PERSAMAAN LINGKARAN A. Persamaan Lingkaran yang … · Jadi, Persamaan Lingkaran yang berpusat di...

13
https://zonadotangka.wordpress.com [email protected] 1 PERSAMAAN LINGKARAN A. Persamaan Lingkaran yang berpusat di titik P (0,0) dengan jari − jari r : Jarak titik P (0,0) ke titik A (x,y) adalah PA = r dapat ditentukan dengan rumus : = () +() Maka persamaan lingkaran berdasarkan rumus tersebut : = () +() () +() = Kuadratkan kedua ruas sehingga diperoleh persamaan di bawah ini: () +() = () + () = + = Jadi, Persamaan Lingkaran yang berpusat di titik P (0,0) dengan jari − jari r adalah Contoh 1: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik P (0,0) dengan panjang jari − jari 3. Penyelesaian : x 2 + y 2 =r 2 x 2 + y 2 =3 2 x 2 + y 2 =9 A (x,y) P (0,0) X Y r + =

Transcript of PERSAMAAN LINGKARAN A. Persamaan Lingkaran yang … · Jadi, Persamaan Lingkaran yang berpusat di...

Page 1: PERSAMAAN LINGKARAN A. Persamaan Lingkaran yang … · Jadi, Persamaan Lingkaran yang berpusat di titik P (0,0) dengan jari − jari r adalah Contoh 1: Tentukan persamaan lingkaran

https://zonadotangka.wordpress.com

[email protected] 1

PERSAMAAN LINGKARAN

A. Persamaan Lingkaran yang berpusat di titik P (0,0) dengan jari − jari r :

Jarak titik P (0,0) ke titik A (x,y) adalah PA = r dapat ditentukan dengan rumus :

𝒓 = (𝒙 − 𝟎)𝟐 + (𝒚 − 𝟎)𝟐

Maka persamaan lingkaran berdasarkan rumus tersebut :

𝒓 = (𝒙 − 𝟎)𝟐 + (𝒚 − 𝟎)𝟐 (𝒙 − 𝟎)𝟐 + (𝒚 − 𝟎)𝟐 = 𝒓

Kuadratkan kedua ruas sehingga diperoleh persamaan di bawah ini:

(𝒙 − 𝟎)𝟐 + (𝒚 − 𝟎)𝟐 𝟐

= 𝒓𝟐

(𝒙 − 𝟎)𝟐 + (𝒚 − 𝟎)𝟐 = 𝒓𝟐

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐

Jadi, Persamaan Lingkaran yang berpusat di titik P (0,0) dengan jari − jari r adalah

Contoh 1:

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik P (0,0) dengan panjang jari − jari 3.

Penyelesaian :

x2 + y2 = r2

x2 + y2 = 32

x2 + y2 = 9

A (x,y)

P (0,0)

X

Y

r

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐

Page 2: PERSAMAAN LINGKARAN A. Persamaan Lingkaran yang … · Jadi, Persamaan Lingkaran yang berpusat di titik P (0,0) dengan jari − jari r adalah Contoh 1: Tentukan persamaan lingkaran

https://zonadotangka.wordpress.com

[email protected] 2

Contoh 2:

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik P (0,0) dan melalui titik A (3,4).

Penyelesaian :

r = (3 − 0)2 + (4 − 0)2

r = 32 + 42

r = 9 + 16

r = 25

r = 5

Persamaan lingkarannya :

x2 + y2 = r2

x2 + y2 = 52

x2 + y2 = 25

Contoh 3:

Tentukan pusat dan jari − jari lingkaran x2 + y2 = 92.

Penyelesaian :

x2 + y2 = 92 ↔ x2 + y2 = r2

r2 = 92

r = 9

Soal Latihan

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0,0) dengan jari − jari sebagai

berikut :

a. 6 c. 1

3 3

b. 5 d. 1

2 2

2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0,0) dan melalui titik – titik

berikut :

a. A (3,1) c. C (−5, 3)

b. B (4,0) d. D (2,3)

