Dengan kuantor eksistensial
Kalimat atau pernyataan (i), sama artinya dengan tidak benar bahwa ada xyang bersifat P tetapi tidak bersifat Q. Pernytaan (ii) sama artinya dengan: tidak benar bahwa ada x yang sekaligus bersifat P dan Q. Jadi notasinya :
(i) ¬[∃x,3
(P (x) ∧Q(x)
)](ii) ¬
[∃x,3
(P (x) ∧Q(x)
)](iii) ∃x,3 P (x) ∧Q(x)
(iv) ∃x,3 P (x) ∧Q(x).
Kita peroleh kesamaan berikut :
(i) (∀x)(P (x)→ Q(x)) ≡ ¬(∃x)[P (x) ∧Q(x)
](ii) (∀x)
[P (x)→ Q(x)
]≡ ¬(∃x)
[P (x) ∧Q(x)
](iii) ¬(∀x)
[P (x)→ Q(x)
]≡ (∃x)
[P (x) ∧Q(x)
](iv) ¬(∀x)
[P (x)→ Q(x)
]≡ (∃x)
[P (x) ∧Q(x)
]
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
184 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.5.2. Spesifikasi Universal, Spesifikasi Eksistensial
Perhatikan pernyataan : (∀x)(P (x)), yang berarti kita dapat mengambiltetapan a ∈ U , secara bebas dan kita peroleh P (a). Jadi kita telah mengkhususkandari peubah x ke suatu tetapan a, dengan kata lain kita memberikan con-toh. Prinsip ini disebut dengan Spesifikasi Universal (US = UniversallySpecified = UI = Universal Instantiation). Perhatikan bahwa pemunculan adi sini adalah bebas (free occurrence) karena P (x) berlaku untuk semua x.
US : (∀x)(p(x)) ` P (a), a ∈ U(bebas)
Sebaliknya dari pernyataan (∃x)(P (x)), kita hanya dapat mengambil el-emen (tetapan) a tertentu yang bersifat P atau P (a). Dengan demikiankita juga dapat mengambil contoh ataupun menspesifikasikan yang disebutpengambilanSpesifikasi Eksistensial (ES = EI = Existentially Specified = ExistentiallyInstantiation).
ES : (∃x)(P (x)) ` P (a), a ∈ U(terbatas)
5.5.3. Generalisasi Universal dan Generalisasi Eksistensial
Apabila untuk sembarang (arbitrary) a kita menemukan P (a) maka kita da-pat menggeneralisasikan bahwa setiap x, P (x). Ingat bahwa a diambil secarasembarang (arbitrarily selected). Generalisasi ini disebut Generalisasi Uni-versal (UG).
UG : a ∈ U, P (a)(∀x)(P (x))asembarang
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
185 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Apabila a adalah elemen teretentu (diambil dengan memilih beberapasaja ), maka kita dapat mengadakan generalisasi yaitu terdapat x yang bersi-fat P , prinsip ini disebut Generalisasi Eksistensial (EG)
EG : (a ∈ U), P (a)(∃x)(P (x))atertentu
Secara umum apabila premis-premisnya hanya memuat kuantor universaldan kita hanya menggunakan US dan UG persoalannya agak mudah diband-ingkan dengan penggunaan kuantor universal dan eksistensial bersama-samaES dan EG. Untuk itu perlu diperhatikan dalam penggunaannys:
(i) Tidak benar(∃x)(x 6= y) ` (y 6= y)
Ada suatu x yang tidak sama dengan y. x yang dimaksud adalah x 6= yjadi x tidak dapat digantikan dengan y
(ii) Kita tidak dapat menggunakan ES sebagai kesimpulan dari
(∀x)(∃y)F (x, y) ` (∃y)(∀x)F (x, y)
(iii) Kita tidak dapat menggunakan ES untuk menyimpulkan
(∃x)P (x), (∃x)Q(x) ` (∃x)[P (x) ∧Q(x)
](iv) Kita tidak dapat menggunakan ES untuk menyimpulkan sembarang
unsur(∃x)P (x) ` P (y)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
186 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Kesimpulan-kesimpulan (generalisasi) di atas dikenal sebagai konsekuensi(kesimpulan) yang tidak diinginkan yang sering mengelirukan (unwanted con-sequences).
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
187 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.6. Sesat Pikir
Penarikan kesimpulan dengan menggunakan argumen yang tidak valid dikatakansesat pikir.
Contoh 5.18.
Jika hari hujan maka tanah basahTanah basahHari hujan
Penarikan kesimpulan hari hujan dari tanah basah adalah tidak sah /sesat. Kita dapat membuktikan bahwa
[(p → q) ∧ q
]→ p adalah bukan
tautologi.
Contoh 5.19.
Jika hari hujan maka tanah basahHari tidak hujanTanah tidak basah
Adalah penarikan kesimpulan yang tidak sah / sesat. sebab[(p →
q) ∧ (¬p)]→ ¬q bukan tautologi. Akan tetapi berbeda halnya jika premis
mayornya dinyatakan dengan biimplikasi seperti misalnya :
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
188 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
P1 : Suatu banguan segiempat disebut bujur sangkar Keempatsudutnya = 90o dan keempat sisinya sama panjang.
P2 : Segi empat ABCD , AB = CD = BC = AD dan ∠A =∠B = ∠C = ∠D = 90o
K1 : ABCD bujur sangkaratauP3 : PQRS bukan bujur sangkarK2 : Salah satu sisinya tidak sama dengan yang lain atau Salah
satu sudutnya bukan 90o
Dapat dibuktikan bahwa(p↔ q),¬p ` ¬q
(p↔ q), q ` p
dua-duanya valid.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
189 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.7. Sistem Deduktif dalam Matematika
Teori matematika (yang lebih sering disebut sebagai matematika murni) da-pat dipandang suatu sistem deduktif yang tidak harus terkait dengan dunianyata. Sebagai sistem deduktif matematika terdiri atas beberapa komponendiantaranya:
1. unsur primitif atau unsur tak terdefinisi;
2. definisi yang biasanya terdiri atas sekumpulan aksioma atau postulat;
3. aturan yang mengatur bagaimana suatu operasi dalam sistem tersebutdiberlakukan;
4. teorema atau proposisi yang merupakan sekumpulan sifat-sifat yangditurunkan dari definisis dan aturan yang ada;
5. lemma yang merupakan teorama bantu yang diperlukan untuk mem-buktikan teorema utama;
6. korolari yang merupakan konsekuensi logis dari suatu teorema yangdianggap terlalu dekat untuk dipisah menjadi teorema lain;
7. konjektur yang belum bisa dibuktikan.
Aksioma dalam sistem matematika harus memenuhi syarat utama yangdisebut syarat konsistensi yaitu antara satu aksioma dengan aksioma lain
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
190 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
dalam suatu sistem tidak boleh ada kontradiksi. Dengan demikian, dapatjuga dijamin bahwa teorema-teorama yang diturunkan juga terbebas darikontradiksi. Syarat yang kedua, namun tidak dianggap mendesak adalahsyarat independensi yaitu aksioma-aksioma yang menjadi definisi tidakada yang dapat diturunkan dari aksioma lainnya. Karena kalau terjadidemikian, maka aksioma tersebut sesungguhnya telah menjadi suatu teo-rema. Kegiatan mendefinisikan suatu sistem (misalnya Aljabar Boole, Grupatau Ring) dengan jumlah aksioma seminim mungkin, merupakan suatutopik penelitian tersendiri yang cukup menarik dalam bidang matematikamurni.
Beberapa sistem aksioma yang penting yang banyak dikenal dalam matem-atika diantaranya adalah Sistem Aksioma Aljabar Boole dan beberapastruktur dalam matematika seperti grup/kelompok, ring/gelanggangdan field/medan. Sistem aksioma ini banyak dibahas dalam aljabar ab-strak.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
191 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.8. Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini selain beberapa sumberyang telah dikutip sebelumnya, dapat juga dibaca beberapa sumber laindiantaranya Enderton [4], Thomas [20], Gemignani [6], Lipschutz [9], danPolimeni & Straight [15]. Sedangkan untuk melihat beberapa contoh sistemaksioma dalam matematika dapat dibaca beberapa referensi tentang aljabarboole maupun aljabar abstrak.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
192 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.9. Soal-soal Latihan
1. Selidiki apakah argumen-argumen beriku valid atau tidak.
(a) p→ q, q → p ` p↔ q
(b) p→ q,¬p ` ¬q(c) p→ q,¬p ` q(d) p→ q, r → q ` r → ¬p
2. Selidiki apakah penarikan kesimpulan ini sah / valid atau tidak.
(a) Argumen
Jika saya belajar maka saya lulus ujianJika saya tidak menikah maka saya tidak lulus ujianJika saya belajar maka saya menikah
(b) Argumen
Jika 2 bilangan genap maka 7 bilangan prima7 bukan bilangan prima atau 9 bilangan sempurna9 adalah bilangan sempurna
(c) Argumen
Setiap manusia adalah makhluk TuhanSetan adalah makhluk TuhanSetan adalah manusia
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
193 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(d) Argumen
Semua bujur sangkar adalah persegi panjangTidak ada persegi panjang yang bukan jajaran genjangBujur sangkar adalah jajaran genjang
(e) Argumen
Jika matahari terbit dari barat maka 2 + 2 = 5Jika manusia bermuka dua maka matahari terbit dari barat2 + 2 6= 5Manusia tidak bermuka dua
3. Jika dapat berikan kesimpulannya agar argumen-argumen berikut valid.Tentukan prinsip apa yang dipakai.
(a) Argumen
Setiap manusia adalah hewanEinstein adalah manusiaK ...............................................
(b) Argumen
Siti adalah mahasiswaSiti adalah pegawai negeriK ..................................................
(c) Argumen
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
194 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Saya naik kelas atau tidak diberi hadiahSaya tidak naik kelas atau saya senangSaya tidak senangK ........................................................
(d) Argumen
Atau ayah atau ibu menjemput adik (tapi tidak keduanya)Ayah menjemput adikK ..............................................................
(e) Argumen
Jika 2 + 3 = 5 maka 6 adalah bilangan sempurnaJika 2× 7 = 14 maka 8 adalah bilangan asli6 bukan bilangan sempurna atau 8 bukan bilangan asliK .................................................................
(f) Argumen
Jika Paris ada di Perancis maka 3 + 5 = 6Jika 4 + 5 = 9 maka 72 = 14Paris ada di Perancis atau 4 + 5 = 9K .....................................................................
(g) Argumen
Jika 2 = 3 maka 62 = 12Jika 3 + 2 = 6 maka 62 = 1262 6= 12K ..........................................................
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
195 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4. Selidiki valid (sah) atau tidaknya penarikan kesimpulan berikut :
(a) Argumen
Jika London tidak di Denmark, maka Paris tidak di PerancisParis di PerancisLondon di Denmark
(b) Argumen
Jika saya belajar, maka saya tidak jatuh (gagal) dalam matematikaSaya tidak belajarSaya jatuh dalam matematika
(c) Argumen
Jika 6 adalah genap, maka 2 adalah bukan pembagi 75 bukan prima atau 2 adalah pembagi 75 adalah prima6 adalah bukan genap
(d) Argumen
Pada hari ini ulang tahun istriku, kuberikan dia bungaHari ini ulang tahun istriku atau saya terlambat ke kantorSaya tidak memberikan bunga istriku hari iniHari ini saya terlambat ke kantor
(e) Argumen
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
196 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Jika saya bekerja, saya tidak dapat belajarSaya belajar atau saya lulus ujianSaya bekerjaSaya lulus ujian
(f) Argumen
Jika saya bekerja, saya tidak dapat belajarSaya belajar atau saya lulus ujianSaya lulus ujianSaya bekerja
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
197 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
BAB 6
HIMPUNAN
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
198 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Umum
Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca mema-hami konsep himpunan beserta operasinya serta menggunakannya dalammenyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan himpunan.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
199 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Khusus
Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca dapat:
1. memberi contoh berbagai jenis himpunan;
2. menentukan relasi dua himpunan;
3. menyelesaikan operasi dasar himpunan;
4. menentukan sifat-sifat operasi himpunan;
5. menyelesaikan jumlah dan selisih himpunan;
6. menunjukkan sifat-sifat relasi ⊆;
7. menggunakan himpunan untuk memeriksa validitas silogisme.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
200 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Materi
1. Definisi dan jenis himpunan
2. Relasi himpunan
3. Operasi dasar himpunan
4. Sifat-sifat operasi himpunan
5. Operasi jumlah dan selisih himpunan
6. Sifat-sifat relasi himpunan bagian/ subset (⊆)
7. Pengguaan himpuan dalam silogisme
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
201 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.1. Definisi dan Jenis Himpunan
Himpunan pada dasarnya adalah kumpulan objek, namun dalam himpunan‘tradisional’ kumpulan ini dibatasi dengan jelas, dalam arti dengan jelas da-pat ditentukan apakah suatu objek termasuk dalam suatu kumpulan atautidak. Selain itu dalam himpunan ‘tradisional’ (untuk membedakan den-gan pengertian himpunan samar atau fuzzy set) tidak ada perbedaan tingkatkeangggotaan suatu objek pada suatu himpunan. Berbeda dengan himpunanorganisasi yang anggotanya mungkin dibedakan atas anggota aktif, pasif danlain sebagainya. Himpunan sering juga disebut gugus (Lihat misalnya Na-soetion [11]).
