Pengenalan Deret Fourier

8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier

1/42

MAKALAH PRESENTASI

diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Mata Kuliah Persamaan Diferensial Parsial

Dosen Pengampu : Dr. H. Endang Cahya Mulyaning A., M.Si.

disusun oleh :

Sahat P. Nainggolan 1102359

Asep Egi Kurniawan 1102060

Rakhmat Nurul Hakim 1102486

Muhammad Rifqy A 1105136

Naro Cahya 1102379

Imam Maliki 1103934

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKAFAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

BANDUNG

2014


2/42

Nama : Sahat P Nainggolan

NIM : 1102359

8. Pengenalan Deret Fourier

Misal adalah fungsi satu variabel yang terdefinisi pada interval tutup , . Kitatertarik pada masalah yang mewakili f dalam bentuk deret trigonometri yaitu sebagai berikut :

(8.1) Beberapa pertanyaan yang akan kita coba buktikan berkaitan dengan hal itu ialah :

(a) Untuk apa fungsi diwakili oleh persamaan (8.1) , mungkinkah?(b) Dalam pengertian seperti apa hasil representasi itu valid artinya bagaimana deret tersebutkonvergen ke ?

(c) Bagaimana menghitung koefisien deret ?

Pertanyaan yang akan dijawab terlebih dahulu yaitu pertanyaan terakhir. Asumsikan bahwa

representasi (8.1) adalah valid/benar dan konvergen seragam ke pada interval , .Dibutuhkan formula yang dapat dibuktikan secara mudah dengan menggunakan identitastrigonometri dasar (perhatikan problem 8.1).

Rumus identitas trigonometri dasar nya yaitu :

, -

, -

, - , -


3/42

Untuk setiap bilangan bulat positif dan , maka :

, , - , - , -

Maka (8.2)

, -

Karena dan adalah bilangan bulat positif, maka

merupakan bilangan bulat positif juga.Akibatnya, , .Oleh karena itu, Demikian juga dengan , , Karena dan adalah bilangan bulat positif, maka

merupakan bilangan bulat positif juga.Akibatnya, , .Oleh karena itu, dapat disimpulkan : , if

dan

(8.3) , Akan dibuktikan bahwa persamaan (8.3) adalah benar.

, , -= , -


4/42

Kita tahu dari persamaan yang diatas bahwa : , maka Jadi, hanyalah yang tinggal adalah : , -( ) .Jelaslah bahwa persamaan (8.3) adalah benar.

Dengan cara yang sama, maka dengan .Persamaan diatas telah dibuktikan. Selanjutnya berkaitan dengan pertanyaan diawal, maka yang

harus kita buktikan sesuai persamaan diatas adalah : menghitung nilai koefisien .

Dengan cara : kalikan kedua ruas pada persamaan (8.1) oleh dan hitung integralnya pada

interval , ]. Setelah mengganti penjumlahan dan integrasinya ( dimana hal ini dapatdilakukan karena asumsi awal yaitu kekonvergenan seragam dari deret tersebut) , maka diperoleh:

Dengan menggunakan persamaan yang kita ketahui, berdasarkan formula (8.2) , semua akan nol

kecuali suku pada sisi kanan dari persamaan diatas serta dengan mensubstitusikan

sehingga :

(8.4) Dengan menggunakan persamaan (8.3) , diperoleh formula untuk sedemikian

sehingga :

(8.5) Jika disubstitusikan , diperoleh :


5/42

(8.6) Oleh karena itu, dapatlah ditulis :

(8.7) ( Faktor digunakan pada suku konstan dari (8.1) adalah untuk membuktikan formula (8.5)valid untuk setiap , termasuk ketika

Dengan cara yang sama, maka akan diperoleh rumus untuk koefisien , kita kalikankedua sisi dari (8.1) dengan dan diproses sebagaimana kita melakukan untuk memperoleh

koefisien akibatnya diperoleh :

Dengan menggunakan persamaan yang kita ketahui, berdasarkan formula (8.2) , semua akan nol

kecuali suku pada sisi kanan dari persamaan diatas serta dengan mensubstitusikan

sehingga :

Dengan menggunakan persamaan (8.3) , diperoleh formula untuk , sedemikian

sehingga :

Jika disubstitusikan k=0, diperoleh :


6/42

Oleh karena itu, dapatlah ditulis :

(8.8) Telah ditunjukkan sejauh ini bahwa jika representasi (8.1) valid dan deret nya konvergenseragam ke pada interval , -, maka koefisien-koefisien deretnya haruslah seperti yangdiberikan oleh persamaan (8.5) dan (8.8). Tetapi rumus tersebut dapat digunakan untuk

menghitung koefisien a n , b n terlepas dari apakah representasi (8.1) valid atau tidak. Itu hanya

syarat perlu untuk fungsi sedemikian sehingga integral pada (8.5) dan (8.8) memiliki nilai/ada.Sebuah fungsi kelas besar memiliki nilai integral yang termuat dari fungsi kontinu bagian demi

bagian pada interval , -. Kira-kira, sebuah fungsi dapat dikatakan kontinu bagian demi bagian pada interval , - jika fungsinya kontinu pada , - kecuali mungkin pada nilai batasdari titik- titik dimana mungkin menjadikan fungsi itu memiliki finite jumps. Lebih tepatnya

kita memiliki definisi berikut :

Definisi 8.1 Misal fungsi yang terdefinisi dan kontinu pada setiap titik pada interval, -kecuali mungkin pada titik-titik ujungnya dan pada titik-titik batas interiornyadimana :

(8.9)

Lebih jauh lagi, andaikan mencapai titik-titik ujung dari setiap subintervalnya :

(8.10)

dari interior, fungsi mempunyai limit terbatas. Maka dikatakan kontinu bagian demi bagian pada interval

, -.