3. Tentukan pusat dan jari − jari lingkaran berikut :

a. x2 + y2 = 36 d. 2x2 + 2y2 = 50

b. x2 + y2 = 8 e. 4x2 + 4y2 = 36

c. x2 + y2 = 0,01

Page 3: PERSAMAAN LINGKARAN A. Persamaan Lingkaran yang … · Jadi, Persamaan Lingkaran yang berpusat di titik P (0,0) dengan jari − jari r adalah Contoh 1: Tentukan persamaan lingkaran

https://zonadotangka.wordpress.com

[email protected] 3

B. Persamaan Lingkaran yang berpusat di titik P (a,b) dengan jari − jari r :

Jarak titik P(a,b) ke titik A(x,y) adalah PA = r dapat ditentukan dengan rumus :

𝒓 = (𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐

Maka persamaan lingkaran berdasarkan rumus tersebut :

𝒓 = (𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐 (𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐 = 𝒓

Kuadratkan kedua ruas sehingga diperoleh persamaan di bawah ini:

(𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐 𝟐

= 𝒓𝟐

(𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐 = 𝒓𝟐

Jadi, Persamaan Lingkaran yang berpusat di titik P(a,b) dengan jari − jari r adalah

Contoh 1

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(2,1) dengan panjang jari − jari 4.

Penyelesaian :

a = 2, b = 1, r = 4

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2

(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 1)2 = 42

(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 1)2 = 16

Y

A (x,y)

P (a,b)

X

b

a

r

(𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐 = 𝒓𝟐

Page 4: PERSAMAAN LINGKARAN A. Persamaan Lingkaran yang … · Jadi, Persamaan Lingkaran yang berpusat di titik P (0,0) dengan jari − jari r adalah Contoh 1: Tentukan persamaan lingkaran

https://zonadotangka.wordpress.com

[email protected] 4

Contoh 2

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(2,−2) dengan panjang jari − jari 2.

Penyelesaian :

a = 2, b = −2, r = 2

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2

(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − (−2))2 = 22

(𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 2)2 = 4

Contoh 3

Tentukan titik pusat dan jari − jari lingkaran dengan persamaan:

a. (𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 2)2 = 4

b. (𝑥 + 2)2 + (𝑦 + 2)2 = 9

c. (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 1)2 = 16

d. (𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 2)2 = 8

Penyelesaian :

a. Persamaan (𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 2)2 = 4 → (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2

a = 2, b = −2, r = 4 = 2

Lingkaran berpusat di titik (2,−2) dan berjari − jari 2.

b. Persamaan (𝑥 + 2)2 + (𝑦 + 2)2 = 9 → (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2

a = −2, b = −2, r = 9 = 3

Lingkaran berpusat di titik (−2,−2) dan berjari − jari 3.

c. Persamaan (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 1)2 = 16 → (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2

a = 2, b = 1, r = 16 = 4

Lingkaran berpusat di titik (2,1) dan berjari − jari 4.

d. Persamaan (𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 2)2 = 8 → (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2

a = −3, b = 2, r = 8 = 2 2

Lingkaran berpusat di titik (−3,2) dan berjari − jari 2 2.

Page 5: PERSAMAAN LINGKARAN A. Persamaan Lingkaran yang … · Jadi, Persamaan Lingkaran yang berpusat di titik P (0,0) dengan jari − jari r adalah Contoh 1: Tentukan persamaan lingkaran

https://zonadotangka.wordpress.com

[email protected] 5

Contoh 4

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P(2,4) dan melalui titik A(3,1).

Penyelesaian :

P(2,4) → a = 2, b = 4

A(3,1) → x = 3, y = 1

r = (x1 − a)2 + (y1 − b)2

r = (3 − 2)2 + (1 − 4)2

r = 12 + (−3)2 = 1 + 9 = 10

Persamaan lingkarannya:

(x − a)2 + (y − b)2 = r2

(x − 2)2 + (y − 4)2 = 10 2

(x − 2)2 + (y − 4)2 = 10

Atau

P (2,4) → a = 2, b = 4

A (3,1) → x1 = 3, y1 = 1

(x − a)2 + (y − b)2 = r2

(x − a)2 + (y − b)2 = (x1 − a)2 + (y1 − b)2 2

(x − a)2 + (y − b)2 = (x1 − a)2 + (y1 − b)2

(x − 2)2 + (y − 4)2 = (3 − 2)2 + (1 − 4)2

(x − 2)2 + (y − 4)2 = 12 + (−3)2

(x − 2)2 + (y − 4)2 = 1 + 9

(x − 2)2 + (y − 4)2 = 10

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(a,b) dan melalui titik A(𝐱𝟏, 𝐲𝟏) :