Orang yang dianggap sebagai pengenal himpunan adalah matematikawanJerman George Cantor (1845-1918). Cantor menggunakan istilah ”menge”dalam bahasa German yang berarti “Hasil usaha penghimpunan beberapabenda yang memiliki ciri pembeda tertentu, menjadi kesatuan”. Dalam ba-hasa Inggris “menge” disebut set (Nasoetion [11, hal.15]).
Definisi 6.1.1. Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang dibatasi den-gan tegas.
Himpunan pada umumya dinotasikan dengan huruf besar dan objek yangmenjadi angggota ditulis diatara kurung kurawal, {}. Objek yang menjadianggota suatu himpunan disebut unsur atau elemen. Unsur-unsur suatuhimpunan dapat dinyatakan dengan menulis keseluruhannya (disebut cara
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
202 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
tabulasi atau dengan menulis aturan yang menjadi ciri (disebut cara ru-musan atau deskripsi).
Contoh 6.1. A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}, maka dengan jelas dapat ditentukan
i 2 merupakan unsur dari himpunan A, ditulis: 2 ∈ A.
ii 3 merupakan unsur dari himpunan A, ditulis: 3 ∈ A.
iii 4 bukan merupakan unsur dari himpunan A, ditulis: 2 6∈ A.
Himpunan A dapat juga dinyatakan sebagai himpunan bilangan prima sama ataudibawah 17, dalam notasi matematika
A = {x|x ≤ 17 ∧ x : prima} atau
A = {x : x ≤ 17 dan x adalah prima} atau
A = {x;x ≤ 17 dan x adalah prima}
Antara x dan deskripsinya umumnya digunakan tanda “|”, namun adajuga yang menggunakan tanda “:” dan “;”. (Ruseffendi [16])
Contoh 6.2. G adalah kumpulan Gadis-gadis dengan tinggi badan antara 150cm sampai dengan 165 cm dan dengan berat badan dari 50kg sampai dengan60 kg. Dalam kumpulan ini jelas kriteria untuk menjadi anggota, dalam arti,setiap kita mengambil seorang gadis, berat dan tingginya dapat diukur denganpasti, dengan demikian dapat ditentukan dengan jelas apakah dia termasuk dalamkategori dimaksud. Jadi G adalah suatu himpunan.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
203 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 6.3. M adalah kumpulan Gadis-gadis manis. Dalam kumpulan ini tidakjelas kriteria untuk menjadi anggota, sehingga M bukan merupakan suatu him-punan, karena jika kita mengambil seorang gadis, tidak jelas apakah dia termasukgadis manis atau tidak.
Definisi 6.1.2. Himpunan semesta, dinotasikan dengan S atau U adalahhimpunan dari semua objek yang dibicarakan (menjadi pembicaraan)
Himpunan semesta disebut juga himpunan universal (universal set).
Contoh 6.4. Beberapa contoh himpunan semesta misalnya
i U adalah himpunan bilangan riil,
ii U adalah himpunan manusia.
Definisi 6.1.3. Kardinal suatu himpunan adalah banyaknya unsur dari him-punan tersebut. Kardinal himpunan A dinotasikan dengan #(A)
Contoh 6.5. Untuk A = {1, 3, 5, 7, 9}, maka #(A) = 5.
Dilihat dari kardinalnya himpunan dapat dibedakan menjadi himpunankosong, himpunan berhingga dan himunan takhingga.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
204 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Definisi 6.1.4. Himpunan kosong atau empty set atau void set, dino-tasikan dengan ∅ atau {} adalah himpunan yang tidak memiliki unsur dengankata lain
A = ∅ jika dan hanya jika #(A) = 0
Definisi 6.1.5. Himpunan berhingga atau finite set adalah himpunanyang kardinalnya 0 atau merupakan bilangan asli tertentu
A himpunan berhingga jika dan hanya jika 0 ≤ #(A) <∞Definisi 6.1.6. Himpunan takhingga adalah himpunan yang kardinalnya
tak hingga
A himpunan takhingga jika dan hanya jika #(A) =∞
Contoh 6.6. H adalah himpunan manusia berkaki lima adalah merupakan him-punan kosong.
Contoh 6.7. A = {2, 3, 5, 7} adalah merupakan himpunan berhingga.
Contoh 6.8. N himpuan seluruh bilangan bulat adalah merupakan himpunantakhingga.
Himpunan dapat diilustrasikan dengan diagram yang disebut diagramVenn. Diagram Venn terdiri atas persegi panjang untuk mengambarkanhimpunan semesta, kurva tertutup untuk menggambarkan himpunan dantitik-titik untuk menggambarkan unsur-unsur himpunan seperti pada Gam-bar 6.1.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
205 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
A
S = U
Gambar 6.1: Contoh Diagram Venn
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
206 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.2. Relasi Himpunan
Dilihat dari unsur-unsur yang menyusun himpunan-himpunan, beberapa him-punan mungkin sama sekali tidak memiliki unsur yang sama, memiliki be-berapa unsur yang sama, atau semua unsur-unsurnya sama.
Definisi 6.2.1 (Himpunan Saling lepas). Dua himpunan dikatakan salinglepas disjoint set jika kedua himpunan itu sama sekali tidak memiliki unsurbersama.
A||B jika dan hanya jika ∀x, (x ∈ A→ x 6∈ B) ∧ (x ∈ B → x 6∈ A)
Definisi 6.2.2 (Himpunan berpotongan). Dua himpunan dikatakan berpo-tongan (dinotasikan G) jika kedua himpunan itu memiliki beberapa unsurbersama.
A G B jika dan hanya jika ∃x 3 x ∈ A ∧ x ∈ B
Definisi 6.2.3 (Himpunan sama). Dua himpunan dikatakan sama jika se-mua unsur masing-masing himpunan merupakan unsur bersama.
A = B jika dan hanya jika ∀x, x ∈ A↔ x ∈ B
Definisi 6.2.4 (Himpunan ekuivalen). Dua himpunan dikatakan ekuivalenjika keduanya memiliki kardinal yang sama.
A ≡ B ↔ #(A) = #(B)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
207 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Definisi 6.2.5 (Himpunan bagian). Suatu himpunan dikatakan himpunanbagian (subset) dari himpunan lain, jika seluruh unsurnya merupakan unsurhimpunan lain tadi.
A ⊆ B ↔ ∀x, (x ∈ A⇒ x ∈ B)
Teorema 6.2.1 (Kesamaan dua himpunan).
A = B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)
Bukti:Berdasarkan definisi maka jika A = B berlaku:
⇒∀x, x ∈ A⇔ x ∈ B⇒∀x, (x ∈ A⇐ x ∈ B) ∧ (x ∈ A⇒ x ∈ B)
⇒(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)
Sebaliknya jika (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A) berlaku:
⇒∀x, (x ∈ A⇐ x ∈ B) ∧ (x ∈ A⇒ x ∈ B)
⇒∀x, x ∈ A⇔ x ∈ B⇒A = B
Contoh 6.9. Jika A = {2, 3, 5} dan B = {1, 2, 3, 4, 5} maka A ⊆ B.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
208 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
U=S
B
A
C
D
Gambar 6.2: Diagram Venn mengilustrasikan relasi himpunan
Ilustrasi himpunan bagian, himpunan lepas dan himpunan berpotongandiberikan pada Gambar 6.2. Pada gambar tersebut diilustrasikan A ⊆ B, Amaupun B masing-masing lepas dengan C maupun D, namun C berpotongandengan D.
Teorema 6.2.2. Jika A dan B adalah himpunan-himpunan berhingga yang
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
209 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
bersifat A ⊆ B dan A ≡ B, maka A = B
Definisi 6.2.6 (Keluarga himpunan). Keluarga himpunan adalah himpunanyang unsur-unsurnya adalah himpunan-himpunan.
Definisi 6.2.7 (Himpunan kuasa). Himpunan kuasa dari suatu himpunanadalah keluarga himpunan yang beranggotakan semua subset dari himpunantadi.
PA = {B|B ⊆ A}
Contoh 6.10. Jika A = {1, 3, 5} dan B = {2, 4, 6, 8}, maka A||B.
Contoh 6.11. Jika C = {4, 5, 7, 9} dan D = {5, 7, 11, 12, 15}, maka A berpo-tongan dengan (G)B
Contoh 6.12. A = {2, 3, 5} dan B = {3, 2, 5} adalah merupakan himpunanyang sama.
Contoh 6.13. Jika A = {2, 3, 4}, B = {2, 3, 5}, C = {a, b, c} maka
i A ≡ B ≡ C
ii A G B
iii A||C dan B||C
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
210 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 6.14. Jika A,B,C adalah suatu himpunan, maka K = {A,B,C}adalah keluarga himpunan.
Contoh 6.15. Jika A = {1, 2}, maka PA = {{}, {1}, {2}, {1, 2}}. Jika B ={a, b, c} maka PB = {{}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
Teorema 6.2.3. Jika #(A) = n maka #(PA) = 2n.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
211 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.3. Operasi Himpunan
6.3.1. Operasi Dasar Himpunan
Ada tiga operasi dasar dalam himpunan yaitu: operasi uner komplemen (()c),operasi biner irisan (∩) dan gabungan (∪). Ketiga operasi ini ekuivalendengan operasi negasi, konjungsi dan disjungsi pada logika. Selain itu padahimpunan juga dikenal operasi selisih dan perkalian himpunan.
Definisi 6.3.1 (Operasi Komplemen). Komplemen suatu himpunan adalahhimpuan yang beranggotakan unsur-unsur dari semesta pembicaraan yangtidak menjadi unsur himpuan bersangkutan.
Ac = {x|x ∈ U ∧ x 6∈ A}
Contoh 6.16. Jika U = {1, 2, 3, · · · , 10} A = {1, 3, 5} dan B = {5, 7, 9}
maka
1. Ac = {2, 4, 6, 7, 8, 9, 10}
2. Bc = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10}
Ilustrasi grafis komplemen himpunan diberikan pada Gambar 6.3.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
212 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
A
A A
Gambar 6.3: Diagram Venn untuk Ac
Definisi 6.3.2 (Operasi Irisan). Irisan dua buah himpunan adalah him-punan yang beranggotakan unsur-unsur yang menjadi unsur bersama keduahimpunan.
A ∩B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}
Teorema 6.3.1.A ⊆ B ⇔ A ∩B = A
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
213 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 6.17.
Jika U = {1, 2, 3, · · · , 10} A = {1, 3, 5} dan B = {5, 7, 9} maka A ∩B = {5}Diagram Venn irisan dua himpunan diberikan pada Gambar 6.4.
Definisi 6.3.3 (Operasi Gabungan). Gabungan dua buah himpunan adalahhimpunan yang beranggotakan semua unsur-unsur yang menjadi unsur salahsatu atau kedua himpunan.
A ∪B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}
Contoh 6.18.
Jika U = {1, 2, 3, · · · , 10} A = {1, 3, 5} dan B = {5, 7, 9} maka A ∪ B ={1, 3, 5, 7, 9} Ilustrasi diagram Venn dari gabungan himpunan diberikan padaGambar 6.5.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
214 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.3.2. Sifat-sifat Operasi Himpunan
Secara prinsip, himpunan dengan operasinya merupakan Aljabar Boole, se-hingga dalil-dalil yang berlaku pada opersi perakit logika dan aljabar Boolejuga berlaku pada operasi himpunan. Demikian juga sifat dualitas berlakupula pada himpunan. Dengan demikian pembuktian sifat-sifat operasi padahimpunan analog dengan pembuktian pada aljabar perakit.
Teorema 6.3.2 (Komplemen Ganda). Untuk sembarang himpunan A berlaku:
(Ac)c = A (6.1)
Teorema 6.3.3 ( Sifat Komutatif/ Pertukaran). Untuk sembarang him-punan A dan B berlaku:
A ∩B = B ∩ A (6.2a)
A ∪B = B ∪ A (6.2b)
Teorema 6.3.4 ( Sifat Asosiatif/ Pengelompokan). Untuk sembarang him-punan A,B dan C berlaku:
(A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (6.3a)
(A ∪B) ∪ C = A ∩ (B ∪ C) (6.3b)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
215 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Teorema 6.3.5 ( Sifat Identitas). Terdapat identitas untuk interseksi (∅)dan identitas untuk gabungan (U) dan untuk setiap himpunan A berlaku
A ∩ U = A dan A ∩ ∅ = ∅ (6.4a)
A ∪ U = U dan A ∪ ∅ = A (6.4b)
Teorema 6.3.6 ( Sifat Komplemen). Untuk setiap A terdapat dengan tung-gal Ac sehingga
(A ∩ Ac) = ∅ (6.5a)
(A ∪ Ac) = U (6.5b)
Teorema 6.3.7 (Komplemen identitas).
∅c = U (6.6a)
U c = ∅ (6.6b)
Teorema 6.3.8 (Hukum De Morgan). Untuk sembarang himpunan A danB berlaku
(A ∩B)c = Ac ∪Bc (6.7a)
(A ∪B)c = Ac ∩Bc (6.7b)
Teorema 6.3.9 ( Hukum Distributif). Untuk sembarang himpunan A,Bdan C berlaku:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) (6.8a)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) (6.8b)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
216 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Teorema 6.3.10 ( Sifat Idempoten). Untuk sembarang himpunan A berlaku
A ∩ A = A (6.9a)
A ∪ A = A (6.9b)
Dalam membuktikan sifat-sifat di atas kita menggunakan hasil pada Teo-rema 6.2.1 yaitu A = B jika dan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A. Berikutdiambil salah satu sifat sebagai contoh pembuktian, misalnya A∩B = B∩A.