Kita menekankan bahwa dalam Definisi (8.1), fungsi diasumsikan kontinu pada setiapsubinterval (8.10) , akan tetapi fungsi mungkin terdefinisi atau mungkin tidak terdefinisi padatitik ujung (8.9). Namun, setiap limit satu pihak harus ada (dan terbatas) yaitu :

(8.11)


7/42

(8.12) Limit dalam (8.11) di katakan limit dari kanan dan pada (8.12) limit dari kiri. Integral atas, -

ada dan sama dengan jumlah integral dari setiap subinterval (8.10) :

Catatan : Fungsi kontinu adalah kasus khusus dari fungsi kontinu bagian demi bagian.

Jika fungsi kontinu bagian demi bagian pada interval , -, maka untuk setiap n = 0, 1, 2, , fungsi dan juga merupakan fungsi kontinu bagian demi bagian pada, -

, dan integral pada (8.5) dan (8.8) ada. Oleh karena itu, untuk setiap fungsi

yang

kontinu bagian demi bagian pada , -, kita dapat secara formal mendefinisikan derettrigonometri dengan koefisien yang diberikan oleh (8.5) dan (8.8).Defini si 8.2 Misal fungsi yang kontinu bagian demi bagian pada interval , . Derettrigonometri:

(8.13) ,dengan

(8.14) (8.13) disebut deret fourier yang terasosiasi dengan dan (8.14) koefisien an , b n disebutkoefisien fourier dari .Catatan : Karena

diasumsikan fungsi yang terdefinisi kontinu bagian demi bagian pada interval

, -, koefisien fourier dari unik bahkan ketika tidak terdefinisi pada titik-titik/batasintervalnya. Atau secara faktanya dalam mengerjakan soal , nilai dapat diganti oleh bilangan berhingga tanpa mempengaruhi nilai koefisien fourier dari fungsi .


8/42

Contoh 8.1 :

Misalkan diberikan fungsi berikut :

(8.15) 2 Diketahui fungsi ini adalah kontinu pada setiap interval dan , dan , , ,

.Oleh karena itu, merupakan fungsi yang kontinu bagian demi bagian pada , -.Akan dicari deret fouriernya.

0 1 ,

0 1 , Maka, deret fourier terasosiasi dengan fungsi persamaan (8.15) adalah :(8.16) , - Jika kita cari sukunya untuk , maka deretnya menjadi :


9/42

Contoh (8.2):

Misal diberikan fungsi yang didefinisikan sebagai berikut :

(8.17) || , Diketahui fungsi ini adalah kontinu pada setiap interval dan

, Oleh karena itu, fungsi .

Akan dicari koefisien deret fouriernya :

0 1 0 1 ,

(Berdasarkan teorema dalam kalkulus : Misal fungsi yang kontinu pada interval , dan fungsi ganjil, maka . Oleh karena itu dapat ditulismenjadi untuk .)Akibatnya deret fourier terasosiasi berkaitan dengan fungsi || adalah :(8.18)


10/42

Dan apabila kita substitusikan maka diperoleh :

Contoh (8.3):

Misal diberikan fungsi yang didefinisikan sebagai berikut :(8.19) Diketahui fungsi ini adalah kontinu pada setiap interval dan

, Oleh karena itu, fungsi .

Akan dicari koefisien deret fouriernya :

0 1= 0 , Berdasarkan teorema dalam kalkulus yang berbunyi : Misal fungsi yang kontinu pada interval, - dan fungsi ganjil, maka . Oleh karena itu dapat ditulis menjadi , .

Jadi, deret Fourier terasosiasi berkaitan dengan fungsi adalah :(8.20)


11/42

Jika kita ambil suku nya dengan , maka diperoleh :

Contoh (8.4):

Misal diberikan fungsi :

Carilah deret fourier terasosiasi dari fungsi diatas !

Diketahui deret fourier terasosiasi dengan adalah :

Dengan koefisien deret fourier adalah :

Maka, . Kita ketahui bahwa merupakan fungsi yang kontinu padainterval

, - dan fungsi ganjil karena :

. Maka, berdasarkan

teorema dalam kalkulus yang berbunyi : Misal fungsi yang kontinu pada interval , dan fungsi ganjil, maka . Oleh karena itu .Akan dicari koefisien dan .