(𝐱 − 𝐚)𝟐 + (𝐲 − 𝐛)𝟐 = (𝐱𝟏 − 𝐚)𝟐 + (𝐲𝟏 − 𝐛)𝟐

Page 6: PERSAMAAN LINGKARAN A. Persamaan Lingkaran yang … · Jadi, Persamaan Lingkaran yang berpusat di titik P (0,0) dengan jari − jari r adalah Contoh 1: Tentukan persamaan lingkaran

https://zonadotangka.wordpress.com

[email protected] 6

Soal Latihan

1. Tentukan persamaan lingkaran berikut:

a. berpusat di (3,4) dan jari − jari 6

b. berpusat di (3,−5) dan jari − jari 2 2

c. berpusat di (2,4) dan jari − jari 3

d. berpusat di (−3,1) dan jari − jari 5

e. berpusat di (5,0) dan jari − jari 2 2

2. Tentukan titik pusat dan jari − jari lingkaran dengan persamaan:

a. (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 6)2 = 16

b. (𝑥 − 5)2 + (𝑦 + 1)2 = 18

c. 𝑥2 + (𝑦 − 2)2 = 25

d. (𝑥 + 4)2 + 𝑦2 = 100

e. 4𝑥2 + (2𝑦)2 = 100

3. Tentukan persamaan lingkaran berikut :

a. lingkaran berpusat di (7,−4) dan melalui titik (0,−8)

b. lingkaran berpusat di (−5, 0) dan melalui titik (9,−10)

c. lingkaran berpusat di (−6,−8) dan melalui titik (0,0)

d. lingkaran berpusat di (2,−1) dan melalui titik (−6,−5)

C. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran (𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐 = 𝒓𝟐 adalah persamaan lingkaran dalam

bentuk baku dengan pusat P(a,b) dan jari − jari r. Jika persamaan tersebut diuraikan maka

akan menjadi sebagai berikut :

(𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐 = 𝒓𝟐

𝒙𝟐 − 𝟐𝒂𝒙 + 𝒂𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒃𝒚 + 𝒃𝟐 − 𝒓𝟐 = 𝟎

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒂𝒙− 𝟐𝒃𝒚 + 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − 𝒓𝟐 = 𝟎

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎

Dengan 𝑨 = −𝟐𝒂,𝑩 = −𝟐𝒃,𝒅𝒂𝒏 𝑪 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − 𝒓𝟐

Sehingga persamaan lingkaran dapat ditulis dalam bentuk umum sebagai berikut:

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎

Lingkaran dengan persamaan

Pusat 𝑷 −𝑨

𝟐,−

𝑩

𝟐 dan jari-jari 𝒓 = 𝑨𝟐

𝟒+

𝑩𝟐

𝟒− 𝑪

Page 7: PERSAMAAN LINGKARAN A. Persamaan Lingkaran yang … · Jadi, Persamaan Lingkaran yang berpusat di titik P (0,0) dengan jari − jari r adalah Contoh 1: Tentukan persamaan lingkaran

https://zonadotangka.wordpress.com

[email protected] 7

Contoh 1:

Tentukan pusat dan jari − jari lingkaran dengan persamaan

x2 + y2 − 4x − 2y + 4 = 0.

Penyelesaian :

A = − 4, B = − 2, dan C = 4

Pusat :

P −A

2,−

B

2 ↔ P −

(−4)

2,−

(−2)

2 ↔ P (2, 1)

Jari − jari:

r = A2

4+

B2

4− C =

−4 2

4+

−2 2

4− 4

r = 4 + 1 − 4 = 1

Jadi, lingkaran berpusat di titik P (2,1) dengan jari − jari 1.

Contoh 2:

Tentukan persamaan umum lingkaran jika diketahui lingkaran berpusat di P (5,3) dan

berjari − jari 3 5.