Bukti:Ambil sembarang unsur x ∈ (A ∩B)
⇒(x ∈ A) ∧ (x ∈ B) definisi A ∩B⇒(x ∈ B) ∧ (x ∈ A) komutatif konjungsi
⇒x ∈ (B ∩ A) definisi B ∩ A⇒(A ∩B) ⊆ (B ∩ A) definisi A ⊆ B
Sebaliknya, ambil sembarang unsur y ∈ B ∩ A
⇒(y ∈ B) ∧ (y ∈ A) definisi B ∩ A⇒(y ∈ A) ∧ (y ∈ B) komutatif konjungsi
⇒y ∈ (A ∩B) definisi A ∩B⇒(B ∩ A) ⊆ (A ∩B) definisi B ⊆ A
Karena (A ∩ B) ⊆ (B ∩ A) dan (B ∩ A) ⊆ (A ∩ B), berdasarkan Teorema6.2.1, maka (B ∩ A) = (A ∩B)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
217 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.3.3. Operasi Jumlah dan Selisih Himpunan
Selain operasi dasar komplemen, gabungan dan irisan, dalam operasi him-punan dikenal juga operasi jumlah dan selisih yang definisinya dapat diru-muskan dengan menggunakan operasi dasar tadi.
Definisi 6.3.4 (Operasi Selisih). Selisih dua buah himpunan adalah him-punan yang beranggotakan unsur-unsur yang menjadi unsur himpunan per-tama yang tidak menjadi unsur himpunan pengurang.
A/B = A−B = {x|x ∈ A ∧ x 6∈ B}
Teorema 6.3.11.A/B = A ∩Bc
Definisi 6.3.5 (Operasi Jumlah). Jumlah dua himpunan adalah himpunanyang beranggotakan semua unsur yang menjadi anggota salah satu himpunan.
A+B = {(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ x 6∈ (A ∩B)}
Contoh 6.19. Jika A = {1, 3, 5, 7, 9} dan B = {4, 5, 6, 8, 10} maka
1. A ∩B = {5}
2. A ∪B = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
218 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3. A/B = {1, 5, 7, 9}
4. B/A = {4, 6, 8, 10}
5. A+B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10}
Beberapa sifat yang terkait dengan opersi selisih dan jumlah serta hubun-gannya dengan operasi dasar sebelumnya diberikan pada teorema-teoramaberikut. Ilustrasi dapat menggunakan diagram Venn sedangkan pembuktiansecara formal dapat menggunakan definisi kesamaan dua himpunan.
Teorema 6.3.12. Untuk sembarang himpunan A,B
A+B = (A ∪B)/(A ∩B)
Teorema 6.3.13. Untuk sembarang himpunan A,B
A+B = (A/B) ∪ (B/A)
Teorema 6.3.14 (Komutatif jumlah). Untuk sembarang himpunan A,B
A+B = B + A
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
219 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Teorema 6.3.15 (Distributif Selisih). Untuk sembarang himpunan A,B,C
(A ∪B)/C = (A/C) ∪ (B/C) (6.10a)
(A ∩B)/C = (A/C) ∩ (B/C) (6.10b)
Definisi 6.3.6 (Partisi himpunan). Himpunan A dan B dikatakan partisidari himpunan C jika dan hanya jika A dan B saling lepas dan gabungannyasama dengan C.
A,B partisi dari C ↔[(A ∩B = ∅) ∧ (A ∪B = C)
]
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
220 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
A
B
Gambar 6.4: Diagram Venn A ∩B
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
221 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
A
B
Gambar 6.5: Diagram Venn A ∪B
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
222 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
A
B
A
B
Gambar 6.6: Diagram Venn A/B dan A+B
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
223 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.4. Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian
Konsep himpunan bagian (⊂) ekuivalen dengan konsep implikasi logis padahimpunan, karenanya implikasi logis dan penalaran dapat dimanfaatkan un-tuk mempelajari sifat-sifat himpunan bagian seperti diuraikan berikut ini.
Teorema 6.4.1. Relasi ⊆ adalah relasi yang bersifat refleksif, transitif tetapinon simetrik yaitu:
∀A, A ⊆ A (6.11a)
∀(A,B,C)[(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ C)
]⇒ (A ⊆ C) (6.11b)
∀(A,B)[(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)
]⇒ (A = B) (6.11c)
Teorema 6.4.2. Untuk sembarang himpunan A dari semesta U maka
1. A ⊆ A
2. ∅ ⊆ A
3. A ⊆ U
Pembuktian butir 1. jelas dari definisi. Sedangkan pembuktian butir 2.dan butir 3. dapat dilakukan dengan menggunakan bukti pengandaian.
Bukti 3.:
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
224 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Andaikan A 6⊆ U berarti ∃x ∈ A, 3 x 6∈ U . Tetapi berdasarkan definisiU tidak ada x /∈ U . Oleh karena itu terjadi kontradiksi dan pengandaianharus diingkar. Artinya untuk sembarang himpunan A, maka A ⊆ U
Teorema 6.4.3.
A ⊆ B ⇔ A ∪B = B
Bukti: Teorema ini mengandung beberapa pengertian dintaranya
1. (A ⊆ B)⇒ A ∪B = B
2. A ⊆ B ⇐ (A ∪B = B)
3. (A ∪B) ⊆ B)
4. B ⊆ (A ∪B)
Jika A ⊆ B maka ∀x ∈ A⇔ x ∈ B. Ambil sembarang y ∈ (A ∪B)
⇒(y ∈ A) ∨ (y ∈ B) definisi A ∩B⇒(y ∈ B) ∨ (y ∈ B) A ⊆ B
⇒(y ∈ B) idempoten ∨⇒(A ∪B) ⊆ ∩B) definisi B ⊆ A
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
225 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Ambil sembarang z ∈ B
⇒(z ∈ A) ∨ (z ∈ B) sifat additif ∨⇒(y ∈ (A ∪B) A ⊆ B
⇒(y ∈ B) idempoten ∨⇒(A ∪B) ⊆ ∩B) definisi B ⊆ A
Berarti kita telah membuktikan bahwa
A ⊆ B ⇒ A ∪B = B
Untuk hal sebaliknya, misalkan A ∪B = B, berarti A ∪B ⊆ B, karenanya
⇒∀x x ∈ (A ∪B),⇒ x ∈ B⇒ 6 ∃x 3 x ∈ (A ∪B),∧x 6∈ B⇒ 6 ∃x 3 (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ x 6∈ B⇒(6 ∃x ∈ A) ∧ (6 ∃x ∈ B) 3 x 6∈ B⇒(6 ∃x ∈ A) 3 x 6∈ B⇒∀x, x ∈ A⇒ x ∈ B⇒A ⊆ B
Teorema 6.4.4. Untuk himpunan semesta U dan himpunan A
U ⊆ A⇔ A = U
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
226 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Teorema 6.4.5.A ⊆ ∅ ⇔ A = ∅
Teorema 6.4.6. Untuk sembarang himpunan A dan B,
A ⊆ A ∪B dan B ⊆ A ∪B
Teorema 6.4.7. Untuk sembarang himpunan A dan B,
(A ∩B) ⊆ A dan (A ∩B) ⊆ B
Teorema 6.4.8. Untuk sembarang himpunan A dan B,
(A/B) ⊆ A dan (B/A) ⊆ B
Teorema 6.4.9. Untuk A,B,C ⊆ U
(A ⊆ C) ∧ (B ⊆ C)⇒[(A ∩B) ⊆ (A ∪B) ⊆ C
](6.12)
Teorema 6.4.10. Untuk A,B,C ⊆ U
(A ⊆ C) ∨ (B ⊆ C)⇒[(A ∩B) ⊆ C
](6.13)
Teorema 6.4.11. Untuk A,B,C ⊆ U
(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ C)⇒(A ⊆ C
)(6.14)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
227 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Selain dengan diagram Venn, hubungan subset dapat juga diilustrasikandengan menggunakan diagram subset yang pada dasarnya merupakan po-hon subset. Dengan pohon subset, himpunan-himpunan digambarkan dalamdiagram pohon. Himpunan yang mejadi subset dari himpunan yang lain dit-ulis lebih rendah dari himpunan yang menjadi supersetnya dan dihubungkandengan garis. Apabila sudah ada jalur yang menghubungkan suatu hubun-ganantara sutu himpunan dengan himpunan lain, maka tidak perlu membuatgaris kusus yang menghubungkan kedua himpunan tadi. Selain itu, dalamhal hubungan “subset dari” maka ada dua hal yang selalu benar yaitu:
1. setiap himpunan adalah subset dari Himpunan semesta S dan
2. himpunan kosong, yaitu himpunan yang tidak memiliki anggota, (∅)adalah subset dari setiap himpunan.
Oleh karena itu puncak atas dari pohon subset adalah himpunan semestadan puncak bawahnya adalah himpunan kosong.
Misalkan diketahui subset-sebset A,B,C,D,E dari S mempunyai hubun-gan sebagai berikut: A ⊆ B, B ⊆ C, D ⊆ B. maka diagram pohonlengkapnya adalah seperti pada bagian kiri Gambar 6.7, sedangkan jika S ={1, 2, 3, · · · , 10} X = {1, 3, 5, 7, 9}, Y = {2, 4, 6, 8, 10}, Z = {2, 3, 5, 7} W ={2, 4} dan V = {2} maka diagram pohhon lengkapnya adalah seperti padabagian kanan Gambar 6.7.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
228 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
U
A
{}
E C
B
D
U=S
X Y Z
W
V
{}
Gambar 6.7: Diagram pohon untuk A,B,C,D (kiri) dan untuk S,X, Y, Z danV (kanan)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
229 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.5. Penggunaan Himpunan dalam Silogisme
Pada Subbab 5.5 telah dibicarakan tata cara penarikan kesimpulan denganargumen yang mengandung kuantor. Dalam subbab ini kita akan membahashal serupa dengan menggunakan bantuan himpunan khususnya relasi him-punan dan diagram Venn. Berikut diberikan rangkuman kondisi unsur duahimpunan (A dan B) beserta hubungan yang terjadi diantaranya
No Unsur A dan B Relasi AdenganB
A ∩B DiagramVenn
1 semua unsur A menjadiunsur B (universal affir-mative)
A ⊂ B A ∩ B = Aatau A∩Bc =∅
Gambar 6.8
2 semua unsur A tidakmenjadi unsurB (univer-sal negative)
A ⊂ Bc A ∩B = ∅ Gambar 6.9
3 sebagian unsur A men-jadi unsur B (particularaffirmative)
A G B A ∩B 6= ∅ Gambar 6.10
4 sebagian unsur A tidakmenjadi unsur B (partic-ular negative)
A G B A ∩Bc 6= ∅ Gambar 6.11
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
230 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
A
B
Gambar 6.8: Diagram Venn untuk A ⊂ B atau A ∩Bc = ∅
Berikut diuraikan sifat-sifat relasi himpunan yang terkait dengan pe-narikan kesimpulan secara silogisme.
Teorema 6.5.1. Untuk A,B,C ⊆ U jika A himpunan bagian dari B dan
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
231 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
A
B
Gambar 6.9: Diagram Venn A|| atau A ∩B = ∅
A himpunan bagian dari C maka A himpunan bagian dari C
(A ∩Bc = ∅) ∧ (B ∩ Cc = ∅)↔ (A ∩ Cc = ∅) (6.15)
Teorema 6.5.2. Untuk A,B,C ⊆ U jika A beririsan dengan B dan Bberirisan dengan C,
(A ∩B = ∅) ∧ (B ∩ C = ∅) (6.16)
maka tidak ada yang dapat disimpulkan tentang A ∩ C
Teorema 6.5.3. Untuk A,B,C ⊆ U jika A lepas dengan B dan B lepasdengan C,
(A ∩B 6= ∅) ∧ (B ∩ C 6= ∅) (6.17)
maka tidak ada yang dapat disimpulkan tentang A ∩ C
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
232 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
A B
Gambar 6.10: Diagram Venn untuk A ∩B 6= ∅
Aturan 6.5.1. Secara umum ada 7 aturan mendasar dalam penarikan kes-impulan seperti di atas
1. Tidak ada kesimpulan yang dapat diambil dari dua pernyataan negatif.Jika A||B (Tidak ada unsur A menjadi unsur B), dan B||C (tidak adaunsur B menjadi unsur C), maka tidak ada kesimpulan yang dapatdiambil tentang hubungan A dan C (bisa berhubungan, bisa tidak,
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
233 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
A
B
Gambar 6.11: Diagram Venn untuk A ∩Bc 6= ∅
lihat Gambar 6.12).
2. Jika salah satu premis negatif, maka kesimpulan juga negatif. JikaA||B (tidak ada unsur A yang menjadi B dan C ⊆ B (C bagian dariB, maka A||C (tidak ada unsur A yang menjadi C. (lihat Gambar6.13.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
234 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
A B
C1
C2
Gambar 6.12: Diagram Venn untuk A||B dan B||C1;B||C2, namun A||C1, A GC1
3. Jika kedua premis positif, maka kesimpulannya juga positif. JikaA ⊆ B(semua unsur A menjadi unsur B dan B ⊆ C (semua unsur B menjadiunsur C, maka A ⊆ C (semua unsur A menjadi unsur C).
4. Dalam sillogisme harus ada Unsur (terma/ term) tengah/ antara danharus terdistribusi setidaknya sekali dalam premis mayor atau premisminor.
