PengantarMATLAB denganAplikasiFisikaOleh: ALEX HARIJANTO

PRODI FISIKA JURUSAN PEND. MIPAFKIP UNIVERSITAS JEMBER2013

Alex Harijanto

MODUL 1

OPERASI-OPERASI ARRAY

1. TUJUAN

a. Membuat array sederhana

b. Mengenal pengalamatan array (array addressing)

c. Mengenal kontruksi array (array contruction)

d. Mengenal operasi matematika skalar-array

e. Mengenal operasi matematika array-array

f. Mengenal orientasi array (array orientation)

2. PELAKSANAAN KOMPUTASI

Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam melakukan komputasi menggunakan

MATLAB dalam praktikum ini, yaitu:

- tuliskan setiap pernyataan atau perintah MATLAB yang ditulis setelah tanda

>>

- tekan kunci ENTER untuk mengekskusi perintah MATLAB dan memperoleh

hasilnya pada layar monitor (jendela MATLAB)

- bila tidak menginginkan hasil ekskusi pada layar monitor, tuliskan titik-

koma (;) pada setiap akhir perintah yang akan diekskusi

- manfaatkan fasilitas help jika ingin mengetahui perintah-perintah MATLAB,

dan mengembangkan kemampuan dalam menggunakan perintah-perintah

MATLAB lainnya

a. Pembuatan array sederhana:

Cobalah membuat array sederhana dari x memakai MATLAB, dengan cara

sebagai berikut:

>>x=[0 .1*pi .2*pi .3*pi .4*pi .5*pi .6*pi .7*pi .8*pi .9*pipi]

2kemudian amati hasilnya, lanjutkan mencari nilai y=sin(x) dengan perintah

berikut ini

>>y = sin(x)

amati hasilnya

b. Pengalamatan array

Lanjutkan pekerjaan a. diatas untuk mencari elemen-elemen x dengan

mencoba perintah-perintah berikut ini:

>>x(3)>>x(5)>>x(1:5)>>y(3:-1:1)>>x(2:2:7)>>y([8 2 9 1])

Amatilah apa yang telah dihasilkan MATLAB diatas:

c. Konstruksi array

Tuliskan perintah-perintah MATLAB kemudian lakukan ekskusi untuk

mendapatkan array dari variabel x

>>x=(0:0.1:1)*pi>>x=linspace(0,pi,11)

lanjutkan dengan perintah-perintah berikut

>> logspace(0,2,11)>>a=1:5, b=1:2:9

>>c = [a b]>>d=[a(1:2:5) 1 0 1]

3d. Operasi matematika skalar-array

Pada pekerjaan sebelumnya, telah dilakukan operasi perkalian antara array

dari x dengan skalar , dimana masing-masing elemen array dikalikan dengan. Dalam opersi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian arraydengan sebuah skalar dilakukan dengan operasi terhadap semua anggota

array.

Kerjakan operasi berikut (lanjutan dari pekerjaan sebelumnya)

>>a-2

>>2*a-1

e. Operasi matematika array-array

Untuk mendapatkan kembali variabel a dan b dari pekerjaan sebelumnya

lakukan ekskusi berikut

>>a,b

>>a+b

>>ans-b

>>2*a-b

>>a.*b

>>a*b

>>a./b>>a.\b

Operasi berikut ini berbeda dengan operasi pembagian sebelumnya,

>>a/b

memanggil kembali (recall) variabel a dan b sebelumnya

>>a, b

4Operasi perpangkatan

>>a.^2

>>2*a.^2

>>b.^a

>>b.^a

>>b.^(a-3)

f. Orientasi array

Pada pekerjaan-pekerjaan sebelumnya, sebuah array memiliki sebuah baris

dan banyak kolom, array semacam ini biasa disebut vektor baris , karena

berorientasi pada baris. Dengan MATLAB, array yang berorientasi kolom dapat

dibuat, array yang berorientasi kolom biasa disebut vektor kolom. Vektor

kolom memiliki banyak baris dan sebuah kolom.

Kerjakan operasi berikut untuk mendapatkan vektor-vektor baris dan kolom:

>>c=[1; 2; 3; 4; 5]>>a=1:5

>>b= a>>c= b>>c= a.>>d=a+i*a

>>e=d>>f=d.

Amati hasil-hasil operasi diatas.

Jika sebuah array memiliki banyak baris dan banyak kolom, maka array

tersebut berupa daftar bilangan-bilangan berbentuk bidang persegi panjang

dan lebih dikenal dengan matriks atau array 2 dimensi.