Jawab :

(x − a)2 + (y − b)2 = r2

(x − 5)2 + (y − 3)2 = 3 5 2

x2 − 10x + 25 + y2 − 6y + 9 = 45

x2 + y2 − 10x − 6y − 11 = 0

Jadi, persamaan umum lingkaran yang berpusat di titik (5,3) dan berjari − jari 3 5 adalah

x2 + y2 − 10x − 6y − 11 = 0

Soal

1. Tentukan pusat dan jari − jari lingkaran dengan persamaan berikut:

a. x2 + y2 − 10x + 4y − 7 = 0

b. x2 + y2 + 2x + 4y − 4 = 0

c. x2 + y2 + 6x − 8y − 24 = 0

d. x2 + y2 − 2x + 8y − 19 = 0

e. x2 + y2 − 4x − 6y − 12 = 0

2. Tentukan persamaan umum lingkaran berikut jika diketahui titik pusat dan jari – jarinya :

a. Pusat (1,2) dan jari − jari 1

b. Pusat (−3,−4) dan jari − jari 2

c. Pusat (−2,5) dan jari − jari 3

d. Pusat (1,−4) dan jari − jari 5

e. Pusat (1,−4) dan melalui titik (3,2)

Page 8: PERSAMAAN LINGKARAN A. Persamaan Lingkaran yang … · Jadi, Persamaan Lingkaran yang berpusat di titik P (0,0) dengan jari − jari r adalah Contoh 1: Tentukan persamaan lingkaran

https://zonadotangka.wordpress.com

[email protected] 8

D. Kedudukan Titik terhadap Lingkaran

1. Suatu titik A(v,w) terletak di dalam lingkaran yang berpusat di titik P (0,0) dan berjari −

jari r jika 𝑣2 + 𝑤2 < 𝑟2.

2. Suatu titik A (v,w) terletak pada lingkaran yang berpusat di titik P (0,0) dan berjari − jari

r jika 𝑣2 + 𝑤2 = 𝑟2.

3. Suatu titik A (v,w) terletak di luar lingkaran yang berpusat di titik P (0,0) dan berjari −

jari r jika 𝑣2 + 𝑤2 > 𝑟2.

4. Suatu titik A (v,w) terletak di dalam lingkaran yang berpusat di titik P (a,b) dan berjari

− jari r jika (𝑣 − 𝑎)2 + (𝑤 − 𝑏)2 < 𝑟2.

5. Suatu titik A (v,w) terletak pada lingkaran yang berpusat di titik P (a,b) dan berjari −

jari r jika (𝑣 − 𝑎)2 + (𝑤 − 𝑏)2 = 𝑟2.

6. Suatu titik A (v,w) terletak di luar lingkaran yang berpusat di titik P (a,b) dan berjari −

jari r jika (𝑣 − 𝑎)2 + (𝑤 − 𝑏)2 > 𝑟2.

Contoh :

Apakah titik – titik berikut terletak di luar, di dalam, atau pada lingkaran

x2 + y2 − 8x + 6y + 20 = 0

a. Q(−1,−1) c. S(0,5)

b. R(2,−3) d. T(−4,0)

Jawab :

x2 + y2 − 8x + 6y + 20 = 0 dirubah menjadi bentuk baku:

A = − 8, B = 6, dan C = 20

Pusat :

P −A

2,−

B

2 ↔ P −

(−8)

2,−

6

2 ↔ P (4,−3)

Jari − jari:

r = A2

4+

B2

4− C =

−8 2

4+

62

4− 20 =

64

4+

36

4− 20 = 16 + 9 − 20 = 5

Persamaan lingkaran dengan titik pusat P(4,−3) dan jari – jari r = 5

(x − a)2 + (y − b)2 = r2

(x − 4)2 + (y − (−3))2 = 5 2

(x − 4)2 + (y + 3)2 = 5

Page 9: PERSAMAAN LINGKARAN A. Persamaan Lingkaran yang … · Jadi, Persamaan Lingkaran yang berpusat di titik P (0,0) dengan jari − jari r adalah Contoh 1: Tentukan persamaan lingkaran