5. Semua unsur yang muncul dalam kesimpulan, harus juga muncul dalampremis mayor atau premis minor.
6. Tidak ada kesimpulan yang dapat diambil dari dua premis khusus (par-ticular premises), baik yang positif (afirmatif) maupun yang negatif.Jika A∩B 6= ∅ (Jika ada unsur A yang menjadi unsur B) dan B∩C 6= ∅
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
235 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
A B
C
Gambar 6.13: Diagram Venn untuk A||B, C ⊂ B, maka A||C
(ada unsur B menjadi unsur C), maka tidak ada kesimpulan yangbisa diambil tentang A ∩ C (lihat Gambar 6.14.)
7. Jika salah satu premis betuknya khusus (eksistensial), maka kesimpulanjuga berbentuk khusus (eksistensial). Jika A ∩ B 6= ∅ (ada unsur Amenjadi unsur B) dan ada beberapa kondisi lain (B ⊂ C, semua unsurB menjadi unsur C ), maka kesimpulan yang pasti, yang dapat diambiladalah A ∩C 6= ∅ (ada unsur A menjadi unsur C, lihat Gambar 6.15).
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
236 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
A B
C1
C2
Gambar 6.14: Diagram Venn untuk A G B, B G C1 dan B G C2. Namun, A 6G C1
dan A G C2
A B
C
Gambar 6.15: Diagram Venn untuk A G B dan B ⊆ C, maka A G C
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
237 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.6. Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini selain beberapa sumberyang telah dikutip sebelumnya, dapat juga dibaca beberapa sumber lain di-antaranya Ruseffendi [16], Nasoetion [11], Lipschutz [9], Polimeni & Straight[15] dan Courant & Robbins [3] . Secara umum hampir semua buku tekstetang matematika mulai dengan pembahasan tentang himpunan.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
238 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.7. Soal-soal Latihan
1. Nyatakan benar atau salah pernyataan-pernyataan berikut ini:
(a) ∅ ∈ {2, 3}(b) {1, 2, 3} = {2, 3, 1}(c) {x ≤ 16|x : prima} ⊆ {0, 1, 2, · · · , 13}(d) {1, 3, 5, · · · } ≡ {1, 2, 3, · · · }(e) {1, 3, 5, · · · } ⊆ {1, 2, 3, · · · }
2. Untuk himpunan-himpunan berikut, tentukan semua subset-subsetnya.Selanjutnya buat masing-masing diagram subsetnya.
(a) {2, 3, 4}(b) {∅, {2, 3}}(c) {a, b, c, d}
3. Buktikan Teorema 6.4.1 pada halaman 223.
4. Buktikan Teorema 6.4.4 pada halaman 225.
5. Buktikan Teorema 6.4.10 pada halaman 226.
6. Tentukan apakah hubungan antara A dan C bisa dibuat, jika ya ten-tukan hubungannya, jika tidak, sebutkan alasannya (aturan mana yangtidak terpenuhi, atau yang menyebabkan tidak bisa disimpulkan):
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
239 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(a) A ⊆ B,B ⊆ C
(b) A ⊆ B,C ⊆ B
(c) A G B,B G C
(d) A||B,B||C
7. Tentukan kesimpulan yang bisa diambil dari premis-premis berikut.Jika tidak ada kesimpulan yang bisa diambil sebutkan alasannya.
(a) P1: Semua burung bisa tertawa; P2: Semua cecak bisa tertawa(Simpulkan hubungan burung dengan cecak)
(b) P1: Semua yang bertelor bisa terbang; P2: Ada binatang berkakiempat yang bertelor (adakah binatang berkaki empat yang bisaterbang?).
(c) P1: Ada mahasiswa yang menjadi wartawan, P2: Ada wartawanyang suka memeras (apakah ada mahasiswa yang suka memeras?)
(d) P1: Tidak ada mahasiswa yang menjadi pelawak, P2: tidak adapelawak yang serius (apakah maahasiswa serius atau tidak ?)
(e) P1: semua bujur sangkar memiliki 4 sudut siku-siku; P2:Semuapersegi panjang memiliki 4 sudut siku-siku (apakah bujur sangkaritu (sama dengan) persegi panjang?)
8. Buat gambar subset dari serangkaian himpunan-himpunanA,B,C,D,Edan ∅ berikut:
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
240 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(a) A = {1, 2, 3, 5}, B = {1, 3, 5}, C = {2, 3, 5}, D = {2, 5}, E ={1, 5}
(b) A = {a, b, c, d}, B = {b, c, d}, C = {a, b, c}, D = {b, c}, E = {b, d}
9. Buatlah himpunan yang memenuhi struktur subset seperti pada gam-bar berikut:
U=S
X Y Z
W
V
{}
P
U
A
{}
E C
B
D
F
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
241 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
BAB 7
HIMPUNAN BILANGAN
Bilangan walaupun merupakan konsep yang sangat abstrak, namun penggu-naannya tidak bisa dilepaskan dengan kehidupan manusia sejak dini. Un-tuk menggambarkan bilangan, kita menggunakan lambang bilangan (angka).Dalam kaitan dengan operasi hitung dan matematka umumnya, lambang bi-langan yang kita pakai adalah lambang bilangan Hindu-Arab yang terdiriatas sembilan angka 0,1,2,...9. Selain itu, untuk menunjukkan tingkatan danurutan ada lambang bilagan lain yang disebut lambang bilangan Romawi(i,ii,iii,iv,v ...). Pada subbab ini akan dibahas beberapa himpunan bilanganyang penting.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
242 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Umum
Mahasiswa memahami himpunan-himpunan bagian dari himpunan bilanganriil.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
243 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Khusus
Mahasiswa dapat menyebutkan ciri-ciri, contoh, dan sifat-sifat operasi hitungdalam himpunan-himpunan bagian dari himpunan bilangan riil.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
244 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Materi
1. himpunan Bilangan Asli;
2. himpunan Bilangan Cacah;
3. himpunan Bilangan Bulat;
4. himpunan Bilangan Rasional;
5. himpunan Bilangan ;
6. himpunan Bilangan Riil;
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
245 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
7.1. Himpunan Bilangan Asli
Bilangan Asli disebut juga bilangan Alam (Natural numbers). Bilangan inimerupakan bilangan yang kita kenal paling awal, ketika kita ingin menghi-tung banyaknya sesuatu yang ada di sekuitar kita.
Himpunan bilangan Asli N = {1, 2, 3, · · · }
Operasi hitung yang dapat dilakukan pada bilangan asli adalah penjum-lahan dan perkalian dengan beberapa sifat berikut:
Sifat 1 Bilangan asli tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian
∀x, y ∈ N, x+ y ∈ N∀x, y ∈ N, (x.y ∈ N)
Sifat 2 Bilangan asli memenuhi sifat kumutatif dan assosiatif baik penjum-lahan dan perkalian, yaitu:
∀x, y ∈ N x+ y = y + x
x.y = y.x
∀x, y, z ∈ N x+ (y + z) = (x+ y) + z
x.(y.z) = (x.y).z
Sifat 3 Bilangan asli memenuhi sifat distributif perkalian atas penjumlahan.
∀x, y, z ∈ N (x+ y)z = xz + yz
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
246 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Sifat 4 Bilangan asli memiliki unsur identitas perkalian tetapi tidak identi-tas penjumlahan.
∃1, 3 ∀x ∈ N x.1 = 1.x = x
tetapi6 ∃ e ∈ N, 3 ∀x ∈ N x+ e = e+ x = x
Tetapi himpunan bilangan asli tidak memiliki beberapa sifat berikut:
1. Bilangan asli (kecuali 1) tidak memiliki invers baik penjumlahan maupunperkalian.
∀x(6= 1) ∈ N, 6 ∃x′ ∈ N, 3 x.x′ = 1
2. Bilangan asli tidak tertutup terhadap pengurangan dan pembagian.
∃x, y ∈ N 3 (x− y) 6∈ N dan
∃x, y ∈ N 3 (x/y) 6∈ N
Bilangan Asli dibedakan menjadi bilangan prima dan bilangan komposit.Bilangan prima1 adalah bilangan yang hanya dapat dibagi bilangan itu sendiridan 1. Bilangan 1 tidak termasuk bilangan prima. Sedangkan sisanya (ter-masuk 1) disebut bilangan komposit. Jadi
1Teori tentang himpunan bilangan prima dapat dilihat pada beberapa sumber di-antaranya Courant & Robbins [3, hal 21-31]
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
247 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1. Himpunan bilangan Prima = P = {2, 3, 5, 7, 11, 13 · · · }
2. Himpunan bilangan Komposit = N/P
Definisi 7.1.1. Pengurut bilangan asli k, dinotasikan k∗ adalah bilanganasli berikutnya setelah bilagan asli k. Jadi k∗ = k + 1.
Ada suatu hasil dalam bilangan asli yang sangat terkenal yang disebutPostulat Peano yang mengatakan bahwa Untuk S ⊆ N , berlaku[
(1 ∈ N) ∧ (∀ k ∈ S ⇒ k∗ ∈ S)]⇒ (S = N) (7.1)
Persamaan (7.1) pada dasarnya mengatakan bahwa jika pada suatu him-punan bagian S dari N , berlaku 1 pada S dan untuk setiap k pada S makapengurutnya (k∗) juga pada S, maka S adalah himpunan seluruh bilanganasli.
[(n1 ∈ N) ∧ (∀ (k > n1) ∈ S ⇒ k∗ ∈ S)
]⇒ (S = {n1, n1 + 1, n1 + 2, · · · })
(7.2)Persamaan (7.2) pada dasarnya mengatakan bahwa jika pada suatu him-punan bagian S dari N , berlaku n1 pada S dan untuk setiap k > n1 pada Smaka pengurutnya (k∗) juga pada S, maka S adalah himpunan bilangan aslimulai dari n1, yaitu S = {n1, n1 + 1, n1 + 2, · · · }.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
248 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Postulat Peano di atas menjadi dasar dari pembuktian dengan menggu-nakan induksi matematika, yang telah dibicarakan pada bab penalaran, yangdapat dirumuskan sebagai berikut:[(
P (1))∧(∀ k, P (k)⇒ P (k∗)
)]⇒(P (n),∀n ∈ N
)(7.3)
Ada pengelompokan jenis himpunan yang kardinalnya terkait denganhimpunan bilangan Asli, yaitu himpunan terhitung dan himpunan tak ter-hitung.
Definisi 7.1.2. Himpunan dikatakan terhitung (denumerable) atau him-punan diskrit, jika himpunan tersebut kosong atau ekuivalen dengan sebagianatau seluruh himpunan bilangan Asli. Jika tidak demikian maka himpunandikatakan himpunan takterhitung yang merupakan himpunan kontinu.
Contoh 7.1. H = {1, 3, 5, · · · },Himpunan bilangan Prima, himpunan Bilanganbulat adalah termasuk himpunan bilangan terhitung. Sedangkan H = {x|1 <x < 2, x ∈ <}, himpunan bilangann Rasional, himpunan bilangan Riil adalahhimpunan tak terhitung.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
249 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
7.2. Himpuan Bilangan Cacah
Sebagaimana dikatakan sebelumnya bahwa Bilangan Asli tidak mempunyaiidentitas penjumlahan. Apabila himpunan bilangan Asli digabung dengan 0sebagai unsur identitas penjumlahan, maka terbentuklah himpunan bilanganCacah. Himpuan bilangan cacah disebut juga himpunan bilangan kardinal,karena bilangan cacah ini dipergunakan untuk mementukan kardinal suatuhimpunan. Kardinal himpunan ∅ adalah 0. Jadi bilangan cacah atau bilan-gan kardinal mulai dari 0.
Himpunan bilangan Cacah(C) =(N ∪ {0}
)= {0, 1, 2, · · · }
Semua sifat operasi yang berlaku pada himpunan bilangan asli juga berlakupada himpunan bilangan cacah. Beberapa sifat yang tidak berlaku pada him-punanbilangan asli (identitas penjumlahan, berlaku pada himpunan bilangancacah. Himpunan bilangan cacah meskipun memiliki identitas penjumla-han dan perkalian tetapi tidak memiliki invers penjumlahan maupun inversperkalian.
Sifat 5 Identitas Penjumlahan
∃ 0 ∈ C, 3 ∀c ∈ C, 0 + c = c+ 0 = c
Tetapi∀ c(6= 0) ∈ C, 6 ∃ c′ ∈ C 3 c+ c′ = 0
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
250 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
7.3. Himpuan Bilangan Bulat
Apabila himpunan bilangan cacah digabung dengan himpunan inverse pen-jumlahannya, maka terbentuklah himpunan bilangan bulat, Z.
Z = C ∪ {−1,−2, · · · } = {· · · ,−2,−1, 0, 1, 2, · · · }
Jadi himpunan pada bilangan semua unsur memiliki invers penjumlahan,tetapi bukan invers perkalian.
Sifat 6 Invers Penjumlahan.
∀ c ∈ C, ∃ c′ ∈ C 3 c+ c′ = 0
Tetapi,
∀ c(6= 0) ∈ C, 6 ∃ c′ ∈ C 3 c.c′ = 1
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
251 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
7.4. Himpuan Bilangan Rasional
Apabila himpunan bilangan bulat digabung dengan himpunan invers perkalian-nya, maka terbentuklah himpunan bilangan Rasional, Q. Disamping itu bi-langan rasional juga tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian (termasukperkalian dengan inversdari unsur lainnya). Secara umum bilangan rasionaldidefinisika seperti pada definisi berikut ini.
Definisi 7.4.1. Bilangan rasional q adalah bilangan yang dapat dinyatakandalam bentuk a/b dengan b 6= 0. Dalam bentuk desimal q dapat dinyatakansebagai pecahan desimal berhingga atau pecahan desimal takhingga tapi beru-lang.