Diketahui adalah fungsi ganjil, maka untuk setiap Kita tahu bahwa

adalah fungsi ganjil dan adalah fungsi genap, karena misalkan

, maka . Berdasarkan teorema dalam kalkulus yang berbunyi : Misal fungsi yangkontinu pada interval , - dan fungsi ganjil, maka . Oleh karena itu dapat ditulis menjadi , .Maka, yang akan dicari adalah koefisien .


12/42

Kita tahu bahwa , maka yang tinggal kita hitung adalah :

Integral diatas, dapat diselesaikan menggunakan integral parsial.

Misal : *, - +

*6 7 + Misal : , sehingga menjadi : *6 7 +

**6 7 *, - Misal : , sehingga menjadi :

**6 7 *, -

*6 7 *, - , , *6 7 *, - , ,

Sementara kita tahu bahwa : * Akibatnya yang tinggal kita hitung adalah :

*6 7 *, - , , Dengan batas , maka diperoleh :

*6 7 *, - ,


13/42

*6, -7 *, - , Karena dan maka diperoleh:

* 6, -7 *0 0 13+ * 6, -7 + * - + 2 3 } } }

Dengan begitu diperoleh : } Maka deret fourier terasosiasi dengan adalah :

* + Contoh 8.2 dan 8.3 menggambarkan dua aturan umum tentang deret fourier dari fungsi genap

dan ganjil. Fungsi dikatakan fungsi genap jika untuk semua x yang mana untuk adalah terdefinisi; dikatakan fungsi ganjil jika Fungsi (8.17) adalah genapdi dan deret fourier (8.18) hanya mempunyai suku-suku . Fungsi (8.19) adalahganjil di dan deret fourier (8.20) hanya mempunyai suku-suku . Secara umum,

dapatlah kita buktikan. Berikut ini lemma yang berkaitan dengan fungsi ganjil dan genap itu

yang secara umum, bukti yang tersisa untuk soal 8.4.


14/42

Nama : Asep Egi Kurniawan

NIM : 1102060

Lemma 8.1 . Diberikan sebuah kontinu bagian demi bagian di [ ]. Jika adalah fungsigenap, maka koefisien fouriernya diberikan oleh

Jika adalah fungsi ganjil, maka koefisien fouriernya diberikan oleh

Dengan demikian, deret fourier dari fungsi genap hanya mempunyai cosines ( genap )

persyaratan dan untuk alasan ini dikatakan deret cosin es four ier , sedangkan deret fourier dari

fungsi ganjil hanya memiliki sinus ( ganjil ) dan istilah itu disebut deret sin us four ier .

Bukti Lemma 8.1

Deret Cosines Fourier

6 7 6 7


15/42

Deret Sinus Fourier

6 7 6 7

Teorema 8.1. (teorema fourier) Misalkan bahwa fungsi dan turunannya adalah kontinu bagian demi bagian di [ ] dan bahwa adalah periodik dari periode . Kemudian dapatdiwakili oleh deret fourier (8.13) dengan koefisien yang diberikan oleh (8.14), dalam arti bahwa

setiap dimana adalah kontinu,

Dan pada setiap dimana loncatan dengan keadaan yang terputus, , -

Teorema 8.1 mensyaratkan bahwa halus bagian demi bagian di [ ] Setiap fungsi dalam contoh 8.1, 8.2, dan 8.3 adalah bagian demi bagian di

[ ].

Kesimpulan dari teorema 8.1 adalah bahwa deret fourier dari konvergen ke pada setiaptitik dimana adalah kontinu, sementara pada titik dimana memiliki sebuah loncatandiskontinu, deret fourier konvergen terhadap rata-rata batas dari kanan dan kiri. Dari definisi

kekontinuan, pada setiap titik dimana adalah kontinu, dan


16/42

karena itu ./, - , jadi bahwa (8.24) berlaku untuk setiap ,.

Sebuah pernyataan alternatif dari teorema 8.1, sebagai berikut: jika

adalah periodik dari

periode 2 dan halus bagian demi bagian di [- ,], maka deret fourier dari f konvergen ke

./, - , untuk setiap , .Jika fungsi didefinisikan hanya pada interval (- ,), teorema 8.1 dapat di aplikasikan pada

perluasan periodik dari .Sebagai contoh, secara perluasan periodik dari fungsi (8.15) dari contoh 8.1 didefinisikan oleh

Dan grafik yang di tunjukan pada gambar 8.1. karena f adalah halus bagian demi bagian di [- ,],

teorema 8.1 berlaku dan deret fourier (8.17) konvergen ke pada setiap titik dimana adalah kontinu, yaitu pada setiap titik

. Pada x = 0 seri konvergen ke

[ ], - Saat pada x = seri konvergen ke

[ ], -


17/42

Gambar 8.2(a) menunjukan grafik dari fungsi yang deret fourier (8.16) konvergen dari setiap x.

gambar 8.2(b) dan (c) menunjukan masing-masing grafik dari fungsi yang deret (8,18) dan (8.20)

dari contoh 8.2 dan 8.3 konvergen.

