Persamaan diferensial-biasa

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Bambang Hutomo, Bc. TT. MATEMATIKA IV 1

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

PERSAMAAN DIFERENSIAL

Suatu persamaan diferensial biasa orde n adalah persamaan bentuk :

0 .....,,.........''','',', nyyyyxF

Yang menyatakan hubungan antara x, fungsi y (x) dan turunannya ,........''','',' yyy

sampai turunan orde n.

Misalnya : ) i ( 062'3'' xeyyy

0'''''2'''22

yyyy ( ii )

Persamaan ( i ) berorde dua tetapi derajad satu, sedangkan persamaan ( ii ) berorde

tiga dan berderajad dua, karena tampilnya turunan ketiga dalam pangkat dua.

Persamaan diferensial tersebut biasa atau Ordinary karena tidak adanya turunan

parsial. Persamaan diferensial yang memiliki turunan parsial tersebut persamaan

diferensial parsial, misalnya :

dcVt

Vb

t

Va

x

V

x

cab

t

M

2

2

2

2

Sejumlah besar masalah fisika dan teknik harus ditangani dengan persamaan

diferensial parsial. Dalam bab ini hanya akan kita tinjau persamaan – persamaan yang

dapat diselesaikan untuk turunan tertinggi dan ditulis dalam bentuk :

1......,.........'',',, nn yyyyxFy

PENYELESAIAN

Dengan penyelesaian khusu diartikan sebuah fungsi bxaxfy , yang

memiliki turunan sampai orde n dalam interval tersebut, sehinga persamaan (24 – 1 )

terpenuhi jika y dan turunannya disubstusikan dalam persamaan tersebut.

Maka y = ex merupakan penyelesaian khusus dari persamaan ( i ) sedangkan y

= x adalah penyelesaian khusus persamaan ( ii ).

Untuk kebanyakan persamaan difrensial ditemukan bahwa semua

penyelesaian khusus dapat dicakup dalam satu bentuk ncccxfy ............,, 21

dengan c1, c2, ………………………cn adalah sebarang konstanta


PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

Persamaan diferensial yang ditinjau memiliki penyelesaian khusus yang dapat

dicakup dalam bentuk :

ncccxfy ............,, 21

Dengan c1, c2, …………………cn adalah sebarang konstanta. Misalnya semua

penyelesaian dari persamaan ( i) diberikan oleh

xx excecy

2

21

Penyelesaian y = ex diperoleh jika c1 = 0 dan c2 = 0.

Jika diperoleh bentuk (24.3) yang mencakup semua penyelesaian disebut

Penyelesaian Umum. Untuk persamaan yang dibahas ini diketemukan bahwa jumlah

konstanta sama dengan orde n.

Tampilnya sebarang konstanta tidak mengejutkan karena konstanta senatiasa

muncul karena integrasi suatu persamaan diferensial yang paling sederhana :

CdxxFyxFy an menghasilk )('

Setelah integrasi, timbul satu konstanta sebarang c1 = C. Secara umum hal ini berlaku

untuk persamaan dengan orde tinggi.

215

3 an menghasilk 20'' cxcxyxy

Setelah dua kali integrasi. Maka jelas bahwa integrasi turunan kedua memberikan dua

konstanta.

PERSAMAAN ORDE SATU DERAJAD SATU

Persamaan diferensial orde satu dan derajad satu umunya diberikan dalam bentuk :

dxyxFdyyxFdx

dy,atau ,

Jika dikalikan dengan g (x,y) dapat dituliskan dalam bentuk

M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0

yang disebut Persamaan Diferensial Eksak

Jika dipenuhi x

N

y

M maka (24-4) adalah diferensial dari suatu fungsi z = f (x,y).

Ini berarti (24-4) sama dengan persamaan dz = 0 yang mempunyai penyelesaian

umum z = c atau f (x,y) = c. Uraian ini kita buktikan dengan menemukan fungsi c = f

(x,y).


Dengan mengingat ketentuan bahwa M adan N diberikan dan memenuhi x

N

y

M

dapat diambil langkah :

(i) Integrasikan M terhadap x dengan y tetap.

Hasilnya : yQdxMzx

Dengan Q (y) adalah fungsi sebarang dari y saja.

(ii) Nyatakan A sebagai beda x

dxMy

NA

dxMxyx

NdxM

yxx

N

x

M

xx

22

Urutan diferensial dapat

ditukar .

