PENULISAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL PADA SISTEM KONTROL

PENULISAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL PADA SISTEM KONTROLPersamaan differensial sangat berguna untuk mendapatkan karakteristik phisik dari sistem gerakan. Konsepnya adalah bahwa persamaan differensial di tulis dari suatu pengertian dasar hukum-hukum yang mendasari dari sistem yang ditinjau. Contoh penulisan hukum Newton yang kedua yaitu :

A. SISTEM KONTROL PADA FLUIDAAda dua sistem kontrol yang akan dibicarakan yaitu :1. Tentang Level fluida Ini banyak dipakai di dalam kontrol proses kimia industri.2. Sistem hydrolikAdalah komponen dari pemakaian daya yang dipakai pada dunia industri. Hubungan dasar yang dipakai pada kedua macam type sistem adalah :

q = A . V dimana : q adalah : debit fluida ( ), A= Luas penam-pang dan V adalah kecepatan

Dimana : F = Gaya m = massa a = percepatan

11. Liquid Level System Sebuah tangki dengan debit masuk qi, ketinggian fluida dalam tangki = h, qo adalah debit keluarR = kran, dan A adalah luas penampang.

Pers : Debit sebenarnya yang ada di tangki qi qo = A . (1)Jika : qi qo maka level fluida akan naik.Sehingga : debit keluar adalah : qo = R . h .. (2)

Jadi Persamaan diffrensial dari sistem : A. + R. h = qi ..................(3) hAqiqoR

2. FLUID POWER SISTEM (Sistem Hydrolik)Minyak hidrolis dengan tekanan pompa roda gigi (root pump) disuplay ke daerah tekan darivalve. Dua buah valve port yang lain dihubungkan ke selinder (actuator). Seperti terlihat padaGambar berikut.

X

Valve spool Y Piston rod

Piston area A

Gambar . Valve Controller Hydroulic ActuatorFluid Presurre suplyCara kerja sistemDengan valve spool tepat pada lubang valve, seperti terlihat pada gambar maka silindermenjadi tertutup dan piston menjadi diam. Apabila spool digeses ke kanan maka fluida akan ber-gerak ke kiri dari silinder. Dan piston rol bergerak ke kanan. Gerakan batang piston ke kiri akandidapatkan oleh gerakan valve spool ke kiri dari posisi mati. Pergeseran valve spool (input) adalahdipandang sama dengan nol dengan spool mati. Batang piston bergeser y, gejala, gejala/responseAdalah dipandang sama dengan nol pada kondisi setimbang sebelum sebuah input X ada.Debit oli yang lewat valve dapat ditulis sbb :q = Kv . . (1)Dimana : q = debit oil, Kv adalah valve karakteristik dan delta() adalah pembukaan valve.Jika pembukaan valve sepanjang X maka persamaan menjadi : q = Kv . X .(2)Persamaan silinder bawah adalah : q = A .V = A. Dalam siklus ini terjadi

kontinuitas, maka debit yang lewat valve sama dengan debit yang masuk ke slinder. Jadi Persamaan Differensial sistem adalah : q = Kv . X = A. (3)

B. SISTEM MEKANIKSistem massa pegasSebuah massa m bergerak pada permukaan tanpa gesekkan dan dihubungkan kakupada tembok dengan pertolongan sebuah pegas dengan konstanta k (Kg/m). PergeseranPosisi dari massa m adalah y. Lihat gambar berikut :

y k Fs = k . Y

(a) (b) Sistem di atas merupakan hubungan antara pergeseran posisi massa sebagai fungsi dariwaktu. Pada posisi awal pergeseran dianggap sama dengan nol. Jika sesuai perjanjianSetiap gaya, kecepatan searah jarum jam maka dianggap positip dan sebaliknya. Sedangkan percepatan merupakan turunan kedua dari pergeseran posisi terhadap waktuSehingga persamaan gaya menjadi : m. d 2y = F..........(4) dt2 m m

ANALISIS SISTEM MASSA PEGASJika massa bergeser ke arah positip (ke kanan), maka gaya pegas Fs akan memberikanaksi atau perlawanan untuk mencapai kondisi seimbang. Gaya pegas ini arahnyaberlawanan dengan arah geser massa, yaitu : Fs = - k.y, sehingga persamaan differensialsistem dapat di tulis sebagai berikut :m. d 2y = F = Fs = - k.y dt2atau :m. d 2y + k.y = 0 .. (5) dt2Apabila posisi massa dirubah yaitu dengan posisi menggantung seperti pada gambar di-bawah ini : Fs = k ( y) posisi pegas relax k y y m penunjukan posisi (y=0)

m.gGambar . Sistem dengan unsur beratSistem dengan unsur beratPada sistem terjadi dua buah gaya yang bekerja yaitu gaya berat m.g dengan arah keBawah dan gaya aksi yang bergerak ke atas. Gaya pegas (aksi) sama dengan kons-tanta pegas k x perubahan panjang atau perubahan pendek yaitu sama dengan ( y)Sehingga persamaan menjadi : m. d 2y = F = k ( y) m.g dt 2 = k ky- m.g , sedangkan = m.g k sama dengan perubahan panjang statis, sehingga : m. d 2y = k ( m.g ) k.y - m.g = - k.y dt 2 k

Jadi persamaan differensial : m. d 2y + k.y = 0.(6) dt 2 C. Sistem Elektrik L R

EoInduktansi : v = L di/dt , i = 1/L v dt

Resistor : v = R.i , i = v/R

Pers Differensial : L di/dt + Rt = E(t)

Sistem Elektrik R

E(t)

CSoal :Under certain conditions the constant quantity Q Joules/ sec of head flowing through a wall is given by Q = - k dt/dx.Where k is conductivity of the materal A (m2) is the area of a face of the wall perpendicular to the direction of flow, and T is the temperatur, x (m) from that face such that Tdecreases as x increases. Find the number of Joules of heat per hour flowing through1 square metre of the wall of a refrigerator room 1.25 m thick for which k = 1.05, if thethe temperature of the inner face is 268 K and that of the outer face is 348 KLet x denote the distance of a point within the wall from the outer face.

~i = C dv/dt, v = 1/C i dtq = muatan

Pers Differensial = R dq/ dt + q/C = E(t) is88