Corollary 8.1 . Misalkan halus bagian demi bagian pada interval [ ] maka dapatdirepresentasikan oleh deret Fourier

Dengan koefisien

Deret konvergen ke :

i)

di setiap titik interior dimana

kontinu;

ii) , - di setiap titik interior dimana memiliki jump diskontinu;daniii) , - di setiap batas titik dan


18/42

6

| |


19/42


20/42

i) di setiap titik interior dimana kontinu dan kedua deret konvergen ke ii) di setiap titik interior dimana mempunyai jump discontinuity, kedua deret

konvergen ke , - iii)

di deret consinus konvergen ke sementara deret sinus konvergen ke0iv) di deret consinus konvergen ke sementara deret sinus konvergen ke 0

Contoh 8.4

Fungsi ini halus bagian demi bagian pada

, -

Deret sinus Fourier:

Deret tersebut konvergen ke 1 untuk dan konvergen ke 0 untuk dan

sin nx =2


21/42

Nama : Muhammad Rifqy Agustian

NIM : 1105136

Lemma 8.2

Misalkan , -, dimana dan Maka, untu berlaku

| | | | Dimana adalah konstanta yang membatasi | | .

Lemma diatas menegaskan bahwa dibawah kondisi yang dinyatakan pada fungsi

,

koefisien fourier cendrung ke seperti . Anggap kondisi lemma diatas terpenuhi dengan

fungsi yang mana memiliki periode dan berada pada .Saat

| | | | | | Kecepatan dari konvergen darri suatu deret fourier bergantung pada kecepatan dari

kekonvergenan dari koefisien ke 0 sebagai .

Contoh bahwa fungsi

memenuhi kondisi dari lemma 8.2 dengan . Maka, berdasarkan

teorema 8.1

Untuk setiap . Lebih jauh, berdasarkan lemma 8.2

| | | | Saat deret konvergen. Berdasarkan Weistrass M-Test yaitu Jika suatu deretkonvergen

dari konstanta positif oleh karena itu

| | Untuk setiap n. maka


22/42

Konvergen seragam pada interval .

Artinya laju dari kekonvergenan menuju 0 dari sisa

Dengan adalah konvergen seragam pada interval , - lebih tepatnya jika diberikan yang mana bergantung pada tapi tidak pada . Sedemikian sehingga| | Diatas adalah definisi kekonvergenan seragam.

Teorema 8.2

Misalkan bahwa fungsi kontinu pada interval , -. Dimana dan bahwaturunan adalah kontinu bagian demi bagian pada , -. Maka deret fourierdirepresentasikan

Adalah konvergen mutlak dan konvergen seragam.

Bukti:

Dengan definisi kekonvergenan seragam bahwa sisa dari yaitu . Jadi untuk| | |

Dimana

Dan


23/42

Perhatikan

| | | | | | | | | | Ini berarti jika dikembalikan ke (1) didapat

| | Sekarang akan ditunjukkan konvergen seragam dan konvergen mutlak.Misalkan

dan Adalah koefisien fourier pada yang kontinu bagian demi bagian pada interval , . Catatan bahwa

, Juga, saat adalah kontinu dan . Integrasi dengan bagian mengungkapkan bahwaketika

, - , - Dan dengan cara yang sama

, - Jadi

Jika disubtitusikan ke persamaan (2) didapat

Dengan menggunakan ketaksamaan cauchy schwatz yaitu


24/42

Jika ketaksamaan ini diterapkan ke (3) didapat

Barisan konvergen jadi akibatnya deret

Jelaslah terbatas ketika tiap penjumlahan adalah penjumlahan parsial dari barisan konvergen.

Barisan

Juga terbatas ketika dan adalah koefisien fourier untuk

pada interval . Dan memenuhi ketaksamaan Bessel sedemikian sehingga

, - Karena barisan terbatas dan tidak turun akibatnya konvergen. Dan akibatnya| | konvergen dan konvergen mutlak.Sekarang akan dilihat kekonvergenan seragamnya, misalkan

Dimana adalah penjumlahan parsial yang memuat penjumlahan N pertama dari dari

deret tersebut. Deret tersebut konvergen seragam dengan bergantung pada jika nilai mutlak

dari sisa tersebut

bisa dibuat menjadi kecil sebarang untuk semua x

dalam interval dengan mengambil nilai N sangat besar, untuk setiap yang mana bebas dari x. sedemikian sehingga| |

Kondisi sebaliknya dijelaskan dengan Weistrass M-Test. Jadi deret tersebut konvergen seragam

pada interval yang dinyatakan. (terbukti)


25/42

Anggap bahwa kondisi pada teorema tersebut dipenuhi oleh karena itu bisa dibuat deret

cos fourier dan deret sin fourier pada fungsi pada , -.Akan diperlihatkan hal yang special pada angka yang mana membuat rumus menjadi

lebih mudah. Berdasarkan fakta bahwa semua fungsi trigonometri dan

merupakan periodic pada periode . Untuk representasi deret fourier dari fungsi

periodic dari periode . Fungsi dan akan digunakan, ketika semua dari fungsi

ini adalah periodic dari periode . Rumus yang sesuai bisa didapat dengan mengganti variable.