Contoh 7.2. 1/5 = 0, 20 dan 1/3 = 0, 33333... = 0, 33 adalah bilangan-bilangan rasional
Jadi pada himpunan bilangan Rasional, semua unsur memiliki invers pen-jumlahan, maupun invers perkalian.
Sifat 7 Invers Perkalian
∀x ∈ Q, ∃x′ ∈ Q 3 x+ x′ = 0 dan
∀x(6= 0) ∈ C, ∃x′ ∈ Q 3 c.c′ = 1
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
252 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
7.5. Himpunan Bilangan Irasional dan Himpunan Bilan-
gan Riil
N C Z Q
U=R
Gambar 7.1: Diagram Venn mengilustrasikan himpunan Bilangan Riil
Dalam himpunan bilangan rasional persamaan xn = y untuk n ≥ 2 tidakmemiliki penyelesaian. Pernyataan ini ekuivalen dengan pernyataan bahwatidak ada bilangan rasional x sedemikian sehingga xn = 2. Dengan kata lain,
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
253 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
n√
2 bukan bilangan rasional. Bilangan-bilangan yang tidak rasional, yaitubilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai rasio dua bilangan bulat (a/b),disebut bilangan irasional. Bilangan rasional selain merupaka bilangan akar( n√a) juga termasuk didalamnya adalah bilangan yang dinyatakan dalam
bentuk pecahan desimal takhingga tapi tak berulang. Ada dua bilangan ira-sional yang sangat penting yaitu bilangan Euler e yang diperkenalkan Eulertahun 1748 dan bilangan Archimedes π. Bilangan e didefinisikan sebagai
e =∞∑
n=0
1
n= 1 +
1
1!+
1
2!+
1
3!+ · · ·
dan pendekatan π diberikann oleh banyak matematisi diantaranya adalahJohn Wallis dengan rumus
π
2=∞∏
n=1
(2n
2n+ 1
2n
2n− 1
)
(Courant & Robbins [3]) Gabungan antara himpunan bilangan Rasional danhimpunan bilangan Irasional disebut bilagan Riil R. Secara diagram strukturHimpunan Bilangan dapat digambarkan pada Gambar 7.1.
Sifat-sifat yang berlaku dalam himpunan bilangan dapat dirangkum sepertipada Tabel berikut.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
254 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
No Sifat-sifat Operasi Himpunan BilanganN C Z Q <
1 Identitas Penjumlahan (0), 0 +a = a+ 0 = a
× X X X X
2 Identitas Perkalian(1), 1a = a1 =a
X X X X X
3 Kumutatif Penjumlahan a + b =b+ a
X X X X X
4 Kumutatif Perkalian ab = ba X X X X X5 Asosiatif Penjumlahan (a + b) +
c = a+ (b+ c)X X X X X
6 Asosiatif Perkalian (ab)c = a(bc) X X X X X7 Invers Penjumlahan a+ (−a) = 0 × × X X X8 Invers Perkalian a(1/a) = 1 × × X X X9 Distributif Perkalian terhadap
Penjumlahan a(b+ c) = ab+ acX X X X X
10 Tertutup terhadap Operasi InversPenjumlahan a+ (−b) = c
× × X X X
11 Tertutup terhadap Operasi InversPerkalian a(1/b) = c
× × × X X
12 Tertutup terhadap Operasi ab = c × × × × X
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
255 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
7.6. Perkembangan perhitungan π
Riil
Irasional Rasional Q
Pecah Bulat Z
Cacah C Bulat Neg
Asli N 0
Gambar 7.2: Diagram struktur mengilustrasikan pembagian himpunan Bilan-gan Riil
Sejak zaman dahulu diketahui bahwa rasio luas lingkaran terhadap kuadratjaraknya dan rasio keliling lingkaran dengan diameternya adalah konstan.Namun, pada awalnya belum diketahui bahwa kedua konstanta tersebutadalah sama. Buku-buku kuno menggunakan konstanta yang berbeda untukkedua rasio tersebut.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
256 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Perhitungan π menarik perhatian sejak zaman sebelum masehi (sekuitar1650 SM, di Mesir Kuno digunakan pendekatan π = 3, 16.). Kalkulasi teoritissepertinya dimulai oleh Archimedes (287-212 SM) yang mendapatkan pen-dekatan
223/71 < π < 22/7.
Sejak itu sampai sekarang banyak sekali para matematisi yang melakukanperhitungan baik secara analitik maupun dengan menggunakan komputer.Pada zaman modern sekarang akurasi perhitungan π sempat dijadikan salahsatu tes untuk mengukur kecanggihan komputer maupun suatu algorithma.Beberapa hasil perhitungan π diberiikan pada Tabel 7.1 dan Tabel 7.2
Tabel 7.1: Perhitungan π secara analitikMatematisi Waktu Desimal NilaiRhind papyrus 2000 SM 1 3.16045 (= 4(8/9)2)Archimedes 250 SM 3 3.1418Aryabhata 499 4 3.1416 (= 62832/2000)
Brahmagupta 640 1 3.1622 (=√
10)Fibonacci 1220 3 3.141818Madhava 1400 11 3.14159265359Newton 1665 16 3.1415926535897932Rutherford 1824 208 hanya 152 benarShanks 1874 707 hanya 527 benar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
257 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tabel 7.2: Perhitungan π dengan mesinMatematisi Waktu Desimal MesinFerguson 1947 710 KalkulatorFerguson, Wrench 1947 808 KalkulatorSmith, Wrench 1949 1120 KalkulatorReitwiesner dkk. 1949 2037 ENIACNicholson, Jeenel 1954 3092 NORACFelton 1957 7480 PEGASUSGenuys 1958 10000 IBM 704Felton 1958 10021 PEGASUSGuilloud 1959 16167 IBM 704Shanks, Wrench 1961 100265 IBM 7090Guilloud, Filliatre 1966 250000 IBM 7030Guilloud, Dichampt 1967 500000 CDC 6600Guilloud, Bouyer 1973 1001250 CDC 7600Miyoshi, Kanada 1981 2000036 FACOM M-200Guilloud 1982 2000050Kanada, Yoshino, Tamura 1982 16777206 HITACHI M-280HUshiro, Kanada 1983 10013395 HITACHI S-810/20Gosper 1985 17526200 SYMBOLICS 3670Bailey 1986 29360111 CRAY-2Kanada, Tamura, Kubo 1987 134217700 NEC SX-2Kanada, Tamura 1988 201326551 HITACHI S-820/80Chudnovskys 1989 525229270Kanada, Tamura 1989 536870898Chudnovskys 1989 1011196691Kanada, Tamura 1989 1073741799Chudnovskys 1994 4044000000Kanada, Tamura 1995 3221225466Kanada 1995 6442450938Kanada, Takahashi 1999 206158430000 HITACHI SR8000
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
258 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
7.7. Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini selai beberapa sumberyang telah dikutip sebelumnya, dapat juga dibaca beberapa sumber lain di-antaranya Ruseffendi [16], Nasoetion [11], Lipschutz [9], Polimeni & Straightbk:PolimeniStraight85 dan Courant & Robbins [3]. Bagi yang berminatmempelajari bilangan dari sisi sejarahnya dapat membaca Haza’s et al. [7].Secara umum hampir semua buku teks tetang matematika mulai denganpembahasan tentang himpunan.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
259 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
7.8. Soal-soal Latihan
1. Berikan dua contoh bilangan desimal yang takberhingga dan berulang.
2. Tentukan bentuk pecahan biasa dari contoh di atas.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
260 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
261 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
BAB 8
PERKALIAN KARTESIUS, RELASI DAN FUNGSI
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
262 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Umum
Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca mema-hami konsep dan sifat-sifat relasi dan fungsi serta menggunakannya dalammenyelesaikan permasalahan yang berhubungan relasi dan fungsi.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
263 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Khusus
Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca dapat
1. menyelesaikan perkalian Kartesius dua himpunan
2. memberi contoh berbagai jenis relasi dengan sifat-sifatnya
3. memberi contoh berbagai jenis fungsi dengan sifat-sifatnya
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
264 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Materi
1. Perkalian Kartesius
2. Relasi dan sifat-sifatnya
3. Fungsi
Selain operasi himpunan yang telah dibicarakan sebelumnya, ada jugaoperasi himpunan yang disebut perkalian himpunan, yang disebut perkaliankartesius.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
265 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
8.1. Perkalian Kartesius
Definisi 8.1.1 (Operasi Perkalian). Perkalian (atau disebut juga perkaliankartesius) dua buah himpunan adalah himpunan yang beranggotakan semuapasangan berurut unsur pertamanya berasal dari himpunan terkali dan unsurkeduanya berasal dari himpunan pengali.
A×B = {(x, y)|x ∈ A ∧ y ∈ B}
Contoh 8.1. Jika A = {1, 3, 5} dan B = {4, 5} maka
1. A×B = {(1, 4), (1, 5), (3, 4), (3, 5), (5, 4), (5, 5)}
2. B × A = {(4, 1), (4, 3), (4, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)}
Hasil perkalian himpunan selain dinyatakan dengan himpunan pasanganterurut, dapat juga dinyatakan dengan grafik kartesius. seperti pada Gambar8.1.
Teorema 8.1.1. Untuk sembarang A dan B, secara umum berlaku:
1. A×B 6= B × A
2. A×B ≡ B × A
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
266 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
A
B
0 2 4 6
02
46
Gambar 8.1: Diagram kartesius mengilustrasikan A×B
3. (A×B) = (B × A)⇔ A = B
Definisi 8.1.2.
A× A = A2 = {(a1, a2)|a1, a2 ∈ A} (8.1a)
A× A× . . .× A︸ ︷︷ ︸n
= An = {(a1, a2, . . . , an)|ai ∈ A, i = 1, 2, . . . , n} (8.1b)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
267 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
8.2. Relasi
Relasi atau hubungan antara dua himpunan merupakan himpunan bagiandari perkalian dua himpunan bersangkutan. Relasi dari himpunan A ke Bdinotasikan dengan RA×B atau R : A→ B. Ada tiga komponen yang harusdipenuhi oleh suatu relasi R : A→ B yaitu:
1. Adanya daerah definisi atau daerah asal yang disebut domin, yaituhimpuan A yang yang akan dihubungkan dengan suatu himpunan lain.
2. Adanya daerah kawan yang disebut kodomin, yaitu himpunan B yangmenjadi kawan himpunan A.
3. Adanya aturan pengawanan antara himpunan asal A dan himpunankawan B.
Bentuk aturan pengawanan dapat dilakukan dengan berbagai cara di-antaranya adalah dengan mengguakan diagram panah, himpunan pasanganberurut. Jika pasangan berurut (x, y) merupakan ang-gota dari R makadinotasikan dengan (x, y) ∈ R, jika tidak maka dinotasikan (x, y) 6∈ R.
Contoh 8.2. Misalkan R adalah relasi dari N ke N dengan aturan pengawanan
R = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (3, 3), · · · }
atauR = {(x, y)|y ≤ x; x, y ∈ N}
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
268 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 8.3. Misalkan R adalah relasi dari N ke N dengan aturan R(n) = 2ndapat dinyatakan dengan R = {(x, y)|y = 2x, x ∈ N}
Himpunan bagian dari himpunan kawan yang dipilih menjadi kawan dise-but daerah hasil/ range dari R. Pada contoh diatas daerah hasil HR adalahhimpunan bilangan bulat positif, yaitu HR = {2, 4, 6, · · · }.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
269 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
A B
Gambar 8.2: Diagram panah untukrelasi A ke B, atau ARB
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
270 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
8.3. Sifat-sifat Relasi
Relasi dari suatu himpunan ke dirinya sendiri dapat dibedakan menjadibeberapa jenis diantaranya dilihat dari banyaknya unsur yang berkawankedirinya sendiri, kesimetrisan perkawanan. Berikut adalah definisi formaldari beberapa sifat relasi himpunan ke dirinya sendiri.
Definisi 8.3.1. Relasi R dikatakan bersifat refleksif jika
∀x, (x, x) ∈ R
Definisi 8.3.2. Relasi R dikatakan bersifat non-refleksif jika
∃x, (x, x) 6∈ R
Definisi 8.3.3. Relasi R dikatakan bersifat irrefleksif jika
∀x, (x, x) 6∈ R
Definisi 8.3.4. Relasi R dikatakan bersifat simetrik jika
∀x, y (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R
Definisi 8.3.5. Relasi R dikatakan bersifat non-simetrik jika
∃x, y (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) 6∈ R
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
271 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Definisi 8.3.6. Relasi R dikatakan bersifat asimetrik jika
∀x, y (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) 6∈ R
Definisi 8.3.7. Relasi R dikatakan bersifat transitif jika
∀x, y, z[(x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R
]⇒ (x, z) ∈ R
Definisi 8.3.8. Relasi yang sekaligus bersifat reflektif, simetrik dan transitifdisebut relasi ekuivalensi.
Contoh 8.4. Berikut adalah beberapa contoh relasi yang merupakan relasi re-fleksif.
1. Relasi sama dengan (=) pada himpunan bilangan riil.
∀x, x = x yaitu (xRx)
2. Relasi kongruensi pada himpunan segitiga.
3. Relasi faktor dari, pada himpunan bilangan bulat selai 0.
∀x, x faktor dari x yaitu (xRx)
4. Relasi mirip pada himpunan manusia. Setiap orang mirip dirinya sendiri.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
272 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 8.5. Berikut adalah beberapa contoh relasi non-reflektif.
1. Relasi faktor dari pada himpunan semua bilangan bulat. (Ada 0 tidak dapatdibagi 0)
2. Relasi mencintai pada himpunan manusia. Ada orang yang tidak mencintaidirinya sendiri.
Contoh 8.6. Berikut adalah beberapa contoh relasi irreflektif.