Berikut adalah operasi pembuatan matriks (array dengan banyak baris dan

banyak kolom)

5 g=[1 2 3 4;5 6 7 8] g=[1 2 3 45 6 7 8

9 10 11 12]

h=[1,2,3; 4,5,6; 7,8,9]

Cobalah

k=[1 2 3;4 5 6 7]

untuk mengetahui variabel apa saja yang telah digunakan dalam ruang kerja

MATLAB saat ini lakukan operasi berikut:

>>whos

amatilah apa yang dihasilkan oleh perintah whos

g. Tugas di Lab

1. Jarak dua buah titik dalam bidang x-y masing-masing adalah A(2,3) dan

B(4,1 , 4,5) dapat dihitung dengan MATLAB sebagai berikut:

>>A = [ 2 3 ];>>B = [ 4.1 4.5 ];

jarak antara A dan B dihitung dengan rumus:

22 )5.43()1.42( ABjarak

>>jarak_AB = sqrt(sum(A-B).^2)

2. Sebuah gelombang persegi yang simetrik di t = 0 dapat dijabarkan dengan

deret Fourier berikut

6

...7cos715cos

513cos

31

cos4)( ttttAtx

dimana A adalah amplitude gelombang dan adalah frekwensi sudut.Jika A = 1, = 2 maka periode nya T = 2/ = 1, maka komputasiterhadap tiga suku gelombang persegi dapat dilakukan sebagai berikut:

>> t = -2 : 0.05 : 2;

>> omega = 2*pi;

>> x1 = cos(omega*t);>> x2 = -cos(3*omega*t)/3;>> x3 = cos(5*omega*t)/5;>> xt = 4*(x1 + x2 + x3)/pi;>> plot(t, xt), grid % perintah plot dan tampilkan grid>> title(Pendekatan tiga suku gelombang persegi)>> xlabel(t)>> ylabel(x)

3. Momen dan pusat gravitasi

1000

m1 m2 m3 m4

800

580

400

3565

45

75

7Gambar diatas menunjukkan sebuah sistem massa kolinear. Massa bersatuan

dalam kg dan jarak dalam satuan mm. Dalam kerja ini akan dihitung pusat

gravitasi dari sistem. Untuk ini perlu didefinisikan vektor-vektor:

>>massa = [ 35 65 45 75 ];>>jarak = [ 400 580 800 1000 ];

Vektor momen-momoen terhadap sumbu referensi ditunjukkandalam gambar

diberikan dengan hasil kali array (array product)

>> momen = massa .* jarak

momen total (momen_t) dihasilkan dengan hasil kali skalar (scalar product)

>> momen_t = massa * jarak

sedangkan massa total dihasilkan dari fungsi sum

>> M = sum(massa)

selanjutnya pusat massa (cg) dari sitem didefinisikan dengan titik yang mana

massa total M terkonsentrasi, sehingga momen sistem sama dengan jumlah

momen yang diberikan oleh seluruh massa:

>> cg = momen_t/M

juga dapat dihitung melalui:

>> cg = massa*jarak / sum(massa)

atau

8>> cg = jarak*massa / sum(massa)

4. Peningkatan nilai resistansi listrik dengan temperatur.

Resistansi R dari sebuah penghantar listrik berbanding lurus terhadap

panjangnya L dan berbanding terbalik terhadap luas penampangnya A:

ALR

faktor pembanding disebut resistivitas. Bila resistivitas tembaga pada 200C adalah

= 0,0170....0,0178 mm2/ m. Rsistivitas adalah sebuah fungsitemperatur dan perubahannya dapat di nyatakan dengan

)1(

dimana:

= resistivitas pada 0C

= koefisien temperatur, untuk tembaga = 0,0039 K-1 = beda temperatur diatas 20 0C

Wisseman (1989) memberikan hubungan yang lebih lengkap sebagai :

)1( 2202020 dimana:

20 = 0,0170 mm2/ m20 = 4,3 10-3 K-120 = 0,6 10-6 K-2untuk membandingkan dua hubungan secara grafik, antara 200C dengan

1000C, kita buat plot sebagai berikut:

>> rho = 0.0178; alpha = 0.0039;

>> theta = 20: 0.5 :100;

9>> delta = theta 20;

>> rho1 = rho*(1 + alpha*delta);

>> rho_20 = 0.017; alpha_20 = 0.0043; beta_20 = 0.6*10^(-6);

>> rho2 = rho_20*(1 + alpha_20*delta + beta_20*delta.^2);

>> plot(theta, rho1, theta, rho2)

>> xlabel(Temperatur, derajad Celcius)

>> ylabel(Resistivitas, ohm*mm^2/m)