Tetapi y

MdxM

xyMdxM

x xx

sehingga

2

Akibatnya 0y

M

x

N

x

A dan A bebas dari x

Sekarang akan kita tentukan Q (y) sehingga x

dxMy

NAyQ '

Setelah ini dilakukan, diperoleh : yQdxMy

Nx

'

Diperoleh : NyQdxMyy

zM

x

z

x ' dan ,

Sehingga )( menentukan Tinggal y Qdzdyy

zdx

x

zdyNdxM

(iii) untuk mencari Q (y), integrasikan yQ ' terhadap y.

dydxMy

NyQx

Memasukan persamaan ini dalam (24-5) memberikan

cdydxMy

NdxMzxx

CONTOH : Tunjukan bahwa cos y dx + (2y – x sin y) dy = 0 adalah eksak.

Jawab : M = cos y dan N = 2y – x sin y

x

N

y

My

x

Ny

y

M Jelas .sindan sin


.

umum.an penyelesaiadalah cos

sinsin2cos

sincos ,cos cos

2 cyyxz

dyyxyxyyxz

yxyxy

dxMy

yxdxydxMxx

PERSAMAAN DIFERENSIAL VARIABEL – VARIABEL TERPISAH

Jika persamaan eksak M dx + N dy = 0 mempunyai sifat bahwa M fungsi x

saja dan N fungsi y saja, maka 0x

N

y

M. Ini adalah bentuk paling sederhana dari

persamaan diferensial eksak, dan dikatakan bahwa variable – variabelnya terpisah.

Penyelesaian umum dapat ditulis :

cdyNdxM

CONTOH dy

(1) Selesaikan kyy /'

Jawab : 0atau x

dx

y

dy

x

y

dx

dy

x

c cycex

yc

y

dy

cxyx

dx

y

dy

dan ,In

In In dan 0

1

1

1

Penyelesaian berlaku untuk semua (x,y) kecuali x = 0.

(2) Selesaikan 0)1(

122

3

xxy

y

dx

dy

Jawab :

cey

yx

ccxxy

cyxyx

dxx

x

dx

y

dyy

dxxxy

dyy

c2

32

236

21

23

2

23

2

23

2

1

1 In

61In 3 In 61In 2

11In 2

1 In 31 In

3

10

1

1

maka terpisah.ya variabeln- eldan variab 0 1

1

1

PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN

Fungsi f (x,y) disebut homogen dengan derajad n dalam variable – variabelnya jika


yxfyxf n ,, . Persamaan M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 disebut homogen jika

M (x,y) dan (x,y) hohogen dengan derajad sama. Untuk persamaan homogen

dilakukan substitusi dvxdxvdyvxy .

Dengan substitusi ini persamaan homogen dibah menjadi bentuk variable –

variable terpisah x dan v.

(3) Selesaikan xy

yxy

22

'

0dan x 0yuntuk In

In 2

10

1

substitusi ,1

':