1. Relasi tidak sama pada himpunan bilangan riil. Tidak ada bilangan yangtidak sama dengan dirinya sendiri.
2. Relasi kurang dari pada himpunan bilangan riil. Tidak ada bilangan yagkurang dari dirinya sendiri.
3. Relasi lebih gemuk pada himpunan manusia. Tidak ada orang yang lebihgemuk dari dirinya sendiri.
4. Relasi lebih cantik pada himpunan manusia. Tidak ada orang yang lebihcantik dari dirinya sendiri.
Contoh 8.7. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat simetrik.
1. Relasi sama dengan pada himpunan bilangan riil.
2. Relasi kongruensi pada himpunan segitiga.
3. Relasi kenal dengan (pernah berkenalan) pada himpunan manusia
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
273 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 8.8. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat non-simetrik.
i Relasi lebih besar atau sama dengan pada himpunan bilangan riil.
ii Relasi mencintai pada himpunan manusia
Contoh 8.9. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat asimetrik.
i Relasi lebih besar dari pada himpunan bilangan riil.
ii Relasi lebih tinggi pada himpunan manusia
iii Relasi lebih tua pada himpunan manusia
Contoh 8.10. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat transitif.
i Relasi lebih besar dari pada himpunan bilangan riil.
ii Relasi lebih tinggi pada himpunan manusia
iii Relasi lebih tua pada himpunan manusia
Definisi 8.3.9. Relasi R dikatakan bersifat non-transitif jika
∃x, y, z[(x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R
]⇒ (x, z) 6∈ R
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
274 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 8.11. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat non-transitif.
i Relasi berpotongan pada himpunan.
ii Relasi mengenal pada himpunan manusia
Definisi 8.3.10. Relasi R dikatakan bersifat intransitif jika
∀x, y, z[(x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R
]⇒ (x, z) 6∈ R
Gambar 8.3: Diagram panah mengilustrasikan relasi A ke A
Secara grafik, dalam bentuk diagram panah, beberapa jenis relasi dariA ke A digambarkan dalam Gambar 8.3. Dalam diagram tersebut panahmelingkar menunjukkan pengawanan ke dirinya sendiri (refleksif).
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
275 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 8.12. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat intransitif.
i Relasi pangkat kuadrat dari pada himpunan bilangan riil selain 0 dan 1.
i Relasi akar kuadrat dari pada himpunan bilangan riil selain 0 dan 1.
ii Relasi pacar dari pada himpunan manusia.
Contoh 8.13. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat ekuivalensi.
i Relasi sama dengan pada himpunan bilangan riil.
ii Relasi kongruensi pada himbunan segitiga.
iii Relasi kesejajaran pada himbunan garis.
iv Relasi sama tinggi pada himpunan manusia.
v Relasi sama berat pada himpunan manusia.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
276 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
8.4. Penyajian Relasi dengan Matriks
Selain dengan cara diagram panah, reasi juga dapat disajikan dalam bentukmatriks. Dalam hal ini matriks representasinya memiliki ciri-ciri sebagaiberikut.
1. Baris matriks menunjukkan unsur-unsur himpunan domain;
2. Kolom matriks menunjukkan unsur-unsur himpunan kodomain;
3. Jika dua unsur memiliki relasi maka unsur matriks yang bersesuaianadal 1, jika tidak maka unsurnya adalah 0.
Contoh 8.14.
Misalkan R1 adalah relasi dari A = {1, 2, 3, 4} ke B = {a, b, c} dengan aturan
R1 = {(1, a), (1, b), (2, c), (3, a), (4, b)}
.Misalkan pula R2 adalah relasi dari A ke dirinya sendiri dengan aturan
R2 = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 3), (4, 4)}
, maka dalam bentuk matriks dapat disajukan sebagai berikut:
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
277 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
R1 =
a b c
1 1 1 02 0 0 13 1 0 04 0 1 0
, R2 =
1 2 3 4
1 1 0 1 02 0 1 0 03 1 0 1 04 0 0 0 1
Representasi relasi dengan matriks merupakann bidang yang berkembangmelalui teori graph. Matriks representasi tersebut biasda disebut matriksajasen adjacent matrix. Representasi dengan matriks memungkinkan kitamemanfaatkan perangkat lunak (software) untuk menggambar grafik darirelasi. Hal ini bermanfaat ntuk menggambar relasi dengan unsur yang cukupbanyak. Pada contoh berikut baik matriks relasi maupun grafiknya sepertipada Gambar 8.4 dihasilkan dengan program R.
y x z u v p r t s q a c b
y 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
x 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
z 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
u 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
v 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
p 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0
r 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0
t 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0
s 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
278 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
q 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
c 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
b 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
Selanjutnya relasi dari {a, b, c, d} ke {x, y, z} dapat juga disajikan dalambentuk matriks, dengan mendefinisikan unsur matriks yang bersesuaian. Li-hat matriks berikut dan grafiknya pada Gambar 8.5.
x a b c d y z u e v w
x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
a 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0
b 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
c 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
d 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
u 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
e 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1
v 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
w 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
279 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
y x
z
u
v
p
r
t
s
q
a
c
b
Gambar 8.4: Contoh Grafik Relasi dari suatu himpunan ke dirinya sendiridengan Software R
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
280 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
x
a
b
c
d
y
z
u
e
v
w
Gambar 8.5: Contoh Grafik Relasi dari {a, b, c, d, e} ke {u, v, w, x, y, z} den-gan Software R
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
281 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
A B
Gambar 8.6: Diagram mengilustrasikan fungsi dari A ke B
8.5. Fungsi
Perhatikan bahwa relasi R : A → B adalah himpunan bagian dari A ×B. Dalam keadaan demikian bisa jadi ada unsur A yang tidak mempunyaikawandi B atau suatu unsur di A memiliki lebih dari satu kawan di B.Beberapa relasi yang sifatnya khusus disebut, yaitu tidak memiliki sifat tadidisebut fungsi. Dengan kata lain, setiap unsur di A memiliki satu dan hanyasatu kawan unsur B.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
282 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Definisi 8.5.1. f : A → B adalah suatu hubungan yang memiliki sifatbahwa
∀a ∈ A, ∃!, b ∈ B, 3 b = f(a)
Dalam fungsi ada tiga komponen yang harus dipenuhi yaitu
1. Domain (daerah asal), misalnya himpunan A.
2. Kodomain (daerah kawan), misalnya himpunan B.
3. Aturan pemetaan b = f(a) atau y = f(x) jika fungsinya dari X ke Y.
Dilihat pada diagram panah, maka diagram panah suatu fungsi memilikiciri-ciri sebagai berikut:
1. ada panah yang keluar dari domain,
2. panah yang keluar untuk masing-masing unsur hanya ada 1,
3. tidak ada unsur yang tidak memiliki panah keluar.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
283 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
8.6. Jenis-Jenis Fungsi
Dalam fungsi tidak disyaratkan bahwa semua unsur kodomain harus memilikiprakawan di domain. Demikian juga tidak ada keharusan bahwa dua unsurasal harus memiliki kawan yang berbeda. Dilihat dari cara pengambilanunsur daerah kawan, fungsi dapat dibedakan menjadi beberapa macam yaitusurjektif, injektif dan bijektif. Fungsi injektif dari suatu himpunan ke dirinyasendiri sering disebut sebagai permutasi.
Definisi 8.6.1. Fungsi f dari X ke Y dikatakan fungsi satu-satu (injektif),jika setiap unsur berbeda memiliki kawan yang berbeda pula.
f : injektif ↔ ∀x1, x2
[(x1 6= x2)⇒ f(x1) 6= f(x2)
]Definisi 8.6.2. Fungsi f dari X ke Y dikatakan fungsi pada (surjektif), jika
setiap unsur daerah kawan memiliki prakawan atau prabayangan.
f : surjektif ↔ ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X 3, y = f(x)
Definisi 8.6.3. Fungsi f dari X ke Y dikatakan fungsi korespondensi satu-satu (bijektif), jika f sekaligus injektif dan surjektif.
f : bijektif ↔ ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X 3, y = f(x) dan (f(x1) = f(x2))⇒ (x1 = x2)
Teorema 8.6.1. Jika suatu fungsi f dari X yang berhingga ke dirinyasendiri bersifat injektif, maka dia akan bersifat surjektif, sehingga dia jugamerupakan korespondensi satu-satu.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
284 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Bukti:Andaikan f tidak bersifat surjektif, berarti ada x1 ∈ X sedemikian se-
hingga tidak ada x sehingga x1 = f(x), sehingga RA 6= A. Tetapi karenaf satu-satu berarti DA = A ≡ RA. Karena RA ⊆ A, RA ≡ A berartiRA = A(lihat Teorema 6.2.2). Ini merupakan kontradiksi (A 6= A). Olehkarena itu haruslah juga f bersifat surjektif. Sifat ini tidak berlaku untukhimpunan tak hingga. Misalnya jika X = N dan f(n) = 2n−1, maka f bersi-fat injektif, tetapi tidak surjektif, karena bilangan asli dipetakan satu-satuke subsetnya, himpunan bilangan asli ganjil.
Teorema 8.6.2. Jika suatu fungsi dari X yang berhingga ke dirinya sendiribersifat surjektif, maka dia akan bersifat injektif, sehingga dia juga meru-pakan korespondensi satu-satu.
Dilihat dari bentuk hubungan antara x ∈ X dengan y ∈ Y pada fungsidari X ke Y., fungsi dapat dibedakan atas:
1. fungsi aljabar (polinomial), yaitu fungsi yang berbentuk y =∑n
i=0 aixi.
beberapa fungsi istimewa termasuk dalam kelompok ini adalah
(a) fungsi konstan, yaitu bila ai = 0,untuk ∀i 6= 0;
(b) fungsi linier, yaitu bila n = 1 dan a1 6= 0
(c) fungsi kuadrat, yaitu bila n = 2 dan a2 6= 0
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
285 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2. fungsi transenden, yaitu fungsi-fungsi selain fungsi aljabar seperti fungsitrigonmetri (mengandung fungsi sin, cos, dll), fungsi log dan exponen-sial ( [10]).
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
286 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
8.7. Bentuk, Skala dan Lokasi Fungsi
. Fungsi memiliki tiga karakteristik utama yaitu bentuk skala dan lokasi.Sebagai contoh ambil fungsi yang sederhana yaitu fungsi kuadrat, y = x2.Fungsi memiliki bentuk khas yag disebut parabola. Skala parabola padasuatu nilai a apakah membuka lebar atau sempit, membuka ke atas atauke bawah. Sehingga bentuk yang lebih umum y = ax2, a 6= 0 tetapmempunyai bentuk sama tetapi dengan sekala berbeda tergantung nilai a.Selanjutnya jika lokasi fungsi digeser sepanjang sumbu X maupun sumbuY , maka menghasilkan persamaan fungsi dengan bentuk fungsi lebih umumyaitu y = a(x − xp)2 + yp. Fungsi ini adalah fungsi kuadrat dengan puncak(xp, yp) dengan bentuk parabola dan membuka (skala) sesuai dengan nilaia. Dengan kata lain parabola yang dihasilkan hanya berbeser lokasi tanpamengubah bentuk, maupun skala (jika a tetap). Ilustrasi tentang bentuk,skala dan lokasi fungsi diberikan pada Gambar 8.7.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
287 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
−4 −2 0 2 4
−5
05
1015
2025
Y=a(x−xp)^2+yp
X
Y
Gambar 8.7: Fungsi kuadrat yang mempunyai persamaan berbeda walausebenarnya bentuk dan skalanya sama, tetapi lokasi berbeda
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
288 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
8.8. Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini selain beberapa sumberyang telah dikutip sebelumnya, dapat juga dibaca beberapa sumber laindiantaranya Ruseffendi[16], Nasoetion [11], Lipschutz[9], Polimeni & Straight[15]. Secara umum hampir semua buku teks tentang kalkulus, pada bagianawalnya membahas relasi dan fungsi. Khusus untuk perangkat lunak programR dapat dilihat lansung pada situs http://www.r-project.org.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
289 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
8.9. Soal-soal Latihan
1. Diketahui A = {a, b, c, d} dan B = {1, 3, 5} tentukan
(a) A×B(b) B × A
2. Diketahui H adalah himpunan bilangan asli kurang dari 17. Buatlahrelasi dari H kedirinya sendiri yang menggambarkan:
(a) h1 kelipatan dari h2
(b) h1 faktor dari h2
3. Buatlah relasi (daerah asal dan aturannya) yang bersifat
(a) refleksif dan simetrik tetapi non-transitif
(b) irefleksif tetapi simetrik dan transitif
(c) refleksif dan non-simetrik tetapi transitif
4. Buatlah fungsi (daerah asal dan aturannya) yang bersifat
(a) injektif dan surjektif
(b) injektif tetapi tidak surjektif
(c) tidak injektif dan tidak surjektif
5. Buatlah fungsi dari suatu himpunan ke dirinya sendiri yang bersifat
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
290 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(a) injektif dan surjektif
(b) injektif tetapi tidak surjektif
(c) tidak injektif dan tidak surjektif
Kesimpulan apa yang dapat anda petik dari soal ini.