5. Rangkaian diode

Gambar diatas menunjukkan sebuah rangkaian DC berisi sumber tegangan,

resistor dan sebuah diode semikonduktor . Jika tegangan ujung-ujung diode

adalah v, maka arus yang melewati nya dinyatakan

)1( 400 veIidimana I0 adalah arus jenuh balik. Untuk nilai v kecil dan negatif, berlaku i -I0. Persamaan diatas adalah nonlinear, untuk sebuah tegangan negatif yang

besar, akan diperoleh tegangan dadal. Karateristik i v dari diode dapat

dilukiskan sebagai berikut:

>> Io = 1.0e-6;

>> v =-0.05: 0.005: 0.05;

>> i = Io*(exp(40*v) 1);

>> plot(v, i)

>> title(Karakteristik diode semikonduktor)

>> xlabel(Karakteristik Diode Semi Konduktor)

i

v

2k

Vs = 10 V i

10

6. Dalam rangkaian penyearah, sumber tegangan Vs berupa sumber

tegangan AC dengan frekwensi 50 Hz, tegangan di hambatan R yaitu

)502sin(4.0 tv untuk membuat plot grafik hasil penyearahan, dilakukansebagai berikut

>> Io = 1.0e-6;

>> t = 0: 0.0001 : 0.05;

>> v = 0.4*sin(2*pi*50*t);

>> i = Io*(exp(40*v) - 1);

>> plot(t, i), grid

>> title(Rangkaian Diode sebagai Penyearah Setengah Gelombang)

>> xlabel(Waktu, s), ylabel(Arus, mA)

TUGAS MANDIRI

Kerjakan soal-soal berikut menggunakan perintah-perintah MATLAB

a. Sebuah rangkaian tertutup DC terdiri dari dua sumber tegangan dan tiga

resistansi. Tentukan besar arus I1 , I2 dan I3

Rivsv

8 412V 6V

I2I1

I3

10

11

b. Dua vektor yaitu kjiA 24 dan kjiB 44 tegak lurus satu samalain. Carilah besar sudut antara vektor tersebut.

c. Hitunglah skala temperatur dari 50,-25,...,200 0C ke dalam skala derajad

Fahrenheit

d. Hitunglah dan buatlah plot dari persamaan-persamaan berikut

1. y = 1 3x + 5x2 x3 ; pada -5 x 52. y = 2)1( x

x; pada -5 x 5

3. y = cos x + 2 sin2 x ; pada - x

12

MODUL 2

SCRIPT DAN FUCNTION M-FILE

1. TUJUAN

a. Membuat script M-file

b. Membuat function file atau file fungsi

c. Menggunakan For-Loops dalam permograman

d. Menggunakan While-Loops dalam permograman

e. Menggunakan kosntruksi IF-ELSE-END dalam permograman

f. Mengenal operator-operator logika dan relasi

2. PELAKSANAAN KOMPUTASI

a. Function M-file

Tulis dan simpanlah file berikut dengan nama rata2.m dengan MATLAB

editor:

Function y = rata2(x)

% rata2.m

% fungsi untuk menghitung rata-rata

% data masukan x berbentuk vektor baris atau kolom

[m,n] = size(x);

if m==1 & n>=1

y = sum(x)/n;

elseif m>=1 & n==1

y = sum(x)/m;

else

error('masukan harus vektor baris atau kolom')

end

13

Kerjakan contoh-contoh berikut ini:

>>p = [65 78 98 76 54 49]

>>nilai_rata2 = rata2(p)

Selanjutnya coba:

>>q = [65; 78; 98; 76; 54; 49]

>>nilai_rata2 = rata2(q)

Evaluasi dengan statemen-statemen berikut

>>h = rand(4,2)

>>nilai_rata2 = rata2(h)

Tulislah dan simpanlah file fungsi berikut dengan nama radian.m dengan

MATLAB editor

Function y = radian(x)

% derajad.m

% untuk mengubah satuan sudut dari derajad ke radian

y = x*(pi/180);

Kerjakan dan ekskusi statemen-statemen berikut:

>> alpha = linspace(0, 180, 18); % dalam derajad

>> alpha = radian(alpha); % dalam satuan radian

b. Script M-file.

Ketikan statemen-statemen dan perintah-perintah berikut pada suatu

MATLAB editor simpan dengan nama file coba_21.m:

14

% coba_21.m

% Membandingkan plot resistivitas umum dengan

% resistivitas oleh Wisseman

rho = 0.0178; alpha = 0.0039;

theta = 20: 5 :100;

delta = theta - 20;

rho1 = rho*(1 + alpha*delta);

rho_20 = 0.017; alpha_20 = 0.0043; beta_20 = 0.6*10^(-6);

rho2 = rho_20*(1 + alpha_20*delta + beta_20*delta.^2);

plot(theta, rho1,'k^', theta, rho2,'k+')

title('Resistivitas Tembaga')

xlabel('Temperatur, (derajad Celcius)')

ylabel('Resistivitas, (ohm*mm^2/m)')

legend('\rho umum','\rho Wisseman')

Setelah file coba_21.m tersimpan dalam ruang kerja MATLAB, cobalah

menjalankan program diatas pada MATLAB prompt, dengan mengetik

nama program yaitu coba_21, bila hasil penulisan program diatas benar,

maka akan ditampilkan sebuah jendela (window) gambar dari MATLAB.