Jika adalah fungsi periodic dengan periode yang mana kontinu bagian demi bagian pada interval , -. Fungsi

Adalah fungsi periodic dari t dengan periode yang mana kontinu bagian demi bagian pada

, -. Berdasarkan definisi 8.2 deret fourier diasosiasikan denga adalah

Dimana

Dan

Dengan mengembalikan variable x dan mengingat bahwa

./.

Didapat deret fourier dari Dimana


26/42

Jelas bahwa (4) benar dengan koefisien fourier (5) dinyatakan, bahwa periode diganti

dengan periode dan interval

, - diganti dengan

, -, maka deret cos fourier dan deret

sin fourier menjadi

Definisi (Convergence in the mean)

Yang mana

Atau kadang kadang ditulis

(Catatan: adalah limit in the mean)


27/42

Nama : Naro Cahya

NIM : 1102379

9. Solusi untuk masalah Dirichlet menggunakan fungsi Green

Pada bagian ini kita menggunakan teorema representasi yang diturunkan di bagian 5 untuk

mendapatkan persamaan integral untuk solusi dari masalah Dirichlet. Persamaan ini

melibatkan fungsi yang dikenal dengan nama fungsi Green.

Kita memberikan rincian dari penurunan dari formula untuk kasus dari domain di R 3.

Untuk penurunannya, kita harus mengasumsikan bahwa solusi u dari masalah Dirichlet

adalah pada walaupun permasalahannya hanya meminta untuk u berada pada

Misalkan dibatasi normal di R 3 dan misalkan fungsi u di dan harmonic d i . Jika r

adalah setiap titik tetap di , teorema representasi menghasilkan formula tersebut

(9.1) 0| | | |1 Dimana r adalah poin variabel dari integrasi pada . Persaman (9.1) memberikan nilai dari u

pada poin denga syarat nilai dari u dan pada . Akan tetapi masalah Dirichlet

menetapkan hanya nilai dari u pada . Untuk menyelesaikan permasalahan ini kita

mempertimbangkan fungsi h dimana harmonik di dan berada pada . Kemudian,

berdasarkan identitas kedua Green diterapkan pada fungsi h dan u, kita memperoleh

(9.2) 0 () 1 Menambahkan (9.1) dan (9.2) kita memperoleh

| | | |

Sekarang, di (9.3) syarat melibatkan akan hilang jika h(r) sama dengan

|| . Persamaan (9.3) menjadi(9.4)


28/42

| | Sehingga persamaan (9.4) memberikan nilai untuk solusi u dari masalah Dirichlet pada setiap

poin , sehingga kita dapat menemukan fungsi yang memenuhi masalah

Dirichlet,

(9.5) ,(9.6) | |

Untuk setiap , dimana menandakan operasi Laplacian ke r. Karena solusi dari

(9.5),(9.6) bergantung pada r kita tandai dengan h(r,r). Fungsi dalam kurung muncul diintegran persamaan (9.4) dikenal sebagai fungsi Green

Definisi 9.1. misalkan adalah daerah di R 3. Fungsinya

(9.7) | | Dimana h(r,r) memenuhi (9.5) dan (9.6) untuk setiap , dinamakan fungsi Green untuk

masalah Dirichlet untuk

Dengan syarat dari fungsi Green, persamaan (9.4) menjadi

(9.8)

Sehingga, solusi untuk masalah Dirichlet

(9.9) (9.10)

Diberikan dengan persamaan


29/42

(9.11)

Kita telah menurunkan persamaan (9.11) untuk solusi dari masalah Dirichlet (9.9),(9.10)

dalam asumsi bahwa solusi u dari masalah ada dan terdapat di dan dalam asumsi

bahwa fungsi Green G(r,r)ada. Ini dapat ditunjukkan dengan metode dimana diluar

jangkauan dari buku ini (liat Kellogg), dalam kondisi pada daerah , fungsi Green ada, dan,

untuk setiap , solusi pada masalah Dirichlet (9.9),(9.10) dengan diberikan dari persamaan (9.11)

Eksistensi dari fungsi Green pertama kali dihipotesis oelh G. Green berdasarkan bukti fisik di

elektrostatis

Sekilas, mahasiswa berhak merahukan kegunaan dari persamaan (9.11). Bagaimanapun,

dengan tujuan untuk menggunakan persamaan ini untuk menghitung solusi dari masalah

Dirichlet (9.9),(9.10), pertama kia harus menemukan fungsi r G(r,r), dan ini melibatkan

menyelesaikan masalah Dirichlet (9.5),(9.6) untuk setiap . Akan tetapi masalah terakhir

ini melibatkan batasan data yang khusus. Sehingga, persamaan (9.11) mengurangi masalah

Dirichlet dengan sembarang data f untuk masalah Dirichlet dengan data khusus | |. Ini memungkinkan kita untuk menguangi masalah Dirichlet ke pemecahan masalah persamaan integral dan kemudian memungkinkan kita untuk menggunakan metode dari teoridari persamaan integral. Akhirnya, fungsi Green merupakan alat yang berguna dalam

pembelajaran teori dari masalah Dirichlet, khususnya dalam menentukan sifat sifat dan

solusi dari masalah ini.