6. Buktikan Teorema 8.6.2 pada halaman 284.
7. Diketahui A = {1, 3, 5} dan B = {a, b, c}. Tentukan berapa banyaknyafungsi (sebutkan fungsi apa saja) yang bisa dibuat dari A ke B yangbersifat
(a) umum (fungsi biasa)
(b) injektif
(c) surjektif
(d) bijekttif
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
291 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
8. Sebutkan ada berapa kondisi relasi yang menyebabkan dia tidak men-jadi fungsi.
9. Perhatikan diagram relasi berikut. Tentukan sifat-sifat relasi yang di-wakili. Apakah bersifat refleksif, simetrik atau transitif?
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
292 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
293 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
BAB 9
PENGANTAR LOGIKA DAN HIMPUNAN SAMAR
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
294 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Umum
Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca menge-nal dan memahami konsep logika dan himpunan samar serta mampu mem-bedakannya dengan himpunan atau logika yag telah dibicarakan pada babsebelumnya.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
295 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Khusus
Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca dapat
1. menyebutkan definisi logika samar
2. menyebutkan definisi himpunan samar
3. memberi contoh logika samar
4. memberi contoh himpunan samar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
296 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Materi
1. Konsep Dasar
2. Logika bernilai-3 atau lebih
3. Memodelkan tingkat keanggotaan himpunan
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
297 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
9.1. Konsep Dasar
Sejauh ini kita telah mempelajari logika dengan nilai kebenaran yang mutlak,0 atau 1. Logika ini selanjutnya disebut logika biner (bernilai 2). Padahal dimasyarakat dikenal banyak hal yang sulit ditentukan secara mutlak apakahsuatu itu benar atau salah. Masyarakat biasa menyebut sebagai wilayahabu-abu (grey area. Demikian juga dalam hal himpunan, kita belum bisamembicarakan himpunan dengan kriteria bersifat kualitatif. Sifat-sifat ataukeadaan seperti:“cantik, manis, muda, tinggi” adalah merupakan kondisiyang tidak bisa dinilai secara mutlak. Setiap orang mungkin saja mempuyaipenilaian yang berbeda terhadap objek yang sama. Logika samar maupunhimpunan samar fuzzy logics & fuzzy set logika atau himpunan yang mem-pertimbangkan nilai keberan atau keanggotaan yang bersifat samar (tidakmutlak). Namun, dalam kenyataan justru fenomena samar-samar ini yangbanyak dijumpai di masyarakat.
Nilai kebenaran suatu pernyataan p yang dinotasikan dengan τp padalogika biner dapat dianggap sebagai suatu fungsi indikator yang memetakanp ke himpunan {0, 1}, seperti dinyatakan dalam definisi berikut.
Definisi 9.1.1. Nilai kebenaran p pada logika biner didefinisikan sebagaiτp : p→ {0, 1} dengan
τp(p) =
{1 jika p benar0 jika p salah
(9.1)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
298 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Demikian juga keanggotaan suatu unsur x pada himpunan biner, A dapatdianggap sebagai fungsi karakteristik atau fungsi indikator ξA yang memetakansetiap anggota ke salah satu dari dua kategori, yaitu menjadi anggota (1)atau bukan anggota (0). Jadi daerah kawan atau hasilnya hanyalah {0, 1}.Formalnya, fungsi indikator keanggotaan dalam himpunan A didefinisikansebagai berikut.
Definisi 9.1.2. Keanggotaan pada himpunan biner A didefinisikan sebagaiξA : S → {0, 1} dengan
ξA(x) =
{1 jika x ∈ A0 jika x 6∈ A (9.2)
Ide fungsi indikator di atas lalu diperluar untuk memungkinkan suatuunsur memperoleh nilai antara 0 dan 1. Ada banyak hal yang tidak dapatdiukur secara mutlak dengan hanya dua kategori, diantaranya adalah:
1. kondisi sifat seseorang atau sesuatu seperti kecil, tinggi, muda;
2. kondisi keberadaan sesuatu seperti tidak ada, sedikit, banyak, ke-banyakan, sebagian besar semua;
3. kondisi hubungan seperti sama, mirip, lebih baik dan lain-lain;
4. kondisi kebenaran seperti salah, relatif benar, benar sekali;
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
299 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5. kondisi kemungkinan seperti, tidak mungkin, mungkin, mungkin sekali,pasti.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
300 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
9.2. Logika bernilai tiga atau lebih
Logika matematika tradisional1 dapat juga dikatakan sebagai logika dengan 2kategori, yaitu 0 dan 1. Salah satu bentuk generalisasi yang paling sederhanaadalah dengan menambahkan satu kategori lagi, misalkan s yang menyatakanbahwa nilai kebenarannya masih samar (ragu-rahu).
Dengan logika bernilai tiga ini maka nilai kebenaran pada logika ini meru-pakan fungsi indikator dengan definisi berikut.
Definisi 9.2.1. Nilai kebenaran p pada logika matematika ‘bernilai-3’ didefin-isikan sebagai τs : p→ {0, s, 1} dengan
τs(p) =
1 jika p benar0 jika p salahs jika p bukan salah satu di atas.
(9.3)
Karena nilai kebenaran dapat dianggap sebagai bilangan riil, atau seti-daknya bilangan rasional, 0 < s < 1, maka operator ¬,∧,∨ dapat didefin-isikan sebagai berikut.
1Sebenarnya logika matematika sendiri sudah termasuk kategori logika modern, namundengan munculnya logika samar, maka dari kaca mata logika samar, logika matemtikadapat dianggap sebagai logika tradisional
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
301 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Definisi 9.2.2. Nilai kebenaran logika samar dari pernyataan-pernyataanp, q, r, · · · , masing-masing dengan nilai kebenaran kontinu pada [0,1] didefin-isikan sebagai
τs(¬p) = 1− τs(p) (9.4)
τs(p ∧ q) = minimum{τs(p), τs(q)} (9.5)
τs(p ∨ q) = maksimum{τs(p), τs(q)} (9.6)
x dan y merupakan nilai dari suatu pernyataan, yang berada pada interval[0,1], maka nilai kebenaran dari hasil operasi konektif dasar seperti padaDefinisi 9.2.2 dapat dinyatakan sebagai berikut:
¬x = 1− xx ∧ y = min{x, y}x ∨ y = min{x, y}
Dengan demikian, untuk kategori penilaian 3, yaitu 0,s dan 1, maka tabelkebenaran ¬p, p ∧ q dan p ∨ q dapat didefinisikan sebagai berikut ini.
∧ 0 s 10 0 0 0s 0 s s1 0 s 1
∨ 0 s 10 0 s 1s s s 11 1 1 1
¬0 1s s1 0
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
302 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Dengan cara yang sama kita juga dapat membuat tabel kebenaran untukimplikasi → dan biimplikasi ↔. Sebagaimana pada logika biasa, maka p →q ≡ (¬p ∨ q), maka s→ 0 ≡ ¬s ∨ 0 ≡ s sedangkan dan seterusnya.
→ 0 s 10 1 1 1s s 1 11 0 s 1
↔ 0 s 10 1 s 0s s 1 s1 0 s 1
Contoh 9.1. Diketahui pernyataan-pernyataan berikut:p : Ani adalah gadis cantikq : Ali adalah pemuda cerdasr : Setiap manusia perlu makant : Ada negara dengan tiga ibukota
Jika pernyataan emperik yang belum diketahui kebenarannya, nilainya dinyatakandengan s, maka nilai kebenaran pernyataan berikut adalah:
1. τ(p) = s, τ(q) = s, τ(r) = 1, τ(t) = 0;
2. τ(p ∧ r) = s,τ(p ∨ r) = 1;
3. τ(q ∧ t) = 0, τ(q ∨ t) = s.
Sebagaimana disinggung pada pembukaan subbab sebelumnya bahwa fungsikeanggotaan atau kebenaran dapat diberi nilai secara bebas pada interval[0,1]. Hal ini memungkinkan kita membuat sistim logika dengan lebih dari 3nilai.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
303 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Definisi 9.2.3. Nilai kebenaran samar dari pernyataan p, dinotasikan den-gan fs adalah suatu fungsi dari p ke [0, 1]. Selanjutnya fs dikatakan sebagaifungsi kebenaran.
Definisi 9.2.4. Nilai kebenaran p pada logika matematika dapat didefin-isikan sebagai τs : p→ [0, 1] dengan
τs(p) =
1 jika p benar0 jika p salah
0 < f(s) < 1 jika p bukan salah satu di atas.(9.7)
f(s) dapat berupa fungsi yang menunjukkan derajat keyakinan seseorangterhadap nilai kebenaran p. Jika P adalah himpunan pernyataan-pernyataandengan nilai kebenaran berada pada interval [0,1], maka operasi pernyataandengan konektif ¬,∧,∨ maupun yang lainnya dapat dilakukan dengan meng-gunakan Definsi 9.2.2. Dengan kata lain definisi tersebut juga berlaku untuksistim yang mempunyai nilai lebih dari 3 kategori, bahkan untuk sistim yangmempunyai nilai kebenaran kontinu.
Teorema 9.2.1. Pada logika samar, berlaku hukum komutatif baik untuk ∧maupun ∨
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
304 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Bukti:
x ∧ y = min(x, y)
= min(y, x)
= y ∧ x
Teorema 9.2.2. Pada logika samar, berlaku hukum asosiatif baik untuk ∧maupun ∨
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
305 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
9.3. Himpunan Samar
9.3.1. Himpunan dengan tiga atau lebih kategori keanggotaan
Seperti halnya pada logika samar. Himpunan samar juga mempunyai tingkatkeanggotaan yang lebih luas dari sekedar ∈ dan /∈. Perluasan yang palingsederhana adalah mengelompokkan keanggotaan menjadi tiga kategori:
1. anggota (pasti) (∈)
2. anggota (ragu-ragu) (s)
3. bukan anggota (/∈)
Contoh 9.2. Misalkan kita memiliki sejumlah calon mahasiswa dengan kondisiNiai Ujian matematika (M) dan Penghasilan orang tua dalam jutaan rupiah (P )sebagai berikut:
Calon M Pa 6,5 25,0b 4,0 0,1c 9,0 10,0d 6,0 1,0e 8,0 1,5
Jika A adalah himpunan calon mahasiswa cerdas dan B adalah himpunancalon mahasiswa kaya, maka keanggotaan dari a, b, · · · , e terhadap A dan Bsalah satunya dapat ditentukan sebagai berikut:
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
306 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Unsur A Ba s ∈b /∈ /∈c ∈ ∈d s se ∈ s
9.3.2. Memodelkan tingkat keanggotaan kontinu dari himpunan
Tingkat keanggotaan himpunan selain dapat dikategorikan menjadi beberapakategori, juga dapat didefinisikan secara kontinu.
Definisi 9.3.1. Keanggotaan samar dari suatu himpunan S adalah suatufungsi dari S ke [0, 1].
Untuk suatu himpunan samar, misalnya S, fungsi A : S → [0, 1] dikatakanfungsi keanggotaan dan nilai A(x) disebut tingkat keanggotaan dari x padahimpuan samar A. Tentu saja fungsi keanggotaan untuk suatu masalahyang sama dapat berbeda-beda. Jika x merupakan suatu kualitas/ sifat yangdapat diukur secara kuantitaif (misalnya umur, tinggi badan, berat badan),maka fungsi derajat keanggotaan ini dapat didefinisikan sebagai fungsi darikuantitas tadi yag dipetakan ke [0,1]. Dengan kata lain kita dapat membuatmodel keanggotaan secara kontinu untuk sesuatu sifat yang dapat dinyatakandalam bentuk angka.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
307 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 9.3. Misalkan kita ingin membuat model keanggotaan dari himpunanorang muda. Status muda atau tidak dapat dilihat dari umur yang dinyatakandalam bentuk angka. Dengan demikian kita dapat membuat model yang menghubungkanumur dengan keanggotaan himpunan. Misalkan pula untuk membuat himpunanorang muda seperti ini ada beberapa pendapat. Satu kelompok masyarakat sep-akat/ yakin bahwa umur dibawah 25 tahun adalah muda, dan di atas 45 tahunbukan muda lagi. Tetapi banyak diantara mereka yang menganggap antara 25sampai 45 tahun juga masih tergolong muda. Kenggotaan ini dapat dirumuskandengan Mi(x). Kelompok lain misalnya mempunyai kriteria berbeda. Merekasepakat/ yakin bahwa dibawah 30 tahun adalah muda sedangkan di atas 50 tahunsudah tidak muda lagi. Sedangkan mereka juga menganggap antara 30 dan 50tahun juga masih bisa dikelompokkan muda (walaupun samar-samar). Fungsikeanggotaan M diberikan pada persamaan (9.8a) dan grafiknya diberikan padaGambar 9.1.
M1(x) =
1 jika x < 2545−x
20jika 25 < x < 45
0 jika x > 45
(9.8a)
Misalkan pula bagi kelompok yang lebih senior memiliki model yangsedikit berbeda (tidak ada keraguan kategori muda untuk usia dibawah 30dan tidak ada keraguan tidak muda untuk usia di atas 50 tahun), maka salahsatu modelnya adalah seperti pada persamaan (9.8b) dengan grafik sepertiGambar 9.2.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
308 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Gambar 9.1: Grafik keanggotaan M1
Umur
Mud
a
10 20 30 40 50
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
M2(x) =
1 jika x < 30
1−(
x−3020
)2jika 30 < x < 50
0 jika x > 50
(9.8b)
Contoh 9.4. Misalkan kita ingin membuat keanggotaan himpunan orang kaya.Untuk ini misalkan pula masyarakat sepakat bahwa penghasilan dibawah Rp 1
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
309 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Gambar 9.2: Grafik keanggotaan M2
Umur
Mud
a
10 20 30 40 50
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
juta tidak dapat dikatakan kaya, sedangkan penghasilan diatas 5 juta sebulansudah pasti termasuk kelompok kaya. Maka salah satu fungsi keanggotaan untuk
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
310 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
masalah ini adalah seperti persamaan (9.9) dengan grafik seperti Gambar 9.3.