Kemudian kerjakan juga untuk file berikut ini, yaitu untuk menggambar

lintasan peluru yang ditembakkan dari bidang datar dalam benntuk

coba_22.m

% coba_22.m

% Program untuk membuat plot kedudukan peluru

% dengan masukan:

% vo = kecepatan awal (m/s), dalam bentuk skalar

% alpha = sudut elevasi (derajad), dalam bentuk skalar

% t = lama waktu (sekon), dalam bentuk vektor

15

clear all

g = 9.8; % percepatan gravitasi

vo = input(' kecepatan awal [m/s], misal 20 = ');

alpha = input(' sudut elevasi [derajad], misal 45 = ');

alpha = radian(alpha); % konversi radian ke satuan derajad

disp(' waktu tembak tulis dalam bentuk vektor, misal [0:.1:5]')

t_tembak = input(' waktu tembak [atau tekan Enter saja] = ');

disp(' ---------------------------------------------')

if isempty(t_tembak) == 1

t_datar = (2*vo*sin(alpha))/g; % t sampai di bidang datar

t = [0:.1:t_datar];

disp(' Peluru akan jatuh dibidang datar')

disp(' tekan Enter untuk melihat lintasan peluru')

pause

disp(' ------------------------------')

disp(' Peluru sampai di bidang datar')

else isempty(t_tembak) ~= 1;

t = t_tembak;

disp('

==========================================')

disp(' Belum diketahui lokasi peluru terakhir !!!')

disp(' peluru jatuh dibawah bidang datar')

disp(' tekan Enter untuk melihat lintasan peluru')

pause

end

% kedudukan mendatar peluru

16

xt = vo*cos(alpha)*t;

% kedudukan vertikal peluru

yt = (vo*sin(alpha)*t - 0.5*g*t.^2)+eps;

% plot kedudukan peluru

clf

plot(xt,yt)

title('Lintasan Peluru','Fontw','b','Fontsize',12)

xlabel('xt (gerak mendatar), meter')

ylabel('yt (gerak vertikal), meter')

Setelah file coba_22.m tersimpan, coba mengekskusi pada MATLAB prompt

dengan cara mengetik coba_22 dan tekan Enter.

Tulislah file berikut dan simpan dalam coba_23.m, file ini dibuat untuk

meggambarkan beberapa Hampiran Fourier dari gelombang persegi pada

suku ke n (bandingkan hasilnya dengan komputasi pada Modul 1)

% coba_23.m

% clear all

t = -2 : 0.05 : 2;

omega = 2*pi;

n = input('banyaknya suku : ');

nt = length(t);

k=0;

x = zeros(n, nt);

for i = 1:n

17

x(i,:) =(4*((-1)^(k))*cos(omega*(2*k+1)*t))/(2*k+1);

k = k + 1;

end

xt = sum(x);

plot(t, xt), grid % perintah plot dan tampilkan grid

title(['Hampiran Fourier Gelombang Persegi, n='num2str(n)])

xlabel('t','Fontw','b','Fontsize',14)

ylabel('x(t)','Fontw','b','Fontsize',14)

Setelah file coba_23.m terbentuk cobalah mengekskusi pada MATLAB

prompt , gantilah n dengan 3 dan seterusnya (misal: n = 100).

Tulislah sebuah file dengan nama coba_24.m untuk statemen-statemen

dalam box berikut ini. File coba_24.m dipakai untuk menghitung nilai eps,

yaitu bilangan positip terkecil pada Program MATLAB:

% coba_24.m

%

num=0; EPS=1;

while (1+EPS)>1

EPS = EPS/2;

num= num+1;

end

eps = 2*EPS;

disp([' eps=' num2str(eps)])

18

3. TUGAS LABORATORIUM

Tuliskan program-program dari a sampai c dibawah ini pada kertas

folio bergaris dan kumpulkan sebelum melakukan praktikum. Buatlah

1 copy untuk praktikum (melakukan komputasi di LAB):

a. Buatlah sebuah fungsi MATLAB untuk membuat konversi suhu dari derajad

Celcius menjadi Fahrenheit.