Untuk setiap daerah sederhana mungkin untuk mengkonstruksi fungsi Green. Pada bagian

selanjutnya kita akan melakukan ini untuk sebuah bola di R 3

.

Sekarang, kita memeriksa secara singkat sifat dari fungsi Green G(r,r) untuk masalah

dirichlet untuk domain di R 3. Berdasarkan definisi, sebagai fungsi dari r, G(r,r) hilang

pada dan harmonik di kecuali pada r=r, dimana ini memiliki kutub. Karena


30/42

seperti invers dari jarak r dari r. sifat yang penting dari G(r,r) adalah

simetrinya bergantung pada r dan r,

(9.12) G(r,r)=G(r,r)); r,

Pembuktian dari (9.12) dijadikan latihan (lihat soal 9.1). ini mengikuti (9.12), sebagai suatu

fungsi dari r, G(r,r) hilang pada dan harmonik di . Karena itu,fungsi u(r) didefinisi oleh (9.11) adalah harmonik di (lihat soal 9.2)

Fungsi Green untuk daerah di R 2 didefinisikan dengan cara yang sama

Definisi 9.2. Misalkan daerah di R 2. Fungsinya

(9.13) | | Dimana h(r,r) memenuhi (9.14)

(9.15) | | Untuk setiap , dinamakan fungsi Green untuk masalah Dirichlet untuk

Menggunakan teorema representasi untuk n = 2, ini bisa ditunjukkan, dengan cara yang sama

seperti diatas, maka solusi dari masalah Dirichlet (9.9),(9.10) diberikan oleh persamaan

(9.11). lebih lanjut, ciri ciri dari fungsi Green dua dimensi analog ke fungsi Green tiga

dimensi, satu satunya perbedaan adalah, dengan , seperti algoritma

dari ivers dari jarak r dari r

Untuk daerah di R n dengan n > 3 fungsi Green terdefinisi dengan cara yang sama.

Dengan

|


31/42

Nama : Rakhmat Nurul Hakim

NIM : 1102486

10. Fungsi Green dan Solusi dari Masalah Dirichlet untuk Sebuah Bola di

Misalkan adalah bola di dan adalah titik tetap di . Agar dapat

menemukan fungsi green untuk masalah dirichlet pada harus disusun sebuah fungsi

yang mana, sebagai fungsi dari , adalah harmonik di dan sama terhadap

| | untuk pada batas .Fungsi

| |adalah harmonik di dengan kutub pada . Pada contoh 3.4, dapat dilihat bahwa

dengan inversi yang berhubungan dengan bola , fungsi (10.1) menghasilkan fungsi

yang harmonik di dan sama terhadap | | untuk . Sehingga diharapkanfungsi adalah

dan fungsi green untuk adalah

| | Jika , , menunjukkan sudut diantara vektor dan , maka penggunaan hukum

kosinus dapat dilihat bahwa


32/42


33/42

Integral di rumus (10.12) dikenal sebagai Integral Poisson, dan fungsi

dikenal sebagai the poisson kernel . Berkenaan dengan the poisson kernel , rumus (10.12) menjadi

Ini terkadang berguna untuk menulis rumus (10.12) dalam hal koordinat bola. Jika

adalah koordinat bola pada dan jika adalah koordinat bola dari titik

variabel integrasi pada , rumus (10.12) menjadi

dimana (lihat masalah 10.2)

Di sesi sebelumnya, diperoleh rumus (9.11) di bawah asumsi bahwasannya solusi untuk

masalah dirichlet adalah pada . Kemudian dapat dinyatakan bahwa, di bawah asumsi yang

cocok pada domain , rumus (9.11) memberikan solusi pada masalah dirichlet untuk

walaupun ketika solusinya dibutuhkan hanya pada . Sekarang akan dibuktikan

pernyataan terakhir untuk masalah dirichlet .

Teorema 10.1 . Dimisalkan adalah solusi untuk masalahdirichlet (10.10), (10.11) dengan . Kemudian diperoleh dari

dimana adalah the poisson kernel (10.13).


34/42

Sebelum membuktikan Teorema 10.1, dibutuhkan untuk menetapkan properti the poisson kernel

berikut :

i.

.

ii. adalah harmonik sebagai fungsi dari untuk .iii. untuk setiap .

Properti (i) segera terbentuk dari definisi (10.13) pada . Properti (ii) terbentuk dari fakta

bahwa fungsi Green adalah harmonik sebagai fungsi dari untuk setiap

, dan dari fakta bahwa diperoleh dari dengan melibatkan

differensiasi parameter (lihat section 9 pada chapter V). Terakhir, properti (iii) terbentuk dari

fakta bahwa solusi pada masalah dirichlet

adalah fungsi . Karena solusi ini pada diketahui bahwa rumus(19.11) dan sehingga rumus (10.14) valid. Rumus (10.14) dengan tepatnya properti(iii).

Pembuktian Teorema 10.1 . Karena solusi masalah dirichlet unik, cukup menunjukkan

bahwa fungsi , didefinisi oleh (10.17), harmonik pada dan kontinu pada

.