2222

1

2

cxxxy

cxvx

dxdvv

dxvdvxdxvv

dy

vxyvvx

yyJawab

(4) Selesaikan 2 xy dy = (x2 – y

2 ) dx

Jawab : Persamaan ini homogen derajat dua. Subsitusi y = xv

13 memberikan

131atau 0 cIn In 3 3 1 In

dan , In In 31In 3

1

31

31

3

1

31

2

2

23

232

2

2

2

2

222

) x yc (x

v xc xv

cxv

x

dx

v

vd

x

dx

v

dvv

dxxvxdvxdxvvxx

(5) Selesaikan 0 cossin dxydyxy

yy x dyy dx

x

yx

Jawab : Persamaan ini homogen derajat dua. Subsitusi y = vx

x sin v (vx dx + x2 dv + vx dx) + vx cos v (x

2 dv + vx dx – vx dx ) = 0

sin v ( 2 v dx + x dv ) + xv cos v dv = 0

02sin

cossin

x

dxdv

vv

vv

Maka cIn In 2 sin In x vv dan x2 (v sin v ) = C menghasilkan

Cx

yxy sin

(6) Selesaikan 0 222 2 dxxydyyx

Jawab : Persamaan ini homogen derajat dua. Subsitusi y = vx


CyxyCvvx

cxvv

cxv

x

dx

v

dvv

v

dv

x

dxdv

vv

vvdxdvxdxvv

)23(dan 23 Maka

'In 3 In 323In In

'In 3 In 323In vIn

0233

4

3

023

2102 21

2223

2

2

2

2

22

(7) Selesaikan 0 32 dyxydxyx

Jawab : Persamaan dapat ditulis x2 dx + (y dx + x dy ) + y

3 dy = 0

Cyxyx 43

4

1

3

1

(8) Selesaikan 0cossin dyyeydxyex xx

Jawab : Integrasi dari 0 sin cos dxyedyyedyydxx xx

Memberikan : Cyeyx x sin2

1

2

1 22

(9) Selesaikan x xy + y dx = 2 x2 y dx

Jawab : Bentuk x dy – y dx memberikan segesti pada bentuk

cxxyCxx

y

dxxx

yd

x

dxx

x

dxydyx

xx

dxydyx

x

yd

32

2

3

2

22

atau

2 2

1dikalikan atas diPersamaan

(10) Selesaikan x dy + y dx = 2 x2 y dx

Jawab : Kombinasi x dy + y dx memberikan sugesti pada bentuk

Cxxydxxxy

dxydyx

xy

xy

dxydyxxyd

2In dan 2

memberikan

1dikalikan atas diPersamaan

In

(11) Selesaikan x dy + 03 dxey x

Jawab : Dikalikan dengan x2 diperloeh x3

dy + 3x2 y dx = x

2 e

x dx

Ceexexdxexyxdxexyxd xxxxx 2 2dan 22323


PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE SATU

Persamaan diferensial dengan bentuk Qpydx

dy

Dengan P dan Q adalah fungsi x saja, disebut persamaan diferensial linear orde satu.

Perlu diperhatikan bahwa turunan dan variable tidak bebas y hanya tampil dalam

derajat satu. Persamaan ini memiliki factor integrasi S (x) = dxP

e

Berarti ruas kiri

dan kanan harus dikalikan S (x) kemudian di integrasikan .

CONTOH

(1) Selesaikan xxyy'

Jawab : 22/1 dan xedxxeSxxP

Persamaan dikalikan S memberikan 222 2/12/12/1 |' xxx xeexyye

22 2/12/1 xx xee

dx

d

CeCdxxeye xxx 222 2/12/12/1

Maka 22/11 xcey

x

yf

f

x

yyx

x

fdf

df

yx

dyydxx

dyydxxyxd

yx

dyydxxyxd

yx

dxydyx

x

yarcd

x

dxydyx

x

yd

dyxdxydyd

1

1

1

1

In 2 2

2 2

log

2

1

tan

222

2

22

22

22

22

22

2


(2) Selesaikan cxxydx

dycoscot

Jawab : sin In cot dan cot)( xdxxdxpxxP

Cxxydxdxxdyx

xexxydx

dyx

xexSx

sin dan cos sin

cossincot sin

sin )( sin In

PERSAMAAN DIFERENSIAL

Persamaan diferensial yang tidak linear mungkin dapat disusutkan dalam bentuk

linear dengan mengadakan substitusi yang sesuai. Suatu persamaan yang cukup

penting ialah persamaan Bernoulli, berbentuk : xQyxPydx

dy n

Dengan P dan Q ialah fungsi dari x saja dan n sebarang bilangan bukan nol.

Tranformasi dilakukan dengan substitusi :

dx

dz

ndx

dyyyz nn

1

1dan 1

Yang menghasilkan persamaan linear .

CONTOH

(1) Selesaikan 2xyydx

dy

dengan dikalikan setelah atas di persamaaandan memberikan

Substitusi .2dan

1)(dengan ,berbentuk iniPersamaan :

2

1211

dx

dyy

dx

dz

yyyzn

xPxyPydx

dyJawab

n

n

2y menghasilkan

1

.

2222

y z karena

atau dan

Maka

1 berarti , kembali Ditulis

memberikan

Ceexez

xdxxeezdxexezd

dxexdxezdzeeeeS

pxzdx

dz

xzdx

dzxyyyy

dx

dyy

xxx

xxx

xxxxdxdxp

Akhirnya diperoleh x

x

ecxyecx

y 1

1 1

1

Persamaan diferensial-biasa

Education

Transcript of Persamaan diferensial-biasa