b. Buatlah sebuah script MATLAB untuk menggambar lintasan peluru di bidang

miring. Dalam program ini, besar kecepatan awal (m/s), sudut tembak

alpha (derajad), dan sudut kemiringan bidang beta (derajad), dimasukkan

melalui keyboard.

c. Buatlah sebuah script MATLAB untuk membuat plot sejumlah n-suku dari

hampiran fourier sebuah pulsa persegi dengan persamaan deret Fourier:

0 12

))12cos(()1(4)(n

k

ktkk

tu

, Catatan: k adalah

konstanta

4. TUGAS MANDIRI

Tuliskan program-program soal a sampai d dibawah ini pada kertas folio

bergaris dan kumpulkan saat Praktikum Modul 3

a. Tuliskan sebuah script M-file untuk menggambarkan lintasan gerak peluru

pada bidang datar dan gerak peluru pada bidang miring. Gunakan

pengendali aliran (control flow), operator logika dan operator relasi untuk

mengadakan pilihan-pilihan jenis gerak peluru, misalnya gerak peluru pada

bidang datar atau gerak peluru pada bidang miring. Semua konstanta dan

variabel harus dimasukkan melalui keyboard. Pada program ini, boleh

ditambahkan penghitungan waktu-waktu khusus, misalnya waktu di

19

puncak, dan waktu untuk sampai di tanah, tinggi maksimum, jauh

tembakan maksimum. Catatan: gunakan satuan SI untuk semua besaran

dan manfaatkan fungsi MATLAB untuk mengubah satuan sudut dari derajad

ke radian.

b. Tuliskan sebuah fungsi MATLAB untuk menghitung besar pergeseran sinar

yang melewati kaca plan paralel.

c. Tulislah sebuah fungsi untuk menghitung nilai masukan (x) yang

menghasilkan keluaran y dari persamaan berikut

2122 xcey x

jika c = 2.

d. Tulislah fungsi untuk suatu temperatur T pada titik (x,y) dengan persamaan

berikut

222),( yxyxT

20

MODUL 3

KURVA FITTING DAN INTERPOLASI

1. TUJUAN KOMPUTASI

a. Mengenal perintah-perintah MATLAB untuk polinom

b. Mengenal integrasi polinom

c. Mempelajari interpolasi satu dan dua dimensi dengan MATLAB

2. PELAKSANAAN KOMPUTASI

a. Mencari akar polinom

Perintah-perintah MATLAB untuk mencari akar suatu polinom adalah roots

Contoh: mencari akar suatu polynom 542 223 xxxyLakukan komputasi berikut pada MATLAB prompt:

>> p = [ 2 1 4 5 ] % p adalah koefisien polinom

>> r = roots(p) % r adalah akar-akar polinom

Bila akar-akar polinom diketahui, untuk mencari koefisien polinom dapat

digunakan perintah poly:

Lakukan komputasi berikut pada MATLAB prompt:

>> poly(r) % mencari akar-akar polinom

Sebuah polinom dapat dievaluasi dengan perintah polyval, contoh untuk

mengevaluasi 1273 234 xxxxy untuk y(2,5)

Lakukan komputasi berikut pada MATLAB prompt:

c = [3, -7, 2, 1, 1]; % kofisien-koefisien suatu polinom

xi = 2.5; % nilai absis untuk menguji polinom y

yi = polyval(c, xi) % mengevaluasi polinom yi pada xi=2.5

21

b. Penyesuaian polinom

Untuk melakukan komputasi penyesuaian polinom atau polinomial fitting,

berikut ini ada contoh suatu set data:

x 1,1 2,3 3,9 5,1

y 3,887 4,276 4,651 2,117

Cobalah komputasi berikut pada MATLAB prompt:

x = [1.1 2.3 3.9 5.1];

y = [3.887 4.276 4.651 2.117];

a = polyfit(x,y,length(x)-1)

a =

-0.2015 1.4385 -2.7477 5.4370

dari operasi diatas, diperoleh koefisien-koefisien polinom, argumen ke tiga

dari perintah polyfit yaitu length(x)-1 menyatakan orde dari polinom.

Karena orde polinom sama dengan jumlah data minus satu. Polinom ditulis

sebagai:

4370,57477,24385,12015,0 23 xxxy (1)

untuk mengevaluasi polinom diatas pada sebuah vektor absis xi bisa

dilakukan komputasi berikut:

>> yi = polyval(a, xi)

c. Mencari integral polinom dengan fungsi

Untuk memperoleh integral dari polinom pada persamaan (1), buatlah

sebuah file fungsi poly_itg.m berikut:

22

function py = poly_itg(p)n=length(p);py = [p.*[n:-1:1].^(-1),0];

Kemudian lakukan komputasi sebagai berikut:

>> d = poly_itg(a)

(dalam komputasi diatas a adalah variabel dari komputasi b.)