Bahwa harmonik pada segera mengikuti dari fakta bahwa pada ,

superposisi dari fungsi harmonik . Oleh karena itu tetap menunjukkan bahwa kontinu

di dan sejak diketahui bahwa ini cukup untuk menunjukkan bahwauntuk setiap titik ,

Lebih eksplisit diharuskan menunjukkan bahwa

Sekarang, dari properti (iii) diperoleh


35/42

dan (10.19) ekuivalen terhadap

, - Untuk membuktikan (10.20) kita catat pertama-tama bahwa karena kontinu pada, ini dibatasi pada , yaitu terdapat bilangan sehingga

| | Selain itu, karena kontinu di , diberikan sembarang , terdapat sehingga

| | | | Sekarang menyatakan bagian bola terkandung di bola ,

Kemudian (10.22) dapat ditulis

| | Sekarang, dipisah integral di (10.20) menjadi dua bagian,

, -, -

, - Menggunakan (10.23) dan properti (i) dan (iii) ditemukan

, -


36/42

Karena adalah bilangan positif yang berubah-ubah, (10.20) akan terbentuk jika dapat

dibuktikan

, -

Dari (10.21) diperoleh

, - dan karenanya ini cukup untuk menunjukkan bahwa

Sejak kita tertarik pada apa yang terjadi ketika dekat , hanya dipertimbangkan

. Maka untuk , - | | | | | |

dan

| | Karena itu,

Untuk , dan dikarenakan faktor , (10.27) terbentuk. MakaTeorema ini terbukti.

Secara seksama dari pembuktian Teorema 10.1 memnunjukkan bahwa secara

keseluruhan tidak menggunakan asumsi bahwa kontinu dimana-mana pada . Hanyamenggunakan fakta bahwa dibatasi pada dan bahwa kontinu di titik . Ini


37/42

terbentuk di bawah asumsi bahwa kontinu piecewise (kontinu dimana-mana kecuali disepanjang bilangan terbatas pada kurva dimana mungkin naik terbatas), integral

poisson (10.14) mendefinisikan fungsi yang harmonik untuk dan sedemikian

sehingga setiap titik dimana

kontinu,

Penelitian ini memungkinkan untuk memecahkan solusis masalah dirichlet dengan data yang

terbatas secara kontinu piecewise menggunaka integral poisson (10.14), dengan pemahaman

bahwa solusi yang diinginkan tidak pada , tetapi harmonik di danmendekati nilai sebagai , di setiap titik dimana kontinu.Satu contoh sederhana yaitu masalah dimana

sama dengan 1 pada belahan atas dari dan

0 pada belahan bawah.

Solusi integral poisson dari masalah dirichlet untuk bola in diperoleh di

section 7 menggunakan pemisahan variabel, seri fourier dan penjumlahan hasil solusi seri

tersebut. Solusi ini dapat diperoleh juga dengan menentukan fungsi green untuk di

dan menggunakan rumus (9.11) (lihat masalah 10.4). Kesamaan dapat dilakukan untuk bola di

dengan .


38/42

Nama : Imam Maliki

NIM : 1103934

11. Sifat lanjut Fungsi Harmonic

Solusi integral poisson dari masalah Dirichiet untuk bola di adalah tidak sangat berguna

untuk perhitungan sebenarnya dari nilai-nilai dari solusi di bola, karena integrasi yang terlibat

agak rumit. Namun, seperti yang akan kita lihat di bagian ini, integral Poisson sangat berguna

dalam menurunkan sifat penting dari fungsi harmonik.

Misalkan harmonik di sebuah domain pada

dan anggaplah bahwa adalah bola

apapun yang penutup termuat di . Kemudian nilai pada setiap titik dalam adalah

diberikan oleh integral Poisson melibatkan nilai-nilai di batas pada . Karena harmonicity

fungsi adalah invarian dari translasi koordinat, kita selalu bisa mengambil pusat menjadi asal.

Kemudian jika bola sedemikian rupa sehingga closure memuat domain dimana harmonis. Kemudian, untuk setiap ,(11.1)

Dimana r' adalah titik variabel integrasi pada dan adalah Kernel poisson. Dalamsection sebelumnya kita menurunkan expression untuk untuk dan .Untuk (11.2) Dimana dan adalah koordinat polar dari dan r, masing masing untuk

(11.3)

Dimana || | | dan adalah sudut diantara dan . Untuk expression dari sama.