https://zonadotangka.wordpress.com

[email protected] 9

a. Q(−1,−1) substitusikan ke persamaan

(x − 4)2 + (y + 3)2 = 5

(−1 − 4)2 + (−1 + 3)2 = 5

(−5)2 + 22 = 5

25 + 4 = 5

29 > 5

Titik Q(−1,−1) berada di luar lingkaran

(x − 4)2 + (y + 3)2 = 5

b. R(2,−3) substitusikan ke persamaan

(x − 4)2 + (y + 3)2 = 5

(2 − 4)2 + (−3 + 3)2 = 5

(−2)2 + 02 = 5

4 + 0 = 5

4 < 5

Titik Q(2,−3) berada di luar lingkaran

(x − 4)2 + (y + 3)2 = 5

c. S(0,5) substitusikan ke persamaan

(x − 4)2 + (y + 3)2 = 5

(0 − 4)2 + (5 + 3)2 = 5

(−4)2 + (8)2 = 5

16 + 64 = 5

80 > 5

Titik S(0,5) berada di luar lingkaran

(x − 4)2 + (y + 3)2 = 5

d. T(−4,0) substitusikan ke persamaan

(x − 4)2 + (y + 3)2 = 5

(−4 − 4)2 + (0 + 3)2 = 5

(−8)2 + (3)2 = 5

64 + 9 = 5

73 > 5

Titik T(−4,0) berada di luar lingkaran

(x − 4)2 + (y + 3)2 = 5

Page 10: PERSAMAAN LINGKARAN A. Persamaan Lingkaran yang … · Jadi, Persamaan Lingkaran yang berpusat di titik P (0,0) dengan jari − jari r adalah Contoh 1: Tentukan persamaan lingkaran

https://zonadotangka.wordpress.com

[email protected] 10

E. Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Misalkan g garis dengan persamaan 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 dan L lingkaran dengan persamaan 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2

Kedudukan garis g terhadap lingkaran ditentukan oleh nilai diskriminan 𝑫 = 𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄 , yaitu:

1. D > 0 ↔ garis g memotong lingkaran di dua titik berlainan.

2. D = 0 ↔ garis g menyinggung lingkaran.

3. D < 0 ↔ garis g tidak memotong maupun menyinggung lingkaran.

Contoh :

Diberikan sebuah garis 2x + y = 2 dan lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 9.

Selesaikan sistem persamaan linier-kuadrat tersebut kemudian tentukan nilai diskriminannya.

Jawab :

2x + y = 2 dirubah menjadi y = 2 – 2x

Substitusikan y = 2 – 2x ke persamaan 𝑥2 + 𝑦2 = 9.

Sehingga diperoleh

𝑥2 + 𝑦2 = 9

𝑥2 + (2 – 2x)2 = 9

𝑥2 + 4 – 8x + 4x2 = 9

5𝑥2 − 8𝑥 + 4 = 9

5𝑥2 − 8𝑥 + 4 − 9 = 0

5𝑥2 − 8𝑥 − 5 = 0

Nilai Diskriminan:

𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐

𝐷 = −8 2 − 4.5. −5

𝐷 = 64 − −100

𝐷 = 164

Karena D > 0, garis 2x + y = 2 memotong lingkaran

𝑥2 + 𝑦2 = 9 di dua titik yang berlainan.

Soal.

1. Diberikan sebuah garis 2x + y = 5 dan lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 5. Selesaikan sistem

persamaan linier-kuadrat tersebut kemudian tentukan nilai diskriminannya.

2. Diberikan sebuah garis − x + y = 3 dan lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 5. Selesaikan sistem

persamaan linier-kuadrat tersebut kemudian tentukan nilai diskriminannya.

3. Diberikan sebuah garis x + y = 2 dan lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 9. Selesaikan sistem

persamaan linier-kuadrat tersebut kemudian tentukan nilai diskriminannya.

4. Diberikan sebuah garis y = 3 dan lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 9. Selesaikan sistem persamaan

linier-kuadrat tersebut kemudian tentukan nilai diskriminannya.

Page 11: PERSAMAAN LINGKARAN A. Persamaan Lingkaran yang … · Jadi, Persamaan Lingkaran yang berpusat di titik P (0,0) dengan jari − jari r adalah Contoh 1: Tentukan persamaan lingkaran

https://zonadotangka.wordpress.com

[email protected] 11

F. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

a. Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melalui Suatu Titik Pada Lingkaran

dengan Pusat O (0,0)

Persamaan garis singgung lingkaran 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐 yang melalui titik 𝑨 𝒙𝟏,𝒚𝟏

adalah:

Contoh :

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟖 yang melalui titik (2,2).

Jawab :

Persamaan garis singgung lingkaran:

𝒙𝟏𝒙 + 𝒚𝟏𝒚 = 𝒓𝟐

𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟖

𝒙 + 𝒚 = 𝟒

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟖 di titik (2,2) adalah 𝒙 + 𝒚 = 𝟒

Soal

1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (2,0) dengan pusat P

(0,0) dan berjari − jari 2!.

2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (0,−5) dengan pusat

P (0,0) dan berjari − jari 5!.

3. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 5 yang melalui titik

(−2,1)!.

4. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 11 yang melalui titik

2 2 ,2 !.

5. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang melalui titik

(3, 4)!.

r

A (x1,y1)

P (0,0)

X

Y

r

𝒙𝟏𝒙 + 𝒚𝟏𝒚 = 𝒓𝟐

Page 12: PERSAMAAN LINGKARAN A. Persamaan Lingkaran yang … · Jadi, Persamaan Lingkaran yang berpusat di titik P (0,0) dengan jari − jari r adalah Contoh 1: Tentukan persamaan lingkaran

https://zonadotangka.wordpress.com

[email protected] 12

b. Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melalui Suatu Titik Pada Lingkaran

dengan Pusat P (a,b) dan berjari − jari r

Persamaan garis singgung lingkaran

(𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐 = 𝒓𝟐 yang melalui titik 𝑨 𝒙𝟏,𝒚𝟏 adalah :

Jika diketahui persamaan lingkaran dalam bentuk umum, persamaan garis singgung

lingkaran 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎 yang melalui titik 𝒙𝟏,𝒚𝟏 adalah:

Contoh 1:

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran

(𝒙 − 𝟏)𝟐 + (𝒚 − 𝟓)𝟐 = 𝟐𝟎 yang melalui titik (5,7)!

Jawab :

Persamaan garis singgungnya adalah :

𝒙 − 𝒂 𝒙𝟏 − 𝒂 + (𝒚 − 𝒃) 𝒚𝟏 − 𝒃 = 𝒓𝟐

𝒙 − 𝟏 𝟓 − 𝟏 + (𝒚 − 𝟓) 𝟕 − 𝟓 = 𝟐𝟎

𝒙 − 𝟏 𝟒 + (𝒚 − 𝟓) 𝟐 = 𝟐𝟎

𝟒𝒙 − 𝟒 + 𝟐𝒚 − 𝟏𝟎 = 𝟐𝟎

𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟏𝟒 − 𝟐𝟎 = 𝟎

𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟑𝟒 = 𝟎

Contoh 2:

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟔𝒚 − 𝟏𝟐 = 𝟎 yang melalui titik (5,1)!

A (x1, y1)

P (a,b)

X

b

a

r

Y

𝒙 − 𝒂 𝒙𝟏 − 𝒂 + (𝒚 − 𝒃) 𝒚𝟏 − 𝒃 = 𝒓𝟐

𝒙𝟏𝒙 + 𝒚𝟏𝒚 +𝟏

𝟐𝑨 𝒙𝟏 + 𝒙 +

𝟏

𝟐𝑩 𝒚𝟏 + 𝒚 + 𝑪 = 𝟎

Page 13: PERSAMAAN LINGKARAN A. Persamaan Lingkaran yang … · Jadi, Persamaan Lingkaran yang berpusat di titik P (0,0) dengan jari − jari r adalah Contoh 1: Tentukan persamaan lingkaran

https://zonadotangka.wordpress.com

[email protected] 13

Jawab :

Persamaan garis singgungnya:

𝒙𝟏𝒙 + 𝒚𝟏𝒚 +𝟏

𝟐𝑨 𝒙𝟏 + 𝒙 +

𝟏

𝟐𝑩 𝒚𝟏 + 𝒚 + 𝑪 = 𝟎

𝟓𝒙 + 𝟏𝒚 +𝟏

𝟐 −𝟒 𝟓 + 𝒙 +

𝟏

𝟐 𝟔 𝟏 + 𝒚 + (−𝟏𝟐) = 𝟎

𝟓𝒙 + 𝒚 − 𝟐 𝟓 + 𝒙 + 𝟑 𝟏 + 𝒚 − 𝟏𝟐 = 𝟎

𝟓𝒙 + 𝒚 − 𝟏𝟎 − 𝟐𝒙 + 𝟑 + 𝟑𝒚 − 𝟏𝟐 = 𝟎

𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟏𝟗 = 𝟎

Soal

1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (𝒙 − 𝟏)𝟐 + (𝒚 − 𝟐)𝟐 = 𝟓 yang

melalui titik (2,4)!

2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟏𝟎 − 𝟏𝟐𝒚 + 𝟐𝟓 = 𝟎 yang

melalui titik

a. (5,12) b. (1,6) c. (-5,0)