Dari komputasi diatas akan diperoleh sebuah vektor yang merupakan

koefisien dari polinom Y yang secara analitik dinyatakan:

212211

2...

1 nnnnn ccxcxncxncydxY (2)

sehingga berupa

],...,,1

[ 121 ncnc

n

cd

d. Mencari turunan polinom

Selanjutnya untuk mencari turunan dari Y dapat digunakan perintah

polyder dengan komputasi sebagai berikut:

>> b = polyder(a)

(dalam komputasi diatas a adalah variabel dari komputasi b.)

Sehingga b akan berupa vektor

],...,)1(,[ 21 nccnncb untuk nccc ,...,, 21 koefisien-koefisien polinom

23

e. Integrasi menggunakan fungsi internal MATLAB

Pada contoh diatas, telah dilkukan integrasi secara analitik menggunakan

fungsi eksternal poly_itg.m. Integrasi juga bisa dilakukan dengan

menggunakan fungsi internal (fungsi yang tersedia dalam MATLAB), yaitu

dengan fungsi quad.m yang berfungsi mengevaluasi integral secara

numerik. Metode integrasi numerik akan dipelajari di kuliah Fisika

Komputasi. Dalam integrasi menggunakan perintah quad ini, identik

dengan integral tertentu.

Lakukanlah komputasi untuk mengevaluasi fungsi sinus pada batas-

batas 0 sampai /4.:

f='sin';

Y = quad(f,0,pi/4)

f. Mencari integral fungsi buatan sendiri

Bila kita mempunyai suatu fungsi, misalnya 123 2 xxy untuk dicari nilaiintegral-nya pada batas bawah 0 x 5, maka perlu dibuatkan fungsinyadalam file fungsi (function) sebagai

Selanjutnya lakukan komputasi berikut

f = 'kwadrat_1'

Y = quad(f,0,5)

function y = kwadrat_1(x)

y = 3*x^2 + 2*x + 1;

24

cobalah dengan perintah quad8

f = 'kwadrat_1'

Y = quad8(f,0,5)

Integrasi menggunakan fungsi trapz, contoh: mencari nilai integral

123 2 xxy pada 0 x 5 :

Kerjakan komputasi berikut

x = 0:.2:5;

f = kwadrat_1(x);

Y = trapz(x,f)

g. Interpolasi satu dimensi

Untuk melakukan interpolasi pada suatu titik-titik data, MATLAB

menyediakan perintah interp1, berikut ini terdapat data-data temperatur

dan

tempra = [5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24]; % temperatur

jam = 1:12; % jam 1 sampai 12

plot(jam, tempra, jam, tempra,'+')

Jika ingin mengetahui berapa temperatur pada jam 9,3? Maka dapat

dilakukan komputasi sebagai berikut:

t=interp1(jam, tempra, 9.3)% perkiraan temperatur, jam 9.3

untuk mengetahui temperatur pada jam 4,7

t=interp1(jam, tempra, 4.7)% perkiraan temperatur, jam 4.7

Temperatur pada jam-jam : 3,2; 6,5; 7,1; 11,7 diperoleh dengan

Komputasi:

>> t = interp1(jam, tempra, [3.2 6.5 7.1 11.7])

25

Cara interpolasi diatas dekenal dengan nama interpolasi linier

Untuk memperoleh kurva penghubung data-data yang lebih halus,

dilakukan komputasi berikut

>> t = interp1(jam, tempra, 9.3, 'spline')

>> t = interp1(jam, tempra, 4.7, 'spline')

>> t = interp1(jam, tempra, [3.2 6.5 7.1 11.7], 'spline')

Cara interpolasi diatas disebut cubic splines, atau disebut splines saja

Pemakaian interpolasi spline yang paling umum adalah untuk memperhalus

data. Berdasarkan data-data diatas dapat dilakukan interpolasi spline untuk

mengevaluasi pada data pada interval yang lebih halus, contoh:

h = 1:0.1:12; % estimasi temperatur tiap 1/10 jam

t = interp1(jam, tempra, h, 'spline') ;

plot(jam, tempra,'--',jam,tempra,'y+',h,t)

title('Temperatur Kota Springflied')

xlabel('Jam')

ylabel('Temperatur')

Jika kita memakai waktu pada hari, contoh dari jam 7:00 pagi sampai jam

6:00 petang, maka dapat dibuat variabel waktu dengan cara:

jam = [7:12 1:6]

h. Interpolasi dua dimensi

Dibawah ini adalah temperatur sebuah pan (alat masak pizza) dengan

sebaran suhu terbagi dalam grid 3 kali 5, untuk mengetahui sebaran

temperatur pada pan

26

Buatlah file berikut dan simpan dalam t_dalam.m untuk menganalisa

temperatur pan pada setengah kedalaman di sepanjang lebar pan.