39/42

Kedua teorema penting yang disajikan dalam section ini berlaku untuk semua . Bukti,

didasarkan pada integral Poisson (11.1), hanya berbeda dalam rincian kecil untuk nilai yang

berbeda dari . Kami hanya akan memberikan bukti-bukti, baik untuk atau .Teorema 11.1. (Teorema Liouville.) Sebuah fungsi yang harmonis untuk setiap tidak bisa memiliki batas atas atau batas bawah kecuali adalah konstan.Bukti . Kami memberikan bukti untuk . Mari kita asumsikan bahwa adalah

harmonik di dan memiliki batas bawah, yaitu ..., ada sejumlah sehingga untuksetiap . Kita harus menunjukkan bahwa di .Fungsi juga Harmonic di dan sedemikian rupa sehingga untuk setiap

.. Jika kita menunjukkan bahwa

di , itu akan mengikuti

di . Mari kita kemudian turun prima dan menganggap bahwa adalahharmonis dan untuk setiap . Kami akan menunjukkan bahwa untuk setiap titik , dan karenanya adalah konstan.Mialkan titik tetap di dan misalkan menjadi nilai lebih besar dari || jadi

lingkaran memuat . Kemudian, dengan (11.1) dan (11.2) kita dapatkan(11.4) Karena

Dan karena

Pengintergralan terhadap , di (11.4), kita kita peroleh

Dan dengan menggunakan nilai rata-rata teorema fungsi harmonik,

Sekarang misalkan kita peroleh


40/42

Sehingga

Kita sudah menunjukkan jika mempunyai batas bawah maka merupakan konstanta.

Jika mempunyai batas atas, maka mempunyai batas bawah, akibatnya dankarenanya u (r), akan menjadi konstan. Bukti Teorema selesai.

Sebuah corollary langsung dari Teorema Liouville adalah sebagai berikut.

Corollary 11.1. Satu-satunya fungsi yang dibatasi dan harmonis dalam semua adalah

fungsi konstan.

Hasil penting lain yang mengikuti solusi integral Poisson dari masalah Dirichlet adalah

kenyataan bahwa fungsi harmonik tentu analitik dalam domainnya definisi. Ingat bahwa fungsi

analitik dalam domain dari jika, di setiap titik , memiliki deret Taylor yang konvergen

ke dalam lingkungan saat itu.

Teorema 11.2. Sebuah fungsi yang harmonis dalam domain dari adalah analitik

di .

Bukti. Kita akan memberikan bukti untuk . Misalkan Q adalah titik pada . kitaharus menunjukkan bahwa adalah analitik di . Karena harmonicity dan analyticity yang lain

di bawah translasi koordinat, kita bisa mengasumsikan bahwa titik adalah asal. Oleh karena

itu, kita harus menunjukkan bahwa memiliki ekspansi deret Taylor,

(11.5)

yang berlaku untuk (x, y, z) di beberapa lingkungan asal. Untuk melakukan hal ini kita

menggunakan representasi integral Poisson dari didekat asal. Misalkan harus cukupkecil sehingga . Kemudian, untuk setiap , diberikan oleh (11,1),dimana diberikan oleh (11,3). Misalkan dan menjadi koordinat persegi

panjang dan , masing-masing. Seandainya kita dapat menunjukkan bahwa kernel Poisson

memiliki ekspansi deret Taylor(11.6) yang konvergen seragam untuk , untuk beberapa , dan .Maka substitusi (11.6) ke (11.1) dan tukar urutan integrasi dan penjumlahan (yang diperbolehkan

oleh keseragaman konvergensi (11.6)) akan menghasilkan (11.5) berlaku untuk

Sekarang karena


41/42

6 7 Dan karena adalah polinomial, ini cukup untuk menunjukkan

bahwa

(11.8) 0 1 Dimana dan untuk semua . Deret pada (11.8) konvergen mutlak dan seragam

untuk | | dimana < 1. Jika kita mengatur(11.9) Dan jika , kita punya

| | | | Jika sekarang kita membatasi berada di , kita memiliki| | untuk ./ dan Karenanya

(11.10) 0 1 Dengan deret convergen seragam untuk

dan . Dari (11.9)

, - Sehingga deret (11.10) adalah deret polinomial dengan koefisien positif. Kita sekarangmenggunakan hasil dari teori fungsi analitik dari variabel kompleks, yang menurut deret di

(11.10) dapat diulang dengan memperluas , - dan pengelompokan bersama dari bentuk . Penataan ulang ini akan menghasilkan (11.7)

dengan konvergensi yang seragam untuk dan 12. Masalah Dirichlet di Domain Tak Terbatas

Sampai saat ini bab ini kita telah mempelajari masalah Dirichlet dengan asumsi bahwa,

domain di mana persamaan Laplace adalah domain dibatasi. Pada bagian ini kita mengalihkan

perhatian kita ke domain tak terbatas. Kita akan melihat bahwa, secara umum, adalah mungkin


42/42

untuk menggunakan inversi sehubungan dengan bola untuk mengubah masalah Dirichlet untuk

domain tak terbatas menjadi masalah Dirichlet untuk domain terbatas, asalkan solusi dalam

domain tak terbatas memenuhi kondisi tertentu di tak terhingga.

Kita mulai dengan contoh sederhana yang menunjukkan bahwa keunikan untuk masalah

Dirichlet dalam domain tak terbatas mungkin gagal untuk menahan jika solusi tidak diperlukan

untuk memenuhi kondisi tambahan. Mis alkan menjadi komplemen dari unit bola tertutup di

, dan mempertimbangkan masalah dari menemukan fungsi di sedemikian sehingga

(12.1)

Pengenalan Deret Fourier

Documents

Transcript of Pengenalan Deret Fourier