K(x) =
0 untuk x < 0, 5× 106√
x−0,5×106
4,5×106 untuk 0, 5× 106 < x < 5106
1 untuk x > 5× 106
(9.9)
Contoh 9.5. Misalkan pula kita membuat model keanggotaan himpunan jarangditentukan dengan mendefinisikan istilah jarang dengan proporsi keberadaan xsebagai berikut:
1. benar mutlak (bernilai 1, berarti benar jarang) jika tidak ada sama sekali;
2. mutlak tidak benar (bernilai 0, berarti tidak benar jarang) jika ada lebihdari 1/2
3. 1 − 4x22 untuk situasi diantara dua di atas, dengan x adalah proporsikeberadaan.
Maka bentuk fungsi secara keseluruhan adalah seperti persamaan (9.10) dengangrafik seperti pada Gambar 9.3.
J(x) =
1 jika x < 0
1− 4x2 jika 0 < x < 1/2
0 jika x > 1/2
(9.10)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
311 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Gambar 9.3: Grafik fungsi keanggotaan K
Penghasilan
Kay
a
0 1 2 3 4 5
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
Grafik dari fungsi ini dapat dilihat pada Gambar 9.4
Contoh 9.6. Misalkan kita ingin membuat keanggotaan himpunan sebagianbesar. Maka pertama kita tentukan karakteristik dari keberadaan tersebut. Salahsatu yang bisa dilakukan adalah dengan melihat prosentase keberadaan objekyang kita jadikan perhatian. Misalkan pula kita didefinisikan sebagai berikut:
2kita dapat memilih definisi atau bentuk yang lain, misalnya 1− 12x2 + 16x3
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
312 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Gambar 9.4: Grafik fungsi keanggotaan J
Proporsi
Jara
ng
0.0 0.5 1.0 1.5
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
1. benar mutlak (sebagian besar, bernilai 1) jika adanya lebih dari separuh(0.5);
2. salah mutlak (tidak benar sebagian besar, bernilai 0) jika adanya 0 (tidakada);
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
313 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3. 8x33 untuk situasi diantara dua di atas, dengan x menunjukkan proporsikeberadaan.
Maka bentuk fungsi secara keseluruhan adalah seperti pada persamaan (9.11).
S(x) =
0 jika x < 0
8x3 jika 0 < x < 1/2
1 jika x > 1/2
(9.11)
3kita dapat memilih definisi atau bentuk yang lain, misalnya 4x2
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
314 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
9.4. Bacaan Lebih Lanjut
Teori tentang himpunan samar (fuzzy sets) dimulai oleh L.A. Zadeh, seo-rang ahli teori kontrol, pada tahun 1965. Walaupun pada awalnya menda-pat banyak penolakan, terutama dari kalangan statistisi, dewasa ini teorisamar berkembang cukup pesat dan banyak diapliasikan dalam automatisasialat-alat elektronika. Automatisasi dengan sistim atau logika samar diklaimmendapatkan hasil yang lebih sempurna (dibandingkan dengan tehnik dig-ital yang berdasarkan logika 2 nilai) dan dalam pengendalian robot akanmenghasilkan robot yang lebih cerdas dan lebih mendekati prilaku manusia.
1. mesin cuci, yang dipelopori oleh perusahan Matsushita tahun 1990.Dengan kontrol menggunakan logika samar mesin cuci lebih cerdasdalam membaca jenis dan tingkat kotoran pakaian serta mengatur pri-laku mesin cuci;
2. pengatur transmisi automatis pada mobil dipelopori oleh perusahanmobil Nissan. Dengan sistim ini mobil dapat menghemat bahan bakarsampai 12 sampai 17 %. Tahun 1992 perusahan mobil Mitsubishi men-erapkan logika samar bukan saja pada transmisi tetapi juga pada sus-pensi, kemudi dan daya 4 roda serta pengatur udara;
3. kamera dan video. Kamera dan video yang dilengkapi dengan sistimlogika samar dapat menghasilkan perhitungan penyinaran yang dankontrol yang lebih sempurna sehingga menghasilkan gambar yang lebihbaik.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
315 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Bagi pemula, buku tulisan Nguyen & Walker [13] cukup memadai sebagaitahap awal mendalami logika samar. Aplikasi logika samar pada pengambi-lan keputusan dapat dibaca pada Kusumadewi & Purnomo [8]. Sedangkanaplikasi dalam sistim dan kontrol dapat dibaca pada Wang [21]. Pada bukuyang sama Wang juga menguraikan arah dan cabang pengembangan teorisamar.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
316 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
317 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
GLOSSARY
A
abundan Bilangan abundan/berlebih adalah bilangan yang memiliki jum-lah faktor sejati (termasuk 1), melebihi bilangan itu sendiri.
aksioma Aksioma adalah pernyataan yang diterima kebenarannya dalamrangka membangun suatu teori, yang menghasilkan teorema-teoremadalam buku ini aksioma dianggap sama dengan postulat.
asumsi Asumsi adalah pernyataan yang dianggap benar dalam argu-mentasi tertentu dan dipergunakan sebagai hipotesis untuk menu-runkan suatu kesimpulan.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
318 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
D
defisien Bilangan defisien/berkurang adalah bilangan yang memilikijumlah faktor sejati (termasuk 1), kurang dari bilangan itu sendiri.
K
konjektur Konjektur adalah pernyataan tentang sifat suatu sistem yangdiduga benar tetapi belum bisa dibuktikan secara deduktif.
korolari Korolari/akibat langsung adalah konsekuensi logis dari suatu teo-rema yang sangat dekat kaitannya dengan teorema sebelumnya.
L
lemma Lemma adalah suatu sifat yang bergantung pada sistem di luaryang dibahas yang dibuktikan untuk menyederhanakan pembuk-tian teorema yang diperlukan.
P
proposisi Proposisi dalam sistem matematika adalah suatu pernyataan ten-tang sifat-sifat suatu sistem, hampir sama dengan teorema hanyasaja pembuktiannya tidak seformal teorema.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
319 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
S
sempurna Bilangan sempurna adalah bilangan yang memiliki jumlah fak-tor sejati (termasuk 1), sama dengan bilangan itu sendiri.
T
teorema Teorema adalah pernyataan atau rumus yang dapat diturunkandari suatu sistim aksioma dengan menerapkan aturan-aturan yangberlaku pada sistim bersangkutan.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
320 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
321 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
DAFTAR PUSTAKA
[1] E.J. Borowsky and J.M. Borwein. Collins Dictionary Mathematics.Collins, Great Britain, 1989.
[2] I. M. Copi. Symbolic Logic. The Macmillan Company, New York, 1961.
[3] R. Courant and H. Robbins. What is Mathematics? An ElementaryApproach to Ideas and Methods. Oxford University Press, Oxford, 1978.
[4] H.B. Enderton. Mathematical Introduction to Logic. Academic Press,1972.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
322 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
[5] P. Fletcher, H. Hoyle and C.W. Patty. Foundation of Discrete Mathe-matics. PWS-Kent Pub. Co., Boston, 1991.
[6] M.C. Gemignani. Basic Concept of Mathematics and Logic. AddisonWisley Pub.Co., 1968.
[7] S.K. Haza’s, S. Dyastriningrum & I. Ngathoillah. Sejarah Matematika,Klasik dan Modern. UAD Presss, Yogyakarta, 2004.
[8] S. Kusumadewi and H. Purnomo. Aplikasi Logika Fuzzy untuk pen-dukung Keputusan. Graha Ilmu, Yogyakarta, 2004.
[9] S. Lipschutz. Set Theory and Relatd Topics. Schaum’s Outline Series,McGraw-Hill Book Co., New York, 1974.
[10] M.A. Munem and D.J. Foulis. Calculus with Analytic Geometry. WorthPublisher, Inc, New York, 1978.
[11] A.H. Nasoetion. Landasan Matematika. Bharata Karya Aksara, Jakarta,1980.
[12] S. Negoro & B. Harahap. Ensiklopedia Matematika. Ghalia Indonesia,Jakarta, 1990.
[13] H.T. Nguyen and E. A. Walker. A First Course in Fuzzy Logic. Chapman& Hall/CRC, London, 2nd edition, 2000.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
323 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
[14] N. Nissanke. Introductory Logic and Sets for Computer Scientists.Addison-Wesley Longman Lmt., England:Harlow, 1999.
[15] A.D. Polimeni and H.J. Straight. Foundations of Discrete Mathematics.Brooks/Cole Pub. Co., California, 1985.
[16] E.T. Ruseffendi. Dasar-dasar Matematika Modern untuk Guru. Tarsito,Bandung, 3 edition, 1982.
[17] J.J. Siang. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer.Andi, Yogyakarta, 2002.
[18] R. Soekadijo. Logika Dasar. Gramedia, Jakarta, 1983.
[19] S. Sulistyaningsih. Mengenal Tehnik Dasar Komputer. M2S, Bandung,1984.
[20] N.L. Thomas. Modern Logic-an Introduction. Barnes & Noble, NewYork, 1968.
[21] L-X. Wang. A Course in Fuzzy Systems and Control. Prentice-HallInternational Inc., London, 1997.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
324 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
INDEKS PENULIS
Borowsky, 8, 9, 22Borwein, 8, 9, 22
Copi, 8, 9, 20, 34, 35Courant, 101, 110, 111
Dyastriningrum, 111
Enderton, 22, 35, 66, 81
Fletcher, 66
Gemignani, 8, 22, 35, 66, 81
Harahap, 22Haza’s, 111
Lipschutz, 81, 101, 111, 123
Nasoetion, 86, 101, 111, 123Negoro, 22Ngathoillah, 111Nguyen, 135
Polimeni, 8, 66, 81, 101, 111, 123
Robbins, 101, 110, 111
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
325 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Ruseffendi, 86, 101, 111, 123
Soekadijo, 8Straight, 8, 66, 81, 101, 111, 123Sulistyaningsih, 19
Thomas, 8, 22, 35, 66, 81
Walker, 135Wang, 135
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
326 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
INDEKS SUBJEK
anteseden, 27argumen
kesimpulan, 71premis, 71
bentuk normal, 41CCNF, 43CDNF, 41CNF, 42disjungtif, 41
lengkap, 41DNF, 41
konjungtif, 42lengkap, 43
biimplikasi, 27bilangan
abundan, 11–13Archimedes, 109defisien, 13Euler, 109komposit, 22prima, 22sejarah, 111sempurna, 13
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
327 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
biner, 35bukti
tak langsung, 76kontradiksi, 76negasi, 76pengandaian, 76penyanggah, 76
Dagger, 21deduktif, 81definisi, 9diagram
kartesius, 114panah, 115, 122pohon, 99Venn, 88, 91–93, 95, 109, 111
diagram Venn, 47, 89dilema
destruktif, 75konstruktif, 74, 75
dual, 18
ekuivalen, 17ekuivalensi
biimplikasi, 32
implikasi, 32logis, 31
faktor, 41fungsi
aljabar, 123karakteristik
bentuk, 123lokasi, 123skala, 123
transenden, 123trigonometri, 123
fuzzy, 128
gabungan, 59generalisasi
universal, 79gugus, 86
himpunan, 86bagian, 89berhingga, 87berpotongan, 88bilangan
asli, 57cacah, 108
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
328 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
kardinal, 108
diskrit, 107
ekuivalen, 89
elemen, 86
deskripsi, 86
tabulasi, 86
keluarga, 90
kontinu, 107
kosong, 87
kuasa, 90
partisi, 96
penyelesaian, 56
saling lepas, 88
sama, 88
samar, 86
semesta, 87
subset
sifat-sifat, 96, 98–100
takhingga, 87
terhitung, 107
unsur, 86
hipotesis, 27
hirarki
perakit, 21, 34
implikasi, 27formal, 28logis, 31material, 28
induksilengkap, 77matematika, 77, 107
irisan, 59
jaringanlistrik, 46
kalimatmatematika, 56
terbuka, 56tertutup, 56
karakteristik, 40kardinal
himpunan, 87kebenaran
nilai, 11tabel
konjungsi, 13negasi, 12
kesimpulan, 27
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
329 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
konklusi, 27konsekuen, 27konstanta, 55kontra, 76kontradiksi, 16, 43kuantor
eksistensial, 57universal, 57
kuantor eksistensial, 78, 79kuantor universal, 78
negasi, 12biimplikasi, 33implikasi, 33tunggal, 12
notasi, 8Lukasiewicz, 34
operasi himpunangabungan, 91irisan, 91jumlah, 95, 96kartesius, 113komplemen, 90selisih, 95, 96
sifat-sifat, 92
parabola, 123Peano, 77pengingkaran
alternatif, 21bersama, 21
pengurut, 107penyanggah, 76perakit, 13
dan, 13dasar, 15disjungsi, 14
eksklusif, 20konjungsi, 13
permutasi, 122pernyataan
aljabar, 17kalkulus, 17kondisional, 27majemuk, 13tunggal, 11
peubah, 55primitif, 81
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
330 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
rangkap, 18
samar, 128himpunan, 131logika, 128, 130
assosiatif, 130komutatif, 130konektif, 129
semestapembicaraan, 55
seri, 47simbol, 8spesifikasi
eksistensial, 79universal, 79
Stroke, 21subset, 89suku, 41syarat
cukup, 28, 29perlu, 28, 29
tautologi, 16, 42tetapan, 55translasi, 44
uner, 35
variabel, 55