Buatlah file berikut dan simpan dalam t_lebar.m untuk menganalisa

temperatur pan pada setengah kedalaman di sepanjang lebar pan.

% t_dalam.m% menganalisa data uji% irisan pan pada setengah kedalaman

lebar = 1:5; % lebar pandalam = 1:3; % kedalaman pantempra = [82,81,80,82,84;79,63,61,65,81;84,84,82,85,86];

li=1:0.2:5; % memilih resolusi lebard=2; % pusat pan;

zl=interp2(lebar,dalam,tempra,li,d); % interpolasi linierzc=interp2(lebar,dalam,tempra,li,d,'cubic'); % interpolasi cubic

plot(li, zl, '--',li,zc) % plot linier dan cubicxlabel('Lebar Pan')ylabel('Derajad Celcius')title('Temperatur Pan di Kedalaman = 2')

27

Buatlah file berikut dan simpan dalam s_pan.m untuk melihat temperatur

pan keseluruhan

3. TUGAS LABORATORIUM

Tuliskan script file dari a sampai e dibawah ini pada kertas folio bergaris dan

kumpulkan sebelum melakukan praktikum. Buatlah 1 copy untuk praktikum

(melakukan komputasi di LAB):

a. Dua sifat bahan dari gas karbon monoksida diberikan pada tabel berikut ini

T Beta Alpha

300

400

500

600

3.33e3

2.50e3

2.00e3

1.67e3

0.2128e4

0.3605e4

0.5324e4

0.7190e4

T temperatur dalam Kelvin, Beta adalah Koefisien ekspansi thermal dalam

1/Kelvin dan Alpha adalah diffusifitas thermal dalam (m2/s). Tulislah sebuah

script untuk mencari Beta dan Alpha pada T=321,440 dan 571.

% t_lebar.m% Menganalisa data uji .% Irisan pan pada setengah lebar dan% melihat pada sepanjang kedalaman

lebar = 1:5; % lebar pandalam = 1:3; % kedalaman pantempra = [82,81,80,82,84;79,63,61,65,81;84,84,82,85,86];

di=1:0.2:3; % memilih resolusi kedalamanl=3; % pusat pan;

zl=interp2(lebar,dalam,tempra,l,di); % interpolasi linierzc=interp2(lebar,dalam,tempra,l,di,'cubic'); % interpolasi cubic

plot(di, zl, '--',di,zc) % plot linier dan cubicxlabel('Kedalaman Pan')ylabel('Derajad Celcius')title('Temperatur pada lebar = 3')

28

b. Sebuah relasi fungsi y=y(x) disajikan dalam tabel berikut

x y

0

0.25

0.50

0.75

1.00

0.9162

0.8109

0.6931

0.5596

0.4055

Tulis sebuah script file untuk mencari nilai x yang memenuhiy = 0.9, 0.7,

0.6 dan 0.5.

c. Satu set empat titik-titik data

x = [1.1, 2.3, 3.9, 5.1]

y = [3.887, 4.276, 4.651, 2.117]

Tulis sebuah script untuk mencari koefisien-koefisien polinom interpolasi

yang cocok dengan data. Kemudian tentukan nilai y pada x=2.101 dan

4.234. Buatlah plot polinom yang diperoleh pada titik-titik data yang

tersedia.

d. Ubahlah polynom berikut deret pangkat menggunakan polyfit:

)105)(2.75)(1.65)(45)(5.25)(15()10)(2.7)(1.6)(4)(5.2)(1()(

xxxxxxxv

e. Tulislah sebuah program untuk mengevaluasi interpolasi Lagrange untuk y

= x cos(x) dalam 0 x 2 dengan 6 titik grid berjarak sama dengan h =0.4

29

4. TUGAS MANDIRI

Tabel dibawah ini menyajikan data phase air laut pada muka bumi, X = garis

lintang, Y = garis bujur, dan P =phase air semua dalam satuan derajad. Tulislah

sebuah file untuk membuat Plot 3 dimensi dan contour phase air data berikut

dengan memanfaatkan perintah interpolasi 2 dimensi.

X Y P

26.0000 119.500 352.87463126322

26.0000 120.000 85.342163854390

26.0000 120.500 80.489212407950

26.0000 121.000 73.377370139292

26.0000 121.500 55.761503163701

26.0000 122.000 19.666336954414

26.0000 122.500 350.48685956113

26.0000 123.000 334.62278496753

26.0000 123.500 325.14340492545

26.0000 124.000 317.93898063464

26.0000 124.500 312.34154311331

26.0000 125.000 309.55553073664

26.0000 125.500 307.79123718835

30

MODUL 4

PLOT 2-DIMENSI DAN 3 DIMENSI

1. PENGANTAR

Pada praktikum sebelumnya, telah digunakan perintah plot untuk membuat

grafik dua dimensi, yaitu melukiskan dua buah array yang ukurannya sama. Untuk

menggambar grafik tiga dimensi, MATLAB menyediakan beberapa perintah untuk

membuat grafik dua dimensi. Untuk membuat grafik tiga dimensi, diperlukan tiga

buah array dua dimensi atau matriks.

Perintah-perintah tambahan dalam grafik 2 dan 3 dimensi, yaitu perintah

untuk membuat beberapa gambar (sub-sub gambar) dalam satu jendela gambar,

gambar seperti sering diperlukan jika kita ingin membandikan dua buah grafik,

misalnya grafik fungsi sinus dengan grafik fungsi cosinus. Untuk mengetahui atau

mengenali suatu plot fungsi dalam satu jendela gambar yang terdiri beberapa plot

fungsi, maka diperlukan teks untuk memberi nama, untuk ini MATLAB

menyediakan.

2. TUJUAN

a. Mengenal plot dua dimensi

b. Mengenal plot tiga dimensi

3. KOMPUTASI

a. Plot dua dimensi

Tulis dan simpan statemen-statemen berikut pada MATLAB editor dengan

nama file coba_31.m. Kemudian ekskusi pada MATLAB prompt untuk

melihat hasilnya, jika penulias benar maka akan ditampilkan 4 buah grafik

dalam sebuah jendela gambar:

31

% coba_31.m

clf

x = linspace(0, 2*pi, 50);

y = sin(x);

z = cos(x);

a = 2*sin(x).*cos(x);

b = sin(x)./cos(x)+eps;

subplot(2, 2, 1)

plot(x,y), axis([0 2*pi -1 1]), title('sin(x)')

subplot(2, 2, 2)

plot(x,z), axis([0 2*pi -1 1]), title('cos(x)')

subplot(2, 2, 3)

plot(x,a), axis([0 2*pi -1 1]), title('2sin(x)cos(x)')

subplot(2, 2, 4)

plot(x,b), axis([0 2*pi -30 30]), title('sin(x)/cos(x)')

Tulislah dan simpan statemen-statemen pada kotak berikut dalam file

coba_32.m kemudian ekskusi coba_32 untuk melihat hasilnya.

File berikut memanfaatkan operator relasi untuk mengubah nilai variabel.

% coba_32.m

x = linspace(0, 10, 100); % membuat data

y = sin(x); % menghitung sinus

z = (y>=0).*y; % mengatur nilai-nilai negatif sinus menjadi nol

z = z + 0.5*(y

32

b. Plot tiga dimensi

Pada perkenalakan perintah mesh, dimana MATLAB mendefinisikan sebuah

permukaan jaring (mesh surface) dengan koordinat z dari titik-titik diatas

kisi atau grid persegi panjang dalam bidang x-y.

Kerjakan perintah berikut pada MATLAB prompt:

x=-7.5:.5:7.5;

y=x;

[X,Y]=meshgrid(x,y);

R=sqrt(X.^2 + Y.^2)+eps;

Z=sin(R)./R;

mesh(X,Y,Z)

Tulis dan simpan statemen-statemen berikut pada MATLAB editor dengan

nama file coba_33.m. Kemudian ekskusi pada MATLAB prompt untuk

melihat hasilnya, jika penulias benar maka akan ditampilkan 4 buah grafik

dalam sebuah jendela gambar:

% coba_33.m%clfx = linspace(0, 2*pi, 50);y = sin(x);z = cos(x);a = 2*sin(x).*cos(x);b = sin(x)./cos(x)+eps;subplot(2, 2, 1)plot(x,y), axis([0 2*pi -1 1]), title('sin(x)')subplot(2, 2, 2)plot(x,z), axis([0 2*pi -1 1]), title('cos(x)')subplot(2, 2, 3)plot(x,a), axis([0 2*pi -1 1]), title('2sin(x)cos(x)')subplot(2, 2, 4)plot(x,b), axis([0 2*pi -30 30]), title('sin(x)/cos(x)')

Tulislah dan simpan statemen-statemen pada kotak berikut dalam file

coba_32.m kemudian ekskusi coba_32 untuk melihat hasilnya.

33

File berikut memanfaatkan operator relasi untuk mengubah nilai variabel.

% coba_32.m

x = linspace(0, 10, 100); % membuat data

y = sin(x); % menghitung sinus

z = (y>=0).*y; % mengatur nilai-nilai negatif sinus menjadi nol

z = z + 0.5*(y